Aulas Particulares on-line

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1 MTEMÁTIC PRÉ-VESTIULR LIVRO DO PROFESSOR

2 IESDE rasil S.. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. I9 IESDE rasil S.. / Pré-vestibular / IESDE rasil S.. Curitiba : IESDE rasil S.., 009. [Livro do Professor] 660 p. ISN: Pré-vestibular.. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título. CDD Disciplinas Língua Portuguesa Literatura Matemática Física Química iologia História Geografia Produção utores Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima ezerra Fábio D Ávila Danton Pedro dos Santos Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme ndrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Cleber Ribeiro Marco ntonio Noronha Vitor M. Saquette Edson Costa P. da Cruz Fernanda arbosa Fernando Pimentel Hélio postolo Rogério Fernandes Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva Duarte. R. Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

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5 Área de figuras planas, ângulos na circunferência e Teorema de Tales O cálculo das áreas de figuras planas é uma ferramenta muito utilizada na Engenharia e na rquitetura, pois a maioria das plantas precisa do cálculo de áreas para melhor compreensão do tamanho da obra. No dia-a-dia também é muito utilizada na colocação de azulejos, pois a compra é dada por uma unidade de área. diagonal do retângulo o divide em duas partes iguais. Retângulo Quadrado S = b. h EM_V_MT_07 S = 1

6 Paralelogramo Trapézio Demonstração: S = b. h S = (+. h Demonstração: S 1 + S = b. h Triângulo (+. h S = b. h+ bh+h bh S= (h + bh) S = ( + h). h S = S = b. h Losango Demonstração: S + S = b. h 1 b. h S1 + S = S = d.d EM_V_MT_07

7 Demonstração: Setor circular a Círculo S + S + S + S = d. D d. D S1 + S + S3 + S4 = a a. R S = R ou S = 360, para α em radianos. Exemplo: 60 pr Para α = 60 temos S = pr S = Coroa circular S = R S = R r S = (R r ) Circunferência é a região externa ao círculo e o seu comprimento é dado pela fórmula pr. Casos particulares Triângulo equilátero Demonstração: S = 3 4 EM_V_MT_07 pr. R S = =pr 3

8 Triângulo qualquer Divisão de lados de um triângulo em partes proporcionais S = a. c. sena Dado que o perímetro (p) é igual a a + b + c, também temos outra relação: p = a + b + c + + p = a b c S C = b. h S = p(p (p (p c) Triângulo circunscrito S C = S CD = S DE = S EF + + p = a b c S = p. r Triângulo inscrito o girar o triângulo F, podemos notar que as áreas continuam iguais. Razão entre áreas semelhantes 1 S 1 4 S = a. b. c 4r EM_V_MT_07

9 G r O E F D C S Raio S S = 1 1 Q 1 e Q são quadrados: 1 Segmento que une o centro a um ponto da circunferência (OD, O, O ). Corda Segmento que une dois pontos da circunferência ( CE e ). rco Uma parte da circunferência (EC ou EDC). Diâmetro É uma corda que corta o centro da circunferência ( é a maior cord. Errado S1 1 SQ1 SQ1 1 = = = SQ =. S S S S Q Q Certo S 1 1 SQ1 SQ1 1 = = = SQ = 4. S S S S 4 Q Q Q1 Q1 Flecha Segmento que o une o ponto médio da corda à circunferência, formando um ângulo reto (FD). Secante Reta que passa por exatamente pontos da circunferência ( s ). EM_V_MT_07 Circunferência É o lugar geométrico dos pontos cuja distância (raio) a um ponto fixo é constante (o centro da circunferênci. Círculo O lugar geométrico dos pontos cuja distância a um ponto fixo (centro) é menor (ou igual) que um número real fixo (raio). Tangente Reta que passa por apenas 1 ponto da circunferência ( r ). rcos e ângulos Ângulo central É o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência. 5

10 medida do ângulo central é igual à medida do arco correspondente. Ângulo inscrito ο α = É o ângulo que tem vértice na circunferência. medida do ângulo inscrito é igual à metade do arco correspondente. V α = + CD α= D + C β= Ângulo excêntrico exterior É o ângulo formado por duas secantes que se cruzam num ponto externo à circunferência. medida do ângulo é igual ao módulo da semidiferença dos arcos determinados pelos seus lados. D C α P CD α= Ângulo do segmento É o ângulo que tem o vértice na circunferência e cujos lados são formados por uma secante e uma tangente. medida do ângulo de segmento é igual a metade do arco correspondente. = α Ângulo excêntrico interior São ângulos formados pelo cruzamento de duas secantes no interior da circunferência, não necessariamente no centro. medida desses ângulos é igual a semissoma dos arcos determinados pelos seus lados. α β D C Todo quadrilátero inscritível tem a soma dos ângulos opostos igual a 180º. D C ^ + ^C = ^ + ^D = 180º Retas paralelas compreendem arcos de medidas iguais. r s r//s = CD O raio é perpendicular à tangente no ponto de tangência. Q O D C 6 r = tangente OQ = raio OQ = r EM_V_MT_07

11 Duas tangentes traçadas do mesmo ponto possuem medidas iguais. P P = P Concêntrica d = 0 O O Lei Linear de Tales Posições relativas de duas circunferências d = distância entre os centros. Exteriores s linhas proporcionais foram muito utilizadas por Tales para realizar a medição de algumas distâncias de pontos localizados em lugares muito altos, de difícil acesso, ou da proa do navio em relação ao cais, assim criando o seu teorema. Um feixe de retas paralelas cortadas por retas secantes determina sobre as secantes segmentos proporcionais. d > R + r O d O a 1 a a 3 b 1b b 3 r 1 r r 3 r 4 Tangentes exteriores d = R + r d O O a n b n r n+1 Para, r 1 // r // r 3 // r 4 //... // r n + 1 temos: a1 a a3 a1 + a + a = = =... = K = b b b b + b + b K = constante de proporcionalidade. Secantes R r < d < R + r d O O Tangentes interiores d = R r Interiores O d O o traçarmos uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, ela divide os outros dois lados em segmentos proporcionais. E D C E E = = = K D DC C EM_V_MT_07 d < R r O O 7

12 Teorema das issetrizes issetriz interna bissetriz de um ângulo interno do triângulo divide o lado oposto em segmentos que são proporcionais aos lados do ângulo que foi dividido. Demonstração: Traçando PC tal que: P α α α α C M M // PC Temos: = C M CM b m c α α n b c = m+ n n Potência de pontos O estudo da potência de um ponto está diretamente relacionado com a posição do ponto no interior ou exterior de uma circunferência dada. Também é muito utilizado em construções trigonométricas. Ponto P no interior da circunferência: P =, como P = C M MC temos: = P M CM b θ θ c m n M C b c = m n 1. Caso Cordas:,, CC Ponto P no exterior da circunferência: 8 issetriz externa bissetriz de um ângulo externo de um triângulo divide externamente o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados do ângulo que foi dividido. Demonstração: Traçando CP, tal que: P α α C α α M // PC M P =, como P // C M CM. Caso Secantes: P, PC, PD Tangentes: P, PE Observando a posição do ponto P, reparamos que no primeiro caso ele foi a interseção de cordas, enquanto no segundo caso o ponto foi a interseção de secantes e tangentes. EM_V_MT_07

13 o destacarmos duas cordas com interseção em P, podemos obter a seguinte relação: O produto das partes de uma corda é igual ao produto das partes da outra corda. PC P = P PC (P = PC.PC ) P ~ Δ P Podemos observar que, se duas tangentes concorrem de um mesmo ponto P, elas terão medidas iguais. P P = P P (P.P = P.P ) o destacarmos duas secantes com interseção em P, podemos obter a seguinte relação: O produto da secante por sua parte exterior é igual ao produto da outra secante por sua parte exterior. P = PC Teorema de Pitot Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois lados opostos. P D ~ Δ PD PD P = P PD (P.P = PD.PD ) o destacarmos uma secante e uma tangente com interseção em P, obtemos a seguinte relação: O quadrado da tangente é igual ao produto da secante por sua parte exterior. + CD =D+ C EM_V_MT_07 PC ~ Δ PC 9

14 Demonstração: Sc S1 = S CD 4 pr S1 = 4 p S1 = 4 S = 4p 8 1 S = 4( p )cm 1 Logo S = S S = 8( p )cm F 1 F. che a razão entre a área do retângulo CD e do retângulo DEF, na figura. = x + y CD = z + w + CD = x + y + z + w D = x + w C = y + z D + C = x + w + y + z Solução: 1. O quadrado C da figura tem 4cm de lado, calcule a área da região hachurada. SCD = S1 + S SDEF = S1 + S SCD S1 + S Logo = = 1 S S + S DEF 1 Solução: 3. Calcule a área da região hachurada na figura, sendo os círculos concêntricos, com a corda do círculo maior tangente ao menor, valendo 10cm. 10 M = Ponto médio de EM_V_MT_07

15 4. Solução: R 0 = r + 5 R r = 5 Como S F = π (R r ) S F = 5πcm João pretende escolher entre dois muros para pintar ganhando a mesma quantia em ambos. O muro tem base 0% maior que a base do muro e altura 0% menor do que a altura do muro. Qual a melhor escolha, entre os muros, que João pode fazer? Justifique. 6. área do quadrilátero CD da figura vale 3cm. Calcule a área da região hachurada, se M e N são pontos médios. 5. Solução: Muro : altura = h e base = b Muro : altura = 0,8 h e base = 1,b Área = b. h Área = 1, b. 0,8 h = 0,96b. h Área de < Área de. Logo o muro é o mais vantajoso para o João. área do triângulo C vale S, calcule a área da região hachurada, se CD = DE = E e F = FD. Solução: 7. S 1 + S = 3 S 1 + S = 16m área do triângulo C da figura vale k, calcule a área do trapézio CDE em função de k. EM_V_MT_07 Solução: S S DE DF SC S = = 3 3 S SDE = = 3 S = 6 11

16 1 8. Solução: SED x = S C 3x SED 4 = k 9 4k SED = 9 S = S S 4k SCDE = k 9 5k SCDE = 9 CDE C ED Um aluno pegou uma figura geométrica de área igual a k, em formato de um retângulo com diagonal d. Tirou uma cópia com redução da figura e a nova diagonal passou a valer d/3. Calcule a nova área em função de k. Solução: S S = 1 1 k d = S d/3 k S S = 9 k = 9 9. No círculo da figura a corda C é paralela ao diâmetro D. Se ^E vale 0, calcule o ângulo ^CO. 10. Solução: 40º α o E C D C α α o D 0º Como C // D, os arcos e CD são côngruos, assim α = 40º. Os pontos,, C, D e E pertencem à circunferência. Determine o valor de α na figura. Solução: 100º 30º α C C 30º 80º 100º α α E E D E D 11. Como CE é um quadrilátero inscrito na circunferência, ^ + ^C = 180º, assim ^C = 80º. Logo: α + 30º + 80º = 180º α= 70º Na figura, O é o centro da circunferência e SR é igual ao raio desta. Calcule α em função de β. Solução: R R β β S Q Q S O β β O α = β β+ β α = 3 β 1. O diagrama abaixo representa a distribuição da população de uma cidade pela sua renda familiar. Os ângulos centrais dos setores divididos são proporcionais a 1, 3, 4 e 7. s maiores rendas são destinadas ao menor número de pessoas. Determine o percentual de pessoas com renda acima de 0 salários mínimos. baixo de 5 salários mínimos cima de 0 salários mínimos De 10 a 0 salários mínimos Solução: T α T α P P Entre 5 e 10 salários mínimos Como os ângulos centrais são proporcionais a 1, 3, 4 e 7, temos: α + 3α + 4α + 7α = 360º 5α = 360º α = 4º ssim, temos: 360º 100% 4º x 360 x = x = x = 6.66% EM_V_MT_07

17 13. Calcule x, se as retas r, s e t são paralelas: Solução: u v r 8 s 1 x t 6 Solução: figura acima é equivalente a: v u r s 1 8 t x 6 1 x = x = 7 x = 9 x + y = 5 x + y = = x y 4y = 6x 3x y = 4 αα 6 x M 3x x + = 15 5 x = 30 x = 6 e y = Na figura, O é o centro da circunferência com CD. Calcule o raio da circunferência se CE = 4cm e OE= cm. y C 14. No triângulo C da figura, // EF //DG e os segmentos CD, DE, EF são proporcionais a 1, e 3. Se C vale 1cm, calcule FG. Solução: F G D E D C Solução: y 1 3x x x EM_V_MT_07 1 y = 6 x. y = 1. x 6x x 4x y = = 4 6x 15. O perímetro de um triângulo C é 5cm. Sabendo que = 4cm e C = 6cm, calcular os segmentos determinados pela bissetriz interna de no lado oposto. x Raio = x (x + ) (x ) = 4. 4 x 4 = 16, x = 0 x = 5 cm 13

18 17. Na figura, PT é tangente da circunferência de raio r. Sabendo-se que PT = r, calcule o valor de P. P PRS = 15 x + 15 y + x + y P PRS = 30cm 19. João tem uma horta em formato circular e a cercou com arame tangenciando, construindo um triângulo conforme a figura. Calcule a quantidade de metros usados por João para cercar a horta se algumas medidas já estão ilustradas. Solução: v Solução: x (x + r) = (r) x + rx = 4r x + rx 4r = 0 x r r 5 não pode, por ser menor que zero. r + r 5 x = r ( 5 1 ) 18. Na figura, P = 15cm. Calcule o perímetro do triângulo PRS, se P, P e RS são tangentes. 1. ou seja: = 30m (UFF) Considere o triângulo PMN, retângulo em M, representado na figura a seguir. 14 Solução: P = P = 15. área, em cm, do triângulo obtido, unindo-se os pontos médios de, PM MN e NP, é: 4 6 c) 1 d) 0 e) 4 (UERJ) O decágono da figura a seguir foi dividido em 9 partes: 1 quadrado no centro, hexágonos regulares e triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes ao do quadrado, e mais 4 outros triângulos. EM_V_MT_07

19 6. 7. (Unicamp) Quantos ladrilhos de 0cm por 0cm são necessários para ladrilhar um cômodo de 4m por 5m? (Unirio) área da região hachurada, na figura a seguir, onde CD é um quadrado e o raio de cada circunferência mede 5cm, é igual a: EM_V_MT_ Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluir que a área do decágono é equivalente a: 14T + 3Q c) 14T + Q 18T + 3Q d) 18T + Q (UFF) Determine a área da coroa circular da figura abaixo, sabendo-se que o segmento PQ, medindo 8cm, é tangente à circunferência menor no ponto T. 8pcm 16pcm c) 4pcm d) 3pcm (PUC) Triplicando-se o raio de uma circunferência: a área é multiplicada por 9p. o comprimento é multiplicado por 3p. c) a área é multiplicada por 9 e o comprimento por 3. d) a área e o comprimento são ambos multiplicados por 3. e) a área é multiplicada por 3 e o comprimento por 9. (Unirio) figura representa um hexágono regular. Calcule a área da região sombreada (4 p ) cm 5( p ) cm c) 5(4 p) cm d) 5( π ) cm 54 ( π ) cm e) 4 Se o lado de um quadrado aumenta de 0%, sua área aumentará de: 10% 0% c) 40% d) 44% e) 50% (Cesgranrio) base de um retângulo de área S é aumentada de 0% e sua altura diminuída de 0%. área do novo retângulo formado é: 1,04S 1,0S c) S d) 0,96S e) 0,98S 10. (UFF) Duas circunferências de raios iguais a cm e uma reta tangenciam-se em três pontos distintos. O valor da área delimitada pelas circunferências e pela reta é igual a: (4 p)cm (5 p)cm c) (6 p)cm d) (7 p)cm e) (8 p)cm 15

20 11. Na figura a seguir, os círculos iguais têm raios iguais e cm e tangenciam-se externamente nos pontos, e C. 1. Calcule a área hachurada delimitada pelos menores arcos. (Unirio) Na figura abaixo, CD é um retângulo. 15. (PUC) Dois lados de um triângulo medem, respectivamente, 5cm e 6cm. O valor máximo que pode ter a área desse triângulo é de: 11cm 15cm c) 0cm d) 5cm e) 30cm 16. (UERJ) O paralelogramo CD teve o lado () e sua diagonal (D) divididos, cada um, em três partes iguais, respectivamente, pelos pontos {E,F} e {G,H}. 17. área do triângulo FG é uma fração da área do paralelogramo (CD). Calcule essa fração. (UFC) Sejam r e s retas paralelas conforme a figura: Qual a medida do segmento EF? Qual a área do triângulo ED? 13. (PUC) Consideremos o círculo C de raio r e um quadrado Q circunscrito a C. área interior a Q e exterior a C se subdivide em quatro áreas idênticas, cada uma valendo: (4 p) r p 1 4 r c) p 3 r d) p 3 1 r p 1 e) r 14. (PUC) Os pontos,, C, D, E e F dividem em seis partes iguais o círculo de raio R. Se S 1 representa a área do triângulo C, S representa a área do paralelogramo DEF e é o ponto médio do segmento D, então a razão S 1 é igual a: S c) 4 d) 1 e) 18. (UFRJ) Um pedaço de papel quadrado é dobrado duas vezes de forma que dois lados adjacentes se sobreponham sobre a diagonal correspondente. o desdobrarmos o papel, vemos os quatro ângulos assinalados na figura. 16 Determine a área hachurada. EM_V_MT_07

21 d) 35 e) (UFRJ) Um arquiteto projetou um salão quadrangular 10m x 10m. Ele dividiu o salão em dois ambientes, I e II, através de um segmento de reta passando pelo ponto e paralelo a uma das diagonais do salão, conforme mostra a figura: Determine as medidas dos ângulos a, b, c e d. Calcule a razão entre a área sombreada e a área do quadrado. 19. (Cesgranrio) No paralelogramo CD de área 4cm, os pontos P, Q e R dividem a diagonal D em 4 partes iguais. área do ambiente I é a sétima parte da área do ambiente II. Calcule a distância entre os pontos e.. (UFRJ) Observe a figura a seguir (CD), que sugere um quadrado de lado a, onde M e N são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos CD e D, e F a interseção dos segmentos M e N. área do triângulo QR é: cm 3cm c) 4cm d) 5cm e) 6cm 0. (UFRGS) No triângulo C desenhado abaixo, P, Q e R são os pontos médios dos lados. 3. Utilizando esses dados, resolva os itens a e b. Demonstre que o ângulo FN ˆ é reto. Calcule a área do triângulo FN em função de a. (UFRJ) figura abaixo mostra dois arcos de circunferência de centro O, raios R e R, e três ângulos iguais. EM_V_MT_07 Se a medida da área do triângulo hachurado é 5, a medida da área do triângulo C é: 0 5 c) 30 Calcule a razão entre as áreas das regiões hachurada e não-hachurada. 17

22 4. (UFRJ) No círculo abaixo, a figura é formada a partir de semicircunferências e C = CD = DE = E. Determine S 1 /S, a razão entre as áreas hachuradas. 5. (Unirio) Um artista plástico pretende fazer uma montagem fixando, uns sobre outros, quadrados de acrílico de cores e tamanhos diferentes, como mostra a figura a seguir. Se o raio do circulo menor é 5m e do maior é 13m, então o raio do circulo intermediário é: 1m 10m c) 11m d) 65 m e) 5 3m 8. Na figura a seguir, calcule a razão entre a área do triângulo C e do triângulo hachurado. 6. O lado de cada quadrado é o dobro do lado do quadrado anterior. Sabendo-se que o preço do metro quadrado de acrílico é R$6,40, o custo total do material será de: R$34,00 R$48,00 c) R$68,00 d) R$96,00 e) R$10,00 Dois círculos se cortam de tal forma que determinam três regiões, como mostra o esquema abaixo: é um polígono regular convexo, de n lados, 1 n inscrito em um círculo. Se o vértice 15 é diametralmente oposto ao vértice 46, o valor de n é: 6 60 c) 58 d) 56 e) Na figura a seguir, os pontos M, N e P são de um triângulo equilátero e os pontos M, Q, R, S são vértices de um quadrado. 3 C 7. Sabemos que o raio do menor círculo mede 5cm, que a região S 1 equivale ao dobro de S e que a região S 3 equivale ao triplo de S. Calcule o raio do maior círculo. Na figura, os três círculos são concêntricos e as áreas das regiões hachuradas são iguais. 18 EM_V_MT_07

23 31. QN corresponde ao lado do: hexágono regular. octógono regular. c) eneágono regular. d) decágono regular. e) dodecágono regular. (Cesgranrio) Um quadrilátero convexo está inscrito em um círculo. 34. O ângulo ΜMPN vale: c) 90 d) 108 e) 10 (UFL) Seja a circunferência de centro O, representada na figura abaixo. soma, em radianos, dos ângulos e mostrados na figura é: 4 c) d) e) 3. (Cesgranrio) Na figura abaixo, = 0, C= 14, CD = 36 e DE = 90. medida, do ângulo assinalado, é: c) 50 d) 60 e) Calcule nas questões de 35 a 39. o EM_V_MT_07 Calcule o ângulo. 56º 48º c) 46º d) 39º e) 37º 33. s semirretas PM e PN são tangentes ao círculo da figura e o comprimento do arco MGN é 4 vezes o do arco MFN c) 30 d) 40 e) 50 19

24 36. (Unisantos-SP) 39. (UFES) c) 48 d) 50 e) 56º (Cesgranrio) c) d) e) 50º 5º 54º 56º 58º 40. O valor de x, na figura abaixo, é: 0º º c) 40º d) 50º e) 60º (UC) c) d) e) 30º 35º 55º 75º 90º 41. (UFF) Os pontos M, N, P, Q e R são vértices de um pentágono regular. 10º 15º 0 c) d) e) 0º 5º 30º soma é: 360º 330º EM_V_MT_07

25 c) 70º d) 8 d) 40º e) 6 e) 180º 45. O valor de x na figura, é: 4. (UFRJ) Na figura dada a seguir: 7 6 c) 5 ΑΒ é lado de um octógono regular inscrito; d) 4 t é uma tangente. e) 3 Qual a medida de? 46. O valor de x na figura, é: 43. Na figura, as retas s e t são paralelas. 44. O valor de x + y é: 6 7 c) 8 d) 9 e) 10 O valor de x na figura, é: c) 1 d) 14 e) (Cesgranrio) s retas r, r, r são paralelas e os comprimentos dos segmentos de transversais são indicados 1 3 na figura. EM_V_MT_07 c) Então x é igual a: c) 5 1

26 d) (MPFEI) Três terrenos têm frente para a rua e para a rua, como na figura. e) (Vunesp) Na figura, o triângulo D é reto em, e C é a bissetriz de ÂD. Se = C, fazendo C = b e CD = d, então: d = b 5 d = b 5 c) d = 3 b 6 d) d = 5 b 5 e) d = 4 b 49. (UNI-RIO) No desenho abaixo apresentado, as frentes para a rua dos quarteirões I e II medem, respectivamente, 50m e 00m, e a frente do quarteirão I para a rua mede 40m a mais que a frente do quarteirão II para a mesma rua. s divisas laterais são perpendiculares à rua. Qual a medida de frente para a rua de cada lote, sabendo-se que a frente total para essa rua é 180m. 80m, 60m, 40m 90m, 70m, 40m c) 80m, 50m, 30m d) 60m, 40m, 30m e) 80m, 50m, 0m 51. Determine x e y, sendo r, s e t retas paralelas. 5. Na figura, os pontos,, C e D situam-se na circunferência de centro O e raio r. Sendo assim, pode-se afirmar que a medida, em metros, da frente do menor dos dois quarteirões para a rua é: c) 00 d) 0 e) 40 Ponto P é tal que OP D C D C P DP CP = P P = DP CP = P < r. Então: c) EM_V_MT_07

27 53. d) DP P CP = P D P e) = C PC O valor de X na figura é: 56. c). d) a metade de. 1 e) de. 3 (UFRJ) Na figura a seguir, vale a relação: O c) 1 d) 4 e) 5 Na figura, Dsão P dados = Calcule C : PC E EC = 1 3 E = 8cm e ED = 6cm. 57. a = xy a = x (x + y) c) a = x (x + y) d) a = y (x + y) e) a = x (x y) (Cesgranrio) Na figura abaixo, = 8cm, C = 10cm, D = 4cm e o ponto O é o centro da circunferência. O c) 16 d) 18 e) 0 Na figura, C representa um trecho reto de uma estrada que cruza o pátio circular de centro O e raio r. O perímetro do triângulo OC mede, em cm: 6 45 c) 48 d) 50 e) Em um círculo de centro O e raio 10, traçam-se dois diâmetros perpendiculares e EF e a corda C, como mostra a figura. O O EM_V_MT_07 Se C = r = O, então C vale: o dobro de. de. 3 Se C = 16, o segmento D mede: 8 1,0 3

28 c) 1,5 d) 13,0 e) Nesta figura T é tangente à circunferência do raio r. 1. (UFRJ) Na figura abaixo, o quadrado CD tem lados 6. Q1, Q, Q3 e Q4 são quadrados de lado x. região hachurada tem área 16. Sabendo-se que T ( 5+ 1) r 1 + r c) r d) 5 r = r, então o valor de C é: e) ( 5 1) r 60. (RURL) O raio de um círculo mede 6m. Por um ponto P, distante 10m do centro, traça-se uma tangente. O comprimento da tangente entre P e o ponto de contato, é: 4m 6m c) 8m d) 10m e) 1m 61. Na figura, = 8, C = 10 e C = Determine x. (UFRJ) Na figura abaixo, R é um ponto pertencente ao lado e S um ponto pertencente ao lado C. Sejam b a medida de C, c a medida de, p a medida de R e q a medida de S. Mostre que a razão entre as áreas dos triângulos RS e C vale pq bc. (UFRJ) O hexágono CDEF é construído de modo que MNP seja um triângulo equilátero e MPF, CNM e DEPN sejam quadrados. 4 medida do segmento T é: 0,5 1,0 c) 1,5 d),0 e),5 área do hexágono CDEF é igual a ( 3+ 3) cm. Determine o comprimento, em centímetros, do lado do triângulo MNP. EM_V_MT_07

29 4. (UFRJ) Os três lados do triângulo equilátero C foram prolongados de segmentos = = CC, de modo que a medida do segmento corresponde a 0% da medida do lado C, conforme indicado na figura a seguir. Determine o valor da razão das áreas hachuradas, a b. 1 1 c) π 4 d) 1 7. π e) 3 Traçaram-se semicírculos justapostos a cada um dos lados de um triângulo retângulo C, como mostra a figura. 5. Determine o percentual de aumento que a área do triângulo C apresenta em relação à área do triângulo original C. (UFF) Considere uma folha de papel em forma do retângulo RSTU, como na figura 1. São feitas, sucessivamente, dobras nessa folha. primeira é feita de modo que o ponto S caia sobre o segmento MN, sendo M e N, respectivamente, pontos médios de RS e UT, de acordo com a figura. segunda é feita de modo que o ponto P também caia sobre o segmento MN, conforme a figura O semicírculo de hipotenusa sobrepõe-se, em parte, aos dois outros semicírculos, produzindo duas lúnulas, tracejadas na figura. Que relação existe entre a área total das duas lúnulas e a área do triângulo? (ssociado) Um espiral, começando na origem dos eixos coordenados, é construído traçando-se semicírculos de diâmetros OM, MS e SP. área do triângulo MPQ é: 18 cm 36 cm c) 30cm EM_V_MT_07 6. d) 45 3cm (Unificado) OPQ é um quadrante de círculo, no qual foram traçados semicírculos de diâmetros OP e OQ. área da região hachurada vale: c) d) π 3π 4 4π π π e) 5

30 9. Na figura, CD é um quadrado e os dos semicírculos encontram-se em P. 1. (UFRJ) Na figura dada temos um semicírculo de raio R e centro O. O ângulo entre o raio O e o lado DC é a. Sabendo que PC =, a área hachurada é igual a: 4 c) d) e) (UFRJ) Há um conhecido quebra-cabeça que consiste em formar um quadrado com as partes de um triângulo equilátero, como mostram as figuras. 13. Calcule a área do retângulo CD, em função de R e a. Mostre que a área do retângulo CD é máxima para a = 45º. (UFRJ) O retângulo CD está inscrito no retângulo WXYZ, como mostra a figura. Partindo de um triângulo equilátero de perímetro 4cm, calcule o perímetro do quadrado. 11. (UFRJ) figura abaixo é formada por dois quadrados CD e C D, cujos lados medem 1cm, inscritos numa circunferência. diagonal C forma com a diagonal C um ângulo de 45º. Sabendo que = e D = 1, determine o ângulo q para que a área de WXYZ seja a maior possível. 14. (Unicamp) Construir fractais no computador corresponde a um procedimento como descrito a seguir. partir de um triângulo equilátero de área, acrescentamos no meio de cada lado um outro triângulo equilátero de lado igual a um terço do anterior; aos lados livres desses triângulos acrescentamos triângulos de lados iguais a um terço dos anteriores e assim, sucessivamente, construímos uma figura com uma infinidade de triângulos (veja o desenho). Determine a área da região sombreada da figura. Calcule a área, em termos de, da região determinada por esse processo. 6 EM_V_MT_07

31 15. (UFF) Na figura, cada lado do quadrado de lado 3cm é dividido em três partes iguais, sobre cada um desses lados, na divisão central, constrói-se outro quadrado cujos lados também são divididos em três partes iguais e, mais uma vez, nas divisões centrais, novos quadrados são construídos (UFF) Sendo 4cm a área do menor quadrado da figura, determine a área do maior. Determine a área total da figura que será obtida se o processo for repetido análoga e indefinidamente. 19. Em um triângulo C, M é o ponto médio de e N é o ponto médio de C. Calcule a área do triângulo C, sabendo que a área do quadrilátero MNC vale 15m. 0. (Cesgranrio) O quadrado da figura tem diagonal CD igual a 10cm. Os segmentos paralelos, CD e EF, dividem o quadrado em 4 regiões de mesma área. Calcule o comprimento do segmento. 16. (UFPI) Para colocar o piso de um terraço retangular, um construtor usaria 880 unidades de cerâmica nas dimensões de 0cm x 30cm. Entretanto, ele possui, em estoque, cerâmicas do mesmo tipo, nas dimensões de 0cm x 0cm. Usando o seu estoque, o construtor teria: c) que comprar mais 10 cerâmicas de 0cm x 0cm. que comprar mais 0 cerâmicas de 0cm x 0cm. o número exato de cerâmicas a serem aplicadas. d) uma sobra de 0 cerâmicas de 0cm x 0cm. e) uma sobra de 10 cerâmicas de 0cm x 0cm. 1. Na figura abaixo, S é a área do quadrilátero MN, S 1 é a área do triângulo C e MN é paralelo a. 17. Na figura, C é um triângulo retângulo isósceles com C = C. DEF é um arco de circunferência de centro.. Calcule x, sabendo que S 1 = 51% de S. Nas figuras a seguir, calcule as áreas hachuradas em função da área S do triângulo C. EM_V_MT_07 Calcule a razão D, sabendo que as áreas hachuradas C são iguais. 7

32 h) c) i) d) j) k) e) l) f) m) g) 8 EM_V_MT_07

33 n) 5. Os pontos CDE da figura resultaram da divisão de uma circunferência em 5 pares congruentes. E o) D C 3. Rodrigo gasta 3 latas de tinta para pintar uma estátua. Se cada lata custa R$5,00, calcule o valor gasto por Rodrigo para pintar uma outra estátua semelhante a primeira, porém com o dobro da altura. 6. Por consequência, a soma dos ângulos: é igual a: c) 70º d) 760 e) 780 Na figura, os círculos são iguais. C contém os dois centros e D é tangente ao círculo de centro O. 4. (PUC) São dados 3 pontos P, Q e R sobre cada um dos lados do triângulo C da figura abaixo. 7. Prove que CD = D + E Determine x na figura a seguir. EM_V_MT_07 Sabendo que P Q CR = = = C C 3, encontre S T, onde S é a área do triângulo C e T é a área do triângulo PQR c) 10 d) 130 e) 140 9

34 8. (Unificado) Em relação à figura a seguir, considere: I. é um diâmetro da circunferência de centro O; II. a reta t, paralela à corda ΑΒR, é tangente à circunferência no ponto T; III. o ângulo ÂR mede 0. Então, a medida do ângulo x formado pela reta t e pela corda T é: 5º 35º c) 40º d) 45º e) 60º 9. (FGV) medida do ângulo ΑDC inscrito na circunferência de centro O é: Então, x + y é igual a: 180º 185º c) 190º d) 10º e) 50º 31. (U.F. Uberlândi Em um dado triângulo retângulo inscrevemos uma circunferência de diâmetro d e circunscrevemos outra de diâmetro D. O perímetro do triângulo vale: d + D d + D c) d + D d) 3/(d + D) e) (d + D) 3. O quadrilátero PQRS está inscrito numa circunferência, como mostra a figura abaixo Calcule a medida do ângulo QSR ^. Seja P o centro de um quadrado construído sobre a hipotenusa C do triângulo C. c) 10 d) 100 e) O pentágono CDE, da figura, está inscrito em um círculo de centro O. O ângulo central, COD, mede 60. Calcule o ângulo PC. 30 EM_V_MT_07

35 34. Na figura a seguir, D e E são duas alturas do triângulo C. 37. São dados da figura abaixo: = x, C = 4, CD = 1. Sabendo que o ângulo C mede 64º, calcule o ângulo DE. 38. Pede-se o valor de. J Determine o valor da razão, considerando a figura JD e as medidas abaixo. = 9 C = 6 C = Na figura abaixo, XÔY é reto, e o arco PX é o dobro do arco XL. Y O X Com esses dados, determine a medida do ângulo LÔX. 36. Seja uma partícula com velocidade angular w = rad/min. Se ela parte do ponto P do círculo abaixo, em quanto tempo ela atinge a partícula que está com velocidade igual a w = rad/min (ambas no sentido horário)? P 10 o W W 39. O perímetro de um triângulo C é 45cm. Sabendo que = 10cm e C = 15cm, calcular os segmentos determinados pela bissetriz interna de  no lado oposto. 40. Na figura abaixo, CD é um trapézio, = cm, CD = 13cm, M MD = 1 e MN é paralelo a. O comprimento do segmento MN é: 16cm 17cm c) 13cm d) 19cm e) nenhuma das anteriores. EM_V_MT_07 31

36 41. (IME) Considere a figura abaixo, onde POR é um paralelogramo. O é bissetriz interna, = 6cm e C = 3cm. 46. Na figura a seguir, C = 3, D = 1 4 DE//C, DF//C e EG//. 4. Calcule o perímetro do paralelogramo POR e a razão O C. Na figura abaixo, x e y são paralelos às bases do trapézio. Calcule o segmento FG. 47. O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir: Calcule y x. 43. Num triângulo C, = 1cm, C = 8cm e C = 5cm. Seja D o pé da bissetriz interna D e I o incentro do triângulo, calcule a razão I ID. 44. Um triângulo C é tal que C /C = 3/4. bissetriz do ângulo externo ^C corta no ponto P. Calcule a razão P /. 45. (Integrado) Considere um decágono regular convexo inscrito em uma circunferência de raio R. Sabendo que C é bissetriz do ângulo O, prove que o lado do decágono é 10 = ( 5 1)R. s ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve per correr o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. ssinale a opção que indica o perímetro do circuito. 4,5km 19,5km c) 0,0km d),5km e) 4,0km 48. (IME) Prolonga-se o raio O de um círculo de um comprimento igual a O; traça-se uma tangente ao círculo, sobre a qual se levantam as perpendiculares N e C. Se OC ^ = 16, qual o valor do ângulo C ^? 3 EM_V_MT_07

37 49. O valor de x, considerando que o quadrilátero CD está circunscrito ao círculo, é: 5. Na figura abaixo, O é o centro do círculo. 1 c) 3 d) 4 e) Nas figuras abaixo, mostre que P. P = PC. PD. Calcule as potências de,, C e O. 53. Calcule x para que a pot + pot + pot Cseja igual a zero. 54. Um ponto P está no interior de uma circunferência de 13cm de raio e dista 5cm do centro da mesma. Pelo ponto P traça-se uma corda de 5cm. Determine os comprimentos dos segmentos que P determina sobre a corda. 55. Considere as cordas P = 13 e D = 1 de uma circunferência, que se interceptam no ponto Q; e um ponto C da corda P tal = 13 que CD seja um paralelogramo. O 51. Na figura abaixo, mostre que PT = P. P = d R, onde d é a distância do ponto P ao centro do círculo e R o raio. Determinado este ponto C, calcule C. 56. Por um ponto P, distante 9cm do centro de círculo de 7cm de raio, traça-se a secante PC ao círculo de modo que P valha a metade do PC. Calcule o comprimento do segmento PC. 57. Na figura abaixo, P é tangente em ao círculo. P = PC = C, PD = 1 e DE = 8. EM_V_MT_07 Calcule C. 33

38 58. Considere um arco de um círculo. Seja N o pon- 6. (PUC-SP) figura é uma circunferência de centro O to médio do arco e M o ponto médio da corda. = 18cm e o raio a com os segmentos de tangentes C em T Calcule o raio do círculo sabendo que = 18 cm e e em. MN = 3 cm. 59. s bases de um trapézio isósceles circunscrito a uma circunferência medem 4m e 9m respectivamente. Calcule a altura do trapézio. 60. Um trapézio isósceles C tem base igual a 4cm e está circunscrito a um círculo de 1cm de raio. Seja EF uma paralela à base e tangente ao círculo inscrito. Calcule o segmento EF. Se mede b, a medida de C é igual a: ab b + a ab b a c) d) e) ab b a a b b + a a b b a 61. O palco de uma casa de espetáculos tinha o formato do trapézio da figura, e por motivos estéticos foi cortado formando um círculo que seria inscrito no trapézio. Calcule o raio do círculo, se = 1 m, D = 6 m e C = 8m. 34 EM_V_MT_07

39 EM_V_MT_ C 3π cm D D ( ) π cm π RR C E 1. 5m. Resposta pessoal a 0 35

40 D cm E 31. C 3. E 33. D 34. E C 37. E 38. C 39. E E E 46. C 47. E 48. C y = 16; x = C C 55. E 56. C 57. E 58. C 59. E C x = 1 ou x = Demonstração. 1cm 7% D São iguais. E cm 11. ( 6 4 )cm 1. R.sena Resposta pessoal cm 16. π 17. π cm 19. 0m 0. 5 cm 1. 8,4. S/ S/3 c) S/6 d) S/3 e) S/6 f) S/1 g) S/3 h) S/4 i) S/4 EM_V_MT_07

41 j) S/1 k) S/7 l) S/6 m) S/ I = 4 DI 44. P = 3 P n) S/3 o) S/70 3. R$300,00 (trezentos reais) C 6. Demonstração. 7. E D C 45 R = R l = R Rl l + Rl R = 0 = ( 5 1)R 46. FG = ^C = Resposta pessoal. Resposta pessoal. P P^C = ; 0; 16; 5 EM_V_MT_ C 35. = 300 = segundos x = x = 6 J JD = D = 8cm 40. DC = 1cm D 41. O perímetro de POR vale 8cm. O C = OC = OC 3 4. y x = cm e 9cm 8 8cm 4 15cm 6m 1cm Raio =,4cm C 37

42 38 EM_V_MT_07

43 EM_V_MT_07 39

44 40 EM_V_MT_07