Antenor Rodrigues Barbosa Júnior et al.

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1 Engenharia ivil Anenor Rodrigues Barbosa Júnior e al. éodos direos de deerminação do coeficiene de disersão longiudinal em cursos d água naurais Pare - Fundamenos eóricos Anenor Rodrigues Barbosa Júnior Prof. Dr., Dearameno de Engenharia ivil - Escola de inas / UFOP. [email protected] Gilbero Queiroz da Silva Prof. Sc., Dearameno de Engenharia ivil - Escola de inas / UFOP. Beânia Vilas Boas Neves Graduanda em Engenharia ivil - Escola de inas / UFOP. Julimara Alves Devens Graduanda em Engenharia ivil - Escola de inas / UFOP. Resumo O ransore e a disersão de oluenes em cursos d água naurais são normalmene descrios or um modelo unidimensional, na forma da equação diferencial conhecida como equação da advecção-disersão, deduzida a arir de um balanço de massa, onde os fluos são regidos ela lei de Fick. Essa equação coném dois arâmeros que são normalmene avaliados aravés de esudos com raçadores: a velocidade média do escoameno e o coeficiene de disersão longiudinal. Nesse arigo, são aresenados cinco méodos direos de deerminação do coeficiene de disersão longiudinal, que são concebidos a arir da solução fundamenal da equação da advecção-disersão e que requerem a realização de eses de camo com o uso de raçadores: o méodo dos momenos, o méodo da roagação (rouing rocedure), um rocedimeno gráfico devido a hawin e dois ouros méodos simles baseados nas roriedades da solução fundamenal da equação diferencial da advecção-disersão. Palavras-chave: disersão longiudinal, raçadores, oluição da água. Absrac In he sudy of ransor and disersion of olluans in sreams is usually used a unidimensional focus. The differenial equaion ha describes he henomenon is known as advecion-disersion equaion and i is deduced from a mass balance in ha he law of Fick is inroduced. This equaion conains wo arameers ha can be araised of sudies wih racer: he mean sream velociy, U, and he longiudinal disersion coefficien, E. Five differen direc mehods of deerminaion of he coefficien of longiudinal disersion are resened in his aer. These mehods are conceived of he fundamenal soluion of he equaion of he advecçãodisersion and hey need he accomlishmen of field ess wih racer: mehod of he momens, rouing rocedure, a grahic rocedure due o hawin and wo oher simle mehods based on he roeries of he fundamenal soluion of he differenial equaion of he advecion-disersion. Keywords: longiudinal disersion, racer, waer olluion. RE: R. Esc. inas, Ouro Preo, 58(): 7-3, jan. mar. 5 7

2 éodos direos de deerminação do coeficiene de disersão longiudinal em cursos d água naurais.... Inrodução Os modelos de qualidade da água êm sido amlamene uilizados, enre ouras alicações, na revisão da disribuição esacial e emoral da concenração, em decorrência de lançamenos inencionais ou acidenais de oluenes em coros d água naurais. Essas revisões são aricularmene úeis, quando se busca definir os níveis de raameno comaíveis com a qualidade eigida ara a água do coro receor, ou quando se visa a enconrar o ono mais adequado de lançameno do resíduo, de modo a causar o menor imaco ossível. Os modelos, conudo, conêm arâmeros que recisam de ser bem avaliados, ara que os rognósicos roduzidos sejam confiáveis. No caso de escoamenos em rios e ribeirões, é reciso conhecer a velocidade média do escoameno e o coeficiene de disersão longiudinal, ese úlimo servindo como um indicador da caacidade de o curso d água disersar os oluenes que em suas águas se dissolvam.. Equações fundamenais De acordo com a rimeira lei de Fick, ara um rocesso de difusão molecular unidimensional, o fluo de massa de um soluo é roorcional ao gradiene de sua concenração, raduzido numa eressão maemáica or j D, () onde: j fluo ou aa de ransore de massa or unidade de área ransversal [ - T - ]. c concenração [ -3 ]. D coeficiene de difusão molecular [ T - ]. direção em que se desenvolve o rocesso. A inrodução da Eq.() numa equação de balanço de massa ermie esabelecer a relação que descreve como a massa é ransferida nos rocessos unidimensionais de difusão fickiana, conhecida como equação da difusão, que é da forma D, () sendo: emo no qual o rocesso se desenvolve. A solução fundamenal da Eq.() é obida ara as condições iniciais e de conorno: c ( ) δ( ) ( ±, ) c, (3) onde δ() reresena a função dela de Dirac, que em a roriedade de ser nula no emo inicial em odos os lugares, eceo em, e + δ ( ) d Para essas condições, a solução da Eq.() é da forma ( ) 4πD 4D c, (4) e (5) que, ara fio, é semelhane a uma disribuição gaussiana de freqüência, com variância σ. Dessa semelhança, ermie-se concluir que 4π D πσ, de onde se obém a relação básica do méodo dos momenos, que é um dos rocedimenos de cálculo do coeficiene de difusão (e, ambém, do coeficiene de disersão, comenado adiane). dσ D (6) d Para o caso do fluo de massa em escoameno urbuleno, mas com uma velocidade média redominanemene longiudinal, a alicação do rincíio da conservação da massa conduz à equação de ransore, que se escreve como (French, 985). + u + v + y w z D + D y + D z onde: c c(,y,z,). u comonene longiudinal insanânea da velocidade. v comonene verical insanânea da velocidade. w comonene ransversal (laeral) insanânea da velocidade. dimensão longiudinal. y dimensão verical z dimensão ransversal. (7) Adolh Fick, fisiologisa alemão, RE: R. Esc. inas, Ouro Preo, 58(): 7-3, jan. mar. 5

3 Anenor Rodrigues Barbosa Júnior e al. Para avaliar os efeios do ransore urbuleno, as quanidades insanâneas são reresenadas ela suerosição de uma fluuação urbulena ao seu valor médio emoral, segundo o modelo de Reynolds, (8) com as barras sueriores indicando valores médios no emo e u', v', w' e c', reresenando as fluuações urbulenas das corresondenes variáveis. Aós a subsiuição da Eq.(8) na Eq.(7) e da alicação da média emoral na equação resulane, considerada a hióese de serem nulas as médias das fluuações urbulenas e de serem consanes as médias emorais no inervalo de inegração, obém-se (9) Da analogia com a lei de Fick, os ermos advecivos de ransore urbuleno da Eq.(9) são ransformados em ermos difusivos, segundo () onde ε, ε y e ε z são, resecivamene, os coeficienes de difusão urbulena longiudinal, verical e ransversal. Assim, a Eq.(9) se reescreve como () onde a barra dula indica média esacial. Na Eq.(3), o ransore definido ela eressão enre colchees, semelhanemene à lei de Fick, é admiido como roorcional ao gradiene longiudinal de concenração, iso é, + u" c" E (4) ( D ε ) sendo E o coeficiene de disersão longiudinal. om a simlificação imosa ela Eq.(4), a Eq.(3) oma a conhecida forma da equação da adveção-disersão unidimensional: + U E (5) Para as condições iniciais e de conorno definidas ela Eq.(3), a Eq.(5) ode ser resolvida com o auílio da ransformação de variáveis X - U. (sisema de coordenadas lagrangeano), roduzindo a solução fundamenal da equação da advecção-disersão: ( U) (, ) e (6) A 4πE 4E sendo a massa insananeamene injeada no ono de coordenada, em canal uniforme de área de seção ransversal igual a A. A Eq.() coném os ermos de difusão molecular e urbulena, embora se reconheça que o esalhameno do soluo, devido à urbulência, é muio mais inenso do que aquele devido à difusão molecular (ε >> D). Aós a misura comlea do raçador er ocorrido na seção ransversal, a rincial variação da concenração no roblema bidimensional aqui definido assa a ocorrer na direção longiudinal. Além disso, em cursos d'água naurais, o rocesso de misura que se verifica na direção longiudinal é mais foremene influenciado elos gradienes ransversais de velocidade. Para inroduzir os efeios desses gradienes, os valores médios emorais da velocidade e da concenração são escrios em ermos de quanidades médias na seção ransversal, () onde U e são, resecivamene, os valores médios da velocidade e da concenração na seção ransversal, e u" e c" reresenam os desvios esaciais dessas variáveis com relação ao valor médio. Tomando-se a média da equação resulane na seção ransversal e baseando-se, ainda, na solução roosa or Taylor (953, 954), segundo a qual, ara valores suficienemene grandes da disância longiudinal,, em-se, conforme demonsrado or Holley (969), ara o roblema bi-dimensional, (3) 3. éodos de deerminação direa de E Da solução da Eq.(5) e da forma da Eq.(6) derivam vários méodos de obenção do coeficiene de disersão longiudinal, que requerem a rodução de dados de camo, normalmene gerados com o emrego de raçadores. Em geral, os méodos eigem o conhecimeno de disribuições emorais da concenração de um raçador, que se obém de eses de camo em que se injea o raçador arificialmene no curso d'água. Enre os rinciais méodos, esão aqueles aresenados or Fischer e al. (979), French (985) e Ruherford (994), enre ouros, conhecidos como méodo dos momenos, méodo da roagação (rouing rocedure) e rocedimeno gráfico de hawin (hawin, 97), além de dois ouros méodos simles baseados nas roriedades da Eq.(6). Todos esses méodos derivam da lei de Fick e requerem que as medidas de concenração sejam feias na zona de equilíbrio, iso é, a uma disân- RE: R. Esc. inas, Ouro Preo, 58(): 7-3, jan. mar. 5 9

4 éodos direos de deerminação do coeficiene de disersão longiudinal em cursos d água naurais... cia suficienemene grande do ono de injeção, onde já se verifica o equilíbrio enre os efeios causados ela não uniformidade do camo de velocidade e ela misura ransversal urbulena. O méodo dos momenos uiliza um modelo semelhane ao da Eq.(6), escrio ara o coeficiene de disersão longiudinal na forma dσ E (7) d onde σ reresena a variância esacial da disribuição de concenração, que é uma medida do esa- lhameno insanâneo sofrido elo raçador. Pela Eq.(7), ara a obenção de E de dados de camo, requer-se o conhecimeno da disribuição longiudinal da concenração. Na ráica, conudo, a alicabilidade do méodo esbarra no fao de que as concenrações são normalmene conhecidas em função do emo, em onos fios. Por isso, ara o emrego do méodo dos momenos, eige-se que a variância esacial da Eq.(7) seja convenienemene ransformada em variância emoral. om esse objeivo, uma aroimação é inroduzida ela imosição da hióese da nuvem congelada, ela qual se considera desrezível a disersão durane odo o inervalo de emo necessário ara que a nuvem do raçador asse elo ono de observação. A imosição dessa hióese ermie avaliar a disribuição esacial da concenração a arir da disribuição emoral, mediane a ransformação i i i (8) U i (, ), + sendo U a velocidade média do escoameno, i a disância longiudinal da esação de amosragem em relação ao ono de injeção do raçador (que corresonde à osição do cenróide da nuvem de concenração observada no emo i ) e sendo i o emo médio da assagem da nuvem do raçador ela esação de amosragem. Dessa consideração, conforme Fischer, resula σ (9) U σ onde σ é a variância emoral calculada a arir das medidas realizadas num ono fio a jusane do ono de lançameno. om a aroimação feia ela Eq.(9) e considerando válida a hióese de crescimeno linear da variância emoral, conforme eigido ela lei de Fick, ode-se escrever a fórmula de cálculo de E, com base em disribuições emorais da concenração nas seções e : ( ) σ ( ) E ( ) ( ) onde os ( ) U σ () i são emos médios da assagem da nuvem do raçador elas seções de medição e U () ( ) ( ) Para cada seção de medição, as variâncias e os emos médios são definidos or ( ) ( ) d σ ( ) d () d e d ( ) ( ) (3) sendo, e os momenos das disribuições emorais de ordens zero, um e dois, resecivamene. Na ráica, disondo-se de dois conjunos de ares de valores de e referidos a duas seções de amosragem searadas da disância -, as Eqs.() e (3) são resolvidas numericamene ara as seções e ara ober E ela Eq.(). Aualmene, o méodo mais aceio ara esimar o coeficiene de disersão longiudinal a arir de dados de camo é o méodo da roagação (rouing rocedure), que em essa denominação ela semelhança com o méodo da roagação de cheias (flood rouing). O méodo da roagação, desenvolvido or Fischer (968), uiliza erfis de concenração versus emo de duas esações de amosragem: o erfil de concenração medido na esação de monane, (,τ), é usado como a disribuição inicial do raçador ara gerar, or um rocesso de convolução e com valores ré-selecionados dos arâmeros U e E, o erfil de concenração na esação de jusane, (,τ), que é comarado com o erfil medido nessa esação. Enquano a comaração não for adequada, novos valores são esiulados ara os arâmeros U e E e o cálculo é reeido aé que um criério de melhor ajuse seja aendido. aemaicamene, o méodo consise em alicar uma inegral de convolução da disribuição inicial de monane, com uma função de resosa linear unidimensional, que se escreve na forma (French, 985) + U ( ) [ ( )], τ U + τ (, ) e dτ 4πE ( ) 4E ( ) (4) onde o emo τ reresena a variável de inegração. O méodo gráfico de hawin de esimaiva de E a arir de dados de camo é baseado na ransformação logarímica da solução fundamenal da equação da advecção-disersão, que, linearizada, ermie a alicação de um modelo simles de regressão. Esse rocedimeno, que é uma variação de um méodo aneriormene já rooso or Krenkel (96), oma or base o modelo da Eq.(6) reescria na forma 3 RE: R. Esc. inas, Ouro Preo, 58(): 7-3, jan. mar. 5

5 Anenor Rodrigues Barbosa Júnior e al. / k U ln (5) E E onde k é uma consane roorcional à quanidade do maerial ransorado elo escoameno. Admiindo-se o raçador conservaivo, essa consane ode ser avaliada com base nas medidas relaivas ao valor de ico da concenração: k A 4πE (6) Pela Eq.(5), ara a quanidade consane, a variável do rimeiro membro decresce linearmene com o emo. om base nos dados de camo e com o valor de k dado ela Eq.(6), ode ser gerado um conjuno de ares de valores de / { ln [ ( ) ( ) ] } e. Se o gráfico dessas quanidades roduzir uma linha rea, a velocidade média e o coeficiene de disersão oderão ser obidos da declividade da rea e da sua inerseção com o eio das ordenadas, resecivamene. O quaro méodo de esimaiva de E, aqui denominado méodo do ico de concenração, P (Ruherford, 994), requer o conhecimeno do valor da concenração máima ou de ico,. onforme a Eq.(6), ara um raçador conservaivo, em um emo i fio, a concenração de ico varia inversamene com a raiz quadrada da disância: A 4 πe A 4πE U (7) i Nessa equação, é a osição a jusane da fone onde ocorre a máima concenração no emo i. Da Eq.(7), um gráfico de versus em uma declividade igual a ( A π E U) 4, que ode ser esimada da regressão linear dos dados de camo. Para ober E, é reciso, ainda, conhecer a massa do raçador injeada, além da área da seção ransversal e a velocidade média do escoameno. Na ráica, conhecida a vazão Q, ode-se deerminar a área média da seção ransversal, AQ/U, odendo U ser obido da Eq.(). O quino méodo de obenção do coeficiene E deriva da eressão que fornece a eensão do recho c, em que a concenração suera um valor adoado como referência, ou críico,, no emo genérico i (Ruherford, 994), conforme visualizado na Figura. A arir da Eq.(6), escria ara no emo i, e considerando-se a relação dada ela Eq.(7), em-se ( U ) i ln (8) 4Ei i 4Ei ln (9) ou ( U ) A Eq.(9) em duas raízes, que são as disâncias e mosradas na Figura. A diferença enre essas raízes dá i ( ) 4 E ln (3) válida ara >. A Eq.(3) ode ser reformada fazendo-se uso da hióese da nuvem congelada, com (3) U ara roduzir a eressão de esimaiva de E na forma: E ( U 4) 3 ln( ) 6 ln( ) (3) Assim, considerado um conjuno de dados de concenração versus emo referido à esação localizada à disância a jusane do ono de injeção do raçador, a Eq.(3) oderá ser resolvida ara diferenes valores de / (e diferenes ) e um valor médio de E oderá ser calculado. Por uilizar dados relaivos à coroa da curva de concenração, e ara faciliar a referência a esse quino méodo de obenção direa de E, ele será designado or méodo da coroa de concenração ou. 4. onclusão Os méodos clássicos de deerminação direa de E, conhecidos como méodo dos momenos e méodo da roagação, eigem o levanameno das curvas de concenração versus emo em duas seções de amosragem, o que ode se consiuir em um laborioso rabalho de camo. Alernaivamene, ouros méodos mais simles ambém odem ser uilizados Figura - Visualização gráfica da eensão do recho em que a concenração ecede um valor de referência, no emo i. RE: R. Esc. inas, Ouro Preo, 58(): 7-3, jan. mar. 5 3

6 éodos direos de deerminação do coeficiene de disersão longiudinal em cursos d água naurais... na quanificação direa de E a arir de dados de camo, baseando-se ão-somene nas roriedades da solução fundamenal da equação da advecção-disersão. Enre esses méodos, além do conhecido rocedimeno gráfico de hawin, incluem-se dois ouros, que requerem aenas dados relaivos ao ico de concenração, ou algumas oucas informações relaivas à coroa da curva de concenração versus emo. Iso ode se consiuir em uma vanagem com relação aos méodos clássicos, esecialmene orque o cálculo ode ser realizado com dados de uma única esação de amosragem. Alicações e comarações dessas meodologias são aresenadas em ouro arigo, que consiui a Pare desse rabalho. 5. Referências Bibliográficas HATWIN, P.. On he inerreaion of some longiudinal disersion eerimens. Proceeding of he American Sociey of ivil Engineers. Journal of he Hydraulics Division. v. 6, n. HY,. 7-83, 97. FISHER, H.B. The disersion redicions in naural sreams. Proceeding of American Sociey of ivil Engineers. Journal of Saniary Enginnering Division. v. 94, n. SA5, , 968. FISHER, H.B., IBERGER, J., IST, E.J., KOH, R..Y., BROOKS, N.H. iing in inland and coasal waers. New York: Academic Press, FRENH, R.H. Oen-channel hydraulics. USA: cgraw-hill, Inc., HOEY, E.R. Unified view of diffusion and disersion. Proceeding of he American Sociey of ivil Engineers. Journal of he Hydraulics Division. v. 95, n. HY,. 6-63, 969. KRENKE, P.A. Wase disersion characerisics of sreams using urbulen diffusion henomenon. Journal of he Waer Polluion onrol Federaion. v. 34, n.,. 3-, 96. RUTHERFORD, J.. River miing. John Wiley & Sons TAYOR, G.I. Disersion of soluble maer in solven flowing slowly hrough a ube. In: Proceedings of he Royal Sociey of ondon, Series A, TAYOR, G.I. The disersion of maer in urbulen flow hrough a ie. In: Proceedings of he Royal Sociey of ondon, Series A, 3, Arigo recebido em 3/6/3 e arovado em 7//4. A quesão SEER ou não SEER deiou de eisir: Agora os auores uilizarão o SEER ara enviar e acomanhar seu arigo aé o momeno da ublicação. RE 69 anos divulgando iência 3 RE: R. Esc. inas, Ouro Preo, 58(): 7-3, jan. mar. 5