Teste de Wilcoxon. Contrapartida não-paramétrica para. Teste-t para amostras emparelhadas

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1 Teste de Wilcoxon Contrapartida não-paramétrica para Teste-t para amostras emparelhadas

2 Amostras Emparelhadas - O Teste de Wilcoxon (pequenas amostras) População X População Y ( X, Y ),( X, Y ),,( X, Y ) n n H : distribuiçao ɶ de X = distribuiçao ɶ de Y vs. H : localizaçao ɶ de X localizaçao ɶ de Y (Teste Bilateral) 0 1 ( > ) ou ( < ) (Teste Unilateral) Diferenças D : = X Y ; D : = X Y; i i i H : Med( D) = 0 vs. H : Med( D) ( > ) ou ( < ) (Teste Bilateral) (Teste Unilateral) O Teste de Wilcoxon é uma extensão do Teste de Sinais. É mais interessante pois leva em consideração a magnitude da diferença para cada par. O teste de sinal analisa apenas o sinal das diferenças, mas o Teste de Wilcoxon usa o sinal e ordena as diferenças. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 98

3 Teste de Wilcoxon (Pequenas Amostras Emparelhadas) 1. Obter as diferenças, D i = X i - Y i 2. Obter os Valores Absolutos das diferenças, D i 3. Desprezar as diferenças de Valor 0 (empates) diminuindo do mesmo número de unidades, a dimensão da amostra. 4. Atribuir Ordens, onde a Menor = 1 5. Atribuir Ordens para diferenças - e + 6. Somar as Ordens + (T + ) & Ordens - (T - ) Estatística de Teste T - ou T + (Teste Unilateral) Estatística de Teste T:=min(T -, T + ) (Teste Bilateral) Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 99

4 Teste de Wilcoxon (Pequenas Amostras Emparelhadas) Motivação para a Região de Rejeição: Sob a validade de H 0, é de esperar que a soma das ordens positivas (T + ) não difira grandemente da soma das ordens negativas (T - ). Uma soma grande para as ordens positivas (T + ) relativamente a soma das ordens negativas (T - ), implica que a Mediana das Diferenças, Med(D), tenha uma pequena probabilidade de ser igual a zero. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 100

5 Teste de Wilcoxon (Pequenas Amostras Emparelhadas) H o :Med(D) =0 (As distribuições de X e de Y são idênticas) Teste Bilateral H 1 : Med(D) 0(As distribuições de X e de Y diferem na localização) Rejeitar H o se T T0 (Tabela 9), com T:=min(T -, T + ) Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 101

6 Teste de Wilcoxon (Pequenas Amostras Emparelhadas) H o :Med(D) = 0 (As distribuições de X e de Y são idênticas) Teste Unilateral H 1 : Med(D) > 0 (A distribuição de X tem localização à direita da localização de Y) Rejeitar H 0 se T - T0 (Tabela 9) H 1 : Med(D) < 0 (A distribuição de Y tem localização à direita da localização de X) Rejeitar H 0 se T + T0 (Tabela 9) Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 102

7 Teste de Wilcoxon (Grandes Amostras Emparelhadas) n grande, ie, n + T + n( n + 1) / 4 n( n + 1)(2n + 1) / 24 d N(0,1) Nas aplicações, para n 25 T + n( n + 1) / 4 n( n + 1)(2n + 1) / 24 Z N(0,1) Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 103

8 Teste de Wilcoxon (Grandes Amostras Emparelhadas) H o :Med(D) = 0 (As distribuições de X e de Y são idênticas) Teste Bilateral H 1 : Med(D) 0(As distribuições de X e de Y diferem na localização) p-value: Z : = n( n + 1) / 4 n( n + 1)(2n + 1) / 24 Região de Rejeição, ao nível de significância α : Z z ou Z z z = Φ quantil da N(0,1) 1 α / 2 α / 2, α / 2 : (1 α / 2), T + { P[ Z z] P[ Z z] } { z z } = 2 min, = 2 min 1 Φ( ), Φ( ). α / 2 α / 2 z α /2 z α / 2 ie, Rejeitar H o se Z > z α/2 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 104

9 Teste de Wilcoxon (Grandes Amostras Emparelhadas) H o :Med(D) = 0 (As distribuições de X e de Y são idênticas) Teste Unilateral H 1 : Med(D)> 0 (localização de X à direita da localização de Y) H 1 : Med(D)< 0(localização de X à esquerda da localização de Y) p-value: [ Z ] = 1 Φ( ). P z z p-value: Região de Rejeição, ao nível de significância α : [ Z ] = Φ( ). P z z Z z = Φ 1 α, zα : (1 α) Z z = Φ 1 α, zα : (1 α) z α α Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 105 α z α

10 Exemplo - Cancro pancreático Agora, podemos analisar o grupo que teve intervenção cirúrgica com Esplenectomia Novamente, temos observações emparelhadas sobre cada um dos pacientes, e estamos interessados na diferença entre duas medições de plaquetas. Será que há uma diferença significativa? Now, we can look at the group that had surgery with Splenectomy Again we have paired observations on each one of the patients, and we are interested in the difference between two measurements of platelets. Is there a significant difference? Patient Pre Post Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 106

11 Exemplo - Cancro pancreático - Teste de Wilcoxon A hipótese nula para a nossa investigação é que não há nenhuma diferença na contagem de plaquetas, antes e após a cirurgia com Esplenectomia. H 0 : Med(D) = 0 H 1 : Med(D) 0 Rejeitar Ho se T T 0 (Tabela 9), com T:=min(T-, T+) Valor observado de T = 44 T 0 (Tabela 9): n=13 Two-sided p=0.10 T 0 =21 Então: T >T 0, não se rejeita H 0. Conclusão:Não há nenhuma evidência de uma diferença entre o pré e pós contagem plaquetas para os pacientes que tinham uma Esplenectomia durante sua cirurgia. Pacient e Pre Post Di Di Ordem T+ T Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 107

12 Conclusões Os nossos testes de hipóteses mostram que: os doentes a partir do grupo de preservação baço tinham uma mudança significativa na sua contagem de plaquetas após cirurgia (rej H0) e os pacientes do grupo Esplenectomianão têm uma mudança significativa na sua contagem de plaquetas após cirurgia (não rej H0). Our hypothesis testing show that: patients from the spleen preservation group had a significant change in their platelet count after surgery (rej H0) and the patients of group Splenectomy does not have a significant change in their platelet count after surgery (not rej H0). Estes resultados podem mostrar que a cirurgia de preservação baço é difícil para o paciente e outras medidas devem ser investigadas para garantir que esta cirurgia não é excessivamente agressiva para os de pacientes. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 108

13 Comentários Quando nós temos dados emparelhados e os pressupostos de um teste-t emparelhado não forem pressupostos, temos duas maneiras para elaborar o teste de hipóteses sobre a localização: O Teste de Wilcoxon é sempre preferido ao Teste dos Sinais já que usa mais informação contida nos dados (já que usa as ordens). O Teste de Wilcoxon tem muito mais potência do que o Teste dos Sinais para detectar uma diferença significativa. Não há uma grande perda de potência no Teste de Wilcoxon comparado a um teste-t quando se mantém a suposição de normalidade. Por outro lado, o Teste de Wilcoxon é muito mais potente do que o teste-t quando não é válida a suposição de normalidade. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 109