PARES ADMISSÍVEIS, SISTEMAS ADMISSÍVEIS E BIÁLGEBRAS NA CATEGORIA DOS MÓDULOS DE YETTER-DRINFELD

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA PARES ADMISSÍVEIS, SISTEMAS ADMISSÍVEIS E BIÁLGEBRAS NA CATEGORIA DOS MÓDULOS DE YETTER-DRINFELD DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Larissa Hagedorn Vieira Santa Maria, RS, Brasil 2014

2 PARES ADMISSÍVEIS, SISTEMAS ADMISSÍVEIS E BIÁLGEBRAS NA CATEGORIA DOS MÓDULOS DE YETTER-DRINFELD Larissa Hagedorn Vieira Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Matemática, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Dirceu Bagio Santa Maria, RS, Brasil 2014

3 Universidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas Programa de Pós-Graduação em Matemática A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a Dissertação de Mestrado PARES ADMISSÍVEIS, SISTEMAS ADMISSÍVEIS E BIÁLGEBRAS NA CATEGORIA DOS MÓDULOS DE YETTER-DRINFELD elaborada por Larissa Hagedorn Vieira como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática COMISSÃO EXAMINADORA: Dirceu Bagio, Dr. (UFSM) (Orientador) Iván Ezequiel Angiono, Dr. (UNC - Argentina) (Coorientador) Daiana Aparecida Da Silva Flôres, Dr a.(ufsm) Santa Maria, 19 de março de 2014.

4 Aos meus avós

5 AGRADECIMENTOS Agradeço ao Cara lá de cima que cuida da gente o tempo todo. À minha família por me ajudar de todas as maneiras possíveis para este trabalho ser concluído, além das visitas que me fizeram em todos os lugares. Em especial ao Vanderlei que, mesmo longe, foi companheiro de todos os dias, me escutando sempre e ainda por ter lido o texto. Ao pessoal do PPGMAT, em especial ao professor Dirceu que me aceitou como orientanda, me ajudou com muita paciência e atenção, durante esses dois anos de mestrado, e por ter me aguentado. À professora Daiana, que além de aceitar fazer parte da banca, me ensinou a base para este trabalho. Aos amigos do Tchucupim, pois com eles o mestrado foi mais divertido, em especial ao Tiago pela parceira, inclusive nas madrugadas mal dormidas. Agradezco a las personas que conocí en Argentina. Especialmente a las chicas de la resi y a las del fútbol que hicieron mis días más divertidos. Al profesor Nicolás por haber proporcionado la oportunidad y por sus clases. Y al profesor Iván, por su atención y dedicación durante más de seis meses de estudios. Aos meus amigos de longe, que mesmo com minhas muitas ausências sabem que sempre podem contar comigo. A CAPES que me deu condições de estar no mestrado em Santa Maria e na Argentina. Meu muito obrigada a todos vocês.

6 ... e ele simplesmente fez um gesto de cabeça. Will sabia que isso equivalia a vários vivas de Halt. (Ruínas de Gorlan - Jonh Flanagan)

7 RESUMO Dissertação de Mestrado Programa de Pós-Graduação em Matemática Universidade Federal de Santa Maria PARES ADMISSÍVEIS, SISTEMAS ADMISSÍVEIS E BIÁLGEBRAS NA CATEGORIA DOS MÓDULOS DE YETTER-DRINFELD AUTORA: LARISSA HAGEDORN VIEIRA ORIENTADOR: DIRCEU BAGIO Local e Data da Defesa: Santa Maria, 19 de março de O objetivo deste trabalho é estudar as relações entre pares admissíveis, sistemas admissíveis e biálgebras na categoria dos módulos de Yetter-Drinfeld, bem como algumas propriedades da álgebra de Hopf associada (via bosonização) a um par admissível. Finalizamos esta dissertação com uma família de exemplos de pares admissíveis. Palavras-chave: par admissível, sistema admissível, biálgebra na categoria dos módulos de Yetter-Drinfeld, álgebra tensorial, álgebras de Hopf.

8 ABSTRACT Dissertation Graduate Program in Mathematics Universidade Federal de Santa Maria ADMISSIBLE PAIR, ADMISSIBLE SYSTEM AND BIALGEBRA IN CATEGORY OF MODULES OF YETTER-DRINFELD AUTHOR: LARISSA HAGEDORN VIEIRA ADVISOR: DIRCEU BAGIO Location and Date of Defense: Santa Maria, March 19, The purpose of this work is to study the relationships between admissible pairs, systems admissible and bialgebras in the category of Yetter-Drinfeld modules, as well as some properties of the Hopf algebra associated (via bosonization) to an admissible pair. We end this dissertation with a family of examples of admissible pairs. Keywords: admissible pair, admissible system, bialgebras in category of modules of Yetter-Drinfeld, tensor algebra, Hopf algebras.

9 SUMÁRIO 1 Preliminares Conceitos básicos Álgebra nas categorias de módulos e comódulos Coálgebra nas categorias de módulos e comódulos Álgebra de Hopf Biproduto de Radford Par admissível Sistema admissível Propriedades dos pares admissíveis Biálgebra com uma projeção numa álgebra de Hopf O Teorema Algumas consequências A categoria dos módulos de Yetter-Drinfeld Categorias Funtores Categorias monoidais Categorias monoidais trançadas Módulos de Yetter-Drinfeld A categoria H HYD Propriedades da categoria H HYD Biálgebras em H HYD versus pares admissíveis A álgebra tensorial 77 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 82

10 Introdução Uma das questões mais relevantes na área de álgebras de Hopf é o problema de classificação. Um método eficiente (para uma determinada classe de álgebras de Hopf) é o método de lifting, descrito em [AS]. Uma ferramenta indispensável para este método é o biproduto de Radford ou bosonização. Esta ferramenta será apresentada e estudada nesta dissertação. O objetivo inicial do trabalho era entender e apresentar completamente os resultados de [R2], onde na última seção é dado um exemplo de par admissível. No entanto, tal exemplo é construtivo e não agrega conhecimentos matemáticos novos. Isso nos motivou a uma mudança em relação ao planejamento inicial: não apresentar a última seção de [R2] e, em vez disso, estudar a categoria dos módulos de Yetter-Drinfeld, a qual está intimamente ligada ao trabalho de Radford, [R2], mas não é abordada no mesmo. A inserção deste tema nos permitiu dar exemplos de pares admissíveis de uma maneira bem natural. De forma resumida, neste trabalho estudamos o biproduto de Radford e buscamos condições para que exista uma correspondência um-a-um entre: pares admissíveis, sistemas admissíveis e biálgebras na categoria dos módulos de Yetter-Drinfeld. O Capítulo 1, de preliminares, traz as definições básicas da teoria de álgebras de Hopf necessárias para o restante do trabalho. Alguns exemplos relevantes para esta dissertação também são apresentados. No Capítulo 2, o mais longo desta dissertação, iniciamos com a noção de par admissível. Em seguida, definimos sistemas admissíveis e provamos que a cada par admissível existe um único sistema admissível associado, a menos de isomorfismo. Terminamos o capítulo estudando propriedades dos pares admissíveis. No Capítulo 3 apresentamos uma recíproca da construção dada no Capítulo 2. Mais precisamente, estudamos condições para que a um determinado diagrama possamos associar um sistema admissível que provém de um par admissível. No Capítulo 4 consideramos a categoria H HYD dos módulos de Yetter-Drinfeld sobre H e provamos que a existência de um par admissível (H, B) é equivalente a B ser uma biálgebra em H H YD. No último capítulo construímos a álgebra tensorial T (V ) de um espaço vetorial V qualquer. Por fim, provamos que se V é um módulo de Yetter-Drinfeld então T (V ) é uma biálgebra em H HYD. Particularmente, temos exemplos de pares admissíveis. 9

11 Convenções Nesta dissertação, k denotará um corpo; significará k, salvo mencionado ao contrário; Usaremos a seguinte variante da notação de Sweedler: - para coálgebra: (x) = x 1 x 2 e; - para comódulo à esquerda: ρ(x) = x 1 x 0 ; O produto convolução é denotado por ; lembremos que se C é uma coálgebra, A uma álgebra e f, g Hom k (C, A), então (f g)(c) = f(c 1 )g(c 2 ), para qualquer c C; Álgebra significará álgebra associativa com unidade ; denotará os isomorfismos naturais de espaços vetoriais k V V V k; onde V é um espaço vetorial sobre k; H M denota a categoria dos H-módulos à esquerda; H M denota a categoria dos H-comódulos à esquerda; id X denota a função id X : X X, id X (x) = x, para qualquer conjunto X. 10

12 Capítulo 1 Preliminares Neste capítulo, são estabelecidos os conceitos básicos para a leitura desta dissertação. Inicia-se com uma introdução sobre álgebras, coálgebras e biálgebras, através de suas definições e exemplos. Em seguida, mostram-se alguns resultados que serão utilizados durante as outras seções. Esta seção será concluída definindo álgebras de Hopf e exemplicando-a. 1.1 Conceitos básicos Nesta seção, o objetivo é familiarizar o leitor com as notações, definições e resultados básicos que serão utilizados durante toda a dissertação. Definição Uma k-álgebra A é uma tripla (A, m, u) onde: (i) A é um k-espaço vetorial, e (ii) m : A A A e u : k A são aplicações k-lineares, chamadas multiplicação e unidade, respectivamente, as quais satisfazem a comutatividade dos seguintes diagramas: A A A m id A A A k A u id A A A id A u A k id A m A A m A m m A A seguir, são apresentados exemplos clássicos de álgebras, cujas demonstrações são facilmente realizadas mostrando a comutatividade dos diagramas acima. Exemplo Dado um grupo G, considere o k-espaço vetorial kg com base G, isto é, os elementos de kg são da forma k g g, onde k g k para todo g G. Então, kg tem estrutura g G 11

13 12 de álgebra dada por: m(kg k g ) = (kk )(gg ) e u(1 k ) = 1 kg = 1 k 1 G, k, k k, g, g G. 2. Seja G um grupo. Considere k G o k-espaço vetorial formado pelas funções de G em k. Então, k G tem estrutura de álgebra dada por: m(s t)(g) = s(g)t(g) e u(1 k )(g) = 1 k, s, t k G, g G. Mais ainda, se G é finito, pode-se verificar que k G tem { uma base dada pelos idempotentes centrais e g com g G, onde e g (h) = δ g,h =. 1, g = h, 0, g h. 3. O anel de polinômios k[x] é uma álgebra com produto e unidade usuais. 4. Seja q k uma raiz primitiva de 1 de ordem N 2, N N. Considere a k-álgebra T q (N) gerada por x e g e com as seguintes relações: x N = 0, g N = 1 e xg = qgx. Esta álgebra é denominada álgebra de Taft. Mais ainda, pode-se verificar que a álgebra de Taft tem uma base dada pelo seguinte conjunto B = {g i x j ; 0 i, j < N}. 5. Seja M n (k) o k-espaço vetorial das matrizes n n com coeficientes em k e base {e ij ; 1 i, j n}. M n (k) tem estrutura de álgebra onde a multiplicação é a usual de matrizes e a unidade, u : k M n (k), é definida como u(λ) = λi, onde I é a matriz identidade de ordem n. 6. Sejam (A, m A, u A ) e (B, m B, u B ) álgebras. Então A B tem uma estrutura de álgebra dada por: m((a b) (a b )) = aa bb e u(1 k ) = 1 A 1 B, a, a A, b, b B. Pode-se relacionar álgebras através dos chamados morfismos de álgebras, os quais são aplicações k-lineares, as quais são multiplicativas e associam unidade com unidade. De maneira mais formal, tem-se: Definição Dadas (A, m A, u A ) e (B, m B, u B ) álgebras, diz-se que f é morfismo de álgebras se os seguintes diagramas comutam: A A m A A f f f B B B m B A u A k f u B B

14 13 A noção de coálgebra apresentada a seguir aparece naturalmente como a versão dual da noção de álgebra. Definição Uma k-coálgebra C é uma tripla (C,, ε) onde: (i) C é um k-espaço vetorial, e (ii) : C C C e ε : C k são aplicações k-lineares, chamadas comultiplicação e counidade, respectivamente, que satisfazem os seguintes diagramas comutativos: C C C idc C C id C C C C k C ε id C C C C id C ε C k Abaixo apresentam-se alguns exemplos de coálgebras, cuja verificação é imediata. Exemplo Seja G um grupo. Então kg é uma coálgebra com as seguintes estruturas: (g) = g g e ε(g) = 1 k, g G. 2. Seja G um grupo finito. Sabe-se que k G possui uma base {e g ; g G}; ver Exemplo 1.1.2, item 2. Com isto, k G tem uma estrutura de coálgebra dada por: (e g ) = h G e h e h 1 g e ε(e g ) = δ 1,g. 3. O anel de polinômios k[x] tem estrutura de coálgebra dada por: (x n ) = ( n k ) xn x n k e ε(x n ) = 0, para n > 1 (1) = 1 1 e ε(1) = A álgebra de Taft é uma coálgebra com as seguintes estruturas: (g i x j ) = j ( j ) i i=0 q gj+i x j i g j x i e ε(g i x j ) = { 0, se i = 0 1, se i 1, onde ( { ) j i = q 0, se m < 0 ou n < m q m ( n 1 m ) q + ( ) n 1 m 1, se 0 m < n q.

15 14 5. M n (k) tem estrutura de coálgebra dada por: (e ij ) = n e il e lj e ε(e ij ) = δ i,j, onde e ij C denota a matriz elementar. l=1 6. Sejam (A, A, ε A ) e (B, B, ε B ) coálgebras. Então A B tem uma estrutura de coálgebra dada por: (a b) = (id A τ flip id B ) ( A B )(a b) e ε(a b) = ε A (a)ε B (b) a A, b B. Aqui τ flip (a b) = b a, ou seja, τ flip é o isomorfismo linear twist. Apresenta-se agora a versão dual de morfismo de álgebras. Definição Sejam (C, C, ε C ) e (D, D, ε D ) duas coálgebras, então uma aplicação k-linear g : C D é dita um morfismo de coálgebras se os diagramas abaixo comutam: C g D C g D C D C C g g D D ε C k ε D Nos exemplos anteriores, foram apresentados espaços vetoriais que possuem estruturas tanto de álgebras quanto de coálgebras. O próximo resultado diz quando estas estruturas são compatíveis. Proposição Seja B um k-espaço vetorial tal que (B, m, u) é uma álgebra e (B,, ε) é uma coálgebra. Então, as aplicações e ε são morfismos de álgebras se e somente se as aplicações m e u são morfismos de coálgebras, [DNR, p.157]. A proposição acima permite a definição de biálgebra. Definição Uma biálgebra é uma quíntupla (B, m, u,, ε) onde (i) (B, m, u) é uma álgebra; (ii) (B,, ε) é uma coálgebra; (iii) e ε são morfismos de álgebras (ou equivalentemente, m e u são morfismos de coálgebras). Dos exemplos apresentados anteriormente, os quatro primeiros são biálgebras. O conjunto M n (k) das matrizes não possui nenhuma estrutura de biálgebra, [DNR, p.173]. No último exemplo, se A e B são biálgebras, então A B é biálgebra.

16 15 Definição Sejam A e B duas biálgebras. Então uma aplicação k-linear f : A B é dita um morfismo de biálgebras se f é morfismo de álgebras e de coálgebras. Abaixo é definido H-módulo e H-comódulo, ambos à esquerda. Nota-se que definições análogas pode ser realizadas se forem considerados à direita. Definição Um H-módulo à esquerda é um par (M, τ), onde M é um k-espaço vetorial e τ : H M M é um morfismo linear tal que os seguintes diagramas são comutativos H H M id H τ H M u H id M H M m H id M τ k M τ H M tau M M Exemplo Seja A uma álgebra. Então A é um módulo sobre si mesma com a estrutura dada pela multiplicação. 2. Seja H uma biálgebra. Qualquer espaço vetorial V sobre k, pode ser considerado como H-módulo via ação trivial τ(h v) = ε H (h)v. Em particular, k é um H- módulo via h 1 k = ε H (h)1 k. Definição Um H-comódulo à esquerda é um par (M, ρ), onde M é um k-espaço vetorial e ρ : M H M é um morfismo linear tal que os seguintes diagramas são comutativos M ρ H M M ρ H id M k ρ H M idh ρ H H M ε H id M H M M Exemplo Seja C uma coálgebra. Então C é um comódulo sobre si mesma com a estrutura dada pela comultiplicação. 2. Seja H uma biálgebra. Qualquer espaço vetorial V sobre k, pode ser considerado como H-comódulo via coação trivial ρ(v) = 1 H v. Em particular, k é um H- comódulo via ρ(1 k ) = 1 H 1 k.

17 16 Daqui por diante, a menos que seja mencionado, H denota uma biálgebra. Em todo este capítulo, onde estiver escrito H-módulo entenda-se H-módulo à esquerda. Analogamente, para H-comódulo à esquerda. Mas, deve-se salientar que é possível obter os resultados que serão apresentados aqui considerando-os com as estruturas de H-módulo e H-comódulo à direita. Se B H M e B H M, então τ : H B B h b h b e ρ : B H B b b 1 b 0 denotam as estruturas de H-módulo e de H-comódulo, respectivamente. Observação (1) Se M e N são H-módulos, tem-se que M N é um H-módulo pela ação dada por τ(h m n) = h (m n) = h 1 m h 2 n. De fato, para h, h H, m M e n N tem-se τ (u H id M N )(1 k m n) = τ(1 H m n) m n e τ (m H id M N )(h h (m n)) = τ(hh m n) = (hh ) 1 m (hh ) 2 n = (h 1 h 1) m (h 2 h 2) n = h 1 (h 1 m) h 2 (h 2 n) = τ(h (h 1 m h 2 n)) = τ(id H τ)(h h (m n)). (2) Se M e N são H-comódulos, tem-se que M N é um H-comódulo pela coação dada por ρ(m n) = m 1 n 1 m 0 n 0. De fato, para todo m M e n N tem-se (ε H id M N )ρ(m n) = ε H (m 1 n 1 ) m 0 n 0 = ε H (m 1 )ε H (n 1 ) m 0 n 0 = 1 k ε H (m 1 )m 0 ε H (n 1 )n 0 m n, e (id H ρ) ρ(m n) = (id H ρ)(m 1 n 1 m 0 n 0 ) = m 1 n 1 (m 0 ) 1 (n 0 ) 1 (m 0 ) 0 (n 0 ) 0 ( ) = (m 1 ) 1 (n 1 ) 1 (m 1 ) 2 (n 1 ) 2 m 0 n 0 = ( H id M N )(m 1 n 1 m 0 n 0 ) = ( H id M N ) ρ(m n). As próximas subseções apresentam alguns resultados de álgebras e coálgebras que auxiliam nas demonstrações futuras.

18 Álgebra nas categorias de módulos e comódulos Nesta seção consideram-se álgebras nas categorias de H-módulos e H-comódulos (Um pequeno estudo sobre categorias é realizado no Capítulo 4). São estabelecidas equivalências úteis para as próximas seções, bem como um exemplo importante para esta dissertação. Definição Uma álgebra A é um H-módulo álgebra, se A é um H-módulo à esquerda e, além disso, m e u são morfismos de H-módulos. Com a definição acima, dizer que a álgebra A é um H-módulo álgebra, é equivalente a A ser uma álgebra em H M. A proposição abaixo tem como objetivo apresentar uma maneira equivalente de dizer que m e u são morfismos de H-módulos. Proposição Seja A um H-módulo álgebra. Considerar que m e u são morfismos de H-módulos é equivalente a dizer que satizfazem, respectivamente: h (bb ) = (h 1 b)(h 2 b ) e h 1 B = ε(h)1 B, para h H e b, b B. Demonstração. A partir da definição de m ser um morfismo de H-módulos, tem-se que m deve satisfazer h (m(b b )) = m(h (b b )). Mas isto é equivalente a dizer que h (bb ) = m(h 1 b h 2 b ) = (h 1 b)(h 2 b ), de onde procede a primeira parte da proposição. Além disso, dizer que u é morfismo de H-módulos é afirmar que u(1 k ) = 1 B e que h u(1 k ) = u(h 1 k ), que por sua vez é equivalente a h 1 B = u(ε(h)1 k ) = ε(h)u(1 k ) = ε(h)1 B. Observação Se f é um morfismo de H-módulos, e além disso f é bijetora, então f 1 também é um morfismo de H-módulos. O exemplo abaixo mostra que sendo B uma álgebra em H M e H uma biálgebra, se B tiver uma estrutura de H-módulo, então pode-se munir o produto tensorial B H de uma estrutura de álgebra. Exemplo Sendo B uma álgebra em H M, o produto smash B#H pode ser visto como uma álgebra considerando-se B#H = B H como k-espaço vetorial, a multiplicação dada por m((b#h) (b #h ))=(b#h)(b #h )=b(h 1 b )#h 2 h e a unidade por u(1 k )=1 B #1 H. De fato, B#H com as estruturas acima, é uma álgebra. Por um lado tem-se m (id B#H m)((b#h) (b #h ) (b #h )) = m((b#h) (b (h 1 b )#h 2h )) = b(h 1 (b (h 1 b ))) h 2 h 2h = b((h 1 ) 1 b )((h 1 ) 2 (h 1 b )) h 2 h 2h = b(h 1 b )(h 2 (h 1 b )) h 3 h 2h.

19 18 Por outro lado, tem-se m (m id B#H )((b#h) (b #h ) (b #h )) = m((b(h 1 b )#h 2 h ) (b #h )) = b(h 1 b )((h 2 h ) 1 b ) (h 2 h ) 2 h = b(h 1 b )(((h 2 ) 1 h 1) b ) (h 2 ) 2 h 2h = b(h 1 b 1 )(h 2 (h 1 b )) h 3 h 2h. E, além disso m(id B#H u)((b#h) 1 k ) = m((b#h) 1 B #1 H ) = b(h 1 1 B ) h 2 1 H = bε H (h 1 )1 B h 2 = b ε H (h 1 )h 2 = b h ((b#h) 1 k ). Analogamente, m(u id B#H ) =. Definição Uma álgebra A é dita um H-comódulo álgebra se A for um H-comódulo e, além disso, m e u forem morfismos de H-comódulos. Equivalentemente, um H- comódulo álgebra é uma álgebra em H M. Proposição Seja B uma álgebra em H M. São equivalentes: (i) m e u são morfismos de H-comódulos. (ii) ρ(bb ) = b 1 b 1 b 0 b 0 e ρ(1 B ) = 1 H 1 B, para todo b, b B. (iii) ρ é um morfismo de álgebras. Demonstração. A equivalência entre (i) e (ii) segue da definição de morfismo de H- comódulos. Então, resta mostrar que (ii) (iii). (ii) (iii) Considerando (ii), obtém-se que ρ(bb ) = b 1 b 1 b 0 b 0 = ρ(b)ρ(b ). Além disso, ρ(u B (1 k )) = ρ(1 B ) = 1 H 1 B = u B H (1 k ). Portanto, ρ é morfismo de álgebras. (iii) (ii) Pela hipótese, ρ(bb ) = ρ(b)ρ(b ) = b 1 b 1 b 0 b 0. Além disso, tem-se que ρ(u B (1 B )) = u B H (1 k ), ou seja, ρ(1 B ) = 1 H 1 B. Observação Se f é um morfismo de H-comódulos e além disso f é bijetora, então f 1 também é um morfismo de H-comódulos. 1.3 Coálgebra nas categorias de módulos e comódulos Nesta seção apresentam-se definições duais daquelas apresentadas na seção anterior. Também é apresentado um exemplo relevante para esta dissertação.

20 19 Definição A coálgebra C é dita um H-comódulo coálgebra, se C é um H-comódulo e, além disso, e ε são morfismos de H-comódulos. Equivalentemente, um H-comódulo coálgebra é uma coálgebra em H M. A proposição a seguir apresenta uma equivalência de e ε serem morfismos de H-comódulos. Proposição Seja C um H-comódulo coálgebra. Dizer que e ε são morfismos de H-comódulos é equivalente a e ε satisfazerem, respectivamente, (c 1 ) 1 (c 2 ) 1 (c 1 ) 0 (c 2 ) 0 = c 1 (c 0 ) 1 (c 0 ) 2 e c 1 ε(c 0 ) = ε(c)1 H, c C. Demonstração. Tem-se que (id H ) (ρ(c)) = ρ C C ( (c)) (id H )(c 1 c 0 ) = ρ C C (c 1 c 2 ) c 1 (c 0 ) 1 (c 0 ) 2 = (c 1 ) 1 (c 2 ) 1 (c 1 ) 0 (c 2 ) 0. Além disso, ρ k (ε C (c)) = (id H ε C ) ρ C (c) ε C (c)(ρ k (1 k )) = (id H ε C )(c 1 c 0 ) ε C (c)(1 H 1 k ) = c 1 ε C (c 0 ) ε C (c)1 H 1 k = c 1 ε C (c 0 ) 1 k. De onde segue que ε C (c)1 H = c 1 ε C (c 0 ). Nota-se que, se C é um H-comódulo, então (id H ρ) ρ(c) = ( H id C ) ρ(c), para todo c C. Logo, c 1 (c 0 ) 1 (c 0 ) 0 = (c 1 ) 1 (c 1 ) 2 c 0. (1.1) Além disso, da Proposição 1.3.2, considerando C uma coálgebra em H M, tem-se que, para todo c C, satisfaz (id ) ρ C (c) = ρ C C (c). Aplicando id H id C ρ em ambos os lados da igualdade acima, (id H id C ρ) (id H ) ρ C (c) = (id C id C ρ) (ρ C C ) (c). trabalho. Portanto, c 1 (c 0 ) 1 ((c 0 ) 2 ) 1 ((c 0 ) 2 ) 0 = (c 1 ) 1 (c 2 ) 1 (c 1 ) 0 ((c 2 ) 0 ) 1 ((c 2 ) 0 ) 0. (1.2) Agora pode-se apresentar um exemplo que será muito utilizado no decorrer do Exemplo Seja B uma coálgebra em H M. O coproduto smash B#H é uma coálgebra considerando-se B#H =B H como k-espaço vetorial, ε B#H (b#h)=ε B (b)ε H (h) a counidade e B#H (b#h)=(b 1 #(b 2 ) 1 h 1 ) ((b 2 ) 0 #h 2 ) a comultiplicação.

21 20 De fato, usando (1.1) e (1.2) para b 2, tem-se (id B#H B#H ) B#H (b#h) = (id B#H B#H )(b 1 #(b 2 ) 1 h 1 (b 2 ) 0 #h 2 ) Por outro lado, tem-se = b 1 #(b 2 ) 1 h 1 ((b 2 ) 0 ) 1 #(((b 2 ) 0 ) 2 ) 1 (h 2 ) 1 (((b 2 ) 0 ) 2 ) 0 #(h 2 ) 2 = b 1 #(b 2 ) 1 h 1 ((b 2 ) 0 ) 1 #(((b 2 ) 0 ) 2 ) 1 h 2 (((b 2 ) 0 ) 2 ) 0 #h 3 (1.2) = b 1 #((b 2 ) 1 ) 1 ((b 2 ) 2 ) 1 h 1 ((b 2 ) 1 ) 0 #(((b 2 ) 2 ) 0 ) 1 h 2 (((b 2 ) 2 ) 0 ) 0 #h 3 = b 1 #(b 2 ) 1 (b 3 ) 2 h 1 (b 2 ) 0 #(b 3 ) 1 h 2 (b 3 ) 0 #h 3. ( B#H id B#H ) B#H (b#h) = ( B#H id B#H )(b 1 #(b 2 ) 1 h 1 (b 2 ) 0 #h 2 ) Além disso, = (b 1 ) 1 #((b 1 ) 2 ) 1 ((b 2 ) 1 h 1 ) 1 ((b 1 ) 2 ) 0 #((b 2 ) 1 h 1 ) 2 (b 2 ) 0 #h 2 = (b 1 ) 1 #((b 1 ) 2 ) 1 ((b 2 ) 1 ) 1 (h 1 ) 1 ((b 1 ) 2 ) 0 #((b 2 ) 1 ) 2 (h 1 ) 2 (b 2 ) 0 #h 2 (1.1) = (b 1 ) 1 #((b 1 ) 2 ) 1 (b 2 ) 1 h 1 ((b 1 ) 2 ) 0 #((b 2 ) 0 ) 1 h 2 ((b 2 ) 0 ) 0 #h 3 = b 1 #(b 2 ) 1 (b 3 ) 2 h 1 (b 2 ) 0 #(b 3 ) 1 h 2 (b 3 ) 0 #h 3. (ε B#H id B#H ) B#H (b#h) = (ε B#H id B#H )(b 1 #(b 2 ) 1 h 1 (b 2 ) 0 #h 2 ) = ε B#H (b 1 #(b 2 ) 1 h 1 ) (b 2 ) 0 #h 2 = ε B (b 1 )ε H ((b 2 ) 1 h 1 ) (b 2 ) 0 #h 2 = 1 k ε B (b 1 )ε H ((b 2 ) 1 )(b 2 ) 0 #ε H (h 1 )h 2 = 1 k ε B (b 1 )(b 2 )#h = 1 k b#h = (b#h). Analogamente, é possível mostrar que (id B#H ε B#H ) B#H =. Portanto, (B#H, B#H, ε B#H ) é uma coálgebra. Definição Uma coálgebra C é dita um H-módulo coálgebra ou, equivalentemente, uma coálgebra em H M, se C é um H-módulo e, além disso, e ε são morfismos de H-módulos. O objetivo da proposição a seguir é dar algumas equivalências de quando e ε são morfismos de H-módulos. Proposição Seja C uma coálgebra em H M. As seguintes afirmações são equivalentes: (i) e ε são morfismos de H-módulos; (ii) τ é um morfismo de coálgebras; (iii) (h c) = h 1 c 1 h 2 c 2 e ε C (h c) = ε H (h)ε C (c), para todo h H e c C.

22 21 Demonstração. (i) (iii) Sabe-se que a estrutura de H-módulo de k é dada por h k = ε H (h)k e ε C (c) k, segue que ε(h c) = h ε(c) ε(h c) = ε H (h)ε C (c). Além disso, (h c) = h (c) (h c) = h (c 1 c 2 ) (h c) = h 1 c 1 h 2 c 2. (iii) (ii) De (iii) decorre que (τ τ) ( H C (h c)) = (τ τ)((h c) 1 (h c) 2 ) = (τ τ)((h 1 c 1 ) (h 2 c 2 )) = h 1 c 1 h 2 c 2 = C (h c) = C (τ(h c)), e ε C (τ(h c)) = ε C (h c) = ε H (h)ε C (c) = ε H C (h c). (ii) (iii) Se τ é um morfismo de coálgebras, então (τ τ) ( H C (h c)) = C (τ(h c)), ou seja, h 1 c 1 h 2 c 2 = (h c). Além disso, ε C (τ(h c)) = ε H C (h c). Ou seja, ε C (h c) = ε H (h)ε C (c). Qualquer álgebra A sobre k é um H-módulo álgebra com a estrutura trivial, ou seja, com a estrutura h a = ε H (h)a, com h H e a A. E qualquer coálgebra C é um H-comódulo coálgebra se for considerada a estrutura ρ C (c) = 1 H c, chamada trivial. 1.4 Álgebra de Hopf Apresenta-se agora a noção de álgebra de Hopf bem como alguns exemplos. Além disso, serão enunciadas as principais propriedades da antípoda. Definição Seja H uma biálgebra. Uma aplicação k-linear S : H H é chamada antípoda de H se S é o inverso de id H com relação ao produto convolução, ou seja, se S satisfaz S(h 1 )h 2 = h 1 S(h 2 ) = ε(h)1 H, para todo h H. Uma biálgebra H com antípoda é chamada uma álgebra de Hopf. Exemplo Já foi visto que os itens de (1) a (4) do Exemplo são exemplos de biálgebras. Na verdade, estes são exemplos de álgebras de Hopf com as seguintes antípodas: 1. Em kg, S(g) = g Em k G, S(e g ) = e g Em k[x], S(x) = x. 4. Em T q (N), S(x) = g N 1 x e S(g) = g N 1. A seguir estão algumas das propriedades da antípoda de uma álgebra de Hopf, que auxiliarão em demonstrações futuras.

23 22 Proposição Seja H uma álgebra de Hopf com antípoda S. Então é válido que: (i) S é um antimorfismo de álgebras, ou seja, S(1 H ) = 1 H e S(gh) = S(h)S(g), para quaisquer h, g H; (ii) S é um antimorfismo de coálgebras, ou seja, para todo h H tem-se (S(h)) = S(h 2 ) S(h 1 ) e ε H (S(h)) = ε H (h), [DNR, p.153]. Proposição Sejam A e B duas álgebras de Hopf com antípodas S A e S B, respectivamente. Se f : A B é um morfismo de biálgebras, então S B f = f S H, [DNR, p.152]. Com esta proposição, segue que a definição de morfismo de álgebras de Hopf. Definição Sejam A e B duas álgebras de Hopf. Então f : A B é dito um morfismo de álgebras de Hopf se é um morfismo de biálgebras. Nos próximos exemplos serão consideradas as ações adjunta e coadjunta de uma álgebra de Hopf. Exemplo Sejam H uma álgebra de Hopf e f : H B um morfismo de álgebras. Então B é um H-módulo álgebra através da ação adjunta ad f : H B B definida por ad f (h b) = h b = f(h 1 )bf(s(h 2 )). De fato, B é um H-módulo pois para todo h, h H e b B tem-se ad f (id H ad f )(h h b) = ad f (h f(h 1 )bf(s(h 2 ))) = f(h 1)f(h 1 )bf(s(h 2 ))f(s(h 2)) = f(h 1h 1 )bf(s(h 2 )S(h 2)) = f(h 1h 1 )bf(s(h 2h 2 )) = f((h h) 1 )bf(s((h h) 2 )) = ad f (h h b) = ad f (m H id B )(h h b), e, ad f (u H id B )(1 k b) = ad f (1 H b) = f(1 H )bf(s(1 H )) = b (1 k b). Para mostrar que m e u são morfismos de H-módulos, usa-se a Proposição Nota-se que ad f (h 1 b)ad f (h 2 b ) = f((h 1 ) 1 )bf(s((h 1 ) 2 ))f((h 2 ) 1 )b f(s((h 2 ) 2 )) = f(h 1 )bf(s(h 2 ))f(h 3 )b f(s(h 4 )) = f(h 1 )bf(s((h 2 )h 3 ))b f(s((h 4 )) = f(h 1 )bf(ε H (h 2 ))b f(s((h 3 )) = f(h 1 )bf(1 H )b f(s(ε H (h 2 )h 3 )) = f(h 1 )bb f(s(h 2 )) = ad f (h bb ).

24 23 E u é morfismo de H-módulos, pois ad f (h 1 B ) = f(h 1 )1 B f(s(h 2 )) = f(h 1 )f(s(h 2 )) = f(h 1 S(h 2 )) = f(ε(h)1 H ) = ε(h)f(1 H ) = ε(h)1 B. Exemplo Se H é uma álgebra de Hopf e g : C H é um morfismo de coálgebras, então C é um H-comódulo coálgebra via a ação coadjunta, co g : C H C definida por co g (c) = c 1 c 0 = g(c 1 )S(g(c 3 )) c 2. De fato, C é um H-comódulo pois, por um lado tem-se que (id H co g ) co g (c) = (id H co g )(g(c 1 )S(g(c 3 )) c 2 ) e, por outro lado, tem-se que Além disso, = g(c 1 )S(g(c 3 )) g((c 2 ) 1 )S(g((c 2 ) 3 )) (c 2 ) 2 = g(c 1 )S(g(c 5 )) g(c 2 )S(g(c 4 )) c 3, ( H id C ) co g (c) = ( H id C )(g(c 1 )S(g(c 3 )) c 2 ) = (g(c 1 )) 1 (S(g(c 3 ))) 1 (g(c 1 )) 2 (S(g(c 3 ))) 2 c 2 = g((c 1 ) 1 )S(g(c 3 ) 2 ) g((c 1 ) 2 )S(g(c 3 ) 1 ) c 2 = g(c 1 )S(g(c 5 )) g(c 2 )S(g(c 4 )) c 3. (ε H id C ) co g (c) = (ε H id C )(g(c 1 )S(g(c 3 )) c 2 ) = ε H (g(c 1 ))ε H (S(g(c 3 ))) c 2 = ε H (g(c 1 ))ε H (g(c 3 )) c 2 ( ) = ε C (c 1 )ε C (c 3 ) c 2 = 1 k ε C (c 1 )c 2 ε C (c 3 ) = 1 k c = (c). Tem-se que ( ) é válido já que ε H g = ε C, pois g é morfismo de coálgebras. O morfismo C é de H-comódulos, pois por um lado tem-se (id H C ) co g (c) = (id H C )(g(c 1 )S(g(c 3 )) c 2 ) = g(c 1 )S(g(c 3 )) (c 2 ) 1 (c 2 ) 2 = g(c 1 )S(g(c 4 )) c 2 c 3.

25 24 Por outro lado, lembrando que ρ C C (c c ) = c 1 c 1 c 0 c 0, segue que (co g ) C C C (c) = (co g ) C C (c 1 c 2 ) = g((c 1 ) 1 )S(g((c 1 ) 3 ))g((c 2 ) 1 )S(g((c 2 ) 3 )) (c 1 ) 2 (c 2 ) 2 = g(c 1 )S(g(c 3 ))g(c 4 )S(g(c 6 )) c 2 c 5 = g(c 1 )S((g(c 3 ) 1 ))g((c 3 ) 2 )S(g(c 5 )) c 2 c 4 = g(c 1 )ε H (g(c 3 ))S(g(c 5 )) c 2 c 4 = g(c 1 )ε C (c 3 )S(g(c 5 )) c 2 c 4 = g(c 1 )S(g(c 5 )) c 2 ε C (c 3 )c 4 = g(c 1 )S(g(c 4 )) c 2 c 3. Além disso, ε C é morfismo de H-comódulos, pois (id H ε C ) co C (c) = (id H ε C )(g(c 1 )S(g(c 3 )) c 2 ) = g(c 1 )S(g(c 3 )) ε C (c 2 ) = g(c 1 )S(g(ε C (c 2 )c 3 )) 1 k = g(c 1 )S(g(c 2 )) 1 k = (g(c)) 1 S((g(c) 2 )) 1 k = ε H g(c) 1 k = ε C (c)1 H 1 k = ρ k ε C (c).

26 Capítulo 2 Biproduto de Radford O biproduto de Radford, também chamado bozonização é uma ferramenta importante na classificação das álgebras de Hopf. Por conta disso estuda-se propriedades desta ferramenta. 2.1 Par admissível Neste capítulo, considera-se H uma biálgebra e B uma álgebra em H M e uma coálgebra em H M. Além disso, estabelece-se que τ : H B B e ρ : B H B são as estruturas de H-módulo e H-comódulo, respectivamente. Lembra-se que (B#H, m, u) é álgebra com as estruturas m((b#h)(b #h )) = b(h 1 b )#h 2 h e u(1 k ) = 1 B #1 H, e que (B#H, B#H, ε B#H ) é uma coálgebra com as estruturas B#H (b#h) = b 1 #(b 2 ) 1 h 1 (b 2 ) 0 #h 2 e ε B#H (b#h) = ε B (b)ε H (h). O objetivo deste capítulo é fornecer as condições necessárias e suficientes para que B#H seja uma biálgebra. Para isto, primeiramente, serão apresentados alguns resultados auxiliares. Para simplificar a notação, usa-se ε B#H = ε e B#H =. Proposição A aplicação ε é um morfismo de álgebras se e somente se ε B é um morfismo de álgebras e ε B (h b) = ε H (h)ε B (b), para todo h H e b B. Demonstração. ( ) Como a aplicação ε é morfismo de álgebras, é válido que ε(1 B #1 H ) = 1 k, ou seja, ε B (1 B )ε H (1 H ) = 1 k. Desde que H é biálgebra, ε H (1 H ) = 1 k e consequentemente ε B (1 B ) = 1 k. Para mostrar que ε B é morfismo de álgebras basta verificar que é multiplicativo. 25

27 26 Do fato que ε é morfismo de álgebras, segue que ε((b#h)(b#h )) = ε(b#h)ε(b#h ), para quaisquer b, b B, h, h H. Em particular, para b #h = b #1 H segue que ε B (b)ε H (h)ε B (b ) = ε((b#h)(b #1 H )) = ε(b(h 1 b )#(h 2 )1 H ) = ε(b(h 1 b )#h 2 ) = ε B (b(h 1 b ))ε H (h 2 ) = ε B (b(h 1 ε H (h 2 ) b )) = ε B (b(h b )). Ou seja, ε B (b)ε H (h)ε B (b ) = ε B (b(h b )). (2.1) Logo, ε B (bb ) = ε B (b(1 H b )) = ε B (b)ε H (1 H )ε B (b ) = ε B (b)ε B (b ). Portanto, ε B é morfismo de álgebras. Além disso, tomando b = 1 B em (2.1), segue que ε B (h b ) = ε H (h)ε B (b). ( ) Considerando que ε B é um morfismo de álgebras e ε B (h b) = ε H (h)ε B (b), para todo h H e b B tem-se que ε(1 B #1 H ) = ε B (1 B )ε H (1 H ) = 1 k e ε((b#h)(b#h )) = ε(b(h 1 b )#h 2 h ) = ε B (b(h 1 b ))ε H (h 2 h ) = ε B (b)ε B (h 1 b )ε H (h 2 )ε H (h ) = ε B (b)ε B (h 1 ε H (h 2 ) b )ε H (h ) = ε B (b)ε B (h b )ε H (h ) = ε B (b)ε H (h)ε B (b )ε H (h ) = ε(b#h)ε(b #h ). Logo, ε é um morfismo de álgebras. Observa-se que é válida a equação b 1 b 0 = ε B (b 1 )(b 2 ) 1 (b 2 ) 0, b B. (2.2) De fato, b 1 b 0 = ρ(b) = ρ(ε B (b 1 )b 2 ) = ε B (b 1 )ρ(b 2 ) = ε B (b 1 )(b 2 ) 1 (b 2 ) 0. Além disso, tem-se b 1 b 2 = b 1 ε H ((b 2 ) 1 ) (b 2 ) 0. (2.3) Pois, pelo fato de que B é H-comódulo, é válido que ε H (b 1 )b 0 = b. Portanto, tem-se que (b) = b 1 b 2 = b 1 ε H ((b 2 ) 1 )(b 2 ) 0 = b 1 ε H ((b 2 ) 1 ) (b 2 ) 0. Seja C uma coálgebra. Recordando que um elemento não nulo c C é um grouplike se e somente se C (c) = c c, o que implica que ε C (c) = 1 k, tem-se que um elemento b#h B#H é um grouplike se e somente se (b#h) = b 1 #(b 2 ) 1 h 1 (b 2 ) 0 #h 2 = b#h b#h. (2.4) Proposição A unidade 1 B #1 H é um grouplike se e somente se ρ(1 B ) = 1 H #1 B e B (1 B ) = 1 B 1 B.

28 27 Demonstração. ( ) Sabendo que 1 B #1 H é um grouplike e tomando b = 1 B em (2.4), tem-se que b 1 #(b 2 ) 1 (b 2 ) 0 #1 H = (1 B #1 H ) (1 B #1 H ). (2.5) Aplicando id B ε H id B ε H em (2.5), segue que b 1 #ε H ((b 2 ) 1 ) (b 2 ) 0 #ε H (1 H ) = 1 B #ε H (1 H ) 1 B #ε H (1 H ). Usando o isomorfismo segue que b 1 ε H ((b 2 ) 1 ) (b 2 ) 0 = 1 B, 1 B. Logo, de (2.3), B (b) = B (1 B ) = 1 B 1 B.O que também resulta em ε B (1 B ) = 1 k. Se for aplicado ε B id H id B ε H em (2.5) tem-se ε B (b 1 )#(b 2 ) 1 (b 2 ) 0 #ε H (1 H ) = ε B (1 B )#1 H 1 B #ε H (1 H ). Assim, desde que ε B (1 B ) = 1 k vem que ε B (b 1 )(b 2 ) 1 (b 2 ) 0 = 1 H 1 B. Por (2.2) segue que ρ(b) = ρ(1 B ) = 1 H 1 B. ( ) Se ρ(b) = ρ(1 B ) = 1 H 1 B e B (b) = B (1 B ) = 1 B 1 B tem-se que Observação (1 B #1 H ) = (1 B ) 1 #((1 B ) 2 ) 1 (1 H ) 1 ((1 B ) 2 ) 0 #(1 H ) 2 = (1 B ) 1 #(1 H )(1 H ) (1 B ) 2 #(1 H ) = 1 B #1 H 1 B #1 H. (i) Para quaisquer b, b B e h, h H tem-se ((b#h)(b #h )) = (b(h 1 b )#h 2 h ) = (b(h 1 b )) 1 #((b(h 1 b )) 2 ) 1 (h 2 h ) 1 ((b(h 1 b )) 2 ) 0 #(h 2 h ) 2 = (b(h 1 b )) 1 #((b(h 1 b )) 2 ) 1 h 2 h 1 ((b(h 1 b )) 2 ) 0 #h 3 h 2, (ii) Para quaisquer b, b B e h, h H tem-se (b#h) (b #h ) = (b 1 #(b 2 ) 1 h 1 (b 2 ) 0 #h 2 )(b 1#(b 2) 1 h 1 (b 2) 0 #h 2) = (b 1 #(b 2 ) 1 h 1 )(b 1#(b 2) 1 h 1) ((b 2 ) 0 #h 2 )((b 2) 0 #h 2) = b 1 (((b 2 ) 1 h 1 ) 1 b 1)#((b 2 ) 1 h 1 ) 2 ((b 2) 1 h 1) (b 2 ) 0 ((h 2 ) 1 (b 2) 0 )#(h 2 ) 2 h 2 = b 1 (((b 2 ) 1 h 1 ) 1 b 1)#((b 2 ) 1 h 1 ) 2 ((b 2) 1 h 1) (b 2 ) 0 (h 2 (b 2) 0 )#h 3 h 2. Proposição A aplicação é multiplicativa se e somente se para quaisquer h H, b, b B, (b(h 1 b )) 1 # (b(h 1 b ) 2 ) 1 h 2 ((b(h 1 b )) 2 ) 0 = (b 1 (((b 2 ) 1 )h 1 ) 1 b 1)#((b 2 ) 1 h 1 ) 2 (b 2) 1 (b 2 ) 0 (h 2 (b 2) 0 ). (2.6)

29 28 Demonstração. ( ) Tomando h = 1 H em ((b#h)(b #h )) = (b#h) (b #h ), usando a Observação e o fato de que H (1 H ) = 1 H 1 H, obtém-se que (b(h 1 b )) 1 #((b(h 1 b )) 2 ) 1 h 2 ((b(h 1 b )) 2 ) 0 #h 3 = b 1 (((b 2 ) 1 h 1 ) 1 b 1)#((b 2 ) 1 h 1 ) 2 ((b 2) 1 ) (b 2 ) 0 (h 2 (b 2) 0 )#h 3. Aplicando id B id H id B ε H na equação acima, segue que (b(h 1 b )) 1 #((b(h 1 b )) 2 ) 1 h 2 ((b(h 1 b )) 2 ) 0 = b 1 (((b 2 ) 1 h 1 ) 1 b 1)#((b 2 ) 1 h 1 ) 2 ((b 2) 1 ) (b 2 ) 0 (h 2 (b 2) 0 ). ( ) Usando a hipótese, segue que ((b#h)(b #h )) = (b(h 1 b )) 1 #((b(h 1 b )) 2 ) 1 h 2 h 1 ((b(h 1 b )) 2 ) 0 #h 3 h 2 = b 1 (((b 2 ) 1 h 1 ) 1 b 1)#((b 2 ) 1 h 1 ) 2 ((b 2) 1 h 1) (b 2 ) 0 (h 2 (b 2) 0 )#h 3 h 2 = (b#h) (b #h ). Os resultados abaixo apresentam condições que auxiliam concluir que é multiplicativo sem a necessidade de recorrer à proprosição anterior. Aplicando ε B id H id B na equação (2.6) resulta que ε B ((b(h 1 b )) 1 )#((b(h 1 b ) 2 ) 1 h 2 ) (((b(h 1 b )) 2 ) 0 ) = tem-se ε B ((b 1 (((b 2 ) 1 )h 1 ) 1 b 1))#(((b 2 ) 1 h 1 ) 2 (b 2) 1 ) ((b 2 ) 0 (h 2 (b 2) 0 )), Supondo que ε é morfismo de álgebras. Então, por (2.2) e pela Proposição (b(h 1 b )) 1 h 2 (b(h 1 b )) 0 = Ou seja, ε B (b 1 )ε H ((((b 2 ) 1 )h 1 ) 1 )ε B (b 1)((b 2 ) 1 h 1 ) 2 (b 2) 1 (b 2 ) 0 (h 2 (b 2) 0 ). (b(h 1 b )) 1 h 2 (b(h 1 b )) 0 = ε B (b 1 )ε B (b 1)(b 2 ) 1 h 1 (b 2) 1 (b 2 ) 0 (h 2 (b 2) 0 ) (2.2) = b 1 ε B (b 1)h 1 (b 2) 1 b 0 (h 2 (b 2) 0 ) (2.2) = b 1 h 1 b 1 b 0 (h 2 b 0). Portanto, (b(h 1 b )) 1 h 2 (b(h 1 b )) 0 = b 1 h 1 b 1 b 0 (h 2 b 0). (2.7) Proposição Se ρ(bb ) = b 1 b 1 b 0 b 0 e (h 1 b) 1 h 2 (h 1 b) 0 = h 1 b 1 (h 2 b 0 ), então a equação (2.7) é válida. Demonstração. Utilizando a hipótese, segue que b 1 h 1 b 1 b 0 (h 2 b 0) = b 1 (h 1 b ) 1 h 2 b 0 (h 1 b ) 0 = (b(h 1 b )) 1 h 2 (b(h 1 b )) 0.

30 29 Proposição A recíproca da proposição acima é válida se ρ(1 B ) = 1 H 1 B. Demonstração. Tomando h = 1 H em (2.7) tem-se ρ(bb ) = (bb ) 1 (bb ) 0 = b 1 b 1 b 0 b 0. Tomando b = 1 B em (2.7) tem-se (1 B (h 1 b )) 1 h 2 (1 B (h 1 b )) 0 = (1 B ) 1 h 1 b 1 (1 B ) 0 (h 2 b 0) (h 1 b ) 1 h 2 (h 1 b ) 0 = (1 H )h 1 b 1 (1 B )(h 2 b 0) (h 1 b ) 1 h 2 (h 1 b ) 0 = h 1 b 1 (h 2 b 0). Num processo análogo ao anterior, aplicando id B ε H id B em (2.6) obtém-se (b(h 1 b )) 1 #ε H ((b(h 1 b ) 2 ) 1 )ε H (h 2 ) ((b(h 1 b )) 2 ) 0 = (b 1 (((b 2 ) 1 )h 1 ) 1 b 1)#ε H (((b 2 ) 1 h 1 ) 2 )ε H ((b 2) 1 ) (b 2 ) 0 (h 2 (b 2) 0 ). Consequentemente, (b(h 1 b )) 1 ε H (h 2 ) (b(h 1 b )) 2 = b 1 (((b 2 ) 1 h 1 ) b 1) (b 2 ) 0 (h 2 b 2). Portanto, (b(h b )) 1 (b(h b )) 2 = b 1 (((b 2 ) 1 h 1 ) b 1) (b 2 ) 0 (h 2 b 2). (2.8) Proposição Se B (bb ) = b 1 ((b 2 ) 1 b 1) (b 2 ) 0 b 2 e B (h b) = h 1 b 1 h 2 b 2, ou seja, se B é multiplicativo e de H-módulos, então a equação (2.8) é válida. Demonstração. O resultado é demonstrado diretamente usando as equações da hipótese: (b(h b )) 1 (b(h b )) 2 = b 1 ((b 2 ) 1 (h b ) 1 ) (b 2 ) 0 (h b ) 2 = b 1 ((((b 2 ) 1 )h 1 ) b 1) (b 2 ) 0 (h 2 b 2). Proposição A recíproca da proposição acima é verdadeira se ρ(1 B ) = 1 H 1 B e B (1 B ) = 1 B 1 B. Demonstração. Tomando h = 1 H em (2.8) tem-se (bb ) 1 (bb ) 2 = b 1 ((b 2 ) 1 b 1) (b 2 ) 0 b 2 B (bb ) = b 1 ((b 2 ) 1 b 1) (b 2 ) 0 b 2.

31 30 Tomando b = 1 B em (2.8) tem-se B (h b ) = (1 B ) 1 ((((1 B ) 2 ) 1 h 1 ) b 1) ((1 B ) 2 ) 0 (h 2 b 2) = h 1 b 1 h 2 b 2. A partir destes resultados é possível enunciar o teorema a seguir. Teorema Seja H uma biálgebra sobre o corpo k, e suponha que B seja uma álgebra em H M e uma coálgebra em H M. Sejam τ : H B B e ρ : B H B as estruturas de módulo e comódulo, respectivamente. Então, as seguintes afirmações são equivalentes: (a) (B#H, m B#H, u B#H, B#H, ε B#H ) é uma biálgebra, isto é, (H, B) é um par admissível; (b) B é uma álgebra em H M e uma coálgebra em H M, ε B é um morfismo de álgebras, B (1 B ) = 1 B 1 B e vale as identidades: (i) B (bb ) = b 1 ((b 2 ) 1 b 1) (b 2 ) 0 b 2 e (ii) (h 1 b) 1 h 2 (h 1 b) 0 = h 1 b 1 (h 2 b 0 ), para quaisquer b, b B e h H; (c) A aplicações ε B e ρ são morfismos de álgebras, B (1 B ) = 1 B 1 B, τ é morfismo de coálgebras e são válidos (i) e (ii) do item (b). Demonstração. A equivalência (b) (c) segue diretamente das Proposições e (a) (b) Como (H, B) é um par admissível, então e ε são morfismos de álgebras. Pela Proposição 2.1.2, ρ(1 B ) = 1 h 1 B e pela Proposição tem-se ρ(bb ) = b 1 b 1 b 0 b 0. Pela Proposição m e u são morfismos de H-comódulos. Portanto, B é uma álgebra em H M. Analogamente, pela Proposição tem-se ε B (h b) = ε H (h)ε B (b) e pela Proposição tem-se B (h b) = h 1 b 1 h 2 b 2. Logo, segue pela Proposição que B é uma coálgebra em H M. Além disso, ε B é morfismo de álgebras pela Proposição 2.1.1; (1 B ) = 1 B 1 B pela Proposição 2.1.4; e (i) e (ii) são válidos pelas Proposições e 2.1.6, respectivamente. (b) (a) Para provar que (H, B) é um par admissível é necessário mostrar que: (B#H, m, u) é uma álgebra; (B#H,, ε) é uma coálgebra; e ε são morfismos de álgebras.

32 31 Os dois primeiros itens foram provados anteriormente, no Capítulo 1, nos Exemplos 1.2 e 1.3. Como ε B é morfismo de álgebras e de H-módulos, segue pela Proposição que ε é morfismo de álgebras. Resta mostrar que é morfismo de álgebras. Desde que m e u são morfismos de H- comódulos, segue da Proposição que ρ(1 B ) = 1 H 1 B. Assim, pela Proposição sabe-se que (1 B #1 H ) = 1 B #1 H 1 B #1 H. Portanto, basta mostrar que é multiplicativo. Note que (b(h 1 b )) 1 #(b(h 1 b ) 2 ) 1 h 2 ((b(h 1 b )) 2 ) 0 = (2.8) = b 1 (((b 2 ) 1 (h 1 ) 1 ) b 1)#((b 2 ) 0 ((h 1 ) 2 b 2)) 1 h 2 ((b 2 ) 0 ((h 1 ) 2 b 2)) 0 = b 1 (((b 2 ) 1 h 1 ) b 1)#((b 2 ) 0 (h 2 b 2)) 1 h 3 ((b 2 ) 0 (h 2 b 2)) 0 (2.7) = b 1 (((b 2 ) 1 h 1 ) b 1)#((b 2 ) 0 ) 1 h 2 (b 2) 1 ((b 2 ) 0 ) 0 (h 3 (b 2) 0 ) = b 1 ((((b 2 ) 1 ) 1 (h 1 ) 1 ) b 1)#((b 2 ) 1 ) 2 (h 1 ) 2 (b 2) 1 (b 2 ) 0 (h 2 (b 2) 0 ) = (b 1 (((b 2 ) 1 )h 1 ) 1 b 1)#((b 2 ) 1 h 1 ) 2 (b 2) 1 (b 2 ) 0 (h 2 (b 2) 0 ). Nas duas últimas igualdades foi utilizado o fato de ρ ser coassociativo e H ser multiplicativo. O resultado segue pela Proposição Sistema admissível Esta seção tem por objetivo definir sistema admissível e fornecer as condições necessárias para que, a partir de um par admissível, seja possível obter um sistema admissível. Será considerado (H, B) um par admissível, A uma biálgebra sobre k e o diagrama A π H, onde i e π são morfismos de biálgebras. i Então A é um H-módulo à esquerda via τ l (h a) = h a = i(h)a, h H, a A. De fato, τ l torna A um H-módulo à esquerda, pois para quaisquer h, h H e a A tem-se τ l (u H id A )(1 k a) = τ l (1 H a) = i(1 H )a = a = (1 K a) e τ l (m H id A )(h h a) = τ l (hh a) = i(hh )a = i(h)i(h )a = τ l (h i(h )a) = τ l (id H τ l )(h h a). Analogamente, A é um H-módulo à direita via τ r (a h) = ai(h). Portanto, como τ r (τ l id H )(h a h ) = τ r (i(h)a h ) = (i(h)a)i(h ) = i(h)(ai(h )) = τ l (h ai(h )) = τ l (id H τ r )(h a h ), resulta que A é um H-bimódulo com as ações definidas acima. Além disso, A é um H-bicomódulo através das coações dadas por ρ r (a) = a 1 π(a 2 ) e ρ l (a) = π(a 1 ) a 2, à direita e à esquerda, respectivamente. De fato, A é um H-comódulo

33 32 à direita via ρ r (a) = a 1 π(a 2 ), pois (id A ) ρ r (a) = (id A )(a 1 π(a 2 )) = a 1 (π(a 2 )) 1 (π(a 2 )) 2 = a 1 π((a 2 ) 1 ) π((a 2 ) 2 ) = a 1 π(a 2 ) π(a 3 ) = (a 1 ) 1 π((a 1 ) 2 ) π(a 2 ) = (ρ r id H )(a 1 π(a 2 )) = (ρ r id H ) ρ r (a). E, (id A ε H )(ρ r (a))(a h) = (id A ε H )(a 1 π(a 2 )) = a 1 ε H (π(a 2 )) = a 1 ε A (a 2 ) = a, para todo a A. Analogamente, mostra-se que A é um H-comódulo à esquerda. E como para todo a A (ρ l id H )ρ r (a) = (ρ l id H )(a 1 π(a 2 )) = π(a 1 ) a 2 π(a 3 ) Resulta que A é um H-bicomódulo. = (id H ρ r )(π(a 1 ) a 2 ) = (id H ρ r )ρ l (a). Π Definição Diz-se que B A π H é um sistema admissível se satisfaz as seguintes condições: (i) Π j = id B e π i = id H ; j i (ii) As aplicações i e π são morfimos de biálgebras, j é morfismo de álgebras e Π é morfismo de coálgebras; (iii) A aplicação Π é um morfismo de H-bimódulos considerando em A as estruturas de H-bimódulo apresentadas acima e, em B a estrutura de H-módulo à direita trivial, e à esquerda a estrutura dada pelo par admissível; (iv) O conjunto j(b) é um H-sub-bicomódulo de A e Π j(b) é um morfismo de H- bicomódulos considerando, em A, a estrutura de H-bicomódulo acima e, em B, a estrutura trivial de H-comódulo à direita, e à esquerda a estrutura dada pelo par admissível; e (v) (j Π) (i π) = id A. Antes de apresentar resultados que envolvem sistema admissível, serão analisadas algumas aplicações particulares, relevantes para o primeiro resultado. Considerando H uma biálgebra e B uma álgebra em H M e uma coálgebra em H M, tem-se que as aplicações j B : B B#H b b#1 H e i H : H B#H h 1 B #h

34 33 são monomorfismos de álgebras. De fato, j B (u B (1 k )) = j B (1 B ) = 1 B #1 H = u B#H (1 k ) e m B#H (j B j B )(b b ) = m B#H (b#1 H b #1 H ) = b(1 H b )#1 H 1 H = bb 1 H = j B (bb ) = (j B m B )(b b ). Logo j B é um morfismo de álgebras. Além disso, j B é injetor, pois se b#1 H = b #1 H, aplicando id B ε H segue, pelo isomorfismo de B com B#1 k, que bε H (1 H ) = b ε H (1 H ), de onde obtém-se b = b, pois H é uma biálgebra. Analogamente, i H é um morfismo de álgebras, pois (id H u H )(1 k ) = i H (1 H ) = 1 B 1 H = u B#H (1 k ) e, para quaisquer h, h H, tem-se m B#H (i H i H )(h h ) = m(1 B #h 1 B #h ) = 1 B (h 1 1 B )#h 2 h = ε H (h 1 )1 B #h 2 h = 1 B hh = i H (hh ) = (i H m H )(h h ). Tem-se que i H é injetor se e somente se i H (h) = 0 implica que h = 0. Supondo que h 0, então {1 B h} é linearmente independente. Isso implica que i H (h) 0. Portanto,i H é injetor. Já as aplicações Π B : B#H B b#h bε H (h) e π H : B#H H b#h ε B (b)h são epimorfismos de coálgebras. De fato, tem-se que para quaisquer b B e h H (Π B Π B ) (b#h) = (Π B Π B )(b 1 #(b 2 ) 1 h 1 (b 2 ) 0 #h 2 ) = b 1 ε H ((b 2 ) 1 )ε H (h 1 ) (b 2 ) 0 ε H (h 2 ) (2.3) = b 1 ε H (h 1 ) b 2 ε H (h 2 ) = ε H (h)b 1 b 2 = ε H (h) B (b) = B (ε H (h)b) = B (Π B (b#h)). E, ε B Π B (b#h) = ε B (bε H (h)) = ε H (h)ε B (b) = ε(b#h). Portanto Π B é um morfismo de coálgebras. Observa-se que Π B é sobrejetor. De fato dado b B, toma-se b#1 H B#H. Logo, Π B (b#1 H ) = bε H (1 H ) = b. Analogamente, tem-se que π H é morfismo de coálgebras, pois para quaisquer b B e h H tem-se

35 34 (π H π H ) (b#h) = (π H π H )(b 1 #(b 2 ) 1 h 1 (b 2 ) 0 #h 2 ) = ε B (b 1 )(b 2 ) 1 h 1 ε B ((b 2 ) 0 )h 2 = ε B (b 1 )(b 2 ) 1 ε B ((b 2 ) 0 )h 1 h 2 ( ) = ε B (b 1 )ε B (b 2 )h 1 h 2 = ε B (b 1 ε B (b 2 ))h 1 h 2 = ε B (b)h 1 h 2 = ε B (b) H (h) = H (ε B (b)h) = H (π H (b#h)). Nota-se que ( ) vale pois ε B é morfismo de H-comódulos. E, ε H π H (b#h) = ε H (ε B (b)h) = ε B (b)ε H (h) = ε(b#h). Para mostrar que π H é sobrejetor, observa-se primeiramente que existe b B tal que ε B (b) 0. Pois, caso contrário, ε B (b) = 0 para qualquer b B. Mas como B é coálgebra, b = ε B (b 1 )b 2 = 0b 2 = 0. Então B = 0, o que é um absurdo. Portanto, 1 considera-se b B tal que ε B (b) 0. Então, para qualquer h H, tem-se k ( ) b#h ε B (b) 1 B#H, satisfazendo π k H b#h ε B = 1 k π (b) ε B (b) H(b#h) = h. Agora, dispondo das aplicações acima, segue o primeiro resultado sobre sistema admissível. Teorema Seja (H, B) um par admissível. Então B H é um sistema admissível. Π B j B B#H π H i H Demonstração. Serão consideradas em B, as estruturas triviais de H-módulo e H- comódulo à direita, as quais serão representadas por τ Br e ρ Br, respectivamente. Além disso, as estruturas de H-módulo e H-comódulo à esquerda, dadas pela definição de par admissível, serão representadas por τ Bl e ρ Bl. Usando as aplicações π H e i H, tem-se que a estrutura de H-bimódulo, em B#H, é dada por: τ l (h (b#h)) = (h 1 b)#h 2h e τ r ((b#h) h ) = b#hh, b B, h, h H. A estrutura de H-bicomódulo, em B#H, é dada por: ρ l (b#h) = b 1 h 1 b 0 #h 2 e ρ r (b#h) = b#h 1 h 2, b B, h H. Agora verifica-se os cinco itens que caracterizam um sistema admissível (Definição 2.2.1). (i) Tem-se que (Π B j B )(b) = Π B (b#1 H ) = bε H (1 H ) = b e (π H i H )(h) = π H (1 B #h) = ε B (1 B )h = h;

36 35 (ii) Antes desta demonstração foi provado que a aplicação i H é morfismo de álgebras. Note que i H é também um morfismo de coálgebras, afinal para todo h H tem-se que ε(i H (h)) = ε(1 B #h) = ε B (1 B )ε H (h) = ε H (h) e ( i H )(h) = (1 B #h) = 1 B #h 1 1 B #h 2 = (i H i H )(h 1 h 2 ) = ((i H i H ) )(h). Portanto, i H é morfismo de biálgebras. Além disso, sabe-se que π H é morfismo de coálgebras. Agora observa-se que π H também é morfismo de álgebras. De fato, temse que π H (u(1 k )) = π H (1 B #1 H ) = ε B (1 B )1 H = 1 H = u H (1 k ) e, para todo b, b B e h, h H (π H m)((b#h) (b #h )) = π H (b(h 1 b )#h 2 h ) = ε B (b(h 1 b ))h 2 h = ε B (b)ε H (h 1 )ε B (b )h 2 h = ε B (b)ε B (b )hh = ε B (b)hε B (b )h = π H (b#h)π H (b #h ) = (m (π H π H ))((b#h) (b #h )), Assim, tem-se que π H é morfismo de biálgebras. Como demonstrado acima, antes de enunciar o teorema, j B é um morfismo de álgebras e Π B é morfismo de coálgebras. (iii) A aplicação Π B é morfismo de H-módulos à esquerda, pois dados b B e h, h H tem-se (τ Bl (id H Π B ))(h (b#h)) = τ Bl (h bε H (h)) = (h b)ε H (h) = (h 1ε H (h 2) b)ε H (h) = (h 1 b)ε H (h 2)ε H (h) = (h 1 b)ε H (h 2h) = Π B ((h 1 b)#h 2h) = (Π B τ l )(h (b#h)). Além disso, Π B é morfismo de H-módulos à direita, pois para quaisquer b B e h, h H tem-se (Π B τ r )((b#h) h ) = Π B (b#hh ) = bε H (hh ) = bε H (h)ε H (h ) = τ Br (bε H (h) h ) = (τ Br (Π B id H ))((b#h) h ). Portanto, Π B é de H-bimódulos. (iv) Para todo b B, tem-se j B (b) = b#1 H. Logo, j(b) = B#1 H. Lembrando que para mostrar que o conjunto j B (B) é um H-sub-bicomódulo em B#H, basta mostrar que ρ r (j B (B)) j B (B)#H e ρ l (j B (B)) H#j B (B). Mas, para qualquer b B, tem-se ρ r (b#1 H ) = b#1 H 1 H e ρ l (b#1 H ) = b 1 b 0 #1 H. Segue que j B (B) é um H-subbicomódulo em B#H. Mais ainda, Π B jb (B) é um morfismo de H-comódulos à direita.

37 36 De fato, para b B (Π B id H ) ρ r (b#1 H ) = (Π B id H )(b#1 H 1 H ) = bε H (1 H ) 1 H = b 1 H = ρ Br (b) = ρ Br (bε H (1 H )) = (ρ Br Π B )(b#1 H ). Também, Π B jb (B) é um morfismo de H-comódulos à esquerda, pois (id H Π B ) ρ l (b#1) = (id H Π B )(b 1 b 0 1 H ) = b 1 b 0 ε H (1 H ) = b 1 b 0 = ρ Bl (b) = (ρ Bl Π B )(b#1 H ). Portanto, segue que Π B j(b) é um morfismo H-bicomódulos. (v) Tem-se que, para todo b B e h H [(j B Π B ) (i H π H )](b#h) = (j B Π B )(b 1 #(b 2 ) 1 h 1 )(i H π H )((b 2 ) 0 #h 2 ) = j B (b 1 ε H ((b 2 ) 1 )ε H (h 1 ))i H (ε B ((b 2 ) 0 )h 2 ) = ε H ((b 2 ) 1 )ε H (h 1 )j B (b 1 )ε B ((b 2 ) 0 )i H (h 2 ) = ε H (h 1 )j B (b 1 )ε B (ε H ((b 2 ) 1 )(b 2 ) 0 )i H (h 2 ) = ε H (h 1 )ε B (b 2 )j B (b 1 )i H (h 2 ) = j B (b 1 ε B (b 2 ))i H (ε H (h 1 )h 2 ) = j B (b)i H (h) = (b#1 H )(1 B #h) = b(1 H 1 B )#h = id B#H (b#h). Portanto B Π B j B B#H π H i H H é um sistema admissível. O resultado a seguir afirma que dado um par admissível (H, B) tem-se que seu sistema admíssivel é, a menos de isomorfismo, o apresentado no Teorema Teorema Sejam (H, B) um par admissível, A uma biálgebra sobre k e Π B A π H um sistema admissível. Então: j i (a) existe um único morfismo de álgebras f : B#H A tal que o diagrama j B B#H i H (2.9) B f H j A i

38 37 é comutativo. Além disso, o diagrama B#H (2.10) Π B π H B f H Π A π é comutativo e f é um isomorfismo de biálgebras; (b) existe um único morfismo de coálgebras g : A B#H tal que o seguinte diagrama é comutativo Π B B#H π H (2.11) B g H Π A π Além disso, o diagrama j B B#H i H (2.12) B g H j A i é comutativo e g é um isomorfismo de biálgebras. Mais ainda, f e g são morfismos inversos. Demonstração. Seja f : B#H A definida por f(b#h)=j(b)i(h). Observa-se que: i(h)j(b) = id A (i(h)j(b)) = ((j Π) (i π))(i(h)j(b)) = ((j Π)(i(h)j(b)) 1 )((i π)(i(h)j(b)) 2 ) = ((j Π)(i(h 1 )j(b) 1 ))((i π)(i(h 2 )j(b) 2 )) = j(π(i(h 1 )j(b) 1 ))i(π(i(h 2 )j(b) 2 )) (1) = j(h 1 Π(j(b) 1 ))i(π(i(h 2 ))i(π(j(b) 2 )) (2) = j(h 1 Π(j(b) 1 ))i(h 2 )i(π(j(b) 2 )) (3) = j(h 1 b)i(h 2 )i(1 H ) = j(h 1 b)i(h 2 ). Acima, (1) vale pois Π é morfismo de H-módulos à esquerda e que i e π são morfismos de biálgebras; (2) vale porque π i = id H ; e, (3) vale já que j(b) é um H-sub-