Exercícios. 1. (Uerj 2017) Considere o conjunto de números naturais abaixo e os procedimentos subsequentes:

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1 Probabilidade - Questões Extras Exercícios 1. (Uerj 01) Considere o conjunto de números naturais abaixo e os procedimentos subsequentes: A {0, 1,, 3, 4, 5, 6,, 8, 9} 1. Cada número primo de A foi multiplicado por 3. Sabe-se que um número natural P é primo se P 1 e tem apenas dois divisores naturais distintos.. A cada um dos demais elementos de A, foi somado o número Cada um dos números distintos obtidos foi escrito em apenas um pequeno cartão. 4. Dentre todos os cartões, foram sorteados exatamente dois cartões com números distintos ao acaso. A probabilidade de em pelo menos um cartão sorteado estar escrito um número par é: a) 5 1 b) 1 c) 13 4 d) 1 4. (Pucpr 016) A Dupla Diplomação é uma modalidade de intercâmbio da PUCPR que objetiva o aproveitamento de créditos, a partir de um convênio assinado entre a PUCPR e a instituição parceira, e permite ao aluno receber, ao final do curso, o diploma da PUCPR e também o da instituição onde realizou o período de estudos no exterior. A pergunta é a seguinte: sete pessoas pretendem fazer o intercâmbio na Universidade de Ferrara, na área de Arquitetura, e três pessoas pretendem cursar Economia na Universidade de Vic na Catalunha Espanha. Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas para uma entrevista que sorteará uma bolsa de estudos no exterior. Qual é a probabilidade dessas duas pessoas escolhidas pertencerem ao grupo que pretende estudar Economia na Espanha? a) 5 b) 1 c) 15 d) 3. e) (Unicamp 016) Uma moeda balanceada é lançada quatro vezes, obtendo-se cara exatamente três vezes. A probabilidade de que as caras tenham saído consecutivamente é igual a a) 4 b) 3. 8 c) d) (Unisc 016) Dentre um grupo formado por Engenheiros e 4 Matemáticos, três pessoas são escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um Engenheiro e dois Matemáticos é de a) 5% b) 35% c) 39% d) 50% e) 60% 5. (Pucmg 016) Dois ciclistas partem do posto onde estão, em direção à Praça das Flores e à Praça da Concha, localizadas na cidade, seguindo a ciclovia indicada no esquema: Em cada bifurcação encontrada na ciclovia, eles escolhem, com igual probabilidade, qualquer um dos caminhos e seguem adiante. Nessas condições, a probabilidade de eles chegarem à Praça das Flores é: a) 1 b) 3 c) 3 4 d) (G1 - ifal 016) Em um grupo de professores, quatro são de Física e 3 são de Matemática. Escolhidos dois professores ao acaso, qual é a probabilidade de pelo menos um deles ser de Matemática? a) b). c). 5 d). 5 e) 5.. (Ueg 016) Pedro jogou dois dados comuns numerados de 1 a 6. Sabendo-se que o produto dos números sorteados nos dois dados é múltiplo de 3, a probabilidade de terem sido sorteados os números 3 e 4 é uma em a) 18 b) 1 c) 10 d) 9 8. (Ufrgs 016) Dardos são lançados em direção a um alvo com a forma de um quadrado de lado 10, como representado na figura abaixo, tendo igual probabilidade de atingir qualquer região do alvo.

2 Se todos os dardos atingem o alvo e 50% atingem o quadrado de lado x, o valor inteiro mais próximo de x é a) 4. b) 5. c) 6. d). e) (Efomm 016) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a e que c seja sucessor de b ou que a, b e c sejam primos? a) 4 16 b) 16 c) d) e) (Upe-ssa 3 016) Selecionamos ao acaso duas arestas do prisma triangular regular representado abaixo. Qual é a probabilidade de elas não serem paralelas? 9. (Acafe 016) O Exame de Papanicolau é um teste usado para o diagnóstico do câncer cervical (câncer de colo de útero), muitas vezes causado pela infecção do papiloma vírus humano, HPV. Para avaliar a qualidade de diagnóstico do Exame Papanicolau, 600 mulheres de uma determinada região foram submetidas ao teste, sendo que 500 estavam sadias (sem câncer) e 100 estavam doentes (com câncer). Após o teste, verificou-se que, dos resultados referentes às mulheres sadias, 350 eram negativo e, dos resultados referentes às mulheres doentes, 94 deram positivo. a) 1 6 b) 1 3 c) 1 d) 3 e) 5 6 Analise as proposições abaixo e classifique-as em V - verdadeiras ou F - falsas. ( ) A probabilidade do teste Papanicolau ter resultado negativo, dentre as pacientes que não têm câncer, é de 58%. ( ) A probabilidade do teste Papanicolau ter resultado positivo, dentre as pacientes que realmente têm câncer, é 0,94. ( ) A probabilidade de uma paciente realmente ter câncer, dentre aquelas com resultado positivo no teste Papanicolau, é de 40,6%. ( ) A probabilidade de uma paciente não ter câncer, dentre aquelas com resultado negativo no teste Papanicolau, é aproximadamente 98%. ( ) A probabilidade de uma paciente realmente ter câncer, dentre aquelas com resultado negativo no teste Papanicolau, é inferior a %. A sequência correta, de cima para baixo, é: a) V - V - F - F - V b) F - F - V - V - V c) V - F - V - F - F d) F - V - F - V - V 1. (Usf 016) Em um grande hospital, há 500 leitos e todos estão ocupados. Uma das alas desse hospital é destinada a pessoas com HIV positivo. 40% dos internados são mulheres e sabe-se que, entre elas, 10% são HIV positivo. Entre os homens internados nesse hospital, 15% são HIV positivo. Escolhido um paciente ao acaso, qual a probabilidade de ele ser HIV positivo? 13. (Upe-ssa 016) Se dois dados idênticos e não viciados são lançados, a probabilidade de a soma dos pontos obtidos ser um múltiplo de ou um múltiplo de 3 é de aproximadamente a) 66,6% b) 60,0% c) 55,%

3 d) 35,3% e) 33,0% 14. (Pucpr 016) Uma máquina produz um certo tipo de peça para motores de combustão. A peça produzida pode estar sem defeito, com defeito, mas recuperável, ou defeituosa. A produção de cada peça custa R$ 1,50 e esta é vendida por R$ 4,50. A peça recuperável tem um custo adicional de R$ 1,00 pelo retrabalho e as defeituosas são descartadas. A probabilidade de uma peça ser recuperável é 0,0 e de ser defeituosa é de 0,01. O lucro esperado na produção de 00 peças é: a) R$ 45,50. b) R$ 58,00. c) R$ 5,00. d) R$ 80,50. e) R$ 884, (Unesp 016) Um dado convencional e uma moeda, ambos não viciados, serão lançados simultaneamente. Uma das faces da moeda está marcada com o número 3, e a outra com o número 6. A probabilidade de que a média aritmética entre o número obtido da face do dado e o da face da moeda esteja entre e 4 é igual a a) 1 3 b) 3 c) 1 d) 3 4 e) (Fac. Albert Einstein - Medicin 016) Em uma urna vazia foram colocadas fichas iguais, em cada uma das quais foi escrito apenas um dos anagramas da palavra HOSPITAL. A probabilidade de que, ao sortear-se uma única ficha dessa urna, no anagrama nela marcado as letras inicial e final sejam ambas consoantes é a) 5 14 b) 3 c) 4 d) (Ucs 016) Numa cidade com domicílios, deles têm acesso à internet, têm assinatura de TV a cabo, e um terço do número de domicílios não tem acesso a nenhum dos dois recursos. Qual é a probabilidade de um domicílio da cidade, escolhido ao acaso, ter acesso à internet e não ter assinatura de TV a cabo? a) 1 4 b) 1 1 c) 1 d) 3 8 e) (Ufrgs 016) No jogo de xadrez, cada jogador movimenta as peças de uma cor: brancas ou pretas. Cada jogador dispõe de oito peões, duas torres, dois cavalos, dois bispos, um rei e uma rainha. Escolhendo ao acaso duas peças pretas, a probabilidade de escolher dois peões é de a). 30 b). 0 c). 15 d) e) (Unesp 016) Uma colher foi solta 98 vezes ao acaso em direção ao chão. O registro da posição em que ela caiu sobre o chão está indicado na tabela total de lançament os Usando as informações da tabela, é correto concluir que a probabilidade de a colher cair sobre o chão virada para cima é a mesma probabilidade de se obter, no lançamento de um dado convencional honesto de seis faces, um número a) maior que 4. b) primo. c) menor que 6. d) múltiplo de 5. e) maior que. 0. (Fuvest 016) Em um experimento probabilístico, Joana retirará aleatoriamente bolas de uma caixa contendo bolas azuis e bolas vermelhas. Ao montar-se o experimento, colocam-se 6 bolas azuis na caixa. Quantas bolas vermelhas devem ser acrescentadas para que a probabilidade de Joana obter azuis seja 1? 3 a) b) 4 c) 6 d) 8 e) (Ufjf-pism 3 016) Na fase final do processo seletivo para o Mestrado em Matemática de uma certa universidade há 10 candidatos. Nessa fase, cada um dos 5 professores do corpo docente do departamento deve escolher apenas um dos candidatos para orientar, formando, assim, uma dupla do tipo (professor, aluno). Os cinco escolhidos serão os aprovados no processo e os demais serão reprovados. Qual é a probabilidade de João, um dos candidatos, ser aprovado para o Mestrado, e Maria, uma das professoras, ser a orientadora de João?

4 a) b) 10 c) 304 d) e) (Upe-ssa 3 016) Um cadeado está protegido pela combinação dos números em três cilindros numerados de 0 a 9 cada um, conforme a figura a seguir. Qual é a probabilidade de, numa única tentativa, se acertar um senha formada apenas por números primos? A probabilidade de que as 3 bolinhas retiradas sejam as mais leves é de: 1 a) b) 3 c) 3 1 d) e) (Upe 015) Dentre os esportes oferecidos aos estudantes de uma escola com alunos, temos o futebol como preferência, sendo praticado por 600 estudantes. 300 estudantes dessa mesma escola praticam natação, e 100 praticam ambos os esportes. Selecionando-se um estudante praticante de futebol para uma entrevista, qual a probabilidade de ele também praticar natação? a) 1 3 b) 3 c) 4 3 d) 1 6 e) 5 6 a) 6,0% b) 6,4% c),% d),8% e) 8,0% TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O gráfico abaixo apresenta informações sobre os números de livros lidos no mês passado pelos alunos de uma determinada turma. Sabendo-se que a informação de todos os alunos consta nesse gráfico, e que não há aluno que leu mais de 3 livros, utilize-o para responder à(s) questão(ões). (modificação no gráfico, para melhor representar a ideia envolvida) 3. (G1 - ifsp 016) Escolhido aleatoriamente um aluno dessa turma, a probabilidade de o aluno escolhido não ter lido livro no mês passado é: a) 3,5% b),5% c),5% d) 1,5% e),5% 4. (Pucrj 015) Em uma urna existem 10 bolinhas de cores diferentes, das quais sete têm massa de 300 gramas cada e as outras três têm massa de 00 gramas cada. Serão retiradas 3 bolinhas, sem reposição.

5 Gabarito: Resposta da questão 1: A probabilidade de nenhum dos dois cartões ter número par será igual a: P(x') Assim a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de pelo menos um cartão ter número par será de: 5 1 P(x') 1 P(x) 1 1 Resposta da questão : [C] O número de casos favoráveis é dado por 3 3, e o número de casos possíveis é 10 10! 45. Em consequência, a resposta! 8! é Resposta da questão 3: [C] (3) 4! Existem P4 4 modos de obter 3! exatamente 3 três caras em 4 lançamentos. Por outro lado, existem apenas duas maneiras de obter 3 caras consecutivamente: ccck e kccc. Em consequência, a probabilidade pedida é, 4 ou seja, Resposta da questão 4: A probabilidade pedida é dada por % 60% Resposta da questão 5: Como o próprio esquema apresenta, há três caminhos possíveis que os ciclistas podem fazer. Dois deles têm como destino final a Praça das Flores, e apenas um tem um destino diferente. Ou seja, a probabilidade de eles chegarem à Praça das Flores é em 3. Resposta da questão 6: A probabilidade de nenhum dos dois professores escolhidos ser de Matemática (evento B) será: P(B) 6 4 Assim, a probabilidade de pelo menos um deles ser de Matemática (evento A) será o universo de probabilidades menos a probabilidade do evento B, ou seja: 5 P(A) 1 P(A) Resposta da questão : [C] Os possíveis números sorteados são 6 (dados 6 e 1 ou 3 e ), 9 (dados 3 e 3), 1 (dados 4 e 3 ou e 6), 15 (dados 3 e 5), 18 (dados 3 e 6), 4 (dados 6 e 4), 30 (dados 6 e 5) e 36 (dados 6 e 6). Portanto, a probabilidade de terem sido sorteados os números 3 e 4 é uma em 10. Resposta da questão 8: Área do quadrado de lado 10 : 100 Área do quadrado de lado x: x Como a probabilidade de acertar o quadrado de lado x é de 50%, podemos escrever que: x 50 x 50 x 5 x 5 1,4 x Resposta da questão 9: 350 sadias(resultado negativo) 500 sadias apos teste 150 doentes(resultado positivo) 600 mulheres 94 sadias(resultado negativo) 100 doentes apos teste 6 doentes(resultado positivo) Portanto, [F] 350 0,0 0% 500 [V] 94 0,94 94% [F] 0, ,98% [V] 0,98 98% 350 6

6 6 [V] 0,016 1,6% Resposta da questão 10: Existem resultados possíveis para a sequência (a, b, c). Por outro lado, as sequências em que b é sucessor de a e c é sucessor de b são: (1,, 3), (, 3, 4), (3, 4, 5) e (4, 5, 6). Ademais sendo, 3 e 5 os primos entre 1 e 6, segue que o número de sequências com a, b e c primos é Em consequência, o número de casos favoráveis é 4 31 e, portanto, o 31 resultado é. 16 Resposta da questão 11: O total de casos de escolha de duas arestas entre as 9 arestas do prisma pode ser escrito como sendo C9 36. Observando-se a figura, percebe-se que o total de casos de duas retas não paralelas é 30. Logo, a probabilidade de selecionar duas retas do prisma e elas não serem paralelas é de: Resposta da questão 1: O número de mulheres com HIV positivo é igual a 0,4 0, Por outro lado, o número de homens soropositivos é 0,6 0, Portanto, a probabilidade pedida é igual a % 13%. 500 Resposta da questão 13: Pelo Princípio Multiplicativo, segue que o número de resultados possíveis no lançamento de dois dados é igual a Os resultados cuja soma não seja um múltiplo nem de e nem de 3, são: (1, 4), (1, 6), (, 3), (, 5), (3, ), (3, 4), (4, 1), (4, 3), (5, ), (5, 6), (6, n(t) 1), (6, ). e n(i T) 40000, vem Portanto, segue que a resposta é ,% Resposta da questão 14: R$ 58,00; o lucro com as peças recuperáveis é 4 R$ 8,00; e o prejuízo com as peças defeituosas é 1,5 R$ 3,00. Em consequência, a resposta é R$ 58,00. Resposta da questão 15: Seja x a média aritmética entre o número obtido no dado e o da face da moeda. Lançando simultaneamente o dado e a moeda, é possível obter 6 1 resultados distintos. Supondo x ], 4[, tem-se que os eventos favoráveis são (1, 6), (, 3),(3, 3) e (4,3). Em consequência, podemos afirmar que a probabilidade pedida é 4, 1 ou seja, 3 Resposta da questão 16: O número total de anagramas da palavra HOSPITAL é igual a permutação de 8, ou seja, 8!. O número de anagramas que começam e terminam com consoantes é igual a: 5 4 P 5 4 6! 6 A probabilidade de que, ao sortear-se uma única ficha dessa urna, no anagrama nela marcado as letras inicial e final sejam ambas consoantes será de: 5 4 6! 5 4 6! ! 8 6! Resposta da questão 1: Sejam I e T, respectivamente, o conjunto dos domicílios que têm acesso à internet e o conjunto dos domicílios que têm assinatura de TV a cabo. Sabendo que n(i) 35000, n(i T) n(i T) O número de domicílios que têm acesso à internet e não têm assinatura de TV a cabo é dado por O número esperado de peças recuperáveis é 00 0,0 4, enquanto que o número esperado de peças defeituosas é 00 0,01. Logo, o lucro com as peças sem defeito é n(i T) n(i) n(i T) n(i T) n(i T)

7 Portanto, segue que a probabilidade pedida é igual a Resposta da questão 18: Espaço amostral. Escolhendo-se duas peças pretas num total de ! C16, 10! 14! Escolhendo dois peões num total de 8. 8! C8, 8! 6! Portanto, a probabilidade P pedida será dada por: 8 P Resposta da questão 19: Calculando a probabilidade de a colher cair sobre o chão virada para cima, pode-se escrever: 65 P(x) 0, Esta probabilidade é a mesma que se obtém, no lançamento de um dado convencional honesto de seis faces, um número maior que. Resposta da questão 0: Seja n o número de bolas vermelhas que deverão ser colocadas na caixa. Desse modo, 6 como o número de casos favoráveis é e o n 6 número de casos possíveis é, temos 6 6! 1 1! 4! 3 n 6 3 (n 6)!! (n 4)! n 11n 60 0 n 4. 9! tomados 4 a 4, isto é, A 9, 4. Por outro lado, o número de casos possíveis é igual ao número de arranjos simples de 10 objetos tomados 5 a 10! 5, ou seja, A 10, 5. Portanto, a 9! 1 probabilidade pedida é. 10! 10 Resposta da questão : Entre 0 e 9 existem 4 números primos (,3,5 e ). Assim, a probabilidade de, numa única tentativa, se acertar uma senha formada apenas por números primos será de: ,064 6,4% Resposta da questão 3: A turma possui alunos. Logo, como 3 alunos não leram nenhum livro no mês passado, segue que a probabilidade pedida é 3 100%,5%. 40 Resposta da questão 4: Total de possibilidades para a escolha de três 10! bolas: C10,3 10 3! (10 3)! Portanto, a probabilidade será dada por p Resposta da questão 5: Sejam os eventos A: pratica futebol e B: pratica natação. Queremos calcular a probabilidade condicional P(B A). Logo, o resultado é n(a B) P(B A). n(a) Resposta da questão 1: O número de casos favoráveis corresponde ao número de arranjos simples de 9 objetos