Bioestatística e Computação II

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1 Bioestatística e Computação II Testes de Hipótese não Paramétricos Maria Virginia P Dutra Eloane G Ramos Vania Matos Fonseca Pós Graduação em Saúde da Mulher e da Criança IFF FIOCRUZ Baseado nas aulas de M. Pagano e Gravreau e Geraldo Marcelo da Cunha

2 Introdução Variáveis numéricas Testes paramétricos variáveis normalmente distribuídas homocedasticidade parâmetros desconhecidos (média, variância) e seus estimadores são utilizados para o cálculo da estatística de teste

3 Introdução Se os dados não satisfazem os critérios estabelecidos, os testes paramétricos não são válidos.

4 Testes não paramétricos Testes não paramétricos Não há suposições sobre a distribuição da variável que se deseja testar. Seguem o mesmo procedimento dos testes paramétricos 1. Definem-se as hipóteses e o nível de significância 2. Seleciona-se uma ou várias amostras 3. Calcula-se a estatística de teste 4. Verifica-se o p-valor ou compara-se com o valor crítico 5. Rejeita-se ou não a hipótese nula

5 Testes não paramétricos Teste do sinal Uma amostra ou Amostras pareadas Equivale a testar se a mediana é igual a zero Compara o número de observações maiores do que zero (sinal +) com o número de observações menores do que zero (sinal -).

6 Exemplo Gasto de energia em repouso (kcal/dia) para fibrocísticos e saudáveis, pareados por sexo, idade, altura e peso. Par FC Saudável Diferença

7 Exemplo Histogram of D Frequency D

8 Exemplo Gasto de energia em repouso (kcal/dia) para fibrocísticos e saudáveis, pareados por sexo, idade, altura e peso. Quantidade de sinais + D = 11 H 0 : med = 0 Se H 0 é verdadeira, espera-se D = n/2. Par FC Saudável Diferença Sinal

9 Teste do sinal Se um sinal de + for considerado um sucesso, podemos imaginar D, o número de sucessos em n tentativas, como uma variável aleatória com distribuição binomial. Sob H 0 A probabilidade de sucesso é p=0,5. Avalia-se a probabilidade de observar D ou mais sucessos em n tentativas, onde a probabilidade de 1 sucesso é p=0,5. No exemplo, n=13 e D=11. Pela tabela A.1 a probabilidade de 11 ou mais sucesso em 13 tentativas com p=0,5 é 0,0112.

10 Teste do sinal Conclusão p-valor < α Rejeita-se a hipótese nula Há evidência de que a mediana da diferença (fibrocístico saudável) não é zero. No geral, as diferenças são maiores que zero. O resultado do teste sugere que o gasto de energia é maior para os fibrocísticos.

11 Teste de postos sinalizados de Wilcoxon O teste do sinal ignora a magnitude da diferença É pouco utilizado Teste de postos sinalisados de Wilcoxon signed rank Wilcoxon test Considera o posto (ordem) das observações Uma amostra ou amostras pareadas Também equivale a testar a hipótese nula de que a mediana é igual a zero.

12 Frank Wilcoxon ( )

13 Exemplo Redução da capacidade vital forçada (ml) de fibrocísticos após o uso de amiloride e placebo por 25 semanas. Dados pareados Paciente Placebo Medicam. Diferença Plac - Med

14 Exemplo Paciente Diferença Plac-Med frequência Histograma da Diferença Placebo - Medicamento Diferença

15 Procedimento do teste de Wilcoxon Escolher a menor soma de postos T = 19 H 0 : med = 0 Se H 0 é verdadeira, espera-se T+ = T- = μ T. Pode-se provar que T = n n 1 4 Se n é suficientemente grande (>20) então T é normalmente distribuído com média μt e desvio T= n n 1 2n 1 24 Paciente Diferença Plac-Med Diferença sem sinal Posto Posto Posto Total 86 19

16 Procedimento do teste de Wilcoxon Pode-se utilizar a estatística de teste Z (normal padrão) Z= T T T No exemplo T = Z= T T T = 19 52,5 15,93 = 2,1 =52,5 T= Pela tabela A.3: p(z>2,1) = 0,018 Se o teste for bilateral p-valor = 2 x 0,018 = 0,036 =15,93 Como p-valor < α, rejeita-se a hipótese nula

17 Procedimento do teste de Wilcoxon Conclusão A mediana da diferença (Placebo Medicamento) não é zero (α = 0,05). A maioria das diferenças é positiva, sugerindo que a redução da FVC em fibrocísticos é maior durante o uso de placebo do que durante o tratamento com o medicamento. O uso do medicamento retarda a redução da capacidade vital forçada (FVC).

18 Procedimento do teste de Wilcoxon Empates Como proceder se houver valores repetidos? Todas as observações com mesmo valor recebem a média dos postos. Paciente Redução FVC Posto , ,

19 Procedimento do teste de Wilcoxon Valores iguais a zero São retirados da amostra. O n é reduzido. Paciente Redução FVC Posto , ,

20 Procedimento do teste de Wilcoxon n pequeno Não podemos assumir que T siga uma distribuição normal. É necessário utilizar a distribuição exata de T. Tabela A.6 Distribuição exata de T para n 12. Os valores possíveis de T são chamados de T0 e estão listados no lado esquerdo da tabela. Os possíveis tamanhos de amostra estão no topo. Exemplo n=8 p(t<5) =?

21 Teste da soma de postos de Wilcoxon Teste da soma de postos de Wilcoxon Para 2 amostras independentes Não exige distribuições normais nem homocedasticidade. Mas as distribuições devem ter o mesmo jeitão. Testa a hipótese nula de que as duas medianas são iguais.

22 Exemplo Escore de idade mental normalizado de duas populações de crianças que sofrem de fenilcetonúria. População 1: nível sérico de fenilalanina diário médio < 10 mg/dl. População 2: > 10 mg/dl. Deseja-se testar se os escores de idade mental são equivalentes nos dois grupos.

23 Exemplo Escore de idade mental normalizado de duas populações de crianças que sofrem de fenilcetonúria. Fenilalan. < 10 mg/dl 34,5 28,0 37,5 35,0 39,5 37,0 40,0 37,0 45,5 43,5 47,0 44,0 47,0 45,5 47,5 46,0 48,7 48,0 49,0 48,3 51,0 48,7 51,0 51,0 52,0 52,0 53,0 53,0 54,0 53,0 54,0 54,0 55,0 54,0 56,5 55,0 57,0 58,5 58,5 Fenilalan. > 10 mg/dl

24 Exemplo Grupo 1 (fenilalanina < 10mg/dl) Grupo 2 (fenilalanina > 10mg/dl) frequência Escore de idade mental Escore de idade mental

25 Exemplo Escore Grupo

26 Fenilalan. Teste da soma de postos de Wilcoxon Posto Procedimento do teste Atribuir postos como se todos os endivíduos formassem um único grupo. Utilizar a menor soma dos postos W = 313 H 0 : med 1 = med 2 Se H 0 é verdadeira, espera-se W 1 = W 2 = μw. < 10 mg/dl Fenilalan. > 10 mg/dl Posto 34,5 2 28,0 1 37,5 6 35,0 3 39,5 7 37,0 4,5 40,0 8 37,0 4,5 45,5 11,5 43,5 9 47,0 14,5 44, ,0 14,5 45,5 11,5 47, , ,7 19,5 48, , , , ,7 19,5 51, , ,0 25,5 52,0 25,5 53, , ,0 31,5 53, ,0 31,5 54,0 31,5 55,0 34,5 54,0 31,5 56, ,0 34,5 57, ,5 38,5 58,5 38,5 Total

27 Teste da soma de postos de Wilcoxon Procedimento do teste Se H 0 é verdadeira, pode-se provar que W = n < n < n > 1 2 = n n n n 1 < > < > W 12 n < : número de observações na amostra com menor W n > : número de observações na amostra com maior W Para grandes valores de n < e n >, W segue uma distribuição normal com média μ W e σ W. Logo, pode-se usar a estatística Z: Z = W W W

28 Teste da soma de postos de Wilcoxon No exemplo W = =360 W = =35, Z = W W W = ,5 = 1,32 Pela tabela A.3: p(z>1,32) = 0,093 Como o teste é bilateral p-valor = 2 x 0,093 = 0,186 Como p-valor > α, não rejeita-se a hipótese nula As amostras não fornecem evidência significativa de diferença nos escores medianos de idade mental normalizados entre crianças com fenilcetonúria expostas e não expostas a altos níveis séricos de fenilalanina.

29 Teste da soma de postos de Wilcoxon Se n < e n > são muito pequenos Não podemos assumir que W segue distribuição normal Deve-se utilizar distribuição exata Tabela A.7

30 Testes não paramétricos Vantagens Não faz suposições restritivas Menos sensíveis a erros de medida por utilizarem postos Permitem testar variáveis ordinais Desvantagens Possuem menor poder: se H0 for falsa o teste não paramétrico exigirá uma amostra maior para fornecer evidências para rejeição. Não usam toda a informação disponível Se há muitos empates, σt e σ W superestimam os desvios-padrão reais de T e W.

31 Exercício 1 Uso de oxigenação extra corpórea (ECMO) no tratamento de recém-nascidos com falha respiratória neonatal. Acredita-se que o procedimento pode reduzir o rendimento do ventrículo esquerdo. Deseja-se comparar a dimensão do ventrículo esquerdo antes e durante o uso da ECMO. α = 0,05

32 Exercício 1 Dimensão do ventrículo esquerdo (cm) para uma amostra de RN com falha respiratória Dados pareados Trabalhar com as diferenças Paciente Antes da ECMO Durante a ECMO 1 1,6 1,6 2 2,0 2,0 3 1,2 1,2 4 1,6 1,6 5 1,6 1,5 6 1,7 1,6 7 1,6 1,5 8 1,6 1,7 9 1,6 1,4 10 1,7 1,5 11 1,0 1,3 12 1,5 1,8 13 1,5 1,8 14 1,4 1,8 15 1,5 2,0

33 Exercício 1 Paciente Antes da ECMO Durante a ECMO Diferença 1 1,6 1, ,0 2, ,2 1, ,6 1, ,6 1,5 0,1 6 1,7 1,6 0,1 7 1,6 1,5 0,1 8 1,6 1,7-0,1 9 1,6 1,4 0,2 10 1,7 1,5 0,2 11 1,0 1,3-0,3 12 1,5 1,8-0,3 13 1,5 1,8-0,3 14 1,4 1,8-0,4 15 1,5 2,0-0,5

34 Exercício 1 Análise exploratória 5 4 Frequência ,5-0,4-0,3-0,2-0,1 0 0,1 0,2 Diferença da dimensão do ventrículo esquerdo (cm) antes e durante ECMO em RN com falha respiratória

35 Exercício 1 Distribuição não normal Teste não paramétrico Teste dos postos sinalizados de Wilcoxon Uma amostra ou duas amostras pareadas Hipóteses H0 : a mediana da diferença é 0 (med = 0) HA : med 0

36 Exercício 1 Diferença Diferença sem sinal Posto Posto + Posto ,1 0,1 2,5 2,5 0,1 0,1 2,5 2,5 0,1 0,1 2,5 2,5-0,1 0,1 2,5 2,5 0,2 0,2 5,5 5,5 0,2 0,2 5,5 5,5-0,3 0, ,3 0, ,3 0, ,4 0, ,5 0, Total 18,5 47,5

37 Exercício 1 Utiliza-se a menor soma de postos T = 18,5 T = n n 1 = = T= n n 1 2n 1 24 Z= T T T = 18, ,25 = 1,29 = =11,25

38 Exercício 1 Pela tabela A.3: p(z>1,29) = 0,099 Como o teste é bilateral p-valor = 2 x 0,099 = 0,198 Como p-valor > α, não rejeita-se a hipótese nula A amostra não fornece evidência significativa de que a diferença mediana não é igual a 0. O tratamento com ECMO parece não ter efeito no rendimento dos ventrículos esquerdos dos bebês.

39 Exercício 1 Como n é pequeno (n=11) Deveríamos usar a distribuição exata Tabela A.6 Se for utilizado um pacote estatístico Distribuição correta é escolhida automaticamente

40 Exercicio 2 A capacidade de difusão do monóxido de carbono (Dl CO ) tem sido proposta como uma possível ferramenta diagnósitca para a detecção do enfisema pulmonar. Comparou-se a DlCO de indivíduos sadios com a de indivíduos com enfisema. Retirou-se uma amostra de cada população. Qual o teste de hipótese adequado com α = 0,05?

41 Exercício 2 Capacidade de difusão do monóxido de carbono (Dl CO ) Com enfisema Sadios 7,51 6,19 10,81 12,11 11,75 14,12 12,59 15,50 13,47 15,52 14,18 16,56 15,25 17,06 17,40 19,59 17,75 20,21 19,13 20,35 20,93 21,05 25,73 21,41 26,16 23,39 23,60 24,05 25,59 25,79 26,29 29,60 30,88 31,42 32,66 36,16

42 Exercício 2 Análise exploratória Sadios Enfisema Frequência Dlco Dlco

43 Exercício 2 1 distribuição não normal Teste não paramétrico Teste da soma de postos de Wilcoxon Amostras independentes Hipóteses H0 : med sadios = med enfisema HA : med sadios med enfisema

44 Exercício 2 Menor soma de postos W = 168 W = n < n < n > 1 2 = =240,5 2 W = n < n > n < n > 1 12 = =30,36 12 Z= W W = ,5 = 2,39 W 30,36 Enfisema Posto Sadios Posto 7,51 2 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,16 36 W1= 168 W2= 498

45 Exercício 2 Pela tabela A.3: p(z>2,39) = 0,008 Como o teste é bilateral p-valor = 2 x 0,008 = 0,016 Como p-valor < α, rejeita-se a hipótese nula As amostras fornecem evidência de que a capacidade mediana de difusão de CO da população com enfisema é diferente da mediana da população sadia. Em geral, as pessoas que sofrem de envisema tem capacidades de difusão de CO mais baixas.

46 Resumindo Testes não paramétricos Para distribuições não normais Ou quando há heterocedasticidade Teste dos postos sinalizados de Wilcoxon Uma amostra Duas amostras pareadas Teste da soma dos postos de Wilcoxon Duas amostras independentes