FENÔMENOS DE TRANSPORTE II

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1 ENGENHARIA DE PRODUÇÃO COM ÊNFASE EM ENGENHARIA DE INSALAÇÕES NO MAR FENÔMENOS DE RANSPORE II (RANSFERÊNCIA DE CALOR) ANDRÉ ALEIXO MANZELA MACAÉ FEVEREIRO / 008

2 ÍNDICE - Introdução à transferência de calor 3. - Condução 3. - Convecção Radiação Conservação de energia 8 - Condução de calor. - Equação da difusão de calor 3 - Condução unidimensional em regime permanente Circuitos térmicos 3. - Raio crítico de isolamento Superfícies estendidas Condução em regime transiente Método da capacitância global Efeitos espaciais Constante de tempo e tempo de resposta Convecção de calor Camadas limites de convecção Camada limite de velocidade Camada limite térmica Escoamentos laminar e turbulento Convecção em escoamento eterno Metodologia para cálculos de convecção Convecção em escoamento interno Considerações hidrodinâmicas Considerações térmicas A temperatura média Lei do Resfriamento de Newton / Condições completamente desenvolvidas Balanço de energia Convecção livre (ou natural) rocadores de calor 56

3 9. - ipos de trocadores de calor Coeficiente global de transferência de calor A média logarítmica das diferenças de temperatura 59 Bibliografia 6 Apêndice - abelas de propriedades 63 Apêndice - Propriedades termofísicas de materiais 63 Apêndice - Propriedades termofísicas de gases 67 Apêndice 3 - Propriedades termofísicas de líquidos saturados 68 Apêndice 4 - Propriedades termofísicas da água saturada 69

4 - Introdução à transferência de calor Na termodinâmica se estuda a transferência de energia devido às interações entre um sistema e sua vizinhança, sendo estas interações conhecidas por trabalho e calor. Porém não se analisa a natureza destas interações, mas suas conseqüências. O objetivo da transferência de calor é justamente estender a análise realizada na termodinâmica através da avaliação de como calor é transferido, ou seja, dos mecanismos envolvidos na transferência de calor. Calor é o nome que se dá à energia enquanto esta se transfere entre um sistema / volume de controle e sua vizinhança devido a uma diferença de temperatura entre estes meios. Se há diferença de temperatura, há transferência de calor, sendo esta transferência do meio de maior temperatura para o meio de menor temperatura. A transferência de calor pode ocorrer de três formas: - condução: quando eiste um gradiente (diferença) de temperatura em um meio estacionário, que pode ser um sólido ou um fluido em repouso (estagnado); - convecção: quando um fluido em movimento e uma superfície se encontram a diferentes temperaturas; - radiação: quando duas superfícies estão a diferentes temperaturas.. - Condução A condução de calor ocorre através das interações entre átomos / moléculas, podendo ser vista como a transferência de energia de partículas mais energéticas para partículas de menor energia, sendo estas energias associadas às temperaturas de tais partículas. Para quantificar a taa (quantidade por unidade de tempo) de transferência de calor por condução utiliza-se a Lei de Fourier: r r q k.a. K.A. î ĵ kˆ y z () onde: q r : taa de transferência de calor (neste caso por condução) [ W ] 3

5 k : condutividade térmica do meio W m.k Α : área da seção reta transversal à direção do fluo de calor m r K : gradiente de temperatura no meio m Vale ressaltar que a taa de transferência de calor é uma grande vetorial, ou seja, possui módulo, direção e sentido. O sinal negativo no º membro da equação () é devido ao fato do calor ser transferido no sentido da diminuição de temperatura. A condutividade térmica é uma grandeza que mede a capacidade de um meio de conduzir calor, sendo maior em sólidos que em líquidos, e maior em líquidos que em gases. Uma outra forma de epressar a Lei de Fourier é através do fluo de calor ( q r "): r q" r q A r k. () Numa situação de transferência de calor unidimensional, ou seja, numa única direção (, por eemplo), a Lei de Fourier se resumiria a: q d k.a. (3) d. - Convecção O modo de transferência de calor por convecção envolve dois mecanismos. Além da transferência de energia devida ao movimento atômico / molecular, energia também é transferida através do movimento global (ou macroscópico) do fluido. O termo advecção é usado para se referir à transferência de energia devida eclusivamente a esse movimento global do fluido. A convecção se classifica em convecção forçada (quando o movimento do fluido é causado por meios eternos como um ventilador, uma bomba etc.), em convecção livre ou natural (quando o movimento do fluido é induzido por diferenças de densidade causadas por diferenças de temperatura) e em convecção mista (combinação das anteriores). 4

6 Utiliza-se a Lei do Resfriamento de Newton para quantificar a taa de transferência de calor por convecção: r q h.a. (4) onde: q r : taa de transferência de calor (neste caso por convecção) [ W ] h : coeficiente convectivo W m.k A : área de contato do fluido com a superfície m o : diferença de temperatura entre o fluido e a superfície [ K ou C] O coeficiente convectivo depende da geometria da superfície, da natureza do escoamento do fluido, e de uma série de propriedades termodinâmicas e de transporte de fluido. Utiliza-se o módulo da diferença de temperatura entre o fluido e a superfície para evitar valores negativos para a taa de transferência de calor, bastando identificar o sentido desta através da verificação das temperaturas do fluido e da superfície (o sentido será do meio de maior temperatura para o meio de menor temperatura). A temperatura a ser considerada para o fluido é aquela fora da camada limite térmica ( ). Camada limite térmica é a região na qual a temperatura varia desde a temperatura da superfície até a temperatura do fluido que não está trocando calor com a superfície (figura ). Figura - Camada limite térmica 5

7 Pode-se epressar a Lei do Resfriamento de Newton (equação (4)) através do fluo de calor ( q r "): r q" r q A h. (5).3 - Radiação Radiação térmica é a energia emitida por toda matéria que se encontra a uma temperatura não nula. Embora a atenção seja voltada para superfícies, é importante saber que gases e líquidos também produzem radiação térmica. A radiação térmica é transportada por meio de ondas eletromagnéticas, não sendo necessária, portanto, a presença de um meio físico para este transporte. O fluo de calor emitido por radiação por uma superfície é dado pela Lei de Stefan- Boltzmann: E sup ε. σ. 4 (6) sup sup onde: E : fluo de calor emitido por uma superfície ou poder emissivo de uma superfície sup W m ε : emissividade da superfície [adimensional] sup σ : constante de Stefan-Boltzmann σ : temperatura absoluta da superfície [K] sup W m.k -8 5, A emissividade varia entre 0 e, sendo a medida capacidade de emissão de energia por radiação de uma superfície em relação a um corpo negro (corpo negro é aquele que tem o máimo poder emissivo para determinada temperatura, ou seja, E σ. 4 ). n sup O fluo de calor por radiação que incide sobre uma superfície é chamado de irradiação. A parcela da irradiação que é absorvida pela superfície é dada por: 6

8 G α.g (7) abs sup onde: G : irradiação absorvida pela superfície abs W m α : absortividade da superfície [adimensional] sup G: irradiação W m A absortividade varia entre 0 e, sendo função da natureza da irradiação e da superfície. Um caso específico que ocorre com freqüência é aquele onde uma pequena superfície à temperatura troca radiação com uma superfície isotérmica muito maior sup que envolve completamente a menor. Nesta situação pode-se considerar que a superfície menor apresenta α ε (corpo cinza) e a irradiação da vizinhança pode ser aproimada pela emissão de um corpo negro, sendo o fluo líquido de calor por radiação dado por: r q" E G abs ε sup ε sup ε sup ε sup. σ. σ.. σ.. σ. 4 sup 4 sup 4 sup. 4 sup α.g sup ε.ε sup viz ε. σ. 4 sup viz 4 viz. σ. 4 viz (8) onde: q r ": fluo líquido de calor por radiação entre a superfície e a vizinhança : temperatura absoluta da vizinhança (superfícies vizinhas) [ K ] viz W m 7

9 Utiliza-se o módulo da diferença entre o poder emissivo da superfície e a irradiação absorvida para evitar valores negativos para o fluo líquido de calor por radiação, bastando identificar o sentido deste através da verificação das temperaturas da superfície da vizinhança. Reescrevendo a equação (8) através da taa líquida de transferência de calor por radiação ( q r ): r r q q".a ε. σ. A. 4 sup sup 4 viz (9) Eistem aplicações nas quais é conveniente epressar a equação (9) da seguinte forma: r q h.a. r sup viz (0) onde: W h : coeficiente convectivo de radiação r m.k O coeficiente convectivo de radiação equivale, então, a: h ε. σ.. () r sup sup viz sup viz.4 - Conservação de energia Aplicando-se a ª Lei da ermodinâmica (conservação de energia) a um sistema / volume de controle tem-se duas opções: - num intervalo de tempo ( t ) (figura ): 8

10 Figura - Balanço de energia num sistema / volume de controle num intervalo de tempo ( t ) E E E E () e g s ac onde: E : quantidade de energia térmica e mecânica que entra no sistema / volume de controle e no intervalo de tempo t E : quantidade de energia térmica gerada no interior do sistema / volume de controle no g intervalo de tempo t E : quantidade de energia térmica e mecânica que sai do sistema / volume de controle no s intervalo de tempo t E : variação da quantidade de energia térmica armazenada (acumulada) no interior do ac sistema / volume de controle no intervalo de tempo t ( E m.c. ( calor sensível) e/ou E m.h ( calor latente) ). ac ac - num determinado instante (t) (figura 3): Figura 3 - Balanço de energia num sistema / volume de controle num determinado instante (t) E & E& E& E& (3) e g s ac 9

11 onde: E & : taa de entrada de energia térmica e mecânica no sistema / volume de controle no e instante t E & : taa de geração de energia térmica no interior do sistema / volume de controle no g instante t E & : taa de saída de energia térmica e mecânica do sistema / volume de controle no s instante t E & : taa de variação de quantidade de energia térmica armazenada (acumulada) no ac interior do sistema / volume de controle no instante t E & ρ.v.c. ac t O termo de geração de energia nas equações () e (3) está associado à conversão de outra forma de energia (química, elétrica, nuclear etc.) em energia térmica, sendo um fenômeno volumétrico. Nos casos em que o sistema / volume de controle compreende uma superfície, a qual não delimita volume ou massa e, por conseqüência, não possui geração ou acúmulo de energia, os balanços de energia apresentados (equações () e (3)) se resumem, respectivamente, a: E 0 E 0 E E (4) e s e s E & 0 E& 0 E& E& e s e (5) s Na figura 4 é mostrado um eemplo de balanço de energia numa superfície. Figura 4 - Eemplo de balanço de energia numa superfície 0

12 E E E e g s E ac E 0 E 0 e s E E e s q" q" q" cond conv rad (6)

13 - Condução de calor A Lei de Fourier (equação ()) possui características importantes que merecem ser destacadas: - não é uma epressão derivada de princípios físicos fundamentais, mas uma generalização baseada em evidências eperimentais; - é uma epressão que define uma importante propriedade dos materiais, a condutividade térmica; - é uma epressão vetorial, indicando que o fluo de calor por condução (fluo térmico condutivo) é normal (perpendicular) a uma isoterma (superfície de mesma temperatura) e no sentido da diminuição de temperatura; - é uma epressão que se aplica a toda matéria, independente de seu estado físico (sólido, líquido ou gasoso); - é uma epressão na qual está implícito que o meio no qual ocorre a condução de calor é isotrópico, ou seja, o valor da condutividade térmica independe da direção.. - Equação da difusão de calor A equação da difusão de calor (ou equação do calor) nada mais é que um balanço de energia para um processo de condução de calor. Um dos principais objetivos na análise de um processo de condução de calor é determinar a distribuição de temperatura, ou seja, como a temperatura varia no meio. Conhecida esta distribuição, pode-se determinar o fluo de calor em qualquer ponto do meio ou em sua superfície através da Lei de Fourier. Consideremos um meio homogêneo no interior do qual não eiste advecção. Destaca-se então um elemento diferencial deste meio para análise através do estabelecimento de um sistema envolvendo este elemento (figura 5). Desenvolvendo um balanço de energia teremos:

14 Figura 5 - Balanço de energia num elemento diferencial de um meio homogêneo E & E& E& E& (7) e g s ac Avaliando cada termo separadamente obtemos: E & q q q e y z (8) E & q.v & q.d.dy.dz & g (9) onde: q& : taa de geração de energia térmica, por unidade de volume, no interior do sistema V : volume E& q q q (0) s d y dy z dz E& m.c. ρ.v.c. ρ.c..d.dy.dz () ac p t p t p t onde: m : massa c : calor específico a pressão constante p 3

15 4 As taas de saída de energia podem ser epressas através de uma epansão da série de aylor desprezando-se os termos de ordens superiores:.dz z z q z q dz z q.dy y y q y q dy y q.d q q d q () Logo, a equação (7) pode ser reescrita da seguinte forma: t. p ρ.c z k. z y k. y k. q.d.dy.dz t. p ρ.c.dz z k.d.dy. z.dy y k.d.dz. y d k.dy.dz. q.d.dy.dz.d.dy.dz t. p ρ.c.dz z z q z q.dy y y q y q.d q q q.d.dy.dz z q y q q ac E s E g E e E & & & & & & & (3) A equação (3) é conhecida como equação do calor ou equação da difusão de calor. É importante destacar neste ponto algumas simplificações a serem feitas na equação (3) em casos específicos: - condutividade térmica constante: t. α t. k p ρ.c z y k q t. p ρ.c z y k. q & & (4) onde: α : difusividade térmica do meio (capacidade do meio de conduzir energia térmica com relação a sua capacidade de armazená-la) s m

16 5 - regime permanente: 0 z k. z y k. y k. q & (5) - condução unidimensional (em, por eemplo): t. p ρ.c k. q & (6) - sem geração interna de energia térmica: t. p ρ.c z k. z y k. y k. (7) Escrevendo a equação do calor em coordenadas cilíndricas (figura 6) teremos: Figura 6 - Elemento em coordenadas cilíndricas t. p ρ.c z k. z ο k. ο. r r k.r. r. r q / / & (8) E em coordenadas esféricas (figura 7):

17 Figura 7 - Elemento em coordenadas esféricas r r k.r.. k.. k.senο. / q& ρ.c. (9) r ο ο ο ο p r sen ο/ / / / / t r.senο / Na solução da equação do calor (equação (3)) é necessário conhecer condições de contorno e/ou inicial. A seguir são apresentadas algumas delas: - temperatura da superfície constante: (, t) ( 0, t) (30) sup - fluo térmico na superfície constante: k q (3) sup 0 - superfície adiabática ou isolada: 0 0 (3) - convecção na superfície: k. h. ( 0, t) (33) 0 6

18 3 - Condução unidimensional em regime permanente Num processo de condução de calor unidimensional (em, por eemplo) em regime permanente sem geração interna de energia térmica com condutividade térmica constante a equação da difusão de calor se torna: d 0 d d c d c. c (34) Para a situação apresentada na figura 8 temos as seguintes condições de contorno: Figura 8 - ransferência de calor através de um meio sólido ( 0) ( L) sup, sup, (35) Logo: sup, sup, c.0 c.l c c sup, sup, c sup, sup, L (36) 7

19 Portanto a equação (34) se torna: sup, sup, c. c. (37) L sup, E a taa de transferência de calor será dada por: q d sup, sup, sup, sup, k.a. k.a. k.a. (38) d L L É importante notar que q independe de, ou seja, é constante ao longo de. Em coordenadas cilíndricas (figura 9) teremos: Figura 9 - Elemento em coordenadas cilíndricas sup, sup, r.ln (39) r r sup, ln r q r k.. π.l.k. d sup, sup, π (40) dr r ln r (..r.l). 8

20 E em coordenadas esféricas (figura 0): Figura 0 - Elemento em coordenadas esféricas sup, sup,. (4) r r sup, r r q r d sup, sup, k. 4. π.r. 4. π.k. (4) dr r r Uma forma alternativa de obter a distribuição de temperatura em sistemas envolvendo condução de calor unidimensional em regime permanente sem geração interna de energia térmica com condutividade térmica constante seria através da utilização da Lei de Fourier. Isto é viável porque neste caso a taa de transferência de calor é constante (não depende de ): d q k.a. d q.d k.d A 0 0 q. A 0 0 ( ) k. ( ) q A.k ( ) 0 0 (43) onde: 9

21 : posição onde se conhece o valor da temperatura 0 : temperatura na posição 0 0 Vale destacar que se for conhecida uma temperatura numa posição a integração pode ser feita entre e 0 para se determinar o valor de No caso de condução unidimensional em regime permanente com geração interna de energia térmica e condutividade térmica constante a equação do calor se resume a: q. d q& k 0 d d q& d k d q&. c d k q&..k c. c (44) Para a situação apresentada na figura temos as seguintes condições de contorno: Figura - ransferência de calor através de um meio sólido com geração interna de energia térmica ( 0) ( L) sup, sup, (45) Logo: 0

22 sup, sup, q&.0.k q&.l.k c c.0.l c c sup, sup, c q&.l.k sup, sup, L (46) Portanto a equação (44) se torna: q& q& q sup, sup,. c. c. &.L..k k.k L sup, (47) E a taa de transferência de calor será dada por: q k.a. d d q& k.a.. k q&.l.k sup, k. sup, q.l & sup, sup, A. q. & (48) L L Verifique que q, neste caso, depende de. Para um cilindro sólido (figura ) teremos: Figura - ransferência de calor através de um cilindro sólido com geração interna de energia térmica q.r & 0 r. 4.k sup r 0 (49) q r d k. (. π.r.l). π.q.l.r & (50) dr

23 3. - Circuitos térmicos Uma maneira alternativa de analisar um problema de transferência de calor é utilizando o conceito de resistência térmica. Da mesma forma que uma resistência elétrica esta associada à condução de eletricidade, uma resistência térmica pode ser associada à condução de calor: V R.I (5) onde: V : diferença de potencial elétrico R : resistência elétrica I : corrente elétrica R.q (5) t onde: : diferença de temperatura (potencial térmico) R : resistência térmica t q : taa de transferência de calor Comparando a equação (5) com as equações de cálculo das taas de transferência de calor ((38), (4) e (9)) temos que: - condução: L R (para parede plana) (53) cond k.a - convecção: R (54) conv h.a - radiação:

24 R rad (55) h.a ε.σ.. r.a sup viz sup viz Utiliza-se de circuitos térmicos para esquematizar uma análise por resistências térmicas. Vejamos o eemplo mostrado na figura 3. Figura 3 - ransferência de calor representada por um circuito térmico Considerações: - regime permanente; - viz ;, -., sup, sup,, A análise das resistências térmicas equivalentes em circuitos térmicos é feita da mesma maneira que em circuitos elétricos: - resistências em série: R R R... R (56) eq n - resistências em paralelo: R eq... (57) R R R n 3

25 Logo, com base no circuito térmico anterior (figura 3), temos: R eq, R total R rad R eq, R conv, R cond R conv, (58) A taa de transferência de calor pode ser determinada considerando-se cada elemento do circuito ou o circuito como um todo: sup, viz R.q eq, q sup, R eq, viz, viz sup, sup, R.q total q R.q cond R, sup, cond, viz q R conv, R total sup, R cond.q q sup,, sup, R cond R conv, (59) A utilização de circuito térmico é particularmente interessante em sistemas que envolvem diversas camadas compostas por diferentes materiais, sendo estas camadas representadas por resistência em série e/ou em paralelo. Nestes sistemas compostos é conveniente a utilização de um coeficiente global de transferência de calor ( U ), o qual é definido através da seguinte epressão: q U.A. (60) onde é a diferença global de temperatura. Este coeficiente está relacionado à resistência térmica total: 4

26 q R total R q U.A. total U.A. U R.A total ou R total U.A (6) 3. - Raio crítico de isolamento A espessura de um isolante térmico em sistemas radiais evidencia dois efeitos concorrentes: embora a resistência à condução aumenta com a adição de isolante térmico, a resistência térmica à convecção diminui devido ao aumento da área superficial eterna. Suponhamos uma situação onde um tubo tem a temperatura de sua superfície eterna mantida a (figura 4). Ao adicionarmos uma camada de isolamento térmico sup a esse tubo teremos (desprezado a radiação): Figura 4 - ransferência de calor num tubo com isolante térmico representada por um circuito térmico R' total ln r r (6). π.k h.. π.r onde R' representa a resistência térmica total por unidade de comprimento do tubo. total 5

27 Uma espessura crítica para o isolamento térmico está associada a um raio r que maimize o valor de igualando-a a zero: R', raio este obtido derivando-se a equação de R' e total total dr' total dr. π.k.r. π.h.r 0 r k h (63) Para sabermos se este valor r representa um máimo ou um mínimo para deriva-se novamente R' : total R', total d R' total dr. π.k.r π.h.r 3. π.r h.r.k (64) Levando o valor de r nesta derivada segunda: d R' total dr. π.r h.r.k. k k π. h. h h.k h 0. π.k 3 (65) h k Como 0, r representa um mínimo para R'.. π.k 3 h total Portanto, não eiste uma espessura ótima para um isolante térmico, mas uma espessura até a qual partir da qual R' diminui (e a taa de transferência de calor aumenta) e a total R' aumenta (e a taa de transferência de calor diminui). A essa total espessura damos o nome de raio crítico ( r ): c k r (66) c h 6

28 3.3 - Superfícies estendidas Superfície estendida ou aleta é o nome dado a um sólido em que há condução no interior de suas fronteiras e convecção entre suas fronteiras e a vizinhança. No caso em que essa superfície é utilizada para aumentar a taa de transferência de calor ela recebe o nome de aleta. Aplicando um balanço de energia no sistema apresentado na figura 5 temos: Figura 5 - Balanço de energia num elemento diferencial de uma aleta Considerações: - condução unidimensional (a variação de temperatura na direção longitudinal da aleta é muito maior que nas direções normais a ela); - regime permanente; - sem geração interna de energia térmica; - condutividade térmica constante. 7

29 E& E& E& E& e g s ac E& 0 E& 0 e s E& E& e s q q dq d conv dq q q d dq d conv d 0 k. A. d sr d d A. sr d d d.d d da h sup.. k d da d d sr. A. d d sr d d da. sr d A d sr d. d h. k h.da sup ( ) da sup d ( ) ( ) da h sup. k.a d sr.. ( ) 0. 0 (67) A solução desta equação com as condições de contorno adequadas fornecerá a distribuição de temperatura na aleta. da sr d Para os casos em que a área da seção reta da aleta ( A ) é constante sr ( ) da sup d h.p 0 e A P. P fornecendo. 0 sup d k.a d sr quatro condições de contorno típicas: eistem 8

30 Aleta dθ Adiabática 0 d L Convectiva h.θ( L) abela - Distribuição de temperatura e taa de transferência de calor em aletas de área de seção reta constante Distribuição de Condição aa de transferência de contorno temperatura θ de calor na aleta ( q ) θ a b k. dθ d L cosh cosh cosh [ m. ( L ) ] ( m.l) h m.k h m.k M.tgh ( m.l) [ m. ( L ) ].senh[ m. ( L ) ] senh( m.l).cosh( m.l) cosh ( m.l).senh( m.l) Infinita θ ( L) 0 e m. M. cosh h m.k h m.k ( m.l).senh( m.l) M emperatura especificada ( L) θ θ L θ L θ b.senh ( m.) senh[ m. ( L - ) ] senh( m.l) M. cosh ( m.l) senh( m.l) θ L θ b M θ θ θ( 0) θ θ( L) h.p.k.a.θ sr b b senh e b e L L cosh e e m h.p k.a sr senh tgh cosh e e e e Como a aleta representa uma resistência térmica à condução (resistência adicional), não eiste garantia de que a taa de transferência de calor aumente com o uso de aletas. Isso pode ser avaliado através da efetividade da aleta ( ε ) a, que é a razão entre a taa de transferência de calor na aleta e a taa de transferência de calor que eistiria sem a presença da mesma. Matematicamente: q ε a (68) a h.a.θ sr,b b onde A é a área da seção reta da base da aleta. sr,b O uso de aletas é normalmente justificado quando ε. a 9

31 Um outro conceito importante é de eficiência da aleta ( η ) a, que é a razão entre a taa de transferência de calor na aleta e a taa de transferência de calor máima, a qual seria obtida caso toda a aleta estivesse à temperatura da sua base: q η a (69) a h.a.θ a b onde A é a área superficial da aleta. a 30

32 4 - Condução em regime transiente Até agora avaliamos processos de condução de calor em regime permanente. Porém, em muitas situações práticas, também ocorrem processos em regime transiente Método da capacitância global Um caso particular destes processos é aquele onde a temperatura do sólido, apesar de estar variando ao longo do tempo, pode ser considerada uniforme ao longo de todo o sólido. Essa consideração é a essência do método da capacitância global (ou método da capacitância concentrada). Imaginemos uma situação onde um sólido é subitamente imerso num fluido (figura 6). Figura 6 - Balanço de energia num sólido Aplicando um balanço de energia ao sistema compreendendo o sólido, temos: 3

33 E& E& E& E& e g s ac 0 0 E& E& s ac ou t ( ) d h.a. ρ.v.c. sup dt t h.a sup d.dt 0 ρ.v.c i h.a.t sup ln( ) ρ.v.c i h.a.t sup ln ρ.v.c i ( ) i ρ.v.c h.a sup.ep h.a.t sup ρ.v.c.ln i ρ.v.c h.a sup.ln i (70) Pela relativa simplicidade da solução apresentada fica clara a preferência pelo método da capacitância global. O critério para utilização do método da capacitância global é mostrado através da aplicação de um balanço de energia numa superfície (figura 7). Figura 7 - Esquema para definição do critério de utilização do método da capacitância global 3

34 E& E& E& E& e g s ac E& 0 E& 0 e s E& E& e s q q cond conv sup, sup, k.a. h.a. L sup, sup, sup, h.l Bi k sup, (7) onde: Bi : número de Biot (parâmetro que mede a razão entre a queda de temperatura ao longo do sólido e a diferença entre as temperaturas da superfície e do fluido) Logo, o critério para utilização do método da capacitância global é Bi < 0,, caso em que o erro associado à utilização do método é pequeno. É conveniente definir o comprimento L utilizado no cálculo do número de Biot como sendo um comprimento característico ( L ) dado pela razão entre o volume do sólido e a c sua área superficial: V L (7) c A sup - parede plana: L L (73) c - cilindro infinito: r L (74) c - esfera 33

35 r L (75) c 3 Voltando à equação (70): ( ) h.a.t sup.ep i ρ.v.c h.a.t sup ep ρ.v.c i i i i ep ep ep h.t ρ.c.l c h.l c k h.l c k k.t. ρ.c.l c α.t. ep L c ( Bi.Fo) (76) onde: Fo : número de Fourier 4. - Efeitos espaciais Eistem situações nas quais o método da capacitância concentrada não é adequado, ou seja, os gradientes de temperatura no interior do sólido não são desprezíveis. No caso de condução unidimensional em, em regime transiente, sem geração interna de energia térmica e com condutividade térmica constante (figura 8), a equação (3) se resume a: 34

36 Figura 8 - Condução de calor em um sólido em regime transiente. α t (77) Para resolver esta equação são necessárias uma condição inicial e duas condições de contorno: (,0) i 0 0 k. L h. [ ( L,t) ] (78) Percebe-se que (,α, t,,k,l,h, ). i O processo de adimensionalização das equações apresentadas facilita a análise: θ* θ θ i * L α.t t* L i Fo (79) Logo: θ * θ * * Fo (80) 35

37 E as respectivas condições inicial e de contorno: θ * ( *,0) θ * 0 * * 0 θ * Bi.θ * * (, t *) (8) Portanto, θ *( *,Fo,Bi) θ*. A solução eata da equação (80) é: onde C n n.ς sen(.ς ) (. *) θ* C.ep ς.fo.cos ς (8) n n n n 4.senς e ς.tgς Bi. n n n n Para Fo 0,, a solução eata pode ser aproimada pelo primeiro termo da série: - parede plana: ( ς. *) θ* C.ep ς.fo.cos (83) θ * 0 - cilindro infinito: ( ς.r *) θ* C.ep ς.fo.j (84) θ * 0 - esfera: ( ς.r *) sen θ* C.ep ς.fo. (85) ς.r * θ * 0 36

38 onde: C e ς : constantes tabeladas em função do número de Biot (tabela ) - vale ressaltar que neste caso para placa plana r é o raio do cilindro infinito e da esfera 0 h.l Bi e para cilindro infinito e esfera k α.t Fo, onde para placa plana L L e para cilindro infinito e esfera L c c J : função de Bessel de primeira espécie (tabela 3) 0 r r* r 0 h.r Bi 0, onde k L c r 0 abela - Constantes para a equação (83) 37

39 abela 3 - Função de Bessel de primeira espécie A energia potencial de ser transferida (Q) é dada por: - parede plana: Q Q 0 senς.θ * (86) ς 0 - cilindro infinito: Q Q 0 ( ς ).θ * 0.J (87) ς - esfera: 38

40 Q Q 0 ( senς ς.cosς ) 3.θ * 0. (88) ς onde: Q : energia interna inicial do sólido em relação à temperatura do fluido ou máima 0 quantidade de energia que poderia ser transferida se o processo fosse prolongado até um tempo t, tempo no qual a temperatura do sólido seria igual à temperatura do fluido J : função de Bessel de primeira espécie (tabela 3) Constante de tempo e tempo de resposta Dois conceitos importantes relativos a processos transientes são constante de tempo e tempo de resposta. Da equação que relaciona a temperatura com o tempo para processos com Bi < 0, (equação (70)) temos: ( ).ep i ep i h.a.t sup ρ.v.c h.a.t sup ρ.v.c ep t τ (89) onde a constante de tempo ( τ ) é definida como sendo ρ.v.c. h.a sup emos ainda que: Q Q 0 ρ.v.c. ρ.v.c. ( ) ( ) i i (90) Logo: 39

41 t ep τ i Q t ep Q τ 0 (9) Para um instante t τ temos: Q 0 ( ) Q τ Q 0 ou ep Q 0 () Q τ ( ) 0,368 36,8% ep ( ) 0,368 0,63 63,% (9) Como Q representa a energia potencial de ser trocada num determinado instante t e Q representa a máima energia que poderia ser trocada ( t ), temos que a 0 constante de tempo representa o tempo necessário para que o sólido troque 63,% da máima quantidade de energia possível de ser trocada. O tempo de resposta é dado por 5.τ, instante no qual o sólido já trocou 99,3% da máima quantidade energia possível de ser trocada. É o tempo necessário para que um instrumento possa indicar a temperatura do meio no qual está inserido ( ) Q Q 5.τ 0 Q 0 ep ( 5) 0,0067 0,993 99,3%. 40

42 5 - Convecção de calor A convecção, conforme já mencionado, é um fenômeno de transferência de calor que envolve simultaneamente dois processos, a difusão (movimento aleatório das moléculas do fluido) e a advecção (movimento global do fluido), sendo este segundo dominante. Um fluido à temperatura escoando sobre uma superfície de área A e s temperatura s troca calor com esta superfície, sendo o fluo de calor ( ) q" dado por: q" h. (93) s onde: h : coeficiente local de convecção Devido ao fato das condições variarem ponto a ponto sobre a superfície, q" e h também variam ao longo da mesma. A taa de transferência de calor total ( q ) pode ser obtida pela integração do fluo local sobre toda a superfície: q q".da h..da. h.da (94) s s s s s A A A s s s Definindo um coeficiente de convecção médio ( h ) para toda a superfície, teremos: q h.a. (95) s s Comparando as equações (94) e (95) verificamos que: h.a h.da h. h.da (96) s s s A A A s s s 4

43 5. - Camadas limites de convecção Camada limite de velocidade A camada limite de velocidade é a região na qual a velocidade varia desde zero (fluido em contato com a superfície) até 99% da velocidade da corrente livre (região eterna à camada limite). A espessura da camada aumenta ao longo de uma placa, uma vez que os efeitos da viscosidade penetram cada vez mais na corrente livre Camada limite térmica A camada limite térmica equivale conceitualmente à camada limite de velocidade sendo agora a diferença de temperatura entre a superfície e a corrente livre a responsável pelo surgimento daquela camada. s s A espessura da camada limite térmica ( δ ) 0,99 (figura 9). t é definida para a posição na qual Figura 9 - Camada limite térmica A relação entre a camada limite térmica e o coeficiente convectivo de transferência de calor pode ser demonstrada a partir da verificação de que o fluo de calor local pode ser obtido aplicando-se a Lei de Fourier ao fluido em y 0 : q" s k. (97) f y y 0 onde: q" : fluo de calor local s 4

44 k f y : condutividade térmica do fluido : gradiente de temperatura na superfície da placa y 0 Essa epressão é valida porque na superfície não há movimento de fluido e a transferência de calor ocorre apenas por condução. Comparando a equação (97) com a Lei do Resfriamento de Newton (equação (5)) temos: h. ( ) s h k f k. f y. y y 0 s y 0 (98) Como é uma constante ao longo da placa e a espessura da camada limite s térmica aumenta ao longo de diminuindo o gradientes de temperatura q" e h decrescem com o aumento de. y, temos que 5. - Escoamentos laminar e turbulento Um primeiro passo essencial no tratamento de qualquer problema de convecção é determinar se a camada limite é laminar ou turbulenta. O atrito superficial e as taas de transferência de calor por convecção são fortemente dependentes de qual destas condições eiste. A caracterização da camada limite é feita através de um número adimensional conhecido como Número de Reynolds (Re): ρ.u. Re (99) µ onde: ρ : massa especifica do fluido u : velocidade da corrente livre 43

45 : comprimento característico (para uma placa plana é a distância da borda de ataque) µ : viscosidade dinâmica ou absoluta do fluido O número crítico de Reynolds Re é o valor de Re para o qual a transição,c laminar-turbulento começa, e, para uma placa plana, sabe-se que varia entre 3 0 e 6 3.0, dependendo da rugosidade da superfície e do nível de turbulência da corrente livre. Um ρ.u. valor representativo de Re c,c µ cálculos da camada limite é freqüentemente presumido para os Outros parâmetros importantes na convecção são o número de Prandtl ( Pr ) e o número de Nusselt ( Nu ). O número de Prandtl representa a razão entre as difusividades de momento e térmica: µ ν ρ µ.c Pr (00) α k f k f ρ.c onde: ν : viscosidade cinemática α : difusividade térmica O número de Nusselt representa o gradiente de temperatura adimensional na superfície e é dado por: h.l Nu (0) k f onde: h : coeficiente convectivo L : comprimento característico 44

46 6 - Convecção em escoamento eterno No escoamento eterno as camadas limites desenvolvem-se livremente, sem restrições impostas pelas superfícies adjacentes. Eemplos incluem o movimento de um fluido sobre uma placa plana (inclinada ou paralela à direção da velocidade da corrente livre) e escoamento sobre superfícies curvas tais como esfera, cilindro, aerofólio ou lâmina de turbinas. A atenção neste momento é voltada para problemas de convecção forçada, com baia velocidade. Na convecção forçada o movimento relativo entre o fluido e a superfície é mantido por meios eternos tais como ventilador ou bomba. O objetivo principal é determinar os coeficientes de convecção para diferentes geometrias de escoamento. A maioria das correlações da transferência de calor por convecção são empíricas, ou seja, obtidas eperimentalmente. Na maioria das situações as propriedades do fluido são avaliadas à temperatura do filme ( ) f, a qual é dada por: f sup (0) Um método alternativo seria a avaliação das propriedades à temperatura caso envolvendo um ajuste nas correlações., neste 6. - Metodologia para cálculos de convecção A seleção e a aplicação de uma correlação de convecção para qualquer situação de escoamento é facilitada seguindo-se poucas regras simples: º) Identificação imediata da geometria de escoamento (placa plana, esfera, cilindro,...); º) Determinação da temperatura apropriada para avaliação das propriedades do fluido ( µ, ν, Pr, k ) ρ, ; f ρ.v.l v.l 4.m& 3º) Cálculo do número de Reynolds Re ; L µ ν π.d.µ 4º) Definição entre o coeficiente convectivo local ( ) h ou médio ( ) 5º) Seleção da correlação apropriada (tabelas 4 e 5); 45 h ;

47 abela 4 - Correlações para transferência de calor por convecção em escoamento eterno abela 5 - Constantes para a equação de transferência de calor por convecção em escoamento eterno a cilindros 6º) Cálculo do coeficiente convectivo h.l Nu. k f 46

48 7 - Convecção em escoamento interno Diferentemente do escoamento eterno, no escoamento interno o desenvolvimento da camada limite se dá sob uma restrição. 7.- Considerações hidrodinâmicas Num escoamento interno, seja ele laminar ou turbulento, verifica-se a presença de duas regiões distintas: a região de entrada, onde a camada limite se desenvolve, e a região plenamente (ou completamente) desenvolvida, na qual o perfil de velocidade não varia ao longo do escoamento. Figura 0 - Camada limite hidrodinâmica por: Para escoamento laminar (.300) Re, o comprimento de entrada D é dado fd,h fd,h D lam 0,05.Re (03) Para escoamento turbulento ( 0.000) Re temos: D 47

49 fd,h 0 60 (04) D turb Utiliza-se para efeito de cálculos, no escoamento turbulento, 0.D. fd,h emos que a velocidade média ( u ) num escoamento completamente desenvolvido m num tubo circular é dado por: u. u( r, ).r.dr (05) m r Considerações térmicas De forma semelhante à camada limite de velocidade desenvolve-se uma camada limite térmica quando o fluido entra numa tubulação cuja superfície está a uma temperatura ( ) s. m diferente daquela do fluido ( ) Para escoamento laminar o comprimento térmico de entrada representado por: pode ser fd, t fd, t D lam 0,05.Re.Pr (06) Já no escoamento turbulento para uma primeira aproimação temos: fd, t D turb 0 (07) A temperatura média Assim como a falta de uma velocidade de corrente livre eige a utilização de uma velocidade média para descrever um escoamento interno, a ausência de uma temperatura 48

50 de corrente livre eige a utilização de uma temperatura média. A temperatura média (ou de mistura ou de copo ) é definida em termos da energia térmica transportada pelo fluido conforme ele passa pela seção transversal, e é dada por: r 0. u..r.dr (08) m u.r m Lei do Resfriamento de Newton / Condições completamente desenvolvidas Para escoamentos internos a Lei do Resfriamento de Newton se torna: q" h. (09) sup m Na equação (09) o coeficiente convectivo h é local e apresenta grandes variações na região de entrada térmica, sendo, porém, constante na região de escoamento completamente desenvolvido termicamente (figura ). Figura - Comportamento do coeficiente convectivo local no escoamento interno Balanço de energia Através de um balanço de energia pode-se determinar como a temperatura média do fluido varia com a posição ao longo de um tubo (figura ). Considerando desprezíveis as variações de energia cinética e potencial do fluido ao longo do escoamento e regime permanente sem geração interna de energia, temos: 49

51 Figura - Balanço de energia para avaliação do comportamento da temperatura média do fluido ao longo de um tubo E& E& E& E& e g s ac E& 0 E& 0 e s E& E& e s dq m.c &. m.p.υ & m.c &. conv v m v dq m. & [ c.d d( p.υ) ] conv v m ( d ) m. & p.υ d( p.υ) m m [ ] (0) Para um gás ideal p.υ R. e c R c : m v p dq m.c &.d () conv p m Essa epressão pode ser utilizada com boa aproimação para líquidos incompressíveis. em-se também que do fluido à saída e q m.c &. -, onde conv p m,s m,e é a temperatura média do fluido à entrada. m,e Duas condições típicas são encontradas: - fluo térmico constante na superfície (figura 3) é a temperatura média m,s 50

52 Figura 3 - Fluo térmico constante na superfície q q".p.l () conv onde: P: perímetro do tubo m q".p (3) m,e m.c & p ( ). - temperatura superficial constante q h.p.l. (4) conv lm onde lm s e ln s e, com s e s m,s e. s m,e m P.h. m.c & p ( ) ep. - s s m,e (5) As correlações para transferência de calor em escoamento interno são apresentadas nas tabelas 6 e 7. 5

53 abela 6 - Correlações para transferência de calor por convecção em escoamento interno 4.A D c, onde h P e P é o perímetro molhado. D é o diâmetro hidráulico, h A é a área da seção transversal do tubo c abela 7 - Números de Nusselt para escoamento laminar completamente desenvolvido em tubos não circulares 5

54 8 - Convecção livre (ou natural) Na convecção forçada o escoamento do fluido é produzido por elementos eternos (ventilador, bomba etc). Já na convecção livre (ou natural) o movimento do fluido é devido basicamente a gradientes de massa específica originados por gradientes de temperatura. Como as velocidades dos escoamentos na convecção livre são geralmente menores do que aquelas associadas à convecção forçada, as taas correspondentes de transferência de calor por convecção também são pequenas, o que gera a tendência de subestimar os processos de convecção livre, o que deve ser bem avaliado. Na convecção natural é necessário que o gradiente de temperatura gere instabilidade suficiente para que as forças de empuo prevaleçam sobre as forças viscosas (figura 4). Figura 4 - Instabilidade gerada pelo gradiente de temperatura Adimensionais da convecção natural: - Grashof: razão entre força de empuo e força viscosa. Desempenha na convecção natural o mesmo que o número de Reynolds desempenha na convecção forçada (o número de Reynolds fornece uma medida da razão entre a força de inércia e a força viscosa atuando em um determinado fluido). ( ) g.β..l 3 Gr s (6) ν 53

55 onde: g: aceleração da gravidade β : coeficiente de epansão volumétrica (para gases ideais vale fluidos é tabelado) : temperatura da superfície s : temperatura do meio L : comprimento característico ν : viscosidade cinemática f, e para outros Gr Re ( ) : convecção natural e forçada com mesma importância Nu Nu ( Re, Pr,Gr ) Gr : prevalece a convecção natural ( ( ) ) Re Nu Nu Pr,Gr Gr : prevalece a convecção forçada ( ( ) ) Re Nu Nu Re,Pr - Rayleigh: define a transição entre escoamento laminar e turbulento em convecção natural. ( ).L 3 g.β. ( ) g.β..l 3 s ν Ra Gr.Pr. s (7) ν α ν.α A transição laminar-turbulento é avaliada através do número critico de Rayleigh: Ra,c ( ). 3 9 g.β. s c 0 (8) ν.α As correlações para transferência de calor em convecção livre são apresentadas na tabela 8. 54

56 abela 8 - Correlações para transferência de calor por convecção livre 55

57 9 - rocadores de calor rocadores de calor são equipamentos utilizados para implementar a troca de calor entre dois fluidos que estão a diferentes temperaturas e, geralmente, separados por uma parede sólida ipos de trocadores de calor Os trocadores de calor são tipicamente classificados em função da configuração do escoamento e do seu tipo de construção. No escoamento paralelo, que ocorre em tubos concêntricos (ou duplos) os fluidos quente e frio se movem no mesmo sentido, ou seja, entram por uma mesma etremidade e saem por uma mesma etremidade (figura 5). Figura 5 - rocador de calor em escoamento paralelo No escoamento em contra-corrente os fluidos entram e saem por etremidades opostas (figura 6). Figura 6 - rocador de calor em contra-corrente Um outro tipo de escoamento é o cruzado, onde as correntes de fluido escoam perpendicularmente uma à outra (figura 7). 56

58 Figura 7 - rocador de calor em escoamento cruzado É comum a presença de aletas nos dutos dos trocadores de calor (figura 7), o que faz com que o escoamento seja caracterizado como não misturado, ou seja, o escoamento pode ser considerado unidimensional na direção paralela às aletas. Na ausência das aletas o escoamento é chamado de misturado. Um tipo comum de trocador de calor é o de casco e tubo (figura 8). Neste tipo de trocador de calor pode-se ter uma ou mais passes (passagens) no casco e/ou nos tubos (figura 9). Figura 8 - rocador de calor de casco e tubo Figura 9 - rocador de calor de casco e tubo com um passe no casco e dois passes nos tubos 57

59 Chicanas (figura 9) são geralmente utilizadas para aumentar a turbulência do escoamento e, por conseqüência, o coeficiente convectivo e a transferência de calor. Eistem ainda os trocadores de calor compactos nos quais a área de troca de calor por unidade de volume é muito alta m 700. Este tipo de trocador é usado tipicamente 3 m quando um dos fluidos é gás, no qual o coeficiente convectivo de transferência de calor é normalmente baio Coeficiente global de transferência de calor Um conceito importante no estudo de trocadores de calor é o de coeficiente global de transferência de calor, o qual representa uma medida da intensidade de troca de calor com referência à diferença total de temperatura, ou seja, a diferença de temperatura entre os fluidos quente e frio. Levando-se em conta as resistências de contato provenientes de deposição de impurezas nos lados interno e eterno dos dutos (fatores de incrustação), temos: U.A R" R" f,c f,h ( ) ( ) R (9) U.A U.A η.h.a η.a w ( η.a) ( η.h.a) c c h h 0 c 0 c 0 h 0 h onde: U : coeficiente global de transferência de calor A : área de troca de calor η : eficiência global da superfície ou efetividade de temperatura 0 h : coeficiente convectivo de troca de calor R" : fator de incrustação f R : resistência térmica da parede do tubo w subscrito c: lado do fluido frio subscrito h: lado do fluido quente Vale destacar que o cálculo do coeficiente global depende de uma área de referência, pois U.A U.A U.A. c c h h 58

60 Alguns fatores de incrustação ( R" ) são tabelados, porem este fator é variável f durante a operação do trocador de calor (aumenta com o tempo). A grandeza η 0 é definida, para uma superfície aletada, de tal forma que q η.h.a.( ) 0 b única aleta ( η ): f. Pode ser determinada a partir do conhecimento da eficiência de uma η 0 ( η ) A f. (0) A f onde: A : área total das aletas f A : área total da superfície A média logarítmica das diferenças de temperatura Na análise de trocadores de calor é essencial relacionar a taa total de transferência de calor a grandezas tais como temperaturas de entrada e saída dos fluidos, coeficiente global de transferência de calor e área total da superfície para troca de calor. Isso é feito a partir da Lei do Resfriamento de Newton (equação (4)), porém utilizando um coeficiente global de transferência de calor ( U ) em lugar do coeficiente convectivo (h) e também fazendo uso de uma diferença de temperaturas médias adequada ( ) : lm q U.A. () lm A partir de um balanço de energia num elemento diferencial dos fluidos quente e frio, verifica-se que: s e e s () lm ln s ln e e s 59

61 onde para um trocador de calor com correntes paralelas s e h,s c,s e e para um trocador de calor com correntes contrárias h,e c,e s e h,s c,e e, sendo os subscritos e e s referentes à h,e c,s entrada e à saída do trocador, respectivamente. A análise utilizada para se obter a epressão acima para é sujeita às lm seguintes considerações: - o trocador de calor é isolado de uma vizinhança, caso em que a troca de calor é apenas entre os fluidos quente e frio; - a condução aial ao longo dos tubos é desprezível; - as variações de energia cinética e potencial são desprezíveis; - os calores específicos dos fluidos são constantes; - o coeficiente global de transferência de calor é constante. Vale destacar que para as mesmas temperaturas de entrada e saída, para lm correntes contrárias é maior que para correntes paralelas, o que faz com que a área necessária para uma dada taa de transferência de calor seja menor para o arranjo com correntes contrárias. Verifica-se também que para arranjos em correntes contrárias pode ser maior que, o que não ocorre nos casos de correntes paralelas. h,s Eistem condições especiais de operação de trocadores de calor as quais merecem ser destacadas (figura 30): c,s Figura 30 - Condições especiais de operação de trocadores de calor: (a) C C, (b) h c C C, (c) h c C h C c 60

62 - C C, ou seja, h c m &.c m&.c : o fluido quente permanece praticamente a h p,h c p,c temperatura constante; - C C, ou seja, h c m &.c m&.c : o fluido frio permanece praticamente a temperatura h p,h c p,c constante; - C C, ou seja, h c m &.c m&.c : a diferença de temperatura é constante ao longo h p,h c p,c do trocador de calor, ou seja, e s. lm Outras relações importantes para análise de trocadores de calor são: q m&.c. m&.c. U.A. (3) h p,h h c p,c c lm 6

63 Bibliografia BEJAN, Adrian. ransferência de calor.. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 996. BRAGA FILHO, Washington. Fenômenos de transporte para engenharia.. ed. Rio de Janeiro: Livros écnicos e Científicos, 006. FOX, Robert W.; MCDONALD, Alan. Introdução à mecânica dos fluidos. 5. ed. Rio de Janeiro: Livros écnicos e Científicos, 00. INCROPERA, Frank P.; DEWI, David P. Fundamentos de transferência de calor e de massa. 5. ed. Rio de Janeiro: Livros écnicos e Científicos, 003. MACINYRE, Archibald Joseph. Equipamentos industriais e de processo.. ed. Rio de Janeiro: Livros écnicos e Científicos, 997. MORAN, Michael J.; SHAPIRO, Howard N.; MUNSON, Bruce R.; DEWI, David P. Introdução à engenharia de sistemas térmicos.. ed. Rio de Janeiro: Livros écnicos e Científicos, 005. ÖZISIK, M. Necati. ransferência de calor: um teto básico.. ed. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan,

64 Apêndice - abelas de propriedades Apêndice - Propriedades termofísicas de materiais 63

65 Apêndice - Propriedades termofísicas de materiais (continuação) 64

66 Apêndice - Propriedades termofísicas de materiais (continuação) 65

67 Apêndice - Propriedades termofísicas de materiais (continuação) 66

68 Apêndice - Propriedades termofísicas de gases à pressão atmosférica 67

69 Apêndice 3 - Propriedades termofísicas de líquidos saturados 68

70 Apêndice 4 - Propriedades termofísicas da água saturada 69