INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

Transcrição

1 Capítulo 6 INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 6.1 Introdução Na primeira parte do capítulo mostraremos como obter uma função conhecendo apenas a sua derivada. Este problema é chamado de integração indefinida. Definição 6.1. Uma função F() é chamada uma primitiva da função f() no intervalo I se para todo I,tem-se: F () = f() Muitas vezes não faremos menção ao intervalo I, mas a primitiva de uma função sempre será definida sobre um intervalo. Eemplo 6.1. [1] Seja f() =, então: F() = 4 4 é uma primitiva de f em R, pois F () = = f(). Por outro lado, F() = é também uma primitiva de f em R,pois F () = = f(). Naverdade,: F() = c, c R é primitiva de f pois F () = = f(). [] Seja f() = cos(), então F() = sen() + c, paratodo c R éumaprimitiva de f. Defato, F () = cos() = f(). [] Seja: f() = { 1 [a,b] 0 / [a,b]. 59

2 60 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Nãoeistefunçãodefinidaemtodo Rcujaderivadasejaigualaf(). Poroutrolado,considere a seguinte função: 0 < a F() = a [a,b] b a b. F() é uma função contínua em todo R e F () = f() se (a,b). Logo, F é uma primitiva de f em (a,b). Em geral, uma função f admite uma infinidade de primitivas sobre um intervalo. É o que assegura a seguinte proposição: Proposição 6.1. Seja F umaprimitiva da função f nointervalo I. Então, G() = F() + c, c R, é também primitiva de f no intervalo I. A pergunta natural que surge, a seguir, é: se F e G são primitivas de uma função f sobre um intervalo,seráque F e Gestãorelacionadasdealgumaforma? Arespostaaestaquestãoédada pela seguinte proposição: Proposição 6.. Se F e G são primitivas de uma função f numintervalo I, então eiste c R tal que G() = F() + c, para todo I. Prova: Seja H() = F() G(); então,paratodo I,temosque: H () = F () G () = = f() f() = 0. ComoconsequênciadoTeoremadoValorMédio,paratodo I, H() = c; então,paratodo I, F() G() = c. Em outras palavras, duas primitivas de uma função diferem por uma constante. Logo, se conhecemos uma primitiva de uma função, conhecemos todas as primitivas da função. De fato, basta somar uma constante à primitiva conhecida para obter as outras. Eemplo 6.. [1] Seja f() = cos(). Uma primitiva destafunção é F() = sen(); logo, todaprimitiva de f édotipo G() = sen() + c, c R Figura 6.1: Gráficos de f e algumas primitivas de cos(). [] Seja f() = e a, a 0. Uma primitiva destafunção é F() = ea a ; logo, todaprimitiva de f édotipo G() = ea a + c, c R.

3 6.1. INTRODUÇÃO 61 Definição 6.. Seja F() uma primitiva da função f() no intervalo I. A epressão F() + c, c R échamada aintegral indefinidadafunção f eédenotada por: f() = F() + c Isto é: f() = F() + c F () = f() em particular: f () = f() + c. Teorema 6.1. (Linearidade da Integral) Sejam F, G primitivas de f e g, respectivamente, num intervalo e α, β R. Então, α F + β G éumaprimitiva de α f + β g, e: [α f() + β g() ] = α f() + β g() Prova: Se F e Gsãoprimitivas de f e g, respectivamente,então α F() + β G() éprimitiva de α f() + β g(); logo: [α f() + β g() ] = ( α F() + β G() ) + c = α ( F() + c1 ) + β ( G() + c ) = α f() + β g(). Eemplo 6.. Calcule as seguintes integrais: [sec()tg() ] [1] + cos(). [10e [] ]. [] sen (). [1] Usando o Teorema, podemos decompor a integral em duas outras integrais: [sec()tg() ] + cos() = sec()tg() + cos(). Sabemos que [ sec() ] = sec()tg() e (sen()) = cos(), então: [sec()tg() ] + cos() = sec()tg() + cos() = sec() + sen() + c.

4 6 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA [] Usando o Teorema de linearidade, podemos escrever a integral como: [10e ] = 10 e + 4. Como [ e ] = e e 4 [ 4 ] = 1 4, então: [10e ] = 10e c. [] Observeque sen () = 1 (1 cos()); logo: sen () = 1 (1 cos()) = sen() + c. 4 Observações Assim o processo de integrar se reduz a descobrir uma função conhecendo apenas sua derivada; usando a tabela de derivadas do capítulo anterior, obtemos uma lista de integrais chamadas imediatas. Esta lista pode ser comprovada derivando cada resultado da integral e consultando a tabela de derivada. Por eemplo, na tabela de derivadas do capítulo anterior temos que: (arctg()) = ; então, = arctg() + c No entanto, não incluimos como imediatas, por eemplo, integrais do tipo ln(), pois não é evidente encontrar uma função que tem como derivada ln(). Para resolver este impasse, estudaremos os chamados métodos de integração, que nos permitirão calcular integrais não imediatas. 6. Tabela Usaremos como variável independente u. 1. du = u + c 5. e u du = e u + c.. 4. du u = ln( u ) + c u α du = uα+1 + c, α R { 1} α + 1 a u du = au + c, a > 0,(a 1) ln(a) sen(u)du = cos(u) + c cos(u) du = sen(u) + c sec (u) du = tg(u) + c

5 6.. MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO cosec (u) du = cotg(u) + c sec(u)tg(u) du = sec(u) + c cosec(u)cotg(u) du = cosec(u) + c du 1 u = arcsen(u) + c du 1 + u = arctg(u) + c du u u 1 = arcsec(u) + c senh(u)du = cosh(u) + c cosh(u) du = senh(u) + c sech (u) du = tgh(u) + c cosech (u) du = cotgh(u) + c sech(u)tgh(u) du = sech(u) + c cosech(u) cotgh(u)du = cosech(u) + c du 1 + u = argsenh(u) + c du u 1 = argcosh(u) + c du u 1 u = argsech( u ) + c 6. Métodos de Integração Nas próimas seções apresentaremos os métodos mais utilizados que nos permitirão determinar uma grande quantidade de integrais não imediatas. O primeiro a ser estudado se baseia na regra da cadeia. 6.4 Método de Substituição Sejam F uma primitiva de f num intervalo I e g uma função derivável tal que F g esteja definida. Usandoaregradacadeia;temos, ( F(g()) ) = F (g()) g () = f(g()) g (). Logo, F(g()) éuma primitiva de f(g()) g (), então: f(g()) g () = F(g()) + c; fazendo u = g(), tem-se du = g (); substituindona epressãoanterior: f(g()) g () = f(u)du = F(u) + c Eemplo 6.4. Calcule as seguintes integrais: [1] 1 +.Fazendo u = 1 +, então du =. Substituindonaintegral: du 1 + = u = ln( u ) + c = ln( + 1) + c.

6 64 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA [] [] sen ()cos(). Fazendo u = sen(),então du = cos(). Substituindonaintegral: sen ()cos() = u du = u + c = sen () + c. ( + 7) 7. Fazendo u = + 7, então du = ou, equivalentemente, du =. Substituindo na integral: [4] sec ( ) ( + 7) 7 = du u 7 = 1 du u 7 = 1 18u 6 + c = 1 18( + 7) 6 + c.. Fazendo u =,então du =. Substituindonaintegral: sec ( ) = sec (u) du = tg(u) + c = tg( ) + c. ln() [5]. Fazendo u = ln(), então du =. Substituindonaintegral: ( ) ln() = udu = u ln() + c = + c. [6] tg(α ); α R. Reescrevemos a integral fazendo: tg(α ) = sen(α). Se u = cos(α), cos(α) então du = α sen(α) ou,equivalentemente, du = sen(α). Substituindonaintegral: α sen(α) tg(α ) = cos(α) = 1 du α u = 1 α ln( u ) + c = 1 ln( cos(α) ) + c. α [7] + a; a 0. Reescrevemosaintegralcomo: + a = 1 a. a + 1 Fazendo u = a,então du = a. Substituindonaintegral: + a = 1 a du u + 1 = 1 a arctg(u) + c = 1 a arctg( ) + c. a Muitas vezes, antes de efetuar uma substituição adequada, é necessário fazer algumas manipulações, como, por eemplo, o completamento de quadrados. [8] Calcule Completandoosquadrados = ( + 1) + ; então, = ( + 1) +. Fazendo u = + 1, teremos du =. Substituindonaintegral: du u + = 1 arctg( u) 1 + c = arctg( + 1) + c.

7 6.5. OUTROS TIPOS DE SUBSTITUIÇÕES Outros Tipos de Substituições A seguir apresentamos alguns eemplos do método de substituição, onde a susbtituição não é imediata. Eemplo 6.5. Calcule as seguintes integrais: [1]. Fazendo u = + 1,então = u 1edu = ; [] = + 1 (u 1) du = u u + c = ( + 1)/ c Fazendo u = 1 +,então = (u 1) e = (u 1) du; [] (u 1) 1 + = du = u (u u + 1)u 1 du = 6 ( u 5/ = 6 ( 1 (1 + ) 5 5 (1 + ) ) + c. 5 u/ + u ) + c Seja u = ( + ); então, = u e = u du; + 1 = u 6 6u = + [4] dy = 40 (u 6 6u + 10)u du = ( + ) ( ) + c. (u 7 6u u)du = u8 8 18u5 + 15u + c 5 y y 1. Fazendo u = y 1, u = y 1 e y = u + 1. Logo, udu = y dy e y dy = udu. dy y y 1 = y y y 1 dy = du u + 1 = arctg(u) + c = arctg( y 1) + c. 6.6 Integrais de Produtos e Potências de Funções Trigonométricas Nos seguintes eemplos, são utilizadas identidades trigonométricas elementares. Eemplo 6.6. Calcule as seguintes integrais: [1] sen(α )sen(β ). Se α β,utilizamos : sen(α )sen(β ) = cos( (α β)) cos ( (α + β)) ;

8 66 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA então: (cos ( (α β)) cos ( (α + β)) ) sen(α)sen(β ) = 1 = 1 (sen ( (α β)) α β Se α = β,utilizamos sen 1 cos(α ) (α ) = ; então: sen (α ) = 1 [] (1 cos(α ) ) = 1 sen( (α + β)) ). α + β ( sen(α) ) a sen ()cos 5 (). Como sen ()cos 5 () = sen () ( 1 sen () ) cos(), fazendo u = sen(), temos du = cos() e: sen ()cos 5 () = sen ()(1 sen ()) cos() = u (1 u ) du = (u u 4 + u 6 )du = u u5 5 + u7 7 + c [] [4] = sen () sen5 () 5 + sen7 () 7 + c. tg (). Fatorando tg () = tg()tg () = tg() ( sec () 1 ) ; sec(). tg () = sec() = (tg()sec () tg() ) = 1 ( tg () + ln ( )) cos() + c. sec() ( tg() + sec() ) sec()tg() + sec () =. tg() + sec() tg() + sec() Fazendo u = sec() + tg(), temos du = (sec()tg() + sec ()). Substituindonaintegral: sec()tg() + sec () = tg() + sec() du u = ln( u ) + c = ln( sec() + tg() ) + c. Estes eemplos nos mostram que para determinar a primitiva de uma integral que envolve produtos ou potências de funções trigonométricas é necessário, em primeiro lugar, transformar a função a integrar por meio de identidades trigonométricas conhecidas, para depois usar alguns dos métodos. 6.7 Método de Integração por Partes Sejam f e g funçõesderiváveis no intervalo I. Derivando oproduto f g: ( f()g() ) = f ()g() + f()g (),

9 6.7. MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES 67 ou,equivalentemente, f()g () = (f()g()) f ()g(). Integrandoambos oslados: f()g () = f()g() f ()g() ; fazendo: u = f()edv = g (), temos: du = f () e v = g(). Logo: f()g () = udv = uv Estemétododeintegração nospermitetransformar aintegração de udv naintegração de v du. É importante saber escolher a substituição u e dv na integral de partida. Devemos escolher v tal que permita determinar v. As epressõesde u e v devem ser mais simples que as de u e v,respectivamente. Eemplo 6.7. Calcule as seguintes integrais: [1] ln(). Façamos u = ln()edv = ; então, du = e v = ;logo: ln() = udv = uv v du = ln() = ln() + c. [] [] v du e. Façamos u = e dv = e ; então, du = e v = e ;logo: e = udv = uv v du = e 1 e = e e 4 + c. sen(). Façamos u = e dv = sen(); então, du = e v = cos(); logo: sen() = udv = uv v du = cos() + cos(). Calculemos agora du = e v = sen();logo: cos(),novamenteporpartes. Fazendo u = edv = cos(),temos cos() = udv = uv v du = sen() sen() = sen() + cos(). Então: [4] sen() = cos() + (sen() + cos()) + c. e a sen(b); a,b 0. Façamos u = e a e dv = sen(b); então, du = ae a e v = cos(b) ; logo: b e a sen(b) = udv = uv v du = ea cos(b) b + a b e a cos(b). (6.1)

10 68 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Calculemos e a cos(b),novamenteintegrandoporpartes. Fazendo u = e a e dv = cos(b), temos du = ae a e v = sen(b) ;logo: b e a cos(b) = udv = uv v du = ea sen(b) a b b Denotemospor I = e a sen(b). Então,de6.1e6., temos: I = aea sen(b) b ea cos(b) b a b I e a sen(b). (6.) Pois a última integral é eatamente a integral procurada e podemos passá-la ao outro lado da igualdade: Logo, [5] ( 1 + a ) ae a sen(b) I = b b e a sen(b) = ea cos(b) b cos( ). Aquiusamososdoismétodos: = I = ea a + b [ asen(b) bcos(b) ]. ea a + b [ asen(b) bcos(b) ] + c. Substituição: seja t = ;então, dt = ou dt = ; cos( ) = 1 t cos(t)dt. Integrandoporpartes,fazemos u = tedv = cos(t)dt; então, du = dt e v = sen(t): [6] cos( ) = 1 t cos(t)dt = 1 udv = 1 ( uv v du ) = 1 (t sen(t) sen(t)dt) = 1 (cos( ) + sen( )) + c. e. Aquiusamos,novamente,osdoismétodos: Substituição: seja t = ;então, dt = ou dt = ; e = 1 t e t dt. Integrandoporpartes: fazemos u = t e dv = e t dt; então, du = dt e v = e t : e = 1 t e t dt = 1 udv = 1 ( uv v du ) = 1 ( t e t e t dt ) = 1 (t et e t ) = e ( 1) + c.

11 6.8. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 69 [7] sen( ). Aquiusamos,novamente,osdoismétodos: Substituição: seja t = ;então, dt = 4 ou dt 4 = e = t ; sen( ) = 1 t sen(t)dt. 8 Integrandoporpartes: fazemos u = tedv = sen(t)dt; então, du = dt e v = cos(t): sen( ) = 1 t sen(t)dt = 1 udv = 1 ( uv v du ) = 1 8 (sen( ) cos( )) + c. 6.8 Método de Substituição Trigonométrica Este método é usado quando a epressão a integrar envolve alguns dos seguintes tipos de radicais: a u, a + u, u a, onde a > 0. Caso 1: a u Para π θ π, seja u = asen(θ);então, du = acos(θ)dθ. Logo a u = acos(θ). a θ a u u u = asen(θ) du = acos(θ)dθ a u = a cos(θ) Caso : a + u Para π < θ < π, seja u = atg(θ); então, du = asec (θ)dθ. Logo a + u = asec(θ). a u θ a u u = atg(θ) du = asec (θ)dθ a + u = a sec(θ)

12 70 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Caso: u a Para 0 θ < π ou π θ < π u a = a tg(θ)., seja u = asec(θ); então, du = asec(θ)tg(θ)dθ. Logo u θ a u a u = asec(θ) du = asec(θ)tg(θ)dθ u a = a tg(θ) Eemplo 6.8. Calcule as seguintes integrais: [1] a. Seja = asen(θ);então, = acos(θ)dθ; ( π θ π ) e a = acos(θ). ( a = a cos (θ)dθ = a 1 + cos(θ) ) a dθ = = a ( ) θ + sen(θ)cos(θ). ( sen(θ) ) θ + a = asen(θ)e π θ π ; então, θ = arcsen( θ ); estamosno caso1: c ; a onde c = a ; logo, sen(θ) = a a e cos(θ) =. Substituindo no resultado da a integral: [] ( + ). a = a ( () arcsen + a a a ) + c. Seja = tg(θ); então, = sec (θ)dθ; ( π < θ < π ). Em tal caso ( + ) = ( sec(θ)) : sec ( + ) = (θ) sec (θ) dθ = 1 dθ sec(θ) = 1 cos(θ)dθ = 1 sen(θ) + c.

13 6.8. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 71 Estamos no caso : d θ a ; onde a = e d = +. Logo, sen(θ) = +. Substituindo: ( + ) = + + c. [] Seja = 4 sen(θ);então, = 4 cos(θ)dθ; ( π < θ < π ). Nestecaso, 16 9 = 4cos(θ): = dθ = θ + c. a θ 16 9 Estamosnocaso 1: c ; onde c = ;logo, sen(θ) = 4 ; então, θ = arcsen( ). Substituindono resultadodaintegral: 4 = arcsen( ) + c. 4 [4] I = 9 1. Reescrevendo a integral: I = 9( 1 9 ). Seja = 1 sec(θ); então, = 1 sec(θ)tg(θ)dθ; ( 0 < θ < π 1 9 = 1 9 (sec (θ) 1) = 1 9 tg (θ): 9 1 = 1 sec(θ) tg(θ) dθ = 1 ) π ou (π < θ < ). Neste caso, cosec(θ) dθ = 1 ln( cosec(θ) cotg(θ) ) + c. Estamosnocaso : cotg(θ) = [5] θ e 1/ ; onde e = 1 ; logo, cosec(θ) = Substituindonoresultadodaintegral: e 9 1 = 1 ln( cosec(θ) cotg(θ) ) + c = 1 6 ln( 1 ) + c. + 1

14 7 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Seja = 4sec(θ); então, = 4sec(θ)tg(θ)dθ; ( 0 < θ < π ou π < θ < π 16 = 4tg(θ) e: ). Neste caso 16 = 1 64 dθ sec (θ) = 1 ( ) θ + sen(θ)cos(θ) + c. 18 Estamos no caso : θ 4 e ; onde e = 16; logo, sen(θ)cos(θ) = Para calcular θ,devemostercuidado,pois 16 édefinidapara > 4e < 4. Se > 4, então sec(θ) = 4 > 1 e θ = arcsec( ) π,onde 0 < θ < 4. Se < 4, então sec(θ) = 4 < 1eθ = arcsec( ) π, onde 4 < θ < π. Mas π < θ < π e sec(π θ) = sec(θ); logo, para < 4, θ = π arcsec( ), onde 4 π < θ < π ; substituindonoresultadodaintegral: i) > 4: 16 = 1 18 ii) < 4: 16 = 1 18 [6]. (5 4 ) ( () 4 16) arcsec + + c. 4 ( () 4 16) arcsec + + c1 4, onde c 1 = π 64 + c. Primeiramente completamos os quadrados: 5 4 = 9 ( + ) ; fazendo u = +, temos du =. Substituindo na integral: du =. (5 4 ) (9 u ) Seja u = sen(θ);então du = cos(θ)dθ; ( π < θ < π ) e (9 u ) = 7cos (θ). = 1 sec (θ)dθ = tg(θ) + c. (5 4 ) 9 9 Estamosno caso1: tg(θ) = [7] u 9 u = Substituindonoresultadodaintegral: (5 4 ) = c. Completando os quadrados: = 4( + 1) + 1; fazendo u = + 1, temos du =. Substituindo na integral:

15 6.9. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS = (u 1) 4u + 1 du. Seja u = tg(θ) ;então du = 1 sec (θ)dθ e 4u + 1 = sec(θ): (u 1) 4u + 1 du = 1 4 (tg(θ)sec(θ) sec(θ) ) dθ = 1 4 sec(θ) 1 ln( sec(θ) + tg(θ) ) + c. Estamosnocaso: tg(θ) = u = (+1)esec(θ) = Substituindonoresultado da integral: = ln( ( + 1) ) + c. 6.9 Método para Integração de Funções Racionais Um polinômio P() de coeficientes reais pode ser sempre epresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos. Naturalmente esta decomposição depende essencialmente do grau de P(). i) P() = ( a 1 )( a )...( a n )ou ii) P() = ( a) r ( b 1 )...( b s )ou iii) P() = (a + b + c)( d 1 )...( d l )ou iv) P() = (a + b + c) r ( d 1 )...( d l ). Eemplo 6.9. [1] P() = + = ( )( 1). [] P() = = ( + 1) ( + ). [] P() = + 1 = ( + 1)( 1). [4] P() = = ( + 1) 5 ( )( + 4). Seja uma função racional P(). A decomposição de uma função racional em frações mais Q() simples, depende do modo em que o polinômio Q() se decompõe em fatores lineares e/ou quadráticos. Se numa função racional o grau de P() é maior ou igual ao grau de Q(), então podemos dividir os polinômios. De fato, se grau(p()) grau(q()) então onde grau(r()) < grau(q()); então: Logo,bastaestudaro caso emque: P() = Q()A() + R(), P() R() = A() + Q() Q(). grau(p()) < grau(q()), pois, caso contrário efetuamos a divisão dos polinômios.

16 74 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Caso 1: Q() se decompõe em fatores lineares distintos. Então: onde a i Rsãodistintosdoisadois;então Q() = ( a 1 )( a )...( a n ) f() = P() Q() = A 1 ( a 1 ) + A ( a ) A n ( a n ) onde A 1, A,...A n são constantesadeterminar. P() f() = Q() = A 1 ( a 1 ) + A Calculemos I = ( a i ). Fazendo u = a i ; então, I = ( a ) A n du u = ln( u ) + c = ln( a i ) + c; logo: f() = A 1 ln( a 1 ) + A ln( a ) A n ln( a n ) + c onde A 1, A,...A n são constantesadeterminar. Eemplo Calcule as seguintes integrais: + 5 [1] I = Observe que grau(p()) > grau(q()). Dividindo os polinômios: = ( + ) + A seguir, aplicamos o método à última parcela da direita: Calculemos I = ( + ) = Fatorando: + 10 = ( + 5)( ); temos: = A A = A 1 ( ) + A ( + 5) ( a n ). Comparandoosnumeradores: = A 1 ( )+A (+5). Asraízesdopolinômio Q()são = e = 5; agorasubstituimoscadaraiz naúltima epressão. Se = teremos 4 = 7A e A = 4 7. Se = 5, então 17 = 7A 1 e A 1 = 17. Logo, podemos decompor a fração inicial 7 em:

17 6.9. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 75 Então, pelo Caso 1: + 10 = 17 7( + 5) + 4 7( ). 17 = ln( + 5 ) + 4 ln( ).Aintegralprocuradaé: 7 I = ln( + 5 ) + 4 ln( ) + c [] I =. 8 Note que grau(p()) = grau(q()). Dividindo os polinômios: = 5( 8) + (4 8 16). Então: = I = 5 + = Aplicando o método à última parcela da direita, calculemos II = 8. Primeiro observemosque 8 = ( 4)( + ): = A 1 + A 4 + A + = A 1 ( 4)( + ) + A ( + ) + A ( 4). 8 Comparando os numeradores: = A 1 ( + )( 4) + A ( + ) + A ( 4); as raízes do polinômio Q()são = 0, = 4 e = ; agorasubstituimoscada raiz na última epressão. Se = 0, então, A 1 = ; se = 4 então, A = 8 e se =, então, A = 14. A fração inicial pode ser decomposta em: = 8 ( 4) + 14 ( + ). Pelo Caso1, temos: II = ln( ) 8 ln( 4 ) + 14 I = 5 + ln( ) 8 ln( 4 ) + 14 ln( + ) + c. Aintegralprocuradaé: ln( + ) + c. Nos eemplos anteriores a forma de determinar os coeficientes é equivalente a resolver um sistema de equações. Consideremos o eemplo[]: = A 1 ( + )( 4) + A ( + ) + A ( 4).

18 76 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Ordenando o segundo membro em potências de, temos: = (A 1 + A + A ) + + ( A 1 + A 4A ) 8A 1. Comparando os polinômios e sabendo que dois polinômios são iguais se e somente se os coeficientes dos termos do mesmo grau são iguais, temos que resolver o seguinte sistema: A 1 + A + A = 4 A 1 A + 4A = 8 8A 1 = 16, quetemcomo solução: A 1 =, A = 8 e A = 14. du [] u a, a 0. grau(p(u)) < grau(q(u)); e u a = (u a)(u + a); aplicando ométodo: 1 u a = A 1 u a + A u + a = A 1(u + a) + A (u a) u a. Comparando os numeradores: 1 = A 1 (u + a) + A (u a); as raízes do polinômio Q(u) são u = a e u = a; agora substituimos cada raiz na última epressão. Se u = a, então, A 1 = 1 a e se u = a,então, A = 1. Afração inicial podeserdecompostaem: a 1 u a = 1 a(u a) 1 a(u + a). Pelo Caso 1, temos: du u a = 1 ( ) 1 ln( u a ) ln( u + a ) + c = a a ln( u a ) + c u + a Aplicamos esta última fórmula para completamento de quadrados. Eemplo Calcule as seguintes integrais: [1] 4. Como 4 = ( ) 4: 4 = ( ) 4. Fazendo u =, temos du =. Substituindo: 4 = du u 4 = 1 4 ln( u ) + c = 1 u + 4 ln( 4 ) + c, onde as últimas igualdades são obtidas pela fórmula anterior.

19 6.9. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 77 [] 5 4. Completando os quadrados 5 4 = 9 ( + ) e fazendo u = +, temos du =. Substituindo: 5 4 = du u 9 = 1 6 ln( u ) + c = 1 u + 6 ln( 1 ) + c, + 5 onde as últimas igualdades são obtidas pela fórmula anterior. Caso : Q() se decompõe em fatores lineares, alguns deles repetidos. Seja a i o fator linear de Q() de multiplicidade r e r a maior potênciada fatoração. Então, a cada fator linear repetido associamos uma epressão do tipo: B 1 ( a i ) + B ( a i ) B r ( a i ) r onde B 1, B,...B r sãoconstantesadeterminar. Emtalcaso,integrandoestaepressãoobtemos: B 1 ln( a i ) B B r a i (1 r)( a i ) r 1 Os fatores lineares não repetidos são tratados como no caso 1. Eemplo 6.1. Calcule as seguintes integrais: [1] + +. Como grau(p()) < grau(q())e + + = (+1). Ofator (+1)temmultiplicidade eofator écomono caso = A 1 + B B ( + 1). Comparando os numeradores: = A 1 ( + 1) + B 1 ( + 1) + B. As raízes do polinômio Q() são: = 0 e = 1; agora, substituimos cada raiz na última epressão. Se = 0, então A 1 = e se = 1, então B = 1. Falta determinar B 1. Para calcular o valor da constante B 1, formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientesdos polinômios = (A 1 + B 1 ) + (A 1 + B + B 1 ) + A 1 ; então: A 1 + B 1 = A 1 + B + B 1 = 4 A 1 = Como sabemososvalores de A 1 e B obtemos,facilmente, B 1 = 1; então:

20 78 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA logo, [] = ( + 1) ; = ln( + ) c Como grau(p()) < grau(q()); 4 4 = ( )( + ). O fator temmultiplicidade eosfatores, + sãocomo nocaso 1. Comparando os numeradores: = A 1 + A + + B 1 + B. + 1 = A 1 ( + ) + A ( ) + B 1 ( + )( ) + B ( )( + ); as raízes do polinômio Q() são: = 0, = e =. Agora substituimos cada raiz na última epressão. Se = 0, então B = 1 4 ; se =, então A 1 = 1 16 e se =, então A = Falta determinar B 1. Para calcular o valor daconstante B 1, formamos o sistemade equaçõesobtido da comparação dos coeficientes dos polinômios. + 1 = (A 1 + A + B 1 ) + (A 1 A + B ) +...; notequeocoeficientedapotênciacúbicanosdáovalorde B 1. Defato,sendo A 1 +A +B 1 = 1, então B 1 = 4. logo: = 1 16( ) ( + ) ; = 1 16 ln( ) ln( + ) 4 ln( ) c. Caso : Q() se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sendo que os fatores quadráticos não se repetem Acada fator quadrático a + b + cde Q()associamos umaepressãodotipo: C + D a + b + c onde C, D sãoconstantesadeterminar. Osfatoreslineares são tratadoscomo nocaso 1e. Eemplo 6.1.

21 6.9. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 79 Calcule as seguintes integrais: [1] Calcule I = Primeiramente observamosque grau(p()) < grau(q()). Fatorando = = ( + 1)( + 4). Oúnicofatorquadrático irredutívelé + 4; ofator + 1écomo nocaso 1. Comparando os numeradores: = A C + D = A 1 ( + 4) + (C + D)( + 1) = (A 1 + C) + (C + D) + 4A 1 + D. A raiz real dopolinômio Q()é = 1; agorasubstituimosestaraiz naúltimaepressão. Se = 1, então A 1 = 5. Formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios: A 1 + C = 8, logo C = ec + D = implica em D = 0. Portanto: I = 5ln( + 1 ) = = ln( ( + 1)5 ( + 4) ) + c, onde a última integral é resolvida usando substituição simples. [] Calcule I = Primeiramente observamosque grau(p()) < grau(q()). Fatorando + + = = ( 1)( + +). Oúnicofatorquadráticoirredutívelé + +. Ofator 1écomo no caso1. Comparando os numeradores: = A C + D = A 1 ( ++)+(C+D)( 1) = (A 1 +C) +(A 1 C +D)+A 1 D; a raiz real do polinômio Q() é = 1; substituindo esta raiz na última epressão: Se = 1, então A 1 = 11. Formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos 6 polinômios: A 1 + C = ; logo C = 1 6 e A 1 D = 4; logo D =. Então: logo: = 11 6( 1) + 1 ( + 9 ) ; I = 11 6 ln( 1 ) , onde a última integral é resolvida usando substituições; de fato: + + = ( + 1) +. Então,considere u = + 1; logo du = e:

22 80 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA + 9 u = u + du = A segunda integral é imediata, pois: u u + du + 8 u + du. 8 u + du = 8 arctg ( u ) + c1 = 8 arctg ( + 1 ) + c1. Naprimeiraintegralfazemos t = u + ; logo dt = udu: u u + du = 1 dt t = 1 ln( t ) + c = 1 ln( + + ) + c e: [] Calcule I = I = 11 6 ln( ) ln( + + ) + arctg( + 1) + c ( + 1)( ). Observemos que grau(p()) < grau(q()); + 1 e são fatores quadráticos irredutíveis. Temos: Comparando os numeradores: ( + 1)( ) = C 1 + D 1 + C + D = (C 1 + C ) + (4C 1 + D 1 + D ) + (1C 1 + 4D 1 + C ) + (1D 1 + D ). Formando o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios: C 1 + C = 4C 1 + D 1 + D = 0 1C 1 + 4D 1 + C = 11 1D 1 + D = 16 Resolvendoosistema: C 1 = 1, D 1 = 1, C = ed = ; logo: ( + 1)( ) = Integrando, após a decomposição da função integranda, obtemos quatro integrais, a primeira é resolvida por substituição simples, a segunda é imediata, a terceira e quarta são resolvidas por completamento de quadrados. I = ln(( ) + 1) 7 arctg( + ) arctg() + c.

23 6.9. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 81 Caso 4: Q() se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sendo que alguns dos fatores quadráticos se repetem Se um fator quadrático a + b + c de Q() tem multiplicidade k, a esse fator quadrático associamos uma epressão do tipo: C 1 + D 1 a + b + c + C + D (a + b + c) C k + D k (a + b + c) k onde C i, D i são constantes a determinar, i = 1,...,k. Os outros fatores são tratados como nos casos 1, e. Eemplo Calcule as seguintes integrais: + + [1] Calcule ( + 1). Primeiramente observamos que grau(p()) < grau(q()) e + 1 é o único fator quadrático irredutível, de multiplicidade. Comparando os numeradores: + + ( + 1) = A + C 1 + D 1 + C + D + 1 ( + 1). ++ = (A+C 1 ) 4 +D 1 +(A+C 1 +C ) +(D 1 +D )+A. Formandoeresolvendo o sistema de equações obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios e lembrando que Q() tem uma raiz real = 0, obtemos, A =, C 1 =, D 1 = 1, C = e D = 0. Logo: + + ( + 1) = ( + 1). Calculando as integraiscorrespondentes: [] Calcule I = + + ( + 1) = ln( ( + ). + 1 ) + arctg() c. Primeiramente observamos que grau(p()) < grau(q()) e + é o único fator quadrático irredutível, de multiplicidáde ( + ) = A + B + + C + D ( + ) + E + F ( + ). Formando e resolvendo o sistema de equações obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios; obtemos, A = 1,B=1,E = 4eC = D = F = 0. Logo: I = ( + ), e: I = ln( + ) + arctg( ) 1 ( + ) + c.

24 8 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 6.10 Mudança: Tangente do Ângulo Médio Se a função integranda envolve epressões do tipo: a + bsen(), a + bcos() ou combinações destas,utilizamos amudança u = tg ( ) ; logo: Por eemplo: sen() = u 1 u du 1 + u, cos() = e = 1 + u 1 + u. a + bsen() = du a(1 + u ) + bu, a + bcos() = du a(1 + u ) + b(1 u ). Eemplo [1] Calcule. Nestecaso a = eb=1; logo: + sen() [] Calcule + sen() = = du u + u + 1 = 1 cos() + sen(). du ( 1) u () arctg ( (tg + 1) ) + c. = arctg ( (u + 1) ) + c Utilizando as mudanças: 1 cos() + sen() = du u(u + 1) = (1 u 1 )du; logo: u + 1 ( 1 cos() + sen() = 1 u 1 ) du u + 1 = ln ( u ) ( 1 cos() ) + c = ln + c. u cos() + sen() 6.11 Aplicações da Integral Indefinida Obtenção de Famílias de Curvas Seja y = f() uma função derivável. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (,f()) é f (). Inversamente, se um coeficiente angular é dado por m = f (), por integração determina-se uma família de funções: y = f() + c, onde c é uma constante arbitrária. Eemplo 6.16.

25 6.1. OUTRAS APLICAÇÕES 8 [1] Obtenha a equação de uma família de curvas, sabendo que o coeficiente angular da reta tangenteàcada curva, numponto,é igual a menosduasvezes a abscissa doponto. Obtenhaa equação dacurva quepassapeloponto (1,1). Temos y = ; integrando: y = = + c. Noponto (1,1), tem-se 1 = y(1) = 1 + c;então, c = ey = +. [] Em todosos pontosde uma curva y = f() tem-se que y = 1. Obtenha a equação da curva,seestapassapeloponto (1,1)earetatangentenessepontoéparalelaàreta +1y = 1. Temos y = 1; integrando: y = ( 1) = + c. O coeficiente angular da reta: + 1y = 1 é 1 e a reta tangente à curva no ponto (1,1) é 1 paralela a estareta: 1 1 = y (1) = c;logo, c = 7 1 e y = Integrando novamente: y = c (vermelho). Usando o fato de que y(1) = 1 1 temos c = 5 6 e y = (azul) Figura 6.: Eemplo[]. 6.1 Outras aplicações Eemplo [1]Ataadeproduçãodeumaminadecobre tanosapósaetraçãotercomeçadofoicalculada como R(t) = 50te 0.1t mil toneladas por ano. Determine a produção total de cobre ao final do ano t.

26 84 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Seja P = P(t) a produção total ao final do ano t; então, a taa de produção é P = P (t); logo, P (t) = R(t) = 50te 0.1t ;integrando: P(t) = 50 t e 0.1t dt + c = 5000e 0.1t (0.1t 1) + c. Ao final do ano zero a produção é zero; logo, P(0) = 0, donde obtemos c = 5000; portanto, a produçãototaldecobre ao final doano t édadapor: P(t) = 5000e 0.1t (0.1t 1) [] A temperaturade um líquido é 75 o. Coloca-se o líquido em um depósitocuja temperatura, mantida constante é igual a 5 o. Passados 5 minutos a temperatura do líquido é 50 o. Sabendo que a velocidade de resfriamento é proporcional à diferença que eiste entre a temperatura do líquido eadodepósito,qualéatemperaturadolíquido após 15 minutos? Seja T = T(t) a temperatura do líquido no instante t, T(0) = 75 o e T(5) = 50 o. A velocidade de resfriamento é proporcional à diferença que eiste entre a tenperatura do líquido e a do depósito. Então, T (t) = k (T(t) 5), k > 0. Devemosdeterminar T(t). T (t) T(t) 5 dt = k dt + c. Como dt = T (t)dt, então: T (t) T(t) 5 dt = dt = ln(t(t) 5); T 5 logo, ln(t(t) 5) = k t + c; então: { ln(t(0) 5) = ln(50) = c ln(t(5) 5) = ln(5) = 5k + ln(50), donde k = 1 5 ln(); logo, ln(t(t) 5) = ln(50 t 5)eT(t) = t 5 ;então: T(15) = 1 o 15. [] (Lei de resfriamento de Newton): A taa de variação da temperatura T = T(t) de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura ambiente A (constante) e a temperatura T = T(t), istoé: dt = k (A T(t)), dt (k > 0). ( ) Paradeterminar T, integramos ( ) emrelação a t: dt T A = k dt + c; obtendo ln(t A) = k t + c; logo, T(t) = A + C e kt. Seatemperaturainicial é T(0) = T 0 ; então, C = T 0 A e: T(t) = A + (T 0 A)e kt. [4] (Crescimento populacional inibido): Considere uma colônia de coelhos com população inicial N 0 numa ilha sempredadores. Se a população N = N(t) é pequena, ela tendeacrescer

27 6.1. EXERCÍCIOS 85 a uma taa proporcional a si mesma; mas, quando ela se torna grande, há uma competição crescente por alimento e espaço e N cresce a uma taa menor. Estudos ecológicos mostram que a ilha pode suportar uma quantidade máima de N 1 indivíduos, se a taa de crescimento da população N éconjuntamenteproporcionalan ean 1 N;logo: dn dt = k N (N 1 N), (k > 0). ( ) Para determinar N, integramos ( ) em relação a t, aplicando o método de frações parciais: e: dn N (N 1 N) = k N 0 dt + c; Como N(0) = N 0, c 1 = ln( N 1 N 0 );então, logo, N N 1 N = N 0 e N1kt donde: N 1 N 0 logo, 1 N 1 [ dn N + N ln( N 1 N ) = k t N 1 + c 1. N 0 N ln( N 1 N ) = N 1 k t + ln( ); N 1 N 0 N(t) = N 0 N 1 N 0 + (N 1 N 0 )e N 1kt, queéumafunção logísticadepopulação limite N 1. ] dn = k t + c; N 1 N 6.1 Eercícios 1. Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas: 1 (a) ( + )( + 1) (h) + 7 (o) 5e a (b) ( + 5) 1 (i) + 4 (p) (9t 1 1 )dt t (c) 1 (j) n 8 (q) ( 1 + (d) ( + 1) (k) tg ) () ( (e) + 1) ( (r) 4 (l) ) ( + 1)( ) (f) (m) 10 (s) + 1 ( ) e (g) + 4 ( 5 + 1) (n) (t) e 4

28 86 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA. Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: ln() + (a) 5 1 sen(θ) (j) (s) (5 cos(θ)) dθ (b) + 1 (k) sen()cos () + (t) (c) + 5 (l) tg( )sec ( ( + 6) ) (u) dy cos(a) ln() (d) (m) b ay b + sen(a) e arcsen() (v) (e) y(b ay 1 1 )dy (n) (ln()) 4 sen(ln()) (f) + 8 (w) (o) cos( + 1) 6 (g) (5 ) (p) () e 1 + dy arcsen(y) (h) (q) (b + ay) 1 y dy 5 (y) (i) a + b 4 e (r) e + 16 (z) cos( ). Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas: (a), use = sec(t) (d), use = sen(t) 1 (b) e, use = ln(t) (e) ,use z = 1 + (c), uset = (f), usez = Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes: (a) e 1 (f) arccos( ) e (k) (b) sen() (g) cos() (l) e 1 (c) (1 + ) (h) arctg() (m) cosec () (d) e t cos(πt) dt (i) sec () (n) sec()tg() (e) sen(ln()) (j) ( 1)e (o) sen(5)

29 6.1. EXERCÍCIOS 87 (p) 4 cos() (t) argsenh() () ln () ln() (q) 4 e (u) 4 e (y) arcsen() (r) ( 5 + )e (v) (z) (s) senh() (w) sec () 5 Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois, integração por partes: 1 (a) + (d) e (b) 11 cos( 4 ) (e) sen( ) (c) cos(ln()) (f) 5 e 6 Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funções trigonométricas: sen () (a) cos 4 () (f) (cotg () + cotg 4 ()) cos (b) tg 5 ()sec 4 () () (g) sen 6 () (c) sen ()cos () (h) sen 4 (a) sen 5 () (d) (i) sen (y)cos 4 (y)dy cos() (e) sen() tg () (j) sen 4 () cos 6 () 5. Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica: 16 (a) (e) (i) + 5 (b) (f) (j) 9 (1 + ) 1 (16 9 ) (c) (g) 5 6 (k) (1 ) 1 + (d) (h) 7 (4 ) (l) 4

30 88 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA (m) 7 (4 + 9) (n) (o) ( ) e e + 1 (p) (q) Usando primeiramente o método de substituição simples, seguido do método de substituição trigonométrica, calcule as seguintes integrais: sen() cos() (a) (b) (c) (5 cos ()) ((ln()) 4) 4 + sen () 7. Completando os quadrados e usando substituição trigonométrica, calcule as seguintes integrais: (a) (e) (i) (b) 5 + (f) (j) (c) ( + + 4) (g) 4 1 (d) (h) Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais: (a) (j) + 8 (1 + ) 4 (b) (k) ( 4 + 5) (c) ( + ) (l) ( + 1)( + + 1) + (d) ( + 1) (m) (e) (n) (f) ( + 1) (o) (g) ( + )( (p) + 1) (h) ( (q) + 1) (i) ( ) (r)

31 6.1. EXERCÍCIOS 89 (s) (t) + ( + + ) (u) (v) Calcule as seguintes integrais: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) cos() ln(sen()) 5 5 cos( ) tg()sec () cos()cos(4) ( + 4) e t 9 e t dt + (i) (j) ( + + 4) (k) ( + 1) sen()cos () (l) 5 + cos () (m) (n) (o) (p) (q) (r) (s) (t) (u) (v) (w) () ( + 1) ( 1)( + 1) ( + 9) + 4 ( 1) + 1+ sen()cos()+sen () cos ( ) + sen() 1 tg () sec () + tg() ( + ) Calcule as seguintes integrais: (a) (b) sen() cos() sen() + cos() (c) (d) + cos() cos() sen() cos()

32 90 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 11. Verifique,utilizandoeemplos,seéverdadeirooufalsoquese P = P()éumpolinômio n degrau n,então: P()e = ( 1) i P (i) ()e. i=0 1. Em todos os pontos de uma curva y = f() tem-se que y = cos() sen(). Obtenha a equação da curva, se esta passa pelo ponto (0,1) e a reta tangente nesse ponto é perpendicularàreta y = Em alguns estudos, a degradação ambiental produzida por detritos tóicos é modelada pela equação de Haldane: ds dt = as b + cs + s, onde a, b, c > 0, S = S(t)éaconcentraçãodosubstrato(asubstânciadoresíduonaqual as bactérias agem). Determine S = S(t). Qual é a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após 600 horas?