Parte II: Sistemas de Procura em Inteligência Artificial. 3. Resolução de Problemas através de Busca

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1 Prt II: Sitm Prour m Intligêni Artiiil 3. Rolução Prolm trvé Bu Trtrmo qui molgm prolm trvé o onito Sitm Proução. Nt molo, itução o proo olução o prolm é vit omo um to trniçõ ntr o to ão it trvé oprçõ (ou movimnto) lgi. Prtino um itução (to) iniil, ojtivmo tingir um onigurção (mt) qu tiz um onição j. Dt moo, rolvr um prolm orrponrá um proo Bu no Epço Eto inio plo molo. Et molo in um Gro on o nó ão ontituío plo to o ro orrponm à trniçõ ntr o to. N rolução prolm omplxo, mmo uno um rprntção o prolm qu, hg- ilmnt um númro to tnt grn inviilizno, prtimnt, Bu m Gro. Em o omo t, muito rqünt no prolm prátio, o uo huríti tm prmitio por rmo árvor prour im otr oluçõ itávi pr o prolm. A çõ guint orm o to ppl mpnho plo Métoo Prour Huríti no itm IA. 3.1 Rolução Prolm m IA A iéi qu mnipulção imóli é um proo uiint pr xplir intligêni oi introuzi n Hipót o Sitm Símolo Fíio ormul por Nwll Simon (1976). El itingu ntr o prõ (qüêni ímolo) o mio pr implmntá-lo. Qulqur mio qu implmnt orrtmnt o prõ, porá tingir intligêni. Um onqüêni importnt ito é irmção qu um omputor progrmo qumnt, porá tingir intligêni. Controvéri à prt, Hipót o Sitm Símolo Fíio pont um irção pqui nvolvimnto pr IA: inir trutur ímolo oprçõ nári pr rolução prolm nvolvr trtégi pr guir prour no pço to gro por t trutur oprçõ. Et tivi, Rprntção Conhimnto Prour no Epço Eto ontitum o núlo áio IA Crtríti gri um prolm A iéi um rolvor grl prolm motrou- iniz n orgm prolm ri. N u um olução pr t prolm, irnt téni têm io xprimnt. Et téni olução prolm ão píi tnm um pqun l prolm. N olh téni propri pr rolvr um prolm, é nário nliá-lo o irnt pto omo o ito ixo. O univro o prolm é prviívl? Em rto tipo jogo omo o qur-ç 8 pç (hmo qui m int 8-Puzzl), mo xtmnt o rulto no ção. Prtino itução iniil Fig. 1, tmo trê nov onigurçõ poívi (movno o rno pr qur, irit pr im). Nt o, o univro é prviívl. Em jogo nvolvno vrário, omo o xrz, o noo movimnto é guio plo movimnto o noo oponnt, ompltmnt or noo ontrol, lvo ituçõ pii. Evintmnt, nt o, trtégi ontrol v r 37

2 mi lor. Mmo qu çmo plno, é muito iíil grntir o uo, vio à ção imprviívl noo vrário Figur 1 8-Puzzl O prolm po r ompoto m um éri uprolm inpnnt? Um xmplo láio prolm omponívl é o intgrção. A intgrl om vári xprõ ruz- à om intgri um xprõ. Dtrminr intgrl um xprõ é um uprolm mi impl qu o prolm originl. O promnto lit, ção 2.5.3, é outro xmplo utilizção téni ompoição. O promnto um lit ruz- o promnto o lmnto qu ontitui u ç u lit, um lit omprimnto um uni mnor. O láio prolm Torr Hnói, ção 2.5.3, ilutr orm tnt lr o potnil téni ompoição pr olução prolm. Rolvr um prolm om N io ruz- rolvr um prolm om um io (trivil), guio um prolm om N-1 io, mi impl qu o originl. O uo téni rurivi torn tnt lgnt olução n lingugm Prolog. Um xmplo m qu não pli téni ompoição po r xtrío o muno o loo. Conir um itução m qu o muno o loo é ontituío o loo,, um m. Djmo pr onigurção iniil pr onigurção mt ixo (Rih Knight, 1989): onigurção iniil onigurção mt Figur 2 Prolm não omponívl. O ojtivo olor o loo or o loo o loo or o loo no onuz à ompoição t prolm m oi uprolm: 1) olor o loo or o loo, 2) olor o loo or o loo. Conirno qu ó pomo pgr um loo vz, é áil prr qu t uprolm não ão inpnnt. Pr rolvr o primiro uprolm, tmo rmovr o loo olor o loo or o loo. Fito ito não pormo olor o loo or o loo. S tntrmo rolvr primiro o guno uprolm, não 38

3 onguirmo rolvr o primiro, poi o loo tá or o loo n onigurção iniil. Crto po m irção à olução pom r ignoro ou ito? N prov um torm, provrmo um lm mi tr vriirmo qu não o utilizrmo n prov o torm, o proo grl rolução o prolm não orrá nnhum grn prjuízo. Nnhum outro po n olução o prolm pri r ito m unção ito. No 8-Puzzl, um movimnto rro v r ito pr ntão r xuto o movimnto mi quo o to o prolm. Ito po rprntr um ônu po pr o itm ontrol qu pri gurr o movimnto pr poi zê-lo. No o o xrz, um movimnto rro não po r ito vio à xitêni um oponnt. O po no provor torm ão ito ignorávi, nqunto no 8-Puzzl, ão ruprávi no xrz, irruprávi Etp o proo olução um prolm O prolm o otiino ão rqüntmnt omplxo iíil molgm. O noqu Intligêni Artiiil prmit orr t tipo prolm no- no onhimnto pilit ( outr ont inormção omo mnui livro) or o omínio o prolm num orm onvnint rprntá-lo. O proo u um olução itávl pr o prolm u téni prtiulr o prolm po r iviio n guint tp: inir primnt o prolm, tornno xplíit itução prnt (to iniii), itução j (to mt) oluçõ itávi; nlir o prolm prourno lvntr ituçõ prtiulr rlvnt limitr o opo o prolm pr um primir orgm; iolr rprntr o onhimnto nário à olução o prolm; olhr téni utilizá-l pr nontrr um olução itávl; vlir olução umntr rngêni plição té qu olução inl o prolm tnh io nontr Uo Huríti n olução um prolm A ni um olução iint pr prolm omplxo no lv inorporr onhimnto qu prmit xplorr intligntmnt o grn volum inormçõ iponívi. Et onhimnto é pilizo, píio um omínio plição grlmnt inorml. El truz xpriêni um proiionl om xpriêni n náli olução o prolm r nominção onhimnto hurítio. A Huríti tá n o itm intlignt. Com huríti ongu- limitr o pço prour, impino xploão omintóri o to o prolm. Ur huríti ignii riir otimli m vor um olução itávl num tmpo uto viávi. A huríti ão prtiulr o prolm. Pomo ormulr iéi gri pr grção huríti m não xit um ormlimo (um rit) pr nontrr um huríti pr um prolm. Em grl, pro- um rlxção rtriçõ pr impliir o prolm. Um impliição groir no onuz um huríti muito por, iniz. Por outro lo, um huríti mi lor (om muit inormção, onhimnto) é mi iz, m, iíil otr. 39

4 Exmplo tno importâni utilizção huríti n olução prolm pom r nontro m (Poly, 1945) (Prl, 1984). Um xmplo huríti propóito grl é o vizinho mi próximo, qu po r u, por xmplo, n orgm o prolm o ixiro vijnt, ção Tntr ntnr omo um huríti union ju ntnr mlhor o prolm po trzr nov iéi olução. O uo o mprgo onhimnto hurítio vém onttção qu no prolm omplxo oro pl IA, rrmnt é xigi um olução ótim, um o olução é titóri O Proo Bu no Epço Eto O proo u ontitum muito itm intlignt. É, poi, tnt trtégio truturr o progrm IA orm ilitr rição xução u. O Sitm Proução Intligêni Artiiil têm motro prtiulrmnt úti pr implmntr lgoritmo prour pr molr rolução prolm. N molgm um prolm, olhno um nívl proprio rição, pomo intiir um nti ntrl, nomin B Do Glol, qu é mnipul por rt oprçõ m ini, o o ontrol lgum itm ontrol. O Sitm Proução ão molo omputioni qu nvolvm um prção níti ntr t omponnt, t moo, rvm omo molo úti pr ontruir riçõ propri o itm IA. No álulo prio, um lingugm qu pr rprntção itm IA, órmul m orm ão mprg pr rvr rlçõ ntr ojto o omínio o prolm rgr inrêni ão mprg pr inrir um nov órmul (onhimnto), um novo ojto. Num jogo, omo o 8-Puzzl, onigurção pç orrpon um ojto. O movimnto lgi (movimnto pr im, ixo, irit qur) ão rponávi pl trnição ntr t ojto. Et ojto, vito omo to o prolm, inm um pço olução o prolm orrpon um u nt pço to. N rprntção um prolm num molo pço to, o nó rprntm o to irto o proo rolução o prolm. Et to pom r um onigurção um jogo ou o rulto um inrêni. O ro rprntm trniçõ ntr o to, orrponnt um movimnto ou um inrêni Epço Eto pr Drição um Sitm Lógio Aqui, o nó rprntm o to orrnt o ro rprntm plição um rgr inrêni (omo Mou Ponn). O ntio t torn lr plição rgr, prmitino viulizção o proo olução. u v m m r m r v u Figur 3 Rprntção grái um itm lógio. 40

5 A Fig. 3 motr propoiçõ omo o iniii o prolm. Utilizno Mou Ponn, pomo inrir,, m r. Num rprntção t tipo pomo rioinr prtir o o (nmnto progrivo), omo rlizo ou ur nmnto rgrivo, tntno provr um mt o prourr r o onqünt rgr om mt j. Do Do Provr Provr Figur 4. Rprntção um itm lógio trvé um gro E / OU. A Fig. 4 prnt oi prolm. No prolm o gro qur, tmo omo o omo mt um onjunção litri. O prolm irit é iêntio, xto tro onjunção por ijunção no o n mt. No prolm qur, inrimo, prtir prtir, provno im onjunção. No prolm irit, rprntção ijunção no gro irit (nó OU) é ini por um ro irunrêni nvolvno o oi rmo, igniino qu no proo prov, vmo minhr (no ntio progrivo) om o oi rmo, um vz qu o o é. Conirno vriro, inrimo vriro portnto vriro. S não é vriro, é vriro, í, é vriro portnto é vriro. 3.2 Sitm Proução Intligêni Artiiil Um Sitm Proução é ontituío um B Do Glol, um Conjunto Rgr Proução ( oprçõ) um Sitm Control. A B Do Glol é trutur ntrl o um Sitm Proução rprnt o pço to o prolm molo plo Sitm Proução. A B Do Glol ontém riçõ o to (onigurçõ) o prolm. A rição o to orrnt prnt n mmóri trlho é ompro om oniçõ Rgr Proução. A rgr Proução, ntnç oniioni o tipo S {Coniçõ} Então Conluão (ou Ação), rprntm um pç importnt onhimnto oprm or B Do Glol. A prt Coniçõ rgr é um prão 41

6 qu trmin quno rgr é pliávl à onigurção prnt B Do Glol. A prt Ação trmin movimntção no pço to, ltrno o ontúo mmóri trlho. Sitm Control é rponávl pl tução o Sitm Proução n olução o prolm. Um trtégi ontrol iint v r itmáti prouzir munç. C o itm ontrol trminr qui rgr ão pliávi, lionr um l (rolução onlito) pliá-l, grno um novo to qu v tr mi próximo mt. O Sitm Control v, iionlmnt, vriir mt oi tingi omo tmém gurr m mmóri rgr pli pr qu j poívl rontituição trjtóri té olução. A rolução onlito po r, implmnt, olhr primir rgr pliávl ou nvolvr um trtégi lor nvolvno rgr omplx qu vim umntr iiêni o proo u. Um implmntção práti um Sitm Proução po prmitir o rtroo um to ntrior quno o itm ting um to o qul não há í ( n). Um rtríti importnt o Sitm Proução é moulri. Munç n B Do, n rgr n trtégi ontrol pom r it inpnntmnt. Qulqur proimnto omputávl po r molo por um itm proução Rprntção um Prolm Pr rolvr iintmnt um prolm, é nário olhr um orm qu rprntção um trtégi ontrol iint. Dvmo olhr o to, o movimnto lgi no pço to ( rgr proução) mt. Um rprntção qu o to qu lv m ont piii inormção iponívl or o prolm po ruzir nivlmnt omplxi o prolm. Pr ilutrr utilizção itm proução omo molo pr rolvr prolm, vmo onirr o prolm láio: 8-Puzzl, o Cixiro Vijnt Sitm Prov por Rutção uno Rolução Puzzl Muit pliçõ IA (ontrolr çõ um roô, por xmplo) nvolvm um qüêni oprçõ. O prolm 8-Puzzl, tnt impl m inio, é muito útil pr ilutrr iéi ái qu pom r u pr rolvr prolm mi omplxo. Nt prolm tmo um quro 3x3 8 pç móvi, numr 1 8. O movimnto lgl o jogo onit m lor um pç pr oupr poição vzi o quro. Um pç n poição ntrl po movimntr pr ixo (), im(), qur() irit(). S um pç movr pr im, oupno um poição vzi (rno), irmo qu o rno movu- pr ixo. Um to o pço to o prolm é um onigurção poívl pç no quro. Há plo mno u orm (intrnt) rprntção o to o prolm. Num rprntção, pç P k (k=0,1...8, on pç zro é o rno) é rprnt por i/j, inino i-éim linh j- éim olun oup. A poiçõ to pç ão rmzn num lit. N outr rprntção, ormmo um lit ontno pç n poiçõ 1/1, 1/2,..., 3/2, 3/3 (linh por linh mtriz). O movimnto lgi,,, pnm 42

7 o to orrnt. Por xmplo, rgr mov o rno pr qur ó é poívl t tivr n gun ou trir olun. Et onição é ilmnt vriiávl n primir rprntção. Exutr o movimnto pr, ntrtnto, r mi áil rlizr uno gun rprntção. A mt o prolm po r, por xmplo, tingir um rt onigurção m qu lolizção pç tiz um onição. O lmnto o Sitm Proução pr t prolm ão o guint: B Do Glol: onjunto onigurçõ; Rgr Proução: movr pr qur, irit,...; Sitm Control: olhr um movimnto, xutá-lo, vriir mt oi tingi, gurr qüêni movimnto. Conirmo onição iniil mt ixo: Conição iniil Conição Mt A prtir onição iniil im, pormo tr o guint to, movno o rno à qur, pr im à irit: A olução o prolm é um qüêni movimnto o tipo movr pç X pr im, pr irit, t Cixiro Vijnt Um vnor v viitr um o onjunto i rtornr à i origm. Supõ- qu to i ão intrlig por tr qu itâni ntr l é onhi. Dj- nontrr um rot qu minimiz itâni totl prorri. Dignno i pl ltr A (i origm), B, C, D E, Fig. 5, pomo molr o prolm trvé o guint itm proução: A E B C Figur 5 Rprntção i o prolm o ixiro vijnt. B Do Glol: lit i já viit. A B Do Iniil é um lit ontno i A. D 43

8 Rgr Proução: rgr ão o tipo vá pr i X (in não viit). A rgr vá pr i A ó é váli to i já orm viit. Sitm Control: o itm ontrol vriirá onição pr é tiit: um lit i omçno trminno om i A Sitm Rutção por Rolução O Sitm Prov por Rutção uno Rolução prnto n ção 2.4 é um rolvor prolm. Et prolm prov torm tmém po r molo trvé um Sitm Proução. Nt itm, B Do Glol é ompot por um onjunto láuul (órmul pii primir orm, onitino m um ijunção litri). A rgr proução ão láuul pi u n rgr inrêni o tipo Rolução. A trtégi Control onit m ominr láuul moo grr láuul vzi Crtríti um Sitm Proução A molgm um prolm por um Sitm Proução tm io mplmnt utiliz no itm IA provit n inição lingugn omo OPS5 (Brownton, 1985). Entr prinipi rtríti um Sitm Proução pomo itr: prção ntr B Do Glol Etrutur Control; moulri Rgr Proução; poiili ontrol hurítio; lxiili lrz molgm. N utilizção um Sitm Proução, o prolm rolução onlito (olh um rgr) é um pç hv pr o uo plição. Dirnt iéi têm io ugri, não hvno um onno or o mlhor ritério pr inir qul rgr plir num trmino momnto o proo olução o prolm. Et qutão, omo muit outr qu prm n orgm um prolm, é rolvi trvé onhimnto pilit (xpriêni) rtmnt pn plição. Em muito o, rgr uj oniçõ ão iit por to qu orm mi rntmnt rnto à mmóri trlho ão prri. A rgr mi píi, ito é, qul qu tm mi oniçõ pr tizr ão tmém onir prioritári no momnto olh Sntio Prour no Epço Eto A nturz o prolm o o iponívi trminm mlhor orm prourr olução. Em lgum ituçõ, é mi onvnint prtir o to orrnt minhr m irção à itução j há prolm on é mi nturl iint rlizr u no ntio invro. Aim, tmo oi ntio áio u: prtir o to qu rprntm o o um prolm m irção o to qu rprntm onição j (mt), nmnto progrivo (orwr hining), tmém hmo rioínio orinto plo o; 44

9 prtir o to qu rprntm onição ojtiv (mt) m irção o to qu rprntm itução tul (o o um prolm), nmnto rgrivo (kwr hining), tmém hmo rioínio orinto pl mt. No primiro o, nmnto progrivo, prtimo um to iniil (to), olhmo um rgr uj oniçõ ão tiit plo to, plimo rgr, grno um novo to (novo to). Et proo ontinu té qu um to tizno mt j nontro. No nmnto pr trá, olhmo um to qu tiç mt, vriimo qui rgr lvm t to (o onqünt rgr om o to) olhmo um rgr pr plir moo invro, ito é, upomo vrir oniçõ t rgr. Et oniçõ trnormm m umt. O po guint é provr t umt. O proo trmin quno umt orrponm to (vr inoniioni). A olh o tipo rioínio, orinto plo ojtivo (rgrivo) ou orinto plo o (progrivo) pn o prolm. Em muito ituçõ, um ominção o nmnto progrivo o rgrivo po r propri. Algum rtríti qu onuzm o nmnto rgrivo ão: o ojtivo ão lrmnt ormulo pouo to tizm oniçõ j. Et é o o itm ignótio omo o Sitm Epilit Myin. Em prolm ignótio, ormulm- hipót qu rão umt qu vm r prov. A lingugm Prolog rolv o prolm utilizno um nmnto pr trá; há um grn númro rgr qu m o to. Utilizno o nmnto pr rnt nt itução muito novo to porim r gro (tor rmiição lvo); o o o prolm não ão iponívi. Enmnto pr rnt é mi onvnint quno miori o o ão iponívi n rição o prolm não ontitum um númro lvo to, omo no o o itm náli o gológio o Proptor; há um númro xivo to qu porim tizr mt ( portnto trim r tto). Et é o o o Sitm Epilit Dnrl, qu prour um trutur molulr qu orrpon o o ptogrm m. Há um númro norm trutur nit. D moo grl, prolm onigurção ojto, omo onigurr um omputor (Sitm Epilit Xon, por xmplo), nixm- mlhor n trtégi o rioínio orinto plo o Etrtégi Prour pr Sitm Proução IA O prolm unmntl um itm ontrol um Sitm Proução é nontrr um orm lionr um rgr pliávl. Enontrr um o rgr rqur inormção or o prolm. O promnto qunti inormção iponívl rprnt um ônu omputionl o mmo tmpo m qu torn poívl rolvr mi rpimnt o prolm. Num o xtrmo o itm m inormção lgum or o prolm, lção rgr é it 45

10 ritrrimnt, não iniino í nnhum uto lção rgr. No outro xtrmo, o itm é guio por um qunti uiint onhimnto or o prolm tornno poívl olhr mlhor rgr pr plir momnto. Sprno o uto omputioni m uto plição rgr uto ontrol, pomo izr qu no primiro o (itm m inormção), o uto plição rgr ão tnt grn o uto ontrol ão ruzio. No o o itm uiintmnt inormo, ão o uto ontrol muito lto nqunto o uto plição rgr ão ixo. Pr projtr itm IA iint v- prourr lnr t oi uto. Um pto importnt o projto t itm nvolv o uo téni qu prmitm ur um grn qunti inormção or o prolm m inorrr m uto ontrol xivo. Trtrmo, guir, orm mi tlh o métoo prour uno Rtroo, potriormnt, Prour m Gro Etrtégi Prour uno Rtroo A trtégi prour om Rtroo (Bktrking) ão rqüntmnt qu pr prolm nvolvno um pquno pço prour ão, m grl, mi impl implmntr o qu trtégi prour m gro. Um impl proimnto rurivo, rito ixo, ontém êni oprção um itm proução o o rgim ontrol por rtroo. Et proimnto, hmo Rtroo, prt B Do Iniil rtorn um lit rgr qu, pli m qüêni à B Do Iniil, prouz um B Do tizno mt. S o itm não nontrr tl lit rgr, l rtorn Flh. Proimnto Rurivo Rtroo (B_Do) 1. S tiz_mt(b_do) Lit Vzi 2. S tiz_onição_lh(b_do) Flh 3. Rgr_pliávi(B_Do) Lit_Rgr 4. S Lit_Rgr = [] Flh 5. Cç(Lit_Rgr) R 6. Cu(Lit_Rgr) Lit_Rgr 7. R(B_Do) NB_Do 8. Rtroo(NB_Do) Solução 9. S Solução = Flh, Vá pr Rtorn ontnção R om Solução Et proimnto trmin om uo omnt no po 1. A lit rgr u pr prouzir B Do qu tiz mt é orm no po 10. Trminção om inuo po oorrr no po 2 4 nt o rtro um nívl mi lto. O po 2 rprnt poiili olizr prour trvé liminção minho qu não lvrão à olução. No po 3, rgr pliávi ão orn guno lgum ritério hurítio iponívl. Utilizmo í o onhimnto píio or o prolm pr gilizr u olução. S nnhum inormção or iponívl, porá oorrr muito rtroo tornno muito iniint o proimnto prour. O proimnto po nun prr, grno B Do ininimnt. Ito po r vito impono- um limit prouni u. A ormção ilo po r vit gurrmo B Do qu orm no oti m um lit vriirmo nov B Do prouzi prtn à lit B 46

11 Do orrnt. Pr ilutrr o proimnto im onirmo o prolm ipor 4 rinh num tuliro 4x4, iniilmnt vzio, m qu l tqum. Sjm guint rgr proução pr o prolm: 1. S o tuliro tivr vzio Então oloqu um rinh n primir linh; 2. S houvr rinh n linh i - 1 Então oloqu um rinh n linh i. Conirmo oi tipo ornmnto rgr pliávi. O primiro, muito impl, onit m onirr rgr R ij (ujo onqünt ou ção é olor um rinh n poição ij) mlhor qu rgr R ik j < k. Et ornmnto é tão impl qunto iniz. Muito rtroo oorrrá té qu j nontr olução. Um outro ornmnto qu utiliz mi inormção po r otio om unção ig(i,j). Et unção huríti orn o vlor o omprimnto mior igonl pno pl poição (i,j). A Fig. 6 motr u vlor Figur 6 Huríti pr o prolm rinh. Um rgr R ij é mlhor qu R mn ig(i,j) < ig(m,n). No o mpt, o ornmnto ntrior é uo. Uno t ornmnto, rgr pr plir o tuliro vzio ão R 12, R 13, R 11,R 14 (nt orm). N olução o prolm 4 rinh om t ornmnto, oorrrá pn oi rtroo Etrtégi Prour m Gro N trtégi o tipo Bktrking, omnt o minho no orrntmnt xploro é guro. O minho qu lvrm um ro ão quio. A trtégi Prour m Gro é um rgim ontrol mi lxívl qu gur B Do (nó) lig pl pliçõ rgr (ro) qu grrm. Com l, prourmo hr um minho num gro, prtino- um nó rprntno B Do Iniil té um nó rprntno um B Do tizno onição término. Em grl, B Do ão trutur grn omplx moo qu é imprtiávl rmzná-l xpliitmnt. Métoo ltrntivo vm r uo. Um trtégi qu é tornr xplíit um prt o gro (impliitmnt inio) o uiint pr inluir um nó rprntno um B Do qu tiz mt. Rprntno- o prolm trvé um gro, po- ur tori o gro pr nlir omplxi o prolm o lgoritmo pr rolvê-lo. No projto um lgoritmo prour, guint qutõ vm r xmin: lgoritmo pár? olução é ótim? qul é omplxi n imnõ tmpo pço o proo u? omo ruzir t omplxi? Pr introuzir um proimnto grl Prour m Gro prourr rponr qutõ im, um rv rvião lgum iniçõ utiliz n Tori Gro é prnt guir. 47

12 Um gro é um onjunto nó N 1, N 2,... N i,... N n ligo por um onjunto ro (pr orno nó). Um gro é irigio o ro têm um ntio pruro oio, inio por um t. N Fig. 7, o ro (N i,n i+1 ) ini um minho o nó N i pr o nó N i+1. Nt o, iz- qu o nó N i é o pi o nó N i+1 ou qu o nó N i+1 é um uor o nó N i. Um nó, omo o nó (trting no), qu não tm nnhum pi é hmo riz. Um nó qu não tm uor (ilho) é hmo olh ou nó trminl (tip no) omo o nó r, u v. N i N i+1 r u v Figur 7 Exmplo um árvor. Expnir um nó é nontrr u uor. A prouni o nó riz é zro prouni o nó N i é k, prouni o nó N i+1, uor N i, é k+1. Um minho é um qüêni nó uivo. Diz- qu o nó é ívl o nó n xit um minho n=n 1, N 2,... N i, N i+1... N n =, omçno no n trminno no nó. O nó n é ito ntrl o nó o nó, nnt o nó n. Um gro é ito onxo xit um minho ntr oi nó quiqur o gro. Um minho m qu um nó pr mi um vz é hmo ilo ou loop. Um árvor, Fig. 7, é um gro on há um únio minho ntr oi nó. Num árvor, nó tm um únio pi. O prolm prour m um gro po r vito omo um prolm nontrr um minho prtir um nó prti (B Do Iniil) té um nó trminl t (B Do tizno mt). A trtégi olução t prolm é xpnir o nó ontinumnt tornno xplíito o gro inio impliitmnt por o opror uor té tingir o nó trminl t. Ant prntr um proimnto grl prour m gro o lgoritmo prour ótimo A*, ção 3.4, vmo prntr trtégi gri prour quno pou inormção or o omínio o prolm é iponívl, rri n litrtur IA 48

13 omo Métoo Fro. Ti ituçõ ão tão rqünt no prolm IA qu lgun utor vêm IA omo o tuo Métoo Fro. 3.3 Métoo Fro Um métoo ro é um trtégi grl olução prolm qu po r mprg quno o onhimnto iponívl or o prolm é o, inuiint pr plição um téni mi poro. Dt moo, utilizção métoo ro é tnt grl oup um lugr tqu ntr o métoo IA. Como xmplo métoo ro, pomo itr: Grr Ttr, Prour Huríti, Hill Climing, Análi Mio Fin (Mn-En Anlyi) Grr Ttr A trtégi Grr Ttr é tnt impl omprn o guint po: 1. grr um nito olução o prolm, j um to ou um minho, pnno o prolm. 2. ttr o nito: or olução o prolm, prr; não ir pr 1. Et téni orrpon um u xutiv o pço to por ito tn r iniint, inviávl pr prolm mi iíi. Cominno- om lgum proimnto hurítio, l po r viávl pr lgun tipo prolm. Um xmplo láio utilizção téni Grr Ttr é o Sitm Epilit Dnrl, nvolvio no inl é 60. O Dnrl trmin ompoição truturl ompoto orgânio prtir o o ptogrm m ronâni mgnéti nulr. El utiliz um trtégi Plnjr, Grr Ttr. Lit trutur viávi inviávi ão ri. Dt moo é xmino um onjunto limito trutur. Nt prolm, o proimnto motrou muito iz, onguino trminr omo o átomo tão rrnjo, intiino o iômro Prour Huríti N olh o lgoritmo pr olução prolm m IA, nturz o prolm, ili implmntção iiêni o lgoritmo ão tor trminnt. Em muito prolm omplxo nvolvno prour, é uiint nontrr implmnt um minho o to orrnt o to mt m onirr qutão otimli. Aprntrmo, guir, o lgoritmo Prour m Prouni, Hill Climing, Prour m Lrgur, Prour pl Mlhor Eolh potriormnt qutão otimli rá or trvé o lgoritmo Brnh n Boun A*. O gro Fig. 8 rvirá pr ilutrr plição o lgoritmo. O prolm é nontrr nt gro um minho o nó o nó t. O uto o ro tão rprnto no gro, o númro im lgun nó rprntm um utimtiv o uto ir t nó o nó mt. Um lgoritmo prour áio po r rito trvé o guint po: 1. Form um lit om o nó riz 2. Até lit ir vzi ou o nó mt r tingio: ) Sj n o primiro lmnto lit. O nó n é o nó orrnt, nito à xpnão. S n não é o nó mt, rmov n lit rnt o ilho n orno (ou não) no omço (ou im) lit. ) S n or o nó mt, não ç n. 49

14 3. S o nó mt tivr io nontro, iniqu o minho o nó prti o nó mt, não iniqu lh. 10,4 6, ,9 6,9 3 t Figur 8 Gro pr tt o lgoritmo prour. Bu m Prouni (Dpth irt rh) No po 2, o nó nnt n ão orno oro om prouni rnt ipoto no omço lit. Aim, o nó mior prouni ão prrio pr xpnão, Fig. 9. Bu m Lrgur (Brth irt rh) No po 2, o nó nnt n ão orno oro om prouni rnt ipoto no im lit. Aim, o nó mnor prouni ão prrio pr xpnão, Fig. 10. Hill Climing Et métoo i- n minimizção um unção vlição. Et unção prour mir o uto o minho r prorrio o nó orrnt o nó mt. No po 2, o nó nnt o nó orrnt, n, ão orno por t itâni (n Fig. 8, ão o vlor im o nó) ipoto no omço lit. Aim, o nó n k, uor n, ujo vlor (n k ) or mínimo rá o próximo r xpnio. No 8-Puzzl, ção , um mi t itâni po r o númro pç ml olo m rlção à mt. Como too métoo o m grint, téni Hill Climing po ir prli num mínimo lol m ituçõ on unção não vri muito, o hmo pltux. A utilizção Hill Climing omin om téni Rtroo po nr t prolm. Prour om limitção uor Et tipo prour é muito uo m gro on o tor rmiição é muito lvo. No po 2, o (númro olhio prvimnt) mlhor nó nnt n ão orno pl itâni o nó mt ipoto no omço lit. Et olizção n prour, ruto inormção huríti or o prolm, prmit orr prolm mi omplxo om grn pço to. 50

15 51 Figur 9. Prour m Prouni. Figur 10 Prour m Lrgur. Prour pl mlhor olh (Bt irt rh) No po 2 t tipo prour, o nó nnt n ão rnto à lit to lit é orn pl itâni rmnnt. O minho nontro nt prour ão provvlmnt (m não gurmnt) mlhor t t t t t

16 qu o ntrior poi nl prour- mpr minhr prtir o nó mi próximo mt. Brnh n Boun Nt tipo prour, gur- inormção o minho prorrio num lit. A lit iniil ontém um minho omprimnto zro ormo plo nó prti. Formm- novo minho tnno o mlhor minho lit té o nó uor. C nó uor rprnt um poiili xtnão. O mlhor minho é rmovio lit o novo minho ão iiono à lit t é orn plo uto o minho já prorrio. Et proo ontinu té qu um minho ontno o nó mt j nontro. Apr tnrmo mpr o minho mi urto, não tmo grnti qu olução nontr tnh o minho mi urto. Conirmo qu, m um rto momnto, xtnão o mlhor minho inomplto p plo nó mt. Et xtnão po implir um lto uto iionl po hvr um outro minho (prtrio) qu, tnio, p plo nó mt um uto mnor. Aim, pr grntir olução ótim, o lgoritmo ó v prr quno u oniçõ orm tiit: um minho pno plo nó mt oi nontro o uto o minho omplto é mnor qu o mnor o uto o minho inomplto lit. A plição t lgoritmo é ilutr pl Fig.11. Nl ão motro 10 ilo plição téni Brnh n Boun, Fig. 11) 11j). O tt t últim onição po r vito ) ) ) ) )

17 ) g) h) i) t t

18 j) t Figur 11 Brnh n Boun, ornmnto pl itâni prorri., o invé trlhrmo om uto o minho já prorrio, utilizrmo, pr ornmnto lit minho, om oi uto: uto o minho já prorrio g um utimtiv o uto rmnnt té o nó mt h. A prl h rprnt inormção huríti iponívl or o prolm. O lgoritmo Brnh n Boun om utimtiv po r rito trvé o guint po: 1. Form um lit minho, ontno iniilmnt o nó riz (minho omprimnto zro) 2. Até lit ir vzi ou o nó mt r tingio: ) Rmov o mlhor minho lit tn-o um po om o nó uor. Aiion o minho ormo à lit. ) Orn lit pl om prl g h, on g é itâni já prorri h um utimtiv o uto rmnnt té o nó mt. 3. S o nó mt tivr io nontro, iniqu o minho o nó prti o nó mt, não iniqu lh. Nt o, quno nontrmo um minho qu ontém o nó mt, tmo grnti qu t minho omplto é o mlhor poi o outro minho nito, lém inomplto, têm uto utimo, Fig. 12. Um outr mlhori t lgoritmo po r oti plirmo o Prinípio Progrmção Dinâmi qu irm O minho ótimo um nó um nó t é ormo por uminho tmém ótimo. Aim, n é um nó prtnnt o minho ótimo, ntão o minho o nó o nó n o nó n o nó t ão tmém ótimo. A utilizção t prinípio prmit-no rtr lgum xpnõ minho omo ilutr Fig. 13. Aí, o minho ormo plo nó, não v nun 54

19 r xpnio, poi o lgoritmo ting o nó, irtmnt o prtir o nó, um uto qutro. Como o nó z prt o minho ótimo, o minho t vm r ótimo. Aim, o minho trvé o nó é rto. A oprionlizção o Prinípio Progrmção Dinâmi po r rit qui omo: mpr qu oi ou mi minho lvm um nó omum, rt too o minho xto qul om uto mínimo. ) ) ) 13,4 12,9 13,4 13,4 ) 19,4 12,9 19,4 13,4 17, ,4 17,7 t 13 Figur 12 Brnh n Boun om utimtiv Figur 13 Ilutrção o Prinípio Progrmção Dinâmi. 55

20 O lgoritmo A*, prnto guir, po r ntnio omo um lgoritmo o tipo Brnh n Boun om utimtiv itâni rmnnt plição o Prinípio Progrmção Dinâmi. 3.4 O Algoritmo A* Um proimnto grl pr grr xpliitmnt prt um gro inio impliitmnt é o ixo. Proimnto Prour m Gro 1. Cri um gro G om o nó um Lit Arto ontno o nó. 2. Cri um Lit Fho, iniilmnt vzi ([ ]). 3. S Arto = [ ], Flh 4. Sj n = Mlhor(Arto). Rtir n Arto oloqu-o m Fho. 5. S n tiz mt, iniqu o minho n. 6. Sj M o onjunto uor n qu não ão u ntri. 7. Etlç um pontiro pr n prtino o nó M qu não prtnim G. Arnt t nó à Lit Arto. Pr mmro M qu já prtni à Lit Arto (ou Fho) i ririonr ou não u pontiro pr n. Pr mmro M m Fho, i ririonr ou não u nnt. 8. Orn Lit Arto guno lgum ritério hurítio. 9. Vá pr 3. Et proimnto é uiintmnt grl pr rngr um mpl vri lgoritmo prour m gro. El gr um gro xplíito G, gro prour um uonjunto T G, árvor prour. A árvor prour é orm plo pontiro inio no po 7. Too nó (xto riz) tm um pontiro pr um u pi m G, ormno árvor prour T. O nó n Lit Arto (no po 3) ão nó qu não orm in liono pr xpnão. Et nó ão orno no po 8. A iiêni o lgoritmo prour pn iponiili inormção huríti or o omínio o prolm qu orint t ornmnto. S nnhum inormção é iponívl, é utilizo lgum ornmnto ritrário. No po 4, o mlhor nó é olhio vi r xpnio no po 6. Nt po, é tmém it vriição nnhum nó uor gro n xpnão o nó n é ntrl o nó n. Quno o nó olhio pr xpnão tiz mt, o lgoritmo pár o minho olução po r otio, invrtno- o ntio o pontiro o nó t o nó. O ririonmnto o pontiro no po 7 vi mntr um árvor minho (uto) mínimo. S o gro G qu tá no pquio é um árvor, no momnto xpnão um nó n, nnhum o uor nontro no po 6 prtnrá G l rão intlo n árvor prour om um pontiro pr n. Dt moo não hvrá nun ni ririonmnto. S o gro r pquio não é um árvor, é poívl qu nontr no momnto xpnão lgum nó já inluío m Arto ou Fho (portnto já inluío m G). Nt o, o pontiro pr t nó porá mur o novo minho nontro tivr uto mnor. O mmo é ito pr o nnt t nó Bu Huríti o lgoritmo A * Um rtríti gri um gro é qu um mmo to po r lnço por irnt minho múltiplo minho um to pom lvr 56

21 um ilo, impino r nontr olução o prolm. N Fig. 14, o ilo ormo plo nó, po impir qu tinj mt (nó t) prtir o nó. t Figur 14 Gro ontno um ilo. O jogo mpr mpnhrm um ppl importnt no nvolvimnto téni IA. Apr grlmnt impl m truturo, o pço to miori o jogo é ontituío um númro muito grn to, iiultno u xplorção n prour um olução. No jogo vlh, o primiro movimnto prnt nov ltrntiv, o guno, 8 im por int. Aim, t jogo mit 9! irnt poiili. O pço to o jogo m prnt irnt poiili o o xrz, Et pço ão tão grn qu, pr vitr xploão omintóri ( onqünt xutão o ruro omputioni), torn- imprtivo o uo onhimnto pilizo qu poiilit olizr u, liminno rmo árvor prour limitno o númro uor. O onhimnto hurítio mpnh um ppl nil n prour nt pço Prour m Inormção Quno nnhum inormção huríti or o omínio o prolm or iponívl, o lgoritmo prour ão hmo orç rut. Nt o, lgum qum ritrário ornmnto o nó no po 8 v r uo. Conirrmo o tipo prour m prouni (pth irt rh) m lrgur (rth irt rh), prnto n ção um vrint u m prouni on o limit prouni u é umnto itrtivmnt. Um vlição omplxi t lgoritmo po r it prtir oi prâmtro: o tor rmiição r prouni p. O tor rmiição é o númro méio novo to qu pom r gro um o to pl plição um únio opror. A prouni um prolm prour é o omprimnto o minho mi urto o nó prti o nó mt Prour m Prouni Nt tipo prour, o nó Lit Arto ão ipoto n orm rnt prouni n árvor prour. O nó om mior prouni é oloo n ç lit. Et tipo u rqur mno mmóri m rlção à u m lrgur, prnt guir, poi m nívl, ão guro pn o ilho o nó no pquio. Aim, no nívl n, rão xmino r n nó num gro tor rmiição r. A omplxi m tmpo promnto é ϑ(r p ) m pço rmznmnto é linr, ϑ(r p). A Prour m Prouni é tnt inpropri pr gro prour qu prnt ilo (o uor um nó é tmém u ntrl). Et trtégi prour xig qu ix um limit prouni prour pr qu não pr mio tmpo num irção qu motr inrutír. A ixção t limit é um prolm poi não onh, priori, prouni p o prolm (omprimnto o minho mi urto). S o vlor ixo or mnor qu p, olução não é nontr or mior, 57

22 o lgoritmo vi gtr mi tmpo po nontrr um olução não ótim. N Fig. 15, tmo um xmplo prour m prouni num árvor on o limit prouni oi ixo m trê. O númro m ngrito inim orm m qu o nó orm pquio Figur 15 8-Puzzl: Prour m Prouni Prour m Lrgur Nt trtégi prour, Fig. 16, o nó ão ipoto n orm rnt prouni. Nó mm prouni têm mm prrêni pr rm xpnio, olh ntr t nó rá orm ritrári. É intrnt notr qu, otno t tipo prour, o nó t or ívl prtir o nó, o minho mi urto ntr l rá nontro. Srá motro qu t tipo prour é um xmplo lgoritmo A*. A u m lrgur rtriz por um grção xiv nó m irntmnt u m prouni, u m lrgur não xplor um rmo prouno inutilmnt houvr vári oluçõ itávi, olução minho mi urto é nontr nt o proo pár. Conirno um tor rmiição r, o lgoritmo xminrá r nó no primiro nívl. No nívl n, r n nó rão oloo m Arto. A omplxi m tmpo promnto m pço rmznmnto é ϑ(r p ). Em prolm on o tor rmiição é grn /ou prouni lv, o pço nário pr gurr t nó o tmpo promnto pom inviilizr o proo prour. A otnção o minho ótimo n prour m lrgur z um uto poivlmnt muito lto, vio um omplt lt inormção. Et oi tipo prour prnto ão métoo xutivo portnto, iniint. A u iiêni pr t métoo prour no lv utilizr lgum tipo inormção huríti. 58

23 Figur 16 8-Puzzl: Prour m Lrgur Prour m Prouni om Aprounmnto Grtivo (pth-irt rh with itrtiv pning) Et tipo prour omin u trtégi prour ntrior. N Prour m Prouni om limit prouni ixo m p, o lgoritmo prour um olução té tingir o limit p. Não nontrno o nó mt, lh o lgoritmo o orç onirr o outro nó no nívi inrior, num tilo Prour m Lrgur. Um iéi intrnt é zr um u m prouni om limit 1 olução não or oti, rlizr outr u m prouni om limit 2 im por int. Nt tipo u om limit umntno grtivmnt, o lgoritmo gurmnt nontr olução minho mi urto (o tilo Prour m Lrgur grnt ito) o mmo tmpo, o pço mmóri rqurio é orm r p. A omplxi m tmpo promnto é ϑ(r p ), o mmo o oi tipo prour im Bu Huríti Conirrmo gor utilizção inormção huríti omo orm umntr iiêni o proo u poiilitr prour m pço mior. O onhimnto hurítio or o prolm po r pturo um pilit n rolução o prolm truzio pr orm um unção vlição Função Avlição N u olução pr um prolm, prour- ur too o onhimnto iponívl or o omínio plição, m pil, qul inormçõ o iéi qu motrm potnilmnt iz (huríti). Um mnir ur huríti pr rolvr o prolm é tntr quntiiá-l trvé um unção vlição. Et unção m quli o to o prolm urnt o proo olução. Chmno nó n, o to orrnt, o vlor (n) vli potnili ("prom" ou "proili") o nó n m rlção prtnr o minho ótimo. O vlor (n) po r uo ntão pr ornr o nó Lit Arto. Um xmplo tl unção pr rolvr o 8-Puzzl é o ixo: (n) = p(n) + npm(n) 59

24 on p(n) rprnt prouni o nó n npm(n), o númro pç ml olo (m rlção à onigurção mt) o nó n. A árvor prour, Fig. 17, ilutr plição t unção. O númro m ngrito im onigurção (nó n) rprntm o vlor (n). A olução é oti pó xpnão 6 nó. S urmo um unção vlição orm (n) = p(n) (u m lrgur), olução rá tmém nontr m um númro mior nó trá r pquio Figur 17 Árvor Prour pr unção vlição (n) = p(n) + npm(n) O lgoritmo A Sj (.) um unção vlição (n) om o guint timtiv uto: uto g(n) o minho mínimo o nó té o nó n uto h(n) o minho mínimo o nó n té o nó trminl t. (n) = g(n) + h(n) O vlor unção vlição m n, (n), rprnt, poi, timtiv o uto o minho mínimo pno por n. Quno o nó n tá no xpnio, u nó uor n i, oloo m Arto, ão vlio pl unção (.). O nó Arto 60

25 om mnor vlor (.) é o próximo olhio pr xpnão. O lgoritmo prour qu utiliz um unção vlição orm im pr ornr o nó (po oito o proimnto grl prour) é hmo Algoritmo A O lgoritmo A* Conirmo um lgoritmo A om timtiv uto g(n), h(n) (n) pr um nó n om intrprtção im o guint vlor ri ótimo g * (n): uto rl o minho mínimo o nó o nó n, h * (n): uto rl o minho mínimo o nó n o nó t. A omponnt h(n) rprnt inormção huríti iponívl or o omínio o prolm é um timtiv o vlor rl h * (n) não onhio, priori. Um timtiv nturl pr g(n) é om o uto o ro no minho n n árvor prour orrnt. Pomo ilmnt vriir qu: ( n), g(n) g * (n) S guint igul é tiit ( n), h(n) h * (n) ntão o lgoritmo A é nomino A*. Et rtrição é mm utiliz no lgoritmo Brnh n Boun, ção A olh h(n) = 0, um utimtiv o uto rl mínimo, tiz rtrição im rprnt um ornmnto o nó oro om prouni rnt. Ito rprnt u pl lrgur poi o nó mnor prouni têm prrêni pr xpnão. Aim, o lgoritmo qu z u pl lrgur é um xmplo lgoritmo A*. Como motrrmo int, o lgoritmo A * orn um olução minho mi urto o nó o nó t (mpr qu xitir um minho ntr o nó prti o nó trminl t) por ito é grn intr pr o itm u. O lgoritmo qu z prour pl lrgur pár nontrno olução ótim, m é groirmnt iniint poi o númro nó xpnio é muito grn. El z um prour xutiv. Por ito, grnti otimli oti n prour pl lrgur não rprnt um olução iint o ponto vit omputionl. A lção um o huríti é unmntl pr otr por hurítio o lgoritmo prour. Qunto mior o vlor h(n), mi inormção huríti ipõ im um númro mnor nó rá xpnio (Rulto 6, int). Um mnor pço mmóri rá nário, umntno iiêni o lgoritmo. Quno ipõ muit inormção, grn rá o uto pr proá-l, o qu tn ruzir iiêni o lgoritmo. S utilizrmo um unção huríti h(n) vlor ixo, inrior h*(n), grntimo otimli m trmo qu xpnir muito nó (grlmnt inviávl). Em muit ituçõ, é onvnint riir "grnti" otimli utilizr unçõ huríti tizno h(n) > h * (n) Com ito, o númro nó xpnio é ruzio, o qu prmit trtr prolm mi iíi. Sgum lgun rulto unmnti r o lgoritmo A *, (Nilon, 1982). 61

26 Amiiili o lgoritmo A* Um lgoritmo prour é ito miívl, pr qulqur gro, l trmin om o minho ótimo ntr o nó prti o nó mt t mpr qu xitir um minho o nó o nó t. Rulto 1: O lgoritmo A * mpr pár quno o gro é inito. Prov: Em too ilo o lgoritmo, um nó é rmovio lit Arto no po 4. Como o gro é inito, o lgoritmo não trminr no po 5 (nontrno o nó mt), l trminrá no po 3 poi lit Arto tornrá vzi Rulto 2: Sj P = [=n o, n 1, n 2,..., n k =t] um minho ótimo t. Num intnt t i qulqur urnt xução o lgoritmo, xit um nó n i o minho P n lit Arto tl qu (n i ) *(). Prov: Sj n i o primiro nó P prnt n lit Arto no intnt t i. Su ntri já orm xpnio tão n lit Fho. Aim, m t i, o lgoritmo já nontrou o minho ótimo n i té, ito é, g(n i ) = g*(n i ). Rulto 3: (n i ) = g(n i ) + h(n i ) = g*(n i ) + h(n i ) h(n i ) h*(n i ) (A*) (n i ) g*(n i ) + h*(n i ) (n i ) *(n i ) ( n) *(n) = *() (n i ) *() S xit um minho t, o lgoritmo pár mmo o gro or ininito. Prov: ) o gro é inito: o rulto 1 gur qu o lgoritmo pár. ) o gro é ininito: Ngno t, ummo qu o lgoritmo não pár. Plo rulto 2, mo qu xit um nó n m Arto. Sj um vlor ε > 0, tl qu g*(n) ε p*(n) g(n) ε p*(n) (n) ε p*(n) quno p*(n), (n) Chgmo um uro poi (n) *(). Rulto 4: O lgoritmo A* é miívl: nontr o minho ótimo t pár, mpr qu o nó t or ívl prtir o nó. Prov: Como xit um minho t, m qulqur intnt urnt xução o lgoritmo, xit um nó n i m Arto (Rulto 2), im o lgoritmo não pár no po 3 (lit Arto vzi). Aim o lgoritmo pár no po 5, nontrno um minho t. Et minho é ótimo, poi, 62

27 (t) > *(), o nó t não tri io olhio, im o nó n i, poi (n i ) *()< (t) Rulto 5: Too nó n olhio pr xpnão tiz (n) *(). Prov: Et rulto é um onqüêni imit o rulto 2. Rulto 6: Sjm A* 1 A* 2 u vrõ o lgoritmo A*. Dizmo qu um lgoritmo A* 2 é mi inormo qu o lgoritmo A* 1 h 2 (n) > h 1 (n) pr n t S A* 2 é mi inormo qu A* 1 ntão, o inl o proo prour, too nó xpnio por A* 2 trá io xpnio por A* 1. Prov: Urmo o métoo Inução n prouni árvor prour. Qurmo provr qu o término o lgoritmo árvor T 1 o lgoritmo A* 1 v ontr too o nó árvor T 2. ) prouni zro, é o nó mt. Nt o, tá provo poi T 1 T 2 ontêm pn o nó. ) hipót inução: onirno um árvor prouni inrior ou igul k, too nó xpnio por A* 2 oi tmém xpnio por A* 1. ) t: onirno um árvor prouni k+1, um nó n oi xpnio por A* 2 oi tmém xpnio por A* 1. Sj n um nó prouni k+1. Qulqur ntrl n xpnio por A* 2 oi tmém xpnio por A* 1 (hipót inução). Aim, tmo g 1 (n) g 2 (n) Ngno t, onirmo qu o nó n oi xpnio por A* 2 não oi xpnio por A* 1. 2 (n) *() 1 (n) *() 1 (n) 2 (n) g 1 (n) + h 1 (n) g 2 (n) + h 2 (n) h 1 (n) h 2 (n) + g 2 (n) - g 1 (n) h 1 (n) h 2 (n) Auro, poi ontrri hipót qu o lgoritmo A* 2 é mi inormo qu A* 1. Dí, onluímo qu o nó n oi tmém xpnio por A* 1, hno montrção. Exmplo ririonmnto S o gro qu tá no xploro é um árvor, nun hvrá poiili ririonmnto (munç pi) um vz qu nó tm pn um pi. No o grl, quno um nó é xpnio, lgun u uor pom já zr prt o gro, intlo m Arto ou ho. N Fig. 18, o pi o nó é o nó. Expnino o nó n, trmo iir mntmo o pontiro o nó ponto 63

28 pr o nó ou promo um munç ilição (o pi p r o nó n). Tmo um trlho omputionl uplo: ttr vmo mntr tul ilição o nó qu porvntur já zim prt o gro ltrr ilição or vntjoo. Et trlho po r vito unção h(.) tiz um impl igul, hm Rtrição Monotôni. n Figur 18 Exmplo um nó om oi pi. A rtrição monotôni é áil r tiit tiit torn nário: ) ttr o nó qu ou r gro pr r l já prtni Arto ou Fho; ) mur o pi o nó im árvor prour não é ltr. Rtrição Monotôni: h(t) = 0 h(n i ) h(n j ) + (n i, n j ), n j uor n i. Et igul xig qu qu no vlor h(.) ntr nó uor j mnor qu o uto (n i,n j ) ntr o nó. S t rtrição é tiit ntão mpr qu um nó or gro, já trá io nontro o minho mínimo t nó o nó prti. Rulto 7 S Rtrição Monotôni é tiit, quno o lgoritmo A * olh um nó n qulqur pr xpnir, o minho mínimo o nó prti té t nó já é iponívl, ito é, g(n)=g * (n). Prov: Sj P=[=n o,n 1,n 2,...n i,n i+1...n k,n k+1...n] o minho ótimo té n. Sj n k o último nó P m Fho no momnto qu n é ohio pr xpnão. Et nó já oi xpnio portnto n k+1 z prt Arto. Conirno o nó n i n i+1 P rtrição monotôni, tmo: h(n i ) h(n i+1 ) + (n i, n i+1 ) g*(n i ) + h(n i ) h(n i+1 ) + (n i, n i+1 ) + g*(n i ) g*(n i ) + h(n i ) h(n i+1 ) + g*(n i+1 ) Rptino o proimnto pr o nó guint, tmo g*(n k+1 ) + h(n k+1 ) h(n) + g*(n) Como n k+1 n zm prt o minho mínimo, pomo irmr g(n k+1 ) = g*(n k+1 ), g(n) = g*(n), (n k+1 ) = g*(n k+1 ) + h(n k+1 ) h(n) + g*(n) = (n) (1) No momnto m qu n oi olhio pr r xpnio, n k+1 zi prt Arto portnto 64

29 (n) = g(n) + h(n) (n k+1 ) D (1), utituino (n k+1 ) plino trnitivi, tmo g(n) + h(n) h(n) + g*(n) g(n) g*(n) Pr qulqur nó n, g(n) g*(n) E im, hgmo à igul g(n)=g*(n) Rulto 8 S Rtrição Monotôni é tiit, o vlor unção vlição (.) no nó xpnio é não rnt, ito é, o nó xpnio ão, n 1, n 2... ntão () (n 1 ) (n 2 )... Prov: S n 2 é xpnio poi n 1, u ituçõ ão poívi: ) n 2 prtni Arto quno n 1 oi xpnio, nt o (n 1 ) (n 2 ); ) n 2 não prtni Arto quno n 1 oi xpnio, ntão n 2 oi rnto t lit n xpnão n 1, ito é, n 2 é uor n 1. Aim, h(n 1 ) h(n 2 ) + (n 1, n 2 ) g*(n 2 ) = g*(n 1 ) + (n 1, n 2 ) g(n 2 ) = g(n 1 ) + (n 1, n 2 ) (Rulto 7) h(n 1 ) h(n 2 ) + g(n 2 ) g(n 1 ) (n 1 ) (n 2 ) Por Hurítio A olh um propri unção huríti é importnt pr trminção o por hurítio o lgoritmo A*. Um unção h nul tiz trivilmnt rtrição monotôni portnto vit riliçõ. M omo mo, ito orrpon um pqui xutiv, um númro xivo nó é xpnio grnti otimli oti nt tipo lgoritmo A* não ompn u iniiêni. Um o trtégi po r ur omo unção h, um utimtiv h* om vlor tão lto qunto poívl. Aim, tmo grntino otimli xpnino um númro mínimo nó (Rulto 6). Pr rto tipo prolm omplxo, nvolvno pço to muito grn, xpriêni tm motro qu vl pn riir grnti otimli om utilizção unçõ huríti h(n) qu ultrpm o vlor h*(n), moo xplorr um pço mi ruzio. M um unção huríti vlor lto rprnt muit inormção huríti. Pror t inormção po rprntr um lto ônu pr o itm. Too t irnt tor vm r oniro no momnto projtr um itm pr rolvr um prolm prour. Inluêni prl g h A primir prl g rprnt o pto xplorção n lrgur, um lto vlor g grnt qu nnhum prt o gro rá qui. Num o xtrmo, xplorção m lrgur, g(n) é prouni o nó h(n)=0. Nt o, xplorção o 2 o nívl prouni ó é it poi qu too o nó o 1 o nívl orm 65

30 pquio. Hvno inormção huríti ( prl h é não nul), t inormção é utiliz pr guir prour (olizr), vitno xpnão too o nó. Um mnir vrir inluêni t u prl é ur guint xprão pr unção vlição qu orn o nó (n) = g(n) + αh(n) Eviêni xprimntl ugr qu o tor α j invrmnt proporionl à prouni. Aim, no primiro nívi, prouni é pqun portnto o tor α é lto. A prl h tm um po mior qu prl g. À mi qu o lgoritmo vnç, prouni umnt prl g vi tornno mi importnt, grntino qu lgum olução rá nontr. O por hurítio um trmin téni prour é ortmnt pnnt tor píio um o prolm. A trminção t por hurítio nvolv náli mi n xpriêni o qu m álulo. Algum mi mpnho têm io u n omprção irnt téni prour. Um t mi é pntrção P = L / T, on L é o omprimnto o minho té mt T é o númro totl nó gro no proo prour. El m o gru olizção prour u vlor máximo é um. Um outr mi u é o tor tivo rmiição r. Et tor é inio pl xprão r 1 + r r L = T rprnt o númro méio uor um árvor prour qu nontrou um minho o nó prti té o nó mt omprimnto L pó grr T nó. Et tor rmiição é rzovlmnt inpnnt o omprimnto o minho om ito pomo timr o númro nó gro num prour prtir o gráio qu motr vrição r om T pr irnt vlor L o vlor r otio uno mm unção pr rolvr outro xmplo o mmo prolm. 3.5 Outro Tópio Análi Mio Fin (Mn-En Anlyi) O métoo ro ontitum um importnt rrmnt pr i ão tmém um pr métoo mi poroo olução prolm. Téni pr rolução prolm trvé métoo ro têm io IA u primório. Et téni ão à vz nomin rioínio utomtizo (Lugr Stulil, 1989). Um o primiro xmplo utilizção métoo ro oi no progrm GPS (Gnrl Prolm Solvr), nvolvio por Alln Nwll Hrrt Simon (1963) prtir o progrm Th Logi Thorit. Et progrm prov torm o livro Prinipi Mthmti (Whith Rul, 1950). O GPS utiliz Análi Mio Fin (Mn-En Anlyi) um tl irnç. Et téni i n tção irnç ntr o to orrnt o to jo. Oti t irnç, prour- um opror pr ruzi-l. S o opror não po r plio o to orrnt, montmo um uprolm ujo ojtivo é no lvr um to on o opror j pliávl. S o opror in não prouz o to jo, primo rir novo uprolm. Pomo priorizr trmin irnç, irnç priori mi lt ão onir nt. A origm t métoo tá n orvção o omportmnto o r humno n olução prolm. O métoo rução irnç (mio) ão ortmnt ligo à irnç píi rm ruzi (in). O molo GPS rolvr prolm tm u 66

31 omponnt. A primir omponnt é um trtégi grl omprr riçõ to ronhr irnç ntr l, imilr o proo mnto (mthing) o Provor Torm (Th Logi Thorit). A gun omponnt é o onjunto irnç ou tl onxõ pr um plição píi. Conirmo o prolm trnormr [(r p) ( r q)] m ( q p) Lolizmo o opror (um propri o Cálulo Propoiionl) qu trnorm órmul qur m [( r p) (r q)], guir, om um outro opror, otmo p r r q Um outr propri no lv p q, guir, p q Finlmnt, plino um outro opror (D Morgn), hgmo ( q p) O Sitm Proução rprntm um volução téni Análi Mio Fin utiliz no GPS tm io prri orm molr o proo inrêni humno. A rgr proução utituírm ntr tl irnç o GPS Mro Rolvor Prolm (Mro Prolm Solvr) Muito prolm ão tão omplxo ou truturo qu nnhum métoo ro é pz rolvê-lo. Pr ti prolm, é nário quirir (prnr) um grn volum onhimnto píio. Kor (1985) ugr xitêni métoo ro pr prnizo, trvé mro-opror (qüêni opror primitivo um prolm). N prour por métoo gri olução prolm omplxo, o mro-opror rprntm um ltrntiv tnt trnt poi u téni pr quirir onhimnto ão inpnnt o omínio. Como xmplo prolm qu não po r rolvio por nnhum o métoo ro iponívi, pomo itr vrão implii (3,6 milhõ to) o Cuo Ruik ( to). Nt prolm, o ojtivo po r xpro omo um onjunção umt qu rqurm um mnto or. O lgoritmo onhio olução prolm omo téni Análi Mio Fin não prmitm xitêni umt não rilizávi. No o t prolm, umt ão não rilizávi poi n olução o prolm, lgum umt já tiit têm r viol pr tizr um outr umt. Dí, t téni não é pliávl. Nnhum unçõ huríti propot pr rolvr t prolm motrou- iz t moo, omo too o métoo ro pnm irt ou inirtmnt um unção vlição huríti, onlui- qu nnhum métoo ro é iint n olução t prolm. Como l po r rolvio iintmnt pl po, orm orr o prolm oi rpn, urgino í iéi o mro-opror. O 67

32 mro-opror ontitum um novo tipo métoo ro, o m prnizo. O mpnho t téni po r nlio m trmo o númro mro nário pr rolvr too o xmplo o prolm, o omprimnto oluçõ, vintmnt, o uto o prnizo o mro. É importnt tr qu t uto é mortizo plo númro vz qu o mro pom r uo pr rolvr o prolm. Um vz otio o mro, olução trvé l é um mr onult um tl. Pr motrr olução um prolm uno mro, onirmo o 8-Puzzl. Um poívl rprntção pr t prolm é onirr omo vriávi to pç: rno (ou pç zro), pç um,..., pç oito. O vlor um vriávl to ri poição qu l oup. Nt tuo mro-opror, o vlor um vriávl rá o númro pç uj poição (n mt) rri vriávl tá oupno no momnto. Pr xmpliir, onirmo: Conição iniil Conição Mt Figur 19 Conigurçõ iniil mt o 8-Puzzl. N Fig. 19, o vlor vriávl 0 n onigurção iniil é 6 poi o rno tá oupno poição qu pç i oup n mt. Pr rolvr t prolm, xitm 35 mro. O mro pnm onigurção mt ix. A Tl 1 motr o mro otio pr onigurção mt im. Tl 1. Mro-Opror. Pç Poição CE 2 C DBEC 3 CD BECDD BECD BEC 4 D EBDCD EBDC DBEEC BEC 5 BD CEBDC DBEBD CE 6 B CDBEB DCE 7 BE DCEBB DCE ECDBE BDC CEBBD C BDCCE BDBEC 8 E BDCE DCEEB BDC DBDCE EBDCE CDBBE CD CDBBE CEBDD CE DCEBD BECEB DDCE DBECE BDDCE ECDB CEBD CDBEC EBD DCEEB D DBEEC CDBEB DDCE CEBDC DBEEC DB CEBDD CEBEC DB CDBE DCEB Pr rolvr o 8-Puzzl trvé mro, vmo rtr poição o rno, poi pç um im uivmnt. Apó rtr poição pç i, outr pç já trão orrtmnt poiion ou o prolm não tm 68

33 olução ( mt é inívl prtir onição iniil). Pr orir qul mro plir, t onultr élul (X,P), on P é olun pç qu qur rtr X é o vlor pç n onigurção orrnt. No prolm im, omçmo rtno poição o rno. Como o vlor t vriávl é 6, plimo o mro élul (6,0), B. Ito ignii um movimnto pr ixo. A úni pç qu po movr pr ixo é pç i. Em gui, rtmo pç um: (8,1) BDCE B 1 4 B D C 8 4 E Figur 20 8-Puzzl: plição mro-opror. Apó rtr pç um, mro BDCE, to outr pç já irm orrtmnt poiion im, o prolm já tá rolvio. A umt t prolm não ão rilizávi poi nqunto tmo rtno poição pç i, ltrmo poição pç ntrior qu já tvm orrtmnt poiion. O ponto importnt tr é qu no inl plição o mro qu poiion orrtmnt pç i, poiçõ orrt pç ntrior à pç i ão rtur. Et proo não nvolv nnhum prour por ito é muito iint. Su por riv o onhimnto xpro no mro. Com tl im, pomo rolvr qulqur prolm o tipo: nontrr o minho um nó qulqur o nó t (mt im). S quirmo rolvr o prolm onirno omo mt um nó z irnt, pomo, o invé grr um outr tl, ur o guint rtiíio: rolvmo oi prolm on mt é o nó t (uno tl), t (minho 1) z t (minho 2). A olução é o minho 1 ontno om minho 2 invrtio. O mro ão otio trvé u, omo xplio mi int. Otio o mro, omo ontruir tl? Em qu linh olun l vm r oloo? Aplino um mro um onigurção m qu i primir vriávi to (pç 0, 1,... i-1) tão orrtmnt poiion pç i tá or poição, poiionrá orrtmnt pç i. Durnt plição o mro pç já poiion ão prtur m té o im plição o mro, poição orrt i primir vriávi to é rtur. Invriâni um mro é o númro pç n orm lit [0,1,2,3,4,5,6] qu ão mnti invrint pó plição o mro à onigurção mt. Sj o mro CEBD. Aplino t mro à mt, otmo [0,1,2,3,6,4], Fig. 21. A qutro primir vriávi (0, 1, 2 3) ontinurm orrtmnt poiion 5 vriávl, pç qutro tá or lugr. A invriâni é qutro CEBD Figur 21 Aplição o mro CEBD. 69

34 Et mro v r oloo n olun 4. Além ixr invrint t qutro pç, t mro v poiionr orrtmnt pç 4. Pr orir, m qul linh tl, l v r oloo, t plir o mro invro à mt vriir o vlor 5 vriávl, ito é, o lol pç qutro. Aplino o mro invro ECDB à mt, otrmo ECDB Figur 22 Aplição o mro ECDB. N Fig. 22, vmo qu pç 4 oup poição pç i. Aim, linh o mro CEBD v r linh 6. Rumino, o mro CEBD (invriâni 4) v r oloo n olun 4, poi plino-o um onigurção on qutro primir pç tão orrtmnt poiion, l mntrá o poiionmnto t pç linh i porqu plino o mro invro ECDB à onigurção mt (on pç 4 tá orrtmnt poiion), t pç oup p oupr poição pç 6. Dt moo, plição o mro rt poição pç 4. Pr otnção o mro pomo plir um téni u om prounmnto grtivo. Iniilmnt, rlizmo um u om limit prouni um. Enontrrmo o qutro mro B, C, D E. Poiionmo um l n olun zro (vlor invriâni) n linh orrponnt à plição o mro invro à mt. Promo gor um u om limit prouni oi. Enontrmo o mro olun zro om oi opror primitivo. Continuno, impono o limit igul trê, nontrmo mro omprimnto trê. El não rão oloo n tl porqu poição orrponnt l já tá oup om mro mnor omprimnto. Prono t mnir, grmo too o mro. A tl 2 prnt rtríti prinipi plição téni mro-opror ivro prolm. Pr rolvr o 8-Puzzl, prtino qulqur to ívl onigurção mt im, ão nário prnr 35 mro, no qu o mior l é ontituío 14 opror primitivo. O númro movimnto méio (onirno too o o poívi) é 39,78 o pior o mn 64 movimnto. Pr mi inormçõ or olução o 8- Puzzl, vj (Shoil, 1967). Tl 2. Crtríti gri mro-opror n olução prolm. Prolm n o mro Mior mro vlor méio pior o 8-Puzzl , Puzzl , , ,