Solução analítica com baixa regularidade do sistema que governa o escoamento miscível em meios porosos

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1 Solução analítica com baixa regularidade do sistema que governa o escoamento miscível em meios porosos Ana Maria Bertone, César G. de Almeida, Faculdade de Matemática, Universidade Federal de Uberlândia, , Uberlândia, MG anamaria@famat.ufu.br, cesargui@ufu.br. Resumo: O modelo padrão de deslocamento de dois fluidos miscíveis e incompressíveis é constituído por duas equações diferenciais parciais acopladas que resultam em um sistema não linear: uma equação elíptica de segunda ordem para a pressão é acoplada a uma equação de convecção-difusão, dominada pela parte convectiva, para a concentração de um dos fluidos. Em [2] mostramos a existência e unicidade da solução analítica para o problema do Traçador Passivo. Neste caso, a equação de convecção-difusão é desacoplada da equação elíptica. Usando este resultado mostramos a existência de solução para o sistema não-linear. Palavras-chave: Escoamento miscível, meios porosos, sistemas elípticos-parabolicos, condições mistas de fronteira. 1 Introdução Considere um domínio limitado R 2 e um intervalo de tempo J = [0, T], T > 0. O modelo para o deslocamento miscível incompressível da mistura de um solvente com concentração c e óleo, em um meio livre de efeitos gravitacionais, é dado pelo sistema (veja Russel e Wheeler (1983), [10]) u = q, u = p, µ(c) (1) φ c + v = cq, t v = uc D(u) c. (2) A equação (1) representa a conservação de massa da mistura, enquanto a segunda representa a conservação de massa da componente de solvente. A equação (2) é frequentemente chamada de equação da pressão; seus coeficientes dependem da concentração do solvente. A segunda equação, a da concentração, é usualmente uma equação parabólica, dominada por convecção; seus coeficientes dependem da pressão, através da velocidade de Darcy, u = (u 1, u 2 ), que fornece a taxa volumétrica de fluxo convectivo da mistura por unidade de área de seção transversal. As outras variáveis que aparecem nas equações acima são:, x = (x, y) pertencente a R 2, - a permeabilidade absoluta da rocha, µ - a viscosidade do fluido que depende da concentração do solvente, p - a pressão do fluido, φ = φ(x) - a porosidade do meio, q - a razão volumétrica de fluxo total no poço de injeção e de produção, c - a concentração de solvente especificada em um poço de injeção e a concentração residente em um poço de produção. O tensor de difusão-dispersão, D, é dado por: D = D(u) = φd m I + d l u ( u 2 1 u 1 u 2 u 1 u 2 u 2 2 ) + d ( t u 2 2 u 1 u 2 u u 1 u 2 u 2 1 ). (3) Neste tensor, d m é o coeficiente de difusão molecular, d l e d t são os coeficientes de dispersão longitudinal e transversal, respectivamente. 514

2 Em um escoamento miscível, a variável de maior interesse é a concentração do solvente na mistura, c(x, t), 0 c 1. No caso de um escoamento com duas componentes, a viscosidade da mistura pode ser expressa em função da concentração do solvente, assumindo que ela obedece a uma lei de potência de ordem quatro: µ(c) = {(1 c) + (M) 1/4 c} 4 µ o ; M = µ o /µ s, (4) onde µ s e µ o são as viscosidades do solvente e do óleo, respectivamente. O parâmetro adimensional M é a razão de viscosidades. Quando M < 1, a função µ é crescente em [0, 1], tendo µ o como mínimo; quando M > 1, a função µ é decrescente em [0, 1] e µ s é o seu valor mínimo; como mostra a Figura 1. Figura 1: O gráfico da função viscosidade µ(c). Observe que, para o Problema do Traçador Passivo, a equação de convecção-difusão é desacoplada da equação elíptica, porque neste caso os fluidos considerados possuem a mesma viscosidade, portanto, M = 1. Em uma parte da fronteira do reservatório ( ), denotada por Γ N, será considerada uma condição de fluxo nulo, representando uma fronteira impermeável; na fronteira do poço de produção, Γ D, será utilizada uma condição de Dirichlet. Assim, as condições de fronteira são dadas por: u ν = 0, x Γ N, (5) p = 0, x Γ D ; (6) ( D c) ν = 0, x, t J, (7) onde ν é o vetor unitário normal exterior a. O modelo incompressível definido acima tem sido estudado amplamente do ponto de vista numérico [5, 6, 7, 10]; em particular [11], onde o sistema desacoplado é estudado. Sob condições de regularidade fraca, encontramos trabalhos como o do Sören et al [13]. Outras citações importantes relacionadas à existencia e à unicidade da solução do sistema acoplado, bem como algumas generalizações deste modelo matemático, são: [4, 8, 9]. O objetivo deste trabalho é o de mostrar a existência de solução do sistema acoplado, considerando a velocidade u com baixa regularidade e supondo que a permeabilidade, K, pode se anular em conjuntos de medida nula de Lebesgue. O artigo está organizado da seguinte forma. Na Seção 2, apresentamos a abordagem teórica, fixamos as notações e os espaços para os quais é feita a formulação fraca do problema do valor 515

3 inicial e de fronteira, bem como o enunciado do resultado principal. Na Seção 3, provamos este resultado. Na Seção 4 serão feitas as conclusões. 2 Abordagem teórica e resultado principal Para este trabalho vamos considerar R 2 um domínio conexo com fronteira Lipshitz e tal que = Γ D Γ N e Γ D Γ N =, sendo Γ D and Γ N subconjuntos unidimensionais de medida de Lebesgue positiva; os clássicos espaços de funções L p (S), S e 1 p com norma p ; os espaços de Sobolev W m,n (S), com m > 0 e n > 0, em particular os espaços de Hilbert W m,2 (S) = H m (S), m = 1, 2, e norma denotada por W m,n. Consideraremos, também, o operador traço γ Γ : H 1 () H 1 2(Γ), onde Γ, e o espaço de Hilbert H 1 2(Γ), dual do espaço de Sobolev fracionário H (Γ). Finalmente, também serão considerados os espaços L p (J, W) e C(J, W) das funções p-integráveis ou contínuas de J no espaço W (veja [1, 12]). Introduzimos para cada τ J, o espaço vetorial V = {p H 1 (), γ ΓD p = 0}. Definimos D 0 = {p V ; div(k p) L 2 ()} (veja [12]), para K uma função (peso) limitada, não negativa definida em. Seja K = K c,τ = µ(c(x,τ)), para cada c H2 (), 0 c 1. Verifica-se que o espaço vetorial V normado com a norma n K (neste caso, n K (ϕ) = ( K ϕ 2 dx )1 2 ), denotado por V c,τ, contém o espaço vetorial V normado por n min, que é a norma correspondente ao peso µ min, onde µ m = min{µ o, µ s }. Denotamos por V min este espaço que verifica V min V c,τ, o que mostra que a interseção de todos esses conjuntos não é vazia. Esta interseção será c,τ denotada por V. Finalmente, definimos D = {v V, div(k c,τ p) L 2 (), c, τ}. Para achar uma solução do sistema de equações que governa o escoamento miscível em meios porosos, resolvemos em primeira instância o problema desacoplado, considerando-se M = 1. Para isso, usaremos, para a concentração, o espaço C(u) = {c H 2 (), 0 c 1, verificando (7) no sentido de H 1 2 ( )}. Faremos a seguir as definições de solução fraca para o Traçador Passivo, 2.1, e de solução fraca para o sistema acoplado, 2.2. Definição 2.1 Seja Q = L 2 () L 2 (). A tripla (p, u, c) D 0 Q C é uma solução fraca de (1)-(2), considerando µ(c) = 1 e q = q(x), com as condições de fronteira (5)-(6)-(7), se [p] K p v = qv, para todo v V normado por n K; [c] c C(J, H 2 ()), c(t) C, dc dt (, t) H2 () para todo t J e ψ H 2 () verifica ( ) dc dt (t),ψ + (D(u) c(t) ψ c(t) ψ u c(t)qχ P ψ)dx = (qχ I, ψ), onde (, ) denota o produto interno em H 2 (). Definição 2.2 O par (p, c ) D W 1,1 ( J) é uma solução fraca de (1)-(2), com as condições de fronteira (5)-(6)-(7), se [p ] µ(c (x, t)) p (x, t) v(x, t)dx = q(x, t)v(x, t)dx, para todo v V; (8) 516

4 J [c ] ( dc (t) dt, ψ)dt + J ( u será definido na Seção 3. Assumimos as seguintes hipóteses: ) (D(u (t)) c (t) ψ(x) c (t) ψ(x) u (t) c (t)q(t)χ P ψ(x))dx dt = (qχ I, ψ)dt, para toda ψ H 2 (); J (h 1 ) O domínio R 2 possui as propriedades já definidas anteriormente e existem I e P, subconjuntos de com medida de Lebesgue positiva, que representam os poços de injeção e produção do reservatório, respectivamente. (h 2 ) Existem duas contantes positivas k 0 e k 1 tais que k 0 k 1 q.t.p. x. (h 3 ) A função q pertence a L (J; L 2 ()) e para cada ψ H 2 () tem-se qχ I ψ L 1 (J; H 2 ()), onde χ I é a função característica do conjunto I. O seguinte teorema de existência e unicidade foi provado para o sistema desacoplado (veja [2, Thm 2.1]. Teorema 2.1 Sob as hipóteses (h 1 )-(h 2 ) e supondo q = q(x), a equação elíptica (1) com condições mistas de fronteira, (5)-(6), tem uma única solução fraca não trivial (p, u), no sentido (2.1)-[p]. Para a velocidade u, usando (h 3 ) e considerando c 0 C, a equação (2), com a condição de fronteira (7), tem uma única solução fraca no sentido de (2.1)-[c]. Nosso principal resultado é o seguinte Teorema 2.2 Seja µ definida como na Eq. (4) e c 0 C. Então sob as hipóteses (h 1 )-(h 3 ), o sistema acoplado (1)-(2), com as condições de fronteira (5)-(6)-(7), tem uma solução fraca no sentido da definição Demonstração do Teorema 2.2 Considere o sistema de equações (1)-(2), com as condições de fronteira (5)-(6)-(7), no caso particular em que o termo fonte é dado por q = q(x,0), o coeficiente da equação (1) é da forma µ(c 0 (x)) e o dado inicial da equação (2) é c 0(x). Utilizando o teorema 2.1, este problema possui uma única solução fraca: a tripla pressão, velocidade e concentração nos respectivos espaços descritos na definição 2.1. Chamemos esta solução (p 1, u 1, c 1 ). A seguir, vamos considerar uma família de partições Π 1 = {0, T } Π 2 = {t 0 = 0, t 1, t 2 = T }... Π n = {t 0 = 0, t 1,...,t n = T }, n N, n 2, tal que a norma Π n tende para zero quando n tende a infinito. Para cada partição Π n associamos a função c Πn que será a justaposição da solução c 1 para t [t 0, t 1 ], denotando esta solução como c Πn 1, com as seguintes funções: para t [t 1, t 2 ] consideramos a solução do sistema desacoplado, onde o termo fonte é q = q(x, t 1 ), o coeficiente da equação (1) é e o dado inicial da equação (2) é cπn 1 (x, t 1) de forma que c Πn 1 (x, t 1) C. Denotemos µ(c Πn 1 (x,t 1)) esta solução como c Πn 2. De forma análoga, por indução, para t [t i 1, t i ], achamos a solução c Πn i. A sequência de funções µ c Πn, n N, pertence a L ( J) pois 0 < µ m µ c Πn µ M, onde µ M = max{µ o, µ s }. Portanto existe uma função h L ( J), não identicamente nula, e uma subsequência de µ c Πn tal que lim µ c Πn L = hl, para toda L L 1 ( J). n J J (9) 517

5 Em particular, tomando L = 1, obtemos que lim µ c Πn = h, ou seja µ c Πn h L 1 ( J) 0, quando n. n J J Pelo teorema [3, Teorema IV.9], a menos de subsequência, temos que µ c Πn (x, t) h(x, t) q.t.p. (x, t) J. Assim, do fato que µ é um homeomorfismo de [0, 1] em [µ m, µ M ], concluímos que c Πn (x, t) µ 1 h(x, t) q.t.p. (x, t) J. Denotemos µ 1 h = ĉ. Dada uma partição Π n e τ Π n, seja (p, u, c ), de acordo com a definição 2.1, a solução fraca de (1)-(2), com µ(c) = µ(ĉ(x, τ)), q = q(x, τ) e condições de fronteira (5)-(6)-(7). Assim, dado u K (x, τ) = µ(ĉ(x,τ)) p (x, τ) L 2 () L 2 () existe (veja [2]) a função c (τ) solução de (2) com dado inicial ĉ(x, τ) C. Sabendo que c (x, τ) = ĉ(x, τ), tem-se que K µ(c (τ)) p (τ)) vdx = K µ(ĉ(τ)) p (τ)) vdx = q(τ)vdx, para todo v V e (10) ( ) dc (τ) dt, ψ + (D(u (τ) c (τ) ψ c (τ) ψ u (τ) c (τ)q(τ)ψχ P )dx = (q(τ)χ I, ψ), para toda ψ H 2 (). Fixada ψ H 2 () denotamos por A ψ (t i 1) a expressão à esquerda da igualdade em (11) para τ = t i 1 e definimos a função escada Sψ n = n A ψ i sendo i = t i t i 1. Temos de (11) que i=1 (11) n Sψ n = (q(t i 1 )χ I, ψ) i. (12) i=1 Por hipótese, a expressão à esquerda de (12) é integrável e assim temos que existe o limite de n i 1 )χ I, ψ) i quando a norma da partição tende para zero e esse limite é i=1(q(t q(t)ψ(x). J Isto demonstra que existe o limite da parte direita da igualdade (12); logo a Eq. (9) é satisfeita. Desta forma, o par (p, c ) é solução fraca do sistema acoplado no sentido da definição (2.2). 4 Conclusão Acreditamos que a abordagem teórica desenvolvida em nosso trabalho possibilitará a construção de novos métodos numéricos, os quais contribuirão para o desenvolvimento de pesquisas na área de escoamentos em meios porosos. Esta abordagem é mais construtiva que as apresentadas nos trabalhos de Feng (1995, [8]) e de Chen e Ewing (1999, [4]), porque utiliza a solução de problemas lineares (Traçador Passivo) para obter uma solução do problema não linear. Agradecimentos Os autores agradecem à FAPEMIG pelo auxílio financeiro cocncedido para a participação no congresso. Referências [1] R.A. Adams, Sobolev spaces, Academic Press, [2] A.M. Bertone, C.G. Almeida, Revisited to a Miscible Displacement Model in Heterogeneous Poreous Media, International Journal of Applied Mathematics, 24 (5) (2011)

6 [3] H. Brezis, Analyse Fonctionnelle, Masson, Paris, [4] Z. Chen and R. Ewing, Mathematical Analysis for Reservoir Models, SIAM J. Math. Anal., 30 (1999) [5] J. Douglas and J.E. Roberts, Numerical methods for a model for compressible miscible displacement in porous media, Math. Comp., 41 (1983) [6] J. Douglas, J.E. Roberts e M.F. Wheeler, Approximation of the pressure by a mixed method in the simulation of miscible displacement in porous media, R.A.I.R. Anal. Num., 17 (1983) [7] R.E. Ewing, and H. Wang, A summary of numerical methods for time-dependent advectiondominated partial differential equations, Journal of Scientific Computing, 128 (2001) [8] X. Feng, On existence and uniqueness results for a coupled system modeling miscible displacement in porous media, J. Math. Anal. Appl., (1995), [9] X. Feng, Recent developments on modeling and analysis of flow of miscible fluids in porous media, Fluid flow and transport in porous media: mathematical and numerical treatment, Contemp. Math., 295 (2002), [10] T.F. Russel, and M.F. Wheeler, Finite Element and Finite Difference Methods for Continuous Flows in Porous Media, Frontiers in Applied Mathematics-SIAM, The Mathematics of Reservoir Simulation, (1983) [11] P.H. Sammon, Numerical approximation for a miscible displacement inporous media, SIAM J. Numer. Anal., 23 (1986) [12] R.E. Showalter, Hilbert space Methods for Partial Differential Equations, E.J.P.D.E Monograph 01, [13] S. Bartels, M. Jensen and R. Muller, Discontinuous Galerkin Finite Element Convergence for Incompressible Miscible Displacement Problems of Low Regularity, SIAM J. Numer. Anal., 47 (2009)