GABARITO IME. Matemática

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1 GABARITO IME Matemática

2 Sistema ELITE de Ensino IME - 016/017 GABARITO COMENTADO Questão 01 Seja M uma matriz real. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se a b desloca para a posição seguinte no sentido horário, ou seja, se M =, implica que c d c a f ( M) =. Encontre todas as matrizes simétricas reais na qual M = f (M). d b a b + + a b a b a b ab bc M= M = = b c b c b c ab + bc b + c b a f (M) = c b a + b = b a = 0 + = ab bc a a + b = b M = f ( M) a = c ou ab + bc = a ab = a 1 + = = b c b b Se 0 0 b = 0 M1 = a = b = b ou c = b = 1 M = 1 0 Se 1 1 M = b = a + = a = a = ± M4 = S =,,,

3 Sistema ELITE de Ensino IME - 016/017 Questão 0 Resolva a inequação, onde x. 9x ( 1 x + 1) > 4 x x x > 4 < ou > 1 x x x + 1 Faremos x + 1 = A, A 0 x = A 1 i) x A 1 A 1 < < + < 0 1 x A 1 A A A + 1 < 0 1 A ( A 1) < 0 ( 1 A) A 1 > 0 x + 1 > 1 x + 1 > 1 x > 0 ou ii) x A 1 > > 0 1 x A A + A > 0 (1 A) ( A 1)( A + ) > 0 (1 A) A + < 0 A < ( não pode, pois, A 0) Portanto, x > 0.

4 Sistema ELITE de Ensino IME - 016/017 Questão 0 Resolve o sistema de equações, onde x e y log (log x) log (log y) = 1 14 ( y x) = Fazendo a seguinte substituição: = a x b y =, b > 0 para que exista y log (log ) Temos que o sistema passa a ser: a b ( ) ( ) log log log log = 1 a b 14. = a b log ( ) ( ) = log log log 1 a b+ 14 = log ( ) ( ) = a log b 1 a b+ 14 = a log = 1 b a b + = 14 a = b 6b + a = 49 6b + b = 49 b + b 14 = 0 b = 11 ou b = 1 (não serve, pois b > 0) 6 b = 11 e a = Para os valores em x e y temos: 6 11 x = e y =. 4

5 Sistema ELITE de Ensino IME - 016/017 Questão 04 Classifique o sistema abaixo como determinado, possível indeterminado e impossível de acordo com os valores reais de m. ( m ) x + y z = m + 1 x + my + z = m + mx + ( m + 1) y + ( m + 1) z = m + m 1 m 1 = m = m p m m + m m 1 L por L L 1 L = ( m ) mm ( 1) ( m ) 4( m 1) = m m + m m 8 4m + 4 = mm ( m + ) = mm ( 1)( m ) i) Se m {0,1,} P 0 o Sistema é possível e determinado. ii) x + y z = 1 y + z = Se m = 0 x + z = z = y y + z = y + z = x = ( y) x = 4y 4 x = y todo termo da forma (y, y, y) é solução o Sistema é possível e indeterminado. iii) x + y z = 5y = 7 Se m = 1 x + y + z = incompatíveis 8y = = x 4y z 4 O sistema é impossível 5

6 Sistema ELITE de Ensino IME - 016/017 iv) y z = y z = Se m = x + y + z = 6 + incompatíveis y z = = 4x 6y z 11 o sistema é impossível Resumindo: m {0, 1, } Sistema possível e determinado m = 0 Sistema possível e indeterminado m {1, } Sistema impossível Questão 05 Sejam os complexos z = a + bi e w = 47 + ci, tais que z + w = 0. Determine o valor de a, b e c, sabendo que esses números são inteiros e positivos. Primeiramente: z + w = 0 a + a b. i ab b. i c. i = 0 a ab a b b + c. i = 0 ( ) ( ) ( ) a ab + 47 = 0 ( I) e a b b + c = 0 II a ab a b a, como a é um número inteiro, este De (I) temos: + = = ( ) é divisor de 47, logo: ( ) ( ) ( ) a = 1 47 = b 1 b = 48 b = 4 já que b é positivo ou a = 47 1 = b a b = 10 b. Como a= 1 eb = 4, temos em (II) que: c = 0 c = 5 Logo a = 1, b = 4 e c = 5. 6

7 Sistema ELITE de Ensino IME - 016/017 Questão 06 Enunciado Um triângulo ABC tem o seu vértice A na origem do sistema cartesiano, seu baricentro é o ponto D(,) e seu circuncentro é o ponto E(55/18,5/6). Determine: a equação da circunferência circunscrita ao triângulo ABC; as coordenadas dos vértices B e C. A) Circunferência com centro E e raio EA = + 50 x y = : x + y = B) 9 9 AM = AD = (,) =, M =, EM = + = + = + 1= EMC : MC = EC EM = = MC MC = EM 1 Colocando os pontos no plano de Argand-Gauss 7

8 Sistema ELITE de Ensino IME - 016/ MC = EM i x + ( y ) i = + i i x = x = x + ( y ) i = 1+ i i y = 1 y = 4 C = (, 4) B + C M = B = M C = (9, 6) (, 4) B = (6,) 8

9 Sistema ELITE de Ensino IME - 016/017 Questão 07 cos x sen x Se + = 1, calcule o valor S. cos y sen y cos y + cos y sen y sen y S = + cos x sen x cos x cos y senx + = 1 cos x seny + sen x cos y = sen y cos y seny = cosy 4 cos y cos y Sabendo que: sen sen 4 sen y = y y cos y + cos y seny seny Logo: = + cos x senx cosy + 4 cos y cos y seny seny + 4 sen y = + cosx senx cos y sen y =4 + = 4T cos x senx onde T cos y sen y sen x cos y + cos x sen y = + = cos x senx sen x cos x sen x cos y(1 sen y) + cos x sen y(1 cos y) T = sen x cos x sen y cos y sen x cosy + cos x sen y + ( sen y cos y) (sen x seny + cos x cos y) T = sen x cosx (sen x cos y + cos x sen y) (sen x seny + cos x cos y + 1) T = sen x cos x cos y seny T = + (sen x seny + cos x cos y + 1) cos x senx senx cos y cos x seny T = sen y cos y + cos y + + sen y + sen y cosy+ cos x cos x senx senx senx cos x sen x cos y + sen y cos x T = cos x senx sen y cos y sen x cos x 1 ( sen y cos y) T = 1 + sen y cos y + = 1 sen x cos x sen x cos x Logo = 4 9

10 Sistema ELITE de Ensino IME - 016/017 Questão 08 Seja A = {1,,,4}. Quantas funções de A para A têm exatamente elementos em seu conjunto imagem? Entre as 56 funções de A para A, sorteiam-se as funções f e g, podendo haver repetição. Qual a probabilidade da função composta f g ser uma função constante? (a) 4 6 Escolha de elementos na imagem: C = Total de funções com esta imagem: Total não serve = 4 (imagem com 1 elemento) = 14 Logo: n o de funções = 6 14 = 84 (b) A função g pode ter imagem com: (I) 1 elemento: n o funções g: 4 n o funções f: este elemento pode se corresponder com 4 elementos os outros elementos podem se corresponder com 4 elementos Logo: = 4 5 = 64 4 (II) elementos: n o funções g: 84 (item a acima) n o funções f: estes elementos podem se corresponder com 4 elementos. Os outros elementos podem se corresponder com 4 elementos. Logo: = = 6 4 (III) 4 elementos: n o funções g: 4! = 4 n o funções f: estes 4 elementos podem se corresponder com 4 elementos Logo: 4 4 =

11 Sistema ELITE de Ensino IME - 016/017 (IV) elementos: n o funções g: = = 144 n o funções f: estes elementos podem se corresponder com 4 elementos, o outro elemento pode se corresponder com 4 elementos. Logo: = Total de funções (f g = constante) = ( ) 4 = N o de casos possíveis = = P = = =

12 Sistema ELITE de Ensino IME - 016/017 Questão 09 Em um triângulo ABC, a medida da bissetriz interna AD é a média geométrica entre as medidas dos segmentos BD e DC, e a medida da mediana AM é a média geométrica entre os lados AB e AC. Os pontos D e M estão sobre o lado BC de medida a. Pede-se determinar os lados AB e AC do triângulo ABC em função de a. Aplicando o teorema das bissetrizes, temos: m = n = a m = ac e n = ab c b b + c b + c b + c Pelo teorema de Stewart nas cevianas AD e AM : ( mn) c b b c + = 1 + = am mn an an am b c + = b + c = a 1 ab ac a a b + c b + c ( bc ) ( ) c b a + = 1 b c = a a a a a a a a De ( 1 ) e ( ): b = e c =. 4 4 ( ) 1

13 Sistema ELITE de Ensino IME - 016/017 Questão 10 1 Em um cone equilátero são inscritas duas esferas de raios R e R, conforme a figura + 1 abaixo. Um plano secante ao cone é traçado de forma que este seja tangente às duas esferas. Determine em termos de R o maior segmento possível que une dois pontos da curva formada pela interseção do referido plano com o cone. Lema: Pelo teorema de Dandelin o corte na superfície cônica é uma elipse com eixo maior = a, onde DE = a A maior distância entre pontos desse corte é o eixo maior dessa elipse e, portanto, é igual a DE. r = tg 0 AD = r = r AD AD = R + 1 1

14 Sistema ELITE de Ensino IME - 016/017 R AE = tg 0 AE = R = R + + DE = AE AD = R R = R ( ) DE 6 = = = + 1 R R R Demonstração do lema: Seja P um ponto do corte e F 1 e F os pontos de contato do plano de corte com as esferas. PF 1 e PR são duas tangentes traçadas de P à esfera menor PF 1 = PR PF e PS são duas tangentes traçadas de P à esfera maior PF = OS PF 1 + PF = PR + PS = RS = DE L.G. de P: Elipse de focos F 1 e F e eixo maior DE. 14

15 Sistema ELITE de Ensino IME - 016/017 Comentário da prova Nesse ano a prova veio abrangente, cobrando vários tópicos do ensino médio como matrizes, inequações, logaritmos, sistemas, números complexos, geometria analítica, trigonometria, análise combinatória e geometria plana, além de tópico raros no ensino médio, como seções cônicas e teorema de Dandelin. O nível de dificuldade veio difícil quando comparado a outros vestibulares e moderado quando comparado a outros anos do IME, possibilitando uma boa distribuição de notas entre os candidatos. As questões mais fáceis são a 1 e a 4 e as mais difíceis são a 7 e a 8. A questão 10 foi muito acessível para o candidato que soubesse o teorema de Dandelin. Mais uma vez queremos parabenizar a banca por uma bela prova que selecionará os melhores candidatos. Equipe de Matemática Álvaro Neto André Felipe Kessy Jhones Marcelo Xavier Rafael Sabino Ricardo Secco 15

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