Categorias, álgebra homológica, categorias derivadas

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1 Categorias, álgebra homológica, categorias derivadas slides de aula Sasha Anan in ICMC, USP, São Carlos 02/09/ /10/2015

2 2. O lema de Yoneda, funtores representáveis, funtores adjuntos, categorias aditivas, categorias abelianas e outras bagatelas f 2.1. Funtores de Yoneda. Qualquer morfismo c c numa categoria arbitrária C define uma transformação natural C(f, ) : C(c, ) C(c, ), onde, para x C, a função C(f, x) : C(c, x) C(c, x) é definida pela regra C(f, x) : (c g x) (c g f x). Portanto, obtemos um funtor contravariante Y : C Cat(C, Set), chamado funtor de Yoneda. O funtor de Yoneda representa a categoria C na categoria dos funtores Cat(C, Set) = Set C. A dualidade produz o funtor covariante Y : C Cat(C op, Set), definido pelas seguintes regras: para objetos e Y : C c C(, c) Cat(C op, Set) S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

3 Y f : (c c ) ( C(, f ) : C(, c) C(, c ) ) para morfismos, onde, para todo x C, definimos C(x, f ) : C(x, c) C(x, c ), C(x, f ) : (x O funtor Y também é dito funtor de Yoneda. g c) (x f g c ) Composições de funtores com transformações naturais. Seja t : F F uma transformação natural entre funtores F, F : C C e seja G : C C um funtor. Então a regra (G t) c := Gt c, com c C, define uma transformação natural G t : G F G F. Seja s : G G uma transformação natural entre funtores G, G : C C e seja F : C C um funtor. Então a regra (s F ) c := s Fc, com c C, define uma transformação natural s F : G F G F. Assim, nas circunstâncias descritas acima, temos as composições de funtor e transformação natural. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

4 2.3. Lema (de Yoneda). Seja C uma categoria, seja F : C Set um funtor e seja c C. Então a função y C,F,c : Cat(C, Set) ( C(c, ), F ) Fc, y C,F,c : ( C(c, ) é uma bijeção. A função y C,, é natural. t F ) t c 1 c Fc Fc Ff Fc t c F c F t f c F c Demonstração. Sejam F t F uma transformação natural entre funtores F, F : C Set e f : c c um morfismo da categoria C. Pelo diagrama comutativo à direita, obtemos o morfismo γ := F f t c = t c Ff : Fc F c induzido por t e f. É fácil ver que este γ atende as propriedades funtoriais, ou seja, obtemos um funtor Cat(C, Set) C Set, que leva o par (F, c) para Fc e o morfismo (t, f ) : (F, c) (F, c ) para γ. Realmente, temos γ = F f t c e γ = F f t c para (t, f ) : (F, c ) (F, c ). Sendo t uma transformação natural, γ γ = F f t c F f t c = F f F f t c t c = F (f f ) (t t) c. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

5 Cat(C, Set) ( C(c, ), F ) y C,F,c Fc Γ γ Cat(C, Set) ( C(c, ), F ) y C,F,c F c Para verificar que y C,, é uma transformação natural entre funtores deste tipo, basta verificar a comutatividade do diagrama à esquerda, onde Γ, induzido por t e f, é dado pela regra Γ : ( α C(c, ) F ) α t α C(f, ). Seja C(c, ) F C(c, c) uma transformação natural. Então o diagrama à direita é comutativo e C(c, f ) : 1 c f. Portanto, Ff (α c 1 c ) = α c f e γ y C,F,c : α (t c Ff )(α c 1 c ) = αc Fc C(c, f ) Ff C(c, c ) α c Fc t c ( Ff (αc 1 c ) ) = t c (α c f ). Por outro lado, y C,F,c Γ : α ( t α C(f, ) ) 1 c c = ( t c α c C(f, c ) ) 1 c = t c ( αc (1 c f ) ) = t c (α c f ). C(c, c ) α c Fc C(c, g) Fg C(c, c ) α c Fc Se α c 1 c é conhecido, então, pela comutatividade do diagrama acima, segue que, para qualquer morfismo f : c c em C, é necessário definir α c f = Ff (α c 1 c ). Em outras palavras, o valor de α c 1 c define univocamente toda função α c, com c C, e, portanto, define univocamente a transformação α. Assim, y C,F,c é injetivo. Seja s Fc. Precisamos criar uma transformação natural α : C(c, ) F que, por y C,F,c, vai para s. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

6 Para qualquer f C(c, c ), façamos α c f = Ff (s) Fc. Como α c 1 c = s, é suficiente verificar que α é uma transformação natural, isto é, que para qualquer g C(c, c ) é válida a igualdade α c C(c, g) = Fg α c. Aplicando as partes da igualdade a um morfismo arbitrário f : c c, temos (Fg α c )(f ) = Fg ( Ff (s) ) e ( α c C(c, g) ) (f ) = α c (g f ) = = F (g f )(s) = (Fg Ff )(s) = Fg ( Ff (s) ) 2.4. Definição. Um funtor F : C Set isomorfo a um funtor do tipo C(c, ), c C, é dito representável. Um funtor F : C op Set isomorfo a um funtor do tipo C(, c) também é dito representável. Dizemos que c representa F. Pelo Lema 2.3 e pelo Critério 1.8, o funtor de Yoneda Y induz uma anti-equivalência entre a categoria C e a categoria (completa) de todos os funtores representáveis (covariantes). O Lema 2.3 tem o seu dual (cuja prova pode ser lida num espelho), seguindo daí que o funtor de Yoneda Y também induz a equivalência entre C e a categoria dos funtores representáveis (contravariantes). Assim, sendo conhecidas, todas as setas de c (outra variante: para c) definem um objeto c C univocamente a menos de isomorfismo. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

7 Portanto, podemos estudar objetos usando somente interrelações (= setas) entre si. Uma outra consequência do lema de Yoneda: caso um funtor não-representável faça muito bem o papel de objeto, poderíamos estender a categoria original adicionando um objeto novo, ou seja, supondo que o funtor é representável. Funtores representáveis são relacionados com construções universais. Já vimos no Exemplo que um objeto que representa o funtor C(, c) C(, c ) é simplesmente o produto c c. Mais geralmente, podemos definir uma construção universal numa categoria arbitrária, usando a construção análoga à feita em Set (os melhores funtores do mundo traduzem uma para outra) e requerendo que o funtor correspondente seja representável. Por exemplo, o limite pode ser definido como o objeto que representa um funtor apropriado. Seja I uma categoria (de índices) e seja C uma categoria arbitrária. Definamos o funtor diagonal : C Cat(I, C). Para c C, o funtor c é constante: c i = c e c f = 1 c para todos f i I e f Mor I. Para um morfismo c c em C, a transformação natural f i : c i c i é simplesmente f para todo i I. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

8 i I Seja F : I C um funtor. O limite limfi representa o funtor contravariante c Cat(I, C)( c, F ). Em outras palavras, temos um isomorfismo natural C (, lim Fi ) Cat(I, C)(, F ). A seta lim Fi Fi para i I é i I i I induzida pela transformação natural Cat(I, C)(, F ) C(, Fi) dada por ( c t F ) (c = c i t i Fi). Os melhores funtores do mundo também traduzem estruturas definidas em Set para outra categoria C. Já sabemos como definir uma estrutura de grupo para um objeto G C na categoria C. Podemos definir um grupo de outro modo: seja C uma categoria com produtos finitos, isto é, existe o produto para qualquer coleção finita de objetos de C. Um objeto G C é um grupo em C se e só se toda componente C(c, G) do funtor C(, G) for um grupo (no sentido ordinário) em Set e, para todo morfismo h : c c em C, a função C(h, G) : C(c, G) C(c, G) for um homomorfismo de grupos. Em outras palavras, o funtor C(, G) : C op Set passa pela categoria de grupos, ou seja, podemos decompor C(, G) : C op Grp R Set, onde E é o funtor esquecimento, que esquece a estrutura de grupos em Set. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

9 Verifiquemos a equivalência das definições. Seja G C um grupo como na primeira definição. Então temos três setas µ : G G G, i : G G e e : f G, onde f é um objeto final em C. Estas setas satisfazem as propriedades de associatividade, do inverso e da unidade, como nos diagramas acima. O morfismo µ : G G G induz uma transformação natural µ : C(, G) C(, G) C(, G G) C(, G) que define a operação em C(c, G) (de fato, pela composição com µ) para todo c C. Sendo µ uma transformação natural, a função C(h, G) : C(c, G) C(c, G) é um homomorfismo para qualquer morfismo h : c c em C. Apliquemos o funtor C(c, ) ao diagrama de associatividade. Observemos que a transformação C(, G) C(, G) C(, G) C (, (G G) G ) C (, G (G G) ) C(, G) C(, G) C(, G) induzida por t é idêntica. Utilizando nossos isomorfismos naturais, é fácil verificar que o diagrama no próximo slide é comutativo, isto é, a operação em C(c, G) é associativa. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

10 1 C(c,G) µ C(c, G) C(c, G) C(c, G) c C(c, G) C(c, G) µ c 1 C(c,G) µ c µ C(c, G) C(c, G) c C(c, G) O morfismo e : f G induz a função C(c, e) : C(c, f ) C(c, G) que leva o único morfismo de C(c, f ) em u c C(c, G). Aplicando o funtor C(c, ) ao diagrama da unidade, é fácil observar que u c é a unidade em C(c, G). Analogamente, verificamos que a função C(c, i) : C(c, G) C(c, G) indica o inverso em C(c, G). C(c, G G) C(h, G G) µ c C(c, G) C(h, G) Reciprocamente, se o funtor C(, G) pas- sa pela categoria Grp, então, para todo morfismo h : c c em C, a função C(h, G) : C(c, G) C(c, G) é um ho- C(c, G G) C(c, G) momorfismo de grupos. Em outras palavras, o diagrama à direita é comutativo, onde µ c denota a função µ c : C(c, G G) C(c, G) induzida pela operação em C(c, G). Assim obtemos uma transformação natural µ : C(, G G) C(, G) que, pelo lema de Yoneda, é induzida por uma seta µ : G G G. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1 µ c

11 Já sabemos que a associatividade da operação µ c se expressa na forma da comutatividade do diagrama obtido pela aplicação do funtor C(c, ) ao diagrama de associatividade na primeira definição de grupo. Sendo a comutatividade válida para qualquer c C, obtemos um análogo diagrama comutativo de transformações naturais. Pelo lema de Yoneda, daí segue que µ é associativo. Na categoria com produtos finitos C existe um objeto final f C, produto de zero objetos. Para todo e C(c, f ) c C(c, G) c C, consideremos a função e c : C(c, f ) C(c, G) que leva o único morfismo de C(c, f ) na C(h, f ) C(h, G) C(c e, f ) c unidade u C(c c do grupo C(c, G). Para todo morfismo h : c c, o diagrama é comutativo, pois o homomorfismo C(h, G), G) leva a unidade u c de C(c, G) na unidade u c de C(c, G). Assim obtemos uma transformação natural e : C(, f ) C(, G) que, pelo lema de Yoneda, é induzida por uma única seta e : f G. É fácil verificar que o diagrama da unidade é comutativo. De forma análoga, obtemos uma transformação natural i : C(, G) C(, G), definida em cada componente pela indicação do inverso. Ela é induzida por um único morfismo i : G G que satisfaz a comutatividade do diagrama do inverso. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

12 Para o conceito dual, se G é um cogrupo na categoria C, então G é um grupo na categoria C op. Assim, o funtor C op (, G) : C Grp induz um funtor C(G, ) : C Grp, ou seja, para todo c C, temos C(G, c) um grupo em Set. A esfera S n com a comultiplicação S n S n S n é um cogrupo na categoria Homot. Portanto, se X Homot é um espaço topológico com um ponto distinguido, π n (X, ) := Homot (S n, X ) é um grupo em Set. Este grupo é dito n-ésimo grupo homotópico de X. Em particular, para n = 1, obtemos π 1 (X, ) := Homot (S 1, X ), o grupo fundamental. Seja L : S C um funtor. Suponhamos que, para todo c C, o funtor contravariante C(L, c) : S Set seja representável. Então existe um Rc S tal que C(L, c) S(, Rc). Todo morfismo h : c c induz uma transformação natural C(L, h) : C(L, c) C(L, c ), que é simplesmente a composição C(, h) L de um funtor com uma transformação natural definida anteriormente. Portanto, obtemos uma transformação natural S(, Rc) S(, Rc ). Pelo lema de Yoneda, ela é induzida por um morfismo Rf : Rc Rc. Em outras palavras, obtemos um funtor R : C S e, finalmente, um isomorfismo natural C(L, ) S(, R ). S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

13 2.5. Definição. Funtores L : S C e R : C S são ditos adjuntos (L é adjunto a R à esquerda e R é adjunto a L à direita) se temos um isomorfismo natural C(L, ) S(, R ). Da consideração acima, segue que o funtor adjunto à direita a um funtor L é único a menos de isomorfismo. Pela dualidade, o mesmo é válido para o funtor adjunto à esquerda Exemplos. 1. Consideremos uma categoria algébrica A cujos objetos têm por base um conjunto (tais como módulos, grupos, álgebras, espaços lineares, etc.). Ao olhar tais objetos apenas como conjuntos, estamos aplicando um funtor R que esquece a estrutura embutida nos objetos. Este funtor tem um adjunto L que gera livremente por um conjunto de geradores o objeto da estrutura em questão (módulo livre, grupo livre, anel de polinômios, etc.). Caso A = Lin k, o funtor L : Set Lin k associa a B Set o espaço k-linear kb com base B. Caso A = Grp, obtemos grupo livre LB com geradores livres B Set. Caso A = CAlg A com A CRng (a categoria de A-álgebras comutativas), temos a álgebra de polinômios LB := A[B] com coeficientes em A, cujas variáveis são elementos de B. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

14 2. Podemos esquecer apenas uma parte da estrutura. Para o funtor de esquecimento R : Ab Grp, o adjunto à esquerda é a abelianização de um grupo, LG := G/[G, G]. Para o funtor R : R Mod Ab, onde R Rng é um anel associativo, o adjunto à esquerda tem a forma R Z. Para o funtor R : R Mod R R Mod (os objetos da categoria R Mod R são (R, R )-bimódulos, onde R, R Rng), o adjunto à esquerda tem a forma Z R. Para o funtor R : Alg A Mon, onde Mon denota a categoria de monoides e A CRng, o adjunto à esquerda tem a forma LM := A[M]. A construção A[G], chamada A-álgebra do grupo G, se usa com frequência para G Grp. Para o funtor R : Alg A Mod A, A CRng, o adjunto à esquerda é a A-álgebra tensorial LM := T A M := M i, onde M i := M A A M }{{} i pelo produto tensorial de elementos. i N e M 0 := A. A multiplicação em T A M é induzida S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

15 Denotemos por Dom m a categoria de domínios comutativos cujos morfismos são homomorfismos injetores e por R : Fld Dom m, a subcategoria completa de corpos comutativos. O funtor adjunto a R à esquerda produz o corpo de frações de um dominio, LD := KD. Denotemos por Met a categoria de espaços métricos; os morfismos são funções que preservam a métrica. Seja R : CompMet Met a subcategoria completa de espaços métricos completos. Então o funtor adjunto a R à esquerda elabora o completamento de um espaço métrico, LM := M. 3. Sejam I uma categoria (de índices), C uma categoria completa e F : I C um funtor. O isomorfismo de funtores C (, lim i I funtor lim i I Fi ) Cat(I, C)(, F ) é natural em F. Isto significa que o é adjunto à direita ao funtor diagonal : C Cat(I, C) Lema. Seja F : I C um funtor que possui o limite lim L : S C e R : C S funtores adjuntos. Então R lim i I i I Fi = lim i I Fi e sejam RFi. Em palavras: qualquer funtor que possui adjunto à esquerda preserva limites. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

16 Demonstração. Denotemos l := lim Fi e sejam α i : l Fi, i I, i I as correspondentes setas em C. Consideremos um objeto ( (β i ) i I, s ) da categoria S RF, onde β i : s RFi, i I, são setas em S. O isomorfismo natural ϕ : C(L, ) S(, R ) providencia as setas γ i : Ls Fi, i I, isto é, γ i = ϕ 1 β i. Para toda seta f : i j em I, temos (RFf )β i = β j. Pela naturalidade de ϕ 1, obtemos (Ff )γ i = γ j. Em outras palavras, ( (γ i ) i I, Ls ) é um objeto da categoria C F. Pela definição de limite, ganhamos uma única seta g : Ls l tal que α i g = γ i. Aplicando ϕ a g, obtemos a seta h := ϕg : s Rl que satisfaz (Rα i )h = β i para todo i I pela naturalidade de ϕ. A unicidade de tal h se obtém por aplicar novamente o isomorfismo natural ϕ 2.8. Lema. Sejam L : S C e R : C S funtores. Se L e R são adjuntos através de um isomorfismo natural ϕ : C(L, ) S(, R ), então temos as transformações naturais (chamadas unidade e counidade) (2.8.1) η : 1 S RL, ε : LR 1 C definidas pelas regras η s = ϕ s,ls 1 Ls e ε c = ϕ 1 Rc,c 1 Rc para c C e s S. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

17 As composições (2.8.2) R η R RLR R ε R L L η LRL ε L L são iguais a 1 R e 1 L, respectivamente. Reciprocamente, sejam dadas transformações naturais (2.8.1) tais que as composições (2.8.2) são iguais a 1 R e 1 L, respectivamente. Então ϕ s,c definido pela regra ϕ s,c f = (Rf )η s para f : Ls c é um isomorfismo natural ϕ : C(L, ) S(, R ). Demonstração. Sejam f :c c e g : s s morfismos em C e S, respectivamente. Pela comutatividade do diagrama à direita, o elemento marcado por é igual a (RLg)η s = η s g, implicando que η é natural. ϕ 1 Ls C(Ls, Ls) s,ls S(s, RLs) η s C(Ls, Lg) S(s, RLg) Lg C(Ls, Ls ϕ ) s,ls S(s, RLs ) C(Lg, Ls ) S(g, RLs ) 1 Ls C(Ls, Ls ) ϕ s,ls S(s, RLs ) η s S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

18 Pela comutatividade do diagrama à direita, as ϕ Rc,c -imagens dos elementos f ε c e ε c (LRf ), marcados por, são iguais. Sendo ϕ Rc,c injetivo, concluímos que ε é natural. ϕ ε c C(LRc, c) Rc,c S(Rc, Rc) 1 Rc C(LRc, f ) S(Rc, Rf ) C(LRc, c ϕ ) Rc,c S(Rc, Rc ) Rf C(LRf, c ) S(Rf, Rc ) ε c C(LRc, c ϕ ) Rc,c S(Rc, Rc ) 1 Rc Para morfismos f : Ls c e g : s Rc em C e S, respectivamente, temos os diagramas comutativos ϕ 1 Ls C(Ls, Ls) s,ls ϕ S(s, RLs) η s ε c (Lg) C(Ls, c) s,c S(s, Rc) g C(Ls, f ) S(s, Rf ) ϕ C(Lg, c) S(g, Rc) f C(Ls, c) s,c ϕ S(s, Rc) (Rf )η s ε c C(LRc, c) Rc,c S(Rc, Rc) 1 Rc isto é, (2.8.3) ϕ s,c f = (Rf )η s, ϕ s,c ( εc (Lg) ) = g. Da primeira igualdade com s := Rc e f := ε c, obtemos 1 Rc = ϕ Rc,c ε c = (Rε c )η Rc = (R ε) c (η R) c, portanto, 1 R = (R ε) (η R). Aplicando a segunda igualdade de (2.8.3) a c := Ls e g := η s, obtemos ϕ s,ls ( εls (Lη s ) ) = η s = ϕ s,ls 1 Ls. Como ϕ s,ls é injetivo, então 1 Ls = ε Ls (Lη s ) = (ε L) s (L η) s e, portanto, 1 L = (ε L) (L η). S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

19 Reciprocamente, sejam dadas transformações naturais (2.8.1) tais que as composições (2.8.2) são iguais a 1 R e 1 L, respectivamente. Primeiramente verifiquemos que ϕ C(Ls, c) s,c S(s, Rc) C(Lb, a) S(b, Ra) C(Ls, c ϕ s ),c S(s, Rc ) ϕ introduzida no Lema 2.8 é uma transformação natural. Sejam a : c c e b : s s morfismos em C e S, respectivamente. Então o diagrama à direita é comutativo, pois, para f : Ls c, são válidas as igualdades S(b, Ra)(ϕ s,c f ) = S(b, Ra) ( (Rf )η s ) = (Ra)(Rf )η s b, ϕ s,c ( C(Lb, a)f ) = ϕs,c ( af (Lb) ) = R ( af (Lb) ) ηs = (Ra)(Rf )(RLb)η s e η é uma transformação natural: η s b = (RLb)η s. Para qualquer morfismo g : s Rc em S, façamos ψ s,c g := ε c (Lg). Agora ψ s,c (ϕ s,c f ) = ψ s,c ( (Rf )ηs ) = εc (L ( (Rf )η s ) ) = ε c (LRf )(Lη s ) = = f ε Ls (Lη s ) = f (ε L) s (L η) s = f 1 Ls = f, pois ε é natural e a segunda composição em (2.8.2) é igual a 1 L. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

20 De forma semelhante, ϕ s,c (ψ s,c g) = ϕ s,c ( εc (Lg) ) = ( R ( ε c (Lg) )) η s = (Rε c )(RLg)η s = = (Rε c )η Rc g = (R ε) c (η R) c g = 1 Rc g = g, pois η é natural e a primeira composição em (2.8.2) é igual a 1 R 2.9. Definição. Um morfismo i é dito monomorfismo (ou mono) se ig 1 = ig 2 implica g 1 = g 2. Um morfismo p é dito epimorfismo (ou epi) se f 1 p = f 2 p implica f 1 = f 2. É claro que a composição de dois monomorfimos (epimorfismos) é um monomorfismo (epimorfismo). Se fg é mono (epi), então g é mono (f é epi). Em particular, se fg é um isomorfismo, então f é epi e g é mono Definição. Uma categoria C cujos C(c, c ) são munidos de estrutura de grupo abeliano de modo que a composição de morfismos seja biaditiva é dita Ab-categoria. É óbvio que a categoria dual C op a uma Ab-categoria C é uma Ab-categoria. Seja F : C C um funtor entre Ab-categorias. O funtor F é dito aditivo se preserva a adição de morfismos, isto é, se F : C(c 1, c 2 ) C (Fc 1, Fc 2 ) é um homomorfismo de grupos abelianos para todos c 1, c 2 C. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

21 Do mesmo jeito que uma categoria de um objeto só é um monoide, uma Ab-categoria de apenas um objeto é simplesmente um anel (associativo, não-comutativo e com unidade). Portanto, podemos tratar de Ab-categorias como sendo anéis com vários objetos. Desta maneira, os funtores aditivos são simplesmente os homomorfismos de anéis. Os funtores melhores do mundo relacionados com uma Ab-categoria C são obviamente aditivos, e, portanto, podemos considerar os funtores C(c, ) e C(, c) como funtores aditivos dos tipos C(c, ) : C Ab e C(, c) : C op Ab. Assim, se C possui produtos finitos, todo objeto de C é um grupo (e é cogrupo) abeliano em C. (Além disso, o bifuntor C(, ) é biaditivo.) Em qualquer Ab-categoria, um monomorfismo é simplesmente um não-divisor de zero à esquerda e um epimorfismo é simplesmente um não-divisor de zero à direita. Seja 0 C um objeto numa Ab-categoria C tal que C(0, 0) = 0. Então 0 é final e inicial. Realmente, h0 = h0 + h0 implica h0 = 0. Pelas mesmas razões, 0h = 0. Agora 1 0 = 0 e C(c, 0) = C(0, 0)C(c, 0) = {0}, isto é, 0 é final. De forma análoga, 0 é inicial. Obviamente, o morfismo 0 : c c é simplesmente a composição c 0 c. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

22 Vamos supor que tal 0 C, chamado de objeto nulo, exista. Sejam a, b C dois objetos. Suponhamos que existam o coproduto a j 1 a b j 2 b e o produto a π 1 a b π 2 b. Então os diagramas j a 1 a b j 2 p 1 p 1 1 a a b a a b i p 2 j 1 a b 0 π1 a b b a p j 2 2 π 2 0 b b 1 b laterais produzem os morfismos a p 1 a b p 2 b satisfazendo as igualdades p 1 j 1 = 1 a, p 1 j 2 = 0, p 2 j 1 = 0, p 2 j 2 = 1 b. Portanto, obtemos o diagrama comutativo central com π 1 i = p 1 e π 2 i = p Definição. Se o i indicado é um isomorfismo, então dizemos que os objetos a, b C possuem biproduto. Neste caso, podemos supor que i = 1. Daí temos p 1 = π 1, p 2 = π 2 e (2.11.1) π 1 j 1 = 1 a, π 1 j 2 = 0, π 2 j 1 = 0, π 2 j 2 = 1 b, j 1 π 1 + j 2 π 2 = 1 a b. A última igualdade é válida pelas propriedades do produto a b, pois π 1 (j 1 π 1 + j 2 π 2 ) = π 1 = π 1 1 a b e π 2 (j 1 π 1 + j 2 π 2 ) = π 2 = π 2 1 a b. É fácil verificar que os morfismos j 1, j 2, π 1 e π 2 satisfazendo as igualdades (2.11.1) definem o biproduto. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

23 Usando o delta de Kronecker, podemos reescrever as igualdades (2.11.1) como (2.11.2) π α j β = δ αβ, α j απ α = 1. De forma semelhante, podemos definir o biproduto de qualquer coleção finita de objetos. Seja dada uma coleção finita de objetos {a 1,..., a n }. Suponhamos que existam coproduto e produto destes objetos, e denotemos por j α e π α os respectivos morfismos de/para a α. Então as igualdades (2.11.2) (com um isomorfismo no lugar de 1) implicam o isomorfismo a 1 a n a 1 a n. Ainda mais, as igualdades (2.11.2) implicam que os morfismos j α s e π α s definem coproduto e produto. Vamos denotar o biproduto por e chamar os j s e π s de injeções e projeções, respectivamente. Assim, concluímos que qualquer funtor aditivo entre Ab-categorias preserva biprodutos. É fácil verificar que o biproduto é, num certo sentido, associativo e comutativo Observação. Sejam a = a 1 a l e a = a 1 a m biprodutos numa Ab-categoria C munidos de projeções e injeções π α, π β, j α, j β, respectivamente. Então o grupo abeliano C(a, a ) é a soma direta dos grupos abelianos C(a α, a β ) e pode ser apresentado na forma de uma matriz S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

24 C(a 1, a 1 (2.12.1) C(a, a )... C(a l, a 1 ) ) =..... C(a 1, a m)... C(a l, a m) onde o morfismo h C(a, a ) tem as componentes h βα = π β hj α na matriz M h. Se a = a 1 a n é um terceiro biproduto, então podemos calcular a composição h h de h C(a, a ) e h C(a, a ) usando a multiplicação usual das matrizes correspondentes: M h h = M h M h Definição. Uma Ab-categoria C é dita aditiva se possui um objeto nulo e biprodutos Definição. Seja h : a b um morfismo numa Ab-categoria C. n k a h b Dizemos que um morfismo k : n a é núcleo a h b k c g x de h se hk = 0 e se, para todo morfismo f f f : x a tal que hf = 0, existe um único y g morfismo g : x n que faz o diagrama à esquerda comutativo. Em outras palavras, o núcleo é o equalizador de h e 0. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

25 Dizemos que um morfismo k : b c é conúcleo de h se k h = 0 e se, para todo morfismo f : b y tal que f h = 0, existe um único morfismo g : c y que faz o diagrama à direita é comutativo. (Assim, o conúcleo de h é o coequalizador de h e 0.) a h Denotamos por Ker h ker h a h b e ker b Ker h h h a b f a h b co h Co h os núcleo e conúcleo k(f, f ) f f de h. É fácil ver que ker h é mono e Ker h ker h a h b que co h é epi. f a h b Suponhamos que o núcleo de qualquer morfismo de C sempre exista. Neste caso, se o diagrama à esquerda é comutativo, então existe um único morfismo k(f, f ) tal que o diagrama à direita é comutativo. Em outras palavras, Ker é um funtor Ker : C 2 C e ker é uma transformação natural ker : Ker c, onde c : C 2 C é o funtor começo de seta definido no Exemplo O fato análogo é válido para o conúcleo. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

26 ker h (Ker h)c c C(c, a) (Ker h)f C(f, a) ker h (Ker h)d d C(d, a) Seja C uma Ab-categoria e seja h : a b um morfismo em C. Consideremos o funtor contravariante Ker h : C Ab definindo (Ker h)c := Ker C(c, h) para c C e determinando (Ker h)f no diagrama comutativo à direita para f : c d. No diagrama, a transformação natural ker h é de fato a inclusão (Ker h)c C(c, a). Seja n C um núcleo de h. Então é fácil ver que o funtor Ker h é representado em C por n. Reciprocamente, suponhamos que Ker h é representável e seja n C um objeto que o representa. Então ker h induz uma transformação natural C(, n) C(, a) que, pelo lema de Yoneda, é induzida por um único morfismo k : n a, k (Ker h)n. Usando o isomorfismo Ker h C(, n), podemos verificar que n é o núcleo de h. Assim, podemos definir, de maneira equivalente, o núcleo de h pela representatividade do funtor Ker h. (Pode afirmar e demonstrar algo dual para conúcleos?) S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

27 Ker h ker h a co(ker h) h b co h Co h f ker(co h) Co(ker h) g Ker(co h) Suponhamos que numa Ab-categoria C os núcleos e conúcleos sempre existam. Seja h : a b um morfismo de C. Como h ker h = 0, então existe um (único) morfismo f : Co(ker h) b tal que f co(ker h) = h. Sendo (co h)h = 0, concluímos daí que (co h)f co(ker h) = 0. Sabemos que co(ker h) é epi, logo, (co h)f = 0. Agora podemos encontrar um (único) morfismo g : Co(ker h) Ker(co h) tal que ( ker(co h) ) g = f. Finalmente, encontramos g tal que h = ( ker(co h) ) g co(ker h). Este g é único, pois ker(co f ) é mono e co(ker f ) é epi. (Você pode descobrir toda essa argumentação só olhando para o diagrama, sem ler o texto. A mesma receita serve na maioria dos casos a seguir.) Definição. Uma categoria aditiva C é dita abeliana se todo morfismo h de C possui núcleo e conúcleo e o morfismo g : Co(ker h) Ker(co h) construído acima é um isomorfismo. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

28 Grosso modo, podemos falar que uma categoria aditiva é abeliana se Co(ker h) = Ker(co h) para todo morfismo h. Neste caso, todo morfismo h está decomposto em um epimorfismo e um monomorfismo, h = me. x x co(ker h) ker(co h) co(ker h) ker(co h) Ker h ker h a b co h Co h Ker h ker h a f b co h Co h e m e y y m Vamos mostrar que esta decomposição é única a menos de um isomorfismo. Consideremos o diagrama comutativo à esquerda com e epi, m mono e com h = ( ker(co h) ) co(ker h). Sendo h ker h = 0, concluímos que me ker h = 0. Daí, e ker h = 0, pois m é mono. Logo, existe um morfismo ( f ) : x y tal que e = f co(ker h). Agora ker(co h) co(ker h) = h = me = mf co(ker h) com co(ker h) epi. Portanto, ker(co h) = mf e o diagrama à direita é comutativo. Isto implica que f é epi e mono. Resta aplicar o item 3 da S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

29 2.16. Proposição. Seja C uma categoria abeliana e seja h : a b um morfismo em C. Então são válidas as seguintes afirmações. 1. h é mono se e só se Ker h = h é epi se e só se Co h = h é um isomorfismo se e só se h é mono e epi. 4. h é epi se e só se h = co(ker h). 5. h é mono se e só se h = ker(co h). 6. h possui uma única decomposição h = me com e epi e m mono (a menos de um isomorfismo, isto é, se h = m e com e epi e m mono, então existe um isomorfismo i tal que e = ie e m = im ; vide o diagrama à direita). 7. Para quaisquer duas setas a c fórmula a c b := Ker(hπ a f π b )). Ker h ker h a c b h b i f f ker h Ker h h a c h x e m a i b e y m f b existe o pullback (dado pela O pullback induz o isomorfismo i entre núcleos no diagrama comutativo à esquerda. Além disso, se h é epi, então h é epi. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

30 h f 8. Para quaisquer duas setas a c b existe o pushout (dado pela fórmula a c b := Co(j a h j b f )). O pushout induz o isomorfismo j entre conúcleos no diagrama comutativo à direita. Além disso, se h é mono, então h é mono. Co h co h a c b h b j f f Co h co h a h c Demonstração. 1 e 2 são triviais. 3. Temos o diagrama comutativo à direita com um isomorfismo g. Por 1, h a b Ker h = 0 e ker h = 0. Portanto, co(ker h) ker(co h) g Co(ker h) 0 0 a 1a a é o diagrama de co(ker h). Ker(co h) Assim, podemos supor que Co(ker h) = a e que co(ker h) = 1 a. De maneira semelhante, Ker(co h) = b e ker(co h) = 1 b. Agora, g = h. 4. Se h = co(ker h), então h é epi. Seja h epi. Sendo h = ( ker(co h) ) co(ker h) com h epi, concluímos que ker(co g) é epi. Mas, ker(co g) é mono. Por 3, ker(co g) é um isomorfismo. 5 é dual a 4. 6 agora segue de 3. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

31 7. Provemos que o núcleo indicado representa o pullback. No diagrama comutativo à direita, existe um (único) morfismo g : d a b tal que f = π a g e h = π b g. A comutatividade do diagrama à direita é equivalente ao fato que rg = 0, onde r := h f h a hπ a f π b a b c. Sendo universal, o núcleo k : Ker r a b induz um único morfismo ϑ : d Ker r tal que kϑ = g. Como as igualdades f = π a g e h = π b g definem g de maneira única, então ϑ é definido univocamente pelas igualdades f = π a kϑ e h = π b kϑ, isto é, pelas igualdades f = f ϑ e h = h ϑ, onde f := π a k e h := π b k. Em outras palavras, Ker r é o pullback a c b. d b f c Ker h ker h d a c b h Suponhamos agora que no diagrama 0 b b à esquerda hf = 0. Então obtemos f f f f o diagrama comutativo à direita que a h c ker h Ker h h a c induz um único morfismo g : d a c b tal que f g = f e h g = 0. Logo, existe um único morfismo j : d Ker h tal que g = (ker h )j. Assim, temos um único j satisfazendo a igualdade f (ker h )j = f. Isto significa que f ker h : Ker h a é o núcleo de h : a c. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

32 Suponhamos que h seja epi. Temos rj a = ( hπ a f π b )j a = h. Logo, r é epi. Por 4, r = co k na sequência a c b k a b r c. Temos h = π b k. Se 0 = gh para algum g : b d, então 0 = gπ b k. Sendo r = co k, existe um (único) morfismo ϑ : c d tal que gπ b = ϑr. Consequentemente, 0 = gπ b j a = ϑrj a = ϑ(hπ a f π b )j a = ϑh. Daí, ϑ = 0, gπ b = 0 e g = 0, pois h e π b são epis. 8 é dual a Definição. Denotamos Co(ker h) ( Ker(co h) ) por Im h, a imagem de h, Im h := Co(ker h). Pela Proposição , todo morfismo h : a b se decompõe, univocamente, na composição do epimorfismo π : a Im h e do monomorfismo i : Im h b, f = iπ. Lidando com uma categoria abeliana, usualmente fixamos os seguintes funtores e as correspondentes transformações naturais: n i=1, π i, j i, Ker, ker, Co, co, Im, etc. Claramente, podemos fazer isto de modo que Ker( h) = Ker h, ker( h) = ker h, Co( h) = Co h, co( h) = co h e, portanto, Im( h) = Im h para todo morfismo h. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

33 2.18. Definição. Dizemos que a sequência a h b f c é semiexata em b se fh = 0. Neste caso, h = iπ, onde π : a Im h é epi e i : Im h b é mono. Logo, fiπ = 0, o que implica fi = 0. Consequentemente, obtemos j : Im h Ker f tal que i = (ker f )j. Assim, h f toda sequência a b c semiexata em b gera Im h j uma decomposição de h com j mono (vide o diagrama à Ker f direita). Se j é um isomorfismo, então a sequência é dita π ker f h exata em b. Uma sequência a b c... é a b dita (semi)exata se ela é (semi) exata em cada um de seus termos. Obviamente, 0 a b (respectivamente, b h a 0) é exata em a se e h só se h é mono (respectivamente, epi). Agora é facil ver que o fato de a h sequência 0 a b f c ser exata é equivalente a h = ker f. Para provar o fato dual que a sequência a h b f c 0 é exata se e só se f = co h, podemos utilizar a seguinte observação Observação. A sequência a h b f c é exata em b se e só se existe uma decomposição de f, em epi e mono, dada por b co h Co h m c. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

34 Demonstração. Suponhamos que a sequência seja exata. Utilizando a decomposição da Definição 2.17 para f e o diagrama da Definição 2.18 para h, obtemos o diagrama comutativo à direita, onde j é iso, π e p são epis e l é mono. Como lph = 0 e l é mono, temos ph = 0. Logo, existe um único α : Co h Im f tal que α(co h) = p. Im h j Ker f π ker f a h b f c p co h 7 Co h β α l Im f Por outro lado, 0 = (co h)h = (co h)(ker f )jπ. Sendo π e j epis, (co h)(ker f ) = 0. Pela Definição 2.17, Im f Co(ker f ). Daí obtemos um único β : Im f Co h tal que βp = co h. Agora, utilizando o fato que p e co h são epis, é fácil ver que α e β são inversos um do outro e, assim, estabelecem um isomorfismo Im f Co h. Resta definir m := lα. Reciprocamente, se f é decomposto como b co h Co h h então a sequência a b Ker f = Ker ( m(co h) ) coincide com Ker(co h) = Im h m c com m mono, f c é exata em b, pois, sendo m mono, O fato obtido é dual à Definição 2.18 que, na verdade, diz que a sequência a h b f c é exata em b se e só se h se decompõe como a e Ker f ker f b com e epi. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

35 2.20. Definição. Seja a C. Dizemos que f : x a e f : x a são equivalentes, f f, se existem epimorfismos ϑ : y x e ϑ : y x tais que f ϑ = f ϑ. Mostremos que f f e f f implicam f f. Realmente, temos o diagrama comutativo à direita com ϑ, ϑ, ϑ 1 e ϑ epis. Pela Proposição , p e p são epis. Agora f ϑp = f ϑ p com ϑp e ϑ p epis. Assim, obtemos uma relação de equivalência. Uma classe de y x y p p y y ϑ ϑ ϑ 1 ϑ x x x f f f a equivalência se chama de membro de a, x m a. Podemos falar sobre a imagem de um membro: Seja x m a, f : x a, um membro e seja h : a b um morfismo. Então hf : x b define a imagem hx m b. É fácil ver que x x implica hx hx. Também faz sentido dizer x m a ou x 0. Os membros substituem elementos na caça em diagramas: S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

36 2.21. Proposição (as regras elementares para caça em diagramas). 1. Um morfismo h : a b é nulo se e só se hx 0 para todo x m a. 2. Um morfismo h : a b é mono se e só se hx 0 implica x 0 para todo x m a (ou, equivalentemente, hx hx implica x x para todos x, x m a). 3. Um morfismo h : a b é epi se e só se, para todo y m b, existe um x m a tal que hx y. 4. Uma sequência a h b f c é exata em b se e só se fh = 0 e, para qualquer y m b com fy 0, existe um x m a tal que hx y. 5 (subtração). Sejam dados um morfismo h : a b e dois membros x, y m a tais que hx hy. Então existe z m a (podemos denotar z x y) tal que hz 0 e, para qualquer morfismo f : a c, temos fx 0 = fz fy e fy 0 = fz fx. Demonstração. 1. Como 1 a : a a induz a m a, então ha 0 implica h = Se h é mono e hx hx para f : x a e f : x a, então hf ϑ = hf ϑ para epimorfismos ϑ e ϑ apropriados. Isto implica f ϑ = f ϑ e assim x x. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

37 Reciprocamente, seja hf = 0 para algum f : x a. Então x 0 e existe um epimorfismo ϑ : z x tal que f ϑ = 0. Logo, f = 0. Assim concluímos que h é mono. z 3. Suponhamos que h seja epi. Seja y a b y h ϑ ϑ m b, y f f f : y b. No diagrama à esquerda, h é epi pela x b a h Proposição Assim obtemos um membro x = b a f 1 b b y m a tal que hx y. Reciprocamente, aplicando a propriedade de h ao membro y := b m b, obtemos a h b o diagrama comutativo à direita com ϑ e ϑ epis. Sendo h divisor à esquerda do epimorfismo ϑ, concluímos que h é epi. 4. Suponhamos que a sequência seja exata em b. Seja y m b, g : y b, com fy 0. y Então, para um epimorfismo ϑ : z y, temos π fgϑ = 0. Logo, fg = 0 e g = (ker f )t para algum t a Im h y g t : y Ker f = Im h. No diagrama à esquerda, π Im h h = (ker f )π com π epi. Pela Proposição , ker f π é epi e hx y, onde x := a Im h y m a. a b c h f S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

38 Reciprocamente, aplicando a propriedade ao membro y := Ker f m b, obtemos o diagrama à direita com ϑ e ϑ epis. Isto é, (ker f )jπgϑ = (ker f )ϑ, ou seja, jπgϑ = ϑ, implicando que j é epi. 5. Temos o diagrama comutativo à direita abaixo com ϑ e ϑ epis. Agora, z m a desejado é uϑ vϑ : z a z ϑ ϑ x Im h j Ker f g π ker f a b h f x u a A Proposição 2.21 possibilita aplicar os argumentos usuais z ϑ h b na caça em diagramas. A receita é provar primeiramente ϑ y v a h um fato com uso de elementos como na categoria Ab e trocar depois elementos por membros. O único lugar em que isto não funciona é na construção de morfismos. Um exemplo disto é o seguinte lema Lema (da serpente). Dado um diagrama comutativo 0 i a 1 p a 2 a 3 0 h 1 h 2 h 3 0 j b 1 π b 2 b 3 0 com linhas exatas, então existe um morfismo δ : Ker h 3 Co h 1 tal que a S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1 c

39 sequência (2.22.1) i 0 Ker h p 1 Ker h δ j 2 Ker h 3 Co h π 1 Co h 2 Co h 3 0 é exata, onde os morfismos i, p, j e π são induzidos: 0 i Ker h 1 Ker h p 2 Ker h 3 δ ker h 1 ker h 2 ker h 3 0 i a 1 p a 2 a 3 0 h 1 h 2 h 3 0 j b 1 π b 2 b 3 0 co h 1 co h 2 co h 3 δ j Co h1 π Co h 2 Co h 3 0 Demonstração. Para definir δ consideremos o diagrama S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

40 0 ker q a 1 a2 a3 Ker h q 3 Ker h a1 k ker h 3 0 i a 1 p a 2 a 3 0 h 1 h 2 0 j b 1 b 2 π h 3 b 3 0 co h 1 c 1 b3 0 Co h g 1 co g Co h 1 b1 b 2 b3 0 Sendo p epi e sendo j mono, pela Proposição (e ), q é epi, g é mono, as linhas no diagrama são exatas e o diagrama é comutativo. Consideremos o morfismo δ 0 := ch 2 k. Temos δ 0 (ker q) = 0 e q = co(ker q). Logo, existe um morfismo u : Ker h 3 Co h 1 b1 b 2 tal que uq = δ 0. Sendo 0 = (co g)δ 0 = (co g)uq com q epi, concluímos que (co g)u = 0. De g = ker(co g) segue que existe um morfismo δ : Ker h 3 Co h 1 tal que gδ = u. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

41 Agora descrevemos δ usando membros. Seja x m Ker h 3, f : x Ker h 3. Pela Proposição , existe x 2 m a 2, f 2 : x 2 a 2, tal que px 2 (ker h 3 )x. Como 0 h 3 (ker h 3 )x h 3 px 2 πh 2 x 2 e a sequência 0 b 1 b 2 b 3 0 é exata em b 2, então, pela Proposição , existe y 1 m b 1 tal que jy 1 h 2 x 2. Façamos y (co h 1 )y 1 e mostremos que y δx. (Pela Proposição , isto define δ univocamente.) Pela Proposição , é suficiente demonstrar que gy gδx, pois g é mono. Em outras palavras, precisamos verificar que g(co h 1 )y 1 ux, isto é, que ch 2 x 2 ux. Se encontramos z m a 2 a3 Ker h 3 tal que qz x e kz x 2, x (2.22.2) y 1 co h 1 (co h 1 )y 1 j x 2 h 2 h 2 x 2 ker h 3 p (ker h 3 )x ϑ x f Ker h 3 z ker h 3 a 3 ϑ x f 2 2 p a 2 então ch 2 x 2 ch 2 kz δ 0 z uqz ux e tudo está feito. Para alguns epimorfismos ϑ e ϑ temos o diagrama comutativo à direita. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

42 Portanto, existe um morfismo ε : z a 2 a3 Ker h 3 tal que qε = f ϑ e kε = f 2 ϑ. Em outras palavras, z m a 2 a3 Ker h 3, qz x e kz x 2. A exatidão da sequência (2.22.1) pode ser obtida pela caça no diagrama do lema usando a Proposição 2.21 e a definição (2.22.2) do morfismo δ. Deixamos tal demonstração a cargo do leitor Observação. A Ker-Coker-sequência é funtorial. Isto significa o seguinte. Suponhamos que (h 1, h 2, h 3 ) e (h 1, h 2, h 3 ) participem nos diagramas comutativos D e D com linhas exatas, como aquele do Lema 2.2.2, e seja D D um morfismo entre os diagramas dado por morfismos f 1, f 2, f 3, g 1, g 2, g 3 (isto significa que a parte correspondente do diagrama no próximo slide é comutativa). Então o diagrama 0 Ker h 1 Ker h 2 Ker h δ 3 Co h 1 Co h 2 Co h 3 0 f 1 f 2 f 3 g 1 g 2 g 3 0 Ker h 1 Ker h 2 Ker h 3 δ Co h 1 Co h 2 Co h 3 0 é comutativo, onde todos os morfismos, além de δ e δ, são induzidos. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

43 Demonstração. Já que todos os morfismos, além de δ e δ, são induzidos, resta mostrar a comutatividade do quadrado central (pois os outros quadrados são comutativos pelo fato que Ker e Co são funtores). Isto se faz pela caça no diagrama abaixo utilizando a definição (2.22.2) de δ e δ f Ker h 3 δ 3 Ker h 3 δ 0 a f a f 2 a 1 2 a f 3 a 2 a h 1 h 1 h 2 0 g 0 b b b b g 2 2 b 3 2 b g δ Co h 1 h 2 h 3 h 3 δ g Co h 1 1 S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

44 Outros exemplos de aplicação de caça em diagramas são os 4-lema e 5-lema Lema (4-lema). Seja dado um diagrama comutativo à esquerda com a primeira linha semiexata em a 2 e exata em a 3 e com a segunda linha exata em b 2. Se h 2 e h 4 são monos e h 1 é epi, então h 3 é mono. a f1 1 a f2 2 a f3 3 a 4 h 1 h2 h3 h4 b g1 1 b g2 2 b g3 3 b 4 a f2 2 a f3 3 a f4 4 a 5 h 2 h3 h4 h5 b g2 2 b g3 3 b g4 4 b 5 Seja dado um diagrama comutativo à direita com a primeira linha exata em a 4 e com a segunda linha exata em b 3 e semiexata em b 4. Se h 2 e h 4 são epis e h 5 é mono, então h 3 é epi a f1 1 a f2 2 a f3 3 a f4 4 a 5 h 1 h2 h3 h4 h5 b g1 1 b g2 2 b g3 3 b g4 4 b Corolário (5-lema). Seja dado um diagrama comutativo acima com a primeira linha semiexata em a 2 e exata em a 3 e a 4, com a segunda linha exata em b 2 e b 3 e semiexata em b 4. Se h 1 é epi, h 5 é mono, h 2 e h 4 são isomorfismos, então h 3 é um isomorfismo S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

45 Exercícios 1. Prove todas as afirmações cujas demonstrações foram omitidas nas notas de aulas. 2. Prove a seguinte versão do lema de Yoneda. Denotamos por Cat(, Set) a categoria seguinte: Um objeto de Cat(, Set) tem a forma (C, F, c), onde C é uma categoria arbitrária (isto é, C = ), F : C Set é um funtor e c C. Um morfismo em Cat(, Set) entre (C, F, c) e (C, F, c ) tem a forma (G, t, f ), onde G : C C é um funtor, t : F F G é uma transformação natural entre funtores do tipo C Set e f : Gc c é um morfismo em C. A composição entre (G, t, f ) : (C, F, c) (C, F, c ) e (G, t, f ) : (C, F, c ) (C, F, c ) é definida pela regra (G, t, f ) (G, t, f ) := ( G G, (t G) t, f G f ). O funtor 2 3 : Cat(, Set) Set é definido como 2 3 (C, F, c) := Fc para um objeto (C, F, c) e 2 3 (G, t, f ) := (F f ) t c : Fc F c para um morfismo (G, t, f ) : (C, F, c) (C, F, c ). S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

46 O funtor T := Cat( 1, Set) ( ) 1 ( 3, 4 ), 2 4 : Cat(, Set) Set, onde 1 Cat, 2 Cat( 1, Set), 3, 4 1, é definido de maneira seguinte. Para um objeto (C, F, c), façamos T (C, F, c) := Cat(C, Set) ( C(c, ), F ). Para um morfismo (G, t, f ) : (C, F, c) (C, F, c ), façamos T (G, t, f ) : ( α C(c, ) F ) ( C (c, ) α F ), onde α x : (c g x ) ( (F g) (F ) f ) t c α c 1c. A transformação natural y : Cat( 1, Set) ( ) 1 ( 3, 4 ), de fato mencionada no lema de Yoneda se aplica para os funtores do tipo Cat(, Set) Set. 3. Se ainda está vivo/viva, imagine que, talvez, a naturalidade do exercício anterior pode ser estendida para funtores do tipo Cat(, ), onde denota uma categoria arbitrária S que possui produtos finitos (e objeto final), usando o conceito de categoria S no lugar de Set : para c, c C, temos C(c, c ) S... Assim, como resultado, obtemos somente uma forma: só Cat faz sentido... S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1

47 4. Responda à pergunta da nota de rodapé 7 na página 17 das notas de aula. 5. Encontre uma demonstração envolvendo uso de membros para a primeira parte do Lema Tente adotá-la para a segunda parte. S. Anan in (ICMC) categorias 02/09/ /10/ / 1