Como exemplo, consideremos os seguintes dados hipotéticos: Severidade das penas (Anos de prisão)

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1 1 1 - Variáveis endógenas vs eógenas A teoria económica geralmente serve-se da análise matemática em dois momentos distintos: na formulação de relações causais entre variáveis; no confronto dessas relações, consideradas como hipóteses, com a realidade. Por enquanto, preocupemo-nos com o primeiro caso... Uma função não é mais do que a epressão de uma relação de comportamento entre variáveis. Este conceito engloba três elementos: variável dependente, eplicada ou endógena - o seu comportamento é eplicado pela teoria em causa, nomeadamente pelo comportamento da... variável(eis) independente(s), eplicativa(s) ou eógena(s) - são determinadas por ocorrências eteriores à teoria em causa, pelo que são meros dados que se aceitam para estudar o desempenho da variável eplicada. correspondência unívoca entre a(s) variável(eis) independente(s) e a dependente. Imaginemos que estamos a formular uma teoria que eplique o número de homicídios por ano, levando-nos a formular a hipótese de que o número de homicídios depende da severidade das penas. A nossa variável eplicativa seria a severidade das penas, medida pelo número de anos de prisão (S); a variável eplicada, o número de homicídios por ano (H). A cada valor de S corresponderia um valor de H (relação unívoca), traduzindo-se a função na epressão H=f(S), ou seja, o número de homicídios é função (depende) da severidade das penas, logo, a tradução matemática da hipótese formulada. Como eemplo, consideremos os seguintes dados hipotéticos: Severidade das penas (Anos de prisão) Nº de homicídios por ano Tais dados traduzem-se numa determinada representação gráfica: Y X

2 Repare-se que a teoria poderia ser outra, alterando por completo o raciocínio. Se entendêssemos que as penas de prisão estabelecidas na lei eram influenciadas pelo clima de insegurança da população, que dependia nomeadamente do número de homicídios por ano, as variáveis atrás mencionadas trocariam de posição: a eplicada passaria a eplicativa e vice-versa. Por outro lado, convém referir que esta hipótese é etremamente simples, nada dizendo sobre outras variáveis que influenciam o número de homicídios. No fundo, estamos a analisar o efeito de uma variável, mantendo constantes todas as demais, o que equivale à aplicação da cláusula ceteris paribus. - Interpretação geométrica das inclinações.1 - Numa recta A inclinação de uma recta é dada pelo valor da tangente trignométrica do ângulo que a recta forma com o eio horizontal ou com uma paralela a esse eio a c β b cateto_ oposto ab Inclinação da recta = Tg( β ) = = = = 5 cateto_ adjacente cb 8 = 8 =, Interpretação: A um acréscimo de 1 unidade no valor de corresponde, em média, um aumento de,5 unidades no valor de. Em suma, num qualquer ponto da recta, a sua inclinação é dada pelo quociente da variação da variável dependente sobre a variação da variável independente. Casos particulares Inclinação infinita Inclinação nula

3 3. - Num arco de uma curva A inclinação no arco de uma curva é dada pelo valor da tangente trignométrica do ângulo que a secante que une os dois pontos do arco forma com o eio horizontal ou com uma paralela ,5 1 1,5 P,5 α 3 3,5 R,5 5 5,5,5 5 Inclinação no arco PR= Tgα = = = 1 5 Interpretação: Uma variação unitária de entre os valores do arco ( e 5) determina no valor total de, em média, uma variação no mesmo sentido de 1 unidades..3 - Num ponto de uma curva Numa curva, a inclinação num ponto é dada pelo valor do ângulo que a tangente trignométrica nesse ponto da curva forma com o eio horizontal ou com uma paralela a esse eio. Ao fim e ao cabo, temos uma situação similar à anterior, com a ressalva de que estamos a medir, quando tende para zero, ou seja, em termos analíticos, a calcular a derivada da função num ponto. 8 X -X d 1 f e,5 1 1,5,5 3 3,5,5 5 5,5,5

4 No ponto (,) da função traçada, a inclinação será dada pela inclinação da recta tangente àquele ponto, ou seja, de fe = 3 1 = =. Se derivássemos a função utilizada, 5, 5, teríamos o resultado (X-). Substituindo X por, obteremos o mesmo valor geometricamente determinado. Interpretação: Se na vizinhança do ponto f, a variável independente sofrer um acréscimo infinitamente pequeno, então a variável dependente sofre um acréscimo vezes superior. Em suma, a inclinação de uma função num ponto de abcissa corresponde, geometricamente, ao declive da recta tangente ao gráfico da função em causa e analiticamente, ao valor da derivada da função nesse ponto. 3 - Importância da segunda derivada de uma função Se a primeira derivada nos permite analisar o crescimento ou decrescimento de uma função, já a segunda derivada procura mensurar esse ritmo de crescimento/decrescimento. Se a segunda derivada de uma função for positiva, temos uma curva convea. Caso contrário, obtemos uma função côncava. Chama-se ponto de infleão de uma curva contínua, ao ponto que separa a parte côncava da parte convea da curva.

5 Função crescente e côncava ( f () >, f () < ) 5 A função cresce a ritmos decrescentes: acréscimos sucessivos, de igual montante, da variável independente provocam acréscimos cada vez mais pequenos da variável dependente. No eemplo que temos sugerido, uma representação gráfica dos dados obtidos deste género significaria, um pouco irrealisticamente, que o aumento da severidade das penas provocava aumentos do número de homicídios, mas a um ritmo cada vez menor: por cada ano acrescido das penas, vamos tendo aumentos cada vez menores do número de homicídios. Função decrescente e côncava ( f () <, f () < ) A função decresce, em valor absoluto, a ritmos crescentes: acréscimos sucessivos, de igual montante, da variável independente provocam decréscimos cada vez maiores (em valor absoluto) da variável dependente. No nosso eemplo, se a representação dos dados fosse esta, teríamos que o aumento da severidade das penas provocava diminuições do número de homicídios, a um ritmo cada vez maior: por cada ano acrescido das penas, vamos tendo reduções cada vez maiores do número de homicídios. O aumento da severidade das penas surge como um elemento fortemente dissuasor do número de homicídios.

6 Função crescente e convea ( f () <, f () > ) A função cresce a ritmos crescentes: acréscimos sucessivos, de igual montante, da variável independente provocam acréscimos cada vez maiores da variável dependente. No eemplo dado, teríamos, talvez de forma pouco realista, que o aumento da severidade das penas provocava aumentos do número de homicídios, a um ritmo cada vez maior: por cada ano acrescido das penas, vamos tendo aumentos cada vez maiores do número de homicídios. Função decrescente e convea ( f () <, f () > ) A função decresce, em valor absoluto, a ritmos decrescentes: acréscimos sucessivos, de igual montante, da variável independente provocam decréscimos cada vez menores (em valor absoluto) da variável dependente. No eemplo que temos sugerido, teríamos que o aumento da severidade das penas provocava diminuições do número de homicídios, a um ritmo cada vez menor. No limite, a partir de determinado grau de severidade de penas, não há qualquer efeito dissuasor sobre o número de homicídios.