Propriedades estruturais de sistemas multivariáveis. Profa. Vilma A. Oliveira USP São Carlos Março Introdução...2

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1 Proprdads srras d ssmas mlvarávs Profa. Vlma. Olvra USP São Carlos Março Índc Smáro. Inrodção.... Dscrção d ssmas dnâms lnars Esabldad BIBO sabldad...3 UCaso Mlvarávl Esabldad d polnômos: o orma d Hrm Bhlr...5 Esabldad nos modlos spaço d sado...6 URsposa ao sado-zro...6 URsposa a nrada nla Esabldad local para ssmas lnars o não...7 UEsabldad nform...7 UEsabldad assnóca nform Méodo d Lyapnov Esabldad d ssmas lnars...9 UCaso nvaran no mpo Conrolabldad sablzabldad, obsrvabldad, dcabldad, Conrolabldad... Ssmas varans no mpo... USsmas nvarans no mpo Esablzabldad Obsrvabldad...4 USsmas varans no mpo...4 USsmas nvarans no mpo Dcabldad Conrolabldad obsrvabldad para ssmas lnars nvarans dscros no mpo...7 U55Conrolabldad...7 Obsrvabldad Eqação d Lyapnov Dmposção d Kalman... 6.Forma d Jordan...3 7Polos zros...5

2 7.Polos zros d ransmssão...6 UCaracrzação no domíno do mpo d pólos zros d ransmssão Zros nvarans...8 UCaracrzação no domíno do mpo d zros nvarans Zros d dsaplamno...3 Zros polos no nfno...3 Conjno d zros do ssma (,B,C,D) não qadrado...3. Inrodção Dran as úlmas das décadas a srra d ssmas lnars m sdo asvamn sdada por dvrsos aors m dfrns nos. Dsacam-s as nrbçõs d Wolovch (967), Kalah (98), Wonham (985) Rosnbrock (97). srra d polos zros do ssma proprdads d nrolabldad, sablzabldad, obsrvabldad, dcabldad dsmpnham m papl mporan no projo d ssmas d nrol. s srras d zros fnos nfnos das fnçõs d ransfrênca do ssma dado da malha objvo êm m papl prpondran na análs procdmno d rcpração d fnçõs d ransfrênca do ssma. Na vrdad, o ma rcpração d fnçõs d ransfrênca d malha pod sr vso mo o sdo d arbção d ma srra d zros a m ssma a malha fchada dnro das ndçõs mposas plas srras dos zros da plana da malha objvo. s rprsnaçõs d ssmas rlanadas m as proprdads d ssmas lzam a dmposção d Kalman ma bas d ordnada spcal d Sabr. Rfrêncas lzadas: Colanr, P., Groml, J. C. & Locall,. (997). Conrol hory and Dsgn - n RHBB RHBB Vwpon. cadmc Prss, London. Zho, Kmn, J. C. Doyl & K. Glovr (996). Robs and Opmal Conrol. Prnc Hall, Uppr Saddl Rvr. Morrs, Krsn (). Inrodn o Fdback Conrol, cadmc Prss. nsakls & Mchl (7). Lnar Sysm Prmr, Brkhasr.. Dscrção d ssmas dnâms lnars Consdr a rprsnação d ssmas na forma spaço d sado + B, y C + ond D m R é a nrada, y p R, a saída, n R o sado,, B, C D marzs nn, nm, pn pm. () Um ssma m ma nrada (m) ma saída (p) é chamado ssma SISO das ncas d sngl np and sngl op, s não for o caso o ssma é chamado MIMO das ncas d mlpl np and mlpl op). rrspondn marz d ransfrênca nr y é dfnda por: Y ( s) G( s) U ( s) () ond G ( s) C( si ) B + D Spõ-s q G(s) m poso mplo Poso(G(s)mn(p,m):r. sgn noação é sada: B C si B + D C D : ( ) (3) (, B, C, D) dnoa o ssma dnâm lnar na forma spaço d sado. O modlo spaço d sado (, B, C, D) al q G ( s) C( si ) B + D é dnomnado ma ralzação spaço d sado d G(s).

3 , o 3. Esabldad 3. BIBO sabldad Dfnção 3.: Um ssma lnar rlaado é do sr BIBO sávl s só s para qalqr nrada lmada a saída for lmada. Caso nno orma 3.: Um ssma monovarávl rlaado dscro por y( ) g(, τ ) ( (4) é BIBO sávl s só s sr m fno k al q g (, k < (, ) (5) orma 3.: (Chn, 999) Consdr m ssma monovarávl rlaado y( ) S g(, τ ) ( g (, τ ) d k < para algm k não m-s: (6). S for ma fnção pródca m príodo ; ( ) ( + ) para odo fnção pródca m o msmo príodo.. S () for lmada ndr para ma nsan não a saída nd para ma nsan. 3.S for d nrga fna, o sja: não a saída () y nd a ma ( ) d k <, (7) não, a saída é ambém d nrga fna, s kbb dpndn d kbos, o sja, B y y( d k < ) (8) Obsrvação: saída aprsna as msmas proprdads da nrada m m ssma BIBO sávl. Consdr o spaço lnar m norma L m R m dnoado por L, ; R m. Dfnção 3.: Um ssma é L sávl o rnamn sávl s para oda nrada prncn ao spaço lnar m norma L, o sja, L, ; R m, a saída y L,; R p. Coroláro 3.: (Rsposa m frqüênca). Sja o ssma nvaran no mpo y( ) g(, τ ) ( (9) 3

4 s g (, k < para algm k s ( ) sn ω, não y ( ) g( jω ) sn( ω + ond Im g(j ω ) θ an R g(j ω ) θ ) () Vrfcação: Lmbrando q sn( τ ) sn sτ s sn τ m-s: y( ) g( τ ) ( snω g( τ )s ω τ dτ s ω g( τ ) snω τ dτ g( τ ) snω ( - Uma vz q g( τ ) snω ( g( τ ) snω ( g( g é ngrávl), o sja g(, m-s: y( ) snω (R g( jω ) ) + s ω (Im g( jω ) ) m g( jω ) a ransformada d Forr d g (). gora, sando a dndad d Elr para sn s,.. jω jω jω jω jω jω snω j ( ), sω ( + ), m-s q y( ) [ g( jω ) g( jω ) ] j Fnalmn, sando a noação fasoral para g ( jω ),.., g( jω ) g ( jω ) g( jω ) y( ) g( jω ) sn( ω + θ ) jθ m θ, pod-s scrvr Im g( jω ) an R g( jω ) -.. g ω ) jθ ( jω ) g( j orma 3.3: Um ssma monovarávl rlaado dscro por g(s) é BIBO sávl s só s odos os polos d g(s) svrm no smplano laral sqrdo do plano s o, qvalnmn, s odos os polos d g(s) vrm a par ral ngava. UCaso Mlvarávl Dfna g mo a rsposa mplsonal nr a j-ésma nrada -ésma saída. j orma 3.4: Um ssma rlaado y( ) G(, τ ) ( é BIBO sávl s só s sr k fno al q () 4

5 G(, k <, ond G(, τ ) : τ G(, ) ma j g j () G (.,.) p R m R. Na vrdad qalqr norma podra sr sada. orma 3.5: Um ssma mlvarávl rlaado dscro por y ( s) G( s) ( s) ond G (s) é ma marz ranal própra, é BIBO sávl s só s odos os polos d cada lmno d G (s) vrm par ral ngava. 3. Esabldad d polnômos: o orma d Hrm Bhlr O orma d Hrm Bhlr fornc ndçõs ncssáras sfcns para a sabldad d polnômos sando a ndção d nrlaçamno. Proprdad 3.: S P(s) é m polnômo ral d Hrwz não odos os ss fcns são não zro êm o msmo snal, o posvo o ngavo. Proprdad 3.: S P(s) é m polnômo ral d Hrwz d gra n, o arg[p(jw)] é ma fnção nína sramn crscn d w (, ). lém dsso, a fas para w (, ) é nπ. orma 3.6 (Hrm Bhlr): Sja s a a s a n s n a n s n m polnômo ral d gra n. Escrva s s s o s ond s,s o s são as mponns d s d poêncas d s pars ímpars, rspcvamn. Sjam zros ras não ngavos d ( w ) o,, w w zros ras não ngavos d δ ( w ) w, w, o o δ, ambos dsposos m ordm ascndns d magnd. Enão, (s ) δ é Hrwz sávl s só s odos os zros d δ ( w ), δ o ( w ) são ras dsnos, δ n, δ n possm o msmo snal os zros ras não ngavos sasfazm a sgn proprdad d nrlaçamno: w < w < w < w <. Os gráfs abao lsram m polnômo sávl. < o o Uma caracrzação analíca qvaln do orma d Hrm Bhlr fo dada por Bhaachaaryya (99) sgda por sa gnralzação m vsas a lzação da proprdad d nrlaçamno d polnômos sávs no projo d obnção d famílas d nroladors sablzans para ssmas monovarávs não ncssaramn d fas mínma. 5

6 3.3 Esabldad nos modlos spaço d sado Consdr o ssma (, B, C, D) y ( ) + C( ) B( ) (3) ( ) s( ; o,,) + s( ;,, ) (4) URsposa ao sado-zro y( ) C( ) Φ (, τ ) B( τ ) ( G(, τ ) ( (5) ond Φ (, τ ) é a marz ransção d sado. Sgm as prncpas proprdads da marz d ransção d sado:. Φ (, ) I (6). Φ (, ) Φ (, ) Φ (, ) Φ (, ) Φ (, ). (8) 3. orma 3.7: rsposa ao sado zro d (, B, C, D) é BIBO sávl s só s sr m númro fno k al q C( ) Φ (, τ ) B( k < (9) para odo BB para odo B. (7) URsposa a nrada nla ( ) ( ) : s( ;,,) Φ (, ) () Dfnção: Um sado d (, B, C, D) é m sado d qlíbro m BB s só s s( ;,,), para odo, para odo. O sado d qlíbro é solção d ( ),. Obsrvação: O sado zro,, é smpr m sado d qlíbro d ( ). 3.4 Esabldad local para ssmas lnars o não 6

7 Dfnção 3.: Um sado d qlíbro é sávl m BB no sndo d Lyapnov (.s.l) s só s para odo ε >, sr m númro posvo ( ε, ) s( ;,,) ε para odo. δ al q s δ, não UEsabldad nform O sado d qlíbro é nformmn sávl no sndo d Lyapnov (.s.l) sobr [BB, ) s só s para cada ε >, sr m δ posvo q dpnd d ε mas não d BB al q δ s( ;.,,) ε para odo para odo, não Insávl ssnocamn sávl Β ε Esávl.s.L. Β δ rajóra assnocamn sávl Β ε Β δ Esávl. s. L. "Eslh-s prmro ma bola BBεB, para cada BBεB dv sr ma bola BBδB al q rajóras ncando dnro d BBδB não scapa d BεB, qando crsc ndfndamn". 7

8 Dfnção 3.3: O sado d qlíbro é assnocamn sávl m BB s for sávl (.s.l) m BB s oda rajóra ncando sfcnmn prómo d nvrg para qando. Dado algm γ > al q s ( ) γ, não para qalqr ε > s m, (, γ, ) > ε al q s( ;, ( ),) ε, odo + UEsabldad assnóca nform O sado d qlíbro BB é nformmn assnocamn sávl sobr [BB, ) s na Dfnção 3.3 ndpnd d BB. 3.5 Méodo d Lyapnov Consdr o ssma f ( ); f () déa básca do méodo d Lyapnov é assocar a sabldad do ssma à varação d nrga. S m ssma poss m sado d qlíbro sávl, não a nrga oal armaznada no ssma dcrsc m o mpo aé a nrga oal angr o s valor mínmo no sado d qlíbro. sabldad é analsada va ma fnção scalar spcal chamada fnção d Lyapnov. Dfnção. fnção d Lyapnov V() sasfaz as sgns ndçõs para odo _{}>_{} para odo na vznhança d, m m pono d qlíbro do ssma. V() sas drvadas parcas são dfndas são nínas.. V() 3. V()> para odo V m V a drvada d V() m rlação às rajóras do ssma,.. V L V ( ) f grad V ( ) f ( ) Noa-s q a drvada d V() é o prodo scalar d dos vors. fnção f() é m vor q apona no sndo da angn da rajóra () do ssma naql pono, grad V ( ) é m vor normal, no sndo d crscmno d V() m rlação à ma crva d nívl V()c, c>.. 5 V ( ) c f ( ) θ - g r a d V ( )

9 orma 3.8. Sponha q ma V() possa sr drmnada para o ssma. Enão, o sado d qlíbro é assnocamn sávl s V for ngava dfnda sávl no sndo d Lyapnov s V for ngava smdfnda. Coroláro [Prncípo d nvarânca d La Sall]. Sponha é m pono d qlíbro. Sponha V () ma fnção dfnda posva nnamn dfrncávl m D nndo a orgm al q V m D. Dfna S { D V ( ) } sponha q a únca solção q não da S é a solção rval. Enão, a orgm é assnocamn savl. 3.6 Esabldad d ssmas lnars s dfnçõs d sabldad d sados d qlíbro dadas anrormn êm ma narza local porq não s sab qão pqnas as nsans δ γ dvm sr. Enrano, para ssmas lnars por casa da proprdad d homogndad δ γ as dfnçõs d sabldad podm sr snddas para odo o spaço d sado. O q sgnfca q m ssmas lnars sabldad local mplca sabldad global. orma 3.9: O sado d qlíbro d algma nsan k(bb) al q ( ) é sávl no sndo d Lyapnov m BB s só s sr Φ (, ) k < para odo () s k for ndpndn d BB m-s sabldad nform.s.l. Obsrvação: S o sado zro for assnocamn sávl, não, o sado zro é o ún sado d qlíbro do ssma. S sss oro dfrn d zro, slhndo-o mo ndção ncal s não s apromara do sado zro. orma 3.: O sado zro d Φ ( ( ) é assnocamn (ponncalmn) sávl m BB s só s, ) k( ) < Φ (, ) qando. O sado zro é nformmn assnocamn sávl sobr [BB, ] s só s sm númros posvos kbb kbb as q Φ (, ) k k ( ) () para qalqr para odo. UCaso nvaran no mpo Inspnando a solção ( ) m m n k m k [ k + + n ( n ) ] m,, m os m aovalors m mlplcdad n dsnos d sando 9

10 k [[ )! ( )! lm s k n k n ( n k ) s ( si ) ] ], pod-s sablcr o sgn orma para sabldad. orma 3.: O sado d qlíbro d é. assnocamn sávl s só s odos os aovalors d vrm par ral ngava o sja R <,, n.,. sávl no sndo d Lyapnov o margnalmn sávl s só s odos os aovalors d vrm par ral zro o ngava, o sja, R,, n, aqls m par ral zro R form, raízs smpls do polnômo mínmo d qando n j ( n j k ) jk lm [[ s j ) ( si ) ] ], k,, n j s 3. nsávl s só s ndção () não for sasfa.. j Méodo d Lyapnov orma 3.. Consdr o ssma lnar m d. Consdr V ( ) P, P P >. Enão, V() é ma fnção d Lyapnov do ssma lnar s só s para qalqr Q Q > s P P > al q P + P Q Prova. Para V ( ) P, P P > m-s V ( ) P + P. Usando pod-s scrvr V ( ) P + P. Enão, V ( ) [ P + P] o rslado sg. Q <, orma 3.3 (Esabldad local). S m ma bola B R s ma fnção scalar V() m drvadas nínas al q. V()> localmn. V ( ) localmn m B R. Enão, o pono d qlíbro é sávl. S V ( ) < m B R não a sabldad é assmpóca. UCaso dscro no mpo ( k + ) ( k) Solção (k) k ( k) (3) (4)

11 sndo orma 3.4: qação ( k + ) ( k) é margnalmn sávl o sávl sgndo Lyapnov s odos os aovalors d vrm magnds mnors o gas a aqls m magnds gas a form raízs smpls do polnômo mínmo d. orma 3.5: qação ( k + ) ( k) é assnocamn sávl s odos os aovalors d vrm magnds mnors do q. 4. Conrolabldad sablzabldad, obsrvabldad, dcabldad, 4. Conrolabldad Ssmas varans no mpo O n d nrolabldad sá rlanado m nradas sados o n d obsrvabldad m saídas sados. São proprdads srras dos ssmas ( (.), B(.), C(.), D(.)) q forncm nformaçõs rlvans para o projo d nrol. Dfnção 4.: Um ssma ( (.), B(.), C(.), D(.)) é nrolávl m BB s sr ma l d nrol (nína por pars) q ransfra qalqr sado ncal n R a m sado arbráro n R m m mpo fno BB>BB. orma 4. (Chn, 984): Sja f ma fnção nína d valor mplo dfnda m [, ]. Sja F ma marz np m B fb sa -ésma lnha. Dfna a marz W (, ) F( ) F ( ) d (3) não fbb, fbnb são lnarmn ndpndns m, ] s só s W, ) for não snglar. [ orma 4. (Chn, 999): Um ssma ( (.), B(.), C(.), D(.)) é nrolávl m BB s só s sr m BB>BB fno al q as n lnhas da marz n m Φ (,.) B(.), sjam lnarmn ndpndns (LI) m [BB, Bf]. ( Vrfcação: Sfcênca. S as lnhas d Φ (,.) B(.) form LI m [BB, BB], plo orma 4. a marz W (, ) Φ (, τ ) B( τ ) B( τ ) Φ (, é não snglar. Para qalqr (BB)B B qalqr BB pod-s mosrar q a nrada ( ) B ( ) Φ (, ) W (, )[ Φ (, ) ] lva BB ao sado B Bm BB. (33) Ncssdad: Por nradção. Sponha ( (.), B(.), C(.), D(.)) nrolávl m BB mas m as lnhas Φ (,.) B(.) lnarmn dpndns m [, ], BB>BB fno. Enão s m vor n nsan α al q α Φ (,.) B(.), [, ]. (34) Consdr agora a solção da qação spaço d sado para ( ) (, ) ( ) Φ + Φ (, τ ) B ( τ ) (. (35) Pré-mlplcando a solção acma por Φ (, ) slhndo (BB)BBα m-s

12 Φ (, ) ( ) Φ (, ) Φ (, ) α ' + Φ (, ) Φ (, τ ) B( τ ) (. (36) α ' + Φ (, τ ) B( τ ) ( gora, prmlplcando por α m-s α Φ (, ) ( ) α α ' + α Φ (, τ ) B( τ ) (. Por hpós, ( (.), B(.), C(.), D(.)) é nrolávl m BB. ssm, para qalqr sado BB, m parclar ( ), s (), m [, ] al q ( ). Uma vz q por sposção α Φ (,.) B(.), [, ], ( ) mplca α α ' nsqünmn q α, o q é ma nradção o rslado sg. USsmas nvarans no mpo orma 4.3: s sgns proposçõs são qvalns.. O ssma (,B,C,D) é nrolávl m qalqr nsan BB [,).. s lnhas d B são LI m [,) sobr o rpo dos númros mplos. 3. marz d nrolabldad U [ B B B B] poss poso n. c τ τ 4. marz W ( ) BB dτ é não snglar para qalqr >. Prova. prsna-s a sgr a prova d 3. Consdr a solção d (, B, C, D) no nrvalo [, ] B d. Para smplfcar nsdr ( ). ssm, ( ) Φ ( n τ ) B( (lmbr-s q Φ ( ) q ). Ulzando o orma d Cayly-Hamlon pod-s scrvr k n ( α ), k n não k Φ ( ) k k k k! k k! n k ( α k ) n k ( α k k ) k! Usando a prssão acma na qação d ) dfnndo γ ( ) ( α ) m-s n ( ) B γ ( τ ) ( n Bq ( m q γ τ ) (. ssm, pod-s scrvr ( k! k k k n ( ) Uq m U [ B B B B] q q q... q ]. Esa qação é m ssma d n qaçõs [ n algébrcas lnars m nm ncógnas. O problma d drmnar () para obr ( ) rdz-s à solção

13 ds ssma d qaçõs. Da álgbra lnar sab-s q o ssma poss solção para ) arbráro s o poso d U for gal a n o rslado sg. ( orma 4.4. O ssma dnâm (,B,C,D) o qvalnmn o par (,B) é nrolávl s só s as ndçõs qvalns sgns form vrfcadas: a) Popov-blvch-Has (PBH) s: poso [ si B] n, s (37) o njno d aovalors da par não nrolávl d (,B) ncd m o njno d valors d s para os qas a marz acma prd poso. b) Kalman s: n poso[ B B ( ) B] n (38) c) Wonham s: Dado m njno arbráro smér Λ d n númros mplos, s ma marz K al q o spcrm d +BK ncd m Λ. Prova. a) Vola: Sponha q poso [ si B] < n para algm s. Enão, s aovor v al q v [( I ) B] para o aovalor rrspondn. ssm, ma vz q v I v v B, n v [ B B B B] n v [ B B B B] o q mplca q (,B) não é nrolávl plo s d Kalman. n a) Ida: Sponha agora q (,B) não é nrolávl. Enão, s v al q v [ B B B B]. O q mplca q v B,,, n. ssm, [ si B] prd poso m s. 4. Esablzabldad orma 4.5: O ssma dnâm (,B,C,D) o qvalnmn o par (,B) é sablzávl s só s as ndçõs qvalns sgns form vrfcadas: b) PBH s: poso[ si B] n, R( s) (39) b) Kalman s: par não nrolávl do ssma é sávl. Já para a par nsávl o poso poso [ si B] n, o q sgnfca q para odo rrspondn aovor v al q v v R( ) m - s v B. c) Wonham s: Es ma marz K al q +BK é sávl. 4.3 Obsrvabldad USsmas varans no mpo Consdr o ssma ( (.), B(.), C(.), D(.)) : ( ) + B( ), y C( ) + D( ) ond m R é a nrada, (, ). p R y, a saída, n R o sado, (.), B(.), C(.), D(.) marzs nn, nm, pn pm (5) 3

14 Dfnção 4.: Um ssma ( (.), B(.), C(.), D(.)) é obsrvávl m BB s só s sr m nsan mpo fno BB, BB> BB, al q para qalqr sado ncal (BB). rsposa do ssma ( (.), B(.), C(.), D(.)) é dada por n R a nrada a saída y são sfcns para drmnar ncamn τ τ τ τ (6) y ( ) C ( ) Φ (, ) ( ) + C ( ) Φ (, ) B ( ) ( ) d + D ( ) ( ) No sdo da sabldad d m ssma, a saída y a nrada são nhcdas o sado ncal é dsnhcdo. S (BB) for nhcdo o sado pod sr mpado para >BB a parr d ( ) Φ (, ) ( ) + Φ (, τ ) B ( τ ) ( + D ( ) ( ) (7) orma 4.6: Sponha as marzs (.) C(.) (n-) vzs dfrncávs. Enão, o ssma ( (.), B(.), C(.), D(.)) é obsrvávl m s sr > B Bfno al q N ( ) N ( ) poso N ( ) N n ( ) n (8) ond N k + ( ) N k ( ) ( ) + d N k ( ), d k,,, n N( ) C( ) orma 4.7: O ssma ( (.), B(.), C(.), D(.)) é obsrvávl m s sr > fno al q as n lnas da marz p n (.) (,.) form LI m, ] [ USsmas nvarans no mpo orma 4.8. O ssma dnâm (, B, C, D) o qvalnmn o par (,C) é obsrvávl s só s as ndçõs qvalns sgns form vrfcadas (. Kalah, 98):. Popov-Blrch-Has (PBH) s: si poso n s C, (9) o njno d aovalors da par não obsrvávl d (,C) ncd m o njno d valors d s para os qas a marz acma prd poso.. Kalman s: poso[ C m O C ( ) n C ] n n [ C C ( ) C ] a marz d obsrvabldad. 3. Wonham s: Dado m njno arbráro smér Λ d n númros mplos, s ma marz L al q o spcrm d +LC ncd m Λ. (3) 4

15 4.4 Dcabldad orma 4.9 : O ssma dnâm (, B, C, D) o qvalnmn o par (,C) é dcávl s só s as ndçõs qvalns sgns form vrfcadas: a) PBH s: si poso n, C si o sja C R(s) poss poso lna mplo. (3) b) Kalman s: par não obsrvávl do ssma é sávl. Iso é, para odo rrspondn aovor v al q v v R( ) m - s Cv. Caso nha-s Cv, plo PBH s, o ssma não sra dávl pos si si v C m v m-s q < n, C nradzndo a ndção d poso lna mplo. c) Wonham s: Es ma marz L al q +LC é sávl. orma 4.: (orma da daldad) O par (,B) é nrolávl s só s o par (, B ) for obsrvávl τ τ Prova. O par (,B) é nrolávl s só s W ( ) BB dτ for não-snglar para qalqr. O par (, C) o τ é obsrvávl s só s W ( ) C C dτ for não snglar. Sbsndo por τ τ m-s W ( ) BB dτ o τ c C por B m W o () q é não-snglar. ssm, W o () W c () são dêncas o orma sg. Ercí (Kalah, 98): Consdr m carrnho m dos pêndlos nvrdos: m m θ M θ Eqaçõs do movmno: mv mgθ mgθ + m( v + l θ ) mgθ,, ond v é a vlocdad a força rna aplcada. Prgna-s:. É possívl nrolar os pêndlos (manê-los na vrcal m ( ))?. O ssma é obsrvávl m y θbb? 5

16 Solção. Dfnndo θ, θ, 3 θ, 4 θ lmnando v nas qaçõs d movmno m-s: + b ond a a3 a a 4, B / M / M m a ( M + m) g M, a mg M a 3 mg M, a 4 ( M + m) g M. Para manr os pêndlos na vrcal, a ralzação m d sr nrolávl: θ θ. poso U d( U ) qando ( M g ( ) ) ond U é a marz d nrolabldad. Porano, s. y θ, c [ ] d( O) a ( mg) M ond O é a marz d obsrvabldad. Porano o ssma é obsrvávl. o ssma não é nrolávl. 4.5 Conrolabldad obsrvabldad para ssmas lnars nvarans dscros no mpo s qaçõs d spaço d sado dscras são normalmn scras mo: ( k + ) ( k) + B( k), (), k y( k) C( k) + D( k) (4) narza rcrsva das qaçõs spaço d sado dscras orna fácl a vrfcação da nrolabldad obsrvabldad. marzs d nrolabldad d dmnsão n mn U : [ B B B n B] obsrvabldad d dmnsão pn n C C V : C n C (4) (4) dsmpnham m papl mporan na análs d ssmas d nrol. 6

17 U5Conrolabldad parr das qaçõs d sado pod-s scrvr a sa solção para k no nrvalo [ n-] ( n) o ( n) n n + [ B B B n B ] ( n ) ( n ) () () ( n ) ( n ) n [ B B B B]. () () (43) qação acma pod sr rscra no nrvalo [ k ]. ( k ) ( k ) k ( k) U k () () ond k U [ B B B B]. k nalsando a qação acma, qalqr sado ncal pod sr ransfrdo para m sado qalqr m no mámo n passos s só s a marz d nrolabldad U k vr poso n. Em oras palavras s [ k k ] para qasqr (k) BB s só s o poso U k n. E, plo orma d Cayly Hamlon prcsa-s vrfcar s poso U k n aé k n. Obsrvabldad parr da qação d saída pod-s scrvr a sa solção para k no nrvalo [ n-]: y() C() y() C() C() + CB() y(3) C(3) C( () + B()) C( C() + CB()) C () + CB() M n n y( n ) C () + L + C B( n ) + L + CB() + CB() (44) Na forma marcal m-s: 7

18 y() () y() + () V() y( n ) ( n ) m CB CB CB n n C C CB. (45) nalsando (45) acma pod-s afrmar q o sado m k pod sr rcprado a parr das nradas saídas s só s a marz d obsrvabldad V vr poso mplo. qação acma pod sr rscra para a nrada (.) gal a zro solção y(.) no nrvalo [ k ]. y() y() Vk () (46) y( k ) ond C C V k. k C D ardo m rslados da álgbra lnar, () pod sr rcprado s só s poso VBkB n, para algm k. E, plo orma d Cayly Hamlon prcsa-s vrfcar s poso VBkB n aé k n. orma 4.: Uma ralzação (, B, C, D) é mínma s (,B) for nrolávl (C,) obsrvávl. 5. Eqação d Lyapnov Os ss d sabldad, nrolabldad obsrvabldad podm sr fos ndramn va a qação d Lyapnov. Consdr a qação d Lyapnov (lmbrar da qação d Sylvsr vsa anrormn M + MB C m nn B mm) P + P + Q (47) m Q marzs qadradas nhcdas). Sab-s q sa qação poss solção únca s ( ) + ( ),, j, n. Para mosrar ssa ndção, scrvr (47) da forma j, ( ) vc( P) vc( Q) m q vc(x) é m vor lna formado plas lnas d P mplhadas é a soma d Kronckr dfnda por B ) mplo, s é nn B mm, não, o prodo d Kronckr nm nm ( Im) + ( In B C m o prodo d Kronckr, por ab B an B B é a marz blo nmnm: a nb. a B nn 8

19 Bd gora, vrfcar q os aovalors d são dados pla soma ( ) + j ( ),, j,, n. sgr sda-s a rlação nr a sabldad a solção P. Lma 5.: Sponha sávl. Enão, as sgns afrmaçõs são vrdadras. ) P Q ) P > s Q > P s Q ) s Q não ( Q, ) é obsrvávl sss X > (48) Prova. afrmação ) sg sbsndo X na qação d Lyapnov: P + P d d Q Q Q d + d Q d Q Q Para vrfcar as afrmaçõs ) ) sponha m aovalor d v m aovor rrspondn al q v v. Pré-mlplcando P P + P + Q por vp pós-mlplcando por v sando v v obém-s: R( )( v Pv) + v Qv. gora, dsd q é sávl m-s P > s Q > P s Q porano ) sg. O rslado ) pod sr mosrado sando o s d Kalman para obsrvabldad do par ( Q, ) q dz q para odo rrspondn aovor v al q v v m-s Qv. Sfcênca. Dsd q é sávl Q m-s Qv s P >. Ncssdad. Sponha X > não Qv (Q,) é obsrvávl. Coroláro 5.: S for sávl o par (C,) é obsrvávl ss a solção da sgn qação d Lyapnov for dfnda posva Lo + Lo + C C. (49) solção LBo Bé chamada B Gramano d obsrvabldad. Smlarmn, o par (,B) é nrolávl ss a solção da sgn qação d Lyapnov for dfnda posva Lc + Lc + B B. (5) solção LBo Bé chamadab Bd Gramano d nrolabldad. Lma 5.. Sponha X é a solção da qação d Lyapnov P + P + Q, não ) R ( ) s P > Q ) é sávl s P > Q > ) é sávl s P, Q ( Q, ) é dcávl (5) Prova. Sponha m aovalor d v m aovor rrspondn al q v v. Pré-mlplcando P P + P + Q por vp pós-mlplcando por v sando v v obém-s: R( )( v Pv) + v Qv. (5) gora, s P > não v Pv > fca claro q R( ) s Q R( ) < s Q > Daq ) ) sgm. O rslado ) sg sando nradção. Sponha R( ). Uma vz q Q, so mplca q 9

20 v Qv.., Qv sando (5). Iso mplca q é m modo nsávl não obsrvávl nradzndo a sposção (Q,) dcávl. Lma 5.3. (Dsor, 99) Sponha Q Q > q a qação d Lyapnov m solção únca PP >, não o sado d qlíbro zro d Prova: Consdr a forma qadráca: é ponncalmn sávl,.. ) C. ( V ( ) P Dsd q PP >, pod-s obr P não pod-s scrvr: P U Λ U m U U I Λ a marz dagonal nndo os aovalors d lzando P U mn ( P) I z z. ( P) I mn Λ U z Λ z; z : U Λ ma ( P) V ( ) ( P), ma n C Calclando a drvada d V () obém-s V ( ) [ P + P] Q mo Q Q > m-s ( Q) Q, C. n Daq, ao longo d qalqr rajóra C,, R+ m-s mn n Por ngração m-s: V V mn : α <, mn ( Q) ( P). V ( ) V ( ) p[ α ( )], Fnalmn, sando a dsgaldad d V() acma pod-s scrvr: mn ma ( P) ( P) V ( ) p[ α ( V ( ) )] o q dá ma mn ( P) p[ α ( ( P) )]. ssm, m ( ) Φ (, ) sando a norma ndzda: Φ (, ) : Φ (, sp )

21 m-s: ma ( P) Φ (, ) p[ α ( )], mn ( P) plo orma 3.9 sg q o ssma é ponncalmn sávl. 6. Formas canôncas 6. Dmposção d Kalman orma 6.: Dmposção d Kalman. Sja (,B,C,D).: + B y C + D s ma ransformação qvaln al q o ssma (,B,C,D) orna-s:,b,c,d) : y ond c : vor d sado nrolávl obsrvávl; c 3 c 3 4 c ( c c : vor d sado nrolávl não obsrvávl; : vor d sado não nrolávl obsrvávl; : vor d sado não nrolávl não obsrvávl. [ C C ] + D a fnção d ransfrênca d (,B,C,D) é dada por : G(s) C ( si ) B + a qal dpnd apnas da qação nrolávl obsrvávl do ssma. D + B B (53) Vrfcação: S o ssma (,B,C,D) não é nrolávl, s pod sr ransformado m c c c Bc c + c c y [ C c c C c ] + D c c m : Q, Q [ q qk qk + qn ] [ q qk] { b c b m q o ssma nrolávl é: + B c y C c c c c c n, } b

22 c ssm, o spaço d sado é parnado m dos spaços orogonas: m o prmro sndo c o sbspaço nrolávl o sgndo o sbspaço não nrolávl. Enão, o sbspaço nrolávl é grado plas lnas q,,, k o, qvalnmn, pla magm da marz d nrolabldad. S a par nrolávl não for obsrvávl sa pod sr ransformada m: B + B y ond o ssma obsrvávl nrolávl é: [ C ] + D y C Smlarmn, a par não nrolávl pod sr dmposa m par obsrvávl par não obsrvávl. Combnando sas das pars chga-s à forma canônca d dmposção do ssma. Rsa mosrar q C( si-) B + D C ( si ) B + D Ulzando a forma proposa as sgns rrspondêncas podm sr radas: C( si [ C C ] [ C C ] - [ C ( si - ) ] C ) ( si B ) B si + D B B si si si c si + B si si 3 3 B B si 4 B B ssm,, B, C ) é obsrvávl nrolávl. fgra abao lsra as ncçõs nrada-saída do ssma. (

23 c o c o y c o C c o Obsrvação : D (53 ), m-s q o spaço nrolávl é da forma {[,,,] } o spaço não obsrvávl é da forma {[,,, ] }. Obsrvação : Es ma prda d nformação sobr a dnâmca dos sados não obsrvávs, não é possívl aar sobr as nradas não nrolávs. 6. Forma d Jordan Para m ssma (,b) nrolávl, a forma d Jordan pod sr obda a parr da ransformação d smlardad dada por n P P b b b. m [ ] forma d Jordan prm vrfcar por nspção a nrolabldad obsrvabldad d m ssma (,B,C,D). Consdr o ssma spaço d sado ( J,B, C) : J + B (54) y C J sá na forma d Jordan. Consdr J : dag ( J, J ) ond JB Bnss d 3 blos d Jordan assocados a m msmo aovalor BB JBB blos assocados a m aovalor BB : J : dag( J, J, J ) J : dag( J Dno a lnha d B rrspondn à úlma lnha d JBjB mo b j a lna d C rrspondn à prmra lna d JBjB mo c fj. orma 6.. O ssma ( J,B, C) é nrolávl s só s as lnhas d B { b, b, b 3} form lnarmn ndpndns os vors { b, b } form lnarmn ndpndns.. O ssma ( J,B, C) é obsrvávl s só s as lnas d C { c f, b f, c f 3} form lnarmn ndpndns as lnas { c f, c f } form lnarmn ndpndns. Vrfcação. Ulzar o PBH s: poso [ si J B] n, fazndo s opraçõs lmnars d lnas dpos rpr o procdmno para s., J ) 3 3

24 UEmplo + 3 y 3 Ssma nrolávl: ] ];[ ];[ [ são lnarmn ndpndns ] [ dfrn d zro. Ssma não obsrvávl: 3 ; ; lnarmn ndpndns, mas, gal a zro. b y y y y y y y s - s - s - s - s - s - s - f c b b 3 b c f 3 c f 3 b c c b b c f c f Obsrvação: Para m ssma m q blos d Jordan assocados ao msmo aovalor m m nradas p saídas o ssma é nrolávl (obsrvávl) s só s ) ( p q m q. Caso SISO q. 4

25 U 6.3 Forma modal forma modal pod sr obda a parr da ransformação d smlardad P m Q, por mplo, para polos mplos dada por: I.5.5 j Q.5.5 j..5.5 j.5.5 j P m P QQ m q 7 Polos zros Os polos zros d m ssma SISO dscro pla fnção d ransfrênca g(s) são dados plas raízs do polnômo do dnomnador do nmrador d g(s), após os canclamnos, s hovr. Um polo p rrspond a m modo do p ssma m solção. solção não forçada do ssma após ma cação d nrada é a soma pondrada d modos. Zros êm ma dfrn nrpração. saída ponncal rrspondn à nrada ponncal s s ( ) é dada por g ( s). Sg, porano, q a saída é zro s g ( s), o sja, s s for raz do polnômo do nmrador d g(s). Zros d g (s), não bloqam a ransmssão do rrspondn snal ponncal. Para m ssma MIMO por nspção da marz d ransfrênca G(s) pod-s sabr a localzação dos polos amnando cada lmno d G(s). Porém, a mlplcdad dos polos não é ão faclmn drmnada. Já os zros, por nspção não s pod sabr nm a rspo da sa localzação, ma vz q G(s) é ma marz polnomal p m. Os zros d cada fnção d ransfrênca sgnfcam po do pono d vsa d nrol mlvarávl não podm sr lzados na gnralzação do n d zros para ssmas MIMO. UEmplo Sja G( s) s + s + s + s + Cada lmno d G é sávl não poss zros fnos. Sponha s + s + K ( s) s s o qal é nsávl. Enrano s + KG ( s) ( s + )( s + ) é sávl. Iso s + s + mplca q G m m zro nsávl m o qal cancla o polo nsávl d K. Os zros d G são:. S p m, G(s) é ma marz qadrada os zros podm sr dfndos mo as raízs da qação polnomal: d C adj(si B + D d( si ) S p m os zros orrm qando G(s) prd poso. [ { } ] 5

26 7. Polos zros d ransmssão Para m ssma MIMO dscro pla fnção d ransfrênca G(s), a forma d McMllan prm nnrar os zros polos d G(s). Dfnção 7.: Consdr a marz ranal G(s) a sa forma McMllan: f( s) f( s) M ( s) fr ( s) ε ( s) ond f ( s) :,,,, r, ε ψ (s) dvd ε + ( ) ( s) s ψ + ( s ) dvd ψ (s). Os polos d G(s) são dfndos mo as raízs d ψ r (55) ( s) os zros mo as raízs d ε ( s). dfnção d r zros m aqla d zros d ransmssão d m ssma ndo G(s) mo fnção d ransfrênca. Obsrvação: Em gral, ε (s) ψ ( s); j podm r raízs mns porano ssmas MIMO podm j aprsnar polos zros ncdns msmo no caso d ralzaçõs mínmas. UEmplo 7. Consdr a forma d Smh-Mcmllan d G(s): M ( s) ( s + ) ( s + U ( s) G( s) V ( s) ) s + s + ond U(s) V(s) são marzs nmodlars (possm drmnan nsan dfrn d zro). Os polos d G(s) são {-,-,-,-} os zros d ransmssão {-}. Para m3 p, sando o módlo MIMOOOLS no Malab, a forma d Smh-Mcmllan d G(s) pod sr obda mo: >>Gf(GG G3;G G G3) >>[M,pols,zros]smform(G) Zros d ransmssão d m ssma qadrado No caso parclar qando G(s) é qadrada canclamnos o drmnan não fornc odos os zros polos d G(s). Lma 7.: Sja G(s) qadrada d( G ( s)). Sponha C zro d ransmssão s só s d( G ( )). r ε ( s) d[ G( s)] r. Obsrv, nrano, q na prsnça d ψ ( s) não é m pólo d G(s). Enão, C é m 6

27 Lma 7.: (Proprdad d poso d zros d ransmssão) Consdr G(s) d poso r : mn[ p, m]. Um númro C é m zro d ransmssão d G(s) s só s sr m vor z dfrn d zro al q m G( ) z s p m, z C (56) p G ( ) z s p m, z C Obsrvação: os zros d ransmssão êm a proprdad d bloqar a ransmssão, o sja, forncr saída zro m rsposa a nradas prncns a ma class d snas ponncas mplsvos. O Lma 7. s aplca msmo q C sja m pólo mbora G ( ) não sja dfnda ma vz q G( ) pod sr bm dfnda. Lma 7.3: Sponha q C G(s) for mnor q poso normal d G(s). não é m pólo d G(s). Enão, C é m zro d ransmssão s só s poso Poso normal é o maor poso possívl para plo mnos m s C. Porano, o poso d G(s) dmn qando s, s for m zro d G(s). S sr m vor não zro BB al q G ( ). UCaracrzação no domíno do mpo d pólos zros d ransmssão orma 7.: Sja G(s) a fnção d ransfrênca d m ssma (, B, C, D). Enão, ) O númro mplo é m polo d G(s) s só s sr ma nrada mplsva ( ) α δ ν ( ) ( ) m αbb nsans adqadas, ν, al q a saída forçada ybfb(.) d (, B, C, D) é y f ( ) y, > (), m δ ( ) : δ ( ) a fnção mplsva δ ( ) a sa k -ésma drvada (lmbr q a ( k) ( k) L ransformada d Laplac d δ ( ) é δ s ). k ) O númro mplo é m zro d ransmssão d G(s) s só s sr ma nrada ponncal/mplsva ( ) ν ( ) + α δ ( ) m αbb nsans adqadas, ν, BB al q a saída forçada y f (.) d (, B, C, D) é y f ( ), >. Prova. Pod-s sar a forma d Smh-Mcmllan (vr Colanr al. 997). dnomnação zros d ransmssão é porq ss são rfrncados à fnção d ransfrênca (ransmânca) do ssma. No caso d ssmas SISO pod-s scrvr: Cadj[ si ] B G ( s) + D (59) d[ si ] Os zros d ransmssão ncdm m as raízs do nmrador fos odos os canclamnos possívs. s raízs d Cadj[ si ] B + Dd[ si ] são anda chamados zros do ssma. Esas raízs nsm na raldad os chamados zros nvarans do ssma. Ercí. Compar os pólos zros do ssma dscro pla sgn fnção d ransfrênca: G ( s) s( s+ ) s. s ( k) (57) (58) Ercí. Consdr o ssma m rês nradas das saídas: ( s )( s + ) G( s) ( s + )( s + )( s ) ( s + )( s + ) ( s )( s + ) zros. ( s ) ( s )( s + ). Pd-s obr os pólos 7

28 7. Zros nvarans Os pólos zros d m ssma podm sr caracrzados m rmos d sa ralzação spaço d sado. forma spaço d sado pod sr scro mo si B P ( s), P( s). y C D Os zros são não os valors d s para o qal P (s) prd poso, rslando m y. Dfnção 7.: Os aovalors d são chamados pólos da ralzação d G (s). Os zros nvarans são dfndos va ma marz polnomal, a chamada marz do ssma si B P ( s) :. (6) C D Dfnção 7.4: Um númro mplo é m zro nvaran d (,B,C,D) s sasfaz I B si B poso < poso normal. (6) C D C D Lma 7.4: (Proprdad d poso d zros nvarans) Sja P(s) a marz do ssma assocada m G ( s) C( si ) B + D m poso[ G ( s)] mn[ p, m]. Sponha q P(s) nha poso normal lna o lnha para p > m o p < m, rspcvamn. O númro mplo é m zro nvaran do ssma s só s P(s) prd poso m s, so é, s só s sr m vor z : [ ] dfrn d zro al q P( ) s p m > (6) P ( ) s p < m Prova. Consdra-s apnas o caso p > m, o caso p < m é o s dal. Por dfnção é m zro nvaran s I B si B sr z al q z dsd q C D m poso lna normal mplo. C D I B Sponha é m zro nvaran, não s z : [ ] al q z. Podmos mosrar q C D B si B. S não for o caso m-s q o dsd q D m poso lna normal C D I mplo o q dara z o q é ma nradção. Obsrv q, s, não é m C modo não-obsrvávl plo PBH s (9). Obsrvação: Os zros nvarans não s alram por ralmnação d sado nm por ransformação d smlardad. UCaracrzação no domíno do mpo d zros nvarans orma 7.: O númro mplo é m zro nvaran d (,B,C,D) s só s plo mnos ma das das ndçõs s manêm ( p m ) ) é m aovalor da par não obsrvávl d (, C, B, D); 8

29 ) Esm dos vors BB al q a saída forçada d (, C, B, D) rrspondn à nrada ( ), sado ncal, é dncamn zro para. orma 7.3 (zros d ransmssão zros nvarans) Um zro d ransmssão d G(s) é m zro nvaran das sas ralzaçõs. Emplo 7.. Uma ralzação d ordm mínma d M(s) do Emplo 7. é dada por C, B, D ssm, os pólos zros podm sr obdos a parr do Lma 7.4. orma 7.4 (zros d ransmssão zros nvarans d ma ralzação mínma) Os zros nvarans zros d ransmssão d ma ralzação mínma ncdm. Os zros nvarans zros d ransmssão não sgoam a oaldad d zros q podm sr dfndos para m ssma não qadrado. 7.3 Zros d dsaplamno Os aovalors d rrspondns aos modos não nrolávs o não obsrvávs são chamados d zros d dsaplamno da nrada o saída d P(s), rspcvamn. Lma 7.5 (zros nvarans zros d dsaplamno para m ssma qadrado) O njno d zros d dsaplamno é m sbnjno do njno dos zros nvarans. O njno dos zros do ssma ncdm m o njno dos zros nvarans. Zros polos no nfno Polos m s rrspondm a ssmas mprópros. Lmbr q para ssmas SISO m o gra do nmrador m, m<n, m dos polos do ssma a malha fchada rão para os zros fnos qando o ganho da ralmnação va para nfno o rsan dos polos n-m para o nfno. Para obr a srra d polos zros no nfno pod-s fazr ma mdança d varávl H ( ) : G(/ ) os polos zros d G(s) m s são os polos zros d H() m. Conjno d zros do ssma (,B,C,D) não qadrado Zros d (, B, C, D) {zros d ransmssão}u{zros d dsaplamno da nrada} U {zros d dsaplamno da saída}-{zros d dsaplamno nrada saída}u{zros no nfno}. Conjno d polos do ssma (,B,C,D) não qadrado ovalors d {polos d G(s)}U{aovalors d não obsrvávs} U {aovalors d não nrolávs}- {aovalors d não obsrvávs não nrolávs}. UEmplo: UObr o njno d zros polos do ssma (,B,C,D): 9

30 C , B 6, D s 7 s 5 s P ( s) 6 s 3 5 [ ;- 7 ; 5 ; - 6]; B[ ] ; C[-3 5 ; ]; D[;]; Zros nvarans d (,B,C,D); ssma m nrada (m) saídas (p): sando o Lma 7.4: P( ) z obém-s: Zros nvarans z 3, z 6. Zros d ransmssão z 3. Zros d dsaplamno saída (modo não obsrvávl): 6 (é m zro nvaran). Zros d dsaplamno nrada (modo não nrolávl): 5 (não é m zro nvaran). Pólos: 6, 5,, 5 Zros do ssma: {3,6,5} UEmplo: UObr o njno d zros polos do ssma (,B,C,D):.5, B C, D.5 [-.5 - ; ; -4-4; ]; B[ ; ] ; C[-6-3 6;.5 ]; D[ ; ]; Ns caso o ssma é qadrado o njno dos zros do ssma ncdm m o njno dos zros nvarans. Usando o Malab Gsspck(,B,C,D); % marz do ssma zoszros(gss); %zros d ransmssão zozro(,b,c,d); %zros nvarans pospols(gss); % polos do ssma (,B,C,D) LIssss(,B,C,D); % ssma LI Gff(LIss); %G(s) 3