2 Modelo Log-periódico

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1 2 Modelo Log-periódio Neste apítulo serão apresetados o desevolvimeto feomeológio do modelo log-periódio e a dedução da equação fudametal que desreve o resimeto dos preços o tempo a fase pré-rash Itrodução A hipótese básia do modelo log-periódio é de que o rash fiaeiro pode ser ausado por uma tedêia resete de imitação etre os agetes do merado, levado ao surgimeto de uma bolha fiaeira. Caso esta tedêia evoluísse até um erto valor rítio, uma grade proporção de agetes assumiriam a mesma posição de veda, resultado o rash. A equação fudametal que desreve o resimeto dos preços o tempo este modelo, a fase pré-rash, é dada por uma lei de potêia pura om uma orreção log-periódia: β p( = A + B( t {1 + C os[ wlog( t + φ]} (1) ode p( represeta o ídie de preço de um ativo o istate t; t é o tempo rítio; β e w são parâmetros araterístios do merado; φ é a fase; A, B e C são ostates de ajuste. O omportameto log-periódio é gerado pelo osseo do logaritmo da distâia temporal de t até t. A equação (1) desreve uma sigularidade observável em t que represeta o poto rítio do sistema. O valor de t é iterpretado omo o istate o qual o rash tem a maior probabilidade de oorrer. Portato, o rash fiaeiro ão é osiderado um eveto erto, mas é araterizado por uma distribuição de probabilidade de oorrêia ao logo do tempo. Assim, segudo a teoria das expetativas raioais, é raioal para o agete fiaeiro otiuar ivestido, já que o riso do rash oorrer é ompesado pelo retoro positivo gerado pela bolha fiaeira e porque existe uma probabilidade pequea da bolha se esvaeer suavemete, sem a oorrêia do rash.

2 Modelo Log-periódio Diâmia do Preço Johase et al., 2000 [2] osideram um merado ideal em um eário puramete espeulativo, que ão paga dividedos. Por simpliidade, são igoradas as taxas de juros, a aversão ao riso e as odições de liquidez do merado. Neste eário, existe pelo meos um agete raioal, eutro ao riso e om expetativas raioais. Dada esta hipótese, o preço p( do ativo fiaeiro deve seguir um proesso estoástio martigal: E t [ p( t')] = p(, t ' > t (2) ode Et[.] represeta o valor esperado odiioal sobre toda iformação dispoível até o tempo t. 4 Na odição de equilíbrio de merado, ode os agetes se omportam de forma ótima, de aordo om suas preferêias, a eq. (2) é odição eessária de ão arbitragem. Se E t [ p( t')] > p(, um agete eutro ao riso osiderará lurativo mater uma ifiita quatidade de ativos. Coseqüetemete, agetes raioais aumetarão o preço em t até a eq. (2) ser satisfeita. Da mesma forma, se E t [ p( t')] < p(, agetes raioais osiderarão lurativo veder uma ifiita quatidade de ativos. Como a quatidade de ativos é fiita, ehuma das duas possibilidades é osistete om o equilíbrio de merado. Em um merado ode os preços ão flutuam devido ao impato de ruído, para t ' = t + 1, a eq.(2) se traduzirá a seguite equação de difereças: p t+1 = p t (3) uja solução é uma ostate: p( = p(t 0 ), ode t 0 represeta um valor iiial qualquer. Cosiderado que existe uma probabilidade ão ula do rash oorrer, formalmete, podemos defiir um otador para a oorrêia do rash, dado por uma fução degrau j = Θ( t t ) ujo valor é zero ates do rash e um após a ( oorrêia do rash em um tempo t. Como t é desoheido, ele é desrito por uma variável estoástia sujeita a uma fução desidade de probabilidade q( e a uma fução de distribuição umulativa t Q ( = q( t') dt'. 4 Em [3], mostra-se que esta modelagem é robusta em relação à itrodução de uma formulação geral de aversão ao riso.

3 Modelo Log-periódio 18 Defie-se a hazard rate (taxa de perigo) h( omo sedo a probabilidade por uidade de tempo do rash oorrer o próximo istate, dado que ele aida ão oorreu. Logo, pode-se esrever (ver apêdie A): q( h( = (4) 1 Q( Assumido por simpliidade que, a oorrêia do rash, o preço ai om um peretual fixo k (0,1), a diâmia do preço do ativo é dada por (desprezado-se flutuações estoástias): dp = µ ( p( dt k p( dj (5) ode dj = 1 ou 0 segudo a oorrêia ou ão do rash o itervalo dt e E t [ dj] = h( dt. 5 O fator de tedêia µ ( é obtido a fim de que o proesso do preço satisfaça a odição martigal (2). A odição de ão-arbitragem jutamete om a expetativa raioal implia que o retoro esperado em qualquer istate é exatamete zero: Daí segue que: E t [ dp] = µ ( p( dt k p( h( dt = 0 (6) µ ( t ) = k h( (7) Logo, µ ( é proporioal à probabilidade do rash oorrer, dado que ele aida ão oorreu, ou seja, se o rash hazard rate aumetar, µ ( também rese. O fator µ ( represeta assim o retoro peretual por uidade de tempo, odiioado à ão-oorrêia aterior do rash. Substituido a eq.(7) a eq.(5), obtém-se a equação difereial ates da oorrêia do rash dada por (sedo dj = 0): d (log p( ) = kh( (8) uja solução para a evolução temporal dos preços é dada por: t p( = p( t 0 )exp k h( t') dt' (9) t0 Como oseqüêia da eq.(7) e da eq.(9), tem-se um importate resultado: quato maior a probabilidade de oorrêia do rash (odiioal ao fato de que a quebra aida ão oorreu), mais rápido deve ser o resimeto do preço. Ituitivamete, os ivestidores devem ser ompesados om 5 E[ dj] = P( dj = 0) ( dj = 0) + P( dj = 1) ( dj = 1) = 0 + h( dt 1 = h( dt

4 Modelo Log-periódio 19 oportuidade de altas taxas de retoro pelo aumeto do riso de quebra de seus ativos. O desvio sigifiativo dos preços em relação ao seu valor fudametal ao logo de grades períodos de tempo é uma questão aida em debate a literatura fiaeira e em partiular foi aalisada por Blahard, 1979, om a itrodução de um modelo de bolhas de expetativa raioal. Este efeito ão é partiular da diâmia desrita pela eq.(5). Se assumirmos alterativamete que durate o rash o preço ai um peretual fixo k (0,1) do aumeto (espeulativo) do preço em relação à um valor de referêia p*, etão a diâmia do preço ates da oorrêia do rash é dada por: dp = µ ( p( dt k[ p( p*] dj (10) A odição martigal agora implia que: µ ( p( = k[ p( p*] h( (11) Da mesma forma que em (7), se a hazard rate h( aumeta, o retoro µ( aumeta para ompesar os agetes do riso resete. Substituido (11) em (10), osiderado-se p( p(t 0 ) < p(t 0 ) p*, obtémse a equação difereial ates da oorrêia do rash dada por (sedo dj = 0): dp = k[ p( t0 ) p*] h( dt (12) uja solução para evolução temporal dos preços é dada por: t 0 0 p ( p( t ) + k[ p( t ) p*] h( t' ) dt' (13) O modelo portato ão impõe qualquer víulo quato à amplitude do rash. Se assumirmos que ele é proporioal ao valor do preço orrete, etão a variável atural é, segudo a eq.(8), o logaritmo atural dos preços. Se assumirmos que a amplitude do rash é uma fração do gaho observado ao logo da bolha de preços, etão a variável atural é, segudo a eq.(12), o próprio preço. Em ambos os asos, odiioalmete a permaeer a bolha (ehum rash aida oorreu), o preço do ativo, aterior ao rash, deve reser raioalmete para ompesar os ompradores por terem assumido o riso de que o merado tem de quebrar. Nesta dissertação será adotada a diâmia de preços desrita pelas equações (10) (13). O modelo distigue aida etre o fim da bolha e a data de oorrêia do rash. A odição de expetativa raioal implia que a data do rash tem um grau de ierteza. t0

5 Modelo Log-periódio 20 O tempo rítio t sializa o esvaeimeto teório da bolha espeulativa. Deve-se estar laro que t ão represeta a previsão do mometo exato do rash, porque o rash pode oorrer em qualquer istate aterior a t, embora isto ão seja muito provável. Na verdade, t represeta o istate de maior probabilidade de oorrêia do rash. pequea Por outro lado, a partir do istate presete t existe uma probabilidade t 1 h ( dt > 0 (14) t do sistema hegar ao fial da bolha espeulativa sem a oorrêia do rash. Esta probabilidade residual é ruial para oerêia deste modelo, porque, aso otrário, os agetes ateipariam o rash e ão se materiam o merado. Em resumo, o modelo apresetado osidera que o rash é um eveto estoástio uja probabilidade de oorrêia é raioalmete refletida o preço do ativo. Segudo (9) ou (13), a evolução temporal dos preços a fase da bolha espeulativa depede da probabilidade h(. A determiação de h(, que será apresetada a próxima seção, será obtida a partir da desrição do merado fiaeiro através de modelos proveietes da Físia Estatístia O Modelo de Imitação Raioal Vimos a seção aterior que a gradeza relevate para obteção do omportameto dos preços, a fase pré-rash, é a hazard rate h(, isto é, a probabilidade por uidade de tempo de o rash oorrer, dado que ele aida ão oorreu. Nesta seção, será apresetada uma modelagem para h( em dois íveis: marosópio e mirosópio. Os elemetos priipais desta modelagem, também hamada de modelo da imitação raioal, são: 1) Um sistema de agetes que são iflueiados por seus vizihos em uma rede de iformação; 2) Imitações loais, que se propagam espotaeamete até atigir o efeito de ooperação global; 3) Cooperação global etre os agetes gerado omportameto oletivo, podedo levar ao rash;

6 Modelo Log-periódio 21 4) Comportameto temporal dos preços relaioados às propriedades e aos parâmetros deste sistema. A rash hazard rate h( quatifia a probabilidade de um grade úmero de agetes assumir simultaeamete a mesma posição de veda à qual o merado ão osegue ateder sem reduzir os preços substaialmete. Deve - se ressaltar que os agetes fiaeiros este sistema ormalmete disordam etre si e emitem tatas ordes de veda quatas ordes de ompra (isto orrespode aos períodos ormais os quais ão oorre o rash). O modelo da imitação raioal busa desrever quais são os meaismos que levam os agetes fiaeiros a se orgaizarem de forma oordeada, assumido de repete a mesma posição: a de veda. Os agetes fiaeiros estão ostatemete troado iformações a fim de medir o posiioameto do merado. Este modelo osidera que todos os agetes fiaeiros o mudo estão orgaizados em uma rede de iformações (de amigos, familiares, olegas de trabalho, et.) e que são iflueiados etre si, loalmete, através desta rede. Por exemplo, um agete está ostatemete ao telefoe troado iformações e opiiões om um grupo seleto de olegas. Além disso, existem iterações idiretas através de, por exemplo, a mídia. Espeifiamete, se o agete A está diretamete oetado om k outros agetes (seus vizihos mais próximos a rede), etão existem dois tipos de forças que podem iflueiar a opiião de A (ver figura 5): (a) a opiião dos k agetes vizihos, que represetam uma amostra do posiioameto do merado; (b) um sial idiossirátio represetado outras ifluêias reebidas por A, idepedetemete das deisões de seus vizihos. Sial E B F G A Resultado D Sial C Sial Sial Figura 5 Coexões etre um bloo de agetes. Os siais são os ruídos idiossirátios reebidos idepedetemete por ada agete. Cada agete evia também um sial ao seu viziho. Um dado agete (por exemplo, A) toma sua deisão baseada os siais reebidos dos seus vizihos e em sua própria iformação loal.

7 Modelo Log-periódio 22 De aordo om este modelo, a ausêia de iformação do tipo (b) sial idiossirátio, a melhor estratégia é imitar o omportameto de seus vizihos. A hipótese de que os agetes fiaeiros tedem a imitar as opiiões de seus vizihos a rede está baseada em um modelo realista de omo os agetes formam suas opiiões através de um proesso de ostate iteração. 6 A força do tipo (a) orrespode a um meaismo que tede a riar ordem de posiioameto em grupos de agetes, equato a força do tipo (b) represeta o efeito de desordem devido à heterogeeidade dos agetes e de iformações loais. Um rash oorre quado predomia a ordem (todos assumem a mesma posição de veda) equato que durate a situação ormal do merado predomia a desordem (ompradores e vededores disordam etre si, matedo um posiioameto aproximadamete equilibrado). Deve-se otar que esta araterização é exatamete o oposto do seso omum, o qual o rash é etedido omo um mometo de aos. Na verdade, desordem, ou um balaeado e variado espetro de opiiões, é o que matém a liquidez do merado durate os períodos de ormalidade. Deve-se ressaltar que esta modelagem, uma resposta oletiva forte, omo é o aso do rash, ão é eessariamete oseqüêia de um meaismo itero de oordeação global elaborado, podedo surgir a partir das miro-iterações loais imitativas que se trasmitem pelo sistema resultado em um efeito marosópio Modelagem Marosópia Baseado-se a teoria de ampo médio da Meâia Estatístia [4], a maeira mais simples de se desrever um proesso imitativo é assumido que a hazard rate h( evolui segudo a equação: dh δ, 1 dt h δ > (15) A teoria do ampo médio desreve as diversas ações dos agetes de forma agregada, represetado-as por um omportameto médio, úio, de 6 Aqui ão está sedo questioado o porquê dos agetes serem iflueiados por seus vizihos detro da rede. Este é um fato amplamete doumetado (ver Boissevai & Mithell, 1973, Network Aalysis: Studies i Huma Iteratio) e está sedo tomado omo premissa básia. Justifiativas para a tedêia de imitação podem ser eotradas a teoria de psiologia evoluioária.

8 Modelo Log-periódio 23 efetiva represetatividade do todo. h( represeta assim o resultado oletivo das ações oordeadas etre os agetes do merado, omo oseqüêia da iteração efetiva etre eles. Este oseso geral do merado, gerado edogeamete, reforça esta iteração efetiva. O termo δ h da eq.(15) modela a forma pela qual a hazard rate reserá, araterizado este proesso de retroalimetação. O expoete δ > 1 quatifia o úmero efetivo de agetes oetados iformaioalmete a rede que otribuem para a amplifiação do omportameto imitativo. Itegrado a eq. (15), obtém-se: ode α 1 = δ 1. h( h 0 α = ( ) (16) t t A partir da eq.(16), verifia-se que a odição δ > 1, oseqüetemete α > 0, é ruial para se obter um resimeto de h( à medida que t t. do ativo: A apliação da a eq.(16) a eq.(13), resulta a seguite lei para o preço ode B é uma ostate, kb p( t β β p ( t ) (ates do rash) (17) β = 1 α e p é o preço do ativo o tempo rítio t. Para o preço ão divergir em t, é eessário que β > 0, logo α < 1. Com a odição aterior α > 0, obtém-se que α (0,1) e β (0,1). Usado eq.(16), esta odição se traduz em 2 < δ < +, isto é, um agete típio deve estar oetado a pelo meos dois agetes, omo era de se esperar para a trasmissão em uma rede de iformação. De aordo om eq.(17), o preço aterior ao eveto do rash se omporta segudo uma lei de potêia, om um limite superior fiito p. No etato, o retoro esperado do preço do ativo por uidade de tempo, dado por: dp dt ( β 1 kb( t (18) om β 1 ( 1,0), se tora ilimitado ao se aproximar do tempo rítio t. Cosistetemete om a eq.(13), isto oorre para ompesar a hazard rate dada pela eq.(9) que, para α > 0, é ilimitada próximo a t.

9 Modelo Log-periódio Modelagem Mirosópia Sorette, 2002 [1] propõe uma modelagem, baseada em oeitos da Físia Estatístia, a fim de justifiar a estratégia de imitação utilizada o modelo da imitação raioal apresetado a seção 2.3. Cosidere I agetes em uma rede, ujas oexões represetam os aais de omuiação através dos quais os agetes troam iformações. Cada agete é idexado por um iteiro i = 1,...,I e N(i) represeta o úmero de agetes que estão oetados diretamete ao agete i a rede (ver fig.(5), omo exemplo de uma estrutura de iformação). Por simpliidade, defie-se que ada agete i pode assumir somete um de dois possíveis estados: s i Є {-1;+1}. Estes estados podem ser iterpretados omo omprar, s i = +1, e veder, s i = -1. O estado do agete i é determiado por: s = sig( J i s j j N ( i) ode a fução sig(x) é defiida omo: + σε ) positiva e ε i é um ruído i.i.d., ormal padrão. i (19) + 1, x > 0 sig ( x) =. K é uma ostate 1, x < 0 Neste modelo, a tedêia para imitação é goverada pelo parâmetro J, que represeta a força de imitação, isto é, o ível de ifluêia etre os agetes. Cada agete i sofre ifluêia sigifiativa de um úmero N(i) de vizihos. A tedêia a um omportameto idiossirátio (ou ruidoso) é goverada pela amplitude σ do ruído. A eq.(19) estabelee que a melhor deisão de ivestimeto de um agete i é seguir a deisão da maioria dos seus vizihos, até um erto grau de ierteza, que aptura a possibilidade de que a maioria pode estar gerado previsões iorretas para o omportameto global do merado. Será demostrado, mais detalhadamete as seções seguites que, segudo esta modelagem, h( é uma fução de J, da distribuição de ε i e da estrutura da rede. Defie-se o estado médio do sistema omo I s i i= 1 M = ( 1/ I ). Nos sistemas físios magétios, o estado s = ± 1 orrespode às duas orietações i possíveis do mometo magétio de uma partíula e M orrespode à magetização total média por partíula. No otexto de alihameto de

10 Modelo Log-periódio 25 mometos magétios loalizados, gerado uma magetização resultate, o modelo, eq.(19), é idêtio ao modelo de Isig. 7 A eq.(19) somete desreve o estado de um agete em um dado istate t o tempo. No istate seguite, t+1, ovos ε i `s são gerados, ovas ifluêias se propagam etre os vizihos e os agetes podem mudar seus estados (ações, respostas). Cosideraremos para ilustração a rede bidimesioal quadrada, ode ada agete possui quatro vizihos mais próximos: um ao Norte, um ao Sul, um a Oeste e outro a Leste. Cosiderado que é o valor de J, relativo ao de σ, que determia a ompetição etre ordem e desordem, levado evetualmete à oorrêia do rash, o parâmetro relevate a ser avaliado é imitação relativa à tedêia ao omportameto idiossirátio. J K =, que mede a tedêia à σ Em aalogia om o modelo de Isig, existe um poto ritio K, que determia a separação etre fases ou regimes do sistema. Quado K < K (ver fig. (6)), a desordem reia: a sesibilidade a uma pequea ifluêia global é baixa, o tamaho dos grupos de agetes, om o mesmo posiioameto, é pequeo e a tedêia de imitação se propaga somete etre os agetes mais próximos. Existem diversos grupos, om opiiões diferetes, reagido às iformações exteras de forma ioerete e desta forma matedo um equilíbrio etre o úmero de agetes distribuídos etre os estados do sistema (etre as posições de ompra ou de veda). 7 O modelo de Isig bi-dimesioal foi desevolvido expliitamete por Osager (1944), ode o parâmetro de desordem é represetado pela temperatura do sistema.

11 Modelo Log-periódio 26 Figura 6 K < K : ofiguração das ordes de ompra (élulas braas) e das ordes de veda (élulas pretas) em uma rede plaar bi-dimesioal de 256 X 256 agetes iteragido om seus quatro vizihos mais próximos. Existe aproximadamete o mesmo úmero de élulas braas e pretas, isto é, ão existe um oseso o merado. (Fote: Sorette, 2002, Why Stok Markets Crash?). Por outro lado, quado a força de imitação K rese, se aproximado de K (ver fig. (7)), hega-se ao limiar do apareimeto da ordem. Obtém-se uma hierarquia de grupos de agetes, formados espotaeamete, atuado oletivamete, e em partiular formam-se algus grupos grades de agetes om o mesmo posiioameto. O sistema tora-se assim extremamete sesível a pequeas perturbações globais devido à tedêia de imitação poder se propagar por amihos logos a rede. Nas Ciêias Naturais, estas são as araterístias do hamado feômeo rítio. Figura 7 A mesma desrição da fig.6, porém para K próximo a K. Aida existe aproximadamete o mesmo úmero de élulas braas e pretas. No etato, o tamaho

12 Modelo Log-periódio 27 do maior grupo de agetes iteroetados reseu a poto de se torar omparável om tamaho total do sistema, Além disso, agrupametos de todos os tamahos podem ser observados. (Fote: Sorette, 2002, Why Stok Markets Crash?). Fialmete, para uma força de imitação aida maior, K > K, a tedêia de imitação é tão itesa que existe um forte predomíio de um tipo de posiioameto dos agetes (ver fig. (8)). Figura 8 A mesma desrição da fig.6, porém para K > K. O omportameto de imitação é tão forte que a rede de agetes espotaeamete iterrompe a simetria etre as duas deisões (ompra e veda) e uma delas predomia. Aqui, omo exemplo, demostra-se o aso ode o estado de ompra foi seleioado. (Fote: Sorette, 2002, Why Stok Markets Crash?). As gradezas físias que represetam o grau de sesibilidade de um sistema a uma perturbação extera são hamadas de fuções-respostas, sedo uma delas a suseptibilidade do sistema. Esta gradeza desreve a possibilidade de um grade grupo de agetes assumir o mesmo estado, ou seja, foreer as mesmas respostas, osiderado as ifluêias exteras existetes a rede. Para defiir formalmete a suseptibilidade, assume-se a existêia de um termo G, de ifluêia global, adiioado a eq. (19): si = sig( J s j + σε i + G) (20) j N ( i) Este termo de ifluêia global tederá a favoreer o estado +1 (estado - 1) se G>0 (se G<0). No aso dos sistemas físios magétios, o ampo G é represetado por um ampo magétio extero uiforme apliado ao sistema. No aso do sistema fiaeiro, este termo orrespode a uma mesma iformação ompartilhada por todo o merado.

13 Modelo Log-periódio 28 Na ausêia de ifluêia global, a partir da eq.(19) é fáil demostrar que, por simetria, E[M] = 0: os agetes estão equilibradamete distribuídos etre os dois estados. Na preseça de uma ifluêia global positiva (egativa), a partir da eq.(20), agetes o estado positivo (egativo) sobressairão aos demais, ou seja, E [ M ] G 0. Segudo esta otação, a suseptibilidade do sistema é defiida omo: d( E[ M ]) χ = (21) dg G= 0 A suseptibilidade mede a variação, ou a sesibilidade, do estado médio do sistema para a uma pequea mudaça de iformação ou ifluêia global. Outra iterpretação relaioada a esta gradeza é a medida do grau de orrelação do sistema, isto é, o grau de iterifluêia dos agetes. Por exemplo, osiderado dois agetes e forçado o primeiro a assumir um erto estado, o impato desta iterveção o segudo será em média proporioal a χ. Assim, quato maior for o grau de orrelação das respostas dos agetes, maior será a resposta global do sistema frete a perturbações, pois a iformação se propagará por fração maior do sistema. De aordo om as ilustrações as figuras 6 e 7, a suseptibilidade rese à medida que K K. A suseptibilidade magétia os sistemas físios foree a taxa de magetização iduzida o sistema devido a pequeos ampos exteros. No poto rítio de trasição de fase paramagétia-ferromagétia, a suseptibilidade diverge, sigifiado que o sistema se ordea marosopiamete ( M 0 ) quado sujeito a qualquer perturbação extera, ou seja, o sistema produz resposta oletiva grade devido ao alto grau de orrelação etre os mometos magétios do sistema. No aso do sistema fiaeiro, a suseptibilidade foree uma medida da habilidade do sistema de agetes a assumir uma mesma posição devido a pequeas perturbações exteras. De aordo om a eq.(21), portato, o termo G de ifluêia global, que represeta as ausas exógeas, atua somete omo o gatilho para a desestabilização do sistema.

14 Modelo Log-periódio Comportameto Crítio A priipal araterístia das gradezas de um sistema que se eotram próximas a um estado rítio é a lei de potêia que as desrevem. Quado K ~ K (fig. (7)), a suseptibilidade χ do sistema diverge segudo a seguite lei de potêia (ver fig(9)): χ ) γ A( K C K, om K K (22) ode A é uma ostate positiva e γ > 0 é o expoete ritio da suseptibilidade (igual a 7/4 para o modelo de Isig 2-d). O parâmetro rítio K depede das propriedades do sistema, em partiular do grau de oetividade da rede. Figura 9 - Comportameto em lei de potêia da suseptibilidade χ em fução da força de imitação relativa K. Com K tededo a K, χ diverge. Uma suseptibilidade grade idia um sistema istável, isto é, uma pequea perturbação extera pode deseadear uma reação oletiva etre os agetes, os quais podem drastiamete revisar sua deisão, podedo desequilibrar abruptamete a relação de oferta/demada (s i = -1/s i = +1), e levado evetualmete ao rash. A hazard rate, oforme itroduzido o modelo (ver eq.(9) ou eq.(13)), govera a taxa de resimeto dos preços om o tempo, que se tora arbitrariamete alta o tempo rítio, aalogamete à suseptibilidade magétia. Além disso, é exatamete a asesão de uma siroização global, a partir de imitações loais, que pode ulmiar o eveto do rash. Desta forma, propõe-se que a hazard rate deve seguir um omportameto similar ao da suseptibilidade dos sistemas físios.

15 Modelo Log-periódio 30 O sistema fiaeiro está ostatemete se modifiado e se reestruturado. A fim de traduzir os resultados obtidos até aqui para uma fução real o tempo assume-se que o parâmetro K de imitação relativa do merado fiaeiro evolui letamete o tempo. Assim, tomado K( omo uma fução o tempo, obtém-se a expasão de Taylor de 1ª ordem em toro do poto rítio (ver fig.(10) omo exemplo). 8 O tempo rítio t é defiido omo o primeiro poto o qual K(t ) = K. Em um istate imediatamete aterior a t, aplia-se a aproximação liear: K K( t ) + A( t t ), (23) ( C Daí se obtém, K C K( A( t t ) (24) Figura 10 Uma típia evolução da força de imitação relativa K( omo fução do tempo t: leta e suave. Ao redor de t, K( é aproximadamete liear. Em aalogia om os feômeos rítios, este modelo assume-se que o sistema de agetes está submetido a uma trasição de estado oletivo quado a força de imitação relativa K atige um valor rítio, ou seja, a sesibilidade da reação do merado em resposta às iformações e ifluêias exteras rese de forma aelerada ao se aproximar desta trasição. Cosiderado este meaismo, propõe-se que a rash hazard rate se omporte de forma similar à suseptibilidade a vizihaça do poto rítio (ver 8 Não é eessário que a evolução temporal de K seja determiístia, podedo ser estoástia, otato que evolua de forma sufiietemete leta o tempo, de tal maeira que seja possível apliar em K( a aproximação liear de 1ª ordem em toro de t.

16 Modelo Log-periódio 31 fig. (11)). Utilizado a eq.(22) e a eq.(24), obtém-se a seguite expressão para h(: α h( D( t t ) (25) ode D é uma ostate positiva e o expoete α (0,1), omo modelado a seção Figura 11 Crash hazard rate : lei de potêia o tempo, divergete quado t t. Apliado a eq.(25) a eq.(13), resulta a seguite lei para o preço do ativo: kd p( t β β p ( t ) ates do rash (26) ode β = 1 α (0,1) e p é o preço em t. Este resultado também foi obtido ateriormete a seção e mostra que a modelagem marosópia pode ser ostruída a partir das justifiativas que ompõem o modelo mirosópio, ou seja, a oordeação em um ível global pode surgir a partir das miro-iterações imitativas etre os agetes do merado Resumo das Modelages Em resumo, a modelagem do sistema fiaeiro, através da teoria de Sorette, assume-se que (ver seções 2.2 e 2.3.2): Um rash pode ser ausado pela imitação loal retro-alimetada etre os agetes. Este proesso de retro-alimetação imitativa é resposável por provoar o surgimeto da bolha espeulativa.

17 Modelo Log-periódio 32 Se a tedêia de imitação etre os agetes aumetar até um determiado valor, hamado de valor rítio, muitos agetes podem assumir, ao mesmo tempo, a mesma posição (de veda), ulmiado o rash. A ompetição etre a progressiva força de imitação e o ruído oipresete requer uma desrição estoástia: um rash ão é um eveto erto, mas é araterizado pela sua hazard rate h(. Como o fim da bolha espeulativa ão é um eveto determiístio, os agetes fiaeiros osideram que é raioal otiuar ivestido o merado, já que existe uma probabilidade pequea da bolha se esvaeer suavemete, sem a oorrêia do rash. A taxa de retoro do merado é proporioal a rash hazard rate h(. Quato maior o riso de oorrêia de um rash, maior o retoro sobre o preço do ativo, ou seja, os ivestidores devem ser reompesados om uma taxa de retoro (ou taxa de resimeto da bolha) maior por assumirem o riso de mater um ativo que pode quebrar. Na modelagem marosópia do sistema fiaeiro (ver seção 2.3.1): h( represeta o resultado oletivo da troa de iformações etre os agetes. O efeito de retro-alimetação do sistema, que implia o resimeto de h( om o tempo, depede do úmero efetivo de agetes oetados iformaioalmete a rede. Por outro lado, a modelagem mirosópia do sistema fiaeiro, assume-se que (ver seções e 2.4): A tedêia de imitação etre os agetes é parametrizada por uma força de imitação relativa K. Existe um valor rítio K o qual o sistema pode exibir um omportameto ooperativo. K depede das propriedades do sistema, em partiular do grau de oetividade da rede. Quado K ~ K : grupos de ivestidores de diversos tamahos ompartilham a mesma opiião e podem agir de maeira oordeada. A estrutura dos tamahos dos grupos tora-se auto-similar, om uma hierarquia otíua represetada pelo meor grupo (um ivestidor idividualmete) até o maior (da ordem do tamaho do sistema).

18 Modelo Log-periódio 33 Quado K ~ K : Existe um grupo, ujo úmero de ivestidores oetados é grade o sufiiete para desestabilizar o merado. Quado assumem oletivamete a posição de veda o resultado é o rash. No sistema fiaeiro, o valor araterístio K evolui suavemete o tempo: K K( A( t t ). C A suseptibilidade χ é a gradeza que mede o grau de orrelação do sistema ou o quato o sistema está iteroetado iformaioalmete. A suseptibilidade é utilizada omo uma medida da habilidade do grupo de ivestidores assumir uma mesma posição, dada uma iformação perturbativa (eq.(21)). Em aalogia om a suseptibilidade dos sistemas magétios, a rash hazard rate quatifia a probabilidade de um grade grupo de ivestidores assumir simultaeamete a mesma posição de veda, desequilibrado abruptamete a relação de ofertaxdemada, a qual o merado ão osegue ateder sem reduzir os preços substaialmete. (ver seção 2.3) Em resumo, as modelages marosópia e mirosópia do sistema fiaeiro, o riso, por uidade de tempo, de oorrer um rash, dado que o mesmo aida ão oorreu, rese abruptamete para t ~ t em forma de lei de potêia. Neste regime, as iterações etre os ivestidores toram-se sufiietemete fortes de forma a gerar grupos de agetes de todos os tamahos, atuado oletivamete, em uma rede oetada e orgaizada Estrutura Hierárquia Uma araterístia importate do modelo desrito pela eq.(19) é a oetividade da rede de agetes devido ao termo otedo o somatório pelos N(i) vizihos de ada agete. Esta estrutura subjaete determia os amihos possíveis de trasmissão de iformação através do sistema e oseqüetemete, a resposta global do sistema, medida através da suseptibilidade. O merado fiaeiro é ostituído por um ojuto de ivestidores iteragetes, que diferem substaialmete em tamaho, ido desde os ivestidores idividuais até os grades fudos de pesão. Além disso, existem estruturas em íveis superiores, omo exemplo a esfera de ifluêia das

19 Modelo Log-periódio 34 moedas (US$, EURO, YEN, et...), que om a globalização e a desregulametação do merado, atigem uma esala de ifluêia a ível mudial. Além disso, todos os ivestidores o mudo estão orgaizados detro de uma rede (de família, amigos, trabalho...), iflueiado us aos outros loalmete detro desta rede. O modelo de Isig bi-dimesioal osidera que os ivestidores estão iteroetados de maeira uiforme. No etato, o merado real, algus agetes podem estar mais oetados do que outros. Todas estas observações aima idiam que a represetação do merado fiaeiro através da rede bi-dimesioal é exessivamete simplifiada. Uma represetação mais adequada para a estrutura do merado fiaeiro é aquela dos sistemas hierárquios, om agetes em todos os íveis do merado, om grupos de ivestidores mais oetados do que outros. Apesar da grade variedade de estruturas topológias hierárquias, a aálise qualitativa da existêia de um poto de trasição etre a fase ordeada e desordeada, oforme apresetada a subseção 2.3.2, é a mesma Modelo de Estrutura Hierárquia do Diamate Johase et al. [2] osideram uma estrutura de rede, deomiada estrutura hierárquia do diamate, e em seguida, desevolvem o modelo da imitação raioal segudo esta estrutura. Esta rede hierárquia pode ser um modelo mais realista, para a ompliada rede de omuiação etre os agetes fiaeiros, do que a rede bidimesioal de Isig. A ostrução desta rede está represetada a fig. (12) - este modelo os ós represetam os agetes e as arestas as oexões etre eles: Passo 0: Iiia om uma aresta e 2 agetes, um em ada extremo. Passo 1: Substitui esta aresta por 4 ovas, formado um diamate, ode os 2 agetes origiais oupam os vérties diametralmete opostos, e ode os dois outros vérties são oupados por 2 ovos agetes. Passo 2: Para ada uma destas 4 arestas, substitua-as por 4 ovas, formado um diamate da mesma forma omo o passo 1. Repetido esta operação um úmero arbitrário de vezes, obtém-se a rede hierárquia do diamate.

20 Modelo Log-periódio p = Figura 12 Os quatro primeiros passos da ostrução reursiva da rede hierárquia do diamate. Observe que, para p = 3, somete a amada esquerda do diamate foi ilustrada. A amada da direita possui igual estrutura. No fial de 3 iterações, por exemplo, tora-se evidete que os agetes o ível iiial possuem um úmero de oexões maior do que os agetes em íveis posteriores. 2 p Além disso, após p iterações, existem N = (2 + 4 ) agetes e L = 3 p 4 arestas etre eles. A maior parte dos agetes (agetes gerados a última iteração de reorrêia) terá somete dois vizihos, algus pouos (os agetes

21 Modelo Log-periódio 36 iiiais) terão etre estes dois extremos. p 2 vizihos, os demais terão um úmero de vizihos itermediário Cosidere, agora, que esta rede hierárquia os agetes estão iteragido om seus vizihos mais próximos segudo um proesso imitativo de aordo om a eq. (19). Uma versão deste modelo foi soluioada por Derrida et. al. (1983). As propriedades básias, para esta estrutura de rede, são similares às desritas o modelo da imitação raioal usado a rede bi-dimesioal, o plao Eulideao. Assim, existe um poto rítio K, tal que, quado K < K a suseptibilidade é fiita e quado K rese, atigido K, a suseptibilidade diverge. A úia difereça, porém ruial, é que o expoete rítio γ da suseptibilidade (eq.(22)) pode ser um úmero omplexo. Desta forma, a solução geral para a suseptibilidade é o somatório de termos similares aos da eq.(22), mas om expoetes omplexos. Já ateipado o resultado que será demostrado adiate em detalhes, a expasão de primeira ordem da solução geral é dada por: γ γ + iw ( K K ) + A ( K K )...] χ Re[ A ode A 0, A' 1, w são úmeros reais e Re[.] represeta a parte real do úmero omplexo. χ também pode ser represetada por: γ ' γ ( K K ) + A ( K K ) os[ wl( K K) + Ψ]... χ A (27) ' 0 '1 + ' ' ode A 0, A'1, w e Ψ são úmeros reais. Perebe-se que a lei de potêia, agora, é orrigida por osilações hamadas de log-periódias, pois são periódias o logaritmo da variável (K K), sedo w a sua log-freqüêia. 2π Fazedo-se a mesma aalogia desevolvida a seção 2.4, olui-se que a hazard rate de um rash, osiderado um modelo de rede hierárquia para o merado fiaeiro, possui o seguite omportameto: h( B ( t + B ( t os[ wl( t + α α ' 0 1 Ψ ] (28) Da mesma forma que em (25), h( tem omportameto sigular quado se aproxima do tempo ritio, porém, agora, apresetado osilações logperiódias (ver fig (13)).

22 Modelo Log-periódio 37 Figura 13 Crash hazard rate para a rede hierárquia do diamate: lei de potêia superposta por osilações log-periódias, divergido quado K tede a K. Este omportameto da hazard rate idia que o riso de um rash, por uidade de tempo, sabedo-se que ele aida ão oorreu, aumeta drastiamete quado as iterações etre os ivestidores se toram sufiietemete fortes. No etato, esta aeleração é iterrompida e superposta por uma seqüêia aelerada de fases as quais o riso derese, represetada pelos vales das osilações log-periódias Ivariâia Disreta de Esala Origem da Log-periodiidade em Sistemas Hierárquios Demostrou-se que o modelo da imitação raioal a rash hazard rate é desrita por uma lei de potêia a vizihaça de um determiado tempo rítio, om expoete rítio real (rede bi-dimesioal) ou expoete rítio omplexo (rede hierárquia), ode a lei de potêia está superposta por um omportameto osilatório aelerado. O fator omum etre estes modelos é que a probabilidade de oorrêia de um rash é maior à medida que o sistema, em proesso imitativo, tede a um poto rítio. Coforme ilustrado a seção para o modelo de Isig, a Físia, a existêia de potos rítios é osiderada omo uma das priipais araterístias dos sistemas marosópios. Um sistema tede a um poto rítio quado ifluêias loais se propagam através de logas distâias e o

23 Modelo Log-periódio 38 estado médio do sistema tora-se altamete sesível a pequeas perturbações, ou seja, partes diferetes do sistema eotram-se fortemete orrelaioadas. Uma propriedade importate dos sistemas físios em estado rítio é a auto-similaridade por trasformação de esala. A auto-similaridade se refere à propriedade de uma figura geométria ou uma gradeza se mater ivariate, ou seja, oservar suas araterístias, após uma trasformação de dilatação do sistema (ver fig. (14)). Figura 14 Modelo de Allègre: dilatação de um ubo, iiialmete formado pela uião de oito barras om parafusos em ada ato do ubo. No próximo ível, oito barras maiores formam um ubo maior e os oito ubos meores, do ível aterior, são utilizados omo jução para uir as barras. Este proesso é repetido reursivamete até esalas maiores. Como visto ateriormete, a seção 2.3.2, o modelo de imitação raioal, quado K ~ K, grupos de ivestidores de variados tamahos ompartilham a mesma opiião e podem agir de maeira oordeada. A geometria dos grupos tora-se auto-similar, om uma hierarquia represetada pelo meor grupo (um ivestidor idividualmete) até o maior (da ordem do tamaho do sistema). A auto-similaridade por esala de um sistema em estado rítio sigifia que as imitações loais asateiam através de todas as esalas do sistema até a esala global. Devido à propriedade de ivariâia por esala, o omportameto de um sistema próximo ao poto rítio deve ser represetado por uma lei de potêia (om expoete rítio real ou omplexo), por ser esta a úia família de fuções

24 Modelo Log-periódio 39 que são homogêeas, ou seja, que ão se modifiam após re-esaloameto [5]. que Cosidere uma fução f(x) e uma mudaça de esala em x pelo fator λ, tal x x' = λx. A ivariâia por esala e o omportameto rítio estão itimamete assoiados à seguite equação: f ( x) = µ f ( λx) (29) ode f(x) represeta a gradeza de iteresse (este aso a suseptibilidade), x é a variável ou o parâmetro do sistema e µ é uma ostate positiva que desreve omo esta gradeza é amplifiada quado o sistema é re-esaloado por um fator λ. A solução da eq. (29) é dada por uma lei de potêia: Cosidere: Obtém-se que: f = α ( x) Cx (30) f = Esta igualdade é válida para α α ( λx) Cλ x (31) α f ( λ x) = λ f ( x) (32) λ, idepedetemete do valor de x, ou seja, a forma fuioal f(x) em lei de potêia é ivariate por mudaça de esala de x, sedo apeas modifiada por um fator ostate. Comparado-se 1 α as eqs.(29) e (32), verifia-se que µ = λ. Potos rítios assoiados à trasição de fase em sistemas físios exibem ivariâia de esala otíua, ou seja, f(x) é ivariate por mudaça de esala para todo fator λ. Por outro lado, em sistemas hierárquios, omo a rede do diamate apresetada a sub-seção aterior, a ivariâia por esala ão é obedeida para qualquer fator λ. Um sistema hierárquio é etão desrito por uma ivariâia de esala disreta, osiderado um re-esaloameto em x, tal que x x' = λ x, om λ = λ0, ou seja, om um fator λ disreto, sedo λ 0 espeífio de ada sistema (o aso da rede do diamate, o fator λ 0 = 4). Uma importate oseqüêia da ivariâia de esala disreta é que o expoete rítio pode ser um úmero omplexo, omo será mostrado a seguir. Cosiderado omo aso (1) a ivariâia de esala otíua e omo aso (2) a ivariâia de esala disreta, a eq.(29) para a trasformação de esala x x' = λ x gera as seguites soluções:

25 Modelo Log-periódio 40 Caso (1): Cosiderado f = α ( x) Cx, substituido-se em (32), obtém-se: α α α Cx = µ Cλ x, logo λ α µ = 1, ou seja l µ α = (33) l λ ode α é o expoete rítio da gradeza represetada por f(x). Caso (2): Cosiderado o expoete rítio omo um úmero omplexo e seguido o mesmo raioíio que o aso (1), a expressão λ α µ = 1pode ser reesrita omo λ α µ = exp( 2πi), ou seja l µ 2π i α = + = 0, ± 1, ± 2K (34) l λ l λ ode α é o expoete rítio. Cosiderado a expressão para a rash hazard rate omo: h t B t t α ( ) ( ), obtém-se para: l µ Caso (1): α real, dado porα =, logo: l λ l µ l λ h( B( t (35) Caso (2): α omplexo, dado por α h( Usado-se que: l µ 2πi =, logo: l λ l λ + l µ 2πi α l λ l λ B( t = B ( t ( t (36) ( t 2πi l λ = e 2πi l( t l λ t ). (37) + = A solução geral do aso (2) é dada por: ( t α = ( t l µ + l λ = e 2π l( t t ) i l λ que equivale a uma expasão em série de Fourier omplexa. Cosiderado somete as soluções reais em (38), a expressão geral para h( é dada por: (38) α0 ( ) ( ) [1 + + h t B t t os( w l( t + Ψ)] = 1 (39)

26 Modelo Log-periódio 41 2π ode w = e α 0 l λ l µ =. l λ Comparado-se as equações (28) e (39), olui-se que a eq.(28) proposta para h( é, a verdade, ostituída pelos termos de ordem 0 e de ordem 1 da solução mais geral dada pela eq.(39) Propriedades do Modelo Log-periódio de Preços O modelo para o omportameto do preço do ativo fiaeiro, aterior a oorrêia do rash, leva em osideração os seguites potos (os quais foram todos detalhados as seções ateriores): 1- o massivo e imprevisível posiioameto de veda etre os ivestidores durate um rash fiaeiro é o resultado de um omportameto imitativo o ível de miro-iterações loais, que se propagam através das esalas do sistema até a ooperação global, quado o sistema se aproxima do seu poto rítio; 2- os rashes fiaeiros são modelados omo uma trasição de fase em um sistema hierárquio araterizado por uma ivariâia de esala disreta; 3- o rash é um eveto estoástio om hazard rate h( tedo valor máximo em data t. De aordo om a diâmia de preços desrita pelas equações (10) (13), para a hazard rate desrita pela eq.(28), a evolução do preço do ativo fiaeiro, aterior à oorrêia do rash é dada por: β p( = A + B( t {1 + C os[ w l( t + φ]} (40) ode p( represeta o ídie de preço de um ativo; t o tempo rítio; w é a freqüêia log-periódia; φ a fase; A, B e C são ostates de ajuste. A freqüêia w é dada por 2π w = (ver eq.(39)), o que resulta em: l λ 2π w λ = e (41) ode λ é o fator de ivariâia por esala araterístio da rede hierárquia do merado, orrespodete ao fator de amplifiação etre íveis hierárquios oseutivos.

27 Modelo Log-periódio 42 A existêia de diferetes valores para λ implia a existêia de merados om estruturas hierárquias diferetes. Sorette, 2001 [6], eotrou em suas aálises diferetes valores de λ para diversos merados: λ = 2.5 ± 0.3 para grades merados, λ = 2.8 ± 1.1 para merados emergetes. Nota-se que a barra de erro para os merados emergetes é maior do que para os grades merados. Sorette, 2001 [6], espeula que esta difereça oorre pelo fato dos merados emergetes represetarem merados meores, ode o úmero de iterações reursivas a desrição da rede hierárquia é pequeo, ão se oseguido obter om preisão araterístias de logo alae. A este fato se deomia efeito de tamaho fiito. A assoiação do omportameto log-periódio às bolhas pré-rash foree uma ferrameta para sua araterização e deteção. Observado o gráfio da fig.(15), que represeta a eq.(40), eotram-se valores de tempo t orrespodetes aos máximos loais suessivos da urva de p(. Por outro lado, a orreção log-periódia implia a existêia de uma hierarquia de itervalos de tempo araterístios t + 1 t t t t t. Pode-se mostrar que = λ, ou seja, os máximos loais da fução p( distam de t por itervalos de tempo que tedem a zero seguido uma progressão geométria, tal que, a razão dos itervalos de tempo oseutivos é uma ostate igual ao fator araterístio do merado λ (ver Apêdie B). Portato, os itervalos de tempo merado. t t ão são uiversais, mas depedem espeifiamete de ada

28 Modelo Log-periódio 43 p( t -t +1 t -t t t +1 t t Figura 15 A razão das distâias, etre dois máximos oseutivos e t, segue uma progressão geométria uja razão é igual ao fator λ araterístio do merado. Este resultado é muito útil do poto de vista empírio, pois as osilações são de fáil deteção. As osilações log-periódias também podem ser iterpretadas omo padrões preursores para iferir a data mais provável do rash, t, que seria o poto de aumulação dessas osilações. Assim, este modelo, o merado ateipa o rash, revelado araterístias preursoras observáveis a série de preços, ou seja, os preços otêm iformações sobre o rash imiete. Uma das araterístias de toda modelagem é poder iferir omportametos. Embora a modelagem de Sorette teha omo objetivo priipal uma desrição quatitativa da fase pré-rash, ela possui poder preditivo om relação à data mais provável de oorrêia do rash.