Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

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1 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula passada Exemplos de v. a. contínuas: Hipoexponencial, Erlang, Hiperexponencial, Gamma, Weibull Aula de hoje Exemplos de v. a. contínuas: Normal, Chi Square, Uniforme, Lognormal, Pareto V.a. conjuntas

2 Variável Aleatória Gaussiana ou Normal

3 Variável Aleatória Normal x Teorema do Limite Central

4 Variável Aleatória Normal

5 Variável Aleatória Normal Padrão

6 Variável Aleatória Normal: exemplo

7 Variável Aleatória Chi-Square É a distribuição da soma do quadrado de variáveis aleatórias com distribuição Normal (0,1).

8 Variável Aleatória Chi-square Graus de liberdade (degrees of fredom) n Não existe somente uma distribuição Chi-square, existe uma família indexada pelo parâmetro n A distribuição Chi-square com n graus de liberdade é a distribuição da soma do quadrado de n v.a. Normal(0,1).

9 Variável Aleatória Uniforme

10 Variável Aleatória Uniforme (função densidade)

11 Variável Aleatória Uniforme (função distribuição)

12 Variável Aleatória Uniforme (função distribuição)

13 Variável Aleatória Lognormal Seja Y v.a. normal e Y = ln(x) X é v.a. lognormal com parâmetros mu e sigma Exemplo: tempo de reparo, tempo de vida de componentes de um sistema O produto de n variáveis lognormais é uma variável lognormal: X = X 1 X 2 X n

14 Variável Aleatória Pareto Tem sido usada para modelar: Tamanho de arquivo web armazenado em provedores Tempo em OFF de uma fonte web (tempo que o usuário está pensando) Tamanho de uma rajada FTP Tempo de CPU consumido por um processo Tamando de reservatórios de petróleo

15 Variável Aleatória Pareto K é o menor valor que v.a. pode assumir. alpha é o parâmetro shape

16 Variável Aleatória Pareto K = 1, é o menor valor que v.a. pode assumir

17 Princípio de Pareto Para diversos eventos, aproximadamente 80% dos efeitos provém de 20% das causas Exemplo: 80% das vendas provém de 20% dos clientes 80% das vendas 20% dos clientes

18 Princípio de Pareto Não existe uma relação de 1 para 1 entre a causa e o efeito

19 Princípio de Pareto: por que é importante? É importante saber que a maioria dos resultados vêem de uma minoria: 20% dos trabalhadores contribuem para 80% dos resultados 20% dos bugs contribuem para 80% dos crashes 20% dos usuários contribuem para 80% das vendas

20 Lei de Potência (Power Law) Quando o número ou frequência de um objeto varia com a potência de algum atributo do objeto (ex: seu tamanho), diz-se que a frequência segue uma lei de potência y=ax b Existem diversos fenômenos que seguem uma lei de potência: número de visitas a um website, número de links para uma página, número de páginas de um website A distribuição complementar da v.a. Pareto segue uma lei de potência P[ X x]= k x

21 Cauda Longa (Heavy Tail) Uma distribuição possui cauda longa com parâmetro 0<p<=2, se existe uma constante k tal que para um valor grande de x: 1 F X x k x p onde f(x) ~ g(x) significa que f(x)=g(x)(1+e(x)), com lim x e x =0 uma distribuição de cauda longa possui variância infinita e para p<=1, média infinita ~

22 Teste para cauda longa Teste para a cauda longa: plotar a distribuição complementar em escala log-log e procurar por uma relação linear com coeficiente p 1 F X x Para a v.a. Pareto, temos: 1 F X x = k x p Para a v.a. Exponencial temos: 1 F X x =e x ~ k x p

23 Teste para cauda longa

24 Lei de Potência x Cauda Longa Pode-se dizer que a cauda de uma distribuição de cauda longa segue uma lei de potência, em contraste com outras distribuições (ex: exponencial, Normal, etc) onde a cauda possui um decaimento exponencial ou mais rápido

25 Variáveis Aleatórias Conjuntas

26 Variáveis Aleatórias Conjuntas: Propriedades

27 Variáveis Aleatórias Conjuntas: Propriedades Função distribuição Marginal da v.a. X Função densidade Marginal da v.a. X Função densidade Marginal da v.a. Y

28 Função Distribuição Marginal da v.a. X