UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ EDSON MINORU SASSAKI. Descrição dos Objetos Galois sobre uma Álgebra de Hopf Associada a um Conjunto de Dados de Grupo

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ EDSON MINORU SASSAKI Descrição dos Objetos Galois sobre uma Álgebra de opf Associada a um onjunto de Dados de Grupo URITIBA 2014

2 EDSON MINORU SASSAKI Descrição dos Objetos Galois sobre uma Álgebra de opf Associada a um onjunto de Dados de Grupo Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção do grau de Mestre em Matemática, no urso de Pós-Graduação em Matemática, Setor de iências Exatas, da Universidade Federal do Paraná. Orientador: Prof. Dr. Marcelo Muniz Silva Alves URITIBA 2014

3

4

5 RESUMO Neste trabalho, apresentaremos uma forma de classificar todos os objetos Galois sobre uma álgebra de opf associada a um conjunto de dados de grupo. Estas álgebras são introduzidas por hen, uang, Ye e Zhang, em seu artigo Monomial opf Algebras, no qual as relacionam com álgebras de opf monomiais não semi simples. A classificação foi proposta por Julien Bichon, em seu artigo Galois and Bigalois Objects Over Monomial Non-Semisimple opf Algebras. Além disso, damos uma caracterização de objetos Galois sobre uma álgebra de opf fielmente planos sobre K através de funtores monoidais exatos aditivos. onceitos, como estrutura de coálgebras, comódulos, funtores aditivos exatos, biálgebras e álgebras de opf são apresentados para que o leitor acompanhe as demonstrações principais. Palavras-chave: Extensão Galois, Objeto Galois, Álgebra de opf, ohomologia de Grupos, Produto ruzado

6 ABSTRAT In this paper, we present a way to classify all Galois objects over a opf algebra associated with a group datum. These algebras were introduced by hen, uang, Ye and Zhang, in their article Monomial opf Algebras, in which they relate them to monomial non-semisimple opf algebras. The classification was proposed by Julien Bichon, in his article Galois and Bigalois Objects Over Monomial Non-Semisimple opf Algebras. Moreover, we give a characterization of faithfully K-flat Galois objects over a opf algebra by exact additive monoidal functors. oncepts like coalgebras structure, comodules, exact additive functors, bialgebras and opf algebras are introduced so the reader can understand the main proofs. Key-words: Galois Extension, Galois Object, opf Algebra, Group cohomology, crossed product

7 ONTEÚDO Introdução Preliminares oálgebras e omódulos Bicomódulos Funtores Aditivos e Produto Tensorial Produto otensorial Biálgebras e Álgebras de opf Extensões Galois Extensões Galois sobre Álgebras de opf Produtos ruzados ohomologia de Grupos Descrição dos objetos A(G)-Galois A álgebra de opf A(G) Os objetos A(G)-Galois A σ,a,ψ (G) Os objetos A(G)-Galois A σ,a (G) aracterização dos objetos A(G)-Galois Descrição dos objetos A(G)-Galois com G do tipo I ao tipo V Descrição dos objetos A(G)-biGalois Os objetos A(G)-biGalois A u σ,a(g) O grupo Γ(G) Descrição dos objetos A(G)-biGalois com G do tipo I e II Os objetos A(G )-A(G)-biGalois Descrição dos objetos A(G)-biGalois com G do tipo III e IV Descrição dos objetos A(G)-biGalois com G do tipo V e VI Apêndice 130 A. q-álculo B. Álgebras e outros resultados gerais Lema do Diamante D. ategorias Monoidais

8 INTRODUÇÃO A menor álgebra de opf não comutativa e não cocomutativa foi apresentada por Sweedler no final da década de 60. Esta álgebra tem dimensão 4 sobre um corpo de característica diferente de 2 e é não semi simples. Taft generaliza esta construção em seu artigo The Order of the Antipode of Finite-dimensional opf Algebra, [10], no qual apresenta uma família de álgebras de opf com antípoda de ordem 2d e dimensão d n+1, onde n 1 e d > 1. As álgebras de opf acima são monomiais não semi simples. Estas álgebras são classificadas por hen, uang, Ye e Zhang, em seu artigo Monomial opf Algebras, [7], no qual as descrevem como álgebras de opf associadas a um conjunto de dados de grupo. Um conjunto de dados de grupo é formado por um grupo finito G, um elemento g central em G, um morfismo de grupos χ: G K e uma constante µ K tal que se o(g) = o(χ(g)), então µ = 0 e se µ 0, então χ o(χ(g)) = 1. Denotamos este conjunto por G = (G, g, χ, µ) e podemos classificá-lo em 6 tipos diferentes, de modo que, se dois conjuntos de dados de grupo não são do mesmo tipo, então não podem ser isomorfos. A álgebra de opf associada à G será denotada por A(G) e seus elementos grouplike são correpondentes aos elementos de G. Neste trabalho, apresentaremos uma forma de classificar todos os objetos Galois e bigalois sobre uma álgebra de opf associada a um conjunto de dados de grupo. Um objeto Galois (à direita) sobre uma álgebra de opf é uma álgebra A que tem estrutura de -comódulo (à direita) ρ, onde a subálgebra dos coinvariantes A co é isomorfa à K e a função: κ: A A A a b aρ(b) é um isomorfismo de A-módulos à esquerda e de -comódulos à direita. Um objeto bigalois sobre uma álgebra de opf é uma álgebra que tem a estrutura acima à esquerda e à direita, de forma compatível. A classificação dos objetos Galois e bigalois que utilizaremos foi proposta por Julien Bichon, em seu artigo Galois and Bigalois Objects Over Monomial Non-Semisimple opf Algebras, [1], onde ele estabelece relações entre estes conjuntos e versões modificadas da segunda cohomologia de grupos dos elementos grouplike. No primeiro capítulo, conceitos, como estrutura de coálgebras, comódulos, funtores aditivos exatos, biálgebras e álgebras de opf são apresentados para que o leitor acompanhe as demonstrações principais. A conexão entre teoria de Galois para corpos e teoria de Galois sobre álgebras de opf é feita na seção 1.6, com base em Galois Structures, [15], de Tomasz Maszczyk. Nas seções 1.3 e 1.4, desenvolvemos as ferramentas necessárias para estudarmos a estrutura de grupo do conjunto de objetos bigalois sobre uma álgebra de opf. que será feita na seção 1.7. Em particular, apresentamos uma correpondência bijetora entre funtores monoidais exatos que comutam com somas diretas arbitrárias M M K e objetos -Galois fielmente K-planos. No segundo capítulo, apresentamos a álgebra A(G) e, para conjuntos de dados de grupo do tipo I ao tipo V, apresentamos uma família de objetos A(G)-Galois que cobre todos os outros objetos A(G)-Galois. Além disso, introduzimos uma equação que é necessária e suficiente para que um objeto seja A(G)-Galois. Esta equação será utilizada na classificação dos objetos Galois para cada tipo de conjunto de dados de grupo.

9 onteúdo 9 No terceiro capítulo, apresentamos uma família de objetos A(G)-biGalois que cobre todos os outros objetos A(G)-biGalois. Para os conjuntos de dados dos tipos I e II, a demonstração é feita diretamente a partir desta família. Para os tipos III e IV, precisamos também estudar objetos -A(G)-biGalois, com podendo ser diferente de A(G). Os tipos V e VI são feitos a partir do caso III. Por fim, concluímos a descrição dos objetos A(G)-Galois utilizando o seguinte resultado apresentado por Schauenburg em [2]: Se 1 e 2 são duas álgebras de opf tais que existe um objeto 1-2 -bigalois, então temos uma bijeção entre os objetos 1 -Galois e os objetos 2 -Galois. A caracterização dos objetos A(G)-Galois para G do tipo VI é feita construindo um objeto A(G)-A(G )-bigalois com G do tipo III.

10 1. PRELIMINARES 1.1 oálgebras e omódulos Nesta seção introduziremos os conceitos necessários para demonstrar o seguinte resultado e algumas de suas consequências: Sejam A um -comódulo álgebra e I um ideal de A que é um -subcomódulo de A. Então existe uma única estrutura de -comódulo álgebra no quociente A/I para o qual o morfismo projeção π I : A A/I é morfismo de -comódulo álgebras. Quando não houver menção contrária, K será um anel comutativo. Observação 1.1. Seja V um K-módulo. hamaremos de V : V V o isomorfismo identidade definido por V (x) = x. Observação 1.2. Seja V um K-módulo. hamaremos de τ V : V V K o isomorfismo canônico definido por τ V (x) = x 1. Definição 1.3. Sejam um K-módulo, : e ε : K morfismos K-lineares. Dizemos que a tripla (,, ε ) é uma coálgebra se os seguintes diagramas comutam: K = = K ε ε Quando não houver ambiguidade, diremos apenas que é coálgebra. Definição 1.4. Sejam e D coálgebras e f : D um morfismo K-linear. Diremos que f é um morfismo de coálgebras se os seguintes diagramas comutam: f D f f f D D D D ε Notação de Sweedler: Se é uma coálgebra, então para cada c denotaremos: K ε D (c) = c 1 c 2

11 1. Preliminares 11 omo temos que ( ) = ( ), podemos extender esta notação da seguinte forma: c1 c 2 c 3 := c 1,1 c 1,2 c 2 = c 1 c 2,1 c 2,2 Esta notação será amplamente utilizada a partir da Seção 1.8. Definição 1.5. Sejam uma coálgebra, M um K-módulo e ρ M : M M um morfismo K-linear. Diremos que o par (M, ρ M ) é um -comódulo à direita se os seguintes diagramas comutam: ρ M M M ρ M M M M ρ M ρ M M M = M K M ε Quando não houver ambiguidade, diremos apenas que M é -comódulo à direita. Definição 1.6. Sejam uma coálgebra, M um K-módulo e β M : M M um morfismo K-linear. Diremos que o par (M, β M ) é um -comódulo à esquerda se os seguintes diagramas comutam: β M M M β M M M M β M β M M M = K M ε M Quando não houver ambiguidade, diremos apenas que M é -comódulo à esquerda. Notação de Sweedler: Se (M, ρ M ) é um -comódulo à direita, então para cada m M denotaremos: ρ M (m) = m (0) m (1) omo temos que (ρ M ) ρ M = (M ) ρ M, podemos extender esta notação da seguinte forma: m(0) m (1) m (2) := m (0),(0) m (0),(1) m (1) = m (0) m (1),1 m (1),2 Se (M, β M ) é um -comódulo à esquerda, então para cada m M denotaremos: β M (m) = m ( 1) m (0) omo temos que ( β M ) β M = ( β M ) β M, podemos extender esta notação da seguinte forma: m( 2) m ( 1) m (0) = m ( 1) m (0),( 1) m (0),(0) = m ( 1),1 m ( 1),2 m (0)

12 1. Preliminares 12 Esta notação será utilizada na Seção 1.5. Os próximos resultados serão feitos para -comódulos à direita, mas possuem resultados análogos para -comódulos à esquerda. Ocultaremos o termo à direita, pois não há ambiguidade. Definição 1.7. Sejam (M, ρ M ) e (N, ρ N ) dois -comódulos, e f : M N um morfismo K-linear. Diremos que f é morfismo de -comódulos se o seguinte diagrama comuta: M f N ρ M M f ρ N N Definição 1.8. Seja (A, ρ A ) um -comódulo tal que A é uma álgebra. Diremos que A é um -comódulo álgebra se ρ A é morfismo de álgebras. Neste caso, chamaremos ρ A de uma coação de sobre A. Definição 1.9. Sejam A e B dois -comódulo álgebras. Diremos que um morfismo f : A B é um morfismo de -comódulo álgebras se f é morfismo de álgebras e morfismo de - comódulos. Teorema Sejam M um -comódulo e L a álgebra tensorial sobre M. Então existe uma única estrutura de -comódulo tal que L é -comódulo álgebra e o morfismo inclusão ι: M L é morfismo de -comódulos. Demonstração. Pela definição de álgebra tensorial, existe um único morfismo de álgebras ρ L tal que o seguinte diagrama comuta: M ι (ι ) ρ M L ρ L L Note que, se M e L são -comódulos, então ι é morfismo de -comódulos pela comutatividade do diagrama acima. Vejamos que de fato ρ L é uma coação de sobre L: (ρ L ) ρ L ι = (ρ L ) (ι ) ρ M = ( (ρ L ι) ) ρ M ( ((ι ) ) = ) ρm ρ M = (ι ) (ρ M ) ρ M = (ι ) (M ) ρ M = (ι ) ρ M = (L ) (ι ) ρ M = (L ) ρ L ι Logo, (ρ L ) ρ L e (L ) ρ L fazem o seguinte diagrama comutar: M ι (ι ) ρ M L L Pela definição de álgebra tensorial, temos que (ρ L ) ρ L = (L ) ρ L.

13 1. Preliminares 13 Do mesmo modo, temos: (L ε ) ρ L ι = (L ε ) (ι ) ρ M = (ι ε ) ρ M = (ι K) (M ε ) ρ M = (ι K) τ M = τ L ι Logo, (L ε ) ρ L e τ L fazem o seguinte diagrama comutar: M ι (ι K) τ M L L K Pela definição de álgebra tensorial, temos que (L ε ) ρ L = τ L. Portanto L é -comódulo álgebra e ι é morfismo de -comódulos. orolário Sejam M um -comódulo, A um -comódulo álgebra, L a álgebra tensorial sobre M e f : M A um morfismo de -comódulos. Então existe um único morfismo de -comódulo álgebras f : L A tal que o seguinte diagrama comuta: M ι f Demonstração. Pela definição de álgebra tensorial, existe um único morfismo de álgebras f que faz o seguinte diagrama comutar: Seja ρ L a coação de sobre L dada pelo Teorema Temos que: M ρ A f ι = ρ A f ι f L A L A = (f ) ρ M f f = ( (g ι) ) ρ M = (f ) (ι ) ρ M = (f ) ρ L ι Logo, ρ A f e (f ) ρ L fazem o seguinte diagrama comutar: M ι ((f ) ρ M L A Pela definição de álgebra tensorial, temos que ρ A f = (f ) ρ L e portanto f é morfismo de -comódulo álgebras. Definição Sejam M um -comódulo e N um K-submódulo de M. Diremos que N é um -subcomódulo de M se ρ M (N) N.

14 1. Preliminares 14 Neste caso, (N, ρ N ) é -comódulo, onde ρ N : N N é a restrição de ρ M à N e N. Além disso, o morfismo inclusão ι N : N M, ι N (n) = n, n N é morfismo de -comódulos. Proposição Sejam M um -comódulo e N um -subcomódulo de M. Então existe uma única estrutura de -comódulo no quociente M/N para o qual o morfismo projeção π N : M M/N é morfismo de -comódulos. Demonstração. omo (π N ) ρ M (N) (π N ) (N ) = π N (N) = 0, pela propriedade universal de quociente de espaços, existe um único morfismo de K-módulos ρ M : M/N M/N tal que o seguinte diagrama comuta: M (π N ) ρ M M/N π N M/N Note que, se M e M/N são -comódulos, então π N é morfismo de -comódulos pela comutatividade do diagrama acima, pois o mesmo pode ser reescrito da seguinte forma: π N M M/N ρ M Temos que: ρ M ρ M M π N M/N ( ρ M ) ρ M π N = ( ρ M ) (π N ) ρ M = (( ρ M π N ) ) ρ M = (((π N ) ρ M ) ) ρ M = (π N ) (ρ M ) ρ M = (π N ) (M ) ρ M = (π N ) ρ M = (M/N ) (π N ) ρ M e = (M/N ) ρ M π N (M/N ε ) ρ M π N = (M/N ε ) (π N ) ρ M = (π N ε ) ρ M = (π N K) (M ε ) ρ M = (π N K) τ M = τ M/N π N omo π N é epimorfismo, temos que: e ( ρ M ) ρ M = (M/N ) ρ M (M/N ε ) ρ M = τ M/N Portanto (M/N, ρ M ) é -comódulo e π N é morfismo de -comódulos. A unicidade segue da propriedade universal do quociente de espaços.

15 1. Preliminares 15 Apresentamos agora o resultado principal desta seção. orolário Sejam A um -comódulo álgebra e I um ideal de A que é um -subcomódulo de A. Então existe uma única estrutura de -comódulo álgebra no quociente A/I para o qual o morfismo projeção π I : A A/I é morfismo de -comódulo álgebras. Demonstração. Pela Proposição 1.13, temos que existe um único morfismo ρ I : A/I A/I que faz A/I ser -comódulo com π I : A A/I morfismo de -comódulos. omo I é -subcomódulo de A, temos que ρ A (I) I, o que implica que: (π I ) ρ A (I) (π I )(I ) = 0 Logo, I ker (π I ) ρ A. Pela Proposição B.7, temos que existe um único morfismo de álgebras f : A/I A/I tal que o seguinte diagrama comuta: A π I (π I ) ρ A A/I A/I Pela unicidade do morfismo que satisfaz o diagrama para K-módulos, temos que ρ A = f e A/I é -comódulo álgebra com π I morfismo de -comódulo álgebras. orolário Sejam A e B dois -comódulo álgebras. Se I é um ideal de A que também é um -subcomódulo e f : A B é um morfismo de -comódulo álgebras com I ker f, então existe um único morfismo de -comódulo álgebras g : A/I B tal que f = g π I. Demonstração. Pela Proposição B.7, existe um único morfismo de álgebras g : A/I B tal que f = g π I. Precisamos apenas verificar que g é morfismo de -comódulos. Tome a estrutura de -comódulo de A/I dada pela Proposição Temos que: f ρ B g π I = ρ B f = (f ) ρ A = ( (g π I ) ) ρ A = (g ) (π I ) ρ A = (g ) ρ A/I π I omo π I é sobrejetor, temos que ρ B g = (g ) ρ A/I e portanto g é morfismo de -comódulo álgebras. 1.2 Bicomódulos Definição Seja M um -comódulo à direita com estrutura ρ que também é D-comódulo à esquerda com estrutura β. Dizemos que M é um D--bicomódulo se o seguinte diagrama comuta: M ρ M β D M D ρ β D M

16 1. Preliminares 16 Definição Sejam M e N dois D--bicomódulos. Dizemos que um morfismo f : M N é morfismo de D--bicomódulos se f é morfismo de D-comódulos à esquerda e -comódulos à direita. Nesta seção apresentaremos alguns resultados sobre álgebras tensoriais e quocientes que serão utilizados no apítulo 3, análogos aos resultados de comódulo álgebras da seção anterior. Proposição Sejam M um D--bicomódulo e L a álgebra tensorial sobre M. Então existe uma única estrutura de D--bicomódulo para L tal que L é D--bicomódulo álgebra e o morfismo inclusão ι: M L é morfismo de D--bicomódulos. Demonstração. Sejam β e ρ as estruturas de D-comódulo à esquerda e -comódulo à direita de M, respectivamente. Pelo Teorema 1.10, temos que L possui uma única estrutura ρ de -comódulo álgebra à direita tal que ι é morfismo de -comódulos à direita. Pelo resultado análogo à esquerda, temos que L possui uma única estrutura β de D-comódulo álgebra à esquerda tal que ι é morfismo de D-comódulos à esquerda. Temos que os seguintes diagramas comutam: M ι (D ι) β L β D L M ι (ι ) ρ L ρ L omo M é D--bicomódulo, temos que (D ρ) β = (β ) ρ: M D M. Temos: (D ρ ) β ι = (D ρ ) (D ι) β = (D (ρ ι)) β = (D ((ι ) ρ)) β = (D ι ) (D ρ) β = (D ι ) (β ) ρ = (((D ι) β) ) ρ = ((β ι) ) ρ = (β ) (ι ) ρ = (β ) ρ ι Logo, denotando por f a composição (D ι ) (D ρ) β = (D ι ) (β ) ρ, os morfismos (D ρ ) β e (β ) ρ fazem o seguinte diagrama comutar: M f ι L D L Pela definição de álgebra tensorial, temos que (D ρ ) β = (β ) ρ e L é D-bicomódulo álgebra. Proposição Sejam M um D--bicomódulo, A um D--bicomódulo álgebra, L a álgebra tensorial sobre M e f : M A um morfismo de D--bicomódulos. Então existe um único morfismo de D--bicomódulo álgebras f : L A tal que o seguinte diagrama comuta: M ι f L A f

17 1. Preliminares 17 Demonstração. Pelo orolário 1.11, existe um único morfismo de -comódulo álgebras à direita f 1 : L A que satisfaz o diagrama. Pelo resultado análogo à esquerda, existe um único morfismo de D-comódulo álgebras à esquerda f 2 : L A que satisfaz o mesmo diagrama. Pela definição de álgebra tensorial, o morfismo que satisfaz o diagrama é único, o que implica que f 1 = f 2, que denotaremos por f, que é um morfismo de D--bicomódulo álgebras. Proposição Sejam A um D--bicomódulo álgebra e I um ideal de A que também é um D-subcomódulo à esquerda e -subcomódulo à direita de A. Então existe uma única estrutura de D--bicomódulo álgebra no espaço quociente A/I para o qual o morfismo projeção π I : A A/I é morfismo de D--bicomódulo álgebras. Demonstração. Sejam β e ρ as estruturas de D-comódulo à esquerda e -comódulo à direita de A, respectivamente. Pelo orolário 1.14, existe uma única estrutura ρ de -comódulo álgebra no espaço quociente A/I tal que a projeção é morfismo de -comódulo álgebra à direita. Pelo resultado análogo à esquerda, existe uma única estrutura β de D-comódulo álgebra no espaço quociente A/I tal que a projeção é morfismo de D-comódulo álgebras à esquerda. omo A é D--bicomódulo, temos que (D ρ) β = (β ) ρ: A D A. Temos: (D ρ ) β π I = (D ρ ) (D π I ) β = (D (ρ π I )) β = (D ((π I ) ρ)) β = (D π I ) (D ρ) β = (D π I ) (β ) ρ = (((D π I ) β) ) ρ = ((β π I ) ) ρ = (β ) (π I ) ρ = (β ) ρ π I Logo, denotando por f a composição (D π I ) (D ρ) β = (D π I ) (β ) ρ, os morfismos (D ρ ) β e (β ) ρ fazem o seguinte diagrama comutar: A π I f D A/I A/I Pela unicidade do morfismo que satisfaz o diagrama para K-módulos, temos que: (D ρ ) β = (β ) ρ e A/I é D--bicomódulo álgebra com π I morfismo de D--bicomódulo álgebras. orolário Sejam A e B dois D--bicomódulo álgebras, I um ideal de A que também é um D-subcomódulo à esquerda e -subcomódulo à direita de A e f : A B morfismo de D--bicomódulo álgebras com I ker f. Então existe um único morfismo de D--bicomódulo álgebras g : A/I B tal que f = g π I. Demonstração. Pelo orolário 1.15, existe um único morfismo de -comódulo álgebras à direita f 1 : A/I B tal que f = f 1 π I. Pelo resultado análogo à esquerda, existe um único morfismo de D-comódulo álgebras à esquerda f 2 : A/I B tal que f = f 2 π I. Logo os morfismos f 1 e f 2 fazem o seguinte diagrama comutar:

18 1. Preliminares 18 A f B π I A/I Pela unicidade do morfismo que satisfaz o diagrama para K-módulos, temos que f 1 = f 2. Denotaremos este morfismo por g, que é um morfismo de D--bicomódulo álgebras. 1.3 Funtores Aditivos e Produto Tensorial Nesta seção apresentaremos os conceitos necessários para a demonstração do seguinte resultado: Seja uma coálgebra. Denotando por M a categoria dos -comódulos à esquerda e por M K a categoria dos K-módulos à direita, se F : M M K é um funtor exato aditivo que comuta com somas diretas arbitrárias, então para cada (M, ρ) M e V M K, existe um isomorfismo F(M V ) = F(M) V, onde (M V, ρ ) M com ρ (m v) = ρ(m) v, tal que: 1) é coerente, ou seja, se W é outro K-módulo à direita, então o seguinte diagrama comuta: F(M V W ) = F(M V ) W = F(M) V W 2) é natural em M, ou seja, se N é outro -comódulo à esquerda e f : M N é um morfismo de -comódulos à esquerda, então o seguinte diagrama comuta: F(M V ) = = F(M) V F(f V ) F(N V ) F(f) V = F(N) V 3) é natural em V, ou seja, se W é outro K-módulo à direita e f : V W é um morfismo de K-módulos à direita, então o seguinte diagrama comuta: F(M V ) = F(M) V F(M f) F(M W ) F(M) f = F(M) W Observação Seja (M i ) i I uma coleção em M K. Denotaremos os elementos de M t t I por (m t ) t I, onde m t M t, t I, com m t = 0 a menos de um número finito de índices. Para cada i I, denotaremos por ι i o morfismo inclusão: ι i : M i M t t I m (δ t,i m) t I onde δ t,i é o Delta de Kronecker e denotaremos por π i o morfismo projeção: π i : M t M i t I (m t ) t I m i

19 1. Preliminares 19 Observação Se F : M K M K é um funtor, para cada i I, denotaremos por ι i o morfismo inclusão: ι i : F(M i ) F(M t ) t I x (δ t,i x) t I e por π i o morfismo projeção: π i : F(M t ) F(M i ) t I (x t ) t I x i Definição Seja F : M K M K um funtor. Dizemos que o funtor F comuta com somas diretas se, para qualquer coleção (M i ) i I em M K, existe um único isomorfismo: ( ) φ I : F(M t ) F M t t I t I que faz o seguinte diagrama comutar, para todo i I: ι i F(M t ) t I F(M i ) φ I F(ι i ) ( F t I M t ) Proposição Sejam F : M K M K um ( funtor ) que comuta com somas diretas e (V i ) i I uma coleção em M K. Se φ I : F(V t ) F V t é o isomorfismo dado pela Definição 1.24, t I t I então para cada j I o seguinte diagrama comuta: F(V t ) t I π j φ I F(V j ) ( F t I V t ) F(π j) Demonstração. Queremos que F(π j ) φ I = π j, j I. Para cada i, j I, temos: se i j, então: se i = j, então: π j ι i = 0 = F(π j ι i ) = F(π j ) F(ι i ) π i ι i = F(V i ) = F(π i ι i ) = F(π i ) F(ι i )

20 1. Preliminares 20 Então, para todo i, j I, temos: F(π j ) φ I ι i = F(π j ) F(ι i ) = π j ι i Para cada j I, tomando f i = F(π j ) F(ι i ), temos que F(π j ) φ I e π j satisfazem o seguinte diagrama comutativo para todo i I: ι i F(V t ) t I F(V i ) f i F(V j ) Pela definição de soma direta, o morfismo que satisfaz este diagrama é único. Portanto F(π j ) φ I = π j, j I. Observação Seja (V, β) M e I um conjunto não-vazio. Denotaremos por V (I) a soma direta V i com V i = V, i I. i I Então (V (I), β (I) ) é -comódulo com estrutura dada pela composição: ou seja: V (I) β (I) ( V ) (I) = (V (I) ) β (I) ((v t ) t I ) = v t,( 1) (v t,(0) ) t I Observação Seja V M K. Se (a j,i ) i I,j J é uma matriz, chamamos de (a J,I ) o morfismo: (a J,I ): V (I) V (J) ( ) (v t ) t I a j,i v i laramente se V M, então (a J,I ) é morfismo de -comódulos. Observação Seja V M K. hamaremos de ϕ I o isomorfismo: i I ϕ I : V K (I) V (I) v (λ t ) t I (λ t v) t I laramente se V M, então ϕ I é isomorfismo de -comódulos. Lema Sejam V M K e W M. Dada uma resolução projetiva de V : K (I) (a J,I) K (J) q V 0 existe um morfismo q : W (J) W V de -comódulos à esquerda tal que a seguinte sequência é exata: W (I) (a J,I) W (J) q W V 0 Além disso, se Z M e f : W Z é um morfismo de -comódulos, o seguinte diagrama comuta: (a J,I ) W (J) q W V 0 W (I) j J f (I) f (J) f V Z (I) (a J,I) Z (J) q Z V 0

21 1. Preliminares 21 Demonstração. omo o funtor (W ) é exato à direita, temos a seguinte sequência exata: W K (I) W (a J,I) W K (J) W q W V 0 Tome p = ϕ J (W (a J,I )) ϕ 1 I e q = (W q) ϕ 1 J. Então o seguinte diagrama comuta: W K (I) W (a J,I ) W K (J) W q W V 0 Note que, para cada i I, temos: ϕ I ϕ J W (I) p W (J) q W V 0 p ( ) (δ t,i w) t I = ϕj (W (a J,I )) ϕ 1 ( ) I (δt,i w) t I = ϕ J (W (a J,I ))(w (δ t,i ) t I ) ( = ϕ J w ( ) a j,i δ t,i )j J t I ( ) = a j,i δ t,i w t I j J Portanto p = (a J,I ) e a seguinte sequência é exata: W (I) (a J,I) W (J) q W V 0 Além disso, p e q são morfismos de -comódulos, pois (a J,I ), (W q) e ϕ 1 J são morfismos de -comódulos. Seja Z M e f : W Z um morfismo. O seguinte diagrama comuta: pois, se (w t ) t I W (I), então: W (I) (a J,I ) f (I) Z (I) (a J,I ) W (J) Z (J) f (J) f (J) (a J,I ) ( ) (( ) (w t ) t I = f (J) a j,i w i i I j J = (f ( ) ) a j,i w i j J i I ( ) = a j,i f(w i ) i I j J = (a J,I ) ( (f(w t )) t I ) = (a J,I ) f (I)( (w t ) t I ) Além disso, tomando q = (Z q) ϕ 1, temos que: J (f V ) q = (f V ) (W q) ϕ 1 J = (f q) ϕ 1 J = (Z q) (f K (J) ) ϕ 1 J = (Z q) ϕ 1 J = q f (J) Portanto o seguinte diagrama comuta: ) ϕ J (f K (J) ) ϕ 1 J

22 1. Preliminares 22 W (I) (a J,I ) W (J) q W V 0 f (I) Z (I) (a J,I ) f (J) f V Z (J) q Z V 0 Lema Sejam V, W, Z M K e f : V W um morfismo. Dadas resoluções projetivas de V e W : (c K,I ) K (I) (a J,I) K (J) q 1 V (d L,J ) K (K) (b L,K) K (L) q 2 W 0 onde os morfismos (c K,I ): K (I) K (K) e (d L,J ): K (J) K (L) são dados pelo teorema da comparação para resoluções projetivas, temos que o seguinte diagrama comuta: Z (I) (a J,I) Z (J) q 1 Z V (c K,I ) (d L,J ) Z f Z (K) (b L,K) Z (L) q 2 Z W 0 Demonstração. Pelo Lema 1.29, as linhas são exatas. O diagrama: (c K,I ) Z (I) (a J,I) Z (J) f (d L,J ) Z (K) (b L,K) Z (L) claramente comuta, pois os morfismos são análogos aos do teorema da comparação para resoluções projetivas. Além disso, temos que: (Z f) q 1 = (Z f) (Z q 1 ) ϕ 1 J = ( Z (f q 1 ) ) ϕ 1 J = ( Z (q 2 (d L,J )) ) ϕ 1 J = (Z q 2 ) (Z (d L,J )) ϕ 1 J = (Z q 2 ) ϕ 1 L = q 2 (d L,J ) ϕ L (Z (d L,J )) ϕ 1 J 0 0 Portanto o seguinte diagrama comuta: Z (I) (a J,I) Z (J) q 1 Z V 0 (c K,I ) (d L,J ) Z f Z (K) (b L,K) Z (L) q 2 Z W 0 Lema Sejam V M K, F : M K M K um funtor que comuta com somas diretas e (a j,i ) i I,j J uma matriz. Então o seguinte diagrama comuta: F(V ) (I) (a J,I) F(V ) (J) φ I φ J F ( V (I))F((a J,I)) F ( V (J))

23 1. Preliminares 23 Demonstração. omo F comuta com somas diretas, o seguinte diagrama comuta: ι i F(V ) (I) F(V ) φ I F(ι i ) F ( V (I)) Pela Proposição 1.25, para cada j J, o seguinte diagrama comuta: F(V ) (J) π j φ J F(V ) Assim temos: F ( V (J)) F(π j) F(π j (a J,I ) ι i ) = F(π j ) F((a J,I )) F(ι i ) = π j φ 1 J Além disso, para cada i I e j J fixados, temos: F((a J,I)) φ I ι i dado v V : dado x F(V ): π j (a J,I ) ι i (v) = π j (a J,I ) ( ) (δ t,i v) t I (( ) ) = π j a r,k δ k,i v k I = π j ( (ar,i v) r J ) = a j,i v = a j,i V (v) r J π j (a J,I ) ι i(x) = π j (a J,I ) ( ) (δ t,i x) t I (( ) ) = π j a r,k δ k,i x k I = π j ( ) (ar,i x) r J = a j,i x = a j,i F(V )(x) r J Logo, temos: F(π j (a J,I ) ι i )(x) = F(a j,i V )(x) = a j,i F(V )(x) = a j,i x = π j (a J,I ) ι i(x) e o seguinte diagrama comuta, i I, j J:

24 1. Preliminares 24 F(V ) ι i F(V ) (I) (a J,I ) F(V ) (J) π j F(V ) F(ι i ) F ( V (I)) F((a J,I)) F ( V (J)) F(π j ) Assim, os morfismos π j (a J,I) e π j φ 1 J F((a J,I)) φ I fazem o seguinte diagrama comutar: F(V ) (I) ι i F(V ) F(π j (a J,I ) ι i ) F(V ) Pela definição de soma direta, existe um único morfismo que faz o diagrama comutar. Portanto π j (a J,I) = π j φ 1 J F((a J,I)) φ I, j J. omo j J π j f = f, f : F(V )(I) F(V ) (J), temos que: (a J,I ) = φ 1 J e portanto o seguinte diagrama comuta: F((a J,I)) φ I F(V ) (I) (a J,I) F(V ) (J) φ I φ J F ( V (I))F((a J,I)) F ( V (J)) Lema Sejam V, W M K, F : M K M K um funtor que comuta com somas diretas e f : V W um morfismo de K-módulos. Então o seguinte diagrama comuta, para toda coleção I: F(V ) (I) F(f)(I) F(W ) (I) φ I φ I F ( V (I)) F(f (I) ) F ( W (I)) Demonstração. omo F comuta com somas diretas, o seguinte diagrama comuta: ι i F(V ) (I) F(V ) φ I F(ι i ) F ( V (I)) Pela Proposição 1.25, para cada j I, o seguinte diagrama comuta:

25 1. Preliminares 25 F(W ) (I) π j φ I F(W ) Assim temos: F ( W (I)) F(π j) F(π j f (I) ι i ) = π j φ 1 I Além disso, para cada i, j I fixados, temos: se i j, então: se i = j, então: e o seguinte diagrama comuta, i, j I: π j F(f) (I) ι i = 0 π i F(f) (I) ι i = F(f) F(f (I) ) φ I ι i = F(π j f (I) ι i ) = F(π i f (I) ι i ) F(V ) ι i F(V ) (I) F(f) (I) F(W ) (I) π j F(W ) F(ι i ) F ( V (I)) F(f (I) ) F ( W (I)) F(π j ) Assim, os morfismos π j f (I) e π j φ 1 I F(f (I) ) φ I fazem o seguinte diagrama comutar: F(V ) (I) ι i F(V ) F(π j f (I) ι i ) F(V ) Pela definição de soma direta, existe um único morfismo que satisfaz o diagrama. Portanto π j f (I) = π j φ 1 I F(f (I) ) φ I, j J. omo j I π j f = f, f : F(V )(I) F(W ) (I), temos que: F(f) (I) = φ 1 I e portanto o seguinte diagrama comuta: F(f (I) ) φ I F(V ) (I) F(f)(I) F(W ) (I) φ I φ I F ( V (I)) F(f (I) ) F ( W (I))

26 1. Preliminares 26 Agora apresentaremos o resultado principal desta seção. Teorema Sejam uma coálgebra e F : M M K um funtor exato aditivo que comuta com somas diretas arbitrárias. Então para cada (M, ρ) M e V M K, existe um isomorfismo F(M V ) = F(M) V, onde (M V, ρ ) M com ρ (m v) = ρ(m) v, tal que: 1) é coerente, ou seja, se W é outro K-módulo à direita, então o seguinte diagrama comuta: F(M V W ) = F(M V ) W = F(M) V W 2) é natural em M, ou seja, se N é outro -comódulo à esquerda e f : M N é um morfismo de -comódulos à esquerda, então o seguinte diagrama comuta: F(M V ) = = F(M) V F(f V ) F(N V ) F(f) V = F(N) V 3) é natural em V, ou seja, se W é outro K-módulo à direita e f : V W é um morfismo de K-módulos à direita, então o seguinte diagrama comuta: F(M V ) = F(M) V F(M f) F(M W ) F(M) f = F(M) W Demonstração. A coerência não será demonstrada. Sejam M M e V M K. onsidere a seguinte resolução projetiva de V : K (I) (a J,I) K (J) q V 0 Pelo Lema 1.29, temos a seguinte sequência exata: M (I) (a J,I) M (J) M V 0 Aplicando o funtor F, temos: F ( M (I))F((a J,I)) F ( M (J)) F(M V ) 0 Também pelo Lema 1.29, temos a seguinte sequência exata: F(M) (I) (a J,I) F(M) (J) F(M) V 0 Pelo Lema 1.31, o seguinte diagrama comuta: F(M) (I) (a J,I) F(M) (J) φ I φ J F ( M (I))F((a J,I)) F ( M (J)) Logo, existe um único isomorfismo θ : F(M) V F(M V ) que faz o seguinte diagrama comutar: F(M) (I) (a J,I) F(M) (J) φ I φ J F(M) V F ( M (I))F((a J,I)) F ( M (J)) F(M V ) 0 θ 0

27 1. Preliminares 27 Naturalidade em V : A naturalidade em V é provada juntamente com a independência da escolha da resolução projetiva. Seja W M K um outro K-módulo. Tome uma resolução projetiva de W : K (K) (b L,K) K (L) W 0 e f : V W um morfismo de K-módulos. Pelo teorema da comparação para resoluções projetivas, existem morfismos (c K,I ): K (I) K (K) e (d L,J ): K (J) K (L) que fazem o seguinte diagrama comutar: K (I) (a J,I) K (J) V 0 (c K,I ) (d L,J ) K (K) (b L,K) K (L) W 0 Pelo Lema 1.30, os seguintes diagramas comutam: M (I) (a J,I) M (J) f M V 0 (c K,I ) (d L,J ) M f M (K) (b L,K) M (L) M W 0 F(M) (I) (a J,I) F(M) (J) F(M) V 0 (c K,I ) (d L,J ) F(M) f F(M) (K) (b L,K) F(M) (L) F(M) W 0 Pelo Lema 1.31, os seguintes diagramas comutam: F(M) (I) (c K,I) F(M) (K) φ I φ K F ( M (I))F((c K,I)) F ( M (K)) F(M) (J) (d L,J ) F(M) (L) φ J Portanto o seguinte diagrama comuta: F(M) (I) (a J,I ) F(M) (J) φ L F ( M (J))F((d L,J )) F ( M (L)) F(M) V 0 φ I (c K,I ) F(M) (K) (d L,J ) φ J (b L,K ) F(M) (L) θ V F(M) f F(M) W 0 F ( M (I)) φ K F((a J,I )) F ( M (J)) φ L F(M V ) θ W 0 F((c K,I )) F ( M (K)) F((d L,J )) F((b L,K)) F(M f) F ( M (L)) F(M W ) 0 e o isomorfismo é natural em V. Tomando W = V e f o morfismo identidade, temos que o isomorfismo não depende da resolução projetiva escolhida. Naturalidade em M: Seja N M e f : M N um morfismo de -comódulos à esquerda. Pelo Lema 1.29, os seguintes diagramas comutam:

28 1. Preliminares 28 M (I) (a J,I ) M (J) M V 0 f (I) f (J) f V N (I) (a J,I) N (J) N V 0 F(M) (I) (a J,I ) F(M) (J) F(M) V 0 F(f) (I) F(f) (J) F(f) V F(N) (I) (a J,I) F(N) (J) F(N) V 0 Pelo Lema 1.32, os seguintes diagramas comutam: F(M) (I) F(f)(I) F(N) (I) φ I φ I F ( M (I)) F(f (I) ) F ( N (I)) F(M) (J) F(f)(J) F(N) (J) φ J Portanto o seguinte diagrama comuta: F(M) (I) (a J,I ) F(M) (J) φ J F ( M (J)) F(f (J) ) F ( N (J)) F(M) V 0 φ I F(f) (I) F(N) (I) F(f) (J) φ J (a J,I ) F(N) (J) θ V F(f) V F(N) V 0 F ( M (I)) φ I F((a J,I )) F ( M (J)) φ J F(M V ) θ W 0 F(f (I) ) F ( N (I)) F(f (J) ) F((a J,I)) e o isomorfismo é natural em M. F(f V ) F ( N (J)) F(N V ) Produto otensorial Seja uma coálgebra. Se A é um -comódulo à direita e B é um -comódulo à esquerda, temos um K-módulo A B A B, que chamaremos de produto cotensorial de A e B. Dizemos que um -comódulo à direita A é -coplano se (A ): M M K é um funtor exato. Nesta seção apresentaremos os conceitos necessários para a demonstração do seguinte resultado: F : M M K um funtor exato aditivo que comuta com somas diretas arbitrárias. Então existe um isomorfismo F(M) = A M, natural em M M, para algum -comódulo à direita A que é -coplano. Definição Sejam V, W M K e f, g : V W morfismos K-lineares. Definimos o equalizador de f e g como sendo o conjunto {v V ; f(v) = g(v)} = ker(f g).

29 1. Preliminares 29 Observação Note que, se h: Z V é um morfismo K-linear tal que f h = g h, então h(z) está contido no equalizador de f e g. Denotaremos a categoria dos -comódulos à direita por M. Definição Seja uma coálgebra. Para cada (A, ρ A ) M e cada (B, β B ) M, definimos o produto cotensorial entre A e B, denotado por A B, como o equalizador dos morfismos (ρ A B) e (A β B ) e representamos com o seguinte diagrama: A B A B A B Proposição Sejam uma coálgebra, (A, ρ) um -comódulo à direita e (B, β) um -comódulo à esquerda. Então temos que A = A e B = B. Demonstração. omo A é -comódulo, temos que: (ρ ) ρ = (A ) ρ Logo, ρ(a) A A. Tome f : A A dado por f(a) = ρ(a) e g : A A dado por g( x i c i ) = ε(c i )x i. Temos que: ( ) g f(a) = g a(0) a (1) = ε(a (1) )a (0) = a omo ρ(x i ) c i = x i (c i ), aplicando (A ε) temos ε(c i )ρ(x i ) = x i c i. Assim: f g( ( ) x i c i ) = f ε(ci )x i = ε(c i )ρ(x i ) = x i c i Portanto, temos que f g = A e g f = A, o que implica que A = A. De modo análogo, temos que B = B. Lema onsidere o seguinte diagrama comutativo com a primeira linha exata em M K : 0 U f g h 0 U u V v W Então temos a seguinte sequência exata: 0 ker f α ker g β ker h onde α e β são os morfismos induzidos por u e v respectivamente. u Demonstração. Denotando por i, j e k as inclusões dos núcleos de f, g e h respectivamente, temos o seguinte diagrama comutativo com a segunda linha exata: ker f V ker g v W ker h i 0 U u V j v W k f g h 0 U u V v W

30 1. Preliminares 30 Note que: g (u i) = u f i = 0 h (v j) = v g j = 0 Logo, pela definição de núcleo, existem únicos morfismos: α: ker f ker g β : ker g ker h tais que os seguintes diagramas comutam: ker f α ker g ker g β ker h i U u V V omo k é monomorfismo e: temos que β α = 0. Seja y ker β. omo: j j k β α = v j α = v u i = 0 v j(y) = k β(y) = 0 temos que j(y) ker v. Logo, existe x U tal que u(x) = j(y). Assim, temos: u f(x) = g u(x) = g j(y) = 0 v W k e: omo u é monomorfismo, temos que f(x) = 0, ou seja, x ker(f). Mas j é monomorfismo j α(x) = u i(x) = u(x) = j(y) o que implica que α(x) = y, ou seja, a imagem de α é igual ao núcleo de β. Se α Ψ = 0, então: 0 = j α Ψ = u i Ψ omo u e i são monomorfismos, temos que Ψ = 0. seguinte sequência é exata: 0 ker f α ker g β Portanto α é monomorfismo e a ker h Proposição Seja uma coálgebra e A um -comódulo à direita. Então a aplicação: (A ): M M K V A V é um funtor exato à esquerda que comuta com somas diretas arbitrárias.

31 1. Preliminares 31 Demonstração. Primeiramente vejamos que (A ) é um funtor. Seja f : V W um morfismo de -comódulos. Se x v A V, temos que: (ρ A W ) (A f)(x v) = (ρ A f)(x v) = (A f) (ρ A V )(x v) = (A f) (A β V )(x v) = (A β W ) (A f)(x v) Pela definição de equalizador, (A f)(a V ) A W. Logo o seguinte diagrama comuta: A V A V A V A f A W A f A W Denotaremos por A f o morfismo (A f) A V. A f A W Sejam f : V W e g : W Z morfismos de -comódulos. Temos os seguintes diagramas comutativos: A V A V A V A f A W A f A W A f A W e A g A Z A V A g A Z A V A g A Z A V A gf A gf A gf A Z A Z A Z omo A gf = (A f) (A g), temos que A gf = (A g)(a f) e portanto (A um funtor entre as categorias M e M K. onsidere a seguinte sequência exata em M: f 0 V W g Z Então temos o seguinte diagrama comutativo com linhas exatas: A f A g 0 A V A W A Z ) é 0 A V A f A W A g A Z omo A U = ker (ρ A U A β U ), U M, pelo Lema 1.38, temos a seguinte sequência exata: A f A g 0 A V A W A Z Portanto o funtor (A ) é exato à esquerda. Seja (V i ) i I uma coleção em M. Vejamos que (A V i ) = A ( V i ). Para isto, basta i I i I mostrar que os seguintes diagramas comutam:

32 1. Preliminares 32 i I (A V i ) = A ( V i ) i I De fato: (ρ A V i ) i I i I ρ A ( V i ) i I (A V i ) = A ( i I V i ) i I (A V i ) = A ( V i ) i I (A β Vi ) i I i I A β (A V i ) = V i I i A ( V i ) i I e (ρ A V i )((a v) i ) = a(0) a i I i I( (1) v ) i = a (0) a (1) ( (v) i ) i I = (ρ A ( V i ))(a ( (v) i )) i I i I i I (A β Vi )((a v) i ) = (a 1 v) i i I = a 1 ( (v) i ) i I = (A β V i )(a ( (v) i )) i I i I Portanto, existe um isomorfismo que faz o seguinte diagrama comutar: (A V i ) (A V i ) (A V i ) i I i I i I e o funtor (A A ( V i ) A ( V i ) i I i I ) comuta com somas diretas. = = A ( V i ) i I Definição Seja M um -comódulo à direita. Dizemos que M é -coplano se o funtor (M ): M M K é exato. Lema Se M M é -coplano, então para qualquer X M K e W M a função canônica (M W ) X M (W X) é um isomorfismo. Além disso, este isomorfismo é natural em X. Em particular, se D é outra coálgebra K-plana, W M D e U D M, então o produto cotensorial é associativo: (M W ) D U = M (W D U) Demonstração. Seja W M. isomorfismos: Para cada conjunto I de índices, considere os seguintes M ( W K (I)) = (M W ) K (I) m (w (λ) i ) (m w) (λ) i M ( W K (I)) = (M W ) K (I) m c (w (λ) i ) (m c w) (λ) i laramente os seguintes diagramas comutam com os isomorfismos acima:

33 1. Preliminares 33 M ( W K (I)) ρ M (W K (I) ) M ( W K (I)) = (M W ) K (I) (ρ M W ) K (I) (M W ) K (I) M ( W K (I)) M (β W K (I) ) M ( W K (I)) = (M W ) K (I) (M β W ) K (I) (M W ) K (I) Logo, temos um isomorfismo entre M ( W K (I) ) e (M W ) K (I) que faz o seguinte diagrama comutar: M ( W K (I) ) M ( W K (I)) = = = M ( W K (I)) (M W ) K (I) (M W ) K (I) (M W ) K (I) Tome X M K e considere uma resolução projetiva de X: K (I) (a J,I) K (J) X 0 Nos diagramas a seguir, os morfismos são os induzidos pelos funtores aplicados e os isomorfismos são os da construção acima. Apenas explicitaremos o morfismo no diagrama quando o mesmo não estiver claro pelo contexto. omo os funtores (W ), (M ) e ((M W ) ) são exatos, temos as seguintes sequências exatas: e M (W K (I) ) M (W K (J) ) M (W X) 0 (M W ) K (I) (M W ) K (J) (M W ) X 0 Sejam Φ e Ψ os morfismos determinados pelos seguintes diagramas comutativos: M (W K (I) ) = Φ M (W K (J) ) (M W ) K (I) (M W ) K (J) M (W K (I) ) = Ψ = = M (W K (J) ) (M W ) K (I) (M W ) K (J) omo os seguintes diagramas comutam: = M (W K (I) ) ρ M (W K (I) ) M (W K (I) ) M (W K (J) ) ρ M (W K (J) ) M (W K (J) ) = (M W ) K (J) (ρ M W ) K (J) (M W ) K (J) =

34 1. Preliminares 34 M (W K (I) ) M (β W K (I) ) M (W K (I) ) = (M W ) K (I) (M β W ) K (I) = (M W ) K (I) (M W ) K (J) (M β W ) K (J) (M W ) K (J) temos que o seguinte diagrama comuta: M ( W K (I)) M ( W K (I)) As compostas: Φ (M W ) K (J) (M W ) K (J) M (W K (I) ) M (W K (J) ) Ψ = (M W ) K (J) M (W K (I) ) = (M W ) K (I) (M W ) K (J) satisfazem o seguinte diagrama comutativo: ( M W K (I) ) M ( W K (I)) M ( W K (I)) Φ (M W ) K (J) (M W ) K (J) (M W ) K (J) Pela unicidade do morfismo que satisfaz o diagrama acima, temos que o seguinte diagrama comuta: M (W K (I) ) M (W K (J) ) = (M W ) K (I) (M W ) K (J) e existe um único isomorfismo f X : M (W X) (M W ) X que faz o seguinte diagrama comutar: M (W K (I) ) = M (W K (J) ) = = Ψ M (W X) (M W ) K (I) (M W ) K (J) (M W ) X 0 Naturalidade em X: A naturalidade em X é provada juntamente com a independência da escolha da resolução projetiva. Seja Y M K um outro K-módulo. Tome uma resolução projetiva de Y : K (K) (b L,K) K (L) Y 0 e g : X Y um morfismo de K-módulos. Pelo teorema da comparação para resoluções projetivas, existem morfismos (c K,I ): K (I) K (K) e (d L,J ): K (J) K (L) que fazem o seguinte diagrama comutar: K (I) (a J,I) K (J) X (c K,I ) (d L,J ) g K (K) (b L,K) K (L) Y 0 0 f X 0

35 1. Preliminares 35 Aplicando os funtores (M (W )) e ((M W ) ) no diagrama acima, temos os seguintes diagramas comutativos: M (W K (I) ) M (W K (J) ) M (W X) 0 M (W K (K) ) M (W K (L) ) M (W Y ) 0 (M W ) K (I) (M W ) K (J) (M W ) X 0 (M W ) K (K) (M W ) K (L) (M W ) Y 0 Além disso, do mesmo modo que provamos a comutatividade do diagrama: M (W K (I) ) M (W K (J) ) = (M W ) K (I) (M W ) K (J) podemos verificar que os diagramas a seguir comutam: M (W K (K) ) M (W K (L) ) = (M W ) K (K) (M W ) K (L) = = M (W K (I) ) M (W K (K) ) = (M W ) K (I) (M W ) K (K) = M (W K (J) ) M (W K (L) ) Portanto o seguinte diagrama comuta: M (W K (I) ) = (M W ) K (J) (M W ) K (L) M (W K (J) ) = M (W X) 0 = M (W K (K) ) = M (W K (L) ) f X M (W Y ) 0 (M W ) K (I) = (M W ) K (J) = (M W ) X f Y 0 (M W ) K (K) (M W ) K (L) (M W ) Y 0 e o isomorfismo é natural em X. Tomando Y = X e g o morfismo identidade, temos que

36 1. Preliminares 36 o isomorfismo não depende da resolução projetiva escolhida. Observação Utilizando um abuso de linguagem, diremos que uma sequência da forma: é exata se a sequência: é exata. 0 V W f Z g 0 V W f g Z Agora apresentaremos o resultado principal desta seção. Teorema Seja uma coálgebra, e F : M M K um funtor exato aditivo que comuta com somas diretas arbitrárias. Então existe um isomorfismo F(M) = A M, natural em M M, para algum comódulo A M que é -coplano. Demonstração. Seja θ : F( V ) F() V, V M K o isomorfismo dado pelo Teorema Tome A = F() e ρ A a composição: A = F() F( ) F( ) θ F() = A Então A é um -comódulo à direita. Vejamos que F(M) = A M, (M, β M ) M. De fato, pela Proposição 1.37, temos que M = M. Logo, temos que a seguinte sequência é exata: 0 M M Aplicando o funtor F, temos: M F( M) 0 F(M) F( M) omo θ é natural em V, temos que o seguinte diagrama comuta: F( β M ) F( M) F ( ( M) ) θ F() M F() β M F() ( M) omo θ é natural em, temos que o seguinte diagrama comuta: F( M) F( M) F ( ( ) M ) θ F() M F( ) M F( ) M Além disso, pela definição de ρ A, o seguinte diagrama comuta: F() M F( ) M F( ) M θ θ θ M F() M ρ A M F() M Portanto o seguinte diagrama comuta: F( M) F( M) F ( ( ) M ) θ F() M F( ) M F( ) M θ θ M F() M ρ A M F() M

37 1. Preliminares 37 e omo θ é coerente, os isomorfismos: (θ M) θ : F ( ( ) M ) F() M θ : F ( ( M) ) F() M coincidem. Logo, existe um isomorfismo ψ M : F(M) F() M que faz o seguinte diagrama comutar: 0 F(M) ψ M F( M) 0 F() M F() M θ F( M) θ F() M Portanto F(M) = A M. omo o funtor F é exato, A é -coplano. Vejamos a naturalidade em M: Seja (N, β N ) outro -comódulo à esquerda e f : M N um morfismo de -comódulos à esquerda. omo f é morfismo de -comódulos à esquerda, os seguintes diagramas comutam: β M β M M M M M f f f f N β N N N β N N laramente o seguinte diagrama comuta: M M M f f N N N Logo o seguinte diagrama comuta: β 0 M M M M f f f 0 N β N N N Durante a demonstração da Proposição 1.39, verificamos que o seguinte diagrama comuta: 0 F() M F() M F() M F() f F() f 0 F() N F() N F() f F() N Além disso, como θ é natural em V, os seguintes diagramas comutam: F( f) F( f) F( M) F( N) F( M) F( N) θ F() M F() f F() N Portanto o seguinte diagrama comuta: θ θ F() M F() f F() N θ

38 1. Preliminares 38 0 F(M) F( M) F( M) F(f) ψ M θ 0 F(N) F( f) F( N) θ F( f) F( N) 0 F() M ψ N F() M θ F() M θ F() f F() f 0 F() N F() N e o isomorfismo é natural em M. F() f F() N 1.5 Biálgebras e Álgebras de opf Nesta seção apresentaremos alguns resultados sobre biálgebras, quociente de biálgebras e introduziremos o conceito de álgebra de opf. Definição Seja B uma coálgebra que também é uma álgebra. Diremos que B é uma biálgebra se B e ε B são morfismos de álgebras. Definição Sejam A, B biálgebras e f : A B um morfismo K-linear. Diremos que f é morfismo de biálgebras se f é morfismo de álgebras e de coálgebras. Proposição Sejam M uma coálgebra e L a álgebra tensorial sobre M. Então existe uma única estrutura de coálgebra para L tal que L é biálgebra e o morfismo inclusão ι: M L é morfismo de coálgebras. Demonstração. Pela definição de álgebra tensorial, existem únicos morfismos de álgebras L e ε L tais que os seguintes diagramas comutam: ι L L M L L M (ι ι) M ε M K Note que, se L for coálgebra, então pela comutatividade destes dois diagramas, temos que ι é morfismo de coálgebras. Vejamos que de fato (L, L, ε L ) é coálgebra: ( L L) L ι = ( L L) (ι ι) M ι L = ( ( L ι) ι ) M ( ((ι ) ) = ι) M ι M ε L = (ι ι ι) ( M M) M = (ι ι ι) (M M ) M = ( ι ((ι ι) M ) ) M = ( ι ( L ι) ) M = (L L ) (ι ι) M = (L L ) L ι Logo, tomando f = (ι ι ι) ( M M) M = (ι ι ι) (M M ) M, temos que ( L L) L e (L L ) L fazem o seguinte diagrama comutar:

39 1. Preliminares 39 M f ι L L L L Pela definição de álgebra tensorial, temos que ( L L) L = (L L ) L. Além disso, temos: (L ε L ) L ι = (L ε L ) (ι ι) M = ( ι (ε L ι) ) M = (ι ε M ) M = (ι K) (M ε M ) M = (ι K) τ M = τ L ι Logo, tomando f = (ι K) τ M, temos que (L ε L ) L e τ L fazem o seguinte diagrama comutar: M f ι L L K Pela definição de álgebra tensorial, temos que (L ε L ) L = τ L. À esquerda temos um resultado análogo. Portanto (L, L, ε L ) é coálgebra e ι é morfismo de coálgebras. Além disso, como L e ε L são morfismos de álgebras, temos que L é biálgebra. Definição Seja (,, ε ) uma coálgebra e I um K-submódulo de. Diremos que I é um coideal de se: (I) I + I e ε (I) = 0 Proposição Sejam B uma biálgebra e I um ideal de B que também é um coideal de B. Então existe uma única estrutura de biálgebra no quociente B/I para o qual o morfismo projeção π I : B B/I é morfismo de biálgebras. Demonstração. Pela proposição B.7, temos que existem únicos morfismos de álgebras B/I e ε B/I que fazem os seguintes diagramas comutarem: B (π I π I ) B B/I B/I B ε B K π I B/I π I B/I B/I Vejamos que (B/I, B/I, ε B/I ) é uma coálgebra. Precisamos que os seguintes diagramas comutem: B/I B/I B/I B/I ε B/I B/I B/I B/I B/I B/I B/I B/I B/I B/I B/I

40 1. Preliminares 40 B/I = = K B/I B/I B/I K De fato, temos: ε B/I B/I B/I B/I B/I ε B/I ( B/I B/I) B/I π I = ( B/I B/I) (π I π I ) B = ( ) ( B/I π I ) π I B = ( ) ((π I π I ) B ) π I B = (π I π I π I ) ( B B) B = (π I π I π I ) (B B ) B = ( π I ((π I π I ) B ) ) B = ( π I ( B/I π I ) ) B = (B/I B/I ) (π I π I ) B = (B/I B/I ) B/I π I e (B/I ε B/I ) B/I π I = (B/I ε B/I ) (π I π I ) B = ( π I (ε B/I π I ) ) B = (π I ε B ) B = (π I K) (B ε B ) B = (π I K) τ B = τ B/I π I omo π I é epimorfismo, temos que: ( B/I B/I) B/I = (B/I B/I ) B/I e (B/I ε B/I ) B/I = τ B/I À esquerda temos um resultado análogo. Portanto B/I é coálgebra. omo B/I e ε B/I são morfismos de álgebras, temos que B/I é biálgebra. Além disso, como π I é morfismo de álgebras e: (π I π I ) B = B/I π I temos que π I é morfismo de biálgebras. Definição Seja B uma biálgebra e (M, ρ M ) um B-comódulo à direita. Um elemento m M é dito coinvariante se: ρ M (m) = m 1 Denotaremos por M co B o conjunto de todos os elementos coinvariantes de M. Pela K-linearidade de ρ M, temos que M co B é um K-submódulo de M. omo: temos que M co B é B-subcomódulo de M. ρ M (m) = m 1 M co B, m M co B

41 1. Preliminares 41 Definição Seja B uma biálgebra. A biálgebra B op é definida da seguinte forma: 1) B op = B como K-módulo; 2) B op = B como coálgebra; 3) a estrutura de álgebra de B op é dada por: m B op(a b) = m B (b a), a, b B. Definição Seja B uma biálgebra e f : B B op um morfismo de álgebras. Definimos o conjunto B f como: B f = {b B; f(b 1 )b 2 = b 1 f(b 2 ) = ε(b)1} Proposição Seja B uma biálgebra e f : B B op um morfismo de álgebras. Então B f é uma subálgebra de B. Demonstração. Vejamos que 1 B f. De fato, como (1) = 1 1 e ε(1) = 1, temos que: f(1)1 = 1 = ε(1)1 = 1f(1) Portanto 1 B f. Vejamos que se a, b B f, então ab B f. De fato, temos: f((ab)1 )(ab) 2 = f(a 1 b 1 )a 2 b 2 = f(b 1 )f(a 1 )a 2 b 2 = ε(a) f(b 1 )b 2 e = ε(a)ε(b)1 = ε(ab)1 (ab)1 f((ab) 2 ) = a 1 b 1 f(a 2 b 2 ) = a 1 b 1 f(b 2 )f(a 2 ) = ε(b) a 1 f(a 2 ) = ε(b)ε(a)1 = ε(a)ε(b)1 = ε(ab)1 Portanto ab B f, a, b B f. Vejamos que se a, b B f, então a + b B f. De fato, como: temos que: (a + b) = (a) + (b) = a 1 a 2 + b 1 b 2 = (a 1 a 2 + b 1 b 2 ) f((a + b)1 )(a + b) 2 = (f(a 1 )a 2 + f(b 1 )b 2 ) e = ε(a)1 + ε(b)1 = ε(a + b)1 (a + b)1 f((a + b) 2 ) = (a 1 f(a 2 ) + b 1 f(b 2 )) = ε(a)1 + ε(b)1 = ε(a + b)1 Portanto B f é uma subálgebra de B.

42 1. Preliminares 42 Definição Sejam uma coálgebra, A uma álgebra e f, g : A morfismos K-lineares. Definimos o produto de convolução de f e g por: f g : A c f(c 1 )g(c 2 ) Proposição Sejam (,, ε) uma coálgebra e (A, m, u) uma álgebra. O conjunto om(, A) é uma K-álgebra com o produto de convolução, com a unidade dada por u ε: A. Definição Seja uma biálgebra. Uma função K-linear S : é chamada de antípoda da biálgebra se S é a inversa da função identidade I : com respeito ao produto de convolução em om(, ), ou seja, h, temos: S(h1 )h 2 = h 1 S(h 2 ) = ε(h)1 Definição Uma biálgebra que tem antípoda é chamada de álgebra de opf. A proposição a seguir mostra as principais propriedades da antípoda, que serão utilizadas livremente ao longo deste trabalho. Sua demonstração encontra-se em [4]. Proposição Seja uma álgebra de opf e S sua antípoda. Então para todo h, g temos: 1) S(hg) = S(g)S(h) 2) S(1) = 1 3) (S(h)) = S(h 2 ) S(h 1 ) 4) ε(s(h)) = ε(h) orolário Seja uma biálgebra. Então é uma álgebra de opf com antípoda S se, e somente se, S = para o morfismo de álgebras S : op. O corolário acima será utilizado na Proposição 2.6 da Seção 2.1 e sua demonstração é consequência direta da Definição Exemplo Seja G um grupo e K um corpo. A álgebra KG é uma álgebra de opf com estrutura dada por: KG : KG KG KG h h h ε KG : KG K h 1 e S KG : KG KG h h 1