UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO FACULDADE DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE RIBEIRÃO PRETO DEPARTAMENTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA JOSÉ RAFAEL PEREIRA

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO FACULDADE DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LERAS DE RIBEIRÃO PREO DEPARAMENO DE FÍSICA E MAEMÁICA JOSÉ RAFAEL PEREIRA INERAÇÃO DE ESRAÉGIAS EM UM MERCADO DE OPÇÕES EUROPÉIAS: UMA ABORDAGEM DE JOGOS EVOLUCIONÁRIOS Monografa apresentada à Faculdade de Flosofa, Cêncas e Letras de Rberão Preto Campus de Rberão Preto da Unversdade de São Paulo, como parte dos requstos para a obtenção do grau de bacharel em Matemátca Aplcada a Negócos. Orentador: Prof. Dr. Jaylson Jar da Slvera RIBEIRÃO PREO 2007

2 1 JOSÉ RAFAEL PEREIRA INERAÇÃO DE ESRAÉGIAS EM UM MERCADO DE OPÇÕES EUROPÉIAS: UMA ABORDAGEM DE JOGOS EVOLUCIONÁRIOS Monografa apresentada à Faculdade de Flosofa, Cêncas e Letras de Rberão Preto Campus de Rberão Preto da Unversdade de São Paulo, como parte dos requstos para a obtenção do grau de bacharel em Matemátca Aplcada a Negócos. Orentador: Prof. Dr. Jaylson Jar da Slvera RIBEIRÃO PREO 2007

3 Dedco este trabalho ao meu pa e mnha mãe. 2

4 3 AGRADECIMENOS Agradeço a Deus, ao meu rmão Jesus Crsto, por toda a provdênca na mnha vda. Ao meu pa Osvaldo Furtado Perera e mnha mãe Marlene Aparecda ozett Perera, por toda a ajuda. Ao meu orentador Prof. Dr. Jaylson Jar da Slvera, pela força para que este trabalho acontecesse. E a todas as pessoas que de uma forma ou de outra me apoaram. A todos a mnha eterna gratdão.

5 4 Prossgamos oda a va prossgamos! Seja de que manera for! Saamos a campo para a luta, lutemos, então! Não vmos já como a crença removeu montanhas? Não basta então termos descoberto que alguma cosa está sendo ocultada? Essa cortna que nos oculta sto e aqulo, é precso arrancá-la! Bertold Brecht

6 5 RESUMO A escolha de estratégas no mercado de opções européas tem papel fundamental. Independente do perfl do nvestdor, ou seja, mesmo sendo hedger, especulador ou arbtrador, é necessáro a construção de uma estratéga que seja condzente com o seu perfl. Para quem esteja nteressado apenas na redução do rsco, como os hedgers, ou com a ntenção de consegur retornos por meo das osclações nos preços dos atvos, como os especuladores ou mesmo para aqueles que se aprovetam dos desajustes nos preços dos atvos, os arbtradores, sempre haverá uma estratéga dsponível. Como o mercado de opções é um mercado que se realza no futuro, ele é muto ncerto. Desta forma, pode haver mutos desequlíbros, ou seja, mutos desajustes nas escolhas estratégcas. A partr dsso, a teora dos jogos evoluconáros, por tratar de stuações de ncerteza e de nteração estratégca na qual os agentes são desprovdos de plena raconaldade, ela pode ser útl na determnação desses possíves equlíbros. Será sso que será desenvolvdo neste trabalho, a busca dos equlíbros de estratégas no mercado de opções. Para sso será utlzada na modelagem uma população composta por ndvíduos que usam estratégas, e straddles. Estratégas essas utlzadas por hedgers, arbtradores e prncpalmente especuladores. Palavras-chaves: Mercado fnancero. eora dos jogos evoluconáros. Equlíbro de Nash. Equlíbro evoluconaramente estável.

7 6 LISA DE FIGURAS Fgura Gráfco dos payoffs das posções em opções 17 Fgura Gráfcos dos efetos do preço da ação, preço de exercíco e data de expração sobre os preços das opções 22 Fgura Gráfcos dos efetos da volatldade, da taxa de juro lvre de rsco e dos dvdendos sobre o preço das opções 24 Fgura Payoff da estratéga straddle modfcada 31 Fgura Gráfco da estratéga modfcada 32 Fgura Gráfco da estratéga modfcada 34 Fgura Matrz com os payoffs do jogo da galnha 36 Fgura Payoffs em função da proporção de durões 39 Fgura Projeção do smplex untáro 46 Fgura Gráfco de φ em função de d 50 Fgura Dferencal de demanda de equlíbro com X > S 53 Fgura Posção do contnuum de equlíbros de estratéga msta com Fgura Dagrama de fase do sstema (3.3.1) com Fgura Dferencal de demanda de equlíbro quando X > S 53 X > S 55 Fgura Posção do contnuum de equlíbros de estratéga msta com Fgura Dagrama de fase do sstema (3.3.1), quando Fgura Posção do contnuum de equlíbros de estratéga msta com Fgura Dagrama de fase do sstema (3.3.1), quando X < S 57 X < S 58 X < S 60 X = S 61 X = S 62

8 7 SUMÁRIO Introdução 8 CAP. 1 Opções Mercados Futuros Investmento em opções Classfcação e posções em opções Payoff em opções pos de lançamentos de opções Preço das opções Lmtes máxmos e mínmos para os preços das opções Relação de pardade entre put e call Estratégas no mercado de opções 29 CAP. 2 Elementos da teora dos jogos evoluconáros Estratéga evoluconaramente estável Dnâmca de replcação em tempo dscreto Dnâmca de replcação em tempo contínuo 42 CAP. 3 Modelagem a partr da teora dos jogos evoluconáros para opções Interação estratégca em um mercado de opção européa como uma dnâmca de replcação em tempo contínuo Demandas por puts e calls Análse da dnâmca evoluconára com preços endógenos 50 Conclusão 64 Referêncas Bblográfcas 65

9 8 Introdução Na área de matemátca aplcada exste um ramo que estuda a tomada de decsões em stuações de nteração estratégca. Esse ramo é a teora dos jogos, que se transformou em uma ferramenta mportante para a compreensão do comportamento econômco. Dversos autores tveram partcpação na formulação e desenvolvmento da teora dos jogos. Um dos poneros na elaboração de elementos mportantes do método que sera formalzado e aplcado mas tarde na solução de um jogo fo o matemátco francês Antone Augustn Cournot ( ), que publcou em 1836 seu lvro Recherches sur les Prncpes Mathématques de la héore des Rchesses. Nesse lvro, Cournot apresenta um modelo de duopólo, em que é analsada uma stuação na qual duas empresas produzem um bem homogêneo e precsam decdr que quantdade cada uma rá produzr, sabendo que a quantdade que a outra produzr afetará seus lucros. O método empregado por Cournot para a solução do seu modelo de duopólo é consderado por alguns não apenas um precursor da análse de equlíbro em jogos nãocooperatvos (sto é, stuações de nteração estratégca em que não há possbldade de os agentes estabelecerem acordos acerca do seu comportamento durante a nteração antes de ela ocorrer), mas verdaderamente uma aplcação do mesmo método de Nash. John F. Nash Jr. (1928 -), matemátco estadundense, defnu, em um artgo de 1951 ( Non-Cooperatve Games, Annals of Mathematcs 54, ) uma noção de equlíbro para modelos de jogos que não se restrnga apenas aos jogos de soma zero (jogos em que o ganho de um jogador representa necessaramente uma perda para o outro). Esse tpo de solução, conhecda como equlíbro de Nash, se consttu como um conjunto de estratégas, no qual cada jogador escolhe uma estratéga que otmza seu payoff em função das estratégas dos seus concorrentes e nenhum jogador tem ncentvo a desvar da sua escolha. Em 1970, a teora dos jogos passou a ser aplcada ao estudo do comportamento anmal, nclundo evolução das espéces por seleção natural. Foram necessáras novas defnções e adaptações da teora. Em 1973 fo publcado na revsta Nature o trabalho he Logc of Anmal Conflcts, de J. Maynard Smth e G. Prce, dando níco à teora dos jogos evoluconáros na Bologa (HAMMERSEIN; SELEN, 1994).

10 9 A teora dos jogos evoluconáros passou, posterormente, a ser aplcada também em ambentes socas de raconaldade lmtada, nos quas os agentes são adaptatvos, encontrando-se em um contínuo processo de aprendzagem por tentatva e erro. Ambentes econômcos caracterzados por ncerteza que não apresentam padrões unformes e prevsíves, nos quas agentes de raconaldade lmtada nteragem recorrentemente são o cenáro típco da teora dos jogos evoluconáros. Um tpo de ambente econômcos no qual há ncerteza e grande dfculdade de prevsão perfeta são os mercados de opções. As opções são nstrumentos fnanceros que se orgnam de atvos, como ações, índces de ações, moedas e contratos futuros. Há dos tpos de opções, as opções de compra (call) que fornece ao seu detentor o dreto (sem a obrgação) de comprar em uma data futura o atvo ao qual a opção se refere por um preço frmado no momento da compra da opção, e as opções de venda (put) que dá ao seu ttular o dreto (sem a obrgação) de vender um atvo ao qual a opção se refere em uma data futura por um preço já acordado no momento da compra da opção. Em relação às datas em que podem ser exercdas as opções, exstem dos modos de atuação. Quando o detentor adqure o dreto de vender ou comprar em qualquer tempo a partr do momento em que se obtém a opção de venda ou de compra respectvamente até a expração, nesse caso dz-se que a opção é amercana. Se caso for apenas possível o exercíco da opção na data acordada de vencmento a opção é dta européa. As operações com call e put começaram nos Estados Undos e na Europa no século XVIII. Na década de 1970, elas se transformaram em um dos mas relevantes atvos, quando nesse mesmo período craram a Chcago Board Optons Exchange. Essa bolsa fo a ponera na negocação de opções (HULL, 2005, p. 7-8). Em 1986, no Brasl, ocorreu o surgmento da Bolsa de Mercadoras e Futuros (BM&F), lugar onde ocorrem as transações de város tpos de nstrumentos futuros no Brasl. Suas prncpas funções são controlar as negocações, permtr a lvre formação de preços de seus atvos, fornecer garantas às operações realzadas e oferece sstemas de custóda e lqudação para os seus negócos. As opções são utlzadas no mercado como ferramenta de gerencamento de rsco, um nstrumento de proteção. Devdo às ncertezas nerentes ao mercado, o nvestdor tem a possbldade de lmtar o rsco de seus atvos. Ela possblta aos seus partcpantes a adoção de estratégas baseadas nas suas percepções sobre o cenáro econômco futuro e de

11 10 seu perfl em relação a sua tolerânca ao rsco. Dessa forma percebe-se que as decsões tomadas pelos agentes são falhas, ou seja, as nformações dsponíves para o mercado não são sufcentes para adotar uma estratéga raconal, pode haver nformação prvlegada ou outros meos que coloquem determnado agente em uma posção melhor em termo de conhecmento, mas será desprezado tal tpo. rabalhar-se-á sob a suposção de que todos os agentes envolvdos agem com base nas suas expectatvas e possuem os mesmos objetvos de maxmzarem seus retornos. O presente trabalho, supondo que os partcpantes de um mercado de opções buscam por tentatva e erro as melhores estratégas de nvestmento, desenvolve um modelo de jogos evoluconáros para estudar a nteração estratégca entre estratégas de nvestmento em um mercado de opções européas. O modelo de jogos evoluconáros a ser desenvolvdo basea-se na premssa de que estratégas de nvestmento que geram retornos relatvamente maores tendem a ser copadas por um número relatvamente maor de nvestdores. A presente monografa está organzada em três capítulos. No prmero capítulo serão revsados os concetos assocados aos mercados de opções, que serão utlzados no transcorrer do trabalho. No segundo capítulo apresenta-se a denomnada dnâmca de replcação (replcator dynamcs), que é uma formalzação do mecansmo de seleção em ambentes bológcos, mas que também pode ser vsta, por exemplo, como uma representação de um processo de aprendzagem socal por mtação. Fnalmente, no tercero capítulo, constró-se uma dnâmca de replcação para estudar a nteração de estratégas de nvestmento em um mercado de opções européas.

12 11 Capítulo 1: Opções 1.1. Mercados Futuros Como destaca Hull (2005, p. 7-8), os mercados futuros foram crados na dade méda para a admnstração do rsco de osclações nos preços de produtos agrícolas em datas futuras. Os produtores estabelecam acordos relatvos a preços e quantdades com seus compradores, para que em uma data futura fosse entregue essa mercadora conforme o combnado. Esse tpo de transação é mportante para o ofertante como também para o demandante, pos proporcona proteção às flutuações dos preços devdo à, por exemplo, à escassez provocada por pragas ou excesso de oferta devdo ao aumento da concorrênca além de ser uma alternatva dferente de negocação, aumentando assm a lqudez do mercado. Atualmente exstem dversos lugares que operam com mercados futuros, como Euronext, South Afrcan Futures Exchange, Mercado Ofcal Español de Futuros y Opcones, London Internatonal Fnancal Futures and Optons Lffe, Bourse de Montreal, Budapest Stock Exchange, Sydney Futures Exchange, entre outros. Seus negócos envolvem dversos tpos de atvos como ações, moedas, metas precosos, índces de preços e dversos outros produtos. Nos mercados futuros as transações ocorrem por meo da compra e da venda de atvos para uma data futura, com os preços e quantdades estabelecdas no momento da operação. Para se frmar sso é precso um contrato, que cra o compromsso da entrega do atvo por parte do vendedor na data estabelecda e do recebmento dessa mercadora pelo comprador. Se, no entanto, devdo às grandes varações nos preços dos atvos no futuro, o ttular do contrato não tver nteresse em seu exercíco no fnal do prazo, ele pode lqudá-lo antecpadamente ou, então vendê-lo e, por consegunte, transferr o compromsso do contrato para outra pessoa. Os agentes que atuam nos mercados futuros geralmente são os mesmos que atuam no mercado de opções, no entanto no mercado de opções o detentor da opção não tem a obrgação de lqudá-la, a opção pode exprar sem ser utlzada. Já no mercado futuro é

13 12 obrgatóra a lqudação do contrato futuro. Ambos mercados as lqudações ocorrem no futuro, assm possuem semelhantes oportundades de negocação, que não são encontrados nos mercados a vsta. Os agentes que atuam nesses mercados são os hedgers, os especuladores e os arbtradores. Os hedgers nvestem para se protegerem dos rscos das osclações dos preços dos atvos. Os especuladores atuam a partr de expectatvas de altas ou baxas nos preços dos atvos, com o objetvo de obterem alavancagem. Os arbtradores buscam desajustes nos preços de atvos em dferentes mercados, como por exemplo, entre o mercado a vsta e o mercado futuro para auferrem lucros. Uma mportante relação entre os mercados futuros e de opções é que os papés negocados no mercado futuro de ações podem também ser transaconados no mercado de opções sobre ações, de forma que os vencmentos dos mercados futuros e de opções aconteçam juntos. al característca demonstra a complementardade entre ambos mercados, bem como a possbldade de utlzação de estratégas que combnam operações de futuros com opções. anto o mercado futuro de ações quanto o mercado de opções podem ser utlzados concomtantemente por um agente, de forma a possbltar operações de hedge de sua posção no mercado de opções, dexando em aberto anda a possbldade de realzação de arbtragem de preços entre os mercados futuros e de opções Investmento em opções Opções são nstrumentos fnanceros que dá ao seu detentor o dreto (sem obrgação) de comprar ou vender determnado atvo subjacente à opção em uma data futura. Há dos tpos de opções, as de compra e as de venda. As opções de compra ou de venda dão o dreto de comprar ou vender um determnado atvo objeto, respectvamente, em uma data futura já defnda na opção. As opções européas possbltam o seu exercíco apenas na data de vencmento. Dferente das opções amercanas que dá ao seu detentor o dreto de exercer sua opção no prazo até o vencmento. Neste trabalho será utlzada somente opção européa, devdo a sua característca de lqudação só na data de expração. As opções possuem três característcas que devem ser analsadas por aqueles que nvestem nelas, a saber:

14 13 po: defndo pela opção ser de compra (call) ou de venda (put). Sére: preço de exercíco defndo pela opção. Classe: prazo de vencmento ou de lqudação da opção. Ao comprar uma opção, é precso pagar um prêmo, ou seja, um preço defndo pelo mercado. Esse preço contém nformações muto útes para os agentes de mercado, como as expectatvas dos agentes sobre os retornos futuros, flutuações de oferta e demanda, dstorções causadas por manpulações e mperfeções do mercado. Investdores mutas vezes tentam estmar as dstrbuções de probabldade dos possíves valores dos atvos ao escolherem suas estratégas de negocação. Um nvestdor que resolve adqurr uma opção de compra que lhe dará o dreto de comprar um determnado atvo por um preço já acordado em uma data futura espera que o preço do atvo aumente. Isso porque ao comprar a opção ele trava um preço que está defndo na própra opção. Se o preço do atvo car na data de vencmento o nvestdor sofre uma perda que no caso será o preço pago pela opção. Se, pelo contráro, o preço do atvo na data de lqudação for maor que o preço frmado em contrato mas o prêmo, então ele aufere um lucro que é calculado pela dferença entre o preço que o atvo alcançar no mercado na data de vencmento da opção e o preço estabelecdo no contrato mas o prêmo pago pela opção. No entanto, se um nvestdor comprar uma opção de venda, possbltando-lhe o dreto de vender um atvo atrelado à opção em uma data futura de vencmento da opção por um preço já frmado no momento da sua compra, ele espera que o preço do atvo subjacente à opção dmnua. Pos, ao adqurr a opção de venda ele frma um preço com o lançador da opção para exercíco em uma data futura. Se caso o preço do atvo aumentar, ele tem um prejuízo que é o própro prêmo pago. Se, ao contráro, o atvo subjacente à opção tver seu preço desvalorzado, então o nvestdor aufere um ganho, sendo a dferença entre o preço estabelecdo na opção e o preço de mercado mas o prêmo.

15 Classfcação e posções em opções O preço de exercíco de uma opção será denotado por X e o preço do atvo subjacente à opção na data de expração será denotado por as relações que podem haver entre X e S. Há três classfcações para S. Para uma opção de compra, se S > X, ou S S < X, ou anda = X, então se classfca dentro-do-dnhero (n-the-money), fora-dodnhero (out-of-the-money) e no-dnhero (at-the-money) respectvamente. No caso para uma opção de venda, se S > X, ou S < X ou anda = X a classfcação fca então como fora-do-dnhero, dentro-do-dnhero e no-dnhero, respectvamente (HULL, 2005, p. 210). A classfcação dentro-do-dnhero (n-the-money) sgnfca que o nvestdor teve um resultado ao seu favor, ou seja, o movmento do preço do atvo subjacente à opção se comportou como ele esperava. No entanto, quando for fora-do-dnhero (out-of-the-money) o nvestdor obteve um resultado desfavorável, o preço do atvo subjacente à sua opção se comportou de forma nesperada. Se a relação entre X e S S, for no-dnhero (at-themoney), então o nvestdor da opção teve um resultado neutro se desconsderarmos o prêmo pago por ele no momento da aqusção da opção. Se for consderado o prêmo, ele teve um prejuízo, que neste caso é a própra quanta paga pelo prêmo. Os agentes que nvestem em opções podem tomar posções dferentes em relação a comprar ou vender opções. Se um nvestdor comprou uma opção de compra ou venda, sua posção é dta long ou comprada. Se ele vendeu uma opção de compra ou venda, sua posção é dta short ou vendda (HULL, 2005, p. 205) Payoff em opções Os retornos (payoffs) dos nvestdores em um mercado de opções são calculados de acordo com suas posções nas suas opções. Sem perda de generaldade, o custo do prêmo das opções não serão consderado nos cálculos. O resultado de um nvestdor que comprou uma opção de compra (long n a call) será:

16 15 ( S X,0) Máx. (1.4.1) al expressão capta o prncípo de que um nvestdor exercerá uma opção de compra se S > X. O detentor de uma opção de compra espera que o preço do atvo subjacente à sua opção tenha um preço elevado na data de expração da opção. Se sto ocorrer ele ganha a dferença sua opção. n a call) será: S X. Caso o preço do atvo dmnua, para o nvestdor é melhor não exercer O resultado de um nvestdor em posção vendda em uma opção de compra (short ( X,0) Mín. (1.4.2) S Se X < S, o agente terá um resultado desfavorável de Se, no entanto X S (que será menor que zero). X > S conforme a expectatva do agente, então ele não terá resultado negatvo, apurando um resultado nulo (se desconsderar o prêmo pago pela opção). Para um nvestdor que está em posção comprada (long) em uma opção de venda (long n a put) seu payoff será: ( X,0) Máx. (1.4.3) S Quando um nvestdor compra uma opção de venda ele espera que o atvo subjacente à essa opção tenha seu preço dmnuído no futuro. Portanto, se X > S, satsfazendo a expectatva do nvestdor, então ele obterá um resultado favorável que será X S > 0. odava, se sua expectatva não se realzar, o nvestdor não exercerá sua opção e não terá ganhado e nem perddo, seu resultado será nulo. A últma posção de um nvestdor é fcar venddo (short) em uma opção de venda (short n a put), que terá como resultado:

17 16 ( S X,0) Mín. (1.4.4) Quando um nvestdor vende uma opção de venda, esperando que o preço do atvo subjacente à opção fque acma de X. Se sua expectatva for realzada, ele terá um resultado neutro, gual a zero. Caso ocorra o contráro, ou seja, se resultado desfavorável, pos S X < 0. X > S, ele terá um Essas quatro posções em opções podem ser vsualzadas grafcamente, conforme lustrado na Fgura Compra de opção de compra Venda de opção de compra Payoff ($) Payoff ($) X S X S

18 17 Compra de opção de venda Payoff ($) Venda de opção de venda Payoff ($) X X S X S X Fgura Gráfco dos payoffs das posções em opções Fonte: MINARDI (2004, p. 27) pos de lançamentos de opções Os nvestdores que operam no mercado de opções podem realzar a venda de opções, como enfatza Hull (2005, p. 217), a descoberto (naked opton). É possível a venda de uma opção de compra subjacente a um atvo efetuada por um nvestdor, sem que ele, no entanto, possua o total negocado na opção no nstante em que ele realza a venda. Para sso, basta que sejam atenddas certas exgêncas de margem que são garantas como títulos públcos, debêntures, ações entre outros que devem ser depostadas na CBLC (Companha Braslera de Lqudação e Custóda). O lançamento de uma opção de compra a descoberto é utlzado por aplcadores que esperam uma desvalorzação no atvo subjacente à opção de compra. as aplcadores lançam as opções para apurarem um lucro nessa operação. Se o preço do atvo subjacente à opção vendda na data de lqudação estver menor do que quando fo venddo, então o aplcador terá lucro. Mas, se o preço da ação superar o preço de exercíco da opção, o lançador ncorrerá em prejuízo, pos poderá, na data do vencmento, ser obrgado a atender o peddo de exercíco e ter que entregar as ações a que se refere à opção. Dessa forma, o rsco envolvdo será lmtado, pos além da recomposção de margem (que ocorrerão à

19 18 medda que o prêmo de opções desta sére for se elevando), o lançador descoberto estará sujeto, se desgnado a atender o exercíco, a adqurr as ações em mercado a um preço superor ao preço de exercíco. Outra forma de atuação no mercado é por meo da venda de opção de compra cobertas. Essa manera é a mas comum, o nvestdor vende uma opção de compra sobre um determnado atvo quando ele já possu as ações defndas no contrato. Os rscos envolvdos nessa operação é menor do que na venda a descoberto, pos o lançador da opção terá prejuízo se o preço de mercado das ações no nstante de lqudação da opção for maor do que o preço de exercíco e se a opção for de fato exercda (HULL, 2005, p. 218). O objetvo desse lançamento é consegur um retorno maor do que sera obtdo com a venda medata da ação subjacente à opção. Se o atvo estver com seu preço de mercado abaxo do preço de exercíco na data de lqudação, então o nvestdor apura lucro até o ponto em que o preço da ação for gual ao preço que ele pagou, já descontados o prêmo recebdo pelo lançador. Depos desse ponto começará a ter prejuízo Preço das opções Como dto anterormente, o preço das opções é formado a partr de város fatores, tas como as expectatvas dos agentes sobre os retornos futuros, flutuações de oferta e demanda e dstorções causadas por manpulações e mperfeções do mercado. De manera mas objetva, pode-se enumerar ses adconas fatores que se somam aos fatores menconados acma (HULL, 2005, p. 227), a saber: o preço a vsta da ação S 0, preço de exercíco da opção X, prazo até a data de expração, volatldade do preço da ação σ, taxa de juro lvre de rsco r e os dvdendos esperados durante a vda da opção. Na análse dos fatores que afetam o preço das opções, será desconsderado o prêmo pago de uma opção no resultado (payoff) do nvestmento e também se consdera que quando uma das ses varáves se modfca as outras cnco varáves permanecem constantes. Para uma opção de compra, o resultado na data de lqudação da opção será a dferença entre o preço a vsta e o preço de exercíco. Então, quanto maor for o preço a vsta e menor o preço de exercíco maor será o resultado do nvestmento, ou seja, o preço

20 19 de uma opção de compra será maor conforme o preço do atvo subjacente à opção cresça, e menor será quanto o preço de exercíco aumentar. No caso de uma opção de venda, o resultado é a dferença entre o preço de exercíco e o preço a vsta. Dessa forma, o valor da put será maor quanto maor for o preço de exercíco e menor o preço a vsta da ação na data de lqudação. Portanto, quanto maor for o preço de exercíco e/ou menor o preço a vsta, maor será o resultado do nvestmento e, por consegunte, o preço da opção de venda. Sobre o prazo até a data de expração, se for para opções de compra ou de venda amercanas, elas se valorzam conforme o prazo aumenta. Isso porque uma opção de longa duração proporconará mas oportundade de exercíco em momentos oportunos do que uma opção de duração menor. Para opções de compra e venda européas, apesar de valerem mas à medda que aumenta o tempo para a lqudação, devdo ao fato que quanto maor o tempo de vencmento de uma opção mas rsco ela estará assegurando, às vezes sso pode não ocorrer. Como exemplfca Hull (2005, p ), suponha duas opções de compra européas atreladas em uma ação. Uma opção vence no tempo t, enquanto a outra vence em um tempo t + 2. Se a ação pagar dvdendo no tempo t + 1, de forma a valer menos no tempo t + 2, sso pode fazer com que o preço da opção de prazo t valha mas do que a opção com vencmento em t + 2. Para uma opção de venda, o pagamento de dvdendos elevam seu preço. Isto por que a opção de venda trava um preço para a venda do atvo subjacente a ela, dessa forma conforme esse atvo paga dvdendos antes da data de lqudação, sso fará com que o preço do atvo caa, favorecendo o ttular da opção de venda. Como salenta Hull (2005, p. 231), o valor da opção de compra é negatvamente relaconado ao tamanho de qualquer dvdendo antecpado e o valor da opção de venda é postvamente relaconado ao tamanho de qualquer dvdendo antecpado. O prncpal motvador do mercado de opções é a volatldade, sem ela não tera necessdade desse tpo de mercado, quando se negoca opções está se transaconando volatldade. Exstem cnco tpos de volatldade como lstado por Slva Neto (2002, p. 98), a saber:

21 20 Hstórca Atual Futura Prevsta ou projetada Implícta A volatldade que realmente mporta para que haja o mercado de opções é a volatldade futura. Ela mede o rsco acerca do desempenho dos preços futuros. Para a opção de compra, o aumento do preço do seu atvo subjacente fará com que o seu preço aumente. Se o atvo ou a ação tver seu preço dmnuído, então a call terá uma desvalorzação. De manera parecda, a put terá seu valor acrescdo sempre que houver uma desvalorzação no preço do atvo subjacente a ela, e se ocorrer o contráro, ou seja, o preço do atvo ou da ação aumentar, o preço da put será dmnuído. Os valores tanto da call quanto da put, portanto, aumentam à medda que a volatldade aumenta (HULL, 2005, p. 230). A nfluênca da taxa de juros lvre de rsco sobre as opções pode ser verfcada ao se analsar o que acontece com os preços e rendmentos das ações ao se alterar a taxa de juro lvre de rsco. Como enfatza Assaf Neto (2005, p. 293), a decsão de nvestr em ações deve ser precedda de uma análse das expectatvas dos rendmentos a serem auferdos ao longo do prazo de permanênca em determnada posção aconára e, também, da valorzação que venha a ocorrer nesses valores mobláros. Dessa forma, à medda que a taxa de juro aumenta, o preço da ação tende a aumentar. Mas o valor presente do fluxo de caxa esperado a ser recebdo pelo ttular da opção dmnurá devdo ao aumento da taxa de desconto (juro) que descontará os fluxos futuros. Para uma opção de compra, de acordo com Hull (2005, p. 231), a nfluênca do prmero fator, ou seja, o aumento da taxa de juro, é maor do que o efeto da dmnução do valor presente do fluxo de caxa futuro. Portanto, quando a taxa de juro sobe, o preço da call aumenta. Se for uma opção de venda, quando a taxa de juro aumentar e, por consegunte fazer subr o preço da ação, sso fará com que o preço da put dmnua, pos a procura por opção

22 21 de venda aumenta se exstr a expectatva de que o preço da ação decresça. O segundo efeto provocado pelo aumento da taxa de juro é o de fazer o valor do fluxo de caxa esperado dmnur, pos a atratvdade da put será reduzda, pos terá também o efeto de baxar o preço da put. Logo, os dos efetos tendem a desvalorzar uma opção de venda. Na fgura abaxo, é relaconado as mudanças no preço da ação, no preço de exercíco e na data de expração sobre os preços das opções. Preço da opção de compra Preço da opção de venda Preço da ação Preço da ação Preço da opção de compra Preço da opção de venda Preço de exercíco Preço de exercíco

23 22 Preço da opção de compra Preço da opção de venda empo para o vencmento empo para o vencmento Fgura Gráfcos dos efetos do preço da ação, preço de exercíco e data de expração sobre os preços das opções Fonte: HULL (2005, p. 229). Na Fgura 1.6.2, abaxo, é mostrado o efeto da volatldade e da taxa de juro lvre de rsco sobre o preço das opções. Preço da opção de compra Preço da opção de venda Volatldade Volatldade

24 23 Preço da opção de compra Preço da opção de venda axa de juro lvre de rsco axa de juro lvre de rsco Preço da opção de compra Preço da opção de venda Dvdendos Dvdendos Fgura Gráfcos dos efetos da volatldade, da taxa de juro lvre de rsco e dos dvdendos sobre o preço das opções. Fonte: HULL (2005, p. 230)

25 Lmtes máxmos e mínmos para os preços das opções Os preços das opções de forma geral possuem lmtes nferores e superores. 1 Esses lmtes servem como referênca para os agentes de mercado que atuam no mercado de opções, pos eles afetam as operações dos arbtradores que se aprovetam dos desequlíbros no preço para auferrem lucros. Uma opção de compra européa com valor c deve valer menos ou gual ao preço a vsta S 0 da ação subjacente, ou seja: c S 0. (1.7.1) Isso, pos, não faz sentdo uma opção valer mas do que a ação, pos se acontecesse sso um nvestdor portador de uma opção podera vendê-la e comprar a ação auferndo lucros sem rsco. Para uma opção de venda européa com valor p e preço de exercíco X, o lmte superor do seu valor é o preço de exercíco da opção, sto é: p X. (1.7.2) Se o valor de uma opção de venda fosse maor que o preço de exercíco, não havera comprador para ela, pos quem a comprasse em um dado nstante t tera perda. Portanto sera mas lucratvo vender as ações no nstante t do que adqurr uma opção de venda para vender as ações no futuro. Como uma opção de venda não pode valer mas do que o seu preço de exercíco, então se X for trazdo para o seu valor presente, descontado a uma taxa de juro lvre de rsco r > 0 em um ntervalo de tempo, ter-se-a a relação: p r Xe. (1.7.3) 1 Como o modelo a ser desenvolvdo no capítulo 3 basear-se-á exclusvamente em opções do tpo européas, não será consderada a opção amercana na exposção que segue.

26 25 Caso sso não se verfcasse, então, ter-se-a no nstante ncal, p r > Xe. Dessa forma, sera mas rentável para o ttular da opção, vendê-la e aplcar o dnhero da venda à taxa r, pos no tempo havera, pe r > X. Isso, possbltara a ação de arbtradores no mercado de opções, de forma que o preço sera restabelecdo em p r Xe. é: O lmte nferor para opções de compra atrelada a ações que não pagam dvdendos r ( S Xe,0) c máx. (1.7.4) 0 O valor de uma opção não pode ser negatvo, pos o menor valor que ela pode assumr é zero. Para melhor entender a expressão (1.7.4) cabe um exemplo, encontrado em HULL (2005, p ). Suponha dos portfólos: o portfólo A que é consttuído por uma opção de compra com preço de exercíco X mas uma quanta em dnhero no valor de portfólo B que é formado por uma ação com preço gual a X. r Xe, e o No portfólo A o dnhero dsponível pode ser aplcado à taxa r até o tempo, que valerá, então, X em. Dessa forma, no nstante (tempo no qual a opção vence), o portfólo A terá X de dnhero mas uma opção de compra com preço de exercíco X, e o preço da ação subjacente à opção será S. Portanto, se forma que o portfólo A em passe a valer S. Se caso contráro, S > X, a opção será exercda de S < X em, então a opção valera zero e o portfólo A, X. Logo, o portfólo A em, terá valor gual a: ( S X) máx,. (1.7.5) Para o portfólo B, no tempo, seu valor será S. Portanto, no nstante, o portfólo A valerá gual ou mas que o portfólo B. Sendo assm, na ausênca de oportundades de arbtragem e consderando o nstante de tempo t, ou seja, o tempo presente, tem-se:

27 26 c+ Xe r S 0. (1.7.6) expressão: Com uma reformulação na desgualdade acma pode ser obtda a segunte c S Xe r 0. (1.7.7) Sendo então o lmte nferor para opções de compra subjacentes a ações que não pagam dvdendos. Para uma opção de venda subjacente a uma ação que não paga dvdendos, o lmte nferor será: p máx ( Xe r S 0,0). (1.7.8) Como exposto anterormente, o valor de uma opção não pode ser negatvo, pos o menor valor que ela pode assumr é zero. Em relação à expressão, Xe r S0, pode-se explcá-la a partr da segunte stuação retrada de HULL (2005, p ). Consdere um portfólo C que é consttuído por uma opção de venda (com vencmento no nstante ) mas uma ação de valor maturdade (no nstante ), e um portfólo D que contém uma quanta em dnhero gual a r Xe. No portfólo D, o dnhero dsponível pode ser aplcado à taxa r até o tempo, que valerá então X em. Portanto, se no nstante, S S na < X, ou seja, o preço da ação atrelada à opção de venda for menor do que o preço de exercíco, então a opção será exercda, de forma que o portfólo C passará a valer X. Se, no entanto, S > X, então a opção de venda não será exercda, de forma que o portfólo rá valer portfólo C no nstante terá valor gual a: S. Portando o ( S X) máx,. (1.7.9)

28 27 Como o portfólo D valerá X em, logo o portfólo C na mesma data, terá valor gual ou superor ao portfólo D. Isso deve ser verdade também para o tempo presente, de forma que: p S Xe r + 0. (1.7.10) expressão: Com uma manpulação algébrca na desgualdade acma, pode se obter a segunte p Xe r S 0. (1.7.11) Conclundo assm a expressão do lmte nferor para uma opção de venda sobre ações que não pagam dvdendos. Se uma opção de venda tver seu preço menor que este lmte, então será possível a realzação de arbtragem no mercado de opções Relação de pardade entre put e call A relação de pardade entre opções de venda e de compra atreladas a ações que não pagam dvdendos permte que dada uma opção de venda e uma opção de compra, ambas com o mesmo tempo de vencmento em e preço de exercíco gual a X, deduzr o preço de uma call a partr do preço da put, ou vce-versa. Para dervar essa relação, conforme exposto por Hull (2005, p. 237), consdere dos portfólos A e C. O portfólo A é consttuído por uma opção de compra de valor c com preço de exercíco X e vencmento no nstante sobre uma ação com preço gual a S na mesma data e mas uma quanta em dnhero de r Xe, que aplcada a uma taxa de juros lvre de rsco r, valerá em, X. No portfólo C, há uma opção de venda de valor p com preço de exercíco X e data de expração em mas uma ação com preço em t (tempo presente) gual a S 0 e na data (tempo futuro) gual a portfólos em será: S. Então, o valor de ambos

29 28 ( S X) máx,. (1.8.1) nesse período Para entender esta expressão, consdere o portfólo A na data de vencmento, se passará a valer S > X, então a opção de compra será exercda de forma que o portfólo A S. Se, no entanto, S < X, a opção de compra não será exercda e o portfólo A valerá X, e a opção exprará sem valor. Para o portfólo C, na data de vencmento, se S portfólo va passar a valer > X, então a opção de venda não será exercda de manera que o S, e a put exprará sem valor. Caso ocorra de venda será exercda e o portfólo valerá então X. S < X, a opção Como no nstante ambos portfólos terão os mesmos valores, segue que no presente eles deverão ter valores guas, de forma que: c+ Xe r = p+ S 0. (1.8.2) Esta é a relação de pardade put call (put call party), como se quera demonstrar. Se sso não se verfcar, haverá oportundades de arbtragem até que se restabeleça a pardade Estratégas no mercado de opções Antes de ncar o estudo das estratégas com opções é mportante ressaltar alguns elementos referentes às opções. Os prêmos pagos pela aqusção de opções é medda para dos mportantes fatores (além de outros já dscutdos anterormente). Prmero, ele mede o rsco ncorrdo pelo nvestdor ao assumr uma determnada posção (durante o período de valdade da opção, as flutuações do seu atvo subjacente afetam o preço da opção). Segundo, o prêmo proporcona uma transferênca de recursos, ou seja, por va do valor pago pelos prêmos e da expectatva de como se comportará o preço das ações em datas futuras que serão realzadas as váras estratégas no mercado fnancero (CASRO, 2002).

30 29 Um agente que atua no mercado de opções, para crar sua estratéga de nvestmento precsa defnr sua posção (comprada ou vendda), bem como o papel que rá assumr, baseado no seu nteresse, nesse mercado, ou seja, se será um hedger, um especulador ou um arbtrador. Ademas, deve levar em conta o rsco que está dsposto a assumr. Exstem dversas estratégas com opções. No presente trabalho restrngr-se-á a estratégas que serão utlzadas na tercera parte deste trabalho, quando da aplcação da teora dos jogos evoluconáros. Em Hull (2005, CAP. 9) pode ser encontrada a descrção de outras estratégas. A prmera estratéga com opções consderada é a straddle modfcada, que é formada a partr da compra de duas opções de compra européas e de duas opções de venda européas com o mesmo preço de exercíco X, com a mesma data de expração em e referentes a uma ação que na maturdade das opções seu preço seja S. Ela é aproprada para nvestdores que esperam movmento sufcentemente grande (que supere o custo de montagem da estratéga) no preço da ação para mas ou para menos. Se S < X, então os payoffs das opções de compra serão nulos pos será vantagem não exercer as calls e os payoffs proporconado pelas opções de venda será 2 ( X S ) de forma que as opções de venda serão exercdas. Portanto o payoff total será: 2 ( X S ). (1.9.1) odava, se S > X, então os payoffs das opções de compra será 2 ( S X), pos será vantajoso exercer as calls e das opções de venda serão nulos, pos será melhor não exercê-las. Portanto, o payoff total será: ( S X) 2. (1.9.2) A últma possbldade que pode ocorrer é X = S, neste caso os payoffs serão nulos, pos será ndferente exercer as opções ou não. A partr do exposto acma, pode-se sntetzar o payoff obtdo pela estratéga straddle modfcada como:

31 { ( X S ), 2( S X) } Máx 2. (1.9.3) 30 Consderando o custo da estratéga straddle modfcada, que é 2 c+ 2 p e o valor do dnhero no tempo ajustado pela a taxa de juros r, pode-se, a partr de (1.9.3), calcular o payoff líqudo trazdo a valor presente, a saber: r { 2( X S ),2( S X) } e 2( c p) π straddle = máx +. (1.9.4) A representação da estratéga straddle modfcada grafcamente é feta na Fgura Payoff X S Fgura Payoff da estratéga straddle modfcada Fonte: HULL (2005, p. 264). A segunda estratéga é a modfcada, que consste na compra de uma opção de compra européa e três opções de venda européa, todas com o mesmo preço de exercíco X, com datas de vencmento em e subjacentes à mesma ação de preço na maturdade gual a S. A estratéga modfcada é nteressante para aqueles que esperam grandes osclações no preço da ação com mas probabldade de queda do que de alta. Se S < X, então o payoff da opção de compra será nulo, será vantajoso não exercê-la e o payoff das três opções de venda será 3 ( X S ). Portanto, o payoff total será:

32 31 3 ( X S ). (1.9.5) Se caso S > X, então o payoff da opção de compra será S X, pos ela será exercda e o payoff das três opções de venda será nulo, não será convenente exercê-las. Logo o payoff total para este caso será: S X. (1.9.6) Para o caso em que X = S, o payoff será nulo para todas as opções, o exercíco das opções ou não, será ndferente. Então, o payoff proporconado pela estratéga modfcada será: { ( X S ), S X} máx 3. (1.9.7) Ao consderar o custo da estratéga modfcada, que é c+ 3p e o valor do dnhero no tempo ajustado pela a taxa de juros r, pode-se calcular o payoff líqudo trazdo a valor presente, o qual será: r { 3 ( X S ), S X} e ( c+ p) π = máx 3 (1.9.8) O gráfco na Fgura lustra o padrão de lucro proporconado pela estratéga modfcada.

33 32 Payoff X S Fgura Payoff da estratéga modfcada Fonte: HULL (2005, p. 264) A últma estratéga que será analsada neste trabalho é a modfcada, na qual o nvestdor compra três opções de compra européa e uma opção de venda européa, todas com o mesmo preço de exercíco X, datas de vencmento guas a e atreladas à mesma ação com preço de maturdade em gual a S. Esta estratéga é convenente para quem espera grandes varações no preço da ação com mas probabldade de alta do que de baxa. Se S < X, então o payoff das três opções de compra serão nulos, pos elas expraram sem valor e o payoff da opção de venda será Portanto o payoff total será: X S, logo a put será exercda. X S. (1.9.9) ( S X) Para o caso S > X, o payoff proporconado pelas opções de compra serão guas a 3 e o payoff da opção de venda será nulo, para a put não será vantagem exercê-la. Logo, o payoff total será: 3 ( S X). (1.9.10)

34 33 Para o caso em que X = S, o payoff será nulo para todas as opções, realzar o exercíco ou não das opções será ndferente. Portanto, o payoff da estratéga modfcada será, de forma mas concsa, gual a: máx { X S 3( S X) },. (1.9.11) Para calcular o retorno líqudo da estratéga modfcada consderando-o em termos de valor presente, é necessáro a nclusão do custo de montagem dela, que será 3 c+ p. Logo, o payoff líqudo trazdo a valor presente da estratéga modfcada é: r { X S,3( S X) } e ( 3c p) π = máx +. (1.9.12) Na Fgura apresenta-se o padrão de lucro da estratéga modfca. Payoff X S Fgura Payoff da estratéga modfcada Fonte: HULL (2005, p. 264)

35 34 Capítulo 2: Elementos da teora dos jogos evoluconáros 2.1. Estratéga evoluconaramente estável A teora dos jogos é o estudo da nteração estratégca em um dado ambente (mercado, economa, ecossstema, etc). pcamente, a teora dos jogos busca determnar o resultado de uma dada nteração, ou seja, o equlíbro do jogo. O conceto de equlíbro em torno do qual se organza a teora dos jogos é o de equlíbro de Nash. al equlíbro é a combnação das estratégas que são as melhores respostas umas às outras (FIANI, 2006, p. 93). No equlíbro de Nash, os agentes sabem quas são as melhores estratégas dos seus adversáros, e a partr dsso, eles escolhem suas melhores respostas (estratégas) para usar contra os outros jogadores, e todos agem dessa mesma manera, estabelecendo então uma stuação na qual nenhum dos agentes tem ncentvo a mudar de estratégas. A teora dos jogos padrão supõe que todos os agentes são plenamente raconas, de manera que a nformação seja completa, ou seja, todos os agentes sabem com quem estão jogando, as estratégas dsponíves no jogo são de conhecmento de todos e também todos conhecem seus payoffs e dos outros partcpantes (GIBBONS, 1992, p. 2). Porém, ao se consderar um ambente de raconaldade não plena, em que haja dversas nterações, é precso se utlzar a teora dos jogos evoluconáros, em que a busca da melhor estratéga, ou a melhor resposta ao que está ocorrendo no ambente,ocorrerá por tentatva e erro pelos agentes. O conceto fundamental da teora dos jogos evoluconáros é o da estratéga evoluconaramente estável (evolutonarly stable strategy ou ESS). Como explca Vega- Redondo (1996, p. 13), uma ESS é um padrão de comportamento prevalecente numa dada população de jogadores que não será vulnerável à nvasão de qualquer outro padrão possível. Quando uma ESS é estabelecda em uma dada população, os ndvíduos estarão também em um equlíbro de Nash, ou seja, não há estratégas alternatvas melhores à stuação. Uma ESS será sempre um equlíbro de Nash, mas nem todo equlíbro de Nash consttuu uma ESS, como afrma Dxt (1999, p. 334).

36 35 Este conceto de estratéga evoluconaramente estável, está baseado no fato que alguns comportamentos são melhores do que outros em determnados ambentes, e o sucesso de um fenótpo se refere à melhor adaptação oferecda por ele. Pode-se medr o desempenho de um comportamento, por exemplo, pelo número de descendentes dexados pelos ndvíduos que a adotam. Logo, se torna possível a transmssão desses genes responsáves por esse fenótpo a outras gerações, perpetuando-a. Quando sso ocorre, dz-se que esse fenótpo é evoluconaramente estável, pos ele é domnante na população. E, portanto, a estratéga determnada por um fenótpo evoluconaramente estável é chamada de estratéga evoluconaramente estável. Ilustrar-se-á os concetos expostos até aqu com o exemplo do Jogo do Galnha (Chcken Game). Neste jogo cada partcpante deve drgr seu carro em alta velocdade em uma rua reta ao encontro do seu oponente. Aquele que desvar prmero é tachado de covarde, e quem permanecer em lnha reta fca com a fama de durão. O conjunto de ações dos jogadores são guas e dado por S = {desva, não desva}. Os payoffs de cada jogador para cada perfl de estratéga possível é dada pela matrz de payoffs na Fgura As prmeras entradas de cada par de valores das células correspondem ao ganho do jogador A, da mesma forma que a segunda entrada mostra as recompensas do jogador B. Jogador A Jogador B Desva Não desva Desva 0,0-1,1 Não desva 1,-1-2, -2 Fgura Matrz com os payoffs do jogo da galnha Fonte: DIXI (1999, p. 332) Analsando a Fgura 2.2.1, a recompensa de um covarde contra um outro covarde é zero (ambos não ganham, nem perdem nada). Se ocorrer um confronto entre um covarde e um durão, este últmo terá uma vantagem na sua recompensa de 1, enquanto que o covarde sará prejudcado em 1. Outro caso que pode ocorrer é de um durão encontrar um outro durão, e assm ambos perderão 2.

37 36 Como é bem conhecdo, o jogo do Galnha apresenta dos equlíbros de Nash de estratéga pura, a saber, {desva, não desva} e {não desva, desva}. Ademas, este jogo apresenta um equlíbro de estratéga msta, no qual cada jogador joga com probabldade ½ cada uma das estratégas. A teora dos jogos analsa este jogo supondo que ele é jogado repetdamente por uma população de jogadores, os quas jogam o jogo base da Fgura em pares formados aleatoramente a cada período. Suponha-se que, num dado momento ncal, haja nesta população uma proporção [ 0,1] x de durões e, por consegunte, uma fração 1 x de covardes. A questão típca colocada pela teora dos jogos é a segunte: se uma estratéga que rende um payoff relatvamente maor se reproduz relatvamente mas rápdo na população (por exemplo, tende a ser mtadada por um número maor de ndvíduos), haverá uma dstrbução de estratégas ( x,1 x) que se constturá numa ESS? Sejam π c e π d os payoffs do covarde e do durão, respectvamente. Então, o payoff dos ndvíduos covardes será: π = (1 x)0+ x( 1) = x. (2.2.1) C Para os ndvíduos durões, a recompensa esperada será gual a: π = x( 2) + (1 x)1= 1 x. (2.2.2) D 3 Se os payoffs forem guas, ou seja, x= 1 3x, não haverá motvo para alterações nas proporções de ndvíduos covardes e durões. Portanto, haverá um equlíbro evoluconaramente estável quando: x = 1 3x x= 1/ 2. (2.2.3) Isso quer dzer que, se tverem 50% de ndvíduos durões e 50% de ndvíduos covardes, então nesta população haverá uma mstura dos dos tpos de ndvíduos coexstndo juntos, obtendo as mesmas recompensas em méda. Uma outra forma de

38 37 nterpretar é consderar que cada ndvíduo joga com probabldade ½ cada uma das estratégas dsponíves no transcorrer da sua vda. Enfm, a dstrbução ( x,1 x) = (1/ 2,1/ 2) é um equlíbro evoluconaramente estável, pos tal população não estará vulnerável a qualquer nvasão de um grupo de ndvíduos mutantes, ou seja, ndvíduos que jogam com probabldades dferentes de ½. Com efeto, consdere-se o caso em que o payoff dos ndvíduos durões seja maor do que dos ndvíduos covardes: 1 3x > x x< 1/ 2. (2.2.4) Logo, se a proporção de durões for menor do que 50%, os payoffs deles serão maores do que o payoff dos covardes. Isto provocará um aumento do número de durões, enquanto que a quantdade de covardes dmnurá, até que se restabeleça o equlíbro. Se ocorrer o oposto, ou seja, mas de 50% da população forem de durões, então suas recompensas serão nferores às recompensas dos covardes. Assm, a quantdade de covardes crescerá, enquanto que a quantdade dos ndvíduos durões decrescerá. Portanto, estas combnações de frações de cada tpo de ndvíduos não podem consttur um equlíbro. Para o caso de estratégas puras, consdere uma população consttuída nteramente por ndvíduos durões. Nessa stuação ter-se-á um equlíbro em estratégas puras, pos só terá um tpo de comportamento na população e todos os agentes terão as mesmas recompensas. Este equlíbro não é uma ESS, pos um ndvíduo mutante covarde pode nvadr com sucesso tal população, devdo ao fato de suas recompensas serem maores do que as dos durões. Da mesma forma, se houver apenas ndvíduos covardes, esta stuação não será uma ESS. Qualquer ndvíduo mutante durão poderá nvadr com sucesso tal população, pos suas recompensas serão maores em relação aos covardes. Adante, na Fgura 2.2.2, segue o dagrama que relacona o payoff dos ndvíduos durões e covardes com a proporção de durões na população total.

39 38 Fgura Payoffs em função da proporção de durões Fonte: DIXI (1999, p. 333) Uma relação mportante que se pode nferr é que tanto na abordagem padrão quanto na abordagem evoluconára, exste um equlíbro comum, no qual 50% de covardes e 50% de durões. Este equlíbro consttu um equlíbro de Nash e também é uma estratéga evoluconaramente estável. De fato, um ponto de equlíbro assntotcamente estável da dnâmca evoluconára é uma ESS (como representado pelo ponto 1 na Fgura 2.2.2), 2 esse resultado é geral, ou seja, toda ESS é um equlíbro de Nash, embora a recíproca não seja verdadera (Dxt, 1999, p. 334) Dnâmca de replcação em tempo dscreto A teora dos jogos evoluconáros em Bologa trata bascamente das nterações entre comportamentos (fenótpos) apresentados por ndvíduos (anmas) em um dado ambente. No qual, há a dsputa de um determnado bem escasso, por exemplo, que seja necessáro para a sobrevvênca desses anmas. O jogo apresentado acma mostrou que se uma estratéga apresentar um payoff relatvo maor, a quantdade de ndvíduos que rá passar a adotá-la aumentará mas rápdo na população.