INTRODUÇÃO À ROBÓTICA MÓVEL

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1 INTRODUÇÃO À ROBÓTICA MÓVEL Aula 18 Edson Prestes Departamento de Informática Teórica

2 Planejamento de Caminhos O problema de planejamento de caminhos [1] consiste em encontrar um caminho de uma configuração inicial q start a um configuração final q goal, tal que o robô não colida com os obstáculos presentes no ambiente. O planejamento de caminhos fornece uma descrição geométrica do movimento do robô, sem especificar aspectos dinâmicos do movimento. A especificação da dinâmica, dada pela velocidade e aceleração é feita pelo planejamento de trajetórias.

3 Campos Potenciais A idéia básica é tratar o robô como uma partícula no espaço de configurações sob a influência de um campo potencial artificial U. O campo potencial é construído considerando que o robô é atraído para a configuração final q goal enquanto está sendo repelido pelos obstáculos. O campo U deve ser construído de forma a ter apenas um único mínimo global na posição q goal sem mínimos locais.

4 Campos Potenciais a) b) c) a) Configuração dos obstáculos b) Campo potencial c) Curvas de nível do campo potencial e caminho seguido pelo robô. Figuras extraídas de [2].

5 Campos Potenciais O campo U é gerado a partir de dois campos: de atração gerado pela posição final e de repulsão gerado pelos obstáculos. Logo U(q)=U att (q)+u rep (q) Para encontrar o mínimo global em U, basta seguir o gradiente descendente do potential U. (q)= r U(q)= r U att (q) r U rep (q)

6 Campos Potenciais O potencial atrativo pode ser definido como onde k att é um fator de escala positivo. O potencial repulsivo pode ser definido como onde ½(q) é a distância euclidiana q q obstacle e ½ 0 é a distância de influência do obstáculo.

7 Campos Potenciais Derivando U att (q) obtemos a força de atração, F att (q) = ru att (q) = k att. ½ goal (q)r½ goal (q) = k att (q q goal ) Derivando U rep (q) obtemos a força de repulsão, F rep (q) = ru rep (q)

8 Campos Potenciais Resultado produzido pelo método clássico de campos potenciais. Figura extraída de [2].

9 Campos Potenciais Existem várias extensões do método clássico de campos potenciais. Khatib e Chatila[6] propuseram um método que pondera a força de repulsão de acordo com a distância e a orientação do robô em relação ao obstáculo mais próximo. Isto é feito através de um fator de ganho que reduz a força de repulsão quando um obstáculo está paralelo à direção de navegação do robô.

10 Campos Potenciais Resultado produzido pela extensão proposta por Khatib e Chatila. Figura extraída de [2].

11 Campos Potenciais VFF O método Virtual Force Field (VFF) foi proposto por Koren e Borenstein [4]. Ele usa uma grade bidimensional para representar o mundo e armazena um histograma das leituras sensoriais feitas pelo robô (HIMM). Cada célula armazena um valor de certeza. Figura extraída de [5].

12 Campos Potenciais VFF Figura extraída de [5].

13 Campos Potenciais VFF Neste método quando o robô se desloca, ele carrega consigo uma janela quadrada, chamada região ativa. As células nesta região são chamadas células ativas. Em geral o tamanho desta janela é de 33 x 33 células, com células de 10cm x 10 cm. A janela está sempre centrada no robô. Apenas as células nesta janela exercem uma força repulsiva no robô proporcional ao seu valor de certeza e inversamente proporcional à sua distância em relação ao robô.

15 Campos Potenciais VFF A força de repulsão exercida por cada célula (i,j) é definida por Onde F cr - é uma constante. d(i,j) é a distância entre a célula (i,j) e o robô c(i,j) é o nível de certeza da célula (i,j) x 0,y 0 é a posição do robô x i,y j é a posição da célula (i,j) A força de repulsão resultante é definida por

16 Campos Potenciais VFF A força de atração exercida pelo alvo é definida por Onde F ct - é uma constante. d é a distância entre o alvo e o robô x 0,y 0 é a posição do robô x t,y t é a posição do alvo A força resultante R da combinação da força de atração com a de repulsão é

18 Campos Potenciais VFF O método VFF é incapaz de conduzir o robô por passagens estreitas, por exemplo, portas. Isto ocorre devido às forças repulsivas geradas pela porta que empurram o robô para longe. Como o cálculo das forças é feito usando as informações das células, a mudança da posição do robô de uma célula para outra, pode levar a uma mudança drástica na direção da força resultante. É possivel ocorrer movimentos oscilatórios e instáveis quando o robô encontra um obstáculo durante a navegação em um ambiente estreito.

19 Campos Potenciais Os principais problemas com os métodos baseados em campos potenciais [3] são Comportamentos cíclicos (situações de aprisonamento) devido à presença de mínimos locais; Impossibilidade de passar por obstáculos muito próximos Oscilações na presença de obstáculos; Oscilações em passagens estreitas.

20 Campos Potenciais Comportamentos cíclicos devido à presença de mínimos locais. Figura extraída de [4]. Robô é incapaz de passar entre obstáculos muito próximos. Figura extraída de [3]

21 Campos Potenciais Oscilações em passagens estreitas. Figura extraída de [3] Oscilações na presença de obstáculos. Figura extraída de [3]

22 Campos Potenciais VFH O método Virtual Force Histogram (VFH) foi proposto por Koren e Borenstein [5]. Ele corresponde a uma extensão do método VFF. O método usa três níveis de representação de dados: No nível mais alto, ele armazena as informações sobre o mundo em uma grade bidimensional baseada em histograma. No nível intermediário, um histograma polar é extraído a partir da grade do nível superior. O nível mais baixo corresponde à saída do método, que consiste na direção e velocidade a serem usados pelo robô.

23 Campos Potenciais VFH Construção do Histograma Polar. O conteúdo das células na região ativa é usado na construção de vetores de obstáculos, onde a direção é determinada pela direção da célula ao centro do robô (CR), e a magnitude é proporcional ao valor de certeza da célula, dado por a, b constantes positivas escolhidas de forma que a-b.max=0 MAX é a distância entre a mais afastada célula ativa e o centro do robô. c * i,j valor de certeza da célula (i,j) d i,j distância entre a célula (i,j) e centro do robô. m i,j magnitude do vetor de obstáculos da célula (i,j). x 0, y 0 coordenadas do centro do robô. x i, y j coordenadas da célula (i,j). i,j direção da célula ativa ao centro do robô.

24 Campos Potenciais VFH Construção do Histograma Polar. O histograma H possui uma resolução angular com n=360/ setores, onde cada setor k corresponde a um ângulo quantizado a múltiplos de. Cada célula c * i,j é associada a um setor k, tal que k= b i,j / c. Para cada setor k uma medida de densidade de obstáculos (MPO), h k,é calculada através de

25 Campos Potenciais VFH Construção do Histograma Polar. Figura extraída de [5].

26 Campos Potenciais VFH Construção do Histograma Polar. Após a extração das medidas de densidade H={ h k }. É gerado um novo histograma suavizado, H'={ h' k }, de forma que h' k é chamado de densidade de obstáculos suavizada (DOS). Este novo histograma minimiza os efeitos causados por ruídos facilitando a seleção da nova direção que o robô deverá seguir.

27 Campos Potenciais VFH Construção do Histograma Polar. Figuras extraídas de [5].

28 Campos Potenciais VFH Extração da nova direção do robô O histograma possui um conjunto de picos e vales. Figuras extraídas de [5].

29 Campos Potenciais VFH Extração da nova direção do robô Como existem vários vales candidatos, o algoritmo seleciona aquele mais próximo da direção do objetivo ( k target ) Uma vez que o vale é selecionado é necessário extrair o setor adequado que corresponderá a nova direção do robô. O algoritmo mede o tamanho do vale selecionado (número consecutivos de setores com DOS abaixo de um dado limiar). De acordo com o número de setores é possível classificar o vale como largo (se maior que s max ) ou estreito (se menor que s max ). Quando o vale é largo, a nova direção de navegação do robô é dada como µ=k n + s max /2, onde k n é a direção associada ao setor mais próximo da direção dada por (k target )

30 Campos Potenciais VFH Extração da nova direção do robô.. Figuras extraídas de [5] a) o robô está muito próximo do obstáculo, µ aponta para longe do obstáculo b) o robô está se distante do obstáculo, µ aponta em direção ao obstáculo c) o robô navega ao longo do obstáculo quando está a uma distância apropriada.

31 Campos Potenciais VFH Extração da nova direção do robô.. Quando o vale é estreito, a nova direção de navegação do robô é dada como µ=(k n + k f )/2, onde k n e k f correspondem às direções associada ao setores que delimitam o vale selecionado. Figura extraída de [5]

32 Campos Potenciais VFH Exemplo de funcionamento. Robô desclocando-se em um ambiente cheio de obstáculos. Figura extraída de [5]

33 Campos Potenciais Harmônicos É um metodo proposto por Connolly e Grupen[7]. Usa como núcleo a solução da equação de Laplace, no domínio ½ R n. Esta solução φ é chamada função harmônica. Para este cálculo são necessárias condições de contorno adequadas, como Dirichlet ou Neumann.

34 Campos Potenciais Harmônicos Considerando o domínio, a condição de Dirichlet é definida como ou seja, o valor do potential no contorno de é mantido fixo e igual a c. Por outro lado, a condição de contorno de Neumann é definida como onde n é o vetor normal aos contornos de que correspondem aos obstáculos.

35 Campos Potenciais Harmônicos Com as condições de Dirichlet, os obstáculos são associados às zonas de alto potencial enquanto que os alvos são associados às zonas de baixo potencial. Isto faz com que o gradiente do potencial seja alinhado com o vetor normal à superfície dos obstáculos. Logo, os obstáculos irão gerar uma força de repulsão enquanto que os alvos gerarão uma força de atração. Com as condições de Neumann, a derivada do potencial φ é restrita a, n.rφ =0, que faz com que ela seja tangente à superfície dos obstáculos.

36 Campos Potenciais Harmônicos Caminho(em vermelho) gerado usando as condições de Dirichlet. Figura extraída de [9]

37 Campos Potenciais Harmônicos Caminho (em vermelho) gerado usando as condições de Neumann. Figura extraída de [9]

38 Campos Potenciais Harmônicos Alto Potencial (Fixo e igual a 1) Potencial Calculado Iterativamente Alvo Figuras Extraída de [10] Baixo Potencial (Fixo e igual a 0)

39 Campos Potenciais Harmônicos Considerando O potencial do espaço livre pode ser calculado iterativamente através dos métodos Gauss-Seidel SOR (Sobre-Relaxação) i,j-1 i-1,j i,j i+1,j i,j+1

40 Campos Potenciais Harmônicos Algoritmo Converte o ambiente em uma representação em grade. Atribui alto potencial (1) às células que representam obstáculos Atribui baixo potencial (0) às células que representam a posição objetivo As demais células têm seus potenciais calculados usando Gauss-Seidel ou SOR. O potencial é iterado até que Após a convergência do potencial, o robô segue a direção definida pelo gradiente descendente do potencial, ou seja, - rp.

41 Campos Potenciais Harmônicos Campo vetorial extraído a partir do potencial harmônico

42 Campos Potenciais Harmônicos Um dos problemas com as condições de Dirichlet é o rápido decaimento do potencial com o aumento da distância em relação à posição objetivo. Isto leva rapidamente à planificação do potencial. Potencial produzido com condições de Dirichlet. Figura extraída de [9].

43 Campos Potenciais Harmônicos Um dos problemas com as condições de Neumann é que o robô passa muito próximo dos obstáculos durante sua navegação em direção ao objetivo. Potencial produzido com condições de Neumann. Figura extraída de [9].

44 Campos Potenciais Harmônicos As funções harmônicas satisfazem o princípio min-max, ou seja, mínimos locais não existem dentro da região onde as equações estão sendo calculadas. As funcões harmônicas geram caminhos suaves e livre de colisão. Elas tendem a minimizar a probabilidade de colisões entre o robô e os obstáculos presentes no ambiente[8], quando são usadas condições de Dirichlet. O método é completo, ou seja, se existir um caminho viável em direção ao alvo, este será encontrado.

45 BIBLIOGRAFIA [1] Spong, M. Hutchinson, S. Vidyasagar, M. Robot Modeling and Control. New York: John Wiley & Sons, [2] Siegwart, R. Nourbakhsh, I. R. Introduction to Autonomous Mobile Robots, MIT Press, [3] Koren, Y., Borenstein, J. Potential Field Methods and Their Inherent Limitations for Mobile Robot Navigation. IEEE Conference on Robotics and Automation, [4] Borenstein, J., Koren, Y. Real-time obstacle avoidance for fast mobile robots. IEEE Transactions on Systems, Man, an Cybernetics, v. 19, n.5, [5] Borenstein, J. Koren, Y. The vector field histogram -fast obstacle avoidance for mobile robots. IEEE Journal of Robotics and Automation, v. 7, n. 3, [6]Khatib, M., Chatila, R. An Extended Potential Fields approach for Mobile Robots Sensor-Based Motions. Proc. Of Intelligent Autonomous Systems, 1995.

46 BIBLIOGRAFIA [7] Connolly, C., Grupen, R. Applications of Harmonic Functions to Robotics. Journal of Robotic Systems, [8] Connolly, C. Harmonic Functions and Collision Probabilities. International Journal of Robotic Research, v. 16. n.4, [9] [10] Siegwart, R. Nourbakhsh, I. R. Introduction to Autonomous Mobile Robots, MIT Press, 2004.