Quádricas e superfícies

Transcrição

1 Capítulo 6 Quádricas e superfícies Como as curvas, as superfícies também podem ser apresentadas formas distintas: na forma paramétrica, ou como gráfico de funções de variáveis ou através de equações a 3 variáveis. A maioria das chamadas quádricas formam os primeiros eemplos de superfícies, além dos já conhecidos planos e esferas. Algumas destas superfícies são superfícies ciĺındricas (reunião de retas paralelas retas geratrizes, cada uma passando por um ponto de uma curva diretriz), cones sobre curvas (reunião de retas retas geratrizes que passam por um ponto de uma curva diretriz e por um ponto fio, chamado vértice do cone), ou superfícies de revolução (obtidas girando uma curva diretriz em torno de um eio fio). Tanto cilindros como cones são regrados (reunião de retas), mas eistem outras superfícies não tão óbvias mas regradas, inclusive entre as quádricas. Vamos apresentar inicialmente as quádricas na sua forma mais simples, com equação reduzida. 3

2 3 6. Introdução às Quádricas Como as cônicas do plano, que podiam ser descritas no sistema cartesiano por equações polinomiais de grau em duas variáveis, as quádricas no espaço são aquelas que podem ser representadas por equações polinomiais de grau em 3 variáveis. p(,, z) = a +a a 33 z +a +a 3 z+a 3 z+a +a +a 3 z+a = Como nas cônicas, os termos mistos (a + a 3 z + a 3 z) representam que os eios e planos de simetria estão rotacionados em relação aos eios e planos coordenados. Também como nas cônicas, o ponto de simetria (centro da quádrica) na origem deia a equação sem termos lineares (a + a + a 3 z). Assim como nas cônicas, eistem quádricas sem centro (parabolóides) que nunca ficam sem todos os termos lineares. a a a 3 a a Também temos a matriz da quádrica, simétrica, A = a a 3 a e a matriz a 3 a 3 a 33 a 3 a a a 3 a a a a 3 da forma quadrática Q = a a a 3 a 3 a 3 a 33 Em geral, uma quádrica é uma superfície. Mas há degenerações como vazio, ponto e reta. As secções planas de uma quádrica são cônicas. Já vimos o eemplo clássico das secções do cone, gerando as cônicas. Vamos inicialmente apresentar as quádricas com centro na origem, e sem rotação dos eios e planos de simetria. Os eios de simetria são as intersecções dos planos de simetria.

3 6. Quádricas e suas equações, na forma reduzida. Apresentamos inicialmente as quádricas com centro (,, ) (sem termos lineares na equação reduzida):. Elipsóide a + b + z c = Observe que as secções pelos planos coordenados =, = e z = são elipses: Para =, temos no plano coordenado Oz a elipse b + z c =. Para =, temos no plano coordenado Oz a elipse a + z c =. Para z =, temos no plano coordenado O a elipse z 3 3 z 3 3 z 3 a + b =. z Elipsóide z 9 = e suas metades, mostrando as secções Os 3 planos coordenados são planos de simetria, a origem é ponto de simetria. Observe que se a = b, o elipsóide é uma superfície de revolução em torno do eio Oz, se a = c, em torno do eio O e se b = c, em torno do eio O.. Hiperbolóide de uma folha a + b z c = Para =, temos no plano coordenado Oz a hipérbole b z c =. Para =, temos no plano coordenado Oz a hipérbole a z c =. Para z =, temos no plano coordenado O a elipse a + b =. 3 z z 3 3 z 3 z 3 Hiperbolóide de uma folha + z 9 = e suas metades, mostrando as secções

4 33 Como eercício, estude os hiperbolóides a b + z c = e a + b + z c =. O que muda? Em que situação o hiperbolóide é superfície de revolução? Em torno de que eio? Um modelo concreto de hiperbolóide de uma folha é o clássico cesto de lio, construído com varetas retas colocadas num fundo circular, com inclinação constante. Os hiperbolóides de uma folha são superfícies regradas, apesar de não serem cilindros, nem cones. 3. Hiperbolóide de duas folhas a b z c = Para =, temos a cônica vazia (o hiperbolóide não passa pelo plano Oz). Para =, temos no plano coordenado Oz a hipérbole a z c =. Para z =, temos no plano coordenado O a hipérbole a b =. z z z Hiperbolóide de duas folhas 9/ z = e suas metades, mostrando as secções Como eercício, estude os hiperbolóides a b + z c = e a + b z c =. O que muda? Em que situação o hiperbolóide é superfície de revolução? Em torno de que eio?. Cone a + b z c =. Para = e para =, duas retas concorrentes b z c = e a z c =, respectivamente. Para z =, um ponto.

5 Cone + z = e suas partes Secções: retas concorrentes, hipérbole e parábola Como eercício, estude os cones a + b + z c = e a b + z c =. O que muda? Em que situação o cone é superfície de revolução? Em torno de que eio? Qual a curva diretriz? 5. Cilindro eĺıtico a + b =. Como z não aparece na equação, é livre. Assim, a figura é um cilindro com retas geratrizes paralelas ao eio Oz, baseadas na curva diretriz dada pela secção z =, que é uma elipse. Esta quádrica também pode ser uma superfície de revolução em alguns casos. Descreva estes casos. 6. Cilindro hiperbólico a b =. Neste caso, a curva diretriz é a hipérbole dada no plano O pela equação. Veja os dois cilindros, na figura abaio: 3 3 z z.5.5

6 35 7. Par de planos concorrentes a b =. 8. Par de planos paralelos a = 9. Um plano a =. Uma reta a + b =.. Um ponto a + b + z c =.. Conjunto vazio ( ): a + b + z c = ou a + b = ou a = Tanto o plano, como os planos concorrentes ou paralelos são superfícies regradas, e ciĺındricas. Agora, as quádricas sem centro, muito importantes para Cálculo Diferencial de duas variáveis. Podemos sempre reduzir a parte linear a apenas um componente, por eemplo z, e a quádrica pode ser encarada como gáfico de função de duas variáveis z = f(, ). Neste estudo, é interessante conhecer além das intersecções com os planos coordenados, também as suas secções por planos z = k, obtendo as chamadas curvas de nível k representadas no plano O.. Parabolóide eĺıtico z = a + b. Para = temos a parábola no plano Oz; para =, a parábola no plano Oz Para z =, temos um ponto; para z = k < temos a cônica vazia; para z = k >

7 36 temos elipses e, em particular, para z =, a elipse a + b = , curvas de nível no plano O corte no nível k = As ilustrações acima são do parabolóide z = +, seus cortes, seus níveis z = k >. Este parabolóide também pode ser uma superfície de revolução em torno do eio Oz, se a = b. Estes são os modelos de antenas parabólicas, por eemplo.. Parabolóide hiperbólico (sela) z = a b. Para = temos a parábola no plano Oz; para =, a parábola no plano Oz...8 Para z =, temos um par de retas concorrentes; para z = k < temos hipérboles; para z = k > temos outras hipérboles, todas com as mesmas assíntotas dadas pelo nível z =. Veja estas secções na próima figura:

8 37.5 Curvas com z = k curvas de nível corte no nível k =.5 sobre a sela no plano O Parabolóides hiperbólicos são também superfícies regradas. 3. Cilindro parabólico z = a. Para = é uma parábola, sua curva diretriz. As retas geratrizes são paralelas ao eio O, já que não aparece na equação (é livre!). Veja os níveis z = k e a representação das curvas de nível no plano O: Podemos obter casos análogos de quádricas sem centro na forma reduzida, gráficos de funções = f(, z) e = f(, z). Para se reconhecer graficamente uma quádrica, e superfícies em geral, utiliza-se obter suas secções pelos planos coordenados e por alguns planos paralelos a estes como z = k gerando curvas de nível, e de posse destas secções, faz-se a análise das possibilidades. Os eemplos de secções cônicas e quádricas na forma reduzida precisam ser memorizados, como as letras de um alfabeto, pois são os primeiros modelos para várias situações, como no estudo de pontos de máimo, mínimo e sela de funções de e 3 variáveis, a ser vista no Cálculo Diferencial de Várias Variáveis.

9 38 Nos casos de quádricas reduzidas acima, vimos que as que são ciĺındricas aparecem com geratrizes paralelas ao eio da variável que não comparece na equação. A diretriz é a cônica descrita pelas outras duas variáveis. E as quádricas na forma reduzida que são superfícies de revolução têm um dos eios coordenados como eio de simetria, que é o eio de rotação. Além disso, as secções da quádrica por planos perpendiculares ao eio de rotação são circunferências com centro no eio, ou ponto do eio, ou vazio. Isto ocorre, por eemplo no caso de Oz ser o eio de rotação da quádrica reduzida p(,, z) =, quando para cada constante k, p(,, k) = φ( + ). 6.3 Quádricas transladadas, eliminação dos termos lineares e equação na forma reduzida Suponha uma quádrica com centro fora da origem, mas com os planos de simetria paralelos aos planos coordenados. Por eemplo, um elipsóide de centro C = (c, c, c 3 ), com semi-eios a, b e c como apresentado na forma reduzida. Então, num sistema de coordenadas S = {C,,, z } obtido apenas transladando a origem para C, temos a equação ( ) + ( ) + (z ) =. a b c Como deduzido no caso do plano, temos no espaço, as equações de mudança: = c = c ou = + c = + c. z = z c 3 z = z + c 3 donde a equação no sistema original fica: ( c ) a + ( c ) b + (z c 3) c =.

10 39 Ou seja, se p(,, z) = representa uma quádrica com centro na origem, a equação p( c, c, z c 3 ) = representa a mesma quádrica com centro C = (c, c, c 3 ). No caso de quádricas sem centro, temos um resultado análogo. Na equação reduzida z = f(, ), obtivemos quádricas sem centro com uma espécie de vértice na origem. Se este vértice estiver no ponto V = (v, v, v 3 ), a equação da quádrica fica z v 3 = f( v, v ). Observe que as equações dessas quádricas com centro deslocados da origem geram equações com termos lineares. Por eemplo, epandindo a equação do cilindro ( ) + ( 3) = temos + + =. Como no caso das cônicas, se esta fosse a equação dada, podemos chegar na primeira equação completando quadrados e assim reconhecer a quádrica apresentada. Ou utilizando a matriz da quádrica, obtida de forma semelhante ao do caso caso das cônicas, podemos procurar o centro resolvendo um sistema linear com as 3 linhas da matriz. No eemplo, a equação p(,, z) = + + = fornece a matriz 6 simétrica A =, com parte quadrática dada por Q =. 6 c = Das 3 primeiras linhas obtemos o sistema, donde temos que C = c 6 = (c, c, c 3 ) = (, 3, ) é um centro (a última coordenada é livre, portanto temos uma reta de centros). Então, assim como no caso das cônicas, efetuando a mudança de coordenadas apenas com deslocamento da origem para o centro, utilizando as equações = +, = + 3, z = z +, obtemos uma nova equação nas novas coordenadas, p (,, z ) =

11 p( +, + 3, z + ) = ( ) + ( ) + p(, 3, ) = (os coeficientes da parte quadrática não se alteram com esse tipo de mudança). Como p(, 3, ) =, temos ( ) + ( ) =, ou seja, ( ) + ( 3) =, que representa o cilindro eĺıtico de eio central r : X = (, 3, ) + t(,, ), t R. Nesses casos em que não há termos mistos, pelo método do completamento de quadrados, também obtemos o mesmo resultado facilmente. Veja no eemplo: p(,, z) = + + = ( ) + ( 6) + = ( + ) + ( 6 + 9) + 8 = ( ) + ( 3) =. Nos casos de quádricas sem centro, mas sem termos mistos na equação, o completamento de quadrados é a forma para simplificação máima dos termos lineares (deiar somente uma das coordenadas na parte linear, como nos eemplos reduzidos): Na equação p(,, z) = z =, por eemplo, podemos eliminar a parte linear com e utilizando a parte quadrática, mas não podemos eliminar o z. Temos: 6++z = ( 6) ( )+z = ( 6+9) ( +)+ z 9+ = ( 3) ( ) +z 8 = ( 3) ( ) +(z 9/) =, donde temos um parabolóide hiperbólico (sela) z = ( ) + ( ), fazendo o deslocamento da origem para V = (3,, 9/). Pode ser que não seja possível ficarmos somente com um termo linear. Por eemplo, no caso da quádrica + z =, apenas a varável aparece na forma quadrática, e portanto, o completamento de quadrados não elimina a parte linear com as variáveis e z. Mas é possível, com uma rotação de eios, deiar a nova equação com apenas uma variável na parte linear: No eemplo, primeiro eliminamos na parte linear: + z = ( + ) z =. Logo, deslocando a origem do sistema para (,, ), temos a nova equação ( ) ( ) (z ) =. Agora, L(, z ) = ( ) ( ) = (( ) + (z )) = 5( ). Então, 3

12 a mudança de variáveis X = Y = , que representa uma rotação nos eios, Z = deia a nova equação na forma X 5Y =. O sistema {O, X, Y, Z} é dado, em relação ao sistema original, por O = (,, ), O X na direção de (,, ), O Y na direção de (, 5, Obtenção da equação reduzida e do esboço 5 ) e O Z na direção de (, 5, Seja então a equação da quádrica sem termos mistos, p(,, z) = a + a + a 33 z +a +a +a 3 z +a =. Podemos transformá-las (as equações) em uma das citadas no início, a menos de troca de variáveis entre si. Podemos utilizar os seguintes passos: 5 ) Para quádricas com centro:. No caso de quádricas com centro, se a equação apresentar termos lineares, utilizando completamento de quadrados ou achando o centro, podemos obter: p(,, z) = a ( c ) + a ( c ) + a 33 (z c 3 ) + p(c, c, c 3 ) = onde o centro é (c, c, c 3 ).. Se K = p(c, c, c 3 ) não for nulo, reescreva a equação, isolando K e transformandoo em, dividindo a equação por ele: a K ( c ) a K ( c ) a 33 K (z c 3) = λ ( c ) + λ ( c ) + λ 3 (z c 3 ) =. Se K =, pule esta etapa. 3. Finalmente, se achar necessário, faça modificação do tipo λ( c ) =

13 ) se λ > e λ( c ) ( c ) = λ ( c ) ( outras variáveis. Para quádricas sem centro: 3 ( λ ) se λ <. Análogo para. No caso de quádricas sem centro, pelo menos um dos coeficientes de ou ou z é nulo e, após completamento de quadrados, aparece, na parte linear, um ou dois termos não nulos sem seu correspondente quadrático. No primeiro caso, temos por eemplo: p(,, z) = a ( v ) + a ( v ) + a 3 (z v 3 ) =, onde V = (v, v, v 3 ) representará um vértice da quádrica sem centro. No segundo caso, temos por eemplo, p(,, z) = a ( v ) + a + a 3 z A 33 ) =. No primeiro caso, isole (z v 3 ) na equação, e fique com (z z ) = λ ( v ) + λ ( v ) no caso eemplificado acima. No segundo caso, efetue a mudança de coordenadas X = = v Y = a + a + a 3 a 3 z a + a 3, para obter a equação a 3 Z = + a + a 3 a z a + a 3 p(x, Y, Z) = a X + a + a 3Y + A 33 =. 3. Se achar necessário, faça o último tipo de modificação das quádricas com centro: λ( v ) = ( v ) ( ) se λ > e λ( v ) ( v ) = ( ) se λ <,... λ ( λ

14 33 Para obtenção do esboço da quádrica, é bom lembrar de alguns truques. Se na equação já na forma simplificada, ainda aparecer o centro ou o vértice, (,, z ) fora da origem, pode-se considerar X =, Y = e Z = z z, e desenhar a quádrica com a equação mais simplificada com centro (ou vértice) na origem do sistema. Esse novo sistema tem origem no ponto O = (,, z ) e eios O X, O Y e O Z paralelos aos eios O, O, Oz, respectivamente. E para fazer o esboço nessa forma mais simplificada ainda, F(X, Y, Z) =, eperimente os cortes pelos planos X =, Y = e Z =. Se ainda não for suficiente, faça mais cortes por planos paralelos a estes. De qualquer forma, tem que deiar catalogados na memória todos os modelos de quádricas, para reconhecer logo. Se houver troca de eios em relação aos modelos catalogados, não se esqueça de trocar os eios na hora do esboço. Eemplos e eercícios. Seja o elipsóide p(,, z) = z 5 =. Modifique a equação e deie na forma padrão do elipsóide com centro na origem a + b + z c =. Solução: primeiro, passamos o termo constante para o outro lado: z = 5. depois, com uma divisão, transformamos a constante em : z =. Por último, reescrevemos os coeficientes do primeiro lado: ( ) + 5 ( 5 3 ) + z ( ) = 5 Concluimos que a quádrica é um elipsóide com centro (,,), e semi-eios a = 5,

15 3 b = e c = nos eios O, O e Oz, respectivamente.. Classifique e esboce a quádrica + z 8 z =. 3. Classifique e esboce a quádrica 8 z =.. Suponha que a matriz Q da parte quadrática tenha posto (ou característica) menor que o posto da matriz 3 das 3 primeiras linhas da matriz A. A quádrica tem centro? quais as possibilidades para a quádrica? 5. Sabia que as cônicas se chamam cônicas por serem, eceto alguns casos degenerados, obtidos a partir de um cone circular, seccionando-o por planos? Classifique a cônica de intersecção do cone + z = pelo plano + z =. Quais cortes dão elipses? E hipérboles? 6. Uma superfície de nível k de uma função real a três variáveis reais w = F(,, z) é definido como o conjunto dos pontos do espaço que satisfazem a equação F(,, z) = k. Uma quádrica é uma superfície de nível de uma função p(,, z) polinomial de grau dois em três variáveis. Por eemplo, para F(,, z) = + z, temos as superfícies de nível do tipo hiperbolóide de folhas para k <, que vão se encaiando como folhas, até chegar num cone no nível k = e passar a hiperbolóides de uma folha nos níveis k >, do lado de fora do cone. Considere agora a função G(,, z) = z e verifique a evolução das superfícies de nível, de k < passando por k = e indo para k >. Ídem para H(,, z) = z.

16 35 6. Quádricas com termos mistos Quando os termos mistos aparecem na equação da quádrica, algum plano de simetria não é paralelo a plano coordenado. Ou seja, a eliminação dos termos quadráticos se dá com uma mudança de coordenadas com alteração na base de vetores que definem as direções dos eios coordenados. Há um teorema clássico da Álgebra Linear (Teorema Espectral) que garante que a simplificação é possível. Além disso, o sistema S = {O,,, z } com base de vetores E = { e, e, e 3 }, na qual a nova equação fica sem termos mistos, ocorre numa base ortonormal, obtida como auto-vetores da matriz Q da parte quadrática. Nas novas equações, somente com mudança da base de vetores, a parte quadrática fica na forma diagonal, isto é, q (,, z ) = λ ( ) + λ ( ) + λ 3 (z ), onde λ, λ e λ 3 são os chamados auto-valores da matriz Q. Além disso, esta mudança não altera o termo independente. Por eemplo, considere a equação p(,, z) = z + z =, com parte quadrática q(,, z) = z + z. 3 A matriz da quádrica é A =, e Q = 3. Vamos calcular os autovalores λ i de Q, que satisfazem a equação det(q λi) =, onde I é a matriz identidade. λ 3 λ = λ + 5λ λ 3 =, logo λ =, λ = + 6, λ λ 3 = 6. Encontramos um auto-vetor v i de Q associado ao autovalorλ i, resolvendo o sistema

17 36 linear λ i a 3 λ i b = λ i c Temos então, para λ =, v = (,, ), para λ = + 6, v = (, + (6), ) e para λ 3 = 6, v 3 = (, 6, ). Normalizando, temos os vetores e, e, e 3 da base ortonormal do novo sistema com eios O, O e Oz, onde a nova equação fica: ( ) + ( + 6)( ) + ( 6)(z ) =, donde podemos concluir que a quádrica é um hiperbolóide de uma folha. Observamos que mesmo neste caso, os autovalores sendo raízes de um polinômio cúbico, pode não ter cálculo muito simples. Se partimos de uma equação com termos mistos e parte linear, primeiro tente eliminar os termos lineares e depois, os termos mistos. Se a quádrica for sem centro, portanto não é possível eliminar os termos lineares, lembre-se que esta mudança de coordenadas altera os termos lineares se estes eistirem. Para saber como eles são alterados, precisarmos saber como são as equações de mudança, quando se altera a base de vetores. Como no caso do plano, se C = { ı, j, k} é a base do sistema S = {O,,, z} e E = { e, e, e 3 } é a base do sistema S = {O,,, z }, onde e = (a, b, c ) C, e = (a, b, c ) C e e 3 = (a 3, b 3, c 3 ) C, temos: P = (,, z) S OP = (,, z) C = ı + j + z k () P = (,, z ) S OP = (,, z ) E = e + e + z e 3 () Substituindo e, e e e 3 em (), temos OP = (a + a + a 3 z, b + b + b 3 z, c + c + c 3 z ) C,

18 37 donde, por (), tem-se que a a a 3 = b b b 3 z c c c 3 z. Como as bases são ortonormais, a matriz de mudança que aparece acima é uma matriz ortogonal (sua inversa é a transposta) e portanto, temos também que a b c = a b c. z a 3 b 3 c 3 z Com essas equações de mudança, obtendo-se a base ortonormal de autovetores de Q, pode-se conhecer a nova parte linear, quando necessário. O efeito das mudanças de coordenadas cartesianas estudadas sobre a matriz da quádrica A e a sua parte quadrática Q é que o determinante de ambas é invariante, assim como o traço da parte quadrática. Assim, é possivel obter muitas informações da quádrica sem efetuar de fato as mudanças de coordenadas. Por eemplo, se C = (c, c, c 3 ) é o centro da quádrica p(,, z) =, p(c, c, c 3 ) = det(a) é o novo termo independente det(q) da equação, depois das mudanças de coordenadas. (eercício!) 6.5 Introdução às superfícies no espaço A maioria das quádricas apresentadas são eemplos típicos de superfícies, entendidos intuitivamente como objetos no espaço que são reuniões de partes que se assemelham a pedaços de planos (sem rasgos nem bicos), coladas umas nas outras de forma suave. Ou seja, superfícies bidimensionais, que em quase todos os seus pontos pode-se falar em plano tangente à superfície no ponto, etc. Também como no caso de curvas no plano, uma superfície pode ser descrita, no sistema cartesiano do espaço, na forma paramétrica (agora com dois parâmetros: = (t, s),

19 38 = (t, s), z = z(t, s)), ou na forma implicita (por uma equação f(,, z) = como as quádricas) ou como gráfico de funções (gráfico de z = f(, ) ou = f(, z) ou = f(, z)), pelo menos por partes. É importante saber distinguir essas formas, até para utilizarmos um computador para desenhá-las. Superfícies que são gráficos de funções e superfícies dadas por parametrizações são facilmente obtidas no programa Octave (veja na última sessão deste capítulo). A eistência de um plano tangente em cada ponto está relacionada a condições de diferenciabilidade das funções envolvidas e deverá ser tratada com as ferramentas do Cálculo Diferencial de Várias Variáveis. A seguir, vamos trabalhar um pouco com a forma impĺıcita e a forma paramétrica das superfícies ciĺındricas, dos cones sobre curvas e das superfícies de revolução Superfícies cilíndricas Considere uma curva plana C no espaço, e v um vetor transversal (não paralelo) ao plano da curva. O cilindro de diretriz C e geratrizes paralelas a v é a reunião das retas que passam por um ponto de C e são paralelas a v. Isto é, é o conjunto dos pontos P que podem ser escritos na forma P = Q + s v onde Q C e s R. Os primeiros eemplos de superfícies ciĺındricas são aquelas em que na equação f(,, z) = alguma das variáveis não comparece eplicitamente. As geratrizes do cilindro serão pa-

20 39 ralelas ao eio da variável que não comparece e a curva diretriz é a curva determinada no plano das outras variáveis. Vimos alguns eemplos na apresentação das quádricas reduzidas. Vejamos mais um eemplo: na equação + 9 = a variável z não comparece eplicitamente. Isto significa que esta variável é livre, sendo portanto a superfície um cilindro com geratrizes paralelas a k = (,, ). O cilindro deste eemplo tem como diretriz a circunferência de raio 3 e centro na origem do plano O. = f(t) Se C é dado parametricamente por = g(t), com o parâmetro t I, e v = (a, b, c), obtemos a parametrização z = h(t) = f(t) + s a = g(t) + s b, com os parâmetros t I e z = h(t) + s c s R. Fazendo, na parametrização dada, s [, ], estamos descrevendo um tronco de cilindro cujas geratrizes são segmentos de mesmo comprimento e direção que v. Por eemplo, o cilindro sobre a circunferência de raio 3 e centro (,, ) no plano 5 3 z = e geratrizes paralelas a v = (, 3, 5) = 3 cost + s é parametrizada por = 3 sen t + 3s, z = 5s com t [, π], s R. 6 Se C é dada implicitamente por equações a 3 variáveis, f(,, z) = e g(,, z) = (toda equação nas variáveis, e z pode ser colocada na forma F(,, z) = ), e v = (a, b, c) é a direção das geratrizes, podemos obter a equação do cilindro, da seguinte forma: Para cada P = (,, z) do cilindro, seja Q = (X, Y, Z) C tal que Q = P + λ v,

21 X = + λa para algum λ R. Ou seja, Y = + λb Z = z + λc. 3 Como Q = (X, Y, Z) C, devemos ter f(x, Y, Z) = e g(x, Y, Z) =. Substituindo X, Y e Z pelas equações envolvendo,, z e λ, se tiver sorte, podese obter λ em função de, e z por uma das equações e, substituindo λ na outra equação, obter uma equação F(,, z) = para descrever os pontos (,, z) do cilindro. Veja o mesmo eemplo do cilindro parametrizado acima: C é dada pelas equações f(,, z) = + 9 = + = 9 e z =. Ou seja, C :. Se v = (, 3, 5), para g(,, z) = z = X = + λ cada (,, z) no cilindro, temos Y = + 3λ para algum (X, Y, Z) na circunferência Z = z + 5λ f(x, Y, Z) = ( + λ) + ( + 3λ) 9 = e λ R. Substituindo nas equações de C tem-se: g(x, Y, Z) = z + 5λ = Donde λ = z 5 e, portanto, ( z 5 ) + ( 3 z 5 ) 9 = é a equação do cilindro. Como a equação é dada por um polinômio de grau nas variáveis, e z, este cilindro é um eemplo de quádrica. Eercícios: Esboce e obtenha as formas paramétrica e impĺıcita do cilindro com diretriz C e geratrizes paralelas a v, nos seguintes casos:.. C é a elipse no plano Oz dada pela equação v = (5,, ). ( ) + (z + ) 9 = e z = ;

22 3. C é um ramo de hipérbole dado por = cosh t, =, z = senh t, com t R (verifique que satisfaz a equação z = ); v = (,, ); faça também com v = (,, 3) Cones sobre curvas Seja C uma curva plana no espaço e V um ponto, não pertencente ao plano da curva. O cone de diretriz C e vértice V é a reunião das retas passando por V e por um ponto da curva. O cone mais clássico é a quádrica a + b z =, que é um cone tendo como c vértice o ponto (,, ) e como diretriz qualquer uma de suas secções planas eĺıticas. Se P cone, eiste Q C tal que P = V + s(q V ) para algum s R. Ou, Q = V + t(p V ), para algum t R. Se quisermos obter o cone na forma paramétrica, usamos a primeira forma: P = V + s(q V ), e substituimos Q pela forma paramétrica da curva. Se quisermos a equação do cone, usamos a segunda forma: Q = V + λ(p V ) e fazemos f(q) = e g(q) =, onde f = e g = seriam as equações da curva C.

23 Por eemplo, o cone cuja diretriz é a circunferência C : e vértice V = + = z = (,, ) tem as equações paramétricas dadas por: = cost + s(cost ) = sen t + s(sen t ) z = s [, π] e s R. X = + λ( ) Para obter a equação do cone, escrevemos Y = + λ( ), com t, substituímos nas Z = + λ(z ) X + Y = equações, e eliminamos λ. De Z = + λ(z ) = tem-se que λ = Z = ( ) ( ) ( ) ( ), e substituindo na outra equação, temos + =. z (z ) (z ) Este cone também pode ser reescrito como uma quádrica (Eercício: obtenha o polinômio de grau que define esta quádrica.) Eercícios: Esboce e obtenha as formas paramétrica e impĺıcita do cone com diretriz C e vértice V, nos seguintes casos:. C é a elipse no plano Oz dada pela equação V = (5,, ). ( ) + (z + ) 9 = e = ;. C é a parábola dado por = t, =, z = t 5t, com t R; V = (,, ); faça também com V = (,, 3).

24 Superfícies de revolução Seja C uma curva plana, e r uma reta contida no plano da curva. Sob certas condições sobre esses elementos, rotacionando a curva em torno da reta r, obtemos uma superfície de revolução de C em torno de r. Observe que a superfície é a reunião das circunferências que passam por pontos de C e centro em r, em planos perpendiculares a r. Os eemplos mais simples de superfícies de revolução f(,, z) = são aqueles que para cada z = k, f(,, k) = é uma equação de uma circunferência de mesmo centro (, ) no plano O, podendo-se degenerar no ponto (, ) ou no vazio. Neste caso, é uma superfície de revolução em torno do eio r : X = (,, ) + t(,, ), desde que a secção pelo plano = seja uma curva Voltemos ao caso geral Por eemplo, o hiperbolóide de uma folha f(,, z) = + z = é uma superfície de revolução de uma hipérbole em torno do eio Oz, já que para cada z = k, f(,, k) = + k = representa a circunferência de centro (, ) e raio + k no plano O. = f(t) Suponha a curva C dada parametricamente: C : = g(t), t I. Para cada z = h(t) t I, seja r(t) o ponto de r tal que o vetor (f(t), g(t), h(t)) r(t) seja perpendicular a r e tenha norma ρ(t). O ponto r(t) corresponde ao centro da circunferência e ρ(t) é o raio. Seja e, e um par de vetores unitários e ortogonais a r (paralelos aos planos das circunferências). Então temos a seguinte parametrização da superfície de revolução:

25 3 (,, z) = r(t) + ρ(t) coss e + ρ(t) sen s e, t I, s [, π]. Isto fica bem mais simples quando r = Oz e C é uma curva no plano Oz dada como gráfico de uma função = f(z), com z I. = f(t) Teremos a parametrização C : = com t I, da curva, e podemos tomar z = t e = (,, ), e = (,, ), r(t) = (,, t), ρ(t) = f(t). Assim, (,, z) = (,, t) + f(t)(coss, sen s, ), t I, s [, π], ou seja, = f(t) coss = f(t) sen s, t I, s [, π]. z = t A mesma parametrização, se r = Oz e C é uma curva no plano Oz como gráfico da função = f(z).

26 Se r = Oz e a curva é dada por C : = f(t) = z = g(t), t I, no plano Oz, temos os raios raio(t) = f(t) e os centros r(t) = (,, g(t). Assim, (,, z) = (,, g(t)) + f(t)(coss, sen s, ), t I, s [, π], ou seja, = f(t) coss = f(t) sen s, t I, s [, π]. O z = g(t) Q = (f(t),, g(t)) C f(t) r = Oz 35 ρ = f(t) p(,, z) O z = g(t) O z = g(t) Obtém-se resultados análogos, mantendo os eios de rotação como um dos eios coordenados e a curva num dos planos coordenados. Por eemplo, o catenóide obtido rotacionando a catenária = cosh(z) do plano Oz em torno do eio Oz, obtemos a parametrização (,, z) = (,, t)+cosh(t)(coss, sen s, ), t R, s [, π]: = cosh(t) coss = cosh t sen s, t R, s [, π] z = t = 3 cost O elipsóide obtido rotacionando a elipse = em torno do eio Oz pode ser z = sen t dada parametricamente por (,, z) = (,, sent) + 3 cost(cos s, sen s, ), t [, π],

27 = 3 costcoss s [, π], ou seja, = 3 costsen s, t [, π], s [, π]. 36 z = sen t O toro (pneu, rosquinha, bóia, etc) obtido rotacionando a circunferência = 3 + cost = z = sen t, t [, π], em torno do eio r = Oz tem parametrização dada por = (3 + cost) coss = (3 + cost) sen s z = sen t, t [, π], s [, π]. Considere agora o caso de r = Oz, e C no plano Oz dada por equações f(,, z) = e g(,, z) = =.

28 O X r = Oz O 37 Se (X,, Z) C, então os pontos (,, z) X = da circunferência de centro (,, Z) e raio Q + ρ(z) = X pertencem à superfície de revolução. p(,, z) Z O z = Z Z = z Ou seja,. + = ρ (Z) = X f(x, Y, Z) = C Juntamente com, Y = pode-se obter uma equação em, e z. + 3z = 5 Por eemplo, rotacionando a elipse C : em torno do eio Oz, obte- = mos um elipsóide de revolução. Seja (X, Y, Z) um ponto na elipse. Os pontos (,, z) do elipsóide com z = Z, estão na circunferência de centro (,, Z) e raio ρ(z) = X + Y. X + Y = + Ou seja, satisfazem as equações. Assim, das equações da elipse Z = z X + 3Z = 5, segue que + +3z = 5 é a equação da superfície, conhecida como Y = elipsóide. Ou seja, esse elipsóide é dado implicitamente pela equação + +3z 5 = e portanto, esse elipsóide é um caso de quádrica. Eercícios: I. Esboce a superfície, e obtenha as formas paramétrica e impĺıcita da superfície de revolução da curva C em torno do eio r, nos seguintes casos:. C é a elipse no plano Oz dada pela equação ( 3) + z 9 = e = ; r = O.. C é a parábola dado por = t, =, z = t, com t R; r = Oz; faça também com r = O, pelo menos a paramétrica. Qual dos casos a superfície é uma quádrica?

29 38 3. C é uma reta paralela ao eio O, dada por =, z = 5. Faça para r = O e para r = Oz.. C é uma reta que cruza o eio O, dada por =, z = 5. Faça rotação em torno de r = O e r = Oz. II. Obtenha a superfície dada como uma superfície de revolução, isto é, eiba a curva e o eio de rotação, e mostre as equações (a que não tiver sido dada).. Cone circular com vértice V = (,, ) cujas geratrizes formam ângulo π/ com o eio O.. Cilindro circular de raio 5 e eio central O. 3. Esfera de centro (,, 5) e raio 3.. O hiperbolóide de uma folha dada pela equação + z =. 5. O hiperbolóide de folhas dada pela equação z = Gráficos de funções de variáveis Uma função real de duas variáveis reais f : D R R, associa a cada ponto (, ) do seu domínio D R um número real z = f(, ) R. O seu gráfico é o conjunto Graf(f) = { (,, f(, )) (, ) D } no espaço R 3. Uma superfície dada como gráfico de f(, ), tem naturalmente a equação z = f(, ) e a forma paramétrica (,, z) = (t, s, f(t, s)), com (t, s) D. Mas, dependendo da situação, podemos identificar o domínio D de uma função de variáveis dentro do plano Oz ou Oz, em vez de O, tendo como gráficos as superfícies de equação = g(, z) ou = h(, z) e parametrização (,, z) = (t, g(t, s), s) ou (,, z) = (h(t, s), t, s).

30 39 Observadas certas condições, como continuidade e diferenciabilidade, a serem esclarecidos mais tarde, o gráfico de uma função z = f(, ) é uma superfície suave (sem bicos e rasgos). Toda superfície suave no R 3 deve ser uma reunião de superfícies dadas como gráfico de funções boas, do tipo z = f(, ) ou = g(, z) ou = h(, z), com as emendas suaves. Aqui vamos apenas apresentar alguns eemplos de gráficos, sem nos preocuparmos em justificar se realmente os gráficos são superfícies suaves. Eemplos e eercícios.. O gráfico da função f(, ) = a( ) + b( ) + c, onde a, b, c, e são constantes reais, é um plano no espaço com vetor normal N = (a, b, ) e passando pelo ponto (,, c).. O gráfico da função f(, ) = é uma calota esférica, pois devemos ter z = f (, ) = z + + z = = z 3. O gráfico da função f(, ) = + é um parabolóide de revolução, passando pelo vértice (,, ). Você pode visualizar isto, obtendo os cortes do gráfico por planos paralelos aos planos coordenados: Cortando com o plano z =, devemos resolver f(, ) = + = z =. Daí, temos =, = e z =, e vemos que temos somente o vértice V = (,, ). Cortando com um plano z = k <, não temos nada, pois + nunca é negativo. Cortando com um plano z = k >, temos circunferências de raio k e centro (,, k), das equações + = k e z = k. Trata-se portanto de uma

31 33 superfície de revolução de uma curva em torno do eio Oz. z = + z = Cortando com o plano =, temos = que é = = uma parábola no plano Oz. Logo, o gráfico é a superfície obtida pela rotação da parábola em torno do eio Oz. Eercícios: Obtenha um esboço do gráfico de f(, ) = + +. Qual o nome da superfície? Ídem para g(, ) = ( 3) +( ) 5. Qual a diferença desta superfície para a anterior? ( ). Eercício: Obtenha um esboço do parabolóide eĺıtico, gráfico de f(, ) = + ( ), analisando diversos cortes da superfície por planos paralelos aos planos 9 coordenados. 5. O gráfico da função f(, ) = é uma superfície chamada sela ou parabolóide hiperbólico. Obtenha as curvas de nível de f (veja a definição no último eemplo de curvas no plano), para os níveis k =, k = e k =. Obtenha os cortes pelos planos =, =, =, =, =, =. Esboce a superfície. 6. O gráfico da função f(, ) = é um cilindro parabólico. Veja superfícies ciĺındricas. Obtenha as secções do cilindro pelos planos =, = e z = k. 7. Obtenha o gráfico da função f(, ) = ln( + ). Antes, determine o domínio da função. 8. Todos os gráficos de funções que são também superfícies de revolução em torno do eio Oz são da forma z = f(, ) = φ( + ). Descreva uma forma prática de esboçar o gráfico de uma função deste tipo.

32 Superfícies Regradas Superfícies regradas são reuniões de retas. Já vimos os cilindros e cones, mas temos outras superfícies com essa propriedade. Entre as quádricas, podemos citar o hiperbolóide de uma folha, de revolução, tipo um cesto de lio. Temos também o parabolóide hiperbólico ou sela. O helicóide, grosseiramente aproimado por uma escada em caracol, pode ser obtido por uma hélice e retas ligadas ao eio da hélice.. Para obter um hiperbolóide de uma folha regrado, considere duas circunferências de mesmo raio, em planos paralelos: = cost + = C : = = sen t z = z = + = e C : z = = cost = = sen t z = Ligue os pontos de uma circunferência com os da outra, de forma que haja uma defazagem no parâmetro, isto é, ligue (cost, sen t, ) com (cos(t + θ), sen(t + θ), ), para algum θ fio. Então (,, z) = (cos t, sen t, ) + s(cos(t + θ) cos t, sen(t + θ) sen t, ). Essa é a construção da cesta de lio, usando um fundo circular e varetas formando o contorno, todos colocados na borda da base formando o mesmo ângulo com o plano da base. Quando as varetas ficam perpendiculares à base (θ = ), temos o cilindro circular. Na verdade, dado um hiperbolóide de uma folha a + b z =, e um ponto p = c (,, z ) no hiperbolóide, o plano T p : a ( )+ b ( ) z c (z z ) = intercepta o hiperbolóide segundo duas retas concorrentes, que são as retas do.

33 33 hiperbolóide passando pelo ponto.. Uma sela (parabolóide hiperbólico) regrada pode ser obtida tomando-se inicialmente um quadrado com reticulado de retas como uma peneira com beirada quadrada. Suponha os lados do quadrado de material duro, mas articulável nas quinas, de forma que se possa suspender dois vértices opostos ao mesmo tempo, mantendo os outros dois no lugar. E suponha as linhas que formam o reticulado elásticas e sempre esticadas em linha reta A superfície formada pelo reticulado é de uma sela. Na figura, a sela z = De uma forma geral, para cada ponto p = (,, z ) de uma sela z = a b, o plano T p : z = z + ( a ) ( b ) intercepta a sela segundo duas retas concorrentes. 3. Vamos aqui construir a parametrização do helicóide, reunindo as retas que passam pela hélice (,, z) = (cost, sen t, t) e pelo ponto (,, t) Oz.

34 A parametrização fica: (,, z) = (,, t) + s(cost, sen t, ), t R e s R. Modelos aproimados do helicóide, além das escadas em caracol, podem ser vistas feitas com palitos de sorvete para girarem com o vento Coordenadas esféricas Como no caso de coordenadas polares no plano, podemos descrever os pontos do espaço através das coordenadas esféricas ou das coordenadas ciĺındricas. O primeiro, como o nome diz, se presta mais a descrever os pontos através de sua posição em esferas. Considere um ponto fio O, a origem do sistema. Considere um plano de referência passando por O e um eio de referência, contida no plano e passando também por O. Na passagem entre coordenadas esféricas e coordenadas cartesianas Oz, consideramos O como a origem do sistema cartesiano, o plano de referência como o plano Oz e o eio, o Oz. Para cada ponto P no espaço (P O), consideraremos r a distância do ponto a O, θ o ângulo do raio OP com o eio Oz de referência, e φ o ângulo entre o plano Oz de referência e o plano contendo o eio Oz e o ponto P, que coimcide com o ângulo formado com a projeção ortogonal de OP sobre o plano O e o eio O. Assim, dada a terna r, θ, φ, com r >, θ π e φ < π, pode-se determinar eatamente a posição do ponto e vice-versa. Na origem, apenas indicamos r =. A relação entre as coordenadas cartesianas (,, z) e esféricas (r, θ, φ) fica portanto

35 33 equacionado por = r sen θ cosφ = r sen θ sen φ. z = r cosθ Eemplos e eercícios. Uma esfera de centro na origem e raio R, tem a equação em coordenadas esféricas dada simplesmente por r = R. A partir disso, fica fácil obter a parametrização da esfera em coordenadas cartesianas: θ π e φ < π. = R sen θ cos φ = R sen θ sen φ z = R cosθ Eercícios: () Obtenha as equações paramétricas (em coordenadas cartesianas) de uma esfera com centro na origem e raio 5. () Depois, da calota superior dessa esfera (z ) mudando a variação dos parâmetros. (3) Supondo que a esfera representa o globo terrestre em escala menor, sendo o equador no plano z =, represente os paralelos e os meridianos. () Obtenha a parametrização da esfera de centro (a, b, c) e raio R, em coordenadas cartesianas.. Um cone circular reto com vértice na origem e geratrizes formando ângulo θ com o eio Oz, tem equação θ = θ em coordenadas esféricas. A partir disso, segue a parametrização do cone sem o vértice, em coordenadas cartesianas: = r sen θ cos φ = r sen θ sen φ z = r cosθ,,

36 335 com r > e φ < π. Eercício: Qual a parametrização do cone cujo com vértice na origem cujas geratrizes formam ângulos de 3 graus com o eio Oz? Coordenadas cilíndricas As coordenadas ciĺındricas, como o nome diz, descreve os pontos do espaço através da descrição do ponto em cilindros. Considere um ponto do origem, O que compararemos com a origem de um sistema cartesiano. Considere um eio de referência Oz e o plano de referência Oz. Para cada ponto P O, considere o cilindro circular reto de raio ρ e eio Oz, a distância z de P ao plano O (perpendicular a Oz por O) e ângulo φ do plano por Oz e P e o plano Oz. As coordenadas ciĺındricas de P são dadas por ρ, φ e = ρ cosφ z, que se relacionam com o sistema cartesiano pelas equações = ρ sen φ, z = z com ρ >, φ < π e z R. Um cilindro circular reto de raio R e eio central Oz pode ser escrita pela equação ρ = R em coordenadas ciĺındricas. Assim, uma parametrização do mesmo cilindro, em = R cos φ coordenadas cartesianas pode ser dada por = R sen φ, com φ < π e t R. z = t Eercício: Descreva geometricamente e faça um esboço dos conjuntos de pontos, dados em coordenadas ciĺındricas:. φ = π/3. ρ, π/3 φ π, z.

37 z = 3, ρ = 6.6 Desenhando superfícies no computador Ja vimos que o programa Octave podia ser utilizado para desenhar planos. Vamos agora desenhar algumas superfícies dadas coomo gráfico de função e outras dadas parametricamente. Entre as quádricas que eram gráfico de funções z = f(, ) temos o parabolóide eĺıtico, o parabolóide hiperbólico e o cilindro parabólico. Por eemplo, para obter o parabolóide eĺıtico z = 9 +, para (, ) [, ] [, ], no Octave, basta entrar com: = = [-:.:]; % variaç~ao de e [,] = meshgrid(,); zz=.^/9 +.^/; surf(,,zz) Para o parabolóide hiperbólico z =, para a mesma variação de e, basta trocar a epressão de zz: zz =.^-.^. Como eercício, obtenha o cilindro parabólico z = para os mesmos e. Certas quádricas são melhor traçadas quando utilizamos a forma forma paramétrica, como por eemplo o cilindro, a esfera e o cone: Para desenharmos o cilindro eĺıtico + =, parametrizado por = cost, 9 = 3 sen t, z = s, com t [ π, π] e s [, ], podemos fazer: t = [:.:6.3]; s = [:.5:]; [tt,ss] = meshgrid(t,s); = *cos(tt); = 3*sin(tt); z=ss; surf(,,z)

38 337 Para desenharmos o elipsóide z =, através da parametrização = 3 sen t coss, = sen t sen s, z = cos t, t [, π], s [, π], fazemos t = linspace(,pi,); s = linspace(,*pi,); [tt,ss] = meshgrid(t,s); = 3*sin(tt).*cos(ss); = *sin(tt).*sin(ss); z=cos(tt); surf(,,z) O cone + 9 z =, com parametrização = t coss, = 3t sen s, z = t, t [, ], s [ π, π], pode ser obtido com: t = linspace(-,,); s = linspace(-pi,pi,); [tt,ss] = meshgrid(t,s); = *tt.*cos(ss); = 3*tt.*sin(ss); z=*tt; surf(,,z) Observe que o gráfico de função z = f(, ) é parametrizado naturalmente por = t, = s, z = f(t, s), que dá o mesmo resultado. Como desenhamos as superfícies pelas equações f(,, z) =? Para o traçado de superfícies impĺıcitas com software livre, sugerimos que procure programas específicos para traçados de vários tipos de superfícies, incluindo as impĺıcitas, como o K3dSurf. Veja a secção do cone + z = pelo plano +z = gerando a parábola, obtida com o K3dsurf, onde foi solicitado para desenhar o cone, com a condição + z <.5.

39 338