APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS NA ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS DO MODELO DE UM TRANSFORMADOR DAVID MEISTER

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1 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS NA ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS DO MODELO DE UM TRANSFORMADOR DAVID MEISTER ORIENTADOR: MARCO AURÉLIO GONÇALVES DE OLIVEIRA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA PUBLICAÇÃO: PPGENE.DM 284A/06 BRASÍLIA/DF: NOVEMBRO

2 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS NA ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS DO MODELO DE UM TRANSFORMADOR DAVID MEISTER DISSERTAÇÃO DE MESTRADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE. APROVADA POR: Marco Aurélio Goçalves de Oliveira, Docteur (ENE-UB) (Orietador) Iva Marques de Toledo Camargo, Docteur (ENE-UB) (Examiador Itero) Atoio C. Baleeiro Alves, DSc. (UFG) (Examiador Extero) Alessadra Macedo de Souza, DSc. (ENE-UB) (Examiadora Suplete) BRASÍLIA/DF, 25 DE NOVEMBRO DE ii

3 FICHA CATALOGRÁFICA MEISTER, DAVID Aplicação do Método dos Míimos Quadrados a estimação de parâmetros do modelo de um trasformador [Distrito Federal] xvi, 5p., 20 x 297 mm (ENE/FT/UB, Mestre, Egeharia Elétrica, 2006). Dissertação de Mestrado Uiversidade de Brasília. Faculdade de Tecologia. Departameto de Egeharia Elétrica..Método dos Míimos Quadrados 2.Estimação de parâmetros 3.Modelo matemático 4.Trasformadores I. ENE/FT/UB II. Título (série) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA MEISTER, D. (2006). Aplicação do Método dos Míimos Quadrados a estimação de parâmetros do modelo de um trasformador. Dissertação de Mestrado em Egeharia Elétrica, Publicação PPGENE.DM-284A/06, Departameto de Egeharia Elétrica, Uiversidade de Brasília, Brasília, DF, 5p. CESSÃO DE DIREITOS AUTOR: David Meister. TÍTULO: Aplicação do Método dos Míimos Quadrados a estimação de parâmetros do modelo de um trasformador. GRAU: Mestre ANO: 2006 É cocedida à Uiversidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta dissertação de mestrado e para emprestar ou veder tais cópias somete para propósitos acadêmicos e cietíficos. O autor reserva outros direitos de publicação e ehuma parte dessa dissertação de mestrado pode ser reproduzida sem autorização por escrito do autor. David Meister SHIS QI 23 Codomíio Verde Rua dos Coqueiros Casa 26, Lago Sul Brasília DF Brasil. iii

4 Ao meu querido irmão, o Egeheiro Eletricista Adré Meister, MSc., pela sua cotribuição este projeto e por seu exemplo de profissioalismo e de vida. iv

5 AGRADECIMENTOS Aos meus queridos pais Jacob e Socorro pelos esiametos de vida e pelo apoio em todos os meus projetos. À miha esposa Deise pelo cariho e pela compreesão em todos os mometos. Ao meu irmão Adré pela participação e pelo icetivo em mais este desafio. Ao Professor Marco Aurélio Goçalves de Oliveira pela sua orietação competete, pelo apredizado adquirido, pela cofiaça depositada e pela geerosa amizade. Ao Professor Geovay Araújo Borges pela valiosa cotribuição e pela getil dispoibilidade em os auxiliar o esclarecimeto de ossas dúvidas. Aos amigos José Moisés Machado da Silva e Edvaldo Paiago pela colaboração o desevolvimeto deste trabalho. Ao amigo Igor Vilas Boas de Freitas, Diretor do Departameto de Idústria, Ciêcia e Tecologia do Miistério das Comuicações, pela compreesão acerca da importâcia deste trabalho e pelo apoio a realização deste projeto. v

6 RESUMO APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS NA ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS DO MODELO DE UM TRANSFORMADOR. O trasformador é um dos elemetos críticos de um sistema elétrico de potêcia e, desta forma, a rede é plaejada segudo critérios de cofiabilidade que visam assegurar a dispoibilidade deste elemeto mesmo a hipótese de cotigêcias. Dada a importâcia do trasformador para o sistema, justifica-se o ivestimeto em estudos a fim de desevolver modelos matemáticos para melhor compreeder as características do equipameto. O modelo deve possuir duas características básicas e em sempre cociliáveis: simplicidade das fuções matemáticas e acurácia dos resultados. Na verdade, deve-se cosiderar a formulação do modelo uma relação de compromisso, a medida em que uma maior precisão umérica implica, geralmete, em sofisticação e aumeto do custo aalítico da solução. A metodologia utilizada o trabalho cosistiu a realização dos tradicioais esaios em vazio e em curto-circuito do trasformador para determiação dos parâmetros do circuito equivalete e da resposta em freqüêcia do sistema. A seguir, procurou-se obter fuções de aproximação poliomiais que represetassem de maeira satisfatória o comportameto dos parâmetros do modelo desevolvido. A solução dos sistemas de equações associados foi caracterizada como um Problema de Míimos Quadrados Liear, pois deve-se miimizar a fução objetivo residual que traduz o erro etre o valor real do parâmetro e as estimativas obtidas pelas fuções de aproximação. A aplicação do Método dos Míimos Quadrados possibilitou determiar fuções de estimação ótimas para os parâmetros do circuito equivalete do trasformador. A aálise dos resultados obtidos permite iferir que os modelos desevolvidos costituem boas represetações para o trasformador, pois há pequeo erro relativo etre as medidas reais advidas dos esaios e aquelas estimadas com o uso dos poliômios de estimação. A coclusão pricipal foi que os parâmetros associados às perdas Joule, ao fluxo de dispersão e ao fluxo de magetização são adequadamete represetados por fuções poliomiais de terceiro grau, ao passo que as perdas o úcleo são bem represetadas por fuções poliomiais de segudo grau. vi

7 ABSTRACT THE USE OF THE LEAST SQUARES METHOD TO ESTIMATE THE MODEL PARAMETERS OF A TRANSFORMER The trasformer is oe of the critical elemets of a electrical power system ad, therefore, the etwork is plaed accordig to cofidece criteria i order to esure the avaialability of this elemet eve uder costraits. Due to the importace of the trasformer to the system, the ivestmet i studies is justified i order to develop mathematical models for better uderstadig the equipmet characteristics. The model must have two basic characteristics that are ot always easy to cociliate: simplicity of the mathematical fuctios ad accuracy of the results. I fact, a relatio must be cosidered i the model formulatio i the sese that a larger umerical precisio implies, i geeral, i sophisticatio ad icrease of the aalitical cost of the solutio. The methodology used i this work cosisted i the traditioal ope ad short-circuit tests of the trasformer to determie the equivalet circuit parameters ad the frequecy respose of the system. After that, the task was to fid approximatio polyomial fuctios that should satisfactorily represet the parameters behavior of the developed model. The solutio of the associated equatios systems was characterized as a Liear Least Squares Problem, sice the residual fuctio, which represets the error betwee the real value of the parameter ad the estimates obtaied by the approximatio fuctios, must be miimized. The use of Least Squares Method allowed the determiatio of the best approximatio fuctios for the parameters of the equivalet circuit of the trasformer. The aalysis of the obtaied results leads to the coclusio that the developed models do costitute good represetatios to the trasformer because there is little relative error betwee the real experimetal values of the tests ad those estimated with the use of polyomial estimatio. The major coclusio was that the parameters associated to the Joule losses ad to the dispersio ad magetizatio fluxes are reasoably represeted by third degree polyomial fuctios ad, besides, the core losses are well represeted by secod degree polyomial fuctios. vii

8 SUMÁRIO - INTRODUÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA INTRODUÇÃO QUALIDADE DA ENERGIA ELÉTRICA Pricipais distúrbios associados à qualidade da eergia elétrica Efeitos das distorções harmôicas a rede elétrica MODELAGEM MATEMÁTICA DE TRANSFORMADORES Circuito equivalete do trasformador Caracterização do trasformador como fote harmôica SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS O Problema de Míimos Quadrados Liear Aplicação do Método de Míimos Quadrados à estimação de parâmetros Solução do Problema de Míimos Quadrados pela pseudo-iversa Normalização de matrizes a resolução de sistemas de equações lieares Iterpolação, extrapolação e aproximação de fuções CONCLUSÕES MATERIAL E METODOLOGIA INTRODUÇÃO O LABORATÓRIO DE QUALIDADE DA ENERGIA ELÉTRICA EQUIPAMENTO A SER ENSAIADO ENSAIOS DO TRANSFORMADOR Esaio em curto-circuito Esaio em vazio viii

9 3.5 - PROCEDIMENTO PARA ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS MÉTODO DE COMPARAÇÃO ENTRE AS ESTIMATIVAS OBTIDAS PARA OS PARÂMETROS E OS DADOS EXPERIMENTAIS CONCLUSÕES RESULTADOS E ANÁLISE INTRODUÇÃO ENSAIO EM CURTO-CIRCUITO ENSAIO EM VAZIO ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS ANÁLISE DE SUPERPOSIÇÃO CONCLUSÕES CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICES... 0 A ALGORITMO DESENVOLVIDO PARA ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS EM MATLAB... 0 B RETATÓRIO DE SAÍDA DO ALGORITMO DESENVOLVIDO PARA ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS EM MATLAB ix

10 LISTA DE TABELAS Tabela 2. Pricipais distúrbios associados à QEE Tabela 2.2 Valores do coeficiete de Steimetz para algus materiais Tabela 3. Características do trasformador a ser esaiado Tabela 4. Resultados do esaio em curto-circuito Tabela 4.2 Resultados do esaio em vazio Tabela 4.3 Normalização das variáveis, decomposição da correte de excitação e cálculo da impedâcia do úcleo Tabela 4.4 Aálise de sesibilidade dos parâmetros do ramo em derivação do circuito equivalete do trasformador em fução da variação da tesão de operação Tabela Vetor de freqüêcias ormalizadas Tabela 4.6 Poliômios de estimação do parâmetro R eq associado às Perdas Joule Tabela Poliômios de estimação do parâmetro X eq associado ao fluxo de dispersão Tabela Poliômios de estimação do parâmetro R h associado às perdas o úcleo Tabela Poliômios de estimação do parâmetro X m associado fluxo de magetização o úcleo Tabela 4.0 Estimativa de R eq [%] para os poliômios de estimação de ordem a Tabela 4. - Estimativa de X eq [%] para os poliômios de estimação de ordem a Tabela 4.2 Estimativa de (R h [%] / 0.000) para os poliômios de estimação de ordem a Tabela Estimativa de (X m [%] / 0.000) para os poliômios de estimação de ordem a Tabela 4.4 Resíduo a estimativa de R eq [%] para os poliômios de estimação de ordem a Tabela Resíduo a estimativa de X eq [%]para os poliômios de estimação de ordem a Tabela Resíduo a estimativa de (R h [%] / 0.000) para os poliômios de estimação de ordem a Tabela Resíduo a estimativa de (X m [%] / 0.000) para os poliômios de estimação de ordem a Tabela 4.8 Norma do resíduo associado à estimativa de R eq [%] para os poliômios de estimação de ordem a Tabela Norma do resíduo associado à estimativa de X eq [%]para os poliômios de estimação de ordem a Tabela Norma do resíduo associado à estimativa de (R h [%] / 0.000) para os poliômios de estimação de ordem a Tabela Norma do resíduo associado à estimativa de (X m [%] / 0.000) para os poliômios de estimação de ordem a Tabela Quadrado da orma do resíduo associado à estimativa de R eq [%] para os poliômios de estimação de ordem a Tabela Quadrado da orma do resíduo associado à estimativa de X eq [%] para os poliômios de estimação de ordem a Tabela Quadrado da orma do resíduo associado à estimativa de (R h [%] / 0.000) para os poliômios de estimação de ordem a Tabela Quadrado da orma do resíduo associado à estimativa de (X m [%] / 0.000) para os poliômios de estimação de ordem a Tabela 4.26 Medidas dos esaios em curto-circuito para os casos de sial composto x

11 Tabela 4.27 Resultados do esaio em curto-circuito para os casos de aálise de superposição Tabela 4.28 Medidas dos esaios em vazio para os casos de sial composto Tabela Resultados do esaio em vazio para os casos de aálise de superposição xi

12 LISTA DE FIGURAS Figura 2. Pricipais distúrbios associados à qualidade da eergia elétrica Figura 2.2 Procedimeto geral para a avaliação de um problema de qualidade Figura 2.3 Trasformador ideal... 2 Figura 2.4 Trasformador real... 2 Figura 2.5 Circuito equivalete de um trasformador real... 3 Figura 2.6 Circuito equivalete com impedâcias referidas ao primário... 3 Figura 2.7 Curva de magetização do trasformador Figura 2.8 Digrama fasorial do trasformador em vazio Figura 2.9 Magetização do trasformador sem histerese Figura 2.0 Magetização do trasformador com histerese... 9 Figura 2. Trasformador trifásico de úcleo evolvete Figura 2.2 Iterpretação geométrica do Problema de Míimos Quadrados Figura 3. Laboratório de Qualidade da Eergia Elétrica Figura 3.2 Trasformador utilizado os esaios Figura 3.3 Diagrama esquemático para o esaio de curto-circuito Figura 3.4 Diagrama esquemático para o esaio em vazio Figura 3.5 Fluxograma do procedimeto para estimação de parâmetros pelo Método dos Míimos Quadrados Figura 3.6 Circuito equivalete estimado para o trasformador Figura 3.7 Circuito equivalete estimado em curto-circuito... 4 Figura 3.8 Circuito equivalete estimado em vazio Figura 3.9 Circuito equivalete estimado por superposição Figura 3.0 Forma de oda de etrada composta do caso Figura 3. - Forma de oda de etrada composta do caso Figura Forma de oda de etrada composta do caso Figura Forma de oda de etrada composta do caso Figura 4. Diagrama de dispersão de R eq Figura 4.2 Diagrama de dispersão de X eq Figura 4.3 Diagrama de dispersão de Leq Figura 4.4 Diagrama de dispersão da impedâcia equivalete dos erolametos do trasformador Figura 4.5 Relação correte-tesão para ordem harmôica de a Figura 4.6 Diagrama de dispersão da potêcia de curto-circuito Figura 4.7 Diagrama de dispersão de R h Figura 4.8 Diagrama de dispersão de X m Figura 4.9 Diagrama de dispersão de Z m Figura 4.0 Tesão x freqüêcia - ordem harmôica de a Figura 4. Quadrado das ormas de resíduos do parâmetro R eq para os poliômios de estimação de ordem a Figura Melhor fução de aproximação poliomial para R eq com itervalo de cofiaça de 95% Figura Quadrado das ormas de resíduos do parâmetro X eq para os poliômios de estimação de ordem a Figura Melhor fução de aproximação poliomial para X eq com itervalo de cofiaça de 95% Figura 4.5 Quadrado das ormas de resíduos do parâmetro R h para os poliômios de estimação de ordem a xii

13 Figura Melhor fução de aproximação poliomial para R h com itervalo de cofiaça de 95% Figura Quadrado das ormas de resíduos do parâmetro X m para os poliômios de estimação de ordem a Figura Melhor fução de aproximação poliomial para X m com itervalo de cofiaça de 95% Figura 4.9 Sial de alimetação para o esaio de curto-circuito Caso Figura 4.20 Sial de alimetação para o esaio de curto-circuito Caso Figura 4.2 Sial de alimetação para o esaio de curto-circuito Caso Figura 4.22 Sial de alimetação para o esaio de curto-circuito Caso Figura 4.23 Circuito equivalete em curto-circuito para freqüêcia fudametal Caso Figura 4.24 Circuito equivalete em curto-circuito para 2ª harmôica Caso Figura 4.25 Sial de alimetação para o esaio em vazio Caso Figura 4.26 Sial de alimetação para o esaio em vazio Caso Figura 4.27 Sial de alimetação para o esaio em vazio Caso Figura 4.28 Sial de alimetação para o esaio em vazio Caso Figura 4.29 Circuito equivalete em vazio para freqüêcia fudametal Caso Figura 4.30 Circuito equivalete em vazio para 2ª harmôica Caso xiii

14 LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES a - razão de espiras B - idução magética máxima o úcleo d - espessura da chapa do úcleo E m - valor de pico da tesão primária do trasformador e - força cotra-eletromotriz E & - tesão iduzida o primário E & 2 - tesão iduzida o secudário f - freqüêcia f - freqüêcia ormalizada I cc - correte de curto-circuito I h - módulo da compoete ativa da correte em vazio I m - módulo da compoete reativa da correte em vazio I - valor omial de correte do trasformador I o - correte em vazio I 0 - valor da medida do amperímetro A o esaio em vazio do trasformador I 02 - valor da medida do amperímetro A 2 o esaio em vazio do trasformador I 03 - valor da medida do amperímetro A 3 o esaio em vazio do trasformador I - correte o primário I 2 - correte o secudário k - iverso do coeficiete de variação da resistêcia com a temperatura K s - coeficiete de Steimetz L eq - idutâcia de dispersão equivalete dos erolametos primário e secudário referida ao primário N - úmero de espiras do erolameto primário do trasformador Pcc - perdas em curto-circuito P F - perdas por corretes de Foucault P H - perdas por histerese xiv

15 PR eq - poliômio de estimação ótima para o parâmetro R eq P R h - poliômio de estimação ótima para o parâmetro PX eq - poliômio de estimação ótima para o parâmetro X eq PX m - poliômio de estimação ótima para o parâmetro X m Po - perdas em vazio P - valor da medida do wattímetro W os esaios em vazio e em curto-circuito do trasformador P 2 - valor da medida do wattímetro W 2 os esaios em vazio e em curto-circuito do trasformador R eq - resistêcia equivalete dos erolametos primário e secudário referida ao primário R h - resistêcia associada às perdas o úcleo R θ - resistêcia calculada a temperatura θ 2 R - resistêcia do erolameto primário R 2 - resistêcia do erolameto primário V cc - tesão de curto-circuito V - valor omial de tesão do trasformador V 0 - tesão de alimetação o esaio em vazio do trasformador v - tesão primária istatâea do trasformador V - tesão termial o primário V 2 - tesão termial o secudário S - valor omial de potêcia do trasformador X eq - reatâcia de dispersão equivalete dos erolametos primário e secudário referida ao primário X m - reatâcia de magetização X - reatâcia de dispersão do primário X 2 - reatâcia de dispersão do secudário ω = freqüêcia agular Zeq - impedâcia equivalete dos erolametos primário e secudário referida ao primário R h xv

16 Z m - impedâcia equivalete da associação em paralelo de α - temperatura de referêcia em C α 2 - temperatura do meio circudate em C ϕ - fluxo magético R - relutâcia magética R h e θ o - defasagem agular etre tesão e correte o esaio em vazio ( ) - orma euclidiaa ( ) - matriz iversa t ( ) - matriz trasposta + ( ) - matriz pseudo-iversa Cod ( ) - úmero de codição da matriz MATLAB - Matrix Laboratory : high-performace laguage for techical computig X m xvi

17 - INTRODUÇÃO A complexidade dos estudos de plaejameto e operação dos sistemas elétricos tem aumetado em fução das ecessidades de icorporação de ovas tecologias a rede e, também, de atedimeto a uma demada crescete. Por outro lado, há um crescimeto sigificativo das deomiadas cargas especiais (cargas ão-lieares) que pode iflueciar o desempeho do sistema. A somatória destes fatores implicou a redefiição do coceito de Qualidade da Eergia Elétrica (QEE) o setido de ampliá-lo em relação à oção tradicioal de qualidade da tesão e atualizá-lo frete às mudaças que ocorreram em termos tecológicos e istitucioais. Desta forma, o termo QEE egloba, atualmete, três grades eixos: qualidade do produto eergia elétrica, qualidade do serviço e qualidade do atedimeto. A aálise dos distúrbios associados à qualidade da eergia elétrica como, por exemplo, as distorções harmôicas, deixou de ser objeto exclusivo da Academia e, hoje, é um tema cosiderado relevate pelas idústrias, pelos cosumidores e pelo Órgão Regulador devido aos seus efeitos a vida útil e a operação dos elemetos de rede. Neste cotexto, é importate desevolver ferrametas computacioais para modelar matematicamete os elemetos da rede e, a partir destes modelos, processar os dados e tomar decisões acerca da orietação de ivestimetos e de esforços para mitigar os problemas e garatir uma operação segura e ecoômica da rede. O trasformador costitui um dos elemetos de rede mais importates devido ao seu papel fudametal a trasformação de tesões para os ós e ramos da rede elétrica e por ser um dos equipametos de maior custo em uma subestação. Em fução de sua importâcia, este compoete do sistema deve ser estudado em detalhe a fim de que os modelos desevolvidos represetem com fidelidade a operação real do equipameto. Neste setido, o modelo deve possuir duas características básicas e em sempre cociliáveis: simplicidade das fuções matemáticas e acurácia dos resultados. Na verdade, deve-se cosiderar a formulação do modelo uma relação de compromisso, a medida em que uma maior precisão umérica implica, geralmete, em sofisticação e aumeto do custo aalítico da solução. Assim, o ível de acurácia desejado para a solução do problema defie o grau de complexidade do modelo associado ao sistema.

18 Dado um cojuto de observações, a meta cosiste em sitetizar as iformações e traduzilas em um sistema aálogo ode os parâmetros estão associados às variáveis de iteresse. Este modelo pode ser represetado por uma classe de fuções como, por exemplo, poliômios, que exprimem as relações físicas existetes etre as variáveis do sistema. A seguir, defiem-se figuras de mérito que servem como idicadores do ível de qualidade da resposta em termos de cofiaça, acurácia e robustez. As figuras de mérito geralmete utilizadas para avaliar as soluções são aquelas associadas à distâcia etre o valor real e o estimado. Este desvio ou erro é chamado de resíduo e o problema pode ser etedido o setido macro como um processo de miimização de uma fução objetivo deomiada resíduo. Este procedimeto costitui em lihas gerais a base de um dos métodos mais difudidos para resolução de sistemas de equações lieares: o Método dos Míimos Quadrados Liear. Segudo Garés et. al., (997), o Método dos Míimos Quadrados tem se trasformado o pricipal método de ajustameto de observações, desde sua aplicação pioeira e de maeira idepedete por Gauss (809) e Legedre (806). O Método é baseado a idéia cetral de que ao reduzir ao máximo a soma dos quadrados das difereças etre os valores reais e os valores estimados, obtém-se o melhor ajuste para a fução de aproximação, ou seja, a estimação ótima. Ressalte-se que a estimação de parâmetros ão se resume a determiar parâmetros para um certo modelo de um sistema. Na verdade, o processo deve eglobar também as seguites etapas adicioais: estimativa de erros associados aos parâmetros e medidas estatísticas da qualidade da resposta, ou seja, acurácia e cofiabilidade dos resultados. A dissertação está orgaizada da forma descrita a seguir. O segudo capítulo trata da revisão bibliográfica acerca dos pricipais tópicos ecessários ao melhor etedimeto do objeto da dissertação. As seções forecem de maeira cocisa os fudametos teóricos para as aálises futuras do trabalho. Após uma breve itrodução, o tema da Qualidade da Eergia Elétrica é abordado por meio da apresetação de coceitos e distúrbios associados. A seção posterior aborda a modelagem matemática do trasformador, objeto desta dissertação. Na seção seguite defie-se o Problema de Míimos Quadrado Liear e sua respectiva aplicação o processo de estimação de parâmetros. Fialmete, a última seção faz uma coclusão acerca dos ites mostrados o capítulo. 2

19 O terceiro capítulo tem como fialidade apresetar os elemetos que servirão de base para posterior execução e aálise dos esaios. Iicialmete, faz-se uma breve descrição dos recursos dispoíveis o Laboratório de Qualidade da Eergia Elétrica, que pertece ao Departameto de Egeharia Elétrica da Faculdade de Tecologia da Uiversidade de Brasília. A seguir, mostram-se as características do trasformador que será esaiado, bem como os procedimetos e hipóteses associados aos respectivos esaios e à estimação de parâmetros pelo Método dos Míimos Quadrados Liear. No quarto capítulo são apresetados e discutidos os resultados obtidos em laboratório. O capítulo foi dividido em seções com aálises específicas. A primeira seção mostra os resultados associados ao esaio de curto-circuito do trasformador. A seguda seção mostra os resultados associados ao esaio em vazio do trasformador. Na terceira seção apresetam-se os resultados e aálises relativas à estimação ótima dos parâmetros do circuito equivalete do trasformador. Na última seção é feita uma avaliação acerca da qualidade das estimativas obtidas para os parâmetros os casos de siais compostos por mais de uma freqüêcia. O quito capítulo apreseta as coclusões da dissertação e idica recomedações para aprofudameto das aálises e desdobrametos futuros do trabalho. Os apêdices cotêm a listagem do algoritmo desevolvido em ambiete MATLAB e o relatório de saída associado. 3

20 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2. - INTRODUÇÃO O presete capítulo trata da revisão bibliográfica acerca dos pricipais tópicos ecessários ao melhor etedimeto do objeto da dissertação. Assim, este capítulo cotém três seções básicas ode os fudametos teóricos são abordados de maeria cocisa. A primeira seção aborda o tema da Qualidade da Eergia Elétrica (QEE) por meio da apresetação do coceito modero de QEE, os efeitos dos pricipais distúrbios de QEE a rede e, em especial, a sua ifluêcia a resposta em freqüêcia do trasformador em fução de sua importâcia para o trabalho. A seguda seção foi estruturada com a fialidade de aalisar a modelagem matemática de trasformadores. Desta forma, esta seção foi dividida em duas partes: a primeira detalha o circuito equivalete do trasformador, ao passo que a seguda caracteriza o trasformador como uma fote harmôica. Esta seção é importate porque forece o modelo matemático básico que será utilizado a aplicação do Método dos Míimos Quadrados para determiação dos parâmetros do circuito equivalete. A terceira seção trata da solução de sistemas de equações lieares pelo Método dos Míimos Quadrados. O Problema de Míimos Quadrados Liear é coceituado e, a seguir, mostrase a sua aplicação a estimação de parâmetros de um dado sistema. A subseção posterior aborda a solução do Problema de Míimos Quadrados pela utilização da pseudo-iversa da matriz de coeficietes do sistema. Esta subseção é relevate porque esta metodologia é utilizada o algoritmo desevolvido em ambiete MATLAB para resolver o sistema de equações lieares. A subseção seguite ilustra o procedimeto de ormalização de matrizes a resolução de sistemas de equações lieares, a qual também é utilizada o algoritmo desevolvido. Fialmete, a última subseção coceitua e diferecia as técicas de estimação de iterpolação, extrapolação e aproximação de fuções com o ituito de detalhar o método utilizado e o alcace dos resultados obtidos. 4

21 2.2 - QUALIDADE DA ENERGIA ELÉTRICA Em um sistema de correte alterada ideal os siais elétricos são equilibrados, simétricos e possuem forma de oda perfeitamete seoidal. No etato, verifica-se que em uma codição operativa real ocorrem desequilíbrios, assimetrias e distorções. Essas aomalias sempre estiveram presetes o sistema, porém, elas toraram-se mais sigificativas com o aumeto do tamaho e da complexidade das redes elétricas. As aomalias do sistema são devidas a fatores exteros como a ocorrêcia de surtos, bem como a fatores iteros como a atureza dos elemetos que costituem a rede elétrica. No etato, a existêcia de cargas ão-lieares é a pricipal causa de perturbações como distorções harmôicas, flutuações de tesão e desequilíbrios. A característica ão-liear etre tesão e correte ocorre em equipametos com úcleos saturados, em dispositivos com fotes chaveadas e em cotroladores a estado sólido como, por exemplo, trasformadores, reatores eletrôicos, computadores, acioametos de velocidade variável e lâmpadas fluorescetes compactas etre outros. Há vatages técicas e ecoômicas o processo de substituição de equipametos obsoletos por essas ovas tecologias, cotudo, estes ovos dispositivos se costituem em fotes de perturbação para o sistema e, por outro lado, são bastate sesíveis a distúrbios a rede. Desse modo, costatou-se a ecessidade de ivestimetos em pesquisa a fim de melhor compreeder esses feômeos, assim como desevolver soluções para miimizar seus efeitos sobre a Qualidade da Eergia Elétrica. O iteresse com os evetos relacioados à QEE ão costitui um fato recete, porém, essa área tem gahado destaque de maeira crescete em fução dos seguites fatores (Duga et al., 996): i. a ova geração de equipametos elétricos, usualmete empregado sistemas de cotrole e comado baseados em microprocessadores e compoetes da eletrôica de potêcia, é mais sesível às variações da qualidade da eergia elétrica do que a geração atecedete; ii. a êfase crescete a eficiêcia global dos sistemas de potêcia resultou a aplicação de acioametos de motores com alto redimeto e a aplicação de bacos de capacitores para reduzir as perdas os sistemas elétricos; 5

22 iii. iv. os cosumidores toraram-se mais atetos aos aspectos da qualidade da eergia elétrica, torado-se mais bem iformados a respeito de iterrupções, afudametos de tesão, trasitórios, etc., provocado as cocessioárias o setido de melhorar a qualidade da eergia elétrica que lhes é etregue; e o aumeto o grau de itercoectividade dos sistemas elétricos, suas partes costituites e seus processos, resultado assim que a falha de qualquer compoete tem maiores coseqüêcias. Não existe coseso em relação à defiição de QEE. Iicialmete, o coceito de qualidade da eergia elétrica era restrito à aálise da tesão, uma vez que as características dessa gradeza são determiadas pelo forecedor de eergia e, portato, podem ser cotroladas. Por outro lado, a atureza da correte elétrica é tal que ela é fução, essecialmete, da carga a ser suprida. Dessa maeira, o primeiro etedimeto cosistia a viculação etre qualidade da eergia e qualidade da tesão. Essa associação é um coceito limitado, pois está relacioada somete com a qualidade da eergia etregue aos cosumidores pelo supridor de eergia do sistema. Uma defiição mais atual de QEE egloba qualquer problema maifestado por meio de desvios a tesão, a correte ou a freqüêcia, que resulte em falha ou má operação de equipameto do cosumidor (Duga et al., 996). Portato, essa seguda visão associa QEE ao que se deomia qualidade do produto, ou seja, há êfase a moitoração da coformidade do produto eletricidade em relação aos padrões, critérios e ormas técicas estabelecidos, a fim de evitar disfuções os equipametos do cosumidor. Fialmete, o coceito mais abragete de QEE agrega mais dois requisitos básicos à qualidade do produto: qualidade do serviço e qualidade do atedimeto. A qualidade do serviço compreede a garatia da cotiuidade do forecimeto de eergia elétrica, ao passo que a qualidade do atedimeto refere-se à capacidade do supridor de eergia elétrica em prestar um serviço eficiete. Assim, a QEE deve ser a perfeita combiação etre características quase ideais do produto eletricidade (coformidade) e um bom sistema e serviço de forecimeto (cotiuidade), aliadas a uma tal qualidade do atedimeto que permita satisfazer as expectativas do cliete (Abreu, 2005). 6

23 Os problemas de QEE ão são ovos. No etato, com a crescete expasão e iterligação das redes elétricas, ocorreu uma mudaça o efoque de QEE, que passou da visão restrita baseada a aálise idividual de equipametos para uma visão mais abragete que cosidera a abordagem sistêmica ou codomiial dessa questão (Brozeado et. al., 996). Assim, cosideram-se os efeitos das perturbações ocorridas em relação aos equipametos, bem como a ifluêcia dos distúrbios sobre o sistema como um todo. A atureza codomiial ou sistêmica é coseqüêcia desse fato, ou seja, a iterdepedêcia dos elemetos da rede demada a ivestigação das aomalias sob uma ótica global e ão potual. Isso está de acordo com o coceito atual de QEE, o qual compreede a aálise, o diagóstico, a solução e o impacto ecoômico das aomalias sobre o sistema Pricipais distúrbios associados à qualidade da eergia elétrica Os distúrbios associados à QEE podem ser agrupados em categorias em fução da amplitude e duração dos feômeos, coforme mostrado a Tabela 2.. Na Figura 2. estão ilustrados os mais importates distúrbios associados à QEE. Tabela 2. Pricipais distúrbios associados à QEE. Fote: (Duga et al., 2002). Pricipais feômeos de qualidade de eergia elétrica Categorias Duração Amplitude (p.u.) Trasitórios - Impulsivos - Oscilatórios Variações de curta duração - Iterrupção trasitória - Afudameto de tesão - Salto de tesão Variações de loga duração - Iterrupção sustetada - Subtesão - Sobretesão - Desequilíbrios Distorção de forma de oda - Harmôicas - Corte de tesão 50 s ms 5 µs 50 ms 0,5 ciclo miuto 0,5 ciclo miuto 0,5 ciclo miuto > miuto > miuto > miuto Regime permaete Regime permaete Regime permaete Regime permaete - 0 0,8 < 0, 0, 0,9,,8 0 0,8 0,9,,2 0,02 0,05 0 0,2-0 0,0 - Ruído Flutuação de tesão Itermitete 0,00 0,07 Variação de freqüêcia < 0 s - 7

24 Figura 2. Pricipais distúrbios associados à qualidade da eergia elétrica. (a) Trasitório impulsivo; (b) Trasitório oscilatório; (c) Variação de tesão (afudameto); (d) Iterrupção; (e) Variação de tesão (elevação); (f) Harmôicos (30% de 3º Harmôico); (g) Corte de tesão (otchig). Fote: (FUPAI GQEE-EFEI Capítulo 2, 200) com modificações. Os distúrbios associados à QEE têm atureza específica, o etato, pode-se estabelecer um procedimeto geral para avaliação de um problema de qualidade (Figura 2.2). Figura 2.2 Procedimeto geral para a avaliação de um problema de qualidade. Fote: (Ribeiro et al., 993) com modificações. Após o desevolvimeto de soluções técicas para o problema de qualidade, deve-se realizar uma aálise de viabilidade ecoômica, a fim de idetificar a alterativa que propicie a melhor relação custo-beefício. 8

25 Efeitos das distorções harmôicas a rede elétrica Em particular, as harmôicas serão aalisadas com maior detalhe a seguir em virtude de sua ifluêcia a operação e vida útil do trasformador, objeto pricipal deste trabalho. As harmôicas são siais seoidais periódicos de tesão ou correte que têm freqüêcias múltiplas da freqüêcia fudametal e se somam aos compoetes de freqüêcia fudametal da tesão ou da correte, causado distorções a forma de oda, as quais são depedetes da freqüêcia, da amplitude e do defasameto agular da harmôica em relação à compoete fudametal. As distorções harmôicas ocorrem devido à operação de cargas ão-lieares o sistema elétrico, tais como foros a arco, foros de idução, máquias de solda, coversores estáticos, compesadores estáticos, trasformadores, acioametos de velocidade etc. As distorções harmôicas têm aumetado os sistemas elétricos devido à aplicação crescete da eletrôica de potêcia. Existem dois tipos básicos de harmôicas: harmôicas de correte e harmôicas de tesão. As harmôicas de correte se maifestam em potos localizados do sistema, ao passo que as harmôicas de tesão se propagam por todo o sistema e, portato, são mais preocupates. Os trasformadores e os motores saturados são elemetos que origiam harmôicas de tesão. O problema da peetração harmôica em sistemas de distribuição tem crescido sigificativamete durate os últimos aos, devido ao aumeto do úmero de equipametos de eletrôica de potêcia que itroduzem distorção a rede elétrica. Isso implica a ecessidade de realização de estudos acerca da operação desses equipametos, bem como acerca da sua ifluêcia em outras partes do sistema. Nesse cotexto, vários agetes têm proposto a itrodução de limites para a ijeção de corretes harmôicas e, também, a defiição de íveis aceitáveis de distorção de tesão em fução do tipo de dispositivo e sua respectiva localização o sistema de potêcia. A resposta do sistema de potêcia a cada freqüêcia harmôica determia o verdadeiro impacto da carga ão-liear a distorção harmôica de tesão (Oliveira, 2003). 9

26 As harmôicas podem acarretar diversos problemas para o sistema, como a modificação da característica de operação de relés, a iterferêcia idutiva em sistemas de comuicação e o sobreaquecimeto de máquias sícroas e de idução, etre outros. Os efeitos possíveis icluem a redução da vida útil dos equipametos e coseqüete perda de eficiêcia, perda de produtividade e aumeto dos custos de mauteção e operação. As coseqüêcias das distorções harmôicas podem ser classificadas em dois grupos pricipais: i. efeitos quase istatâeos, relacioados com a deformação das odas de tesão ou correte e que podem se refletir em operação icorreta de equipametos de cotrole ou relés, iterferêcias em sistemas de telefoia e solicitação do isolameto; e ii. efeitos acumulados, relacioados com o tempo de exposição do equipameto à distorção e com a itesidade dos compoetes harmôicos e que podem se refletir em perdas adicioais, sobreaquecimeto, perda de vida útil, erros de medição de eergia (Mello et al., 993). A impedâcia série da rede de distribuição (impedâcia equivalete de curto-circuito) é essecialmete liear. Assim, a maior parte das ão-liearidades dos sistemas de potêcia ocorre os elemetos em derivação (cargas) e, portato, esses elemetos costituem fotes harmôicas para o sistema. Nas redes de trasmissão, os efeitos pricipais das distorções harmôicas são as quedas de tesão harmôicas através das impedâcias (mais sigificativas em sistemas fracos ou de reduzida potêcia de curto-circuito) e a perda adicioal causada pelo aumeto do valor eficaz da correte. Em trasformadores que operam a freqüêcia fudametal, o efeito da distorção harmôica de correte e de tesão é o aumeto sigificativo do aquecimeto. As tesões harmôicas aumetam a histerese, as perdas por corretes parasitas e os esforços sobre o isolameto. Por outro lado, o fluxo de corretes harmôicas aumeta as perdas os erolametos. Em particular, a circulação de corretes triplas de seqüêcia zero o erolameto em delta pode causar sobrecarga quado as harmôicas ão são cosideradas o projeto do dimesioameto do trasformador. 0

27 Quado há compoetes harmôicas a correte de carga, algus fatores resultam em aumeto do aquecimeto do trasformador: i. valor eficaz: quado o trasformador é dimesioado para os requisitos de potêcia da carga, pode ocorrer violação da capacidade do trasformador em fução do aumeto da correte eficaz a preseça de compoetes harmôicas. Essa correte eficaz elevada resulta em aumeto das perdas do codutor; e ii. perdas o úcleo: o aumeto das perdas o úcleo a preseça de harmôicas depede do efeito das harmôicas a tesão aplicada, bem como do modelo do úcleo do trasformador. A elevação da distorção de tesão pode aumetar as corretes parasitas as lamiações do úcleo e o impacto real é fução da espessura das lamiações do úcleo e da qualidade do aço empregado o úcleo. As corretes iduzidas o trasformador origiadas por fluxos magéticos que circulam o úcleo e os erolametos causam aquecimetos adicioais o equipameto. Essa compoete de perdas do trasformador aumeta com o quadrado da freqüêcia das corretes que causam as corretes parasitas, logo, costituem fator importate as perdas do trasformador por aquecimeto harmôico (Duga et al., 996). A fim de ateuar esses efeitos, pode-se substituir os codutores sólidos por cabos traspostos, colocar mais dutos de resfriameto e realizar o deratig do trasformador. O deratig refere-se à determiação da máxima carga que um trasformador pode suprir quado coectado a cargas ão-lieares, baseado-se o sobreaquecimeto do trasformador. Geralmete, o deratig do trasformador é recomedável quado a distorção de correte é superior a 5% (IEEE, C ). A CBEMA itroduziu o coceito do THDF - Trasformer Harmoic Deratig Factor, o qual idica para quato se deve dimiuir a carga de um trasformador submetido a distorções harmôicas a fim de que ele opere regularmete, sem problemas de superaquecimeto. Assim, por exemplo, um trasformador de 00 kva com THDF = 0,57 deve operar com carga máxima de 57 kva (Meister, 2000).

28 2.3 - MODELAGEM MATEMÁTICA DE TRANSFORMADORES Circuito equivalete do trasformador Segudo Nasar, (984), o trasformador ideal é caracterizado pelas seguites propriedades: i. úcleo de permeabilidade ifiita e sem perdas; ii. erolametos elétricos sem perdas; e iii. iexistêcia de fluxo de dispersão. O circuito equivalete de um trasformador ideal é mostrado a Figura 2.3. Figura 2.3 Trasformador ideal. Fote: (Nasar, 984). Por outro lado, o trasformador real cosideram-se os efeitos das resistêcias dos erolametos, das reatâcias de dispersão, da reatâcia de magetização e das perdas o úcleo. O circuito do trasformador real é mostrado a Figura 2.4. Figura 2.4 Trasformador real. Fote: (Nasar, 984) com modificações. Ao se referir a impedâcia para o primário, o circuito equivalete do trasformador real tora-se aquele mostrado a Figura

29 Figura 2.5 Circuito equivalete de um trasformador real. As resistêcias R e R 2 estão associadas às perdas por efeito Joule os erolametos do trasformador, equato que as reatâcias X e X 2 represetam os fluxos de dispersão as bobias do trasformador. No ramo em derivação do trasformador, a reatâcia equivalete de magetização X m represeta o fluxo resultate o úcleo, ecessário à operação ormal do trasformador, ao passo que a resistêcia equivalete R h está relacioada às perdas por histerese e corretes parasitas (corretes de Foucault). O úcleo do trasformador é costruído de tal maeira a garatir as propriedades de alta permeabilidade e perdas reduzidas, o que implica que I 0 << I. O circuito equivalete pode ser simplificado ao se cosiderar esta relação etre a correte de excitação e a correte omial do erolameto, coforme mostra a Figura 2.6. Figura 2.6 Circuito equivalete com impedâcias referidas ao primário. A impedâcia equivalete R eq + jx eq represeta a somatória da parcela da impedâcia série do erolameto primário com a parcela da impedâcia série do erolameto secudário referida ao primário. 3

30 Caracterização do trasformador como fote harmôica Em equipametos saturáveis como trasformadores, as harmôicas são geradas devido às características magetizates ão-lieares do material ferromagético. Essa propriedade ão-liear é mostrada a Figura 2.7. Os trasformadores são fabricados para operar abaixo do joelho da curva de saturação, pois esta região as perdas são meores. Figura 2.7 Curva de magetização do trasformador. Fote: (Duga et al., 996) com modificações. A distorção harmôica surge em trasformadores devido à relação ão-liear etre o fluxo magético e a correte de excitação. A correte de excitação é defiida como aquela que percorre um termial de liha do erolameto, sob tesão alterada, com os termiais dos outros erolametos em aberto (NBR 5356, 993). A correte de excitação do trasformador é, geralmete, iferior a % da correte omial de plea carga, ou seja, em regime permaete, essa correte ão causa distorção apreciável a rede (Duga et al., 996). Porém, durate perturbações trasitórias e quado opera fora da faixa ormal, o trasformador pode aumetar a cotribuição harmôica. Em geral, o efeito da correte de excitação é mais prouciado o patamar de carga leve, pois há aumeto sigificativo das corretes harmôicas triplas bem como aumeto da circulação de correte devido à tesão mais elevada essa codição. Logo, a distorção de tesão harmôica a partir da sobreexcitação do trasformador é mais ítida esta codição de carga. A potêcia absorvida pelo trasformador em vazio é deomiada perda em vazio ou perda o úcleo e decorre dos feômeos de histerese e de corretes parasitas (Foucault). A NBR 5356, de 993, coceitua as perdas em vazio como a potêcia ativa absorvida por um trasformador quado alimetado por um de seus erolametos, com os termiais dos 4

31 outros erolametos em circuito aberto. A perda em vazio é fução do valor, da freqüêcia e da forma de oda da tesão de alimetação (NBR 5380, 993). A Equação (2.) mostra a formulação matemática para a perda em vazio: P 0 = P H + P F Equação 2.) As Equações (2.2) e (2.3) referem-se às perdas por histerese e Foucault (Abreu et al., 990). O parâmetro K s é fução do material utilizado o úcleo (Tabela 2.2). P H,6 = K B f Equação (2.2) s P F = 2,2 f B d 0 Equação (2.3) Tabela 2.2 Valores do coeficiete de Steimetz para algus materiais. Fote: (Abreu et al., 990) com modificações. Material K s Ferro doce 2,50 Aço doce 2,70 Aço doce para máquias 0,00 Aço fudido 5,00 Fudição 7,00 Aço doce 2% de silício,50 Aço doce 3% de silício,25 Aço doce 4% de silício,00 Lamiação doce 3,0 Lamiação delgada 3,80 Lamiação ordiária 4,20 As perdas por histerese estão relacioadas ao movimeto de orietação os domíios magéticos o material ferromagético, que seguem o fluxo ora em uma direção, ora em outra (Oliveira, 2003). A partir da itegração da equação de Faraday, pode-se mostrar que o fluxo criado pela aplicação de uma tesão seoidal é iversamete proporcioal à freqüêcia, logo, as perdas por histerese a freqüêcia fudametal são maiores que aquelas produzidas em uma dada freqüêcia harmôica. 5

32 As perdas por corretes parasitas estão associadas à idução de corretes elétricas o úcleo magético causadas pela variação do fluxo magético, isto é, pelo campo elétrico que decorre deste fluxo variável (Oliveira, 2003). A lamiação do úcleo do trasformador pode reduzir estas perdas. A correte em vazio supre as perdas em vazio do trasformador e estabelece o fluxo magético o circuito. Dessa maeira, a correte de excitação pode ser decomposta em duas parcelas, coforme Figura 2.8. Figura 2.8 Digrama fasorial do trasformador em vazio. Fote: (Abreu et al., 990) com modificações. A partir do diagrama fasorial, tem-se a seguite relação etre a correte em vazio e suas compoetes: I h I m I = + Equação (2.4) A compoete ativa da correte em vazio (I h ) é resposável pelo suprimeto das perdas o úcleo, ao passo que a compoete reativa (I m ) gera o fluxo magético pricipal. A potêcia ativa cosumida pelo trasformador em vazio alimetado pela tesão omial V pode ser aproximada pela potêcia em vazio P 0, coforme Equação (2.5). P = VI cos( ) Equação (2.5) 0 0 θ De acordo com o diagrama fasorial da Figura 2.8, pode-se reescrever a Equação (2.5) da seguite maeira: P 0 =VI h Equação (2.6) 6

33 As perdas o úcleo devem ser miimizadas a fim de aumetar a eficiêcia do trasformador e, portato, a correte em vazio deve ser, predomiatemete, reativa. Isso implica a codição em que a compoete I m >> I h. Logo, o âgulo de defasagem etre a tesão aplicada e a correte em vazio tede a aumetar e, coseqüetemete, o fator de potêcia tede a dimiuir a codição de operação em vazio. Em razão do fato do circuito magético ser de atureza ão-liear, a correte em vazio terá uma forma de oda ão-seoidal quado a tesão aplicada for do tipo seoidal. Esse feômeo será detalhado a seguir. Em vazio, a tesão primária v do trasformador é balaceada pela força cotraeletromotriz e iduzida pelo fluxo pricipal, a medida em que os efeitos da resistêcia do erolameto e da reatâcia de dispersão são desprezíveis para baixas corretes. Logo, a tesão primária essa codição pode ser dada pela Equação (2.7): v dϕ e = Em se( ωt = N Equação (2.7) dt ) Portato, o fluxo magético pricipal pode ser expresso pela Equação (2.8). e Em ϕ = dt = cos( ωt) = ϕm cos( ωt) Equação (2.8) N N ω Das Equações 2.7 e 2.8, verifica-se que uma tesão seoidal produz um fluxo seoidal a codição de operação em vazio do trasformador. No etato, devido ao ciclo de histerese, a forma de oda da correte de excitação ão é seoidal para um fluxo magético de atureza seoidal. Esse fato será detalhado a seguir. A força eletromotriz ecessária para gerar o fluxo magético é dada pela Equação (2.9). φ R = N i m Equação (2.9) 7

34 A partir da ispeção da Equação (2.9) percebe-se que a correte i m é fução do úmero de espiras do erolameto primário, do fluxo magético e da relutâcia magética do circuito. Apesar de N ser uma costate e do fluxo magético ser de atureza seoidal, como mostrado a Equação (2.9), a forma de oda de i m será ão-seoidal devido à relutâcia do circuito magético, a qual varia em razão dos diferetes estados de saturação do úcleo do trasformador. Portato, a correte primária ão será puramete seoidal porque o fluxo magético ão é liearmete proporcioal à correte de magetização. Dessa maeira, quado um trasformador em vazio é submetido a uma tesão seoidal, ele solicita uma correte distorcida. A Série de Fourier dessa correte distorcida idica a preseça de várias compoetes harmôicas, com destaque para o coteúdo de 3ª harmôica (30% a 40% da compoete fudametal). Esse fato é mostrado a Figura 2.9 e a Figura 2.0. Figura 2.9 Magetização do trasformador sem histerese. (a) Curva de magetização (b) Formas de oda do fluxo e da correte de magetização. Fote: (Arrillaga et al., 989). 8

35 Figura 2.0 Magetização do trasformador com histerese. (a) Curva de magetização (b) Formas de oda do fluxo e da correte de magetização. Fote: (Arrillaga et al., 989) com modificações. Em um úcleo ideal sem perdas de histerese, o fluxo magético ϕ e a correte de magetização i m ecessária para produzi-lo estão relacioados pela curva de magetização do aço usado as lamiações Figura 2.9 (a). Na Figura 2.9 (b) é mostrada a correte istatâea de magetização para cada valor do fluxo e ota-se que a forma de oda resultate ão é seoidal. Quado o efeito da histerese é cosiderado, percebe-se que a forma de oda da correte de magetização ão é mais simétrica em relação ao valor máximo. Nesse caso, o valor da correte associada a qualquer poto a oda de desidade de fluxo B da Figura 2.0 (b) é determiada a partir da Figura 2.0 (a). As distorções evideciadas a Figura 2.9 e a Figura 2.0 são causadas, basicamete, pela histerese do material. A coseqüêcia pricipal é a distorção da correte, destacado-se a compoete de 3ª harmôica. É ecessário bloquear as corretes harmôicas triplas para que a forma de oda da tesão de suprimeto cotiue seoidal. Em trasformadores trifásicos com 3 braços, também deomiados de úcleo evolvete, as forças magetomotrizes com coteúdo harmôico de atureza tripla estão em fase e agem em cada pera a mesma direção (Figura 2.). Logo, o camiho do fluxo 9