ANÁLISE DE UM PROCESSO DE ATENDIMENTO DE EMERGÊNCIA USANDO TEORIA DE FILAS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO UNIVERSITÁRIO NORTE DO ESPÍRITO SANTO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E COMPUTAÇÃO CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO KARINA PEDRINI FRAGA ANÁLISE DE UM PROCESSO DE ATENDIMENTO DE EMERGÊNCIA USANDO TEORIA DE FILAS SÃO MATEUS 2012

2 KARINA PEDRINI FRAGA ANÁLISE DE UM PROCESSO DE ATENDIMENTO DE EMERGÊNCIA USANDO TEORIA DE FILAS Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Engenharias e Computação da Universidade Federal do Espírito Santo, como requisito parcial para obtenção do grau de Bacharel em Engenharia de Produção. Orientador: Prof. Glaydston Mattos Ribeiro. SÃO MATEUS 2012

3 KARINA PEDRINI FRAGA ANÁLISE DE UM PROCESSO DE ATENDIMENTO DE EMERGÊNCIA USANDO TEORIA DE FILAS Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Engenharias e Computação da Universidade Federal do Espírito Santo, como requisito parcial para obtenção do grau de Bacharel em Engenharia de Produção. Aprovada em 28 de junho de BANCA EXAMINADORA Prof. Dr. Glaydston Mattos Ribeiro Universidade Federal do Espírito Santo Orientador Prof. MSc. Caroline Cavatti Vieira Universidade Federal do Espírito Santo Prof. MSc. Wellington Gonçalves Universidade Federal do Espírito Santo

4 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente à minha família o incentivo, os esforços e a compreensão despendidos durante toda minha graduação, em especial à minha mãe Rozangela Pedrini Fraga e ao meu pai Diracy da Silva Fraga (in memorian) o amor incondicional e a base que deram em minha vida. Agradeço ao professor Glaydston Mattos Ribeiro a atenção e o direcionamento dados durante a orientação, assim como a clareza e objetividade no tratamento das dúvidas que surgiram. Agradeço ao Pronto Atendimento na Unidade de São Mateus, em especial ao enfermeiro e gestor Jorge Luiz Pinto Barros, por conceder que a pesquisa utilizasse dados coletados neste Pronto Atendimento, sem os quais não seria possível a realização deste trabalho. À professora Caroline Cavatti Vieira, agradeço a disponibilidade em me atender para fornecer esclarecimento e sanar dúvidas a cerca da estatística envolvida neste trabalho. À aluna Guanaeli Taquini Deolindo, amiga e companheira de projeto, agradeço a participação na etapa de coleta de dados e nas reuniões necessárias, assim como as várias contribuições para a realização deste trabalho, com sugestões, ideias e incentivo. Agradeço ao Alexandre Venturin Faccin Pacheco, amigo de curso, a ajuda que me deu na redação do abstract. Aos acadêmicos Igor Cotta Siqueira, Manoela Coelho Leite e Marcos Wagner Jesus Servare Junior, sou agradecida pelo auxílio concedido ao participarem da etapa da coleta de dados deste trabalho. Ao professor José de Castro sou grata por despertar meu interesse a cerca da Teoria de Filas a partir do projeto que deu origem a este trabalho, em que inicialmente me orientou. De maneira geral, agradeço a todos que, de alguma maneira, contribuíram para a realização deste trabalho.

5 RESUMO Sistemas prestadores de serviços frequentemente geram filas de usuários. As filas, que acarretam na perda de produtividade de todo o sistema, causam redução do nível de serviço ao consumidor final e custos extras, visto que a existência de filas e o tempo de permanência nelas estão relacionados com a eficiência do sistema prestador de serviços. Quando se trata do setor da saúde, devem-se considerar ainda as consequências que o atraso gerado por espera em uma fila pode ocasionar a um indivíduo enfermo, como a diminuição da probabilidade de cura e a gravidade das sequelas. A Teoria de Filas, um ramo da Pesquisa Operacional, é utilizada para estudo de processos formadores de filas, com a finalidade de produzir indicadores de desempenho do processo real e de cenários propostos. A importância de gerar indicadores de desempenho, ainda que analíticos, é auxiliar a tomada de decisão de maneira que o tamanho das filas e a permanência de indivíduos nelas sejam minimizados. Neste trabalho, a metodologia da Teoria de Filas foi aplicada à recepção de um Pronto Atendimento do setor público de saúde localizado no município de São Mateus, no estado do Espírito Santo, a fim de analisar o comportamento da fila existente. Algumas das medidas de desempenho analisadas fazem referência à quantidade média de indivíduos na fila e no sistema, o tempo médio de espera na fila e no sistema, assim como a sua taxa de ocupação. Palavras-chave: Teoria de Filas. Pronto Atendimento. Filas. Medidas de desempenho.

6 ABSTRACT Service providers often generate queues of users. The lines, which lead to loss of productivity of the entire system, reduce service level to the end consumer and extra costs, since the length of lines and the waiting time therein are related to the efficiency of the system. When we consider the lines associated to health sector, it is also necessary to consider the consequences that the delay generated by waiting in a queue may result in an individual patient, such as decreased likelihood of cure and severity of sequelae. Queueing Theory, a branch of Operations Research, is used to study processes that creates queues in order to generate performance indicators of the actual process or even of proposed scenarios. The importance of generating performance indicators is to assist decision-making so that the size of the queues and the permanence of individuals in them are minimized. The Queueing Theory was applied to the reception of an emergency department of the public health sector in the city of São Mateus, Espírito Santo State, in order to analyze the behavior of the existing queue. Some of the performance indicators analyzed refers to the average number of individuals in the queue and in the system, the average waiting time in queue and in the system, as well as the occupancy rate of the system. Keywords: Queueing Theory. Emergency Department. Queues. Performance indicators.

7 LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 Representação de um sistema com filas...14 Figura 2.2 Cadeia de Markov...18 Figura 5.1 Recepção do Pronto Atendimento...33 Figura 5.2 Coleta de dados...35 Figura 5.3 Tamanho médio da fila em função da taxa de utilização...44

8 LISTA DE TABELAS Tabela 5.1 Horário das chegadas dos usuários ao sistema...36 Tabela 5.2 Valores envolvidos no Teste Kolmogorov-Smirnov para intervalo entre chegadas...37 Tabela 5.3 Duração do atendimento de cada usuário do sistema...39 Tabela 5.4 Valores envolvidos no Teste Kolmogorov-Smirnov para o tempo de atendimento...41 Tabela 5.5 Valores das medidas de desempenho para variações na demanda...48

9 LISTA DE SIGLAS FDA Função de Distribuição Acumulada FDE Função de Densidade Empírica FIFO Fist in First out LIFO Last in First out PA Pronto Atendimento PRI Priority Service SIRO Service in Random Order VA Variável Aleatória

10 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO EMBASAMENTO TEÓRICO TEORIA DE FILAS Estrutura de um Sistema com Fila Disciplinas de Atendimento Notação de Kendall-Lee Processos Markovianos Medidas de Desempenho Aplicações CURVAS DE DISTRIBUIÇÃO A Distribuição de Poisson A Distribuição Exponencial TESTES DE ADERÊNCIA Teste Kolmogorov-Smirnov MODELOS DE FILAS CONSIDERADOS MODELO M/M/1/ /FIFO Sistema M/M/1/ /FIFO no Regime Estacionário Medidas de Desempenho para o Modelo M/M/1/ /FIFO MODELO M/M/1/ /FIFO Sistema M/M/ / /FIFO no Regime Estacionário Medidas de Desempenho para o Modelo M/M/ / /FIFO METODOLOGIA TIPO DE PESQUISA CAMPO DE ESTUDO POPULAÇÃO DA AMOSTRA COLETA DE DADOS... 31

11 4.5 ANÁLISE DOS DADOS ESTUDO DE CASO E ANÁLISE DE RESULTADOS ESTRATÉGIA DE COLETA DE DADOS ANÁLISE DO PROCESSO DE CHEGADA DOS CLIENTES Teste Kolmogorov-Smirnov para a Chegada dos Clientes ANÁLISE DO PROCESSO DE ATENDIMENTO Teste Kolmogorov-Smirnov para o Processo de Atendimento MEDIDAS DE DESEMPENHO GERAÇÃO DE CENÁRIOS LEI MUNICIPAL MODELO M/M/2/ /FIFO VARIAÇÕES NA DEMANDA CONCLUSÕES E SUGESTÕES DE MELHORIA REFERÊNCIAS APÊNDICE A Tabela Utilizada na Coleta de Dados: Intervalo Entre Chegadas...54 APÊNDICE B Tabela Utilizada na Coleta de Dados: Tempo de Atendimento..55 ANEXO A Tabela de Distribuição de Kolmogorov-Smirnov D... 56

12 11 1 INTRODUÇÃO Filas de espera são encontradas em diversas situações do cotidiano e são responsáveis por perda de tempo, um quesito de suma importância numa época em que a produtividade torna-se cada vez mais significante. Elas podem acarretar desde transtornos pessoais até prejuízos na produção, pagamento de altas multas e perda de futuros negócios. De maneira geral, um sistema com fila [...] é qualquer processo onde usuários oriundos de uma determinada população chegam para receber um serviço pelo qual esperam, se for necessário, saindo do sistema assim que o serviço é completado. Essa espera acontece quando a demanda é maior do que a capacidade de atendimento oferecido, em termos de fluxo (FOGLIATTI; MATTOS, 2007, p. 07). Sistemas prestadores de serviços frequentemente geram filas de usuários. Tais filas, que geralmente são toleradas, causam, não apenas na irritação dos indivíduos nela presentes, mas também na perda de produtividade de todo o sistema, pois motivam, muitas vezes, custos extras, má qualidade no atendimento e, consequentemente, redução do nível de serviço oferecido. No setor da saúde, o tempo perdido em filas [...] exerce impactos significativos sobre o bem-estar, as probabilidades de cura, a natureza e extensão das sequelas nos pacientes, nos familiares envolvidos e na sociedade (MARINHO, 2006, p. 2230). A existência de filas e o tempo de permanência nelas estão relacionados com a eficiência do sistema prestador de serviços. O estudo das filas e dos processos que as geram é uma maneira de buscar a melhoria desta eficiência. A Pesquisa Operacional, por meio da Teoria de Filas, é utilizada para estudo de processos formadores de filas, a fim de produzir indicadores de desempenho do processo real e de cenários propostos, que auxiliarão na tomada de decisão para minimizar o tamanho das filas e a permanência de indivíduos nelas. A Teoria de Filas é um ramo que estuda a formação de filas a partir da [...] modelagem analítica de processos ou sistemas que resultam em espera [...] (FOGLIATTI; MATTOS, 2007, p. 01) e auxilia no dimensionamento e gestão de

13 12 sistemas. Assim, este trabalho delimita-se no estudo do comportamento da fila existente na recepção do setor público de saúde: um Pronto Atendimento (PA) situado na cidade de São Mateus Espírito Santo a partir do uso de Teoria de Filas, com o intuito de verificar a aplicabilidade desta teoria e propor melhorias, se possível. Marinho e Cardoso (2007) citam que a teoria de filas vem tendo larga aplicação na área de saúde, e, conforme Lima e Belderrain (2007), ela pode ajudar a melhorar a capacidade de atendimento dos hospitais. Considerando assim a [...] superlotação nos hospitais e prontos-socorros, [...] o que provoca grandes esperas nesses locais de atendimento (SOUZA, 2010, p.1), e a realidade identificada no PA de São Mateus, acredita-se que este trabalho poderá ajudar no desenvolvimento de novas estratégias de atendimento a serem implantadas no PA. A partir da quantificação das medidas de desempenho do sistema de filas, como a identificação do número médio de usuários na fila e do tempo médio de espera de um usuário na fila, o tomador de decisão poderá promover ações que propiciem uma melhora no nível de serviço oferecido à população, e também estudar possíveis cenários a partir de variações como, por exemplo, da variação na demanda. Assim, de maneira específica, este trabalho tem como objetivo principal a validação da aplicabilidade da Teoria de Filas, a partir da análise do comportamento real de formação de fila em uma recepção de um Pronto Atendimento do setor público de saúde. Para alcançar o objetivo principal deste trabalho, alguns objetivos específicos foram traçados: observação e entendimento do sistema delimitado; obtenção das curvas de distribuição de probabilidade referentes aos processos de chegada e de atendimento; análise do comportamento dessa fila a partir da Teoria de Filas; e desenvolvimento de cenários. O restante do trabalho está assim dividido. No Capítulo 2 é apresentada uma revisão

14 13 da literatura a cerca de Teoria de Filas, curvas de distribuição e testes de aderência. O Capítulo 3 apresenta os modelos de filas utilizados neste trabalho. O Capítulo 4 expõe a metodologia do trabalho, com as classificações em relação ao tipo de pesquisa. O estudo de caso e os principais resultados estão mostrados no Capítulo 5. No Capítulo 6 são apresentados os cenários propostos aos gestores do sistema em questão para posteriores tomadas de decisão, e o Capítulo 7 contém as conclusões e sugestões de melhoria.

15 14 2 EMBASAMENTO TEÓRICO 2.1 TEORIA DE FILAS Segundo Hillier e Lieberman (2001), a Teoria de Filas estuda a espera em diversas formas de filas. Tal teoria busca definir maneiras de lidar mais eficientemente com sistemas de filas. Esta definição é possível a partir da determinação da maneira como o sistema de filas funcionará e o tempo médio de espera nas mesmas a partir da utilização de modelos de filas para diversas situações reais. Fogliatti e Mattos (2007) citam como objetivo da Teoria de Filas a determinação de medidas de desempenho que podem considerar a ótica do usuário o tamanho médio da fila e os tempos médios na fila e de permanência no sistema e a ótica da gerência o tempo médio de serviço e a taxa de ociosidade dos atendentes Estrutura de um Sistema com Fila Fogliatti e Mattos (2007) definem que um sistema com fila consiste na chegada de usuários que necessitam de um determinado serviço, esperam numa fila que se forma quando a taxa de atendimento é menor que a taxa de chegada de usuários, são atendidos e saem do sistema após o serviço ser prestado. A Figura 2.1 ilustra um sistema de fila genérico. Figura 2.1 Representação de um sistema com filas Fonte: Hillier e Lieberman (2001, p.836).

16 15 Os usuários ou clientes do sistema são também conhecidos como entidades por Prado (2009), que salienta que o termo pode significar uma pessoa, um navio e até mesmo um lingote presente na indústria siderúrgica. Moreira (2007) diz que a fonte dos clientes pode ser infinita ou finita, sendo que infinita é quando uma nova chegada não sofre interferência do tamanho da fila. Já em uma fonte finita ocorre o contrário. O processo de chegadas de um usuário no sistema, segundo Fogliatti e Mattos (2007), pode ser determinístico, quando a quantidade de chegadas e os momentos em que elas ocorrem são conhecidos, ou estocástico, quando se tem um comportamento aleatório. Os processos estocásticos são caracterizados por distribuições de probabilidade. De acordo com Hillier e Lieberman (2001), a hipótese comum é que o número de chegadas de clientes é dado por uma distribuição de Poisson. A chegada de clientes no sistema também é classificada por Fogliatti e Mattos (2007) como individual ou em grupos. Um exemplo para o caso individual é a chegada de um navio em um porto para carregamento. Para a chegada em grupo, um exemplo são pessoas de uma excursão chegando a um ponto turístico. Hillier e Lieberman (2001) afirmam que o atendimento em um sistema de fila se dá por meio de um ou vários canais de atendimento paralelos conhecidos como atendentes. Também chamados de postos de serviço, o número de canais de atendimento são classificados por Fogliatti e Mattos (2007) como finito ou infinito. O caso finito é exemplificado por caixas em um banco e o infinito em atendimentos do tipo self-service, como em um restaurante, onde cada recipiente que disponibiliza comida aos clientes é um posto de serviço, sendo que o cliente também faz o papel de servidor. Para Hillier e Lieberman (2001), o tempo de atendimento em um sistema com fila deve ser especificado para cada atendente, ou até mesmo para todos a partir de uma distribuição probabilística. A distribuição de tempo de atendimento que é suposta com maior frequência na prática [...] é a distribuição exponencial [...] (HILLIER; LIEBERMAN, 2001, p. 837). Em relação ao sistema é importante ainda definir sua capacidade, que é [...] o

17 16 número máximo de usuários que o mesmo comporta (incluindo fila e atendimento) e pode ser finita ou infinita (FOGLIATTI e MATTOS, 2007, p. 9). Quando a capacidade é finita, os clientes que chegam ao sistema após a capacidade máxima ser atingida são rejeitados. Para o caso de capacidade infinita pode-se citar a espera de navios em ambiente aquaviário para descarregamento em um porto Disciplinas de Atendimento Segundo Hillier e Lieberman (2001), disciplina de atendimento é a maneira em que os usuários que estão na fila são selecionados para serem atendidos. Fogliatti e Mattos (2007) citam os tipos mais utilizados: first in first out (FIFO): o atendimento é realizado de acordo com a ordem de chegada; last in first out (LIFO): o último usuário a chegar é o primeiro a ser atendido; priority service (PRI): há utilização de prioridades determinadas pela gerência do sistema para a ocorrência dos atendimentos; e service in random order (SIRO): o atendimento ocorre com ordem aleatória Notação de Kendall-Lee Fogliatti e Mattos (2007) relatam que a Notação de Kendall-Lee é uma maneira de descrever os sistemas para simplificação de sua análise, a partir da utilização de cinco características descritas da seguinte maneira: A/B/ /D/E. Onde: A faz referência ao tipo de distribuição de probabilidade do processo de chegada ao sistema; B refere-se ao tipo de distribuição de probabilidade do processo de atendimento;

18 17 determina o número de postos de atendimento em paralelo; D indica a capacidade física do sistema; e E faz menção à disciplina da fila. Os parâmetros A e B podem assumir D, M, E k e G, onde D indica uma distribuição determinística ou degenerada, M denota uma distribuição Exponencial (Memoryless ou Markoviana), E k representa uma distribuição Erlang do tipo k e G refere-se a uma distribuição não especificada. Por exemplo, a notação D/D/ / /FIFO representa um sistema em que os intervalos entre chegadas sucessivas dos usuários ao sistema e os tempos de atendimento se comportam de acordo com uma distribuição determinística. Há apenas um posto de atendimento, o sistema tem capacidade infinita e o atendimento ocorre de acordo com a disciplina FIFO Processos Markovianos O processo Markoviano, segundo Fogliatti e Mattos (2007), é um processo estocástico (probabilístico) que possui a propriedade denominada ausência de memória ou memoryless. De acordo com essa propriedade, a distribuição probabilística de um evento independe dos eventos que ocorreram anteriormente a ele, mas depende do estado atual. Assim, dada uma sequência de tempos :. A Cadeia de Markov é um processo markoviano e pode ser representada por um diagrama que apresenta os estados discretos de um sistema por meio de nós, e as transições entre esses estados por meio de arcos. Sendo estado a quantidade de usuários em um sistema. Um processo de nascimento e morte é uma Cadeia de Markov em que, dado um estado, as únicas mudanças possíveis são para o estado ou. O nascimento é a alteração para o estado e a morte, para o estado, sendo que [...] no contexto da teoria das filas, o termo nascimento corresponde à

19 18 chegada de um novo cliente no sistema de filas e a morte refere-se à partida de um cliente atendido (HILLIER;LIEBERMAN, 2001, p. 848). As transições dependem apenas do estado do sistema, por meio de e, que são as taxas de chegada de usuários ao sistema e de atendimento do usuário, respectivamente. A Figura 2.2 ilustra uma Cadeia de Markov. Figura 2.2 Cadeia de Markov Fonte: Karlin e McGregor (apud HILLIER e LIEBERMAN, 2001, p. 849) Medidas de Desempenho Medidas de desempenho são utilizadas para avaliar a eficiência de um sistema por meio da análise de suas características (FOGLIATTI; MATTOS, 2007, p.11). As medidas de desempenho mais utilizadas, de acordo com Hillier e Lieberman (2001) e Fogliatti e Mattos (2007), são: : número médio de clientes no sistema; : número médio de clientes na fila; : tempo médio de espera no sistema de um cliente qualquer; : tempo médio de espera na fila por um cliente qualquer; : probabilidade de que se tenha no sistema um número de clientes, no máximo; : probabilidade de que um cliente tenha que esperar mais que um tempo na fila; e : Probabilidade de que um sistema com postos de atendimento tenha algum servidor ocioso.

20 Aplicações Encontram-se na literatura várias pesquisas que envolvem a Teoria das Filas na área de atendimento emergencial do setor de saúde. Lima e Belderrain (2007) empregaram conceitos de Teoria de Filas para propor melhorias no atendimento de um pronto socorro. Marinho e Cardoso (2007) abordaram o problema das filas para internações relacionadas com a gravidez, o parto e o puerpério no Sistema Único de Saúde, que assim como a fila num pronto atendimento possui caráter emergencial. A Teoria de Filas também foi base para a pesquisa de Marinho et al (2010) sobre as disparidades nas filas para transplantes de órgãos nos estados brasileiros. Souza (2010), em sua tese de doutorado, utilizou os conceitos de Teoria de Filas para configurar a localização e a prioridade de atendimento das ambulâncias do Sistema de Atendimento Móvel de Urgência (SAMU). Takeda et al (2004) também abordaram ambulâncias, na avaliação da descentralização destas em um sistema urbano de atendimento médico de urgência, a partir da teoria de filas. Contri (2007) utilizou a Teoria de Filas em sistemas de atendimento emergenciais em sua tese de doutorado, a fim de otimizar o sistema de socorro oferecido pelo corpo de bombeiros. Mendonça e Morabito (2000) e Iannoni e Morabito (2006) relacionam em seus artigos a Teoria de Filas a sistemas médicos emergenciais em rodovias. 2.2 CURVAS DE DISTRIBUIÇÃO De acordo com Ferreira (2005) as distribuições de probabilidade podem ser contínuas ou discretas. Uma distribuição de probabilidade de uma variável discreta é o [...] conjunto dos valores de uma variável aleatória [(VA)] discreta e suas respectivas probabilidades [...] (MOREIRA, p.175). A diferença para as

21 20 variáveis contínuas é que, de acordo com Moreira (2007), em vez de valores de variáveis tem-se faixa de valores. Nesta Seção serão abordadas distribuições de probabilidade em que comumente o número de chegadas e os tempos de atendimento se enquadram: a distribuição de Poisson e a distribuição Exponencial, respectivamente A Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta e é utilizada [...] quando se deseja contar o número de eventos de certo tipo, que ocorrem em um intervalo de tempo, ou superfície ou volume (FERREIRA, 2005, p.113). Ferreira (2005) apresenta a função de probabilidade da distribuição Poisson de acordo como apresentado na Equação 2.1: (2.1) onde: ; e é o número esperado (E [X] = λ) ou número médio de ocorrências A Distribuição Exponencial Para Moreira (2007) a distribuição Exponencial é uma distribuição contínua que é muito utilizada em teoria de filas para descrever o tempo gasto ao se desenvolver uma tarefa. Moreira (2007) define a função de densidade exponencial como mostra a Equação 2.2:, (2.2) onde:

22 21 = valor da variável aleatória; ; = valor médio da variável aleatória;. De acordo com Morettin e Bussab (2002), a função de distribuição acumulada (FDA) da VA, na qual: pode ser definida ao se integrar a função densidade de probabilidade, com limites de integração de - a. Assim, a função de distribuição acumulada exponencial é dada pela Equação 2.3: (2.3) 2.3 TESTES DE ADERÊNCIA Segundo Morettin e Bussab (2002), teste de aderência é uma maneira de averiguar se uma população segue uma distribuição especificada ou seja, verificar a hipótese nula. Falcetta (2000) apresenta dois tipos de teste de aderência: o teste do Qui-Quadrado, utilizado, preferencialmente, em distribuições discretas e o teste Kolmogorov- Smirnov, empregado, preferencialmente, em distribuições contínuas. A seguir, é apresentado apenas o teste Kolmogorov-Smirnov por ter sido utilizado neste trabalho Teste Kolmogorov-Smirnov De acordo com Paula et al (2003, p. 367), este teste [...] procura descrever a distribuição de frequência acumulada que ocorreria sob a distribuição teórica (hipótese formulada), e compará-la com a distribuição de frequência acumulada observada.

23 22 Assim, segundo Morettin e Bussab (2002), seja: uma amostra, referente a uma variável aleatória de uma população ; : o número de observações menores ou iguais a ; : a função de distribuição acumulada (FDA) da VA ; e : uma função de densidade empírica (FDE). O objetivo do teste é verificar a hipótese nula, para todo, isto é, testar se a distribuição acumulada de condiz com uma distribuição de probabilidades especificada. É necessário comparar a FDA de, sob hipótese nula, com a FDE a partir da realização da diferença entre estas funções. Morettin e Bussab (2002) afirmam que, dados pontos amostrais, a FDE é dada pela Equação 2.4: (2.4) Deve-se obter o máximo valor absoluto FDE a partir da Equação 2.5: entre a FDA de, sob hipótese nula, e a, para. (2.5) O objetivo do teste é alcançado quando o valor encontrado para é comparado a um valor crítico, dado pela tabela de Distribuição de Kolmogorov-Smirnov D ANEXO A a partir da fixação do número de amostras e do nível de significância escolhido. O nível de significância é a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula caso ela seja verdadeira, isto é, considerar que a distribuição acumulada de,, não condiz com uma distribuição de probabilidades especificada, quando na verdade condiz. O nível de significância em geral assume valores iguais a 5%, 1% ou 0,1%. Dessa forma, se o valor de for menor que o valor crítico tabelado, constata-se que a hipótese nula é verdadeira, ou seja, a distribuição acumulada de condiz com uma distribuição especificada. Caso contrário, rejeita-se e, portanto, a distribuição analisada não condiz com a distribuição especificada. De acordo com Morettin e Bussab (2002), o valor crítico para o teste Kolmogorov-

24 23 Smirnov, para um número de observações maior que 50 e ao nível de 5% de significância, é dado pela Equação 2.6: (2.6)

25 24 3 MODELOS DE FILAS CONSIDERADOS Na literatura existem vários modelos de filas, conforme pode ser constatado em Fogliatti e Mattos (2007) ou Hillier e Lieberman (2001). Entretanto, devido às características do problema alvo deste trabalho, o sistema de filas no PA de São Mateus, e às análises realizadas nos Capítulos 5 e 6, dois modelos de filas serão apresentados a seguir: M/M/1/ /FIFO e M/M/ / /FIFO. O modelo M/M/1/ /FIFO representa a situação atual do PA de São Mateus, e o modelo M/M/ / /FIFO permite avaliar futuras alterações no sistema de filas, ao se considerar mais de um atendente. 3.1 MODELO M/M/1/ /FIFO De acordo Fogliatti e Mattos (2007), neste modelo os intervalos entre chegadas sucessivas e os tempos de atendimento seguem distribuições Markovianas, isto é, estes eventos ocorrem segundo distribuições exponenciais, num processo de nascimento e morte. Este modelo apresenta apenas um posto de atendimento e possui capacidade física infinita para a fila de espera. O atendimento ocorre de acordo com a ordem das chegadas dos usuários ao sistema e possui taxa constante, descrita por:, para todo. A taxa de atendimento ao sistema também é constante, dada por:, para todo Sistema M/M/1/ /FIFO no Regime Estacionário Fogliatti e Mattos (2007) descrevem a probabilidade de o sistema estar no estado,, isto é, a probabilidade de o sistema possuir clientes, conforme a Equação 3.1: (3.1)

26 25 onde é dado pela Equação 3.2:, (3.2) e representa a probabilidade do sistema estar vazio. Para o modelo M/M/1/ /FIFO que se encontra no regime estacionário, substitui-se por e por nas Equações 3.1 e 3.2 e obtêm as Equações 3.3 e 3.4:, para todo (3.3). (3.4) O parâmetro, denominado taxa de ocupação/utilização do sistema, é definido na Equação 3.5:. (3.5) Substituindo a Equação 3.5 nas Equações 3.3 e 3.4 chega-se a Equação 3.6:, para todo. (3.6) Medidas de Desempenho para o Modelo M/M/1/ /FIFO Nesta Seção algumas medidas de desempenho tiveram suas equações descritas para o modelo M/M/1/ /FIFO. Segundo Fogliatti e Mattos (2007): número médio de usuários no sistema: considerando-se usuários em um sistema em regime estacionário, com distribuição de probabilidade e, o valor esperado é dado pela Equação 3.7: se, caso contrário, a fila se tornará infinita e não se pode calcular. (3.7) número médio de usuários na fila: seja o número de usuários na fila de um sistema no regime estacionário, onde:

27 26, para todo,,. O valor esperado para é dado pela Equação 3.8:. (3.8) Probabilidade de se ter mais do que elementos no sistema: esta medida de desempenho é utilizada para ponderar a necessidade de cadeiras, banheiros e outras instalações no local onde ocorre a fila. Seu valor esperado encontra-se definido pela Equação 3.9:. (3.9) Função de distribuição acumulada do tempo de espera na fila: seja o tempo em que um usuário qualquer aguarda por atendimento na fila em um sistema no regime estacionário. depende do número de usuários que se encontram à sua frente, assim como o tempo de atendimento desses usuários, sendo que, ao chegar ao sistema, o mesmo pode estar vazio ou com elementos. é a função de distribuição acumulada de e descreve qual a probabilidade de espera de, no máximo, um tempo, numa fila. Assim, é dada pela Equação 3.10:. (3.10) ) Função de densidade do tempo de espera na fila: dado pela Equação 3.11:. (3.11) Função de distribuição acumulada do tempo de permanência no sistema: de maneira análoga a, é descrito na Equação 3.12:, para todo. (3.12)

28 27 A partir da Equação 3.12 pode-se chegar à Equação 3.13, que informa o valor esperado para, o tempo de permanência no sistema:. (3.13) Tempo médio de espera na fila: dado pela Equação 3.14:. (3.14) Tempo médio de permanência no sistema: é obtido a partir da soma do tempo médio de espera na fila com o tempo médio de atendimento e condiz com o que foi definido na Equação 3.13, conforme mostra e Equação 3.15:. (3.15) Probabilidade do tempo de espera na fila ser maior do que um tempo : dado pela Equação 3.16:. (3.16) 3.2 MODELO M/M/ / /FIFO O modelo M/M/ / /FIFO possui servidores, com intervalos entre chegadas e tempo de atendimento de cada servidor comportando-se conforme distribuições exponenciais, num processo de nascimento e morte. Este modelo possui capacidade física infinita para a fila de espera e o atendimento ocorre de acordo com a ordem das chegadas dos usuários ao sistema As taxas das chegadas e dos atendimentos são expressos nas Equações 3.17 e 3.18, respectivamente:, para todo, (3.17) (3.18)

29 Sistema M/M/ / /FIFO no Regime Estacionário Seja, então a taxa de utilização do sistema é dada pela Equação 3.19:. (3.19) Substituindo as Equações 3.17 e 3.18 na Equação 3.1 chega-se nas Equações 3.20 e 3.21: (3.20) (3.21) Assim como no modelo M/M/1/ /FIFO, esse sistema de filas não apresenta fila infinita se Medidas de Desempenho para o Modelo M/M/ / /FIFO De acordo com Fogliatti e Mattos (2007), as medidas de desempenho para este modelo são apresentadas abaixo: Número médio de elementos na fila: esta medida é descrita pela Equação 3.22:. (3.22) número médio de usuários no sistema: o valor esperado é dado pela Equação 3.23:. (3.23) Tempo médio de espera na fila: dado pela Equação 3.24:

30 29. (3.24) 3.25: Tempo médio de permanência no sistema: obtido a partir da Equação. (3.25) Função de distribuição acumulada do tempo de espera na fila: seja o tempo em que um usuário qualquer aguarda por atendimento na fila. Quando o número de usuários que se encontram à frente deste usuário considerado for menor ou igual a, assume o valor de zero. Assim, é positivo e no máximo um valor, se o usuário tem à sua frente usuários com e os servidores realizam pelo menos serviços até. Segue que é descrita pela Equação 3.26: ). (3.26)

31 30 4 METODOLOGIA De acordo com o minidicionário Aurélio da língua portuguesa, pesquisa é investigação e estudo, minuciosos e sistemáticos, com o fim de descobrir fatos relativos a um campo do conhecimento (FERREIRA, 2004, p. 627). A metodologia tem como função possibilitar esse estudo sistemático, sendo utilizada como condutora do pesquisador nas várias etapas da pesquisa, ou seja, [...] um caminho a ser trilhado pelo pesquisador no processo de produção de conhecimentos sobre a realidade que se busca conhecer (TOZONI-REIS, 2009, p. 16). Segundo Vilaça (2010), a análise de metodologias permite a identificação da abordagem da pesquisa, a escolha dos instrumentos da coleta de dados e o planejamento dos procedimentos de tratamento e análise de dados. Assim, buscou-se classificar este trabalho a fim de que os métodos e as técnicas utilizadas nele, que se encontram descritos no Capítulo 5, sejam entendidos. É importante ressaltar que existem várias maneiras de classificar uma pesquisa, podendo variar de acordo com o autor e que uma mesma pesquisa pode estar, ao mesmo tempo, enquadrada em várias classificações [...] (SILVA; MENEZES, 2001, p. 23). 4.1 TIPO DE PESQUISA Em relação à natureza, esta pesquisa classifica-se, segundo Vilaça (2010), como aplicada porque visa à resolução de problemas reais, com objetivo de testar teorias e produzir conhecimento. De acordo com Severino (2007), esta pesquisa pode ser classificada em relação à abordagem como quantitativa. A abordagem quantitativa se deve ao fato de que os resultados desta pesquisa dependem da aplicação de formulações matemáticas, relativas à Teoria de Filas. Esta pesquisa também pode ser classificada, em relação aos seus objetivos, como pesquisa descritiva, pois visa descrever as características de determinada população ou fenômeno ou o estabelecimento de relações entre variáveis (GIL,

32 31 apud SILVA e MENEZES, 2001, p.21). 4.2 CAMPO DE ESTUDO O campo de estudo desta pesquisa é a Pesquisa Operacional, que trata [...] de problemas de decisão e faz uso de modelos matemáticos que procuram representar (em certo sentido, imitar) o problema real (ARENALES et al, 2007, p. 4). Dentro da Pesquisa Operacional foi abordada a disciplina de Teoria de Filas. O problema real analisado neste estudo é o sistema de fila existente num Pronto Atendimento do setor público de saúde. 4.3 POPULAÇÃO DA AMOSTRA A população deste estudo foi pesquisada por meio da técnica de amostragem que, segundo Lakatos e Marconi (2006), consiste em escolher uma parte representativa do todo para o estudo, de maneira que os resultados referentes à amostra pesquisada sejam suficientes para gerar conclusões a respeito da população total. Assim, a população desta pesquisa são os hospitais do setor público de saúde de São Mateus e a amostra um Pronto Atendimento do setor público de saúde de São Mateus. A amostra pesquisada consiste nas pessoas que chegam ao pronto atendimento em determinado dia e horário, mas apenas as pessoas usuárias do sistema, ou seja, aquelas que chegam e recebem atendimento na recepção. Não houve distinção entre os usuários do sistema em relação a critérios de priorização de atendimento a deficientes físicos, gestantes e idosos. 4.4 COLETA DE DADOS A técnica utilizada na pesquisa em questão foi a observação, que [...] é uma técnica

33 32 de coleta de dados para conseguir informações e utiliza os sentidos na obtenção de determinados aspectos da realidade (LAKATOS; MARCONI, 2006, p. 192). A observação desta pesquisa é classificada, de acordo com Lakatos e Marconi (2006), como sistemática, não-participante e na vida real. A observação é sistemática visto que foi observado o que realmente tem importância para o estudo, de maneira que foi realizado um planejamento para isso, apesar de não obedecer a normas muito rígidas. O fato de ser classificada como não participante se deve ao fato de que os observadores apenas presenciaram os eventos de chegada, espera na fila e atendimento na recepção, sem se incorporar ao grupo. A classificação de observação na vida real deve-se ao fato de o Pronto Atendimento ser um ambiente real, sendo que os eventos que nele ocorrem são espontâneos, não sofrem preparação pelo observador. 4.5 ANÁLISE DOS DADOS A análise dos dados é a tentativa de evidenciar as relações existentes entre o fenômeno estudado e outros fatores (LAKATOS; MARCONI, 2006, p. 169). Desta forma, a análise de dados desta pesquisa será realizada a partir da comparação dos resultados analíticos obtidos por meio da aplicação da Teoria de Filas no sistema estudado e em sistemas propostos.

34 33 5 ESTUDO DE CASO E ANÁLISE DE RESULTADOS 5.1 ESTRATÉGIA DE COLETA DE DADOS O sistema de filas estudado neste trabalho está associado à recepção do Pronto Atendimento situado no município de São Mateus, no estado do Espírito Santo, como mencionado anteriormente. Ele é delimitado da porta pela qual os usuários entram no Pronto Atendimento até a sala de recepção, onde se encontra um guichê em que o atendimento é realizado, conforme ilustra a Figura 5.1. Figura 5.1 Recepção do Pronto Atendimento Os usuários chegam ao sistema pela porta de entrada do PA e aguardam o atendimento na fila. No guichê, o atendimento consiste no preenchimento de uma ficha com os dados do paciente e a especialidade do médico que o mesmo necessita, de acordo com sua enfermidade. A disciplina da fila segue o padrão FIFO, de maneira que o atendimento ocorre de acordo com a ordem de chegada à fila. Esta pesquisa teve início com a busca de autorização junto à administração do PA em questão para que os dados fossem coletados. Também foi indagada à administração a quantidade de guichês na recepção, assim como o dia e o horário de maior movimento no pronto atendimento, para que houvesse fila no dia da coleta de dados. Assim, conforme indicação do administrador do PA, o período analisado foi uma

35 34 segunda-feira (05/09/2011), de 07h30min às 10h30min, que engloba o período de pico do pronto atendimento que é de 08h30min às 09h:30min. Observa-se que a coleta de dados iniciou uma hora antes e terminou uma hora depois do período de pico. Este procedimento foi realizado com o objetivo de tentar obter o período de pré-aquecimento, de aquecimento (horário de pico, sistema em regime de equilíbrio), e de pós-aquecimento, uma vez que [...] não há maneiras de prever com antecedência o ponto inicial do estado de equilíbrio (RIBEIRO, 2010, p. 64). A coleta de dados foi realizada pela autora deste trabalho e por mais três estudantes universitários voluntários. Foram utilizados crachás para identificação dos alunos pesquisadores no pronto atendimento. Houve ainda, a necessidade de preparação de tabelas para anotações dos quesitos a serem observados Intervalo entre chegadas: APÊNDICE A e Tempo de Atendimento: APÊNDICE B no momento da coleta de dados. Os pesquisadores foram à unidade de Pronto Atendimento a fim de observar características do sistema que tem importância para o estudo, as quais estão descritas a seguir: o intervalo entre chegadas de usuários no sistema o pesquisador 1 localizou-se próximo à porta de entrada do PA e anotou o horário referente à chegada de cada usuário ao sistema; a quantidade de pacientes que chegam em um mesmo instante anotada também pelo pesquisador 1; o tempo de atendimento na recepção do Pronto Atendimento os pesquisadores 2 e 3 localizaram-se próximo ao guichê e anotaram o momento em que o atendimento de cada usuário era iniciado e o momento em que o atendimento terminava; e o pesquisador 4 ficou a postos anotando irregularidades e substituindo os demais pesquisadores em pequenos intervalos de tempo, conforme necessidade. A Figura 5.2 ilustra o processo de coleta de dados.

36 35 Figura 5.2 Coleta de dados Em seguida, os dados coletados foram tabelados para serem utilizados posteriormente. O tratamento dos dados teve início com a aplicação do teste de aderência Kolmogorov-Smirnov, já citado na Seção deste trabalho, para constatação de que os tempos entre chegadas e os tempos de atendimentos se comportavam conforme uma distribuição Exponencial. A partir dessa constatação, as equações referentes à Teoria de Filas foram aplicadas, conforme Capítulo 3 deste trabalho. Desse modo, os resultados gerados informaram a situação atual do Pronto Atendimento estudado em relação às medidas de desempenho. Além disso, foram realizadas proposições de cenários para o PA. 5.2 ANÁLISE DO PROCESSO DE CHEGADA DOS CLIENTES Na Tabela 5.1 estão expressos os dados coletados em relação às chegadas dos usuários ao sistema.

37 36 Tabela 5.1: Horário das chegadas dos usuários ao sistema Paciente H. chegada Intervalo (s) Paciente H. Chegada Intervalo (s) 1 07:33: :31: :34: :34: :35: :36: :36: :42: :39: :44: :40: :45: :41: :47: :42: :49: :50: :54: :52: :55: :55: :57: :59: :58: :59: :05: :00: :06: :01: :07: :02: :10: :04: :16: :05: :17: :06: :19: :06: :21: :08: :28: :08: :33: :08: :34: :13: :39: :15: :39: :17: :43: :19: :51: :19: :54: :23: :54: :23: :00: :23: :07: :26: :10: :26:30 10 Durante o período pesquisado, a Tabela 5.1 indica que chegaram 65 clientes no sistema, gerando um ritmo de chegada de intervalo entre chegadas sucessivas é de clientes por minuto. A média de segundos. É importante ressaltar que e são inversamente proporcionais.

38 Teste Kolmogorov-Smirnov para a Chegada dos Clientes Para a realização deste teste, a hipótese nula é que os intervalos entre chegadas consecutivas na recepção do PA condizem com uma distribuição de probabilidade Exponencial, conforme Equação 2.3, e com parâmetro = 147,19 segundos: (5.1) Inicialmente, foram ordenados os valores relativos aos intervalos entre chegadas de usuários. A partir da Equação 5.1 foram calculados os valores da função de distribuição acumulada de, sob, e por meio da Equação 2.4 foram calculados os valores para a função de densidade empírica. Com os valores da função de distribuição acumulada e da função da distribuição empírica, foi obtido o valor absoluto da diferença entre essas funções. Esses resultados encontram-se na Tabela 5.2. Tabela 5.2: Valores envolvidos no Teste Kolmogorov-Smirnov para intervalo entre chegadas (continua) Intervalo Ordenado (s) ,0657 0,0156 0, ,0657 0,0313 0, ,0657 0,0469 0, ,1271 0,0625 0, ,1271 0,0781 0, ,1271 0,0938 0, ,1562 0,1094 0, ,1562 0,1250 0, ,1844 0,1406 0, ,1844 0,1563 0, ,2116 0,1719 0, ,2116 0,1875 0, ,2116 0,2031 0, ,2116 0,2188 0, ,2380 0,2344 0, ,2380 0,2500 0, ,2634 0,2656 0, ,2634 0,2813 0, ,2634 0,2969 0, ,2634 0,3125 0, ,2880 0,3281 0, ,3118 0,3438 0,0320

39 38 Tabela 5.2: Valores envolvidos no Teste Kolmogorov-Smirnov para intervalo entre chegadas (continuação e conclusão) Intervalo Ordenado (s) ,3348 0,3594 0, ,3570 0,3750 0, ,3992 0,3906 0, ,4193 0,4063 0, ,4193 0,4219 0, ,4756 0,4375 0, ,4931 0,4531 0, ,4931 0,4688 0, ,5100 0,4844 0, ,5100 0,5000 0, ,5422 0,5156 0, ,5575 0,5313 0, ,5575 0,5469 0, ,5865 0,5625 0, ,5865 0,5781 0, ,6004 0,5938 0, ,6137 0,6094 0, ,6266 0,6250 0, ,6266 0,6406 0, ,6391 0,6563 0, ,6628 0,6719 0, ,6628 0,6875 0, ,6849 0,7031 0, ,7341 0,7188 0, ,7341 0,7344 0, ,7341 0,7500 0, ,7430 0,7656 0, ,7599 0,7813 0, ,8170 0,7969 0, ,8456 0,8125 0, ,8508 0,8281 0, ,8606 0,8438 0, ,8652 0,8594 0, ,8863 0,8750 0, ,8938 0,8906 0, ,9073 0,9063 0, ,9244 0,9219 0, ,9404 0,9375 0, ,9479 0,9531 0, ,9497 0,9688 0, ,9590 0,9844 0, ,9676 1,0000 0,0324

40 Frequência Relativa Acumulada 39 Percebe-se, a partir da Tabela 5.2, que o máximo valor absoluto das diferenças entre a FDA e a FDE tem o valor de (destacado em negrito). De acordo com a Equação 2.6, o valor crítico para o teste é de, com 64 intervalos observados. Assim, como é menor que, constata-se que os intervalos entre as chegadas dos usuários ao sistema se ajustam a uma distribuição Exponencial com parâmetro = 147,19 segundos, ao nível de 5% de significância. O valor de 5% foi escolhido para o nível de significância com base em várias aplicações apresentadas no livro de Fogliatti e Mattos (2007). O Gráfico 5.1 ilustra esta aderência. São apresentadas as frequências relativas acumuladas dos intervalos entre chegadas e a função exponencial de parâmetro = 147,19 segundos. 1,2 1 0,8 0,6 0,4 Teórico Observado 0, Intervalo entre chegadas (s) Gráfico Função de distribuição acumulada dos intervalos de chegada 5.3 ANÁLISE DO PROCESSO DE ATENDIMENTO Os tempos dos atendimentos coletados encontram-se na Tabela 5.3. Tabela 5.3: Duração do atendimento de cada usuário do sistema (continua) Paciente Duração (s) Paciente Duração (s) Paciente Duração (s)

41 40 Tabela 5.3: Duração do atendimento de cada usuário do sistema (continuação e conclusão) Paciente Duração (s) Paciente Duração (s) Paciente Duração (s) A Tabela 5.3 indica que foram atendidos 70 clientes durante o período pesquisado, o que indica um ritmo de atendimento de clientes por minuto. A média do tempo de atendimento é de = 120,11 segundos. É importante ressaltar que e são inversamente proporcionais. A diferença entre o número de usuários que entram no sistema (65) e usuários que são atendidos (70) justifica-se pelo fato de que já havia elementos no sistema quando a coleta de dados foi iniciada Teste Kolmogorov-Smirnov para o Processo de Atendimento Para a realização deste teste, a hipótese nula é que os tempos de atendimento na recepção do PA condizem com uma distribuição de probabilidade Exponencial, conforme Equação 2.3, e com parâmetro = 120,11 segundos:

42 41 (5.2) A realização do teste ocorreu de maneira análoga ao intervalo entre chegadas. Os valores envolvidos encontram-se na Tabela 5.4. Tabela 5.4: Valores envolvidos no Teste Kolmogorov-Smirnov para o tempo de atendimento (continua) Paciente Duração Ordenada (s) ,0875 0,0143 0, ,1463 0,0286 0, ,1534 0,0429 0, ,1604 0,0571 0, ,1674 0,0714 0, ,1674 0,0857 0, ,1811 0,1000 0, ,1946 0,1143 0, ,1946 0,1286 0, ,2013 0,1429 0, ,2402 0,1571 0, ,2651 0,1714 0, ,2651 0,1857 0, ,2712 0,2000 0, ,3009 0,2143 0, ,3125 0,2286 0, ,3182 0,2429 0, ,3238 0,2571 0, ,3238 0,2714 0, ,3294 0,2857 0, ,3621 0,3000 0, ,3778 0,3143 0, ,4776 0,3286 0, ,4989 0,3429 0, ,5153 0,3571 0, ,5273 0,3714 0, ,5466 0,3857 0, ,5614 0,4000 0, ,5722 0,4143 0, ,5897 0,4286 0, ,5998 0,4429 0, ,6161 0,4571 0, ,6225 0,4714 0, ,6256 0,4857 0, ,6438 0,5000 0, ,6438 0,5143 0,1295

43 42 Tabela 5.4: Valores envolvidos no Teste Kolmogorov-Smirnov para o tempo de atendimento (continuação e conclusão) Paciente Ordenado ,6468 0,5286 0, ,6555 0,5429 0, ,6584 0,5571 0, ,6695 0,5714 0, ,6750 0,5857 0, ,6750 0,6000 0, ,6908 0,6143 0, ,6908 0,6286 0, ,6934 0,6429 0, ,7010 0,6571 0, ,7083 0,6714 0, ,7083 0,6857 0, ,7132 0,7000 0, ,7294 0,7143 0, ,7468 0,7286 0, ,7489 0,7429 0, ,7531 0,7571 0, ,7551 0,7714 0, ,7572 0,7857 0, ,7631 0,8000 0, ,7709 0,8143 0, ,7728 0,8286 0, ,7839 0,8429 0, ,8124 0,8571 0, ,8155 0,8714 0, ,8170 0,8857 0, ,8358 0,9000 0, ,8372 0,9143 0, ,8502 0,9286 0, ,8502 0,9429 0, ,8633 0,9571 0, ,9184 0,9714 0, ,9211 0,9857 0, ,9492 1,0000 0,0508 Percebe-se, a partir da Tabela 5.4, que o máximo valor absoluto das diferenças entre a FDA e a FDE tem o valor de Equação 2.6, o valor crítico para o teste é de (em negrito). De acordo com a, com 70 tempos de atendimentos observados. Assim, como é menor do que, constata-se que os tempos de atendimentos dos usuários se ajustam a uma distribuição exponencial