Matemática I Capítulo 05 Introdução ás Funções

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1 Nome: Nº Curso: Mineração Integrado Disciplina: Matemática I 1 Ano Prof. Leonardo Data: / /2016 Matemática I Capítulo 05 Introdução ás Funções Sistema cartesiano ortogonal O Sistema cartesiano ortogonal teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes ( ). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa. Quando os eixos desses sistemas são perpendiculares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal (ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria (ponto, reta, circunferência) e da Álgebra (relações, equações etc.), podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas. Observe o plano cartesiano nos quatros quadrantes: 1 Quadrante x > 0 e y > 0 2 Quadrante x < 0 e y > 0 OBS: { 3 Quadrante x < 0 e y < 0 4 Quadrante x > 0 e y < 0 Exemplos: A (2, 4) pertence ao 1 quadrante (x A > 0 e y A > 0) B (-3, -5) pertence ao 3 quadrante (x B < 0 e y B < 0) Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante Par ordenado O conceito de par ordenado é primitivo. A cada elemento a e a cada elemento b está associado um único elemento indicado por (a,b) e chamado par ordenado, de tal forma que se tenha: (a,b) = (c,d) a = c e b = d Dado o par ordenado (a,b), diz-se que a é o primeiro elemento e b é o segundo elemento do par ordenado (a,b). IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 1

2 Exercícios de Fixação Sistema Cartesiano Ortogonal e Par Ordenado 01. (G1 - cftmg 2005) Sendo A um ponto de coordenadas (2x + 4, 3x - 9) do quarto quadrante do plano cartesiano, é correto afirmar que x pertence ao intervalo real a) -2 < x < 3 b) 2 x 3 c) -3 < x < 2 d) -3 x (Uftm 2011) No sistema de coordenadas cartesianas, o par ordenado 6, k é um dos pontos de intersecção dos gráficos y = x² 7 e y = x² + j, sendo j uma constante real. O valor de k + j é igual a a) 6. b) 4. c) 2. d) 3. e) (Enem PPL 2014) Alunos de um curso de engenharia desenvolveram um robô anfíbio que executa saltos somente nas direções norte, sul, leste e oeste. Um dos alunos representou a posição inicial desse robô, no plano cartesiano, pela letra P, na ilustração. A direção norte-sul é a mesma do eixo y, sendo que o sentido norte é o sentido de crescimento de y, e a direção leste-oeste é a mesma do eixo x, sendo que o sentido leste é o sentido de crescimento de x. Em seguida, esse aluno deu os seguintes comandos de movimentação para o robô: 4 norte, 2 leste e 3 sul, nos quais os coeficientes numéricos representam o número de saltos do robô nas direções correspondentes, e cada salto corresponde a uma unidade do plano cartesiano. Depois de realizar os comandos dados pelo aluno, a posição do robô, no plano cartesiano, será a) (0; 2). b) (0; 3). c) (1; 2). d) (1; 4). e) (2;1). 04. (Unesp 2013) Os habitantes de um planeta chamado Jumpspace locomovem-se saltando. Para isto, realizam apenas um número inteiro de saltos de dois tipos, o slow jump (SJ) e o quick jump (QJ). Ao executarem um SJ saltam sempre 20 u.d. (unidade de distância) para Leste e 30 u.d. para Norte. Já no QJ saltam sempre 40 u.d. para Oeste e 80 u.d. para Sul.Um habitante desse planeta deseja chegar exatamente a um ponto situado 204 u.d. a Leste e 278 u.d. ao Norte de onde se encontra. Nesse caso, é correto afirmar que o habitante a) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 13 saltos SJ e 7 QJ. b) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 7 saltos SJ e 13 QJ. c) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 13 saltos SJ. d) não conseguirá alcançar seu objetivo, pois não há número inteiro de saltos que lhe permita isso. e) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 7 saltos QJ. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 2

3 05. (Ufrn 2013) O jogo da velha tradicional consiste em um tabuleiro quadrado dividido em 9 partes, no qual dois jogadores, alternadamente, vão colocando peças (uma a cada jogada). Ganha o jogo aquele que alinhar, na horizontal, na vertical ou na diagonal, três de suas peças. Uma versão chamada JOGO DA VELHA DE DESCARTES, em homenagem ao criador da geometria analítica, René Descartes, consiste na construção de um subconjunto do plano cartesiano, no qual cada jogador, alternadamente, anota as coordenadas de um ponto do plano. Ganha o jogo aquele que primeiro alinhar três de seus pontos. A sequência abaixo é o registro da sequência das jogadas de uma partida entre dois jogadores iniciantes, em que um anotava suas jogadas com a cor preta e o outro, com a cor cinza. Eles desistiram da partida sem perceber que um deles havia ganhado. Com base nessas informações, é correto afirmar que o jogador que ganhou a partida foi o que anotava sua jogada com a cor a) cinza, em sua terceira jogada. b) preta, em sua terceira jogada. c) cinza, em sua quarta jogada. d) preta, em sua quarta jogada. GABARITO 01 A 02 E 03 C 04 D 05 A Produto cartesiano Chamamos produto cartesiano de um conjunto A por um conjunto B, o conjunto que corresponde a todos pares ordenados com o 1 elemento em A e o 2º elemento em B. Notação: AxB (lê-se A cartesiano B). AxB = {(x, y) x A e y B} Por exemplo, damos os conjuntos A = {5, 7} e B = {4, 6, 8}, vamos calcular A x B. Nesse caso, como mostra o diagrama, as flechas partem de A e vão para B. É importante destacar que o produto cartesiano A por B é diferente de B por A, pois no segundo caso as flechas estariam partindo de B para A, e portanto, não teríamos os mesmos pares ordenados Representação gráfica do produto cartesiano O produto cartesiano de dois conjuntos não vazios pode ser representado graficamente por diagramas de flechas ou por diagramas cartesianos. Por exemplo, se A = {1, 2, 3} e B = {2, 3}, então A x B = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3,3)}, cujas representações podem ser dadas por: IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 3

4 Diagrama de flechas Consideramos de um lado o conjunto A e de outro de B e representamos cada par ordenado por uma flecha, adotando a seguinte convenção: a flecha parte do primeiro elemento do par ordenado e chega ao segundo. Assim: Diagrama cartesianos Tomamos dois eixos ortogonais e representamos sobre o eixo horizontal os elementos de A e sobre o eixo vertical os elementos de B. Traçamos, por estes elementos, paralelas aos eixos considerados. As intersecções dessas paralelas representam, assim, os pares ordenados de A x B Número de elementos de um produto cartesiano Se A tem m elementos e B tem n elementos, então A x B tem m.n elementos. 5.4 Relação Binária Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária de A em B a qualquer subconjunto f de A x B. Então: f é uma relação binária de A em B f A x B IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 4

5 Representação gráfica de uma relação binária Sendo a relação binária um conjunto de pares ordenados, podemos representá-lo graficamente como já o fizemos com o produto cartesiano. Exemplo Se A = R, B = R e f = {(x; y) R 2 y = x + 2}, então f = {..., (0, 2), ( 2, 0), (1, 3), ( 1,1),...} R 2 e o gráfico de f no plano euclidiano (cartesiano) é uma reta que passa por dois desses pontos. Exercícios de Fixação Relações Binárias e Produto Cartesiano As atividades de comunicação humana são plurais e estão intimamente ligadas às suas necessidades de sobrevivência. O problema de contagem, por exemplo, se confunde com a própria história humana no decorrer dos tempos. Assim como para os índios mundurucus, do sul do Pará, os waimiri-atroari, contam somente de um até cinco, adotando os seguintes vocábulos: awynimi é o número 1, typytyna é o 2, takynima é o 3, takyninapa é o 4, e, finalmente, warenipa é o 5. Texto Adaptado: Scientific American Brasil, Etnomatática. Edição Especial, Nº 11, ISSN (Uepa 2014) Considere A o conjunto formado pelos números utilizados no sistema de contagem dos A 1,2,3,4,5. Nestas condições, o número de elementos da relação waimiriatroari, ou seja, R x,y A A y x é igual a: 1 a) 5. b) 10. c) 15. d) 20. e) (Uepb 2013) Os conjuntos A e B têm, respectivamente, 5 x e 3x elementos e A B tem 8x 2 elementos. Então, se pode admitir como verdadeiro que: a) A tem cinco elementos b) B tem quatro elementos c) B tem seis elementos d) A tem mais de seis elementos e) B tem menos de três elementos 03. (G1 - cftce 2006) Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 9}, enumere os elementos da seguinte relação: R = {(x, y) A B y = x + 1}. 04. (Ufsm 2005) Escolhendo aleatoriamente alguns números das páginas de um livro adquirido numa livraria, foram formados os conjuntos A = {2, 5, 6} e B = {1, 3, 4, 6, 8}, sendo a relação definida por R = {(x,y) A B x y}. Dessa forma, a) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8} b) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6} c) D(R) = {2,5} e Im(R) = {1, 3, 4, 6} d) D(R) = {5,6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8} IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 5

6 05. (G1 - cftmg 2005) Nos conjuntos P = {0, 1, 2} e R = {(x, y) P x P x + y < 3}, o número de elementos do conjunto R é igual a a) 3 b) 4 c) 5 d) (Ufrn 2000) Considerando K = {1, 2, 3, 4}, marque a opção cuja figura representa o produto cartesiano K K. 07. (Ufv 1999) Os pares ordenados (1,2), (2,6), (3,7), (4,8) e (1,9) pertencem ao produto cartesiano A B. Sabendo-se que A B tem 20 elementos, é CORRETO afirmar que a soma dos elementos de A é: a) 9 b) 11 c) 10 d) 12 e) 15 GABARITO 01 C 04 B 07 C 02 C 05 D ---x R = { (0, 1), (2, 3), (4, 5), (8, 9) } 06 A ---x Definição de Função O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O uso de funções pode ser verificado em diversos assuntos. Por exemplo, na tabela de preços de uma loja, a cada produto corresponde um determinado preço. Outro exemplo seria o preço a ser pago numa conta de luz, que depende da quantidade de energia consumida. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. Observe, por exemplo, o diagrama das relações abaixo: Essa relação não é uma função, pois existe o elemento 1 no conjunto A que não está associado a nenhum elemento do conjunto B. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 6

7 Essa relação também não é uma função, pois existe o elemento 4 no conjunto A que está associado a mais de um elemento do conjunto B. Agora preste atenção neste exemplo: Essa relação é uma função, pois todo elemento do conjunto A está associado a somente um elemento do conjunto B. De um modo geral, dados dois conjuntos, A e B, e uma relação entre eles, dizemos que essa relação é uma função de A em B, se e somente se, para todo x A existe um único y B de modo que x se relacione com y Notação de uma Função Quando temos uma função de A em B podemos representá-la da seguinte forma: f: A B (lê-se função f de A em B) x y (lê-se: a cada valor de x A associa-se um só valor y B) Normalmente representamos a função pela sua fórmula (lei de associação), escrevendo-a através de suas variáveis x (independente) e y (dependente): Exemplos y = 3x +1 y = x³ - 6x² y = -8x y = x² x 2 Se a fórmula de uma função for y = 2x + 5, podemos escrever também f(x) = 2x + 5. O símbolo f(x) tem o mesmo significado que y e pode simplificar a linguagem. Por exemplo, ao invés de dizermos: "qual o valor de y quando x = 1?", dizemos simplesmente: "qual o valor de f(1)?". Exercícios de Fixação Notação e Definição de Função 01. (Ufpb 2010) A vigilância sanitária, em certo dia, constatou que, em uma cidade, 167 pessoas estavam infectadas por uma doença contagiosa. Estudos mostram que, pelas condições sanitárias e ambientais dessa cidade, a quantidade (Q) de pessoas infectadas por essa doença pode ser estimada pela função Q(t) =, onde t é o tempo, t/ x3 em dias, contado a partir da data da constatação da doença na cidade. Nesse contexto, é correto afirmar que, 360 dias depois de constatada a doença, o número estimado de pessoas, nessa cidade, infectadas pela doença é de: a) 520 b) 500 c) 480 d) 460 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 7

8 02. (G1 - cftmg 2014) Seja a função real 1 f(x), x x O valor de f(5) é uma fração racional equivalente a a) 2. 5 b) c) 5. 2 d) (Esc. Naval 2013) Considere f uma função real de variável real tal que: I. f(x y) f(x)f(y) II. f(1) 3 III. f( 2) 2 Então f(2 3 2) é igual a a) 108 b) 72 c) 54 d) (Enem 2010) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e as faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são: massa kg altura cm IMC RIP 2 3 altura m massa kg ARAÚJO. C. G. S.; RICARDO, D.R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científicio Baseado em Evidências. Arq.Bras. Cardiologia, volume 79, n.o 1, 2002 (adaptado). Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m 2, então ela possui RIP igual a a) b) c) d) e) 1 3 0,4 cm/kg 1 3 2,5 cm/kg cm/kg cm/kg cm/kg GABARITO 01 B 03 B 02 B 04 E IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 8

9 Identificar se uma relação é ou não uma função Como para cada x do domínio deve existir em correspondência um único y no contradomínio, é possível identificar se um gráfico representa ou não uma função, traçando retas paralelas ao eixo y. Para ser função, cada reta veta vertical traçada por pontos do domínio deve interceptar o gráfico num único ponto. Este gráfico representa uma função, pois cada reta vertical traçada pelos pontos do domínio intercepta o gráfico num único ponto. Exercícios de Fixação - Identificar se uma relação é ou não uma função 01.Determine se os gráficos representam uma função. Justifique. a) b) c) d) IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 9

10 02. (Unaerp 1996) Qual dos seguintes gráficos não representam uma função f: IR IR? 03. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe o gráfico de uma função y f(x). Então, o gráfico de y 2f(x 1) é dado por a) b) c) d) 04. (Ufsj 2013) Na figura a seguir, são dados os gráficos de y f x e de outras quatro funções. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 10

11 Com base no gráfico, é CORRETO afirmar que f x. a) (IV) representa a função b) (II) representa a função f x 4. c) (III) representa a função f x 3. d) (I) representa a função f x (Fatec 2011) A figura apresenta parte do gráfico da função f: ]1, + [ R Assinale a alternativa que melhor representa o gráfico da função g(x) = - f(x - 1) + 1 a) b) c) d) e) 06. (G1 - cftmg 2007) Na figura, está representado o gráfico da função f : R R, tal que f (x) = y. O valor da expressão E = f (3) + f (2 5 ) + f a) { x IR / - 2 < x -1} b) { x IR / - 1 < x 0} c) { x IR / 1 < x 2} d) { x IR / 0 < x 1} 1 3 pertence ao conjunto IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 11

12 07. (Ufal 1999) Na figura a seguir tem-se o gráfico da função f, de IR em IR, definida por y = x 4-2x 2. É verdade que a) esse gráfico é simétrico em relação ao eixo das abscissas. b) f(x) < 0 para -1 < x < 1. c) f(x) = 0 para x =-1 ou x = 1. d) f(x) > 0 para x < - 2 ou x > 2. e) o valor máximo de f ocorre para x = 0. GABARITO 01 a)não b) sim 02 E 03 B c)sim d)não 04 D 05 A 06 C 07 D Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função Se f é uma aplicação ou função de A em B, então: O conjunto de partida A passa a ser chamado domínio da aplicação f e é indicado por D(f). Assim: D(f) = A O conjunto de chegada B será chamado contradomínio da aplicação f e é denotado por CD(f). Logo, CD(f) = B. O conjunto de todos os elementos y de B para os quais existe, pelo menos, um elemento x de A, tal que f(x) = y, é denominado imagem da aplicação f e é indicado por lm(f). Assim: Im(f) = {y B x A tal que y = f(x)} Pela própria definição de Im(f) decorre que: IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 12

13 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {0, 2, 4, 6, 8} e seja f a função de A em B, tal que y = 2x, ou seja, f(x) = 2x. Então: f = {(x; y) AxB y = 2x} = {(x, f(x)) AxB f(x) = 2x} f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)} D(f) = A = {1, 2, 3} CD(f) = B = {0, 2, 4, 6, 8} Im(f) = {2, 4, 6} CD(f) f : A B ou A B Quando não houver dúvidas sobre o domínio, o contradomínio e a definição de f(x), num elemento qualquer x do domínio de f, usaremos a notação: f : x f(x) [lê-se "f associa a cada x D(f) o elemento f(x) CD(f)"] Representação Gráfica de uma Função Diagramas de flechas Uma relação f de A em B é uma FUNÇÃO se, e somente se, cada elemento x de A se relaciona com um único elemento y de B, o que equivale dizer que: "de cada elemento x de A parte uma única flecha". IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 13

14 Gráfico Seja f uma relação binária de A R em R e consideremos o seu gráfico cartesiano. Então, f é uma função definida em A com valores em R se, e somente se, toda reta paralela ao eixo Oy, que passa por um ponto de abscissa x A, "corta" o gráfico f num único ponto. Portanto, a relação f de A R em R NÃO é FUNÇÃO se, e somente se, existe, pelo menos, uma reta paralela ao eixo Oy que passa por um ponto de abscissa x A e tal que ou intercepta o gráfico em mais de um ponto, ou não o intercepta. Por exemplo, no gráfico III, a reta paralela ao eixo Oy passando pelo ponto de abscissa 2 A não intercepta o gráfico f, logo f não é FUNÇÃO definida em A com valores em R. No entanto, se restringirmos A ao conjunto A = {x R 3 x < 2 ou 2 < x 6}, então a relação de A em R é uma FUNÇÃO Domínio e imagem através do gráfico Um outro problema comum é o da determinação do domínio e da imagem de uma função f pelo gráfico. De acordo com as definições e comentários feitos até aqui, dado o gráfico de uma função f, temos: D(f) é conjunto de todas as abscissas dos pontos do eixo tais que as retas verticais por eles traçadas interceptam o gráfico de f. Im(f) é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos do eixo Oy tais que as retas horizontais por eles traçadas interceptam o gráfico de f. Em outras palavras: D(f) é o conjunto de todos os pontos do eixo Ox que são obtidos pelas projeções dos pontos do gráfico de f sobre o referido eixo. Im(f) é conjunto de todos os pontos do eixo Oy que são obtidos pelas projeções dos pontos do gráfico de f sobre o referido eixo. Observação : A função f de A em B fica determinada se especificarmos o domínio A, o contradomínio B e o subconjunto f de A x B que satisfaz as propriedades que definem a função. Em geral, o subconjunto f de A x B é substituído pela sentença aberta de duas variáveis que o define (y = f(x)). Quando dissermos "consideremos a função definida por y = f(x)" ou "seja a função tal que x f(x)", fica convencionado, salvo menção em contrário, que o contradomínio é R e o domínio de f é o "mais amplo" subconjunto de R, para o qual tem sentido a sentença aberta y = f(x). IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 14

15 Exercícios de Fixação Domínio e Imagem através do gráfico 01.Os seguintes gráficos representam funções: determine o domínio e a imagem de cada um deles. a) 3 b) 3 c) (G1 - cftmg 2011) O crescimento de uma cultura de bactérias ao longo de seis dias é mostrado no gráfico abaixo. O conjunto imagem dessa função é a) {y R 5000 y 18500} x R / 0 x 6 b) c) 5000,18500 d) 0,6 03. (Pucmg 1997) Dos gráficos, o único que representa uma função de domínio {x R/ -1 x 1} e imagem {y R/ 1 y 3} é: GABARITO 01 a) D = ]-2,3[ Im=[1,3] b) D = ]-3,1[ Im=[-1,3] c) D = ]0,4[ Im=[0,2] 02 A 03 D IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 15

16 5.9 - Obtenção do domínio de uma função O domínio é o subconjunto de Vamos ver algum exemplo: Exemplo no qual todas as operações indicadas em y = f(x) são possíveis. Vamos analisar o numerador: Como x 2 está dentro da raiz, devemos ter x 2 0, ou seja, x 2. (Condição 1) Vamos analisar o denominador: Como 3 - x está dentro da raiz devemos ter 3 - x 0, mas além disso está no denominador, portanto devemos ter 3 - x 0. Juntando as duas condições devemos ter: 3 - x 0, ou seja, x < 3. (Condição 2) Resolvendo o sistema formado pelas condições 1 e 2 temos: Portanto, D = {x R 2 x 3}. Exercícios de Fixação Domínio através da função 01. (Espcex (Aman) 2015) Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os quais está definida a função a) R { 2,2}, 2 5, b) c), 2 2,1 5, d),1 5, e), 2 2, 2 x 6x 5 f(x). 3 2 x (Espcex (Aman) 2012) O domínio da função real f x a) 2, b) 2, 6 c),6 d) 2, 2 e),2 03.(G1 - ifal 2011) O domínio da função dada por f x a) x R 2 x 3. b) x R 2 x 3. c) x R 2 x 3. d) x R 2 x 3. e) x R x 3. 2 x é 2 x 8x 12 x 2 é 3 x IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 16

17 04. (Mackenzie 1997) O domínio da função real definida por f(x) = a) IR - {2, 3} b) IR* c) IR d) IR* - {2, 3} e) IR - {-2, -3} 3 2 x 2x 6 2 x 5x 6 é: GABARITO 01 C 02 E 03 C 04 A Gráfico de uma função Para construir o gráfico de uma função f, basta atribuir valores do domínio à variável x e, usando a sentença matemática que define a função, calcular os valores correspondentes da variável y. Por exemplo, vamos construir o gráfico da função definida por y = x. Atribuímos alguns valores para x e calculamos os respectivos valores de y. Assim, 2 temos a seguinte tabela: Identificamos os pontos encontrados no plano cartesiano: x y (x, y) 2 y = 2/2 = 1 (2, 1) 4 y = 4/2 = 2 (4, 2) 6 y = 6/2 = 3 (6, 3) 8 y = 8/2 = 4 (8, 4) O gráfico da função passará pelos quatro pontos. Neste caso, o gráfico da função é uma reta. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 17

18 Função crescente e função decrescente Função crescente Uma função f(x), de A em B, é crescente em um intervalo [a, b] A se, e somente se, para quaisquer x 1 e x 2 pertencentes a esse intervalo, temos: x 2 > x 1 f(x 2 ) > f(x 1 ) Este é um exemplo de função crescente em um intervalo [a,b]. Podemos notar no gráfico que à medida que os valores de x vão aumentando, suas imagens também vão aumentando Função decrescente Uma função f(x), de A em B, é decrescente em um intervalo [a, b] A se, e somente se, para quaisquer pertencentes a esse intervalo, temos: x 2 > x 1 f(x 2 ) < f(x 1 ) e Este é um exemplo de função decrescente em um intervalo [a, b]. Podemos notar no gráfico que à medida que os valores de x vão aumentando, suas imagens vão diminuindo. Exercícios de Fixação Função Crescente e Função Decrescente 01. Observe a função f IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 18

19 a) indique o domínio e a imagem de f. b) indique os intervalos onde f é crescente e decrescente. c) indique os intervalos onde f > 0 e f < Dado o gráfico da função f mostrada, responda. a) Qual o domínio e a imagem da função? b) Em que intervalos a função é crescente? c) Em que intervalo a função é decrescente? d) Qual o valor de f (5)? f ( 3) f (2) 01 a) D=[0,24] e Im=[-5,13] b) Crescente [4,12] Decrescente [0,4]U[12,24] c) Positivo [0,2]U[8,24] Negativo [2,8] 02 a) D=[-3,6] e Im=[-3,1]U{3} b) Nunca é crescente Decrescente [-3,2] Exercícios de Fixação Interpretação de Gráficos 01. (Enem 2015) Atualmente existem diversas locadoras de veículos, permitindo uma concorrência saudável para o mercado, fazendo com que os preços se tornem acessíveis. Nas locadoras P e Q, o valor da diária de seus carros depende da distância percorrida, conforme o gráfico. O valor pago na locadora Q é menor ou igual àquele pago na locadora P para distâncias, em quilômetros, presentes em qual(is) intervalo(s)? a) De 20 a 100. b) De 80 a 130. c) De 100 a 160. d) De 0 a 20 e de 100 a 160. e) De 40 a 80 e de 130 a 160. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 19

20 02. (Ucs 2015) Na figura abaixo, está representada parte do gráfico de uma função polinomial, em que se visualizam todas as raízes (zeros) da função. Analise as proposições a seguir, quanto à sua veracidade (V) ou falsidade (F). ( ) O produto dos zeros da função é 2. ( ) O valor mínimo da função é 20. ( ) O termo independente do polinômio que define a função é maior do que zero. Assinale a alternativa que preenche correta e respectivamente os parênteses, de cima para baixo. a) V V F b) V F V c) F V V d) V F F e) F V F 03. (Enem PPL 2015) O modelo predador-presa foi proposto de forma independente por Alfred J. Lotka, em 1925, e Vito Volterra, em Esse modelo descreve a interação entre duas espécies, sendo que uma delas dispõe de alimentos para sobreviver (presa) e a outra se alimenta da primeira (predador). Considere que o gráfico representa uma interação predador-presa, relacionando a população do predador com a população da sua presa ao longo dos anos. De acordo com o gráfico, nos primeiros quarenta anos, quantas vezes a população do predador se igualou à da presa? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 9 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 20

21 04. (Enem PPL 2015) Doenças relacionadas ao saneamento ambiental inadequado (DRSAI) podem estar associadas ao abastecimento deficiente de água, tratamento inadequado de esgoto sanitário, contaminação por resíduos sólidos ou condições precárias de moradia. O gráfico apresenta o número de casos de duas DRSAI de uma cidade: O mês em que se tem a maior diferença entre o número de casos das doenças de tipo A e B é a) janeiro. b) abril. c) julho. d) setembro. e) novembro. 05. (Enem PPL 2015) No comércio é comumente utilizado o salário mensal comissionado. Além de um valor fixo, o vendedor tem um incentivo, geralmente um percentual sobre as vendas. Considere um vendedor que tenha salário comissionado, sendo sua comissão dada pelo percentual do total de vendas que realizar no período. O gráfico expressa o valor total de seu salário, em reais, em função do total de vendas realizadas, também em reais. Qual o valor percentual da sua comissão? a) 2,0% b) 5,0% c) 16,7% d) 27,7% e) 50,0% IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 21

22 06. (Espm 2015) O gráfico abaixo mostra a variação da quantidade de unidades vendidas por uma pequena fábrica de pranchas de surf, durante um ano. De acordo com o gráfico, podemos concluir que o aumento nas vendas do 2º trimestre para o 3º trimestre foi de: a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30% 07. (Enem PPL 2015) Alguns brasileiros têm o hábito de trocar de carro a cada um ou dois anos, mas essa prática nem sempre é um bom negócio, pois o veículo desvaloriza com o uso. Esse fator é chamado de depreciação, sendo maior nos primeiros anos de uso.uma pessoa realizou uma pesquisa sobre o valor de mercado dos dois veículos (X e Y) que possui. Colocou os resultados obtidos em um mesmo gráfico, pois os veículos foram comprados juntos. Após a pesquisa, ela decidiu vender os veículos no momento em que completarem quatro anos de uso. Disponível em: Acesso em: 3 ago (adaptado). Considerando somente os valores de compra e de venda dos veículos por essa pessoa, qual a perda, em reais, que ela terá? a) ,00 b) ,00 c) ,00 d) ,00 e) ,00 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 22

23 08. (Enem PPL 2014) Uma fundição de alumínio utiliza, como matéria-prima, lingotes de alumínio para a fabricação de peças injetadas. Os lingotes são derretidos em um forno e o alumínio, em estado líquido, é injetado em moldes para se solidificar no formato desejado. O gráfico indica as curvas de resfriamento do alumínio fundido no molde para três diferentes fluidos refrigerantes (tipo I, tipo II e tipo III), que são utilizados para resfriar o molde, bem como a curva de resfriamento quando não é utilizado nenhum tipo de fluido refrigerante. A peça só pode ser retirada do molde (desmolde) quando atinge a temperatura de 100 C. Para atender a uma encomenda, a fundição não poderá gastar mais do que 8 segundos para o desmolde da peça após a sua injeção. Com a exigência para o desmolde das peças injetadas, qual(is) fluido(s) refrigerante(s) poderá(ão) ser utilizado(s) no resfriamento? a) Qualquer um dos fluidos do tipo I, II e III. b) Somente os fluidos do tipo II e III. c) Somente o fluido do tipo III. d) Não será necessário utilizar nenhum fluido refrigerante. e) Nenhum dos fluidos refrigerantes indicados atende às exigências. 09. (Enem PPL 2014) O modelo matemático desenvolvido por Kirschner e Webb descreve a dinâmica da interação das células não infectadas do sistema imunológico humano com os vírus HIV. Os gráficos mostram a evolução no tempo da quantidade de células não infectadas no sistema imunológico de cinco diferentes pacientes infectados pelo vírus HIV. Quando a população das células não infectadas de um sistema imunológico é extinta, o paciente infectado fica mais suscetível à morte, caso contraia alguma outra doença. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 23

24 A partir desses dados, o sistema imunológico do paciente infectado que ficou mais rapidamente suscetível à morte está representado pelo gráfico. a) A. b) B. c) C. d) D. e) E. 10. (Enem 2013) Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas de 100g, três de 200g e uma de 350g. O gráfico mostra o custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios: O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas é de a) 8,35. b) 12,50. c) 14,40. d) 15,35. e) 18, (Enem 2012) A figura a seguir apresenta dois gráficos com informações sobre as reclamações diárias recebidas e resolvidas pelo Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, em uma dada semana. O gráfico de linha tracejada informa o número de reclamações recebidas no dia, o de linha continua é o número de reclamações resolvidas no dia. As reclamações podem ser resolvidas no mesmo dia ou demorarem mais de um dia para serem resolvidas. O gerente de atendimento deseja identificar os dias da semana em que o nível de eficiência pode ser considerado muito bom, ou seja, os dias em que o número de reclamações resolvidas excede o número de reclamações recebidas. Disponível em: Acesso em: 21 jan (adaptado). IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 24

25 O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no conceito de eficiência utilizado na empresa e nas informações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito bom na a) segunda e na terça-feira. b) terça e na quarta-feira. c) terça e na quinta-feira. d) quinta-feira, no sábado e no domingo. e) segunda, na quinta e na sexta-feira. 12. (Enem 2012) O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo. Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com a seguinte tabela. Investidor Hora da Compra Hora da Venda 1 10:00 15: :00 17: :00 15: :00 16: :00 17:00 Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual investidor fez o melhor negócio? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 GABARITO 01 D 07 C 02 B 08 C 03 C 09 D 04 D 10 D 05 A 11 B 06 C 12 A IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 25