Estratégias de Busca. Busca em Espaço de Estados. Cabeça-8. Exemplo: Quebra-Cabeça. Exemplo: 8 Rainhas. Exemplo: 8 Rainhas

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1 Etrtéi Bu Bu m Epço Eto Intliêni Artiiil Nt ul ão rit lum trtéi u m pço to Bu não inorm Bu inorm Um ro po r uo pr rprntr um pço to on: O nó orrponm ituçõ um prolm A rt orrponm movimnto prmitio ou çõ ou po olução Um o prolm é oluiono nontrno- um minho no ro Um prolm é inio por Um pço to (um ro) Um to (nó) iniil Um onição término ou ritério pr; to (nó) trmini ão qul qu tizm onição término S não houvr uto, há intr m oluçõ minho mínimo No o m qu uto ão iiono o movimnto normlmnt há intr m oluçõ uto mínimo O uto um olução é o uto rt o lono o minho olução Joé Auuto Brnuk Dprtmnto Fíi Mtmáti FFCLRP-USP E-mil: uuto@up.r URL: Exmplo: Qur-Cç Cç-8 Exmplo: Qur-Cç Cç Eto Iniil Eto Finl Eto Iniil Eto Finl Eto? Opror? Eto Finl: = to ornio Cuto o minho? Eto: poiçõ intir o quro (inorr poiçõ intrmiári) Opror: movr rno à qur, irit, m im, m ixo (inorr ção lojr, t) Eto Finl: = to ornio Cuto o minho: 1 por movimnto 4 Exmplo: 8 Rinh Exmplo: 8 Rinh Eto? Opror? Eto Finl? Cuto o minho? Eto: qulqur rrnjo 0 8 rinh no tuliro Opror: iionr um rinh qulqur quro Eto Finl: 8 rinh no tuliro, m tqu Cuto o minho: zro (pn o to inl é intrnt) 5 6

2 Exmplo: Miionário Cnii Exmplo: Miionário Cnii Eto? Opror? Eto Finl? Cuto o minho? Eto um to é um qüêni orn trê númro rprntno o númro miionário, nii ot n mrm o rio n qul l iniim Aim o to iniil é [,,1] Opror prtir to o opror poívi ão tomr um miionário um nil, oi miionário ou oi nii Há no máximo 5 opror, mor lun to tnhm mno opror um vz qu v- vitr to inválio S or nário itinuir o inivíuo, hvri 7 opror o invé pn 5 Eto Finl: [0,0,0] Cuto o minho: númro trvi 7 8 Exmplo: Muno o Apiror Exmplo: Muno o Apiror 9 10 Exmplo: Muno o Apiror Exmplo: Muno o Apiror Eto? Opror? Eto Finl? Cuto o minho? Eto: um o to motro n iur Opror: L (qur), R (irit), S (ução) Eto Finl: nnhum ujir m too o mint Cuto o minho: ção tm uto unitário 11 1

3 Exmplo: Montm om Roô Exmplo: Pilh Bloo Conir o prolm nontrr um plno (trtéi) pr rrrnjr um pilh loo omo n iur Somnt é prmitio um movimnto por vz Um loo omnt po r movio não há n m u topo Um loo po r oloo n m ou im outro loo Eto: oorn vlor rl ânulo junçõ o roô prt o ojto r monto Opror: movimnto ontínuo junçõ o roô Eto Finl: montm omplt Cuto o minho: tmpo pr montm C A B? A B C 1 14 Exmplo: Pilh Bloo Exmplo: Pilh Bloo N itução iniil o prolm, há pn um movimnto poívl: olor loo C n m Dpoi qu C oi oloo n m, há trê ltrntiv Color A n m ou Color A im C ou Color C im A (movimnto qu não v r oniro poi rtorn um itução ntrior o prolm) to iniil C B A C A B B AC A BC ABC A BC C AB B A C B C A A B C? A B C A B C B AC C AB A C B Bu m Epço Eto Bu m Epço Eto Etrtéi Bái Bu (Uniorm, Exutiv ou C) não utiliz inormçõ or o prolm pr uir u trtéi u xutiv pli té um olução r nontr (ou lhr) Prouni (Dpth-irt) Prouni limit (Dpth-irt Limit) Prouni itrtiv (Itrtiv Dpnin) Lrur (Brth-irt) Biirionl Etrtéi Huríti Bu (Bu Inorm) utiliz inormçõ píi o omínio pr jur n ião Hill-Climin Bt-Firt A* (Itrtiv Dpnin A*) (Ruriv Bt-Firt Srh) Vmo rprntr um pço to pl rlçõ (X,Y) qu é vrir há um movimnto prmitio no pço to o nó X pr o nó Y; nt o, Y é um uor X inl(x) qu é vrir X é um to inl S houvr uto nvolvio, um triro rumnto rá iiono, o uto o movimnto (X,Y,Cuto) A rlção po r rprnt xpliitmnt no prorm por um onjunto to Entrtnto, pr pço to omplxo rlção é uulmnt ini impliitmnt trvé rr qu prmitm lulr o uor um o nó 17 18

4 Bu m Epço Eto Bu m Epço Eto Outr qutão importnt é omo rprntr ituçõ o prolm, qu ão por i ó nó no pço to A rprntção v r ompt prmitir xução iint oprçõ rquri No xmplo mnipulção loo, vmo onirr o o rl m qu há um númro qulqur loo qu vm r ipoto m um ou mi pilh: O númro pilh rá limito pr tornr o prolm mi intrnt, lém r rlit um vz qu roô qu mnipulm loo poum um pço limito n m Um itução o prolm po r rprnt por um lit pilh; pilh é rprnt por um lit loo ( orm orn) orm qu o loo no topo pilh é ç lit Pilh vzi rão rprnt por lit vzi Situção iniil: [ [,,], [ ], [ ] ] Situção inl: [ [,,], [ ], [ ] ] [ [ ], [,,], [ ] ] [ [ ], [ ], [,,] ] A rlção uor po r prorm uint orm: Situção é uor Situção1 há u pilh, Pilh1 Pilh m Situção1 o topo Pilh1 po r movio pr Pilh To itução pom r rprnt por lit pilh (Pilh,[Pilh1, [Topo Pilh] OutrPilh]) :- % Mov Topo p/ Pilh l([topo Pilh1],Pilh,Rto), % nontr 1 pilh l(pilh,rto,outrpilh). % nontr pilh l(e,[e L],L). l(e,[y L],[Y L1]) :- l(e,l,l1). A itução inl o noo xmplo é: inl(situo) :- prtn([,,],situo) Bu m Epço Eto Vmo prormr loritmo u omo rlção rolv(iníio,soluo) on Iníio é o nó iniil no pço to Soluo é um minho ntr Iníio qulqur nó inl No xmplo mnipulção loo, hm orrponnt ri:?- rolv([[,,],[],[]],soluo). Como rulto um u m ui, Soluo é intni om um lit rrnjo loo qu rprnt um plno pr trnormr o to iniil m um to m qu too o trê loo tão m um úni pilh rrnjo omo [,,] Bu m Prouni O loritmo pr u m prouni é o uint: pr nontrr um olução S pr um o nó N (té um nó inl): S N é um nó inl ntão S = [N] S N tm um uor N1 tl qu há um minho S1 N1 té um nó inl, ntão S = [N S1] Em Prolo: rolv(n,[n]) :- inl(n). rolv(n,[n S1] :- (N,N1), rolv(n1,s1). A u m prouni é o ruro mi impl m prormção ruriv, por io, Prolo quno xut mt xplor ltrntiv utilizno- Entrtnto, não há tção ilo 1 Bu m Prouni Bu m Prouni Inrir n rnt, rmovr rnt: Inrir n rnt, rmovr rnt:, 4

5 Bu m Prouni Bu m Prouni Inrir n rnt, rmovr rnt:,, Inrir n rnt, rmovr rnt: h,, 5 6 Bu m Prouni Bu m Prouni Inrir n rnt, rmovr rnt:, Inrir n rnt, rmovr rnt: i, j, 7 8 Bu m Prouni Bu m Prouni Inrir n rnt, rmovr rnt: j, Inrir n rnt, rmovr rnt: 9 0

6 Bu m Prouni Bu m Prouni Inrir n rnt, rmovr rnt:, Inrir n rnt, rmovr rnt: k, 1 Bu m Prouni Bu m Prouni Eto iniil: Eto ini: j, Nó viito n orm:,,,h,,i,j Solução: [,,,j] Apó ktrkin, outr olução é nontr: [,,] Inrir n rnt, rmovr rnt: 4 Bu m Prouni Bu m Prouni % rolv(no,soluo) Soluo é um minho ílio (n orm % rvr) ntr nó iniil No um nó inl rolv(no,soluo) :- pthfirt([],no,soluo). % pthfirt(cminho,no,soluo) tn o minho [No Cminho] % té um nó inl otno Soluo pthfirt(cminho,no,[no Cminho]) :- inl(no). pthfirt(cminho,no,s) :- (No,No1), \+ prtn(no1,cminho), % vit um ilo pthfirt([no Cminho],No1,S). prtn(e,[e _]). prtn(e,[_ T]) :- prtn(e,t). Um prolm om u m prouni é qu xitm pço to no qui o loritmo pr Muito pço to ão ininito, n o, o loritmo u m prouni po prr um nó inl, prouino por um minho ininito no ro O loritmo ntão xplor t prt ininit o pço, nun hno prto um nó inl Por xmplo, o prolm 8 Rinh é uptívl t tipo rmilh, m omo o pço é inito, rinh pom r olo m urnç no tuliro, ou j, um olução é nontr Pr vitr minho ininito (m ilo), um rinmnto po r iiono à u m prouni: limitr prouni u 5 6

7 Bu m Prouni Limit (L=0) Bu m Prouni Limit (L=1) Inrir n rnt, rmovr rnt: Inrir n rnt, rmovr rnt: 7 8 Bu m Prouni Limit (L=1) Bu m Prouni Limit (L=1) Inrir n rnt, rmovr rnt:, Inrir n rnt, rmovr rnt: 9 40 Bu m Prouni Limit (L=) Bu m Prouni Limit (L=) Inrir n rnt, rmovr rnt: Inrir n rnt, rmovr rnt:, 41 4

8 Bu m Prouni Limit (L=) Bu m Prouni Limit (L=) Inrir n rnt, rmovr rnt:,, Inrir n rnt, rmovr rnt:, 4 44 Bu m Prouni Limit (L=) Bu m Prouni Limit (L=) Inrir n rnt, rmovr rnt: Inrir n rnt, rmovr rnt:, Bu m Prouni Limit (L=) Bu m Prouni Limit % rolv(no,soluo,l) Soluo é um minho ílio % (n orm rvr) ntr nó iniil No um olução rolv(no,soluo,l) :- pthfirtlimit([],no,soluo,l). Inrir n rnt, rmovr rnt: % pthfirtlimit(cminho,no,soluo,l) tn o minho % [No Cminho] té um nó inl otno Soluo om % prouni não mior qu L pthfirtlimit(cminho,no,[no Cminho],_) :- inl(no). pthfirtlimit(cminho,no,s,l) :- L > 0, (No,No1), \+ prtn(no1,cminho), % vit um ilo L1 i L - 1, pthfirtlimit([no Cminho],No1,S,L1)

9 Bu m Prouni Limit Bu m Prouni Itrtiv Um prolm om u m prouni limit é qu não tm prvimnt um limit rzoávl S o limit or muito pquno (mnor qu qulqur minho té um olução) ntão u lh S o limit or muito rn, u torn muito omplx Pr rolvr t prolm u m prouni limit po r xut orm itrtiv, vrino o limit: om om um limit prouni pquno umnt rulmnt o limit té qu um olução j nontr Et téni é nomin u m prouni itrtiv po r implmnt hmno o proimnto pthfirtlimit/4 prtir outro proimnto qu, m hm ruriv, inrmnt o limit m um uni Entrtnto, há um implmntção mi lnt o no proimnto pth(no1,no,cminho) on Cminho é um minho ílio (n orm rvr) ntr o nó No1 No no pço to pth(no,no,[no]). % minho om um únio nó pth(primiro,ultimo,[ultimo Cminho]) :- (Pnultimo,Ultimo), % Há nó ntrior o último pth(primiro,pnultimo,cminho), % Há minho té pnúltimo \+ prtn(ultimo,cminho). % vit um ilo Bu m Prouni Itrtiv Bu m Prouni Itrtiv pth(no,no,[no]). pth(primiro,ultimo,[ultimo Cminho]) :- (Pnultimo,Ultimo), pth(primiro,pnultimo,cminho), \+ prtn(ultimo,cminho).?- pth(,ultimo,cminho). Ultimo = Cminho = []; Ultimo = Cminho = [,]; Ultimo = Cminho = [,]; Ultimo = Cminho = [,,];... % rolv(no,soluo) Soluo é um minho ílio (n orm % rvr) ntr nó iniil No um olução rolv(no,soluo) :- pthfirtitrtivdpnin(no,soluo). % pth(no1,no,cminho) nontr Cminho ílio ntr No1 No pth(no,no,[no]). % minho om um únio nó pth(primiro,ultimo,[ultimo Cminho]) :- (Pnultimo,Ultimo), % Há nó ntrior o último pth(primiro,pnultimo,cminho), % Há minho té pnúltimo \+ prtn(ultimo,cminho). % vit um ilo % pthfirtitrtivdpnin(no,solução) itrtivmnt % umnt prouni o minho pthfirtitrtivdpnin(no,soluo) :- pth(no,finl,soluo), inl(finl) Bu m Lrur Em ontrt om u m prouni, u m lrur olh primiro viitr qul nó mi próximo o nó iniil O loritmo não é tão impl, poi é nário mntr um onjunto nó nito ltrntivo não pn um únio, omo n u m prouni O onjunto é too o nívl inrior árvor u Além io, ó o onjunto é inuiint o minho olução tmém or nário Aim, o invé mntr um onjunto nó nito, é nário mntr um onjunto minho nito 5 Bu m Lrur Inrir no inl, rmovr rnt: 54

10 Bu m Lrur Bu m Lrur Inrir no inl, rmovr rnt:, Inrir no inl, rmovr rnt:,, Bu m Lrur Bu m Lrur Inrir no inl, rmovr rnt:,,, Inrir no inl, rmovr rnt:,,, h Bu m Lrur Bu m Lrur Inrir no inl, rmovr rnt:,, h, i, j Inrir no inl, rmovr rnt:, h, i, j, k 59 60

11 Bu m Lrur Bu m Lrur Inrir no inl, rmovr rnt: h, i, j, k Inrir no inl, rmovr rnt: i, j, k 61 6 Bu m Lrur Bu m Lrur Inrir no inl, rmovr rnt: j, k Inrir no inl, rmovr rnt: k 6 64 Bu m Lrur Bu m Lrur Eto iniil: Eto ini: j, Nó viito n orm:,,,,, A olução mi urt [,,] é nontr nt mi lon [,,,j] rthfirt(cminho,solução) é vriro lum minho prtir o onjunto nito Cminho po r tnio pr um nó inl; Solução é o minho tnio O onjunto minho nito rá rprnto omo um lit minho minho rá um lit nó n orm rvr A u inii om um onjunto um únio nito: [ [Iníio] ] O loritmo é o uint: S ç o primiro minho é um nó inl ntão t minho é um olução; o ontrário Rmov o primiro minho o onjunto nito r o onjunto to xtnõ m um po prtir t minho; iion t onjunto xtnõ o inl o onjunto nito xut u m lrur pr tulizr t onjunto 65 66

12 Bu m Lrur Bu m Lrur Com om o onjunto nito iniil [ [] ] Gr xtnõ [] (not qu tão m orm rvr): [ [,], [,] ] Rmov o primiro nito [,] o onjunto nito r xtnõ t minho [ [,,], [,,] ] Aiion xtnõ o inl o onjunto nito [ [,], [,,], [,,] ] Rmov [,] iion xtnõ o inl [ [,,], [,,], [,,], [,,] ] Etnno [,,] [ [,,], [,,], [,,], [h,,,] ] Etnno [,,] [ [,,], [,,], [h,,,], [i,,,], [j,,,] ] A u nontr [,,] qu ontém um nó inl, portnto o minho é rtorno omo um olução % rolv(no,soluo) Soluo é um minho ílio % (n orm rvr) ntr nó iniil No um olução rolv(no,soluo) :- rthfirt([[no]],soluo). % rthfirt([cminho1,cminho,...],soluo) Soluo é um % xtnão pr um nó inl um o minho rthfirt([[no Cminho] _],[No Cminho]) :- inl(no). rthfirt([cminho Cminho],Soluo) :- tnr(cminho,novocminho), ontnr(cminho,novocminho,cminho1), rthfirt(cminho1,soluo). tnr([no Cminho],NovoCminho) :- inll([novono,no Cminho], ((No,NovoNo), \+ prtn(novono,[no Cminho])), NovoCminho) Bu Biirionl Complxi o Aloritmo Bu = númro minho ltrntivo/tor iurção/rmiição (rnhin tor) = prouni olução m = prouni máxim árvor u l = limit prouni Prouni Prouni limit Tmpo O( m ) O( l ) Epço O(m) O(l) Ótim? (olução mi urt rnti) Não Não Complt? (nontr um olução quno l xit) Sim (pço inito) Não (pço ininito) Sim l Prouni itrtiv O( ) O() Sim Sim Lrur O( ) O( ) Sim Sim Biirionl O( / ) O( / ) Sim Sim Evitno Eto Rptio Evitno Eto Rptio Em lun prolm, xit poiili xpnir to qu já orm xpnio nt m lum outro minho A árvor u t prolm ão ininit, m lun o to rptio ão poo, árvor torn init Mmo quno árvor é init, vitr to rptio po rultr num rução xponnil o uto u No xmplo ixo, o pço ontém pn m+1 to, on m é prouni máxim; omo árvor u minho poívl trvé o pço, l poui m rmo Há trê orm trtr to rptio: Não rtornr o to o qul ou ir; por xmplo, unção uor po rur rr qulqur uor qu é o mmo to qu o nó pi (nó ntrior) Não rir minho om ilo Não rr nnhum to qu oi ro ntriormnt; ito rqur qu to ro j uro m mmóri rultno potnilmnt m omplxi pço O( ); utiliz- normlmnt um tl hh pr rmznr too o to ro 7 7

13 Bu Inorm A u m ro po tinir um omplxi lv vio o númro ltrntiv Etrtéi u inorm utilizm inormção huríti or o prolm pr lulr timtiv huríti pr o nó no pço to E timtiv ini o qunto o nó é promior om rlção tinir mt tli Etrtéi Bt-Firt É onvnint rlmrr qu um trtéi u é ini por mio orm xpnão o nó N trtéi u t-irt (omçno plo mlhor), iéi ái é prouir om u mpr prtir o nó mi promior Bt-Firt é um rinmnto u m lrur Am trtéi omçm plo nó iniil mntêm um onjunto minho nito Bu m lrur xpn o minho nito mi urto Bt-Firt rin t prinípio lulno um timtiv huríti pr nito olh xpnir o mlhor nito uno t timtiv Huríti (rt orir) onit m onhimnto qu prmitm um olução rápi pr lum prolm ou iiul Etrtéi Bt-Firt Etrtéi Bt-Firt Vmo umir qu há um uto nvolvio ntr ro: (X,Y,C) qu é vrir há um movimnto prmitio no pço to o nó X pr o nó Y o uto C; nt o, Y é um uor X Sjm o um nó iniil um nó inl t Sj o timor hurítio unção tl qu pr nó n no pço, (n) tim iiul n, ou j, (n) é o uto o minho mi rto té t vi n A unção (n) rá ontruí omo: (n) = (n) + h(n) (n) é um timtiv o uto o minho ótimo té n h(n) é um timtiv o uto o minho ótimo n té t (n) n n h(n) t t Etrtéi Bt-Firt Quno um nó n é nontro plo proo u tmo uint itução Um minho té n já oi nontro u uto po r lulo omo om o uto o ro no minho Et minho não é nrimnt um minho ótimo té n (po xitir um minho mlhor té n in não nontro pl u) m u uto rv omo um timtiv (n) o uto mínimo té n O outro trmo, h(n) é mi prolmátio poi o muno ntr n t não oi in xploro Portnto, h(n) é tipimnt um huríti, no onhimnto rl o loritmo or o prolm m qutão Como h pn o omínio o prolm, não há um métoo univrl pr ontruir h Hill-Climin É omo lr o mont Evrt m um nvoiro no om mnéi É omo ur óulo qu limitm u vião mtro Hill-Climin: unção vlição é vit omo quli Tmém onhio omo rint nnt: unção vlição é vit omo uto 78 79

14 Hill-Climin Hill-Climin 1. Eolh um to iniil o pço u orm ltóri. Conir too o vizinho (uor) no pço u. Eolh o vizinho om mlhor quli mov pr qul to 4. Rpit o po té 4 té qu too o to vizinho tnhm mnor quli qu o to tul 5. Rtorn o to tul omo no olução S há mi um vizinho om mlhor quli: Eolhr o primiro mlhor Eolhr um ntr too orm ltóri % rolv(no,soluo) Soluo é um minho mlhor_quli([no No],Mlhor) :- % ílio (n orm rvr) ntr nó minimo_(no,no,mlhor). % iniil No um olução minimo_([],no,no). % l(n,f/g) not o nó N om vlor F=(n) minimo_([no No],MinAtul,Min) :- % G = (N) t(no,minatul),!, minimo_(no,minatul,min). rolv(no,soluo) :- minimo_([no No],MinAtul,Min) :- hilllimin([],l(no,0/0),soluo). minimo_(no,no,min). hilllimin(cminho,l(no,f/g),[no Cminho]) :- t(l(_,f1/_),l(_,f/_)) :- inl(no). F1 > F. hilllimin(cminho,l(no,f/g),s) :- inll(no1/cuto, ((No,No1,Cuto),\+ prtn(no1,cminho)), Vizinho ), vli(g,vizinho,vizinhoavlio), mlhor_quli(vizinhoavlio,mlhorno), hilllimin([no Cminho],MlhorNo,S). vli(_,[],[]). vli(g0,[no/cuto NoAvlio],[l(No,F/G) Avlio]) :- G i G0 + Cuto, h(no,h), % H = h(no) unção huríti F i G + H, vli(g0,noavlio,avlio) Hill-Climin Hill-Climin unção vlição máximo lol unção vlição omro máximo lol máximo lol máximo lol plno to tul pço to to tul pço to 8 8 Hill-Climin Hill-Climin Climin: : Prolm Máximo lol: um vz tinio, o loritmo trmin mmo qu olução tj lon r titóri Pltô (riõ pln): riõ on unção vlição é nilmnt pln; u torn omo um minh ltóri Cum ou omro : riõ qu ão lnç ilmnt m té o topo unção vlição r orm mn; u po tornr- mor 84 85

15 Hill-Climin Climin: : Vriçõ Hill-Climin Riníio Altório Hill-Climin Etoátio Nm mpr olh o mlhor vizinho Hill-Climin Primir Eolh Eolh o primiro om vizinho qu nontrr Útil é rn o númro uor um nó Hill-Climin Riníio Altório Conuz um éri u hill-limin prtir to iniii ro ltorimnt, xutno u té trminr ou té qu não xit proro iniitivo O mlhor rulto to u é rmzno unção vlição pço to Hill-Climin Climin: : Vriçõ Têmpr Simul (Simult Annlin) Trmo utilizo m mtluri Não é trtéi t-irt m é um rivção O ojtivo é qu moléul mtl nontrm um lolizção távl m rlção o u vizinho O quimnto provo movimnto moléul mtl pr lolizçõ injávi Durnt o rrimnto, moléul ruzm u movimnto itum- m um lolizção mi távl Têmpr é o proo qur um mtl ixá-lo rir lntmnt orm qu moléul iqum m lolizçõ távi Têmpr Simul 1. Eolh um to iniil o pço u orm ltóri. i 1. T Tmprtur(i) 4. Enqunto (T > T ) Fç 5. Eolh um vizinho (uor) o to tul orm ltóri 6. lte nri(vizinho) nri(tul) 7. S (lte > 0) Então o movimnto é ito (mov pr o vizinho mlhor quli) Snão o movimnto é ito om proili xp(lte/t) Fim S 8. i i T Tmprtur(i) 10. Fim Enqunto 11. Rtorn o to tul omo no olução nri(n) é um unção qu lul nri o to N po r vit omo quli Tmprtur(i) é um unção qu lul tmprtur n itrção i, umino mpr vlor poitivo T é tmprtur inl (por xmplo, T = 0) Têmpr Simul No iníio qulqur movimnto é ito Quno tmprtur é ruzi, proili itr um movimnto ntivo é ruzi Movimnto ntivo ão vz nii pr pr máximo loi Movimnto ntivo m xo tm o máximo lol Bt-Firt Vmo tur o loritmo t-irt m u orm omplt O proo u po r vito omo um onjunto u-proo, um xplorno u própri ltrntiv, ou j, u própri u-árvor Su-árvor têm u-árvor qu ão xplor por uproo o u-proo, t Dntr too o proo pn um nontr- tivo momnto: qul qu li om ltrntiv tul mi promior (qul om mnor vlor ) O proo rtnt urm ilniomnt té qu timtiv tul ltr lum outr ltrntiv torn mi promior Então, tivi é omut pr t ltrntiv 90 91

16 Bt-Firt Bt-Firt Pomo iminr o mnimo tivçãotivção uint orm O proo trlhno n ltrntiv tul r um orçmnto limit El prmn tivo té qu o orçmnto j xurio Durnt o príoo m qu tá tivo, o proo ontinu xpnino u u-árvor rlt um olução o um nó inl j nontro O orçmnto limit pr xução é inio pl timtiv huríti ltrntiv omptior mi próxim Ditâni ntr u i trvé um minho (roovi) Ditâni ntr i m qutão i tino (t) m linh rt 5 4 t Bt-Firt Bt-Firt Do um mp, o ojtivo é nontrr o minho mi urto ntr i iniil i tino t Pr timr o uto o minho rtnt i X té i t utilizrmo itâni m linh rt not por it(x,t) (X) = (X) + h(x) = = (X) + it(x,t) Nt xmplo, pomo iminr u t-irt onitino m oi proo, um xplorno um o minho ltrntivo Proo 1 xplor o minho vi Proo xplor o minho vi t t Bt-Firt Bt-Firt ()=()+it(,t)=+5=7 ()=()+it(,t)=+7=9 Como o vlor- é mnor o qu, o proo 1 (u vi ) prmn tivo nqunto o proo (u vi ) i m to pr 5 4 ()=7 7 ()= ()=()+it(,t)=+5=7 ()=()+it(,t)=+7=9 Como o vlor- é mnor o qu, o proo 1 (u vi ) prmn tivo nqunto o proo (u vi ) i m to pr ()=()+it(,t)=4+4=8 7 ()=9 5 5 ()= ()=8 t t 96 97

17 Bt-Firt Bt-Firt ()=()+it(,t)=+5=7 7 ()=9 ()=()+it(,t)=+7=9 Como o vlor- é mnor o qu, o proo 1 (u vi ) prmn tivo 5 ()=7 5 nqunto o proo (u vi ) i m to pr ()=()+it(,t)=4+4=8 4 4 ()=()+it(,t)=6+4=10 ()=10 ()=8 Como ()<() or o 4 proo prou pr i t ()=()+it(,t)=7+4=11 Como ()>() or o proo pr o proo 1 prou 7 ()=9 5 5 ()=7 ()= ()=10 ()=8 t Bt-Firt Bt-Firt ()=()+it(,t)=7+4=11 Como ()>() or o proo pr o proo 1 prou ()=()+it(,t)=9+=1 Como ()>() o proo rinii 4 5 ()=10 ()=1 ()=7 t ()= ()=9 ()=11 4 ()=()+it(,t)=7+4=11 Como ()>() or o proo pr o proo 1 prou ()=()+it(,t)=9+=1 Como ()>() o proo rinii hno té o tino t ()=()+it(,t)=9+= ()=10 ()=1 ()=7 t ()= ()=9 ()=11 ()= Bt-Firt Bt-Firt ()=()+it(,t)=7+4=11 Como ()>() or o proo pr o proo 1 prou ()=()+it(,t)=9+=1 Como ()>() o proo rinii hno té o tino t ()=()+it(,t)=9+=11 (t)=(t)+it(t,t)=11+0= ()=10 ()=1 ()=7 t ()=8 4 (t)= ()=9 ()=11 ()=11 4 A u, omçno plo nó iniil ontinu rno novo nó uor, mpr xpnino n irção mi promior oro om o vlor- Durnt t proo, um árvor u é r tno omo riz o nó iniil o loritmo t-irt ontinu xpnino árvor u té qu um olução j nontr 10 10

18 Bt-Firt Bt-Firt ()=7 ()=9 ()=7 ()=9 ()= Bt-Firt Bt-Firt ()=7 ()=9 ()=7 ()=9 ()=8 ()=8 ()=11 ()=10 ()= Bt-Firt Bt-Firt ()=7 ()=9 ()=7 ()=9 ()=8 ()=11 ()=8 ()=11 ()=10 ()=10 ()=11 ()=1 ()=

19 Bt-Firt Bt-Firt ()=7 ()=8 ()=10 ()=1 t ()=9 ()=11 ()=11 (t)=11 A árvor u rá rprnt u orm: l(n,f/g) rprnt um únio nó olh (l) N é um nó o pço to G é (N), uto o minho nontro o nó iniil té N F é (N) = G + h(n) t(n,f/g,su) rprnt um árvor om u-árvor não vzi N é riz árvor Su é um lit u u-árvor (m orm rnt vlor- u-árvor) G é (N) F é o vlor- tulizo N, ou j, o vlor- o uor mi promior N Bt-Firt Bt-Firt l(,0/0) ()=7 ()=9 t(,7/0, [ l(,7/), l(,9/) ] ) O vlor- riz é ()=7 poi é o vlor- o uor mi promior Bt-Firt Bt-Firt ()=7 ()=9 ()=7 ()=9 t(,7/0, [ l(,7/), l(,9/) ] ) ()=8 O omptior mi próximo é, om ()=9 Portnto, é prmitio xpnir nqunto () não xr

20 Bt-Firt Bt-Firt ()=7 ()=9 ()=7 ()=9 ()=8 ()=10 t(,9/0, [ l(,9/), t(,10/, [ t(,10/4, [l(,10/6)]) ] ) ] ) O nó ão xpnio omo ()=10 o limit xpnão é tinio ntão u-árvor vi não tm mi prmião pr xpnir ()=8 ()=10 t(,9/0, [ l(,9/), t(,10/, [ t(,10/4, [l(,10/6)]) ] ) ] ) Not qu or ()=10 nqunto ()=9 O vlor orm tulizo vio o to qu novo nó,, orm ro Aor o uor mi promior é om ()= Bt-Firt A tulizção o vlor- é nário pr prmitir o prorm ronhr uárvor mi promior m nívl árvor u ( árvor qu ontém o nó mi promior) Et tulizção lv um nrlizção inição unção nó pr árvor Bt-Firt Pr um únio nó (olh) n, tmo inição oriinl (n) = (n) + h(n) Pr um árvor T, uj riz é n uárvor n ão S 1, S,..., S k (T) = min (S i ) 1 <= i <= k Bt-Firt O prio prinipl é xpnir(p,árvor,limit,árvor1,rolvio,solução) Et prio xpn um (u)árvor tul nqunto o vlor- l prmnç inrior ou iul à Limit Arumnto: P: minho ntr o nó iniil Árvor Árvor: tul (u)árvor Limit: vlor- limit pr xpnir Árvor Árvor1: Árvor xpni ntro Limit; im o vlor- Árvor1 é mior qu Limit ( mno qu um nó inl tnh io nontro urnt xpnão) Rolvio: Inior qu um im, não ou nun Solução: Um minho (olução) o nó iniil trvé Árvor1 té um nó inl ntro Limit ( xitir tl nó) Bt-Firt O rumnto ntr ão P, Árvor Limit xpnir/6 prouz trê tipo rulto, inio plo vlor o rumnto Rolvio 1. Rolvio = im Solução = um olução nontr xpnino Árvor ntro Limit Árvor1 = não intni. Rolvio = não Árvor1 = Árvor xpni orm qu u vlor- x Limit (vi li uint) Solução = não intni. Rolvio = nun Árvor1 Solução = não intni O último o ini qu Árvor é um ltrntiv inviávl nun v tr outr hn rr; ito oorr quno o vlor- Árvor <= Limit m árvor não po rr porqu nnhum olh l poui uor ou o uor xitnt riri um ilo 10 11

21 A Rlção xpnir/6 Aloritmo Bt-Firt Árvor1 Árvor > Limit n Nó iniil P (minho) Expnino Árvor té qu u vlor- x Limit rult m Árvor1 % Aum qu 9999 é mior qu qulqur vlor- rolv(no,soluo) :- xpnir([],l(no,0/0),9999,_,im,soluo). % xpnir(p,arvor,limit,arvor1,rolvio,soluo) % P é um minho ntr nó iniil u uárvor Arvor, Arvor1 é Arvor % xpni té Limit. S um nó inl é nontro ntão Soluo é olução % Rolvio = im % Co 1: nó olh inl, ontruir minho olução xpnir(p,l(n,_),_,_,im,[n P]) :- inl(n). % Co : nó olh, vlor- <= Limit. Grr uor xpnir ntro Limit xpnir(p,l(n,f/g),limit,arvor1,rolvio,soluo) :- F =< Limit, (inll(m/cuto, ((N,M,Cuto), \+ prtn(m,p)),vizinho), Vizinho \= [],!, % nó N tm uor vli(g,vizinho,t), % ri uárvor mlhor(t,f1), % vlor- o mlhor uor xpnir(p,t(n,f1/g,t),limit,arvor1,rolvio,soluo) ; Rolvio = nun % N não tm uor o m í ). 1 1 Aloritmo Bt-Firt (ont.) Aloritmo Bt-Firt (ont.) % Co : não-olh, vlor- <= Limit. Expn uárvor mi % promior; pnno o rulto, o prio ontinu % i omo pror xpnir(p,t(n,f/g,[t T]),Limit,Arvor1,Rolvio,Soluo) :- F =< Limit, mlhor(t,mf), min(limit,mf,limit1), % Limit1 = min(limit,mf) xpnir([n P],T,Limit1,T1,Rolvio1,Soluo), ontinu(p,t(n,f/g,[t1 T]),Limit,Arvor1,Rolvio1,Rolvio,Soluo). % Co 4: não-olh om uárvor vzi % Bo m í qu nun rá rolvio xpnir(_,t(_,_,[]),_,_,nun,_) :-!. % Co 5: vlor > Limit, árvor não po rr xpnir(_,arvor,limit,arvor,no,_) :- (Arvor,F), F > Limit. % ontinu(cminho,arvor,limit,novarvor,survorrolvi,arvorrolvi,soluo) ontinu(_,_,_,_,im,im,_). % olução nontr % Limit ultrpo, prourr outr uárvor pr xpnir ontinu(p,t(n,f/g,[t1 T]),Limit,Arvor1,no,Rolvio,Soluo) :- inrir(t1,t,nt), mlhor(nt,f1), xpnir(p,t(n,f1/g,nt),limit,arvor1,rolvio,soluo). % nonr T1 poi é o m í ontinu(p,t(n,f/g,[t1 T]),Limit,Arvor1,nun,Rolvio,Soluo) :- mlhor(t,f1), xpnir(p,t(n,f1/g,t),limit,arvor1,rolvio,soluo). % vli(g0,[no1/cuto1,...],[l(mlhorno,mlhorf/g,...]) % orn lit olh plo u vlor- vli(_,[],[]). vli(g0,[n/c NoAvlio],T) :- G i G0 + C, h(n,h), F i G + H, vli(g0,noavlio,avlio), inrir(l(n,f/g),avlio,t) Aloritmo Bt-Firt (ont.) Bt-Firt % inr T n lit árvor T mntno orm o vlor- inrir(t,t,[t T]) :- (T,F), mlhor(t,f1), F =< F1,!. inrir(t,[t1 T],[T1 T1]) :- inrir(t,t,t1). % Otr o vlor (l(_,f/_),f). % vlor- um olh (t(_,f/_,_),f). % vlor- um árvor mlhor([t _],F) :- % mlhor vlor- um lit árvor (T,F). mlhor([],9999). % Nnhum árvor: inir vlor- ruim min(x,y,x) :- X =< Y,!. min(x,y,y). prtn(e,[e _]). prtn(e,[_ T]) :- prtn(e,t). O loritmo prnto é um vrição o loritmo onhio om A* Um loritmo u é hmo miívl l mpr prouz um olução ótim (minho uto mínimo), umino qu um olução xit A implmntção prnt, qu prouz to oluçõ trvé ktrkin po r onir miívl primir olução nontr é ótim Pr nó n no pço to vmo notr h*(n) omo no o uto um minho ótimo n té um nó inl Um torm or miiili A* iz qu um loritmo A* qu utiliz um unção huríti h tl qu pr too o nó no pço to h(n) <= h*(n) é miívl 16 17

22 Bt-Firt Et rulto tm rn vlor prátio Mmo qu não onhçmo o xto vlor h*, nó ó primo hr um limit inrior pr h* utilizá-l omo h m A* Ito é uiint pr rntir qu A* irá nontrr um olução ótim Bt-Firt Há um limit inrior trivil h(n) = 0 pr too n no pço to Emor t limit trivil rnt miiili u vntm é qu não há nnhum huríti im não há omo ornr nnhum uxílio pr u, rultno m lt omplxi A* uno h=0 omport- orm imilr à u m lrur D to, A* omport xtmnt iul à u m lrur too o ro ntr nó têm uto unitário, ou j, (X,Y,1) Bt-Firt Complxi A* Portnto é intrnt utilizr h>0 pr rntir miiili h o mi próximo poívl h* (h<=h*) pr rntir iiêni S múltipl huríti tão iponívi: h(n) = mx{h 1 (n), h (n),, h m (n)} D mnir il, h* é onhi, pomo utilizr h* irtmnt A* utilizno h* nontr um olução ótim irtmnt, m nun prir rlizr ktrkin A utilizção huríti pr uir o loritmo t-irt ruz u pn um rião o pço o prolm Apr rução no orço u, orm omplxi é in xponnil n prouni u Io é válio pr tmpo mmóri um vz qu o loritmo mntém too o nó ro Em ituçõ práti o pço mmóri é mi rítio A* po utilizr to mmóri iponívl m qutão minuto Complxi A* Alum vriçõ A* orm nvolvi pr utilizr mno mmóri, pnlizno o tmpo A iéi ái é imilr à u m prouni itrtiv O pço nário ruz xponnil pr linr n prouni u O prço é r-xpnão nó já xpnio no pço u Vrmo u téni: (Itrtiv Dpnin A*) (Ruriv Bt-Firt Srh) é imilr à u m prouni itrtiv N u m prouni itrtiv u m prouni ão rliz m limit rnt prouni; m itrção u m prouni é limit plo limit prouni tul Em u m prouni ão limit plo limit tul rprntno vlor- o nó 1 1

23 prour itr(iniio,soluo) ()=6 Limit (Iniio) rpt Iniino no nó Iníio, rliz u m prouni ujit à onição qu um nó N é xpnio pn (N) <= Limit i u m prouni nontrou nó inl thn iniqu Solução nontr l Clul NovoLimit omo o mínimo vlor- o nó lnço o ultrpr Limit, ou j, NovoLimit min{(n): N ro pl u (N) > Limit} ni Limit NovoLimit until Solução nontr Etu u m prouni limit por <=6, iniino no nó Limit = ()=6 ()=6 ()=7 > Limit ()=7 > Limit ()=9 > Limit Etu u m prouni limit por <=6, iniino no nó Etu u m prouni limit por <=6, iniino no nó Limit = 6 Limit = ()=6 ()=6 ()=7 > Limit ()=9 > Limit NovoLimit = mín{7,9} = 7 Etu u m prouni limit por <=7, iniino plo nó Limit = 7 Limit =

24 ()=6 ()=6 ()=7 ()=7 ()=8 > Limit Limit = 7 Limit = ()=6 ()=6 ()=7 ()=9 > Limit ()=7 ()=9 > Limit ()=8 > Limit ()=8 > Limit NovoLimit = mín{8,9} = 8 Etu u m prouni limit por <=8, iniino plo nó Limit = 7 Limit = ()=6 ()=6 ()=7 Limit = 8 Limit =

25 ()=6 ()=6 ()=7 ()=7 ()=8 ()=8 ()=10 > Limit Limit = 8 Limit = ()=6 ()=6 ()=7 ()=9 > Limit ()=7 ()=9 > Limit ()=8 ()=10 > Limit ()=8 ()=10 > Limit NovoLimit = mín{10,9} = 9 Etu u m prouni limit por <=9, iniino plo nó Limit = 8 Limit = ()=6 ()=6 ()=7 Limit = 9 Limit =

26 ()=6 ()=6 ()=7 ()=7 ()=8 ()=8 ()=10 > Limit Limit = 9 Limit = ()=6 ()=6 ()=7 ()=9 ()=7 ()=9 ()=8 ()=8 ()=11 > Limit ()=10 > Limit ()=10 > Limit Limit = 9 Limit = ()=6 ()=6 ()=7 ()=9 ()=8 ()=10 > Limit NovoLimit = mín{10,11} = 10 Etu u m prouni limit por <=10, iniino plo nó ()=11 > Limit Limit = 10 Limit =

27 ()=6 ()=6 ()=7 ()=7 ()=8 Limit = 10 Limit = ()=6 ()=6 ()=7 ()=7 ()=8 ()=8 ()=10 ()=10 Limit = 10 ()=1 > Limit Limit = ()=6 ()=6 ()=7 ()=9 ()=7 ()=9 ()=8 ()=8 ()=11 > Limit ()=10 ()=10 ()=1 > Limit Limit = 10 ()=1 > Limit Limit =

28 ()=6 ()=6 ()=7 ()=9 ()=8 ()=10 NovoLimit = mín{11,1} = 11 Etu u m prouni limit por <=11, iniino plo nó ()=11 > Limit ()=1 > Limit Limit = 11 Limit = ()=6 ()=6 ()=7 ()=7 ()=8 Limit = 11 Limit = ()=6 ()=6 ()=7 ()=7 ()=8 ()=8 ()=10 ()=10 Limit = 11 ()=1 > Limit Limit =

29 ()=6 ()=6 ()=7 ()=9 ()=7 ()=9 ()=8 ()=8 ()=11 ()=10 ()=10 ()=1 > Limit Limit = 11 ()=1 > Limit Limit = ()=6 ()=6 ()=7 ()=9 ()=7 ()=9 ()=8 ()=11 ()=8 Com u m prouni om Limit = 11 um olução é nontr ()=11 ()=10 ()=11 ()=10 ()=11 ()=1 > Limit Limit = 11 ()=1 > Limit Limit = 11 t (t)= % Aum qu 9999 é mior qu qulqur vlor- :- ynmi proximo_limit/1,oluo/1. rolv(no,soluo) :- rtrt(proximo_limit(_)), % limp proximo limit il ; rt(proximo_limit(0)), % iniiliz proximo limit itr(l(no,0/0),soluo). itr(l(n,f/g),soluo) :- rtrt(proximo_limit(limit)), rt(proximo_limit(9999)), (l(n,f/g),[n],limit,soluo). itr(no,soluo) :- proximo_limit(limit), Limit < 9999, itr(no,soluo). % (No,Cminho,Limit,Soluo) % Rliz u m prouni ntro Limit % Cminho é um minho ntr nó iniil t o No tul % F ' o vlor- o no tul qu nontr no iniio o Cminho % Co 1: nó N inl ntro Limit, ontruir minho oluo (l(n,f/g),[n P],Limit,[N P]) :- F =< Limit, inl(n). % Co : nó N om vlor- <= Limit % Grr uor N xpnir ntro Limit (l(n,f/g),[n P],Limit,Soluo) :- F =< Limit, (N,M,Cuto), \+ prtn(m,p), Gm i G + Cuto, % vlir no' M h(m,hm), Fm i Gm + Hm, (l(m,fm/gm),[m,n P],Limit,Soluo)

30 % Co : vlor > Limit, tulizr proximo limit % lhr (l(n,f/g),_,limit,_) :- F > Limit, tuliz_proximo_limit(f), il. tuliz_proximo_limit(f) :- proximo_limit(limit), Limit =< F,! % no ltr proximo limit ; rtrt(proximo_limit(limit)),!, % iminu proximo limit rt(proximo_limit(f)). prtn(e,[e _]). prtn(e,[_ T]) :- prtn(e,t). Um propri intrnt rr- à u miiili Aumino (n) = (n)+h(n), h é miívl (h(n) <= h*(n)) ntão é rntio qu nontr um olução ótim Entrtnto, não é rntio qu xplor o nó mm orm qu t-irt (ou j, n orm vlor- rnt) Quno não é orm =+h é não monotôni Vimo qu poui um implmntção impl Entrtnto, no pior o, quno o vlor- não ão omprtilho ntr vário nó ntão muito limit uivo vlor- ão nário nov u m prouni xpnirá pn um novo nó nqunto too o mi ão pn r-xpnõ nó xpnio quio N itução xit um téni pr onomizr pço nomin (ruriv t-irt rh) é imilr A*, m nqunto A* mntém m mmóri too o nó xpnio, pn mntém o minho tul im omo u irmão Quno upn tmporrimnt um uproo u (porqu l ixou r o mlhor), l qu uárvor u pr onomizr pço Aim omo, é pn linr n prouni o pço to m qunti mmóri nári O únio to qu rmzn or uárvor u non é o vlor- tulizo riz uárvor O vlor- ão tulizo opino- o vlor- orm imilr o loritmo A* Pr itinuir ntr o vlor- tátio qul opio, urmo: (n) = vlor- o nó n utilizno unção vlição (mpr o mmo vlor urnt u) F(n) = vlor- opio (é ltro urnt u um vz qu pn o nó nnt n) F(n) é ini omo: F(n) = (n) n nun oi xpnio urnt u F(n) = mín{f(n i ) : n i é um ilho n} Aim omo A*, xplor uárvor ntro um limit vlor- O limit é trmino plo vlor-f o ilho o lono o minho tul (o mlhor vlor-f o ilho, ou j, o vlor-f o omptior mi promior o nó tul) Sj n o mlhor nó (qul om mnor vlor-f) Então n é xpnio u ilho ão xploro té lum limit vlor- Quno o limit é xio (F(n) > Limit) ntão too o nó xpnio prtir n ão quio Entrtnto, o vlor F(n) tulizo é rtio utilizo n ião m omo u v ontinur

31 O vlor-f ão trmino não pn opino o vlor otio prtir um o ilho m tmém ão hro o nó pi uint orm Sj n um nó qu v r xpnio pl u S F(n)>(n) ntão mo qu n v tr io xpnio ntriormnt qu F(n) oi trmino prtir o ilho n, m o ilho orm rmovio mmóri Suponh qu um ilho n i n j novmnt xpnio o vlor tátio (n i ) j lulo novmnt Então F(n i ) é trmino omo no i (n i )<F(n) thn F(n i ) F(n) l F(n i ) (n i ) qu po r rito omo: F(n i ) máx{f(n), (n i )} F()=7 F()=9 F()=7 F()=9 O mlhor nito é o nó, poi F()<F(). A u prou vi F()=8 Limit = 9 Limit = F()=7 F()=9 F()=10 F()=9 F()=8 F()=10 > Limit Como F() > Limit, o minho --- é tmporrimnt nono o nó ão rmovio mmóri; o vlor F()=10 é ntão opio pr o nó, ou j, F() = 10 Limit = 9 Limit =

32 F()=10 F()=9 F()=10 F()=11 Como F() > Limit, o minho -- é tmporrimnt nono o nó é rmovio mmóri; o vlor F()=11 é ntão opio pr o nó, ou j, F() = 11 F()=11 > Limit Limit = 10 Limit = F()=10 F()=11 F()=10 F()=11 F()=10 F()=10 F()=10 Limit = 11 Limit = F()=10 F()=11 F()=1 F()=11 F()=10 F()=10 Como F() > Limit, o minho ---- é tmporrimnt nono o nó, ão rmovio mmóri; o vlor F()=1 é ntão opio pr o nó, ou j, F()=1 F()=1 > Limit Limit = 11 Limit =

33 F()=1 F()=11 F()=1 F()=11 F()=11 F()=11 F()=11 Limit = 1 Limit = F()=1 Com u om Limit = 1 um olução é nontr Limit = 1 t F()=11 F()=11 F()=11 F(t)=11 r(cminho,filho,limit,novomlhorff,rolvio, Soluo): Cminho = minho té ntão n orm rvr Filho = ilho ç o Cminho Limit = limit uprior no vlor-f u pr o Filho NovoMlhorFF = mlhor vlor- jutmnt quno u ultrp Limit Rolvio = im, não, nun Soluo = minho oluço, Rolvio = im Rprnto o no: No = l(eto,g/f/ff) G é o uto té Eto F é o vlor- tátio Eto FF é o vlor- Eto opio % Aum qu 9999 é mior qu qulqur vlor- rolv(no,soluo) :- r([],[l(no,0/0/0)],9999,_,im,soluo). % r(cminho,filho,limit,novomlhorff,rolvio,soluo) r(cminho,[l(no,g/f/ff) No],Limit,FF,no,_) :- FF > Limit,!. r(cminho,[l(no,g/f/ff) _],_,_,im,[no Cminho]) :- F = FF, % Motrr oluo pn um vz,quno F=FF inl(no). r(_,[],_,_,nun,_) :-!. % Sm nito,o m i r(cminho,[l(no,g/f/ff) N],Limit,NovoFF,Rolvio,Sol) :- FF =< Limit, % Dntro Limit: rr ilho inll(filho/cuto, ((No,Filho,Cuto),\+ prtn(filho,cminho)), Filho), hrr(f,ff,ffhro), % Filho pom hrr FF vli(g,ffhro,filho,suor), % Ornr ilho mlhor(n,proximomlhorff), % FF o omptior mi promior o ilho min(limit,proximomlhorff,limit),!, r([no Cminho],Suor,Limit,NovoFF,Rolvio,Sol), ontinu(cminho,[l(no,g/f/novoff) N],Limit, NovoFF,Rolvio,Rolvio,Sol). % ontinu(cminho,no,limit,novoff,filhorolvio,rolvio,soluo) ontinu(cminho,[n N],Limit,NovoFF,nun,Rolvio,Sol) :-!, r( Cminho,N,Limit,NovoFF,Rolvio,Sol). % N é um o m i ontinu(_,_,_,_,im,im,sol). ontinu(cminho,[n N],Limit,NovoFF,no,Rolvio,Sol) :- inrir(n,n,novon),!,% Aurr qu ilho o orno plo vlor r(cminho,novon,limit,novoff,rolvio,sol). vli(_,_,[],[]). vli(g0,ffhro,[no/c NC],No) :- G i G0 + C, h(no,h), F i G + H, mx(f,ffhro,ff), vli(g0,ffhro,nc,no), inrir(l(no,g/f/ff),no,no). hrr(f,ff,ff) :- % Filho hr FF o pi FF > F,!. % FF o pi ' mior qu F o pi hrr(f,ff,0)

34 Rumo inrir(l(n,g/f/ff),no,[l(n,g/f/ff) No]) :- mlhor(no,ff), FF =< FF,!. inrir(n,[n1 N],[N1 N1]) :- inrir(n,n,n1). mlhor([l(n,f/g/ff) N],FF). % Primiro no' = mlhor FF mlhor([],9999). % Sm no FF = "ininito" prtn(e,[e _]). prtn(e,[_ T]) :- prtn(e,t). min(x,y,x) :- X =< Y,!. min(x,y,y). Vimo qu o loritmo nitm qunti pço linr n prouni u Dirntmnt omo A*, xpn nó n orm t-irt mmo no o um unção não monotôni mx(x,y,x) :- X >= Y,!. mx(x,y,y) Sli o no livro: Brtko, I.; Prolo Prormmin or Artiiil Intllin, r Eition, Pron Eution, 001. Clokin, W.F.; Mllih, C.S.; Prormmin in Prolo, 5th Eition, Sprinr-Vrl, 00. Mtril loro por Joé Auuto Brnuk Rvião 006 0