Exercício 1. Como K=2: PT L =5,25*(2) 2 *L+4,5*2*L 2 -L 3 =21L+9 L 2 -L 3. PMd. L PT PMg L = L. a-1) Proceda à sua representação gráfica.

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1 Exercício 1 O departamento de produção da RECICA estima que o processo de produção de pasta para papel desta empresa seja descrito pela função de produção: Q = 5,5K +4,5K -, onde Q = toneladas de pasta de papel por período de tempo; = unidades de factor trabalho por período de tempo e K= unidades de factor capital por período de tempo. A dimensão actual da empresa é definida por K= unidades. a) Determine a expressão analítica da Produtividade Total (PT ), Produtividade Média (PMd ) e Produtividade Marginal (PMg ) do factor variável. Como K=: PT =5,5*() *+4,5** - =1+9 - PT PMd = = PT PMg = = a-1) Proceda à sua representação gráfica. Para procedermos à representação gráfica, precisamos de estudar alguns pontos notáveis: (A) Ponto de inflexão da PT Máximo da PMg (B) Máximo da PMd PMd =PMg (C) Máximo da PT PMg = (D) PT = PMd = (A) Máximo da PMg C.P.O.: PMg = 18 6 = = PMg C.S.O.: < 6 < (B) Máximo da PMd C.P.O.: PMd = 9 = = 4. 5 PMd C.S.O.: < < (C) PMg = = =, =-1 = (D) PMd = = = 1. 9,=-1. 9 =1. 9 1

2 Representação gráfica de PT Figura 1 Representação gráfica de PT Representação gráfica de Pmg e de Pmd Figura Representação gráfica da Pmd e da Pmg.

3 a-) Proceda à leitura geométrica da PMd e da PMg a partir da curva de PT quando se utlizam 4,5 unidades de factor variável por período de tempo. eitura geométrica da PMd a partir da curva de PT É dada pelo declive da raio que parte da origem e que passa pelo ponto correspondente à produção obtida com =4,5. Graficamente: Q 5 PT Figura Representação geométrica da Pmd a partir da PT Cálculos auxiliares: =4,5 =>PT =1*(4,5)+9*(4,5) -(4,5) =185,65 eitura geométrica da PMg a partir da curva de PT é dada pelo declive da recta tangente ao ponto correspondente à produção obtida com =4,5. Graficamente: Q 5 15 PT Figura 4 Representação da Pmg a partir da PT No caso em análise como a PMd é máxima para =4,5, a inclinação da recta na figura coincide com a inclinação da recta da figura 4, ou seja, como podemos verificar no gráfico da figura, o raio que parte da origem e passa pelo ponto correspondente à produção obtida com =4,5 é também tangente à função PT nesse mesmo ponto.

4 a-) Para a mesma quantidade de factor variável, determine graficamente, a partir das curvas de PMd e PMg, a PT. Medida do PT a partir do PMg é toda a área abaixo da função PMg à esquerda do ponto =4,5. Medida do PT a partir do PMd é o rectângulo com altura igual à PMd de cada trabalhador quando =4,5 e com cumprimento igual a =4,5. Então graficamente, a PT pode ser medida, quer pela área a verde (obtida a partir da PMd ), quer pela área a azul (obtida a partir da PMg ). b) Relacione o comportamento das curvas de Produtividade Total, Produtividade Média e Produtividade Marginal do factor variável. Relação entre PT e PMg A Pmg corresponde à derivada da PT em ordem, consequentemente as duas estão directamente relacionadas, nomeadamente: Quando a PMg é positiva, a PT é crescente, ou seja, aumentos na utilização de factor variável, tudo o resto constante, conduzem a aumentos na produção obtida; Quando a PMg é negativa, a PT é decrescente, ou seja, aumentos na utilização de factor variável, tudo o resto constante, conduzem a reduções na produção obtida (zona economicamente irrelevante verificando-se a existência de rendimentos marginais negativos); Quando a PMg é positiva e crescente, a PT é crescente e aumenta a ritmos crescentes, isto é, adicionando sucessivas unidades de factor variável ao factor fixo, tudo o resto constante, os aumentos de cada unidade adicional de factor variável vão sendo cada vez maiores Rendimentos marginais crescentes. 4

5 Quando a PMg é positiva mas decrescente, a PT é crescente, no entanto cresce a ritmos decrescentes, isto é, adicionando sucessivas unidades de factor variável ao factor fixo, tudo o resto constante, cada unidade adicional contribui para aumentar a produção, mas os sucessivos aumentos de cada unidade adicional de factor variável vão sendo cada vez menores Rendimentos marginais derescentes. Relação entre PT e PMd Quando a PT é positivo, a PMd é positiva; Quando a PT é negativo, a PMd é negativa. Relação entre PMg e PMd Quando a PMd é crescente, a PMg é superior à PMd, pois a utilização de variações unitárias sucessivas na utilização de factor variável conduzem a aumentos de produção superiores à PMd, conduzindo assim ao aumento da PMd ; Quando a PMd é decrescente, a PMg é inferior à PMd, pois a utilização de variações unitárias sucessivas na utilização de factor variável conduzem a aumentos de produção inferiores à PMd, conduzindo assim à redução da PMd ; Quando a PMd é máxima, a PMg iguala a PMd. c) Tem a ver com e = Pmg/Pmd. No1º estágio é >1 d) Tem a ver com e = Pmg/Pmd. No º estágio é > e <1. No º estágio é <. e) Explique a partir de que valor de começa a actuar a lei dos rendimentos decrescentes e como é que ela se reflecte sobre o comportamento da Produtividade Total. A lei dos rendimentos marginais decrescentes verifica-se a partir do momento em que sucessivos acréscimos de factor variável ao factor fixo, conduzem a incrementos cada vez menores na PT, ou seja, a PMg é decrescente. De acordo com a figura, tal verifica-se para quantidades de superiores a. Relativamente às implicações da verificação da ei dos Rendimentos Marginais Decrescente sobre o comportamento da PT, verificamos que a PT tem um ponto de inflexão para = e que para quantidades de trabalho superiores a unidades, a PT cresce (até =) mas a ritmos decrescentes. f) Com a actual dimensão, para que volume de produção é que o factor variável está a ser usado com a máxima eficiência técnica possível. Para a actual dimensão (K=), o factor variável está a ser utilizado com a máxima eficiência técnica possível, quando a PMd é máxima, ou seja, no designado óptimo técnico que estabelece o inicio do º estágio de produção para K=. 5

6 Cálculo do óptimo técnico: PMd é máxima =4,5 PT (=4,5)=185,65 ogo, com a actual dimensão, o volume de produção para o qual o factor variável está a ser utilizado com a máxima eficiência técnica possível, corresponde a uma produção de 185,65 unidades. g) Qual é a capacidade máxima de produção de pasta para papel que esta empresa possui? Que conclui, nesse caso, quanto à eficiência com que se está a utilizar o factor fixo? A capacidade máxima de produção da empresa corresponde ao máximo output que a empresa pode obter tendo em consideração a existência de um factor de produção fixo, ou seja, a capacidade máxima de produção corresponde ao máximo da produtividade total, que no caso em estudo se obtém para =, originando uma PT de: PT (=)= 1*()+9*()^-()^=45. Relativamente às implicações na eficiência na utilização do factor fixo, verificamos que quando a empresa opera na capacidade máxima de produção (isto é obtém o máximo de produto dada a quantidade utilizada de factor fixo), a eficiência do factor fixo (isto é, a produtividade média do factor fixo, dada pelo rácio entre o produto total obtido e a quantidade de factor fixo utilizada) é máxima, pelo que quando a empresa opera no máximo da sua capacidade produtiva, dizemos que opera no máximo técnico. h) Indique os limites dos estágios de produção (em termos de quantidades de factor variável e do volume de produção) e explique os critérios que estão na base dessa delimitação, bem como em qual deles se deve a empresa se situar. (Eliminada a parte da questão que pede para determinar o comportamento da elasticidade do produto total para cada estágio). 1º estágio O primeiro estágio ocorre para volumes de trabalho para os quais a PMd é crescente (isto é, a eficiência técnica do factor variável é crescente), ou seja, no caso em questão, o primeiro estágio de produção está compreendido entre os volumes de produção = e =4,5 (zona a verde nas figuras seguintes), correspondendo a volumes de produção compreendidos entre PT = e PT =185,65. º estágio O segundo estágio de produção ocorre para os volumes de trabalho para os quais a PMd é decrescente (ou seja, a eficiência técnica do factor variável é decrescente), não obstante a PMg é positiva, significando que o PT é crescente. Ou seja, o segundo estágio de produção está compreendido entre =4,5 e = (zona a vermelho nas figuras seguintes), correspondendo a volumes de produção compreendidos entre PT =185,65 e PT=45). 6

7 º estágio O terceiro estágio de produção ocorre para os volumes de trabalho para os quais o aumento na utilização de factor variável conduz a reduções na PT (ou seja, a PMg é negativa), pelo que o terceiro estágio ocorre para volumes de trabalho superiores à quantidade de trabalho correspondente ao máximo técnico. No caso em questão, o máximo técnico ocorre então para volumes de trabalho superiores a unidades (zona a azul nas figuras seguintes), que conduzem a volumes de produção inferiores a 45 unidades. Graficamente: Q 5 15 PT 1 5 1º estágio 4.5 º estágio º estágio 1.9 Q Pmg 1.5 Pmd

8 Determinação do estágio em que a empresa se deve situar: A empresa deve situar-se no º estágio. De facto, a empresa nunca tem interesse em situar-se no º estágio, no qual a empresa aumenta a utilização de factor trabalho e a produção reduz, pelo que seria irracional situar-se neste estágio (que corresponde à zona economicamente irrelevante). Por outro lado, a empresa também não tem interesse em situar-se no primeiro estágio, dado que nesse estágio, à medida que vai aumentando a utilização de factor trabalho, por um lado, a eficiência técnica deste factor aumenta (a PMd é crescente) e por outro lado, a eficiência técnica na utilização do factor variável também é crescente, pois dada a quantidade de factor fixo utilizada, a PT está a aumenta (PMg é positiva) e consequentemente a empresa não pretende situar-se no primeiro estágio, pois consegue aumentar simultaneamente a eficiência técnica na utilização de ambos os factores. Assim, a empresa irá situar-se no º estágio, entre o óptimo técnico (máxima eficiência no factor variável) e o máximo técnico (máxima eficiência no factor fixo). Não é possível determinar em concreto o ponto do segundo estágio em que a empresa se situa, pois neste estágio, a empresa enfrenta um trade-off entre a eficiência do factor fixo e do factor variável, pelo que o ponto concreto em que a empresa se situará depende do preço dos factores produtivos. i) Determine os valores de que delimitam a Zona de Eficiência Técnica e calcule os valores de Q correspondentes. Justifique a sua resposta. A Zona de Eficiência Técnica corresponde ao º estágio de produção, pelo que esta pergunta já foi respondida na alínea anterior. 8