Material de apoio Matemática Financeira

Transcrição

1 UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO UNINOVE Material de apoio Matemática Financeira Curso: Ciências Contábeis Elaboração: Prof. Paulo Sergio Pereira da Silva São Paulo, 2012

2 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 2 ÍNDICE APRESENTAÇÃO...03 FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA...04 INTRODUÇÃO...04 REGRA DE TRÊS SIMPLES...04 PORCENTAGEM...05 JUROS...09 JUROS SIMPLES...11 DESCONTOS.SIMPLES...19 JUROS COMPOSTOS...23 DESCONTOS COMPOSTOS...28 OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS...30 SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS...38 POSTECIPADA...38 ANTECIPADA...43 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO...49 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO-SFA./PRICE...52 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE-SAC...61 EXERCICIOS SUPLEMENTARES...64 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...72 ANEXO 1 - PEQUENO MANUAL HP 12C...73 Todos os direitos reservado e protegidos pela Lei de 19/02/98. Nenhuma parte desta apostila, sem autorização prévia por escrito do autor, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem o meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação ou quaisquer outros.

3 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 3 APRESENTAÇÃO Caro(a) aluno(a), Ao longo de nossa vida acadêmica, são grandes as novidades e os desafios que se colocam diante de nós. As relações entre professores e alunos são mediadas por linguagens e regras específicas, diferentes daquelas que aprendemos a decifrar e a empregar em nossa vida escolar e profissional. Esse universo desconhecido desperta, a um só tempo, curiosidade e temor. A final será que conseguiremos dominar todas essa novidades e sobreviver a elas? Esse material foi elaborado com o intuito de lhe apresentar algumas dessas normas e linguagens e, assim, ajudá-lo a desvendar parte desse universo desconhecido. Espero, com as dicas que seguem, oferecer-lhe algumas ferramentas úteis para o seu desenvolvimento profissional e a acadêmico. Não pretendo fazer com que você domine todo esse instrumental logo de saída., longe disso. Você só aprenderá tudo o que aqui está contido à medida que for empregando cada uma das ferramentas. No início lhe parecerão complexas, com o passar do tempo você aprenderá a decodificá-las e a utilizá-las corretamente, de modo que elas passarão a fazer parte tanto do seu vocabulário quanto de seu repertório de práticas. O objetivo deste material é preparar o discente para a vida acadêmica, despertando-lhe o desejo de aprimorar seus conhecimentos, de conhecer, pesquisar e investigar os mais diferentes aspectos da realidade em que vive ou que venha a participar socialmente. Este material tem como objetivo principal mostrar, de forma clara, por meio de exemplos práticos, os conceito da matemática financeira e suas aplicações, e utiliza para isso uma metodologia objetiva e de fácil compreensão. Vale salientar que este material faz parte de um conjunto de textos, baseados em livros, e apostilas, que foram e continuam sendo aprimorados com o tempo, pelo autor. Este material serve como complemento para o aluno a fim de facilitar a sua compreensão, dessa forma, não substitui, em hipótese alguma, a pesquisa em livros específicos. O autor,

4 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 4 FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA INTRODUÇÃO A matemática financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em função do tempo. Este conceito, aparentemente simples, tem vários detalhes quanto à forma de estudo do valor do dinheiro tempo. Vejamos alguns conceitos para melhor compreendermos o objetivo da matemática financeira. Risco: quando estamos concedendo crédito, estamos mesmo é analisando o risco contido nas operações de crédito. Os conceitos de matemática financeira serão importantes para medir o risco envolvido em várias operações de créditos. Prejuízo (ou despesa): Em qualquer operação financeira, normalmente, ocorre o pagamento de juros, taxas, impostos, etc., caracterizando-se para alguns como prejuízo e para outros como pagamento de despesas financeiras. A matemática financeira irá mostrar quanto se pagou de despesa ou medir o tamanho do prejuízo em uma operação financeira. Lucro (ou receita): Da mesma forma que alguém ou uma instituição paga juros e caracteriza-o como prejuízo ou despesa, quem recebe pode classificar estes juros como lucro ou receita ou simplesmente como a remuneração do capital emprestado. A matemática financeira nos ajuda a calcular este juro ou receita, bem como a remuneração do capital emprestado. REGRA DE TRÊS Chamamos de regra de três simples os problemas nos quais figuram uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas. A regra de três simples trabalha com apenas duas grandezas. Exemplos: 1) Comprei 6 m de tecidos por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m? Resolução: (grandezas diretamente proporcionais) Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido. Chamamos de x o valor que desejamos conhecer. Então dispomos em duas colunas: Comprimento(m) Preço(R$) x Em seguida, colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra x, com a ponta voltada para ele. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, como no nosso exemplo, colocaremos uma segunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Assim: x

5 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 5 Armamos à proporção formada pelas razões que construímos, seguindo as setas: 6 = 15 8 x e determinamos o valor de x: x = x = 120 x = Logo, o preço procurado é: R$ 20,00 2) Se seis operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra? Resolução: (grandezas inversamente proporcionais) Então dispomos em duas colunas: Operários Dias x A coluna que contém x é assinalada como no problema anterior e a outra coluna é assinalada com uma segunda seta vertical, de sentido contrário. Assim: x Em seguida, invertemos os valores da coluna do numero de operários ( por ser uma grandeza inversamente proporcional à de número de dias): x Daí: 20 = 10 6 x e determinamos o valor de x: x = x = 60 x = Logo, serão necessários: 3 dias.

6 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 6 PERCENTAGEM (%) Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões como as relacionadas abaixo: Desconto de até 30% na grande liquidação de verão. Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira. A inflação registrada em dezembro foi de 1,93%. O rendimento da caderneta de poupança foi de 1,99% em maio. Todas essas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem. Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa. Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100. Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem. No entanto, o principal, a percentagem e a taxa são elementos do cálculo percentual. Representando: O principal por P; A porcentagem por p; A taxa por i; Temos, genericamente: p P i 100 3) Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00? Resolução: Neste caso teremos que: p p = p = 8000 p = 8000/100 p = 80 Logo, a comissão é de R$ 80,00

7 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 7 E X E R C I C I O S REGRA DE TRÊS 1) Ao comprar 2 kg de pães paguei R$ 12,50. Quanto pagaria se tivesse comprado 6 kg? R. R$ 37,50 2) Comprei 5 m de corda por R$ 4,00. Quanto pagarei por 14 m? R. R$ 11,20 3) Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias? R. R$ 1463,00 4) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? R. 112 voltas 5) Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? R. 8 horas 6) Com 12 operários podemos construir um muro em 4 dias. Quantos dias levarão 8 operários para fazer o mesmo muro? R. 6 dias 7) Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários. Tendo conseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminará o mesmo trabalho? R. 40 dias 8) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? R. 10 kg 9) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa? R. 90 dias 10) Um ônibus, a uma velocidade media de 60km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? R. 3 horas 11) Trabalhando 5 horas por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, nas mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 6 horas por dia? R. 20 dias 12) Cinco máquinas impressoras, trabalhando simultaneamente executam um determinado serviço em 5 horas. Em quanto tempo o mesmo serviço seria executado se forem utilizadas apenas três máquinas impressoras? R. 8,33 horas ou 8 horas e 20 minutos PORCENTAGEM 13) Calcule as porcentagens: a) 8% de R$ 700,00 R p = 56 b) 5% de R$ 4.000,00 R. p = 200 c) 12% de R$ 5.000,00 R. p = 600 d) 1,2% de R$ 40,00 R. p = 0,48 14) Qual a taxa percentual que: a) 125 representa de 250? R. i = 50% b) 112 representa de 320? R. i = 35% c) 28 representa de 80? R. i = 35% d) 352 representa de 1800? R. i = 19,55%

8 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 8 15) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4.200,00, já incluídos R$ 120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente ás taxas de embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem á vista. Então é CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem: (R. c) a) R$ 3.672,00 b) R$ 3.780,00 c) R$ 3.792,00 d) R$ 3.900,00 16) De 4000 funcionários, 120 faltaram ao serviço. Qual a taxa percentual dos funcionários ausentes? R. i = 3% 17) Para a venda de uma geladeira, o cartaz anuncia: R$ 367,20 x 4 ou R$ 1.080,00 à vista Pergunta-se: Quem comprar a prazo, pagará a mais quantos por cento? R. 36% 18) Represente a taxa de porcentagem do ingrediente sabão do desinfetante PINHO CHEIRO: R. 7% DESINFETANTE PINHO CHEIRO Água 47g Álcool 12g Sabão 7g Óleo pinho 34g TOTAL 100g 19) Numa pesquisa sobre a preferência de cores, foram entrevistadas 50 pessoas e o resultado obtido foi o seguinte: PREFERENCIA NÚMERO DE PESSOAS Azul 11 Branco 9 Preto 1 Verde 10 Amarelo 14 Vermelho 5 Pergunta-se: Qual a taxa percentual de cada cor pesquisada? R. 22%; 18%; 2%; 20%; 28%; 10%. 20) De 800 estudantes, 40 faltaram na escola num dia normal de aula. Qual a taxa percentual dos estudantes ausentes? R. i = 5%

9 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 9 JUROS (J) É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a partir de dois pontos de vista: - de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuízo, etc. - de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho, etc. Podemos concluir que os juros só existem se houver um capital empregado, seja este capital próprio ou de terceiros. Capital (C) ou Valor Presente (PV) ou Principal (P) É o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação financeira. Podemos entender como data focal zero a data de inicio da operação financeira ou simplesmente podemos dizer que é o valor aplicado como base para cálculo dos juros. Taxa (i) É o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital (C), que pode ser representado em forma percentual ou unitária. Os conceitos e tipos de taxas são bastante variados, como por exemplo: - taxa de inflação; - taxa real de juros; - taxa acumulada; - taxa unitária; - taxa percentual; - taxa over; - taxa equivalente; - taxa nominal, entre outras. - Prazo ou Tempo ou Períodos (n) É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita para produzir um montante (M). Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário, vejamos um exemplo: - período inteiro:1 dia; 1 mês comercial (30 dias), 1 ano comercial (360 dias), etc. - período fracionário:3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc. Podemos também considerar como um período inteiro os períodos do tipo: um período de 15 dias, um período de 30 dias, etc., ou seja, a forma de entendimento dos períodos vai depender de como estão sendo tratados nos problemas. Montante (M) ou Valor Futuro (FV) ou Soma ( S) É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeira após um determinado período de tempo, ou seja, é soma do capital (C) com os juros (J). Assim temos: M = C + J Partindo da fórmula acima, temos que: J = M C e C = M - J

10 Exemplo 01: Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 10 Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determinado tempo, qual foi o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78? Solução algébrica: J = 78,25 C= 1.568,78 M =? M = C + J M = 1,568, ,25 M = R$ 1.647,03 Solução pela HP-12C 1568,78 ENTER 78,25 + R$ 1.647,03 Exemplo 02: Qual o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido um capital de R$ 1.250,18 e que gerou um montante de R$ 1.380,75? Solução algébrica: C = 1250,18 M= 1380,75 J=? J = M - C J = 1380, ,18 J = R$ 130,57 Exemplo 03: Solução pela HP-12C 1380,75 ENTER 1250,18 - R$ 130,57 Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 1500,00, sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 378,25? Solução algébrica: M= 1500,00 J=378,25 C=? C = M - J C = 1500,00 378,25 C = R$ 1.121,75 Regimes de Capitalização Solução pela HP-12C 1500 ENTER 378,25 - R$ 1.121,75 São os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Os regimes utilizados em Matemática Financeira são SIMPLES e COMPOSTOS ou linear e exponencial, respectivamente. Exemplo 04: Seja um capital de R$ 1000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valor acumulado no final de cada período pelos regimes de capitalização simples? Solução algébrica: 01 Regime de Capitalização Simples n Capital aplicado(r$) Juros de cada período Montante , ,1= = 1100, , ,1 = = 1200, , ,1 = = 1300,00

11 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 11 JUROS SIMPLES Podemos entender juros simples como sendo o sistema de capitalização linear. O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial, ou seja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros. Sendo assim, teremos a fórmula dos juros simples: J= PV. i. n Colocando o PV em evidência, teremos: PV = J i.n Colocando o n em evidência, teremos: n = J PV.i Colocando o i em evidência, teremos: i = J ou i = FV - 1 PV.n PV Exemplo 05: Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao mês. Solução algébrica: J = , J = R$ 343,75 Solução pela HP-12C 1250,00 ENTER 0,055 X 5 X R$ 343,75 Exemplo 06: Qual foi o capital que gerou rendimento de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de 2,5% ao mês? Solução algébrica: Solução pela HP-12C R$ 1.121,75 J= 342,96 PV = 342,96 0, ,96 0,025 ENTER ENTER PV = 342,96 = R$ 1.247,13 0, X R$ 1.247,13

12 Exemplo 07: Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 12 Pedro pagou ao Banco ECCOS S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobre uma prestação de R$ 537,17. Qual o foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco? Solução algébrica: i = 2,14 537,17. 1 i = 2,14 = 0, ,17 i = 0, i = 0,3984% ao dia i mensal = 0, i mensal = 11,95% Solução pela HP-12C 2,14 ENTER 537,17 ENTER 1 X 100 X 30 11,95% ao mês X Exemplo 08: Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 967,74 que gerou rendimentos de R$ 226,45 com uma taxa de 1,5% ao mês? Solução algébrica: n =? PV = R$ 967,74 i = 1,5% ao mês J= R$ 226,45 n = 226,45 = 226,45 Solução pela HP-12C 967,74. 0,015 14,52 226,45 ENTER n =15,6 meses ou 15 meses e 18 dias OBSEVAÇÃO: 967,74 0,015 - A parte inteira 15 representa os 15 meses. -A parte decimal do número 15,6, ou seja, 0,6, representa os 18 dias. Neste caso, para calcularmos os dias, basta multiplicar a parte decimal por 30 ( 0,6. 30 = 18). X ENTER 15,60meses Exemplo 09: André emprestou R$ 15,00 de Almir. Após 6 meses Almir resolveu cobrar sua dívida. André efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Almir. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta operação? Qual foi a taxa mensal de juros? Solução algébrica: PV = 15,00 FV = 23,75 N = 6 meses i (ac) =? i mensal =? i (ac) = 23, i (ac) = { 1, }. 100 i (ac) = 0, i (ac) = 58,33% a. p. ou ao semestre i mensal = 58,33 / 6 i mensal = 9,72% ao mês Solução pela HP-12C 15 23, ,33 a. p. ENTER % 9,72% ao mês

13 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 13 Montante (M) ou Valor Futuro (FV) Antes de apresentar a fórmula do montante ou valor futuro, devemos lembrar dos conceitos inicias, onde tenhamos que: FV = PV + J e J = PV. i. n Assim teremos: FV = PV ( 1 + i. n) Exemplo 10: Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ ,59 aplicados em um CDB pós-fixado de 90 dias, a uma taxa de 1,45% ao mês? Solução algébrica: n = 90 dias ou (3meses) PV = R$ ,59 i = 1,45% ao mês FV=? FV = ,59(1 + 0, ) FV = ,59(1 + 0,0435) Solução pela HP-12C FV = ,59(1,0435) FV = R$ , ,59 ENTER 1,45 3 % X + R$ ,03 Capital (C) ou Valor Presente (PV) A Fórmula do Capital ou Valor Presente pode ser deduzida a partir da fórmula do Montante ou Valor Futuro (FV). Assim teremos: FV = PV(1 + i. n) Colocando PV em evidência: PV = FV (1 + i. n) Exemplo 11: Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de R$ ,00 por um período de 3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês. Solução algébrica: PV = ,00 (1 + 0, ) PV = ,00 = ,00 (1 + 0,0531 ) 1,0531 PV = R$ , , Solução pela HP-12C ENTER ENTER ENTER X + R$ ,00 x

14 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 14 E X E R C Í C I O S 1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5 % ao mês? R. J = R$ 875,00 2) Um capital de R$ ,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2.756,31. Determine a taxa correspondente. R. i = 2,5% 3) Uma aplicação de R$ ,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 1.147,25. Pergunta-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? R. ianual = 17,655% 4) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750,00 à taxa de 5% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo. R. n = 16 trim 5) Qual o capital que aplicado, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em 360 dias? R. PV = R$ 2827,38 6) Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 2500,00 a 7% a.a. durante 3 anos? R. J = R$ 525,00 7) Determinar o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 2,5% ao mês. R. FV = R$ 9834,51 8) Um financiamento de R$ ,41 é liquidado por R$ ,29 no final de 141 dias. Calcular a taxa mensal de juros. R. i = 5,73555 a m. 9) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu R$ 1.200,00 em 180 dias. Qual é a taxa simples anual ganha? R. i = 48% aa 10) Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 370,00, sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 148,50? R. PV = R$ 221,50 11) João pagou a uma financeira a importância de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso sobre uma prestação de R$ 732,10. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pela financeira? R. i = 21,1% am. 12) Qual o capital que aplicado à taxa simples de 20% ao mês em 3 meses monta R$ 8.000,00? R. PV = R$ 5000,00 13) Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao mês. R. J = R$ 343,75 14) Um capital de R$ R$ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante 3 anos, à taxa de 12% a.a. Determine o juro obtido. R. J = R$ 1800,00 15) Um Capital de R$ R$ 7.000,00 é aplicado à juros simples, durante 1 ano e meio, à taxa de 8% a.s. Obtenha os Juros e o Montante. R. J = R$ 1680,00; FV = R$ 8680,00 16) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% a.m.? R. PV = R$ 30000,00

15 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 15 17) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ ,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 4% ao mês? R. J = R$ ,00 18) Qual o capital emprestado, que em 18 meses, produziu os juros de R$ ,00, à taxa de juros simples de 4% ao mês? R. PV = R$ ,00 19) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ ,00, durante 15 meses, à taxa de juros simples de 3% ao mês? R. FV = R$ ,00 20) Qual o capital investido, para que possa resgatar R$ ,00, no prazo de 6 meses, à taxa de juros simples de 3% ao mês? R. PV = R$ 20000,00 21) Que tempo de aplicação foi necessário, para que R$ ,00, se transforme à taxa de 3% ao mês, em R$ ,00? R. n = 6 meses 22) (EPCAR) O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 130,00. O comprador pode pagar 20% de entrada no ato da compra e o restante em uma única parcela de R$ 128,96, vencível em 3 meses. Admitindo-se o regime de juros simples comerciais, a taxa de juros anual cobrada na venda a prazo é de: R. (b) a) 94% b) 96% c) 98% d) 100%

16 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 16 Cálculo dos juros simples para períodos não inteiros Taxas equivalentes Em algumas situações, o período de aplicação ou empréstimo não coincide com o período da taxa de juros. Nesses casos é necessário se trabalhar com a taxa equivalente. Taxas Equivalentes são aquelas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo período de tempo, produzem o mesmo juro ou rendimento. Exemplo 12: Um banco oferece uma taxa de 28% ao ano pelo regime de juros simples. Quanto ganharia de rendimento um investidor que aplicasse R$ ,00 durante 92 dias? Solução algébrica: PV = ,00 i = 28% ao ano n = 92 dias J =? Opção1: transformando a taxa J = , J = , J = R$ 1.073,33 Opção2: transformando o prazo J = , J = ,28. 0, J = R$ 1.073,33 Opção3: transformando o produto J = , = , J = R$ 1.073,33 Solução pela HP 12C ENTER 0,28 X 92 X 360 R$ 1.073,33 Juros Exato e Comercial Quando falamos em juro exato, estamos na verdade, nos referindo aos dias do calendário, ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês. Como, por exemplo: Janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias). Desta forma, um ano pode ter 365 ou 366 dias. No caso do juro comercial devemos considerar sempre um Mês de 30 dias, e, sendo assim, um ano comercial vai ter sempre 360 dias. Exemplo 13: Uma prestação no valor de R$ ,00 venceu em 01/02/03 sendo quitada em 15/03/03, com a taxa de 48% ao ano. Pede-se: a) Determinar os juros exato b) Determinar os juros comercial Solução algébrica: PV = R$ i = 48% ao ano a) Jexato = , = R$ 800,88 365

17 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 17 b) Jcomercial = , = R$ 812, Solução pela HP-12C , ENTER X + X R$ 800, , ENTER X x X R$ 812,00 E X E R C Í C I O S - JUROS PERIODO NÃO INTEIRO/TAXA EQUIVALENTE e JUROS EXATO E COMERCIAL Considerar o ano comercial (360 dias) 1) Calcular o rendimento de R$ ,00 aplicados durante 8 meses e 3 dias à taxa de juros simples de 40% ao ano. Efetuar os cálculos considerando o ano comercial (360 dias) e o ano exato (365 dias). R. Jcom = R$ 3240,00 e Jex = R$ 3195,61 2) Uma prestação no valor de R$ 6.332,00 venceu em 01/04/00 sendo quitada em 17/05 do mesmo ano com a taxa de 25% ao ano. Determine os juros exato e comercial. R. Jex = R$ 199,50 e Jcom = R$ 202,27 3) Calcule as taxas equivalentes a 40% ao ano para: a) 7 dias; R. 0,77% b) 29 dias; R. 3,22% c) 1 mês; R. 3,33% d) 32 dias; R. 3,56% e) 1 trimestre; R. aprox. 10% f) 45 dias; R. 5% g) 1 semestre; R. aprox. 20%

18 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 18 4) Calcular o valor dos juros de uma aplicação de R$ ,00, feita de 3,64% ao mês, pelo prazo de 32 dias. R. J = R$ 821,18 5) Calcular o rendimento de R$ ,00 aplicados por 14 dias à taxa simples de 2,5% ao mês. R. J = R$ 268,33 6) Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,05% ao mês. R. i22dias = 2,24% 7) Calcule a taxa mensal proporcional a: a) 9% ao trimestre b)24% ao semestre c) 0,04% ao dia d)30% ao ano. R. a) 3% ao mês; b) 4% ao mês; c) 1,2% ao mês; d) 2,5% ao mês 8) Um capital de R$2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido. R$ 500,00 9) Calcule o juro correspondente a um capital de R$18.500, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano. R. R$ ,00 10) Uma aplicação de valor inicial de R$ 4.000,00 foi feita por um período de 72 dias, pelo regime de juros simples, sob a taxa de 9% ao mês. Podemos afirmar que o valor do Juro Exato e o valor do Montante final são: R. (c) a) R$ 946,67 e R$ 4946,67 b) R$ 946,67 e R$ 4864,00 c) R$ 864,00 e R$ 4864,00 d) R$ 946,67 e R$ 8644,00 e) R$ 360,00 e R$ 4864,00

19 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 19 DESCONTOS É a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas promissórias etc., pode levantar fundos em um banco descontando o título antes do vencimento. O Banco naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título, dito nominal. Podemos classificar os tipos de descontos como Simples (método linear) e Composto (método exponencial). Desconto Racional ou Real Simples - desconto por dentro É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor atual ( ou valor de resgate) do papel. O valor do desconto é a diferença entre o valor futuro ((VN) valor nominal ou de resgate) e o valor atual ((VL) valor líquido liberado na data do desconto) calculado a juros simples. Vamos aplicar as seguintes fórmulas: Para calcular o desconto racional simples: DRS = VN VL O desconto racional simples (DRS) pode também ser encontrado diretamente pela seguinte fórmula: DRS = VN. i. n ( 1 + i. n ) Para calcular o valor líquido: VL = VN - DRS. O Valor Líquido (VL) também pode ser encontrado pela seguinte fórmula: Exemplo 01: VL = VN. ( 1 + i. n ) Um título de valor nominal de R$ ,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional simples e o valor líquido? Solução algébrica: Dados: VN = R$ ,00; n = 2 meses; i = 2,5% ao mês; DRS =? DRS = 25000,00. 0, ( 1 + 0, ) DRS = ,05 Solução pela HP-12C ENTER 0,025 X 2 X 1 ENTER 0,025 ENTER 2 X + CHS 25000,00 + R$ ,52

20 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 20 DRS = R$ 1190,48 VL = VN - DRS VL = ,48 VL = R$ ,52 Desconto Bancário ou Comercial - desconto por fora É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor nominal (ou valor de face) do papel. Na prática o que é utilizado é o desconto por fora. O valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida pelo banco pelo prazo a decorrer até o vencimento do título. Vamos expressar esta situação através da seguinte fórmula: DBS = VN. i. n e VL = VN DBS OBS.: CASO A DÍVIDA SEJA PRORROGADA: VL = VN + DBS Exemplo 02: Um título de valor nominal de R$ ,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto comercial (bancário) e o valor líquido? Solução algébrica: Dados: VN = R$ ,00; n = 2 meses; i = 2,5% ao mês; DBS =? DBS = 25000,00. 0, DBS = R$ 1250,00 VL = ,00 VL = R$ ,00 Exemplo 03: Uma duplicata no valor de R$ ,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título de despesas administrativas e que o IOF (Imposto Sobre Operações Financeiras) é 0,0041% ao dia sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra alternativa seria tomar um empréstimo com a taxa líquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção? Solução algébrica: Dados: VN = R$ ,00; n = 2 meses; id = 2,5% ao mês; i adm = 1%; i IOF = 0,0041%; i = 2,8% ao mês(empréstimo) VL =? DBS =? D IOF =? Dadm =? ONDE: D = despesas D IOF = despesas com IOF Dadm = despesas administrativas Solução pela HP-12C ENTER 0,025 X 2 X CHS R$ ,00

21 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 21 VL = VN DBS D IOF Dadm DBS = VN. id. n DBS = , = R$ 1250,00 Dadm = ,01 = R$ 250,00 D IOF = , = R$ 61,50 VL = ,50 VL= R$ ,50 Se considerarmos que o PV seja R$ ,50 e FV = ,00, então teremos que a taxa desta operação será: i = FV - PV FV. n i = ,50 = 1561,50 = 3,12 % ao mês (2) A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% ao mês, neste caso, será melhor opção. Operações com um conjunto de títulos Estudaremos nos próximos itens as situações em que haja mais de um título ou borderô de títulos ou duplicatas. Exemplo 04: Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa? Duplicata Valor(R$) Prazo(vencimento) A 2.500,00 25 dias B 3.500,00 57 dias C 6.500,00 72 dias Neste exemplo, vamos aplicar inicialmente a metodologia de cálculo para um único título. Solução algébrica: a)duplicata A: DBS = , = R$ 62,50 30 b)duplicata B: DBS = , = R$ 199,50 30 c)duplicata C: DBS = , = R$ 468,00 30 Valor líquido = ,50 199,50 468,00 = R$ ,00

22 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 22 E X E R C Í C I O S 1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês? R. DBS = R$ 225,00 2) Qual a taxa mensal de desconto comercial simples utilizada numa operação a 120 dias cujo valor nominal é de R$ 1000,00 e cujo valor líquido é de R$ 880,00? R. i = 3% 3) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme o borderô a seguir: a) dias b) dias c) dias R. VL = R$ ,00 4) Uma duplicata de R$ ,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada por um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. R. VL = R$ 29408,00 5) Achar o valor líquido do borderô de cobrança a baixo, á taxa de desconto bancário é de 2% ao mês. R. VL = R$ 4461,11 Duplicatas Valor (R$) Prazo (vencimento) X 800,00 13 dias Y 1350,00 29 dias Z 2430,00 53 dias 6) Um título com valor nominal de R$ ,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60% ao mês. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$ ,29 7) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um DRS à taxa de 10% ao mês. De quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$ 2.740,00 8) Um título com valor nominal de R$ 7.420,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% ao mês. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$ 5.300,00 9) Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo o valor nominal é de R$ 2.040,00, 4 meses antes de seu vencimento. Qual o valor que deverá pagar pelo título, se a taxa racional simples usada no mercado é de 5% ao mês? R. VL = R$ 1.700,00

23 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 23 10) João deve a um banco R$ ,00 de um título, que vencem daqui a 30 dias. Por não dispor de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focal atual (zero) e que o banco adote a taxa de desconto comercial simples de 72% ao ano, o valor do novo título será de: R. VL = R$ ,00 11) Em uma operação de resgate de um título, a vencer em 4 meses, a taxa anual empregada dever ser de 18% ao ano. Se o desconto comercial simples é de R$ 180,00, qual o valor nominal do título? R. VN = R$ 3.000,00 12) O DCS de um título 4 meses antes do seu vencimento é de R$ 800,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor nominal. R. VN = R$ 4.000,00 13) Você possui uma duplicata cujo o valor de face é de R$ 150,00. essa duplicata foi descontada 3 meses antes do vencimento, obtendo um DBS de R$ 9,50. Qual à taxa de desconto? R. i = 2,1% 14) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9800,00, que sofreu um DCS de R$ 448,50, à taxa de 18% ao ano. R. n = 92 dias 15) Um título de R$ 2000,00 será descontado a 12% ao mês, 2 meses antes do vencimento. Determinar o valor atual (ou valor de resgate), considerando: a) Desconto simples bancário. R. R$ 1.520,00 b) Desconto simples racional. R. R$ 1612,90

24 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 24 JUROS COMPOSTOS Podemos entender os juros compostos como sendo o que popularmente chamamos de juros sobre juros. O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros. FÓRMULAS: Para calcular o Montante: FV = PV( 1 + i ) n Montante para taxa em meses consecutivos ( Obs.: n sempre igual a 1) FV = PV( 1 + i ) n. ( 1 + i ) n. ( 1 + i ) n... Para calcular o Capital: PV = FV ( 1 + i ) n Para calcular a Taxa em período quebrado: QQ/QT FV i = PV Onde: QQ = Quanto eu Quero ( o prazo da taxa a ser calculada) QT = Quanto eu Tenho ( o prazo da operação que foi informado) Taxa acumulada: i ac = FV - 1 PV Para calcular o prazo : n = LN (FV/ PV) LN(1 + i) Onde: LN = Logaritmo neperiano Para calcular os juros : J = PV[(1 + i ) n 1]

25 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 25 Exemplo 01: Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. Solução algébrica: FV = 5000(1 + 0,04) 5 FV = 5000(1,04) 5 FV = 5000(1, ) FV = R$ 6.083,26 Solução pela HP-12C 5000 CHS PV 4 i 5 n FV V R$ 6.083,26 Exemplo 02: Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% ao ano, monta R$ ? Solução algébrica: PV = FV = ( 1 + i ) n (1,15) 6 PV = = R$ 6.052,59 2,31306 Exemplo 03: Solução pela HP-12C A loja Leve Tudo financia a venda de uma máquina no valor de R$ ,72, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ ,68 no final de 276 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? i CHS n PV V R$ 6.052,59 FV Dados: i =? PV = R$ ,72 FV = R$ ,68 n = 276 dias Solução algébrica: i = ,68 30/ ,72 i = {(1, ) 0, }. 100 i = {0, }. 100 i = 3,90% ao mês Solução pela HP-12C 10210, , i CHS FV V ENTER n 3,90% ao mês PV

26 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 26 Exemplo 04: Em que prazo um empréstimo de R$ ,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ ,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês? Dados: n =? i = 3% ao mês PV = R$ ,43 FV = R$ ,33 Solução algébrica: LN , ,43 n = LN ( 1 + 0,03) n = LN(1,710338) LN(1,03) n = 0, , n = 18, meses f 41524,33 Solução1 pela HP-12C 6 ENTER 24278,43 g LN 1,03 g LN 18, meses Exemplo 05: Calcular os juros de uma aplicação de capital de R$ 1000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa de 10% ao mês. Dados: PV = R$ 1.000,00? Solução pela HP-12C i = 10% ao mês n = 5 meses 1000 CHS PV J =? Solução algébrica: J= 1000[(1 + 0,10) 5 1] 10 5 i n J= 1000[(1,10) 5 1] J= 1000[1, ] FV 1.610,51 J= 1000[0,61051 ] J= R$ 610,51 RCL PV + R$ 610,51 Cálculo dos Juros Compostos para Períodos não Inteiros As operações de juros compostos para períodos não inteiros podem ser facilitadas se adotarmos a convenção do prazo para dias, vejamos a seguir: 1 ano exato = 365 ou 366 dias; 1 ano = 360 dias; 1 semestre = 180 dias; 1 trimestre = 90 dias; 1 mês comercial = 30 dias; 1 mês exato = 29 ou 31 dias; 1 quinzena = 15 dias. Quando deparamos com este tipo de situação devemos considerar o prazo n = QQ (Quanto eu Quero), sempre considerando o prazo em dias. QT (Quanto eu Tenho) Solução 2 pela HP-12C 41524, ,43 3 n i CHS PV 19 meses FV

27 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 27 Sendo assim, teremos a seguinte fórmula do Valor Futuro(FV): FV = PV (1 + i ) QQ/QT Exemplo 06: Determinar o montante de uma aplicação de R$ ,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos. Dados: PV = R$ ,00 i =25% ao ano n = 92 dias FV =? OBS.: neste caso a taxa está ao ano e o prazo está em dias. As perguntas: Qual é o prazo que eu Quero? Qual é o prazo que eu Tenho? Solução algébrica: FV = 13500(1 + 0,25) 92/360 FV = 13500(1,25) 0, FV = 13500(1,058683) FV = R$ ,22 Solução pela HP-12C ENTER ENTER 0, ENTER 360 y x X R$ ,22 E X E R C Í C I O S 1) Calcular o valor futuro ou montante de uma aplicação financeira de R$ ,00, admitindo-se uma taxa de 2,5% ao mês para um período de 17 meses. R. FV = R$ 22824,27 2) Calcular o capital aplicado pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês, cujo valor resgatado foi de R$ ,25. R.PV = 88296,69 3) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ ,85 produziu um montante de R$ ,45 com uma taxa de 0,98% ao mês? R. n = 55,32 aprox. 56 4) Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital R$ 2.500,00 produzir um montante de R$ 4.489,64 durante um ano? R. i = 5% am. 5) Determinar os juros obtidos através de uma aplicação de R$ 580,22 com uma taxa de 4,5% ao mês durante 7 meses. R. J = R$ 209,38 6) Determinar o valor de um investimento que foi realizado pelo regime de juros compostos, com uma taxa de 2,8% ao mês, produzindo um montante de R$ 2.500,00 ao final de 25 meses. R. PV = R$ 1253,46

28 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 28 7) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros efetivos de 2% a.m.? R. J = R$ 875,97 8) Determinar o montante de uma aplicação de R$ ,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, para um período de 119 dias pelo regime de juros compostos. R. FV = R$ 11411,43 9) Determinar o capital que, aplicado por 7 meses a juros efetivos de 4% ao mês, rende R$ ,00. R. PV = R$ 31652,40 10) Em que prazo um empréstimo de R$ ,00 pode ser quitado por meio de um único pagamento de R$ ,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% ao ano? R. n = 5 anos 11) Tenho R$ ,00 e aplico em uma caderneta de poupança 23% do valor, a uma taxa de 2,5% ao mês a juros compostos durante 4 bimestres. Qual o valor do resgate no final do período? R. FV = R$ 2802,32 12) André pretende aplicar R$ ,00. Ele fez uma análise em três bancos diferentes. Veja a tabela abaixo com as condições oferecidas por cada banco. BANCO X Y Z Taxa 2% ao mês 2% ao trim 2,5% ao mês Prazo 2 bimestre 2 trimestre 3,5 meses a) Calcule o montante referente as condições oferecidas por cada banco R. FVx = R$ ,96; FVy = R$ ,00 e FVz = R$ ,07 b) Qual é a melhor opção? 13) A loja MIX Ltda. vende um etrodoméstico por R$ 180,00 a unidade, sendo o pagamento feito em 2 meses após a compra. Para pagamento à vista, o preço é de R$ 165,00. Qual a taxa mensal de juros cobrada no financiamento? R. i = 4,44% a.m 14) Em 3 meses consecutivos, um fundo rendeu, respectivamente, 1,2%, 1,5% e 1,8%. Se o capital aplicado no início do primeiro mês foi de R$ ,00, determine: a) o Montante no final do terceiro mês; R. FV = R$ ,69 b) a taxa de rentabilidade acumulada deste fundo no trimestre. R. i ac = 4,56% 15) O quadro abaixo indica, em reais, as quantias que dois investidores A e B dispunham e as respectivas taxas a que estas quantias foram aplicadas a juros compostos. Investidor Capital Taxa A % ao ano B % ao semestre Depois de um ano, a soma, em reais, dos montantes desses dois investidores será: R. (b) a) b) c) d) e)

29 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 29 Desconto Racional Composto DESCONTOS COMPOSTOS O desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante (M), (FV) ou (VN). Utilizaremos todas as metodologias anteriores para os cálculos do desconto composto. DRC = VN VL VL = VN. (1 + i) n Exemplo 01: Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5000,00 considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes do seu vencimento. Dados: VN = 5000; i = 3,5% ao mês; n = 3 meses; DRC?; VL =? Solução algébrica: VL = (1 + 0,035) 3 VL = 5000 = 5000 = R$ 4509,71. = (1,035) 3 1,10872 DRC = ,71 = R$ 490,29 Solução pela HP-12C 5000 FV 3,5 i 3 n PV 4509, R$ 490,29 Desconto Bancário ou Comercial ( para descontos compostos) O Desconto Bancário Composto praticamente só existe na teoria, já que o que é utilizado em nosso país é o desconto bancário simples. Considere um título de Valor Nominal (VN), com vencimento em um período (n), e um Valor Líquido (VL), que produz um Valor Futuro (FV) igual a VN, quando aplicado por (n) períodos a uma taxa composta de descontos (id) por período. Vamos verificar: Onde: DBC = Desconto Bancário Composto DBC = VN VL VL = VN (1 - i) n Exemplo 02: Uma duplicata no valor de R$ ,00, 60 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto bancário concedido. Solução algébrica: Dados: VN = R$ ,00; n = 60dias (2 meses); i = 2,5% ao mês; VL =? DBC =? VL = 25000(1-0,025) 2 VL = 25000(0,975) 2 VL = (0,950625) VL = R$ 23765,63 DBC = ,63 = R$ 1.234,38 Solução pela HP-12C ENTER 1 ENTER 0,025-2 Y x X ,63 CHS R$ 1.234,38 FV 23795, R$ 1204,64

30 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 30 E X E R C Í C I O S 1) Um título no valor nominal de R$ ,00 foi pago 3 meses antes do vencimento. Se a taxa mensal de desconto racional composto era 10%, de quanto era o valor líquido deste título? R. VL = R$ ,00 2) Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 3.000,00 considerando uma taxa de juros compostos de 1,8% ao mês, sendo descontado 4 meses antes do seu vencimento. R. DRC = R$ 206,62 3) Uma duplicata de R$ ,00, 90 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 1,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o Valor Líquido creditado na conta e o valor do Desconto Racional concedido. R. VL = R$ ,46 e DRC = R$ 742,64 4) Determine o valor do DRC de um título de valor nominal de R$ 6.200,00, descontado 5 meses antes do vencimento, sendo à taxa de 3% ao mês. R. DRC = R$ 851,82 5) Calcule o DRC obtido em um título de valor nominal R$ 3.800,00, resgatado 8 meses antes do vencimento, sendo à taxa de desconto de 30% ao ano. R. DRC = 681,17 6) Um título no valor nominal de R$ ,00 é descontado 90 dias antes do vencimento à uma taxa de 1,5% ao mês. Qual o valor líquido e o DRC? R. VL = R$ ,89 e DRC = R$ 1.092,11 7) Uma nota promissória de R$ 5.000,00 foi descontada comercialmente 60 dias antes do vencimento à taxa de juros de 3% ao mês. Calcular o valor líquido recebido e o DRC. R. VL = R$ ,98 e DRC = R$ 287,02 8) Uma pessoa quer liquidar, 3 meses antes do vencimento, uma dívida representada por um título cujo valor nominal é de R$ 1.000,00. sabendo-se que o banco credor utiliza uma taxa de desconto composto de 3% ao mês, ache o valor líquido e o desconto racional. R. VL=R$ 915,14 e DRC= R$ 84,86

31 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 31 OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS Conforme o Banco Central do Brasil S. A., as taxas de juros de cada instituição financeira representam médias geométricas ponderadas pelas concessões observadas nos últimos cinco dias úteis, período esse apresentado no ranking de cada modalidade de operação de crédito. A taxa de juros total representa o custo da operação para o cliente, sendo obtida pela soma da taxa média e dos encargos fiscais e operacionais. Taxas Equivalentes a Juros Compostos Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a um mesmo capital, por um período de tempo equivalente e gerem o mesmo rendimento. i eq = ( 1 + i c ) QQ/QT Onde: i eq = taxa equivalente i c = taxa conhecida QQ = Quanto eu Quero QT = Quanto eu Tenho Exemplo 01: Calcular a equivalência entre as taxas: Taxa Conhecida Taxa equivalente para: a) 79,5856% ao ano 1 mês b) 28,59% ao trimestre 1 semestre c) 2,5% ao mês 105 dias d) 0,5 ao dia 1 ano e) 25% (ano comercial) 1 ano exato ( base 365 dias) Solução algébrica: a) i eq = { ( 1 + i c ) QQ/QT - 1 } ,7958 i eq = { ( 1 + 0,7958) 30/360-1 }. 100 Solução pela HP-12C - a) ENTER i eq = { ( 1 + 0,7958) 0, } ENTER 360 i eq = { 1, }. 100 i eq = { 0, } X i eq = 5% ao mês x 5% ao mês Solução algébrica: Solução b) algébrica: i eq = { ( 1 + 0,2859) 180/90-1 }. 100 i eq = { ( 1 + 0,2859) 2-1 }. 100 i eq = { 1, }. 100 i eq = { 0, }. 100 i eq = 65,35% ao semestre Solução algébrica c) i eq = { ( 1 + 0,025) 105/30-1 }. 100 i eq = { ( 1, 025) 3,5-1 }. 100 i eq = { 1, }. 100 i eq = { 0, }. 100 i eq = 9,03 %ao período Y x

32 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 32 Solução algébrica d) i eq = { ( 1 + 0,005) 360/1-1 }. 100 i eq = { ( 1,005) }. 100 i eq = { 6, }. 100 i eq = { 5, }. 100 i eq = 502,265% ao ano Solução algébrica e) i eq = { ( 1 + 0,25) 365/360-1 }. 100 i eq = { ( 1, 25) 1, }. 100 i eq = { 1, }. 100 i eq = { 0, }. 100 i eq = 25,39% ao período Taxa Real, Taxa Aparente e Taxa de Inflação Denominamos taxa aparente (i) aquela que vigora nas operações correntes (financeiras e comerciais). Quando não há inflação (I), a taxa aparente (i) é igual à taxa real (R); porém, quando há inflação (I), a taxa aparente (i) é formada por dois componentes: - Um correspondente ao juro real e outro correspondente a inflação. Sendo: C: capital inicial Daí, R: taxa real de juros I: taxa de inflação i: taxa aparente (1 + i) = (1 + R). (1 + I) Exemplo 01: Qual a taxa aparente, correspondente a um ganho real de 9% ao ano se a taxa de inflação do período for 11,9%? Resolução: i =? R = 9%ao ano I = 11,9% (1 + i) = (1 + R). (1 + I) (1 + i) = (1 + 0,09). (1 + 0,119) (1 + i) = (1,09). (1,119) (1 + i) = 1,22 i = 1,22-1 i = 0, i = 22% ao ano Exemplo 02: Qual a taxa real, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se a inflação do período for 11,9%? Resolução: i = 22% ao ano R =? I = 11,9% (1 + i) = (1 + R). (1 + I) (1 + 0,22) = (1 + R). (1+ 0,119) (1,22) = (1+ R). (1,119) 1,22 = (1 + R) 1,119 1,09 = (1 + R) 1,09 1 = R 0,09 = R R = 0, R = 9% ao ano Resolução pela HP 12C: 1,09 ENTER 1,119 X X 22 Resolução pela HP 12C: 1,22 CHS FV 1,119 PV 1 n i 9

33 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 33 Exemplo 03: Qual a taxa de inflação, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se o rendimento real for no período 9%? Resolução: I =? R = 9%ao ano i = 22% ao ano (1 + i) = (1 + R). (1 + I) (1 + 0,22) = (1 + 0,09). (1+ I) (1,22) = (1,09). (1 + I) 1,22 = (1 + I) 1,09 1,119 = (1 + I) 1,119 1 = I 0,119 = I I = 0, I = 11,9% ao ano Taxa Acumulada de juros com Taxas Variáveis É normalmente utilizada em situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral. A composição das taxas pode ocorrer de duas formas, com taxas positiva ou negativas, nesse caso podemos exemplificar as taxa positiva como do tipo 4%; 2% e 15% e a taxas negativa como do tipo -2%; -3,5% e -1,7%, etc. Matematicamente, o fator de acumulação de uma taxa positiva pode ser representada (1+ i) e a taxa negativa (1 i). assim teremos a seguinte fórmula genérica: i ac = [(1+ i 1 ). (1+ i 2 ). (1+ i 3 )... (1+ i n ) 1]. 100 Resolução pela HP 12C: 1,22 CHS FV 1,09 PV 1 n i 11,9 Exemplo 04 Calcular a taxa acumulada de juros à seguinte sequencia de taxas: 5%, 3%, -1,5%, -2% E 6,5%. Resolução: i ac = [(1+ 0,05) (1+ 0,03) (1-0,015) (1-0,02) (1+0,065)-1]. 100 i ac = [(1,05) (1,03) (0,985) (0,98) (1,065)-1]. 100 i ac = [1, ]. 100 i ac = 11,18% ao período Resolução pela HP 12C: 1,05 ENTER 1,03 X 1 ENTER 0,015 - X 1 ENTER 0,02 - X 1,065 X X 11,18% Taxa Média de Juros Imagine o conjunto de taxas ( 4%; 2% e 15%) neste exemplo, 3 é a quantidade de elementos deste conjunto de taxas. Temos a seguinte fórmula genérica: i me ={[(1+ i 1 ). (1+ i 2 ). (1+ i 3 )... (1+ i n )] 1/n - 1}. 100 onde n = número de taxas analisadas

34 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 34 Exemplo 05 Com base nos dados a seguir calcular a taxa média. Dados: IGP-M/FGV (Jan/2001) = 0,62% IGP-M/FGV (Fev/2001) = 0,23% IGP-M/FGV (Mar/2001) = 0,56% IGP-M/FGV (Abr/2001) = 1,00% IGP-M/FGV (Mai/2001) = 0,86% Resolução: i m = {[(1+ 0,0062)(1+ 0,0023)(1+ 0,0056)(1+ 0,01)(1+ 0,0086)] 1/5 1}. 100 i m ={[(1,0062)(1,0023)(1,0056)(1,01)(1,0086)] 1/5 1}. 100 i m = {[1, ] 0,2 1}. 100 i m = {0,006536}. 100 i m = 0,6536%ao mês 1) Determinar a taxa: E X E R C I C I O S a) anual equivalente a 2% ao mês R. 26,82% b) mensal equivalente a 60,103% ao ano R. 3,99% c) anual equivalente a 0,1612% ao dia R. 78,57% d) trimestral equivalente a 39, 46 % a 1 semestre R. 18,09% Resolução pela HP 12C: 1,0062 ENTER 1,0023 X 1,0056 X 1,01 X 1,0086 X 5 1/X Y X X 0,65% ao mês 2) Calcule a taxa aparente anual que deva cobrar uma financeira para que ganhe 8% ao ano de juros reais quando a inflação for de 5% ao ano. R. i = 13,40%aa 3) A taxa de juros para aplicações de curtos e médios prazos, em um banco é 40% ao ano. Que remuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 38% ao ano? R. R = 1,45%aa 4) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% ao ano de juros reais, caso a taxa aparente seja de 25% ao ano? R.I = 11,60%aa 5) Por um capital aplicado de R$ 6000,00, aplicado por dois anos, o investidor recebeu R$ ,35 de juros. Qual a taxa aparente ganha se a inflação for de 30% ao ano e o juro real for de 5% ao ano? R. i = 36,5%aa 6) Emprestam um dinheiro a 4,36% ao ano. Se a inflação foi de 1% no período, qual a taxa real da operação? R. R = 3,32%aa

35 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 35 7) Um gerente empresta um dinheiro à taxa de 8%. A inflação do mês foi de 0,80%. Quanto foi a taxa real? R. R = 7,14% 8) Uma determinada revista de informações financeiras apresentou a seguintes taxas de CDIs: Fev. = 2,11%; Mar. = 2,18%; Abr. = 1,69%; Mai. = 1,63%; Jun. = 1,60%; Jul. = 1,69% para o ano de Pergunta-se: a) Qual a taxa média no período? R. 1,82% ao mês b) Qual a taxa acumulada no período? R. 11,41% ao período 9) Calcular a taxa acumulada e a média das taxas 5%, 2%, 1%, -3,5% e 4%. R. iac = 8,56% ao período; im = 1,66% ao mês. 10) Com base na tabela a seguir, calcular a variação do IGP-M (FGV) acumulada durante os meses de junho/2000 a setembro/2000. R. iac = 6,1% ao período Junho/2000 0,85% Julho/2000 1,57% Agosto2000 2,39% Setembro/2000 1,16% 11) Indique qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal. Utilize o conceito de juros compostos. R. (a) a) 2,595% ao mês b) 19,405% ao semestre c) 18% ao semestre d) 9,703% ao trimestre e) 6,825% ao bimestre

36 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 36 SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são constantes e ocorrem em intervalos iguais. Para classificar estes conceitos, vamos interpretar as palavras. Séries número de coisas ou eventos, semelhantes ou relacionados, dispostos ou ocorrendo em sucessão espacial ou temporal. Uniformes que tem uma só forma; igual, idêntico; muito semelhantes. Pagamentos cumprimento efetivo da obrigação exigível. Classificação das séries de pagamentos a) Quanto ao tempo Temporária - quando tem um número limitado de pagamentos; Infinita quando tem um número infinito de pagamentos. b) Quanto à constância ou periodicidade Periódicas quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos iguais; Não periódicas quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo variáveis. c) Quanto ao valor dos pagamentos Fixos ou Uniformes quando todos os pagamentos são iguais; Variáveis quando os valores dos pagamentos variam. d) Quanto ao vencimento do primeiro pagamento Imediata quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro período da série; Diferida quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período da série, ou seja, ocorrerá em períodos seguintes. e) Quanto ao momento dos pagamentos Antecipadas quando o primeiro pagamento ocorre no momento 0 (zero) da série de pagamentos; Postecipadas quando os pagamentos ocorrem no final dos períodos. Série Uniforme de Pagamento POSTECIPADA São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema é também chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada(0 + n). Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor de um pagamento ou prestação (PMT) será possível calcular o valor presente(pv) de uma série de pagamentos postecipada através da seguinte fórmula: PV = PMT (1 + i) n - 1 (1 + i) n. i

37 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 37 EXEMPLO 01: Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$ 1500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% ao mês a taxa de juros negociada na operação. Dados: PV =? n = 6 meses i = 3,5% ao mês PMT = R$ 1500,00 Resolução algébrica: PV = PMT (1 + i) n - 1 (1 + i) n. i PV = 1500 (1 + 0,035) 6-1 (1 + 0,035) 6. 0,035 PV = 1500 (1,035) 6-1 (1,035) 6. 0,035 PV = , , ,035 0, PV = , PV = 1500[5,328553] PV = R$ 7992,83 Resolução pela HP-12C f REG 1500 CHS PMT 6 n 3,5 i PV 7992,83 Dado o Valor Presente(PV), Achar a Prestação (PMT) Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor presente(pv) de uma série de pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações ( PMT) através da seguinte fórmula: PMT = PV (1 + i) n. i (1 + i) n - 1

38 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 38 EXEMPLO 02: Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerando que a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês? Dados: PV = 500 n = 5 meses i = 5% ao mês PMT =? Resolução algébrica: PMT = 500 PMT = 500 (1 + 0,05) 5. 0,05 (1 + 0,05) 5-1 (1,05) 5. 0,05 (1,05) 5-1 Resolução pela HP-12C f REG 500 CHS PV 5 n 5 i PMT 115,49 PMT = 500 1, ,05 1, PMT = 500 0, , PMT = 500[0,230975] PMT = R$ 115,49 Dado o Valor Futuro(FV), Achar a Prestação (PMT) Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor futuro(fv) de uma série de pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações ( PMT) através da seguinte fórmula: PMT = FV i (1 + i) n - 1

39 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 39 EXEMPLO 03: Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 7 meses, produz um montante de R$ 5000,00, pelo regime de juros compostos. Dados: FV = 5000 n = 7 meses i = 4% ao mês PMT =? Resolução algébrica: 0,04 PMT = 5000 (1 + 0,04) 7-1 PMT = ,04 (1,04) 7-1 Resolução pela HP-12C f REG 5000 FV 7 n 4 i PMT 633,05 PMT = ,04 1, PMT = ,04 0, PMT = 5000[0,126610] PMT = R$ 633,05 Dado o Valor Presente(PV), Calcular o Prazo (n) Sendo informados uma taxa(i), o valor presente(pv) e um pagamento ou prestação(pmt) em uma série uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o número de pagamentos ou prazo(n), através da seguinte fórmula: n = - LN 1 - PV PMT. i LN(1+ i)

40 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 40 EXEMPLO 04: Um produto é comercializado à vista por R$ 1750,00. Uma outra alternativa seria financiar este produto a uma taxa de 3% ao mês. Gerando uma prestação de R$ 175,81; considerando que o comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestações deste financiamento. Dados: PV = 1750 n =? i = 3% ao mês PMT = 175,81 Resolução algébrica: n = LN ,03 175,81 Resolução pela HP-12C f REG 1750 PV 3 i 175,81 CHS PMT n 12 LN(1+ 0,03) n = - LN [1 (9,953928). 0,03 ] LN(1,03) n = - LN [1 (0,298618) ] LN(1,03) n = - n = - LN[0, ] LN(1,03) -0, ,02956 n = n = 12meses Dado o Valor Futuro(FV), Calcular o Prazo (n) Sendo informados uma taxa(i), um valor futuro(fv) e a prestação(pmt) em uma série uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o número de pagamentos ou prazo(n), através da seguinte fórmula: FV. i LN +1 PMT n = - LN(1 + i)

41 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 41 EXEMPLO 05: Um poupador deposita R$ 150,00 por mês em uma caderneta de poupança; após um determinado tempo observou-se que o saldo da conta era de R$ ,62. Considerando uma taxa média de poupança de 0,08% ao mês, determine a quantidade de depósito efetuado por este poupador. Dados: FV = ,62 i = 0,08% ao mês PMT = 150,00 n =? Resolução algébrica: Resolução pela HP-12C n = ,62. 0,0008 LN LN(1+ 0,0008) f REG 30032,62 CHS FV 150 PMT 0,08 i n 186 meses 24, LN n = - n = - n = - LN(1,0008) LN[ 0, ] LN(1,0008) LN[ 1, ] LN(1,0008) 0, n = - n = 185, n = 186 meses 0, Dada a prestação (PMT), calcular o Valor Futuro (FV) Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor do pagamento ou prestação (PMT) de uma série uniforme de pagamentos postecipados, será possível calcular o valor futuro (FV), através da seguinte fórmula: FV = PMT (1 + i ) n - 1 i

42 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 42 EXEMPLO 06: Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de poupança; considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de trinta anos, qual será o valor acumulado após este período? Dados: PMT = 100,00 n = 30 anos ou 360 meses i =0,8% ao mês FV =? Resolução algébrica: FV = 100 (1 + 0,008) ,008 FV =100 (1,008) ,008 FV = , ,008 Resolução pela HP-12C f REG 100 CHS PMT 0,8 i 360 n FV ,32 FV = , FV = 100 (2076,4132) FV = R$ ,32 0,008 E X E R C Í C I O S 1) Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1000,00, durante 5 meses, à taxa de 5% ao mês. R. FV = R$ 5.525,63 2) Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$ ,00, no final de cada um dos próximos 8 anos, sabendo-se que esse investimento é remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos. R. PV = R$ ,24 3) Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é de R$ 1000,00 e que o prazo é de 4 meses. R. PMT = R$ 265,82 4) Um automóvel custa à vista o valor de R$ ,00, e pode ser financiado em 48 parcelas mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das prestações. R. PMT = R$ 453,06 5) No exercício anterior, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao mês para recalcular o valor da prestação. R. PMT = R$ 340,28 6) Uma pessoa deposita em uma financeira, no final de cada mês, durante 5 meses, a quantia de $ ,00. Calcule o Montante da renda, sabendo que a financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ ,02 7) Qual o período financeiro necessário, para se aplicar $ 500,00 anualmente e se resgatar o montante da renda de $ ,00, se a financiadora me oferecer 25% ao ano de rendimento? R. n = 8,78 aprox. 9anos

43 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 43 8) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processando nenhuma retirada, se tenha $ ,00? Considerar que a instituição paga 2,5% ao mês sobre o saldo credor. R. PMT = R$ 367,66 9) Um bem cujo preço à vista é de $ será pago em oito prestações mensais iguais pagas ao fim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% ao mês, calcular o valor das prestações. R. PMT = R$ 618,89 10) A juros nominais de 36% ao ano capitalizado mensalmente, determinar o tempo necessário para liquidar um financiamento de $ 842,36 por meio de prestações mensais postecipadas de $ 120. R. n = 7,99 aproxima. 8 meses 11) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 2 anos, a quantia de R$ 200,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês. R. FV = R$ 6.084,00 12) Quanto devo aplicar mensalmente, durante 3 anos, para que possa resgatar R$ ,00 no final dos 36 meses, sabendo que a aplicação proporciona um rendimento de 1,5% ao mês? R. PMT = R$ 750,00 13) Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de R$ 800, 00, a 0,5% ao mês. Quanto terei no fim de 1 ano? R. FV = R$ 9.868,44 14) Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de 1,5% ao mês, quanto possuirá em 2,5 anos? R. FV = R$ ,30 15) Quanto se deve aplicar mensalmente, durante 20 meses, à taxa de 2,5% ao mês, para que se tenha R$ ,00 no final do vigésimo mês, dentro do conceito de renda postecipada? R. PMT = R$ 2.349,00 16) Determine o número de aplicações bimestrais e iguais a R$ 900,00, necessárias para se ter um montante de R$ ,00, considerando-se uma taxa de 6% ao bimestre. R. n = 10 prestações 17) O vendedor da loja oferece um sistema de som em oito parcelas mensais, iguais e seguidas de R$ 1.000,00. sabendo-se que a primeira prestação vencerá um mês depois da compra. Calcule o valor do capital desse financiamento considerando a taxa de 3,5% ao mês. R. PV = R$ 6.873,95 18) O financiamento de R$ 8.000,00 será devolvido em parcelas mensais, iguais seguidas de R$ 1.800,00, vencendo a primeira parcela um mês depois do recebimento do dinheiro. Considerando a taxa de juro de 4% ao mês, calcule o número de capitais desse financiamento. R. n = 4,99 ou 5 prestações 19) O financiamento será devolvido em 12 prestações mensais iguais e seguido de R$ 550,00, sendo o pagamento da primeira prestação realizado no final do primeiro mês depois do recebimento do dinheiro. Calcule o valor do financiamento considerando a taxa de juro de 2,85% ao mês. R. PV = R$ 5.524,04 20) Calcule o valor financiado sabendo que o devedor pagará dez parcelas mensais de R$ 1.200,00 num plano de amortização postecipado com taxa de juro de 3,65% ao mês. R. PV = R$ 9.904,90.

44 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 44 Série Uniforme de Pagamento ANTECIPADA As séries uniformes de pagamentos antecipados são aqueles em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também chamado de sistema de pagamento com entrada (1 + n). Dada à prestação (PMT), calcular o valor presente (PV) Sendo informados a taxa ( i), um prazo ( n) e valor da prestação ( PMT) será possível calcular o valor presente (PV) de uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula: PV = PMT (1 + i) n 1 (1 + i ) n-1. i EXEMPLO 01: Uma mercadoria é comercializada em 4 (quatro) pagamentos de R$ 185,00; sabendo-se que a taxa de financiamento é de 5% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como entrada, determine o preço à vista desta mercadoria. Resolução algébrica: Dados: n = 4 PMT = R$185,00 i=5%am PV=? PV = 185 PV = 185 PV = 185 PV = 185 (1 + 0,05) 4 1 (1 + 0,05 ) ,05 (1,05) 4 1 (1,05 ) 3. 0,05 1, , ,05 0, , OBS. : PARA SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA, ANTES DE FAZER A RESOLUÇÃO PELA HP12-C PRESSIONAR AS TECLAS: g BEG Resolução pela HP-12C f REG g BEG 185 CHS PMT 5 i 4 n P V 688,80 PV = 185[ 3, ] PV = R$ 688,80

45 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 45 Dado o valor presente (PV), calcular a prestação (PMT) Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) será possível calcular o valor dos pagamentos ou recebimentos (PMT) de uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula: PMT = PV (1 + i) n-1. i (1 + i ) n - 1 EXEMPLO 02: Um automóvel que custava à vista R$ ,00 pode ser financiado em 36 pagamentos iguais; sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da prestação mensal deste financiamento. Resolução algébrica: Dados: n = 36meses PMT =? i = 1,99%am PV= R$ ,00 PMT = PMT = (1 + 0,0199) ,0199 (1 + 0,0199 ) 36-1 (1,993039) 35. 0,0199 (1,0199 ) 36-1 Resolução pela HP-12C f REG g BEG CHS PV 1,99 i 36 n P MT 683,62 PMT = , , PMT = , , PMT = 17800[ 0, ] PMT = R$ 683,62 Dado o valor presente(pv), calcular o prazo(n) Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o valor presente (PV) será possível calcular o prazo (n) em uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula: PV. i ln 1 - n = - PMT. (1 + i) ln(1 + i)

46 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 46 EXEMPLO 03: Um produto custa à vista R$ 1500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de R$ 170,72, sendo que a primeira será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento? Resolução algébrica: Dados: n =? PMT =R$ 170,72 i = 3%am PV= R$ 1.500, ,03 ln 1 - n = - 170,72. (1 + 0,03) ln(1 +0,03) 45 ln 1 - n = - 170,72. (1,03) Resolução pela HP-12C f REG g BEG 1500 PV 3 i 170,72 CHS PMT n 10 meses ln(1,03) 45 ln 1 - n = - 175,84 0, n = - ln [1-0, ] 0, n = - ln [ 0, ] 0, n = - - 0, , n = - { - 10, } n = 10 meses

47 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 47 Dada à prestação (PMT), calcular o valor futuro (FV) Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o prazo (n), será possível calcular o valor futuro (FV) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da seguinte fórmula: (1 + i) n - 1 FV = PMT. (1+ i ) i EXEMPLO 04: Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$ ,00, e acredita que, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança no Banco Popular S/A, com depósitos mensais de R$ 500,00, ele terá o valor de que precisa. Considerando que a poupança paga, em média, uma taxa de 0,8% ao mês, pergunta-se: o poupador vai conseguir acumular o valor que precisa? Resolução algébrica: Dados: n = 5 anos(60meses) PMT =R$ 500,00? i = 0,8%am FV=? (1 + 0,008) 60-1 FV = 500. (1 + 0,008) 0,008 (1,008) 60-1 FV = 500. (1,008) 0,008 Resolução pela HP-12C f REG g BEG 500 CHS PMT 0,8 i 60 n FV ,43 1, FV = 500. (1,008) 0,008 0, FV = 500. ( 1,008) 0,008 FV = 500[ 76, ]. (1,008) FV = ,93. (1,008) FV = R$ , 43 (ainda sobrará dinheiro)

48 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 48 Dado o valor futuro (FV), calcular a prestação (PMT) Sendo informados uma taxa (i), o valor futuro (FV) e o prazo (n), será possível calcular o valor da prestação ( PMT) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da seguinte fórmula: FV. i PMT = [(1 + i) n 1]. ( 1 + i) EXEMPLO 05: Considere o poupador do exemplo anterior, que se depositar R$ 500,00 na data de hoje, para resgatar no final de 5 anos a importância de R$ ,00, deverá resgatar um pouco mais. Considerando a mesma taxa, ou seja, 0,8% ao mês, de quanto deverá ser o valor de cada depósito para que o poupador consiga acumular exatamente o valor de R$ ,00? Resolução algébrica: Dados: n = 5 anos (60 meses) PMT=? i = 0,8% FV = R$ ,00 PMT = PMT = PMT = PMT = ,00. 0,008 [(1 + 0,008) 60 1]. ( 1 + 0,008) 300 [(1,008) 60 1]. (1,008) 300 [1, ]. (1,008) 300 [0,612991]. (1,008) Resolução pela HP-12C f REG g BEG CHS FV 0,8 i 60 n PMT 485, PMT = PMT = R$ 485,52 0,617895

49 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 49 E X E R C I C I O S 1) Uma pessoa deposita em uma financeira no início de cada mês, durante 5 meses,a quantia de R$ ,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ ,09 2) Qual o montante da renda, para aplicações mensais de R$ 120,00 cada, a taxa de juros compostos de 3% ao mês, durante o período financeiro de 6 meses, sendo que o primeiro depósito foi exigido no ato da abertura do contrato? R. FV = R$ 799,49 3) Um terreno é vendido em 4 prestações mensais iguais de R$ ,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Se a taxa do financiamento for 14% ao mês, qual o preço à vista? R. PV= R$ ,80 4) Uma geladeira é vendida em 5 prestações mensais de R$ 8000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Qual o preço à vista, se a taxa de juros do financiamento for de 9% ao mês? R. PV = R$ ,75 5) Um automóvel usado é vendido à vista por R$ ,00, mas pode ser vendido a prazo em 12 prestações mensais iguais(antes de serem corrigidas monetariamente), sendo a primeira no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é 2% ao mês, obter o valor de cada prestação antes de serem corrigidos. R. PMT = R$ ,08 6) Uma mercadoria custa R$ ,53 a vista, podendo ser vendida em 6 prestações mensais, à taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra. Qual será o valor de cada prestação? R. PMT = R$ ,00 7) Uma mercadoria custa R$ ,53 a vista, podendo ser vendida em prestações mensais de R$ ,00, à taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra. Quantas prestações deverão ser pagas? R. n = 6 meses 8) Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de R$ ,00 pagando prestações mensais antecipadas de R$ ,00 a juros efetivos de 10% ao mês? R. n = 5 meses 9) Quanto deverá ser depositado no início de cada período para obter um montante de R$ ,00 no final de 30 períodos a uma taxa de 5% ao mês? R. PMT = R$ 4.374,95 10) Calcule o montante de uma renda trimestral antecipada de 8 termos iguais a R$ 7.000,00, sendo de 2,5% ao trimestre a taxa de juros compostos. R. FV = R$ ,63

50 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 50 11) Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importância numa instituição financeira, à taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizados bimestralmente, de modo que com 8 depósitos antecipados constitua o montante de R$ ,00. Calcule a importância. R. PMT = R$ ,73 12) Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de $ 307. A juros efetivos de 10% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como entrada. Qual deveria ser seu valor à vista? R. PV = $ 2300,98 13) Um computador custa à vista $2500, 00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de $168, 30, sendo que a 1 a será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratado foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento? R. n = 20 meses 14) A compra de um conjunto de móveis será paga em 8 prestações de R$ 1.000,00, sendo a primeira no ato da compra. Calcule o valor dessa compra considerando a taxa de juro de 3,5% ao mês. R. PV = R$ 7.114,54 15) O financiamento de R$ 8.000,00 será devolvido em parcelas mensais, iguais e seguido de, no máximo, R$ 1.800,00, vencendo a primeira parcela no ato do recebimento do dinheiro. Considerando a taxa de juro de 4% ao mês, calcule o número de capitais desse financiamento. R. n = 4,77 ou 5 meses 16) São financiados R$ 1.000,00 com a taxa de juro de 2,3% ao mês. Calcule o valor das quatro prestações mensais, iguais e seguidas, sabendo que a primeira prestação vencerá no ato de assinar o contrato. R. PMT = R$ 258,59 17) Calcule o montante de uma renda bimestral antecipada de 4 termos iguais a R$ 6.500,00, sendo de 1,5% ao bimestre. R. FV = R$ ,73 18) A compra de roupas no valor de R$ 1.725,00 será financiada em seis prestações mensais iguais e antecipadas. Calcule o valor das prestações considerando a taxa de financiamento de 3% ao mês. R. PMT = R$ 309,16 19) Calcule o valor do financiado em 12 parcelas antecipadas mensais, seguidas e iguais a R$ 256,00, considerando a taxa de juro de 3,35% ao mês. R. PV = R$ 2.579,40

51 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 51 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTO Estudaremos as metodologias de sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos, e ainda, a metodologia para calcular as prestações não uniformes, ou seja, as prestações que mudam a cada período do empréstimo ou financiamento. Empréstimo: recurso financeiro que, em tese, não necessita ser justificado quanto à sua finalidade, como por exemplo: cheque especial e CDC (Crédito Direto ao Consumidor), entre outros. Financiamento: recurso financeiro que tem a necessidade de ser justificado quanto à sua finalidade, por exemplo: compra de automóvel, imóvel e crediário, entre outros. No financiamento, existe sempre a aquisição de um bem ou serviço atrelado à liberação dos recursos financeiros financiados, enquanto no empréstimo exige-se apenas uma garantia de devolução dos recursos financeiros emprestados. Considere as seguintes nomenclaturas que usaremos para desenvolver as tabelas ou planilhas de amortização. Saldo Devedor : é o valor nominal do empréstimo ou financiamento, ou simplesmente Valor Presente (PV) na data focal 0 (zero), que é diminuído da parcela de amortização a cada período (n). Amortização: parcela que é deduzida do saldo devedor a cada pagamento. Juros compensatórios: é o valor calculado a partir do saldo devedor e posteriormente somado à parcela de amortização. Prestação: é o pagamento efetuado a cada período (n), composto da parcela de amortização mais juros compensatórios. Sistema Francês de Amortização (SFA) - (Tabela PRICE) Neste sistema, o financiamento (PV) é pago em presta ções (PMT) iguais, constituídas de duas parcelas de amortização e juros compensatórios (J), que variam inversamente, ou seja, enquanto as parcelas de amortização diminuem ao longo do tempo, os juros aumentam. Este sistema é considerado o sistema de amortização mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral, conhecido também com Sistema Price e tem como principais características: a prestação é constante durante todo o período do financiamento; a parcela de amortização aumenta a cada período (n), ou seja, os pagamentos são periódicos, constantes e sucessivos; os juros compensatórios diminuem a cada período (n). OBS.: Seu cálculo, pela HP12C é feito na mesma forma da série de pagamentos uniformes postecipados.

52 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 52 Exemplo 01: Um banco empresta o valor de R$ ,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. Resolução algébrica Dados: PV = R$ ,00 n = 5 meses i = 10% ao mês PMT =? a) cálculo do valor da prestação do financiamento PMT = PV (1 + i) n. i (1 + i) n - 1 PMT = (1 + 0,1) 5. 0,1 (1 + 0,1) 5-1 PMT =10000 (1,1) 5. 0,1 (1,1) 5-1 PMT = , ,1 1, PMT = , , PMT = 10000[0,263797] PMT = R$ 2.637,97 b) Cálculo dos juros (J) J = PV. i. n Juros para o 1 o período: J 1 = ,00. 0,1. 1 = R$ 1.000,00 Juros para o 2 o período: J 2 = 8.362,03. 0,1. 1 = R$ 836,20 Juros para o 3 o período: J 3 = 6.560,26. 0,1. 1 = R$ 656,03 Juros para o 4 o período: J 4 = 4.578,32. 0,1. 1 = R$ 457,83 Juros para o 5 o período: J 5 = 2.398,18. 0,1. 1 = R$ 239,82

53 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 53 c) cálculo da parcela de amortização (PA n ) PA n = PMT - J Parcela de amortização para o 1 o período: PA = 2.637, ,00 = R$ 1.637,97 Parcela de amortização para o 2 o período: PA = 2.637,97-836,20 = R$ 1.801,77 Parcela de amortização para o 3 o período: PA = 2.637,97-656,03 = R$ 1.981,94 Parcela de amortização para o 4 o período: PA = 2.637,97-457,83 = R$ 2.180,14 Parcela de amortização para o 5 o período: PA = 2.637,97-239,82 = R$ 2.398,15 d) cálculo do saldo devedor (SD) SD n = SD (anterior) - PA n SD 1 = , ,97 = R$ 8.362,03 SD 2 = 8.362, ,77 = R$ 6.560,26 SD 3 = 6.560, ,84 = R$ 4.578,32 SD 4 = 4.578, ,14 = R$ 2.398,18 SD 5 = 2.398, ,15 = R$ 0,03 Assim teremos nossa planilha de financiamento N Saldo Devedor (SD n ) Amortização (PA n ) Juros (J) Prestação (PMT) ,00 0,00 0,00 0, , , , , , ,77 836, , , ,94 656, , , ,14 457, ,97 5 0, ,15 239, , , , ,85 OBS.:A diferença de 0,03 é devido ao arredondamento. Resolução pela HP-12C f [REG] CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97 1 f [AMORT] 1000,00 X Y 1637,97 RCL PV 8362,03 1 f [AMORT] 836,20 X Y 1801,77 RCL PV 6560,26 1 f [AMORT] 656,03 X Y 1981,94 RCL PV 4578,32 1 f [AMORT] 457,83 X Y 2180,14 RCL PV 2398,18 1 f [AMORT] 239,82 X Y 2398,15 RCL PV 0,03

54 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 54 Sistema Francês (carência + juros compensatórios) Neste caso, não haverá a parcela de amortização durante o período da carência, apenas o pagamento dos juros compensatórios. Exemplo 2: Um banco empresta o valor de R$ ,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos mensais, com 2 meses de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. Resolução algébrica Dados: PV = R$ ,00 n = 5 meses c = 2 meses i = 10% ao mês PMT =? a) cálculo do valor da prestação do financiamento PMT = PV (1 + i) n. i (1 + i) n - 1 PMT = (1 + 0,1) 5. 0,1 (1 + 0,1) 5-1 PMT =10000 (1,1) 5. 0,1 (1,1) 5-1 PMT = , ,1 1, PMT = , , PMT = 10000[0,263797] PMT = R$ 2.637,97 b) Cálculo dos juros compensatórios J = PV. i. n Juros para o 1 o período: J 1 = ,00. 0,1. 1 = R$ 1.000,00

55 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 55 Juros para o 2 o período: J 2 = ,00. 0,1. 1 = R$ 1.000,00 Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior. Juros para o 3 o período: J 3 = ,00. 0,1. 1 = R$ 1.000,00 Juros para o 4 o período: J 4 = 8.362,03. 0,1. 1 = R$ 836,20 Juros para o 5 o período: J 5 = 6.560,26. 0,1. 1 = R$ 656,03 Juros para o 6 o período: J 6 = 4.578,32. 0,1. 1 = R$ 457,83 Juros para o 7 o período: J 7 = 2.398,18. 0,1. 1 = R$ 239,82 c) cálculo da parcela de amortização (PA n ) PA n = PMT - J Parcela de amortização para o 1 o período: PA = 0,00-0,00 = R$ 0,00 Parcela de amortização para o 2 o período: PA = 0,00-0,00 = R$ 0,00 Parcela de amortização para o 3 o período: PA = 2.637, ,00 = R$ 1.637,97 Parcela de amortização para o 4 o período: PA = 2.637,97-836,20 = R$ 1.801,77 Parcela de amortização para o 5 o período: PA = 2.637,97-656,03 = R$ 1.981,94 Parcela de amortização para o 6 o período: PA = 2.637,97-457,83 = R$ 2.180,14 Parcela de amortização para o 7 o período: PA = 2.637,97-239,82 = R$ 2.398,15 d) cálculo do saldo devedor (SD) SD n = SD (anterior) - PA n SD 1 = ,00-0,00 = R$ ,00 SD 2 = ,00-0,00 = R$ ,00 SD 3 = , ,97 = R$ 8.362,03 SD 4 = 8.362, ,77 = R$ 6.560,26 SD 5 = 6.560, ,84 = R$ 4.578,32 SD 6 = 4.578, ,14 = R$ 2.398,18 SD 7 = 2.398, ,15 = R$ 0,03 Assim teremos nossa planilha de financiamento N Saldo Devedor (SD n ) Amortização (PA n ) Juros (J) Prestação (PMT) ,00 0,00 0,00 0, ,00 0, , , ,00 0, , , , , , , , ,77 836, , , ,94 656, , , ,14 457, ,97 7 0, ,15 239, , , , ,85

56 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 56 Resolução pela HP-12C f [REG] ENTER % CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97 X Y 10 % CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97 1 f [AMORT] 1000,00 X Y 1637,97 RCL PV 8362,03 1 f [AMORT] 836,20 X Y 1801,77 RCL PV 6560,26 1 f [AMORT] 656,03 X Y 1981,94 RCL PV 4578,32 1 f [AMORT] 457,83 X Y 2180,14 RCL PV 2398,18 1 f [AMORT] 239,82 X Y 2398,15 RCL PV 0,03 Sistema Francês (carência + saldo devedor corrigido) Neste caso, não se paga juros compensatórios, na verdade os juros serão acrescidos ao saldo devedor com base no regime de capitalização composta, e na seqüência, calcula-se a prestação com base no conceito de uma série uniforme de pagamento postecipado. Exemplo 3: Um banco empresta o valor de R$ ,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos mensais, com 2 meses de carência; porém, não haverá o respectivo pagamento de juros durante o período da carência, devendo, portanto, ser incorporado ao saldo devedor, calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. Resolução algébrica a) atualização do saldo devedor durante o período de carência período 1: SD = ,1 = R$ ,00 Período 2: SD = ,1 = R$ ,00 Dados: PV = R$ ,00 n = 5 meses c = 2 meses i = 10% ao mês PMT =? b) cálculo do valor da prestação PMT = PV (1 + i) n. i (1 + i) n - 1

57 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 57 PMT = (1 + 0,1) 5. 0,1 (1 + 0,1) 5-1 PMT =12100 (1,1) 5. 0,1 (1,1) 5-1 PMT = , ,1 1, PMT = , , PMT = 12100[0,263797] PMT = R$ 3.191,95 c) Cálculo dos juros compensatórios J = PV. i. n Juros para o 1 o período: J 1 = 0,00 Juros para o 2 o período: J 2 = 0,00 Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior. Juros para o 3 o período: J 3 = ,00. 0,1. 1 = R$ 1.210,00 Juros para o 4 o período: J 4 = ,05. 0,1. 1 = R$ 1.011,81 Juros para o 5 o período: J 5 = 7.937,91. 0,1. 1 = R$ 793,79 Juros para o 6 o período: J 6 = 5.539,75. 0,1. 1 = R$ 553,98 Juros para o 7 o período: J 7 = 2.901,77. 0,1. 1 = R$ 290,18 d) cálculo da parcela de amortização (PA n ) PA n = PMT - J Parcela de amortização para o 1 o período: PA = 0,00-0,00 = R$ 0,00 Parcela de amortização para o 2 o período: PA = 0,00-0,00 = R$ 0,00 Parcela de amortização para o 3 o período: PA = 3.191, ,00 = R$ 1.981,95 Parcela de amortização para o 4 o período: PA = 3.191, ,81 = R$ 2.180,14 Parcela de amortização para o 5 o período: PA = 3.191,95-793,79 = R$ 2.398,16 Parcela de amortização para o 6 o período: PA = 3.191,95-553,98 = R$ 2.637,97 Parcela de amortização para o 7 o período: PA = 3.191,95-290,18 = R$ 2.901,77

58 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 58 e) cálculo do saldo devedor (SD) SD n = SD (anterior) - PA n SD 1 = ,00-0,00 = R$ ,00 SD 2 = ,00-0,00 = R$ ,00 SD 3 = , ,95 = R$ SD 4 = , ,14 = R$ 7.937,91 SD 5 = 7.937, ,16 = R$ 5.539,75 SD 6 = 5.539, ,97 = R$ 2.901,78 SD 7 = 2.901, ,77 = R$ 0,01 Assim teremos nossa planilha de financiamento N Saldo Devedor (SD n ) Amortização (PA n ) Juros (J) Prestação (PMT) ,00 0,00 0,00 0, ,00 0,00 0,00 0, ,00 0,00 0,00 0, , , , , , , , , , ,16 793, , , ,97 553, ,95 7 0, ,77 290, , , , ,75 Resolução pela HP-12C f [REG] ENTER 1,1 X 1,1 X CHS PV 10 i 5 n PMT 3.191,95 1 f [AMORT] 1210,00 X Y 1981,94 RCL PV ,05 1 f [AMORT] 1011,80 X Y 2180,14 RCL PV 7937,90 1 f [AMORT] 793,79 X Y RCL PV 5539,74 1 f [AMORT] 553,97 X Y 2637,97 RCL PV 2901,77 1 f [AMORT] 290,17 X Y 2901,77 RCL PV 0,00

59 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 59 Exemplo 4: Um banco empresta o valor de R$ ,00, com taxa de 12% ao ano, para ser pago em 7 pagamentos mensais sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de Amortização. Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. Resolução algébrica Dados: PV = R$ ,00 n = 7 meses i = 12% ao ano (12/12 = 1% ao mês) PMT =? a) cálculo do valor da prestação PMT = PV (1 + i) n. i (1 + i) n - 1 PMT = (1 + 0,01) 7. 0,01 (1 + 0,01) 7-1 PMT =10000 (1,01) 7. 0,01 (1,01) 7-1 PMT = , ,01 1, PMT = , , PMT = 10000[0,148628] PMT = R$ 1.486,28 b) Cálculo dos juros J = PV. i. n Juros para o 1 o período: J 1 = ,01 = 100,00 c) cálculo da parcela de amortização (PA n ) PA n = PMT - J

60 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 60 Parcela de amortização para o 1 o período: PA = 1.486,28-100,00 = R$ 1.386,28 d) cálculo do saldo devedor (SD) SD n = SD (anterior) - PA n SD 1 = , ,28 = R$ 8.613,72 Assim teremos nossa planilha de financiamento N Saldo Devedor (SD n ) Amortização (PA n ) Juros (J) Prestação (PMT) ,00 0,00 0,00 0, , ,28 100, , , ,14 86, , , ,14 72, , , ,29 57, , , ,57 43, , , ,99 29, ,28 7 0, ,56 14, , ,97 403, ,96 Resolução pela HP-12C f [REG] CHS PV 1 i 7 n PMT 1.486,28 1 f [AMORT] 100,00 X Y 1386,28 RCL PV 8.613,72 1 f [AMORT] 86,14 X Y 1400,14 RCL PV 7213,58 1 f [AMORT] 72,14 X Y 1414,14 RCL PV 5799,44 1 f [AMORT] 57,99 X Y 1428,29 RCL PV 4371,15 1 f [AMORT] 43,71 X Y 1442,57 RCL PV 2928,58 1 f [AMORT] 29,29 X Y 1456,99 RCL PV 1471,59 1 f [AMORT] 14,72 X Y 1471,56 RCL PV 0,03

61 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 61 E X E R C Í C I O S (SFA- Tabela Price) 1) Um empréstimo de $ será pago pela Tabela Price em quatro prestações mensais postecipadas. A juros efetivos de 10% ao mês. Construir a planilha de amortização. N Saldo Devedor (SD n ) Amortização (PA n ) Juros (J) Prestação (PMT) ) Para o exercício anterior, considerando agora um período de carência de 2 meses em que serão pagos unicamente os juros devidos, construir a planilha de amortização. n Saldo Devedor (SD n ) Amortização (PA n ) Juros (J) Prestação (PMT) ) Para o exercício 01, considerando agora um período de carência de 2 meses em que os juros são capitalizados e incorporados ao capital (principal), construir a planilha de amortização. n Saldo Devedor (SD n ) Amortização (PA n ) Juros (J) Prestação (PMT) ) Um empréstimo de $ será pago em três prestações mensais iguais consecutivas. Considerando uma taxa de juros nominal de 180% ao ano com capitalização mensal, construir a tabela de amortização. n Saldo Devedor (SD n ) Amortização (PA n ) Juros (J) Prestação (PMT)

62 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 62 5) Montar a planilha de amortização de um empréstimo com as seguintes características: valor do empréstimo de $ ; reembolso pela Tabela Price em cinco pagamentos trimestrais com carência de dois trimestres; juros nominais de 28% ao ano capitalizado trimestralmente; e os juros serão capitalizados e incorporados ao capital durante o período de carência. n Saldo Devedor (SD n ) Amortização (PA n ) Juros (J) Prestação (PMT)

63 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 63 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) É um sistema onde a principal característica é a da Amortização Constante. Conhecido como Método Hamburguês, sendo utilizado em financiamentos de DFH e Financiamentos de empresas por parte de entidades governamentais, a amortização é igual ao valor do empréstimo dividido pelo número de prestações. - As prestações são uniformemente decrescentes, diminuindo sempre de um determinado fator que é constante. - O valor dos juros é decrescente. - Os pagamentos são periódicos e sucessivos. Exemplo 01: Um banco empresta o valor de R$ ,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. Resolução algébrica Dados: PV = R$ ,00 n = 5 meses i = 10% ao mês PMT =? a) Cálculo da parcela de amortização(pa n ) PA n = PV ou SD n PA n = = R$ 2.000,00 5 b) Cálculo dos juros (J) J = PV. i. n Juros para o 1 o período: J 1 = ,00. 0,1. 1 = R$ 1.000,00 Juros para o 2 o período: J 2 = 8.000,00. 0,1. 1 = R$ 800,00 Juros para o 3 o período: J 3 = 6.000,00. 0,1. 1 = R$ 600,00 Juros para o 4 o período: J 4 = 4.000,00. 0,1. 1 = R$ 400,00 Juros para o 5 o período: J 5 = 2.000,00. 0,1. 1 = R$ 200,00 c) Cálculo do saldo devedor (SD) SD n = SD (anterior) - PA n SD 1 = , ,00 = R$ 8.000,00 SD 2 = 8.000, ,00 = R$ 6.000,00 SD 3 = 6.000, ,00 = R$ 4.000,00 SD 4 = 4.000, ,00 = R$ 2.000,00 SD 5 = 2.000, ,00 = R$ 0,00

64 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 64 d) Cálculo da prestação (PMT n ) PMT n = PAn + J n PMT 1 = 2.000, ,00 = R$ 3.000,00 PMT 2 = 2.000, ,00 = R$ 2.800,00 PMT 3 = 2.000, ,00 = R$ 2.600,00 PMT 4 = 2.000, ,00 = R$ 2.400,00 PMT 5 = 2.000, ,00 = R$ 2.200,00 Assim teremos nossa planilha de financiamento n Saldo Devedor (SD n ) Amortização (PA n ) Juros (J) Prestação (PMT) ,00 0,00 0,00 0, , , , , , ,00 800, , , ,00 600, , , ,00 400, ,00 5 0, ,00 200, , , , ,00 E X E R C I C I O S ( SAC) 1) Emprestei de uma financiadora X, o valor de $ , para ser amortizado em 10 meses, à taxa de juros 1,25% ao mês. Quanto pagarei ao mês? n Saldo Devedor (SD n ) Amortização (PA n ) Juros (J) Prestação (PMT) ) Uma composição de dívida de $ , a ser paga em quatro prestações anuais, com taxa de juros de 36% ao ano. Para elaborar a planilha de pagamentos sugerimos os seguintes procedimentos: a) calcular a amortização; b) calcular a parcela de juros; c) calcular o valor das prestações; d) apurar o saldo devedor do período.

65 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 65 n Saldo Devedor (SD n ) Amortização (PA n ) Juros (J) Prestação (PMT) ) Uma operação no valor de R$ ,00 foi contratada para ser paga em 4 prestações anuais, com taxa de juros de 17% ao ano. Então como ficará a planilha de pagamento? n Saldo Devedor (SD n ) Amortização (PA n ) Juros (J) Prestação (PMT) ) Emprestei de uma financiadora o valor de $ à taxa de juros de 2% ao ano para ser amortizada em 10 meses pelo SAC. Qual o valor da 3 a prestação? n Saldo Devedor (SD n ) Amortização (PA n ) Juros (J) Prestação (PMT) ) Um cliente propôs pagar o saldo devedor de um empréstimo de R$ ,00 em 4 parcelas, mas sugeriu que as prestações fossem decrescentes. Assim o ideal seria pelo SAC. Qual o valor da amortização? R. R$

66 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 66 E X E R C I C I O S S U P L E M E N T A R E S PORCENTAGEM E RACIOCÍNIO LÓGICO 1) Se a empresa W4W vende três produtos: K, T e R. Supondo que ao longo de 4 meses os produtos apresentam o item de custo de acordo com a distribuição a seguir: Produto Custo ( R$) K ,00 T ,00 R ,00 Pergunta-se: De quantos por cento foi a mais o custo do produto T em relação ao produto R? (R. C) a) 21,69% b) 21,56% c) 14,28% d) 16,09% e) 12,05% 2) Dada a distribuição de freqüência referente as taxa e aos valores dos produtos: % ,5% ,5% ,5% Supondo que em suas vendas a prazo, era cobrado de seus clientes uma taxa mensal conforme o valor da mercadoria vendida. De acordo com a distribuição acima, qual a taxa média percentual que a W4W está cobrando? (R. E) a) 3,02% ao mês b) 2,92% ao mês c) 2,33% ao mês. d) 1,77% ao mês e) 2,63% ao mês 3) Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual o valor da sua comissão numa venda de R$ 3.600,00? (R. R$ 108) 4) No departamento de contabilidade de uma empresa 26% dos funcionários são mulheres. Quantos funcionários possui a empresa, se elas são em número de 182? (R. 700) 5) Uma pessoa devia R$ ,00 e pagou R$ 7.400,00. Quantos por cento da dívida foram pagos? (R. R$ 37%) 6) Em São Paulo colhem-se ,00 sacas de café. Se 25% desta produção destinam-se ao consumo interno, qual a quantidade de sacas para este consumo? (R sacas) 7) Em quanto por cento aumentou a população de uma cidade que era de habitantes e agora é de habitantes? (R. R$ 37,5%) 9 Em uma partida de futebol, um dos times obteve os seguintes resultados quanto aos chutes a gol: - bolas chutadas fora:10; - bolas defendidas pelo goleiro adversário:6; - bolas na trave:2; - gols:2. a) Qual a percentagem dos gols em relação às bolas chutadas a gol? (R. 10%) b) Qual a percentagem das bolas chutadas fora?(r. 50%) c) Qual a percentagem das bolas defendidas pelo goleiro adversário?(r. 30%)

67 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 67 JURO SIMPLES 1) Qual o capital aplicado por uma empresa que produziu R$ 300,00 a 20%a.t. durante 9 meses a juro simples? (R. PV =R$ 500,00) 2) Calcular os juros simples produzidos por uma aplicação feita por uma empresa de R$ ,00 à taxa de 15% aa., durante 3 anos. (R. J = R$ 16200,00) 3) Determine o tempo em que uma empresa aplicando o capital R$ ,00 rendeu de juros R$ 240,00 à taxa de 0,2% a m. (R. n = 10 meses) 4) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano.qual será o valor do juro a ser pago pelo regime de capitalização simples? (R. R$ 720,00) 5) Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00 pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao mês pelo sistema de capitalização simples. Qual o valor do juro a receber? (R. R$ 108,00) 6) Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200,00 à taxa de 5% ao trimestre, durante 3 trimestre pelo regime de capitalização simples.(r. R$ 1.380,00) 7) Um capital de R$ ,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses. Calcule o juro produzido pelo regime de capitalização simples. (R. R$ 1.065,00) 8) Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido. (R. R$ 500,00) 9) Calcule o juro correspondente a um capital de R$ ,00 aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano pelo regime de capitalização simples. (R. R$ ,00) 10) Calcule o juro simples resultante de uma aplicação de R$ ,00 à taxa de 18% ao ano, durante 3 meses. (R. R$ 1.462,50) 11) Calcule o juro de um capital de R$ 5.000,00 em regime de juro simples, durante 2 anos e 4 meses, à taxa de 24% ao ano. (R. R$ 2.800,00) 12) Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 45% ao ano, qual o juro total a ser pago pelo regime de juro simples? (R. R$ 1.360,00) 13) Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês, para obtermos R$ 441,00 de juro? (R. R$ 9.800,00) 14) Qual o valor principal que, aplicado a juro simples durante 1 ano e 6 meses, à taxa de 1,2% ao mês, rendeu R$ ,00? (R. R$ ,00) 15)A que taxa foi empregado a juro simples o capital de R$ ,00 que, no prazo de 2 anos, rendeu R$ 8.400,00 de juro? (R. 35% aa) 16) Uma aplicação de R$ 8.000,00 pelo prazo de 6 meses, obteve um rendimento de R$ 1.680,00. Qual a taxa anual correspondente? (R. 42% aa) 17) Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$ ,00 que, à taxa de 1% ao mês, rendeu R$ 896,00 ao ser aplicado pelo regime de juro simples. (R. 7meses) 18) Durante quanto tempo devemos aplicar R$ 4.800,00 à taxa de 36% ao ano, para obtermos R$ 2.376,00 de juro através da capitalização simples? (R. 1,375anos ou 1 ano 4 meses e 15 dias) 19) Um capital de R$ ,00 rendeu R$ 1.225,00 de juro. Sabendo que a taxa de juro simples contratada foi de 42% ao ano e que a aplicação foi feita no dia 20/01/88 qual o tempo de vencimento? (R. 0,278ano ou 100dias) 20) Qual o capital a ser aplicado no período de 05/06 a 30/11 do mesmo ano, à taxa de 36% ao ano, para render um juro de R$ 5.696,00 pelo regime simples de capitalização? (R. R$ ,00)

68 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 68 21) A que taxa de juro simples foi aplicado um capital de R$ 6.000,00 que, durante 6 meses, rendeu R$ 1.320,00 de juro? (R. 3,66%ao mês) 22) Durante quanto tempo foram aplicados R$ ,00 que à taxa de 33,6% ao ano, renderam R$ 9.368,00 de juro? (R. 1ano e 5 meses) 23) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de 2,5% ao mês, durante 2 anos. (R. R$ 8.000,00) 24) Uma pessoa aplicou R$ ,00 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de R$ ,00. Qual foi a taxa anual cobrada pelo regime de capitalização simples? (R. 20%) 25) Um capital foi aplicado a juro simples à uma taxa de 45% ao ano. Efetuou-se o resgate no valor de R$ ,00 após 3 anos. Qual o valor do capital inicial? (R. R$ ,34) 26) Qual o prazo para que uma aplicação de R$ , 00 a 2,5% ao mês, renda um montante de R$ ,00 pelo regime de juro simples? (R. 8 meses) 27) Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 8.000,00 à taxa de juro simples de 16% ao ano, para obtermos um montante de R$ 8.320,00? (R. 0,25ano ou 3 meses) 28) Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ ,00 e promete pagar ao credor, após 10 meses a quantia de R$ ,00. Determine a taxa de juro simples anual. (R. 42%aa) 29) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ ,00 a juro simples durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês? (R. R$ ,00) 30) Qual é o tempo em que um capital de R$ ,00 a 25% ao ano, rende R$ ,00 de juro, aplicado a juro simples? (R. 3,3 ano) TAXA EQUIVALENTE A JURO SIMPLES 1) Calcular a taxa anual equivalente a: a) 6% ao mês; R. 72% b) 10% ao bimestre. R. 60% 2) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a: a) 60% ao ano; R. 30% b) 9% ao trimestre. R. 18% JURO EXATO e COMERCIAL - 1) Uma divida no valor de R$ ,00 foi quitada 74 dias antes do vencimento, com a a taxa de 36% ao ano. Determine; a) O juro exato; R. R$ 1.094,79 b) O juro bancário. R. R$ 1.110,00 2) Calcular os juros de R$ ,00 aplicados durante 5 meses ( de 30 dias) e 14 dias a taxa de juros simples de 32% ao ano. Efetuar os cálculos para os anos comercial e exato. R. Jcom = R$ 2.624,00 e Jex = R$ 2.588,05 DESCONTO SIMPLES 1) Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% ao ano à taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular: a) O Desconto Racional Simples; R. $ 380,10 b) O Valor descontado desta operação. R. $ 3.619,90 2) Calcular o valor atual de um conjunto de duplicatas descontadas num banco a 1,3% ao mês, conforme o borderô a seguir: DUPLICATAS VALOR($) PRAZO (VENCIMENTO) C 4.500,00 12 dias E 2.800,00 27 dias B 1.900,00 51 dias TOTAL ,00... R. DBSc = $ 23,40 DBSe = $ 32,76 DBSb = $ 41,99 VA = $ 9.101,85

69 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 69 3) Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% ao ano a taxa de desconto adotada, pede-se calcular o desconto comercial e o valor líquido desta operação. R. DBS = $ 420,00 e VL = $ 3.580,00 4) Um título no valor nominal de R$ 4.500,00 é descontado 90 dias antes de seu vencimento, à taxa de juros simples de 3,4% ao mês. Qual é o desconto racional? (R. e) a) R$ 500,79 b) R$ 200,43 c) R$509,00 d) R$308,00 e) R$ 416,51 5) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ ,00, com vencimento para 120 dias, à taxa de 2,4%a m?(r. a) a) R$ 2.208,00 b) R$ 2.356,00 c) R$ 5.167,00 d) R$ 3.000,00 e) R$ 1.500,00 6) Um título de R$ vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: a) o valor do desconto comercial simples; (R. R$ 189,00) b) o valor atual (líquido). (R. R$ 5.811,00) 7) Determine o valor do desconto racional simples e o valor atual de um título de R$ , disponível dentro de 40 dias, à taxa de 3% ao mês. (R. R$ 1.923,08 e ,92) 8)Determine o desconto racional simples de uma promissória de R$ 3.000, à taxa de 40% ao ano, resgatada 75 dias antes do vencimento. (R. R$ 230,77) JURO COMPOSTO 1) Se uma pessoa deseja obter $ ,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? (R. $ ,70) 2) Qual o valor de resgate de uma aplicação de $ ,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% ao mês? (R. $ , 70) 3) Uma aplicação de $ ,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $ ,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. (R. 8 meses) 4) Determinar o juro pago de um empréstimo de $ ,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês. (R. $ ,02) 5) Calcule o montante de R$ a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses. (R. R$ ,80) 6) Calcule o montante de R$ 5.000, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses. (R. R$ 5.465,41) 7) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. (R. R$ 9.237,23) 8) Calcule o montante do capital de R$ , colocado a juros compostos à taxa de 1,5% ao mês, no fim de 6 meses. (R. R$ ,22) 9) Qual o montante produzido por R$ , em regime de juros compostos, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses? (R. R$ ,47) 10) Calcule o capital inicial aplicado a juros compostos que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante de R$ 4.058,00. (R. R$ 3.500,46) 11) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5% ao mês, durante 4 meses, rendeu um montante de R$ , calcule esse capital. (R. R$ ,42)

70 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 70 12) Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja pelo regime de juro composto? (R. 4%) 13) Calcule o montante produzido por R$ 2.000, aplicados em regime de juro composto a 5% ao mês, durante 2 meses. (R. R$ 2.205) 14) Uma pessoa toma R$ emprestado, a juro de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? (R. R$ 4.031,74) 15) Determine em que prazo um empréstimo de R$ pode ser quitado em um único pagamento de R$ , sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto. (R. 5 semestre ou 2 anos e 6 meses) 16) Uma pessoa recebe uma proposta de investir, hoje uma quantia de R$ para receber R$ daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto? (R. 3% ) 17) O capital de R$ 8.700, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se no fim de certo tempo a R$ Calcule esse tempo. (R. 8meses) 18) Qual será o montante de R$ 3.000, a juros compostos de 47% ao ano, em 4 anos e 3 meses? (R. R$ ,81) 19) Empreguei um capital de R$ , em regime de juros compostos, à taxa de 35% ao ano, durante 2 anos e 6 meses. Quanto recebi? (R. R$ ,84) 20) Qual o montante de um capital de R$ 5.000, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano capitalizados trimestralmente pelo regime de capitalização composta? (R. R$ 7.969,24) 21) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000, à taxa de 3% ao mês, num prazo de 14 meses pelo regime de juro composto. (R. R$ ,71) 22) Determine o juro de uma aplicação de R$ , a 4,5% ao mês, capitalizado mensalmente durante 8 meses a juro composto. (R. R$ 8.442,01) 23) Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês? (R. R$ 7.894,02) 24) Calcule o montante de R$ 8.500, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses. (R. R$ ,04) 25) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses somou-se um montante de R$ (R. R$ ) 26) Em que prazo uma aplicação de R$ produzirá um montante de R$ , à taxa de 3% ao mês a juros compostos? (R. 13 meses) 27)O capital de R$ , colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante um período de 8 meses, elevou-se no final desse prazo a R$ Calcule a taxa de juro. (R.3,29% ao mês) 28) O capital de R$ foi aplicado a juros compostos por 2 anos a 20% ao ano, capitalizados trimestralmente. Qual o montante? (R. R$ ,19) 29) Durante quanto tempo R$ produzem R$ de juro, a 24% ao ano, capitalizado trimestralmente a juros compostos? (R. 2,42anos) DESCONTO COMPOSTO 1) Um título de valor nominal de $ ,00 é negociado mediante uma operação de desconto bancário composto 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. Pede-se: a) O valor atual; R. $ ,12 b) O desconto. R. $ 4.991,88 2) Determinar o valor atual e desconto racional composto de um título de valor nominal $ 3.500,00 adotando uma taxa de juros de composto de 2,8% ao mês, sendo descontado 4 meses antes do seu vencimento.r. VL = $ 3.133,97 e DRC = $ 366,03

71 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 71 3) Determine o valor atual de um título de R$ 800, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto racional composto de 2% ao mês. (R. R$ 739,07) 4) Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 1.120, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano, capitalizado semestralmente pelo regime de desconto bancário composto. (R. R$ 415,22) 5) Qual o desconto bancário composto que um título de R$ sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês? (R. R$ 365,71) 6) Um título de valor nominal de R$ ,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto comercial composto concedido? (R. R$ 1.907,10) 7) Em uma operação de desconto comercial composto, o portador do título recebeu R$ como valor líquido. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e a taxa de juro mensal de 2%. Qual o valor nominal? (R. R$ ,26) 8) Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de 7.000, faltando ainda 3 meses para o seu vencimento. Calcule o valor atual, sabendo que a taxa de desconto bancário composto é de 3,5% ao mês. (R. R$ 6.290,42) 9) Calcule o valor atual de um título de R$ , resgatado 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de desconto comercial composto de 24% ao ano. (R. R$ ,90.) TAXA EQUIVALENTE A JURO COMPOSTO TAXAS: REAL, APARENTE E DE INFLAÇÃO 1) Quais as taxas de juro composto mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano? (R. 1,87%am e 5,73% at) 2) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 9% ao ano de juros reais, caso a taxa aparente seja de 18% ao ano? (R. I = 8,25% aa) 3) Qual a taxa real de um empréstimo contratado a uma taxa aparente de 12%, considerando uma inflação para o mesmo período de 8%? (R. R = 3,70%) 4) Qual a taxa aparente ganha se a Inflação for de 18% ao ano e o juro real for de 3,5% ao ano? (R. i = 22,13%) SÉRIES UNIFORME DE PAGAMENTOS : POSTECIPADA e ANTECIPADA 1) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. (R. FV = R$ 520,40) 2) Com o objetivo de formar um montante para compra de equipamentos, no final de cada mês uma empresa aplica $ 2.000,00. Quanto a empresa terá acumulado no final de sua sexta aplicação anual, sabendo-se que a taxa de juro é de 12% ao ano? (R. FV = $ ,37) 3) Uma empresa necessita contratar um empréstimo de liquidez para equilibrar seu caixa de curto prazo. Após analisar seu fluxo de caixa, verificou que sua capacidade de pagamento é de seis parcelas mensais postecipadas de $ 3.000,00. Sabendo-se que a taxa de juro para essa modalidade de empréstimo é de 2,59% ao mês, determinar a valor do capital que a empresa pode tomar emprestado. (R. PV = $ ,75) 4) Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme um montante de R$ ,00? (R. PMT = R$ ,18) 5) Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ ,00 à taxa de 25% ao ano. (R. PMT = R$ ,89) 6) Quantas prestações mensais de R$ 500,00 devem ser colocadas, à taxa de 2% ao mês, a fim de se construir o montante de R$ 6.706,00? (R. n = 12 prestações mensais) 7) Qual é o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação é de $ 200, 00, sem entrada se a taxa é de 2,5% am. em 18 meses. (R. PV= $ 2.870,67)

72 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 72 8) Calcular a prestação referente a uma mercadoria, cujo preço a vista é de $ ,00 caso ocorra a seguinte hipótese sobre a taxa e respectivo prazo: taxa de juros 2,5% ao mês e prazo de 12 meses postecipado? (R. PMT = $ 974,87) 9) Em quantas prestações mensais de $ 1.004,62 sem entrada será pago um título de um clube de campo, se seu valor a vista for de $ ,00 e a taxa contratada for de 3% am? (R. n = 12 meses) 10) Uma empresa negociou uma dívida de $ ,00 junto a um banco, solicitando pagá-la em parcelas mensais postecipadas de $ 1.800,00. Sabendo-se que a taxa de juro para essa modalidade de empréstimo é de 2,24% ao mês, quantas parcelas serão necessárias para quitar o débito? (R. n = 6) 11) No início de cada mês uma empresa aplica $ 2.000,00 de sua sobra de caixa. Calcular o valor futuro formado ao final da sua sexta e última aplicação, sabendo que a taxa de juro é de 1,5% ao mês. (R. FV = $ ,98) 12) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processando nenhuma retirada, se tenha $ ,00? Considerar que a instituição paga 2,5% ao mês sobre o saldo credor. (R. PMT = $ 367,67) 13) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de $ 1.200,00 e vai devolvê-la em 15 prestações mensais iguais, a primeira a vencer um mês após a data do empréstimo. Se os juros são compostos, à taxa de 10% ao mês, determinar o valor de cada uma das prestações. (R. PMT = $ 157,76) 14) Um equipamento custa a vista $ ,56, uma empresa que adquirir a prazo, com prestação mensal de $ 1.000,00, sendo que a primeira será pago no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juro cobrada será de 2% ao mês, qual a quantidade de parcelas? (R. n = 14,54 aprox. 15) 15) Um banco está negociando uma cessão de crédito, composta de cinco recebimentos mensais de $ 3.000,00 com o primeiro vencendo na data da operação. Calcular o capital que o banco deve pagar ao cedente, sabendo-se que a taxa de juro é de 1,4% ao mês. (R. PV = $ ,47) 16) Se um poupador aplicar R$ 250,00 mensais a partir de hoje durante 3 anos, a uma taxa de 1,2% ao mês, quanto terá acumulado no final do prazo determinado? (R. FV = R$ ,66) 17) O preço a vista de um equipamento é de $ ,00, pode ser pago em seis parcelas mensais iguais, com a primeira vencendo na data da assinatura do contrato. Se a taxa de juro é de 2,5% ao mês, qual o valor das parcelas? (R. PMT = $ 2.833,95) SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: SFA/PRICE e SAC 1) Montar a planilha de amortização pelo SFA, de uma dívida de $ 1.200,00 a ser paga em 4 parcelas mensais consecutivas, à taxa de 3% ao mês com 2 meses de carência. N SD PAN JUROS PMT , , ,00 36, , ,00 36, TOTAL 2) Uma financeira empresta o valor de $15.000,00, com taxa de 16% ao ano, para ser pago em 5 pagamentos mensais sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de Amortização. Elabore a planilha de financiamento. N SD PAN JUROS PMT , TOTAL

73 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 73 3) Um banco empresta a uma empresa R$ ,00 pelo prazo de 5 anos, à taxa de 8% ao ano. Sabendo que será adotado o SFA, construa a planilha de amortização. N SD PAN JUROS PMT , TOTAL 4) Uma financeira emprestou R$ ,00, sem prazo de carência. Sendo a taxa de juro cobrada de 12% ao ano devendo a liquidação ser feita em 8 anos, construa a planilha de amortização pelo SFA. N SD PAN JUROS PMT , TOTAL 5) Uma financeira faz um empréstimo de R$ ,00, para ser pago pelo SAC em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Monte a planilha de amortização. N SD PAN JUROS PMT , TOTAL 6) Um empréstimo de R$ ,00 será saldado em 8 prestações semestrais pelo SAC, tendo sido contratada a taxa de juro de 10% ao semestre. Confeccione a planilha de amortização. N SD PAN JUROS PMT , TOTAL 7) Um financiamento de R$ ,00 deverá ser amortizado em 6 meses com taxa de juros de 1,5% ao mês. Faça a planilha de amortização pedida abaixo, sabendo que o empréstimo foi no dia 01/06/2008 com pagamento da primeira parcela em 01/07/2008. a) Pelo Sistema Francês de Amortização Tabela Price. b) Pelo Sistema de Amortização Constante.

74 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 74 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASSAF, Neto Alexandre Matemática Financeira e suas Aplicações 5 a ed. São Paulo: Atlas, ATHIAS, Washington Franco, José Maria Gomes Matemática Financeira 3 a ed. São Paulo: Atlas,2002. BRANCO, Anísio Costa Castelo Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP- 12C, Microsoft Excel São Paulo: Pioneira Thomson Learning. CRESPO, Antonio Arnot Matemática Comercial e Financeira fácil 13ª edição São Paulo: Saraiva, FARO, Clovis de Matemática Financeira São Paulo : Atlas, HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo Matemática Financeira 4 a ed. São Paulo: Atual, SÁ, Ilydio Pereira de Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira- R. de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., SAMANEZ, Carlos Patrício Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos 3 a ed. São Paulo : Prentice Hall, SILVA, Daniel Jorge e Valter dos Santos Fernandes Matemática para o Ensino Médio- São Paulo: IBEP, 2000 VIEIRA Sobrinho, José Dutra Matemática Financeira 7 a ed. São Paulo: Atlas, 2000.

75 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 75 MATEMÁTICA FINANCEIRA - GRADE: 1º SEMESTRE/ 2012 CURSO: CIÊNCIAS CONTÁBEIS - 3º Semestre Carga Horária Semanal 04 Carga Horária Semestral 68 horas O aluno poderá ter no máximo 25% de faltas durante o semestre EMENTA Principais fundamentos. Conceitos básicos de Juros Simples. Estudo dos juros compostos, taxas equivalentes das rendas, dos coeficientes, de financiamentos, dos sistemas de amortização e análise de investimento. OBJETIVO Ao final do curso, o aluno deverá estar apto a resolver problemas da vida prática: identificar os problemas e resolvê-los com as ferramentas do cálculo (fórmulas), prático calculadora HP -12C, utilizando o raciocínio matemático e aplicando os conceitos matemáticos na economia e em outras disciplinas, possibilitando maior acuidade nos processos decisórios e na análise dos resultados dos diversos nichos de negócios financeiros no âmbito das Ciências Contábeis. Conteúdo 1. Apresentação do Conteúdo: Fundamentos básicos de Matemática Financeira, Conceito: Valor Presente (Capital), Juro, Valor Futuro (Montante), Taxa; 2. Juros Simples: Taxas, Juro Exato e Juro Comercial; 3. Desconto Simples; 4. Juros Compostos: 5. Taxas (nominal, equivalente, efetiva, média, acumulada, real, aparente e de inflação); 6. Desconto Composto; 7. Seqüência de Pagamentos Uniforme: Capitalização e Amortização (antecipada e postecipada) 8. Empréstimos: Sistema Francês Price, SAC, METODOLOGIA DE ENSINO A metodologia de ensino consiste em aulas expositivas, durante as quais são apresentados e discutidos os conceitos, exercícios e suas aplicações principalmente na área econômica, busca-se a participação contínua do corpo discente, visando dinamizar as aulas práticas e consolidar os conceitos, além de permitir avaliar o grau da aprendizagem e absorção do discente em relação ao conteúdo ministrado. SISTEMA DE AVALIAÇÃO: São tres avaliações valendo de Zero à 10,0 As avaliações A1, A2, A3, prova escrita sem consulta e individual. * Data aplicação das provas: A1 de 16 a A2 de 21 a A3 de 11 a Será eliminada a menor nota entre A1, A2 e A3 ATENÇÃO!!!!!!!!! Avaliação substutiva será aplicada mediante concessão do regime domiciliar deferido e expedido pela Secretaria; BIBLIOGRAFIA BÁSICA ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 11ª Ed. São Paulo: Editora Atlas, CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática Financeira aplicada. São Paulo: Editora Thomson/Pioneira, HAZAN, Samuel; POMPEU, José Nicolau. Matemática Financeira. 5ª Ed. São Paulo: Editora Saraiva, Bibliografia Complementar: BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática Financeira Fundamental. São Paulo: Editora Atlas, MATHIAS, Washington Franco; GOMES, Maria José. Matemática Financeira. 6ª Ed. São Paulo: Editora Atlas, VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. São Paulo: Editora Atlas, 2001.

76 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 76 ANEXO PEQUENO MANUAL HP 12C Esta é uma calculadora HP-12C. A partir de agora você irá utilizá-la para realizar todos os seus cálculos, então, vamos verificar qual é a função de cada tecla? Linha financeira Teclas comuns em calculadoras científicas Teclas especiais Ligar e desligar Acesso função amarela Acesso função azul Acesso à memória entrada I) Teclas Principais: entenda-se por teclas principais aquelas cujos signos estão nos corpos das teclas ou flags, em branco. 1) ON: liga/desliga e sai do programa, mas mantêm a memória permanente. 2) Para mudar de ponto para virgula e vice-versa: segue.junto com o ON e solte primeiro o ON e depois o. 3)f a) pressionando essa tecla quando quiser acessar as funções escritas em dourado; b) aumentar ou diminuir o número de casas decimais a trabalhar. Suponhamos que você quer trabalhar com 3 casas decimais, pressione f e depois 3 e todos os números aparecerão no formato 00,000. À medida em que reduzimos o número de casas decimais, o valor que aparece no visor será automaticamente arredondado, usando a seguinte convenção: Se o número seguinte for: 0 a 4, mantém-se 5 a 9, arredonda-se c) usar notação exponencial. Pressione f e. d) para retirar a notação exponencial. Pressione f e qualquer número.

77 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 77 4) g: pressione esta tecla quando quiser usar as funções escritas em azul. 5) ENTER: colocar o número mostrado na tela (visor). 6) CHS: muda o sinal do número ou expoente atual. 7) EEX: depois de pressionar essa tecla, o próximo número ele considera como um expoente de base 10. 8) CLX: limpa a tela (visor). 9) f / CLX: limpará todos os registros 10) f / FIN: limpa a memória dos financiadores 11) f / PRGM: limpa as memórias de programação. 12) f / REG: limpa toda a memória financeira e da função STO 13) f / : limpa as funções estatísticas 14) + - : são operações aritméticas. 15) STO : esta teclas seguida de um número armazena na memória o valor desejado para posterior utilização. Vamos dizer que você esta fazendo uma conta e quer guardar o resultado, ao invés de escrever num pedaço de papel você digita STO 2 e arquiva na memória o valor, só não pode esquecer com que número armazenou determinado valor. 16) RCL: seguido por um número recupera da memória e apresenta na tela o valor armazenado naquele registro. 17) %: usado nos cálculos de porcentagem. Só que ele também armazena o resultado em uma seção da memória que vamos chamar de registro Y. 18) %: Compara a diferença percentual entre o valor armazenado no registro Y e o valor mostrado no visor. 19) i: armazena e calcula os juros. 20) n: armazena e calcula a quantidade de períodos. 21) PV: armazena e calcula o valor presente. 22) PMT: armazena e calcula os pagamentos (prestações). 23) FV: armazena e calcula o valor futuro. 24) g / BEG: Begin significa início do período, ou seja, quando a prestação é antecipada, ela é paga no início do período. 25) g / END: quando as prestações forem postecipadas. 26) y x : eleva o número registrador y pelo registrador x. 27) 1/x: divide 1 pelo número mostrado no visor. 28) x< > y: troca o conteúdo dos registradores x e y entre si. 29) R : baixa o conteúdo registrado anterior no visor. 30) SST: mostra o número da linha e o conteúdo do programa. Se utilizado em modo de programação. 31) f / PRGM: mostra o número e o conteúdo de todas as linhas, uma por vez. No modo (RUN) executa as instruções, mostra o resultado e move para a próxima linha. 32) g / CF 0 :Significa fluxo de caixa do momento zero (fluxo de caixa inicial) 33) g / CFj : Fluxo de caixa nos períodos seguintes 34) g / Nj : Repete fluxos iguais e consecutivos 35) f / IRR :Taxa interna de retorno (ou TIR) 36) f / NPV: Valor presente líquido II) Cálculos aritméticos simples: Para realizar os cálculos, os números devem ser informados na ordem. Após a introdução do primeiro número, pressione a tecla ENTER e, em seguida, o segundo número e a operação a ser realizada ( x ou : ); a resposta aparecerá no visor.

78 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 78 Exemplo: = 42 Teremos: 15 ENTER Resultado: 72 III) Cálculos em cadeia: Toda vez que o resultado de um cálculo estiver no visor e se desejar armazená-lo para efetuar outro cálculo em seguida, não será necessário pressionar Enter, pois o resultado será armazenado automaticamente. Isto ocorre porque a HP-12C possui quatro registradores, os quais são usados para armazenamento de números durante os cálculos. Esses registradores (conhecidos por memórias de pilha operacional) são designados por X, Y, Z e T. Exemplos: a) = 10 Demonstração Gráfica dos Registradores da Pilha Operacional b) X Y Z T Digitar 1 1, ENTER 1,00 1,00 Digitar 2 2, 1,00 ENTER 2,00 2,00 1,00 Digitar 3 3, 2,00 1,00 ENTER 3,00 3,00 2,00 1,00 Digitar 4 4, 3,00 2,00 1,00 + 7,00 2,00 1,00 + 9,00 1, ,00 1, , 00 Teclado Visor 18 ENTER 18,00 24 ENTER 24,00 15 ENTER 15, ,00 6,00 3,00 Lembre-se: A regra matemática diz que, primeiro, devemos resolver a multiplicação e a divisão, depois a soma e a subtração, respeitando parênteses, colchetes e chaves. Vamos exercitar? Calcule: ( a) ) 7500 ENTER / 3, b) ( ) 4621 ENTER ENTER / 0,24 ( )

79 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 79 IV) Funções: 1) Memórias de Armazenamento: a) STO: armazena na memória. b) RCL: recupera da memória - A HP-12C possui 20 memórias para armazenamento de valores, que vão de 0 a 9 e de 0 a 9. - Para armazenar um valor, deve-se digitá-lo e, em seguida, pressionar a tecla STO seguida do número da memória desejada. - Para recuperar a informação contida na memória é necessário pressionar a tecla RCL seguida do número da memória. Exemplo: Armazenar o número 15 na memória 0. Digitar: 15 STO 0 o número continua no visor, porém já está armazenado. Quando você for utilizar o número armazenado basta pressionar RCL 0, que ele retornará ao visor, podendo ser utilizado para qualquer cálculo. 2) Como extrair % de um número? 10% de 1000 é? 1000 enter 10% resposta:100 3) Como calcular a variação porcentual? a) 500 enter 800 % resposta: 60% b) No pregão de ontem, as ações da Cia. X S.A. subiram de R$ 5,37 para R$ 5,90. Qual foi a variação percentual? 5,37 ENTER 5,90 % = 9,87% 4) Como extrair o porcentual total? Vamos supor que você tenha: Digite 200 enter aparecerá o total de 331, tecle %T = 60,42% (despesas gerais) CLX 90 tecle %T = 27,19% (despesas com alimentação) CLX 41 tecle %T = 12,39% (despesas com farmácia) 5) Funções calendário 200,00 de despesas gerais; 90,00 de despesas com alimentação; 41,00 de despesas com farmácia. A)Temos dois modos de operação: um modo brasileiro e outro americano. a) modo brasileiro: g 4(D.MY) aparecerá no visor direito D.MY(dia, mês e ano) b) modo americano: g 5(M.DY) aparecerá no visor direito M.DY(mês, dia e ano) B) Operando intervalos de datas DYS: Quantos dias há entre 21/02/2000 e 27/12/2000? ENTER g DYS Resposta: 341 dias

80 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 80 C) Função Data Futuro: permite você calcular o futuro das datas, com os dias da semana: Quando vencerá uma duplicata comprada em 60 dias em 14/03/2006? ENTER 60 g DATE Resposta: vencerá em 13/05/2006 (6 = sábado) D) Função Data Passado: permite você calcular o passado das datas, com os dias da semana: No exemplo anterior vimos que o vencimento foi no dia Se a compra fosse feita com pagamento em 45 dias, qual a data da compra? ENTER 45 CHS g DATE Resposta: a compra foi feita em (3 = quarta- feira) 6) Função Potência Para calcular o resultado de um número elevado a um expoente qualquer, introduza a base, em seguida, digite o expoente e pressione a tecla y x. Exemplos: a) 4 5 = Na calculadora: 4 ENTER 5 y x b) = 1,31 Na calculadora: 25 ENTER 30 ENTER 360 Y x 1,31 c) 3 5 = 0,0041 Na calculadora: 3 ENTER 5 CHS y x = 0,0041 7) Função Fluxo de Caixa A capacidade da HP-12C no fluxo de caixa é de 20 memórias, isto significa dizer que somente podemos calcular fluxos limitados a 20 valores informados nas funções CF 0 e CFj, pois, quando temos valores iguais na seqüência, podemos utilizar a função Nj que não conta como memória. Outro detalhe importante é que, como nem sempre utilizamos todas as memórias disponíveis, é necessário que antes de iniciar os cálculos sejam zeradas as memórias f CLX. a) Valor Presente Líquido (NPV) O valor presente líquido (VPL) é uma técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos (ou recebimentos) iguais ou diferentes, a uma taxa conhecida. V) Juros Simples e Juros Compostos 1) Conceitos: a) Capital ou Principal (C ou PV): entende-se por capital, sob ponto de vista da matemática financeira, como qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época. b) Juro (J): é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro. c) Prazo(n): é o intervalo de tempo existente entre cada aplicação. d) Taxa de juro (i): é a razão entre o juro recebido ou pago no fim de um período de tempo e o capital inicial emprestado. e) Valor futuro (FV): é o valor total a ser pago ou recebido, é a soma do capital com o juro.

81 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 81 f) Juro simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial. g) Juro composto: é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo é calculado sobre o montante relativo ao período anterior. Assim, o juro produzido no fim de cada período é somado ao capital que o produziu, passando os dois capital e juro a render no período seguinte. 2) Calculo de juro simples a) Fórmula do juro simples: J= PV.i.n b) Fórmula do montante a juro simples: FV= PV(1+i.n) Exemplo: Marcelo fez um empréstimo no banco, no valor de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros simples é de 4,5% ao mês, quanto pagará de juros no final de 4 meses e qual o montante a ser pago? Dados: PV= 1.000,00 n = 4 meses i= 4,5% a.m. = 0,045 Resolução: FV= PV(1+i.n) FV= 1000(1+0,045. 4) FV= 1.180,00 HP 12C: limpe os financiadores f FIN Digite 1000 CHS PV O prazo tem que estar em dias 4 ENTER 30 x n A taxa deve estar em ano 4,5 ENTER 12 x i O valor do juro aparecerá f INT 180,00 Aparecerá o valor do montante ,00 3) Juro bancário e juro exato a) Juro bancário e comercial considera-se o ano com 360 dias e o mês com 30 dias b) Juro exato considera-se a quantidade exata de dias, sendo assim o ano tem 365 dias e quando for bissexto 366. Exemplo: Calcular os juros produzidos por um capital de R$ ,00 a taxa de 30% ao ano, no período de 20/05/2004 a 15/09/2004. Utilizando os processos de juros simples. Dados: PV= ,00 i = 30% ao ano = 0,3 n= 20/05/2004 à 15/09/2004 HP12C: calculo de período ENTER g DYS = 118 dias exatos x><y =115 dias comerciais juro bancario CHS PV 30 i 118 n f INT juro exato f INT R x><y ,35 4) Método Hamburguês É utilizado para calculo de juros em qualquer tipo de conta corrente sujeita a juros. Exemplo: No extrato abaixo sua conta ficou negativa por um determinado tempo e a taxa de juros cobrada foi de 50% ao ano, qual o total de juros a ser debitado em sua conta corrente?

82 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 82 Saldo Negativo dias 1.250, ,00 8 HP 12C f REG 1250 ENTER 6 + =1 530 ENTER 8 + =2 RCL CHS PV 50 i 1 n f INT 16,30(juro a ser debitado) 5) Juros compostos a) Fórmula do montante a juros compostos: FV= PV(1+i) n Exemplo: Qual o valor futuro para uma aplicação de R$ 5.000,00 aplicado durante 5 meses, a taxa de juros compostos de 12% ao mês? Dados: PV= 5000 n = 5 meses i = 12% ao mês = 0,12 Resolução: FV= PV(1+i) n FV= 5000(1+0,12) 5 FV= 5000 (1,12) 5 FV= ,762 FV= 8.811,71 HP 12C: 5000 CHS PV 12 i 5 n FV 8.811,71 6) Equivalência de taxas a juros compostos Duas taxas são equivalente quando são expressas em períodos distintos, mas produzem o mesmo montante, quando aplicadas pelo mesmo período de tempo, para um mesmo capital inicial. a) Formula: iq= {[1+it] Q/T - 1 }. 100 Onde: iq= taxa equivalente que queremos Q= prazo no qual queremos a taxa equivalente it= taxa que temos T= prazo no qual temos a taxa dada Exemplo: Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês. Dados: it= 2% = 0,02 Q= 12 meses iq =? T= 1 mês Resolução: iq= {[1+it] Q/T - 1 }. 100 iq={[1+0,02] 12/1-1}.100 iq={[1,02] 12-1}.100 iq= {1,2682 1}.100 iq= 0, iq= 26,82% a. a. HP 12C: 2 ENTER ENTER 1 y x = 1, x = 26,82

83 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 83 Programação para este cálculo: F P/R F PRGM RCL i RCL PV RCL FV y x x F P/R Para que este programa seja utilizado, lembre-se: coloque a taxa que você tem no i; o tempo da taxa que você colocou na tecla i em FV; o tempo que você deseja ver a nova taxa em PV; agora é só pressionar R/S 7) Taxa Nominal e Efetiva a Juros compostos A taxa nominal anual = a taxa efetiva mensal x 12 A taxa nominal mensal= a taxa efetiva diária x 30 Exemplo 1 : Desta forma, se temos uma taxa de 125% nominal ao ano com capitalização mensal, e quisermos calcular a taxa efetiva ao ano, temos que calcular primeiro a taxa efetiva por período de capitalização mensal. Portanto: 125%a.a. 12=10,43%a.m.(taxa efetiva mensal) Agora iremos calcular a taxa efetiva ao ano fazendo a equivalência de taxa. HP 12C: 10,43 ENTER ENTER 1 y x = 3, x = 228,89%a.a Exemplo 2 : Se quisermos a taxa efetiva de 58%a.a., com capitalização mensal e precisarmos calcular a nominal ao ano. Calcule primeiro a taxa efetiva mensal fazendo a equivalência de taxa. HP 12C: 58 ENTER ENTER 12 y x = 1, x = 3,885%a.m Portanto: 3,885%a.m. x 12 = 46,63%a.a. VI) Para conferir se a calculadora esta funcionando perfeitamente 1) Com a calculadora desligada, aperte as teclas ON e juntas, soltando primeiro o ON aparecerá alguns traços. Aperte todas as teclas da direita para esquerda e de cima para baixo, o enter deverá ser apertado duas vezes. Quando chegar na ultima tecla (+) o visor apresentará o valor 12. 2) Com a calculadora desligada aperte as teclas ON e x juntas, soltando primeiro o ON a calculadora começara piscar e todas as funções ficaram acesas no visor.