Microeconomia I. Licenciaturas em Administração e Gestão de Empresas e em Economia. Regente: Fernando Branco

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1 Regente: Fernando Branco A empresa Alvalade-2000 usa dois factores produtivos para produzir cachecóis verdes de acordo com a função y = F( l, = l k, onde y é a quantidade produzida de cachecóis, e l e k são, respectivamente, o número de unidades de trabalho e de capital utilizadas A empresa remunera cada unidade de trabalho com o salário w = 4 e cada unidade de capital com uma renda r = 25 a) Determine a expressão analítica da função de custo total de longo prazo para esta empresa Resolução: Usando as condições de primeira ordem para a minimização dos custos de produção obtêm-se as funções de procura dos factores: 2 k 4 k = y = 5 l 25 y = l k 5 l = y 2 Portanto, a função de custo total de longo prazo é C( y) = 20 y b) Considere agora que a Alvalade-2000 tem a possibilidade de contratar um tipo de máquina mais produtivo, com a qual a função de produção passa a ser y = G( l, k ) = l k + k A renda de cada uma destas máquinas é r > 0 Se se quiserem produzir 100 cachecóis, para que valores de r deve este novo tipo de máquina ser usada? Resolução: A produção de 100 cachecóis com o anterior tipo de máquina tem o custo de C ( 100) = 200 A produção com o novo tipo de máquina exige (assumindo que r é tal que se usarão quantidades positivas dos dois factores): k 4 20 = k = l + 1 r r 100 = l k + k l = 5 r 1 Portanto, o custo total seria ( ) 40 2 C y = r 4, que é inferior ao anterior custo se r < 51

2 Regente: Fernando Branco A empresa CR-010 usa dois factores produtivos para produzir brincos de acordo com a função y = F( l, = l k, onde y é a quantidade produzida de brincos, e l e k são, respectivamente, o número de unidades de trabalho e de capital utilizadas A empresa remunera cada unidade de trabalho com o salário w = 16 e cada unidade de capital com uma renda r = 9 a) Determine a expressão analítica da função de custo total de longo prazo para a CR-010 Resolução: Usando as condições de primeira ordem para a minimização dos custos de produção obtêm-se as funções de procura dos factores: 3 k 16 k = y = 4 l 9 y = l k 4 l = y 3 Portanto, a função de custo total de longo prazo é C( y) = 24 y b) Considere agora que a CR-010 tem a possibilidade de contratar trabalhadores mais produtivos, com os quais a função de produção passa a ser y = G( l, = l k + l O salário de cada um destes trabalhadores é w > 0 Se se quiserem produzir 400 brincos, para que valores de w deve este novo tipo de trabalhadores ser contratado? Resolução: A produção de 400 brincos com o anterior tipo de trabalhadores tem o custo de C ( 400) = 480 A produção com o novo tipo de trabalhadores exige (assumindo que w é tal que se usarão quantidades positivas dos dois factores): 60 k + = 1 w l = 9 w l = l k + l k = w 1 3 Portanto, o custo total seria ( ) C y = w 9, que é inferior ao anterior custo se w < 4075

3 Regente: Fernando Branco 1ª Ficha de Avaliação 14 de Outubro de 2010 A empresa One-Special usa dois factores produtivos para produzir troféus de acordo com a função y F( l, = min{ 2 l,5 k} =, onde y é a quantidade produzida de troféus, e l e k são, respectivamente, o número de unidades de trabalho e de capital utilizadas A empresa remunera cada unidade de trabalho com o salário w = 12 e cada unidade de capital com uma renda r = 20 Para além disso, suporta um custo fixo de 300 a) Determine a expressão analítica da função de custo total de longo prazo para esta empresa Resolução: Usando as condições de primeira ordem para a minimização dos custos de produção obtêm-se as funções de procura dos factores: 1 1 = k = y k y l = 5k l = y 4 Portanto, a função de custo total de longo prazo é C ( y) = 3y + 4y b) Considere que, devido ao bloqueio do acesso às redes sociais da internet no local de trabalho, a produtividade dos trabalhadores subiu 10% Em consequência, a administração da empresa pretende reduzir os custos totais com a produção de 10 troféus em 5% Terá a One-Special margem para aumentar os salários dos trabalhadores e cumprir os objectivos exigidos pela administração? Qual o aumento salarial máximo que a empresa pode oferecer? Resolução: A função de produção passa então para y = F ( l, = min{ 22 l,5 k} O custo de produzir 10 troféus sem alteração de remunerações passará a ser C ( y) = , uma redução de 8136% relativamente ao custo inicial de 640 É portanto possível aumentar o salário Para que o custo caia 5% (isto é, passe para 608), o salário pode subir para w = , ou seja 8093% 2

4 Regente: Fernando Branco 1ª Ficha de Avaliação 14 de Outubro de 2010 A empresa Bent-4-Ever usa dois factores produtivos para produzir balizas de acordo com a função y = F( l, = min{ 6 l,4 k }, onde y é a quantidade produzida de balizas, e l e k são, respectivamente, o número de unidades de trabalho e de capital utilizadas A empresa remunera cada unidade de trabalho com o salário w = 12 e cada unidade de capital com uma renda r = 32 Para além disso, suporta um custo fixo de 400 a) Determine a expressão analítica da função de custo total de longo prazo para esta empresa Resolução: Usando as condições de primeira ordem para a minimização dos custos de produção obtêm-se as funções de procura dos factores: = l = y k y k = 6l l = y 6 2 Portanto, a função de custo total de longo prazo é C ( y) = 2y b) Considere que devido à situação política os trabalhadores convocam mais greves e reduzem a sua produtividade para metade Neste contexto a administração da empresa tolera um aumento de 3% dos custos de produção de 8 balizas, mas não mais Pode isso ser conseguido sem reduzir o salário? Qual a variação no salário compatível com limite colocado à variação do custo? Resolução: A função de produção passa então para y = F( l, = min{ 3l, 4 k } O custo de produzir 8 balizas sem alteração de remunerações passará a ser C ( y) = 560, um aumento de 294% relativamente ao custo inicial de 544 É portanto possível aumentar o salário Para que o custo suba 3% (isto é, passe para 56032), o salário pode subir para w =12 12, ou seja 10%

5 Regente: Fernando Branco A Maria tem 12 irmãos Em cada fim de semana ela dispõe de 60 um para ir ao Preço Máximo comprar pão (x) e leite (y), cujos preços são 1 um para o pão e 2 um para o leite a) Sabendo que a Maria faz as compras para maximizar a sua utilidade, que pode ser descrita por U ( x, y) = x y, quanto comprará a Maria em cada semana? Represente graficamente essa escolha Resolução: Resolvendo o problema têm-se as condições de primeira ordem: 4y 1 = x = 24 6x 2 = 18 x = 60 b) Imagine agora que mediante o pagamento de a > 0 é possível colocar uma encomenda de véspera, situação em que cada pão custará 08um, mantendo-se o preço do leite Que cabaz será adquirido se a Maria fizer uma encomenda? Escreva a condição que permite determinar os valores de a para os quais a Maria preferirá fazer a encomenda de véspera Resolução: Se colocar a encomenda, a Maria comprará quantidades tais que: 4y = 04 x = 30 05a 6x = 18 03a 08x = 60 a Para alcançar a mesma utilidade que na alínea anterior, tem de se ter: 0 6 x = x = Portanto, a <

6 Regente: Fernando Branco O Pedro tem uma família numerosa Em cada fim-de-semana ele dispõe de 60um para adquirir, no Supermercado Sempre a Aviar, pão (x) e leite (y)cujos preços são 1 um e o preço de cada unidade de leite é de 2 um a) Sabendo que o Pedro faz as compras para maximizar a sua utilidade, que pode ser descrita por U ( x, y) = 06ln x + 04ln y, quanto comprará o Pedro em cada semana? Represente graficamente essa escolha Resolução: Resolvendo o problema têm-se as condições de primeira ordem: 6y 1 = x = 36 4x 2 = 12 x = 60 b) Imagine agora que mediante o pagamento de a > 0 é possível colocar uma encomenda de véspera, situação em que cada pão custará 06um, mantendo-se o preço do leite Que cabaz será adquirido se o Pedro fizer uma encomenda? Escreva a condição que permite determinar os valores de a para os quais o Pedro preferirá fazer a encomenda de véspera Resolução: Se colocar a encomenda, o Pedro comprará quantidades tais que: 6y = 03 x = 60 a 4x = 12 02a 06x = 60 a Para alcançar a mesma utilidade que na alínea anterior, tem de se ter: 0 6ln x + 04ln(02x) = 06ln ln12 x = Portanto, a <

7 Regente: Fernando Branco O João recebe uma mesada de 48 um, gastando-a a adquirir gomas (x) e bolos (y) Sabe-se que o preço de cada goma é de 2 um e o preço de cada bolo é de 2 um a) Sabendo que a função utilidade do João é descrita por U ( x, y) = ( x 4) y, que cabaz adquirirá o João em cada mês? Represente graficamente a escolha óptima Resolução: Resolvendo o problema têm-se as condições de primeira ordem: y = 1 x = 14 x 4 = 10 2x = 48 b) Falaram ao João de uma outra padaria onde é possível adquirir gomas ao preço de 16 um, sendo os bolos igualmente a 2 um Porém, nessa padaria o João não pode comprar por mês mais de b > 0 gomas Se o João mudar de padaria que cabaz adquirirá? Escreva a condição que permite determinar os valores de b para os quais o João quererá mudar de padaria para as suas compras Resolução: Se mudar de padaria o João quererá comprar quantidades tais que: y = 08 x = 17 x 4 = x = 48 Se b < 17, o cabaz a adquirir será x = b e y = b A utilidade deste cabaz será superior à da alínea anterior, se: ( b 4)(24 08b) > 100 b >

8 Regente: Fernando Branco O Xavier recebe uma mesada de 60 um, gastando-a a adquirir gomas (x) e bolos (y) Sabe-se que o preço de cada goma é de 1 um e o preço de cada bolo é de 2 um a) Sabendo que a função utilidade do Xavier é descrita por U ( x, y) = 02 ln( x 5) + 08ln y, que cabaz adquirirá o Xavier em cada mês? Represente graficamente a escolha óptima do Xavier Resolução: Resolvendo o problema têm-se as condições de primeira ordem: y 1 = x = 16 4x 20 2 = 22 x = 60 b) Falaram ao Xavier de uma outra pastelaria onde é possível adquirir gomas ao preço de 1 um e bolos a 16 um Porém, nessa pastelaria o Xavier não pode comprar por mês mais de b > 0 bolos Se o Xavier mudar de pastelaria que cabaz adquirirá? Escreva a condição que permite determinar os valores de b para os quais o Xavier quererá mudar de pastelaria para as suas compras Resolução: Se mudar para esta outra pastelaria o Xavier quererá comprar quantidades tais que: y 1 = x = 16 4x = 275 x + 16y = 60 Se b < 27 5, o cabaz a adquirir será y = b e x = b A utilidade deste cabaz será superior à da alínea anterior, se: ( 55 16b ) b > 11 22