SOLUÇÃO DAS ATIVIDADES COM POLIMINÓS
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- Valdomiro Borja Rico
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1 SOLUÇÃO DAS ATIVIDADES COM POLIMINÓS 1. Construção de dominó e triminós. monominó dominó triminós 2. Recobrimento de um tabuleiro de xadrez com dominós. No tabuleiro de xadrez depois de retirar os dois cantos de cor preto, restaram 30 casas pretas e 32 casas brancas. Como todos os dominós são pintados metade branca e metade preto então não é possível cobrir com eles o tabuleiro onde agora existem duas casas brancas a mais. 3. Formação de quadrados com cópias congruentes de cada triminó. I. Quadrado 3x3 formado por 3 triminó I. II. Quadrado 6x6 formado por 12 triminó L. I II 4. Formação de quadrados com o menor número possível de triminó L e um monominó. I II I. Quadrado 2x2 formado por um triminó L e um monominó. II. Quadrado 4x4 formado por cinco triminó L e 1 monominó.
2 5. Formação de quadrados com os triminós I e L. I II I. Quadrado formado com onze triminó L e um triminó I. II. Quadrado formado com dez triminó L e dois triminó I. 6. i. Construção de polígono não convexo com cópias congruentes do triminó L. ii. Formação de polígonos não convexos com cópias dos triminós I e L. 7. Formação de retângulos com o menor número possível de triminó I ou de triminó L, indicando as dimensões dos quadriláteros. Retângulos com triminó I: 1x3 2x3 3x4 Retângulos com triminó L: 2x3 3x4
3 8. Formação de um retângulo semelhante ao triminó I com o menor número possível de triminó L. Retângulo R formado com quatro triminó L. A razão de semelhança entre R e o triminó I é k = Construção de uma figura semelhante ao triminó L com o menor número possível de triminó I. Polígono S formado com nove triminó L. A razão de semelhança entre S e o triminó L é k = Construção de uma figura semelhante ao triminó L com o menor número possível de triminó I e triminó L. Duas soluções: I II I. Triminó L formado por um triminó I e três triminós L. II. Triminó L formado por três triminó I e um triminó L. 11. Representação dos tetraminós.
4 12. Classificação dos tetraminós pelo número de lados e pelo número de vértices. Tetraminó Letra de apresentação Q T I N L Lados Vértices Classificação dos tetraminós pela convexidade. Polígonos convexos: Polígonos não convexos: 14. Formação de polígonos não convexos. i. Construção de polígonos não convexos com quatro tetraminós congruentes. ii. Construção de polígonos não convexos usando todos os tetraminós.
5 15. i. Formação de quadrados 4x4 com o menor número possível de cópias de cada tetraminó. ii. Com cópias do tetraminó N não é possível construir quadrado. 16. Construção de quadrados 4x4 com cópias de dois ou mais tipos diferentes de tetraminós. 1L, 1N e 2T 1I, 2L e 1Q 1I, 2L e 1N 2L e 2Q 17. Verificação da veracidade das afirmações: i. Falso. O tetraminó Q tem perímetro P = 8u, todos os outros tetraminós têm perímetro P = 10u. ii. Verdadeira. Todos os tetraminós têm área A = 4 u 2. Conclusão: os tetraminós não são figuras isoperimétricas e eles são figuras equivalentes, isto é, figuras planas que têm a mesma área.
6 18. Construção de polígonos com cópias do tetraminó L e cálculo do perímetro P de cada figura. P = 22u P = 24u 19. i. Exemplos de diferentes figuras poligonais utilizando quatro tetraminós congruentes. P = 20u P = 20u P = 16u P = 20u P = 20u P = 16u P = 20u P = 20u P = 20u ii. Das figuras de (i) o quadrado tem o perímetro P mínimo, P = 16u.
7 20. Simetrias dos tetraminós: i. Simetria axial. Os tetraminós L e N não possuem simetria axial. ii. Simetria central. Somente os tetraminós I, N e Q possuem simetria central. iii. Simetria rotacional. O tetraminó Q tem simetria rotacional de ordem 4. O tetraminó I possui simetria rotacional de ordem 2. Os tetraminós I, L e N não possuem simetria rotacional. Observação. O tetraminó L não possui simetrias axial, central ou rotacional.
8 21. Representação de retângulos utilizando o menor número possível de tetraminós em cada construção. I II III IV V VI VII VIII IX X XI I. Retângulo 2x4, formado por dois L. II. Retângulo 4x5, formado por um I, um L, um N e dois T. III. Retângulo 4x6, formado por seis L. IV. Retângulo 4x6, formado por dois L, dois N e dois T. V. Retângulo 4x6, formado por um I, dois L, um N e dois Q. VI. Retângulo 4x6, formado por dois N e quatro T. VII. Retângulo 3X8, formado por seis L. VIII. Retângulo 3x8, formado por um I, dois L, dois N e um Q. IX. Retângulo 4x8, formado por oito T. X. Retângulo 5x8, formado por dez L. XI. Retângulo 6x8, formado por doze L.
9 22. Determinação da semelhança dos retângulos da Atividade 21. Os retângulos I e IX são semelhantes, com razão de semelhança k = i. Construção de figuras com a forma de tetraminós. I II III IV V VI VII I. Figura com forma do tetraminó I formada por quatro I. II. Figura com forma do tetraminó I formada por quatro L. III. Figura com forma do tetraminó L formada por quatro Q. IV. Figura com forma do tetraminó L formada por quatro L. V. Figura com forma do tetraminó N formada por quatro L. VI. Figura com forma do tetraminó T formada por quatro L. VII. Figura com forma do tetraminó Q formada por quatro Q. As figuras I e II são semelhantes ao tetraminó I com razão de semelhança k = 2. As figuras III e IV são semelhantes ao tetraminó L com razão de semelhança k = 2. As figuras V, VI e VII são semelhantes aos tetraminós N, T e Q, respectivamente, com razão de semelhança k = 2.
10 24. i. Construção de uma figura (I) em forma de T com dezesseis tetraminó T. I ii. Comparação da figura I com as figuras II e III; determinação das possíveis semelhanças. II III As figuras (I), (II) e (III) são semelhantes com as seguintes razões de semelhança k: Figuras (I) e (III): k = 2. Figuras (III) e (II): k = 2. Figuras (I) e (II): k = 4.
11 25. i. Formação dos pentaminós. Um exemplo de construção: - Cinco quadrados alinhados - Quatro quadrados alinhados e o quinto quadrado é colocado nas duas únicas posições possíveis. - Três quadrados alinhados, o quarto quadrado fixo aderido ao central e o quinto quadrado ocupa as diferentes posições relativas possíveis. - Três quadrados alinhados, o quarto quadrado fixo aderido a um dos terminais e o quinto quadrado ocupa as diferentes posições relativas possíveis. - Com dois quadrados alinhados somente existe uma configuração possível. ii. Representação e identificação dos Pentaminós. F I L N P T U V W X Y
12 26. Classificação dos pentaminós pelo número de lados e pelo número de vértices. Pentaminós F I L N P T U V W X Y Z Lados Vértices Construção de polígonos não convexos com 2, com 3, com 4,..., com todos os 12 pentaminós.
13 28. i. A quantidade máxima de pentaminós de diferente tipo com os quais é possível formar um quadrado é cinco pentaminós. ii. O perímetro P do quadrado 5x5 é P = 20u. 29. Formação de quadrados com lados medindo cinco unidades, 5u, chamamos de quadrados 5x O conjunto dos 12 pentaminós soma 60 quadrados unitários, 60u², não forma quadrado. Para formar um quadrado temos que acrescentar 4u², para obter uma superfície com 64u² de área. 31. i. Formação de quadrados com os 12 pentaminós e com o tetraminó Q no centro do quadrado. ii. Formação de quadrados com os 12 pentaminós e com o tetraminó Q em diferentes posições no quadrado, exceto no centro.
14 32. Formação de quadrados com 12 pentaminós e com quatro monominós colocados em diferentes posições no quadrado. 33. Separação dos doze pentaminós em dois conjuntos com seis peças cada um e representação de um retângulo 6x5 com cada conjunto de peças.
15 34. Exemplos de construção de retângulos com pentaminós, com variação das peças que formam cada quadrilátero. I II III IV V VI VII VIII IX X. XI XII Dimensões dos retângulos. I: 5x3. II: 12x3. III: 10x3. IV: 15x3. V: 5x4. VI: 6x4. VII: 10x4. VIII: 6x5. IX: 7x5. X: 8x5. XI: 9x5. XII: 11x5.
16 35. Construção de retângulos usando todos os 12 pentaminós. I II III IV Dimensões dos retângulos. I: 10x6. II: 12x5. III: 15x4. IV: 20x Construção de um retângulo de dimensões 5x13 com todos os doze pentaminós e com uma cópia extra da peça Z no centro.
17 37. Separação dos doze pentaminós em dois conjuntos e representação de um retângulo com as peças de cada conjunto. i. Os pentaminós são separados em um conjunto de três peças e outro conjunto com as nove peças restantes. Formação dos retângulos: o primeiro é 5x3 e o segundo é um retângulo 9x5. ii. Os pentaminós são separados em um conjunto de quatro peças e outro conjunto com oito peças. Formação dos retângulos: o primeiro é 5x4 e o segundo é um retângulo 10x Separação dos pentaminós em três conjuntos de quatro peças cada um e representação de um par de figuras congruentes com os pentaminós de cada conjunto. Exemplo 1: Exemplo 2:
18 39. Separação dos pentaminós em três conjuntos de quatro peças cada um. Construção de um retângulo 3x7 com cada conjunto de quatro pentaminós e um monominó. 40. Separação dos doze pentaminós em três conjuntos de quatro peças cada um. Representação de três figuras congruentes construídas com os três conjuntos diferentes de pentaminós. 41. Exemplos de representação de pares de figuras congruentes construídas com dois conjuntos diferentes de seis pentaminós. Exemplo 1: Exemplo 2: Exemplo 3:
19 42. Verificação que a menor região no tabuleiro de xadrez onde encaixe cada uma das doze peças do pentaminó tomadas uma de cada vez, está formada por nove quadrados unitários. Dois exemplos dessas regiões: 43. Simetrias dos pentaminós. i. Simetria axial. Os pentaminós F, L, N, P, Y e Z não possuem simetria axial. ii. Simetria central. Somente os pentaminós I, X e Z possuem simetria central, o centro de simetria dos polígonos é o ponto de interseção das diagonais ou o ponto de interseção das diagonais internas no caso dos polígonos não convexos. iii. Simetria rotacional. O pentaminó I possui simetria rotacional de ordem 2. O pentaminó X tem simetria rotacional de ordem 4. O pentaminó Z possui simetria rotacional de ordem 2. Os pentaminós F, L, N, P, T, U, V, W e Y não possuem simetria rotacional.
20 44. Exemplos de construção de diferentes figuras planas com todos os pentaminós e determinação de todas as simetrias que possui cada uma dessas figuras. I II III IV V VI VII VIII IX
21 45. Determinação de todas as simetrias que possui cada uma das figuras planas da Atividade Simetria axial: - Simetria central: as três figuras têm simetria central. O centro de simetria é o centro do buraco central de cada figura. - Simetria rotacional: As figuras (IV), (VII) e (IX) têm simetria rotacional de ordem 2. As figuras (II) e (VI) têm simetria rotacional de ordem 4.
22 46. A razão de semelhança entre os quadrados da Atividade 29 e da Atividade 31 é k = Dentre as figuras das Atividades 34, 35, 36 e 37, somente são semelhantes os seguintes retângulos: (I) da Atividade 34 e (I) da Atividade 35. A razão de semelhança é k = Exemplos de construção de uma figura com dois pentaminós e com oito pentaminós, escolhidos entre as peças restantes, formação de uma figura com a mesma forma que a primeira. Exemplo 1: Exemplo 2: Exemplo 3:
23 49. Separação dos pentaminós em três conjuntos, dois conjuntos de duas peças e as peças restantes no terceiro conjunto. Com os conjuntos de dois pentaminós, formação das figuras congruentes (I) e (II). Com as peças do terceiro conjunto, formação da figura (III) com a mesma forma das figuras (I) e (II). I II III 50. Duplicação dos Pentaminós i. Seleção de um pentaminó e com outras quatro peças montagem de uma figura semelhante à peça escolhida. O pentaminó original não é uma das quatro peças. ii. Os dois únicos pentaminós que não podem ser duplicados são os pentaminós V e X.
24 51. Triplicação dos pentaminós. Seleção de um pentaminó e com outras nove peças montagem de uma figura semelhante à peça escolhida. O pentaminó original não é uma das nove peças. Esta triplicação pode ser realizada para cada um dos doze pentaminós.
25 52. Construção de retângulos com área: (I) A = 45 u 2 ; (II) A = 55 u 2. I II 53. i. Com todos os pentaminós, construção de uma figura da mesma forma que o pentaminó P. ii. A figura representada acima não é semelhante ao pentaminó P. 54. Exemplos de construção de uma cerca com forma arbitrária em volta do maior campo poligonal possível, com seis pentaminós diferentes. Em cada caso, cálculo da área A da superfície poligonal cercada pelas seis peças, cálculo do perímetro interno P i e do perímetro externo P e da cerca. Exemplo 1. Área: A = 20u² Perímetro interno: P i = 22u Perímetro externo: P e = 36u Exemplo 2. Área: A = 17u² Perímetro interno: P i = 22u Perímetro externo: P e = 38u
26 55. Construção de uma cerca com forma arbitrária em volta do maior campo poligonal possível, com oitos pentaminós diferentes. Cálculo da área A da superfície poligonal cercada pelas oito peças. Também, cálculo do perímetro interno P i e do perímetro externo P e da cerca. Área: A = 53u² Perímetro interno: P i = 32u Perímetro externo: P e = 48u 56. Construção de uma cerca com forma arbitrária em volta do maior campo poligonal possível, com noves pentaminós diferentes. Cálculo da área A da superfície poligonal cercada pelas nove peças. Também cálculo do perímetro interno P i e do perímetro externo P e da cerca. Área: A = 57u² Perímetro interno: P i = 34u Perímetro externo: P e = 54u
27 57. Construção de uma cerca com forma arbitrária em volta do maior campo poligonal possível, com os doze pentaminós. Cálculo da área A da superfície poligonal cercada pelas doze peças. Também cálculo do perímetro interno P i e do perímetro externo P e da cerca. Exemplo 1. Área: A = 128u² Perímetro interno: P i = 52u Perímetro externo: P e = 66u Exemplo 2. Área: A = 128u² Perímetro interno: P i = 52u Perímetro externo: P e = 66u Exemplo 3. Área: A = 127u² Perímetro interno: P i = 52u Perímetro externo: P e = 66u
28 58. Construção de uma cerca em volta do maior campo retangular possível, com as doze pentaminós. Cálculo da área A da superfície retangular cercada pelas doze peças. Também cálculo do perímetro interno P i e do perímetro externo P e da cerca. Exemplo 1. A superfície cercada é um quadrado. Área: A = 81u² Perímetro interno: P i = 36u Perímetro externo: P e = 72u Exemplo 1. A superfície cercada é um retângulos. Área: A = 90u² Perímetro interno: P i = 38u Perímetro externo: P e = 68u
29 59. Construção de uma cerca retangular em volta do maior campo com forma poligonal possível, com os doze pentaminós. Cálculo da área A da superfície poligonal cercada pelas doze peças. Também, cálculo do perímetro interno P i e do perímetro externo P e da cerca. Exemplo 1. Área: A = 51u² Perímetro interno: P i = 46u Perímetro externo: P e = 42u Exemplo 2. Área: A = 50u² Perímetro interno: P i = 46u Perímetro externo: P e = 42u 60. Construção de uma cerca retangular em volta do maior campo retangular possível, com os doze pentaminós. Cálculo da área A da superfície retangular cercada pelas doze peças. Também, cálculo do perímetro interno P i e do perímetro externo P e da cerca. Área: A = 28u² Perímetro interno: P i = 22u Perímetro externo: P e = 38u
30 61. Construção de superfícies poligonais com todos os pentaminós. Cálculo da área A e do perímetro P de cada uma dessas superficies. Exemplo 1. Área: A = 89u² Perímetro: P = 60u Exemplo 2. Área: A = 89u² Perímetro: P = 44u
31 62. Material: Pentaminós. i. Seccione cada um dois pentaminós em quatro partes congruentes. ii. Determine quais são os três pentaminós que não podem ser seccionados em quatro partes congruentes. 63. Construção de frisos no plano, formados com cópias congruentes de um triminó. 64. Formação de diferentes frisos no plano, formados com cópias congruentes de um tetraminó.
32 65. Construção de diferentes frisos no plano, formados com cópias congruentes de um pentaminó. : 66. Material: Pentaminós. Construa diferentes frisos no plano, cada um deles formado com cópias congruentes de dois ou mais pentaminós.
33 67. Exemplos de representação de diferentes pavimentações do plano, cada uma delas formada com cópias congruentes de um triminó. 68. Exemplos de construção de mosaicos no plano, formados com cópias congruentes de um tetraminó.
34 69. Exemplos de construções de pavimentações do plano formadas com cópias de dois ou mais tetraminós. 70. Exemplo de construção de pavimentação do plano formada com os cinco tetraminós.
35 71. Exemplos de construção de pavimentações monoédricas do plano com cada um dos pentaminós.
36 72. Com os seguintes pentaminós é possível formar uma caixa cúbica sem tampa. Não é possível formar caixa cúbica sem tampa com os pentaminós: I, P, U, V. 73. i. Formação dos hexaminós. Um exemplo de construção: - Seis quadrados alinhados - Cinco quadrados alinhados e o sexto quadrado é colocado em todas as posições possíveis. - Quatro quadrados alinhados e os outros dois em todas as posições a um mesmo lado dos quatro. - Quatro quadrados alinhados e os outros dois um a cada lado dos quatro em todas as posições
37 - Três quadrados alinhados e os três restantes a um mesmo lado dos três em todas as posições. - Três quadrados alinhados e os outros, dois a um lado dos três e um do outro, em todas as posições. - Dois quadrados alinhados. ii. Representação do conjunto dos Hexaminós. 74. Análise da convexidade dos Hexaminós. Somente dois hexaminós são polígonos convexos: Os 33 hexaminós restantes são polígonos não convexos.
38 75. Simetrias dos hexaminós. i. Simetria axial. - Hexaminós com um eixo de simetria: - Hexaminó com dois eixos de simetria: - Os hexaminós restantes não possuem simetria axial. ii. Simetria central. - Hexaminós com centro de simetria: O centro de simetria dos polígonos, representado com um ponto colorido, é o ponto de interseção das diagonais ou o ponto de interseção das diagonais internas no caso dos polígonos não convexos. iii. Simetria rotacional. - Hexaminós com simetria rotacional de ordem 2: - Os hexaminós restantes não possuem simetria rotacional.
39 76. Calcule, em unidades de comprimento u, o maior e o menor perímetro dos hexaminós. - O maior perímetro P dos hexaminós é P = 14u. - O menor perímetro dos hexaminós é P = 10u. 77. Formação de cubo com hexaminós. Com cada um dos seguintes hexaminós pode ser formado um cubo. Para construir o cubo efetuar dobras pelos lados dos quadrados que são comuns a dois desses polígonos.
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