Funções Inversas e Compostas: uma proposta de exploração de registros de representações semióticas com o auxílio do software GeoGebra

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1 Funções Inversas e Compostas: uma proposta de exploração de registros de representações semióticas com o auxílio do software GeoGebra Jeferson da Silva Gonçalves 1 GD3 Educação Matemática no Ensino Médio Resumo. Nesse artigo, apresentamos o projeto inicial de um trabalho de doutorado, com o qual objetivamos investigar as compreensões de oitos estudantes do ensino médio quando participam de um experimento de ensino sobre funções compostas e inversas. Esse experimento será construído de forma a explorar relações entre esses dois objetos matemáticos, por meio da exploração de representações dos registros gráfico, algébrico e da língua natural, com auxílio da ferramenta computacional GeoGebra. As funções compostas e inversas fazem parte da Proposta Curricular da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo e são abordadas inicialmente no primeiro ano do ensino médio. Esse tema é retomado no terceiro ano do ensino médio e também é desenvolvido em cursos superiores da área de exatas. Em uma primeira investigação, observamos que esse tema é pouco explorado nas pesquisas da área de Educação Matemática. Ainda, na análise de obras didáticas, notamos, principalmente com relação às funções compostas, que a abordagem algébrica é priorizada e que as relações entre composição e inversão de funções são omitidas. Partindo disso, temos a intenção de elaborar uma abordagem que evidencie o aspecto gráfico de funções compostas e que trate das relações entre composta e inversa, tanto no registro algébrico como no gráfico. A teoria dos registros de representações semióticas de Duval fundamentará esse estudo e a metodologia de Design Experiment balizará a construção e a condução do experimento. Com esse trabalho, esperamos fornecer uma contribuição para o ensino desses temas. Palavras-chave: Funções compostas e inversas. Registros de representações semióticas. Experimento de ensino. GeoGebra. Introdução Uma das vertentes de pesquisa em Educação Matemática, representada pela teoria dos registros de representações semióticas de Duval (1995, 2000, 2006, 2011), defende um trabalho de integração entre diversas representações semióticas provenientes de diferentes registros no ensino de conteúdos matemáticos. Como exemplos de registros, podem ser citados o gráfico, o simbólico, a língua natural, dentre outros. Segundo Duval (2006), deve-se procurar entender as dificuldades dos alunos em Matemática avaliando o que há de específico no ensino dessa ciência, que consiste no fato de o acesso a qualquer objeto matemático requerer, necessariamente, de registros de representações semióticas. 1 Universidade Anhanguera, jgoncalves@splicenet.com.br, orientadora: Profa. Dra. Monica Karrer.

2 Para esse pesquisador, há dois tipos de transformação entre representações, o tratamento e a conversão. Enquanto o tratamento é a transformação realizada entre representações de um mesmo registro, a conversão prevê mudança de registro. A teoria dos registros de representações semióticas de Duval (2006) é largamente utilizada em pesquisas na área de Educação Matemática. Especificamente no conteúdo de funções, há diversos trabalhos, dentre eles, o de Barbosa (2009) e o de Felipe (2013), que revelam problemas no processo de ensino e aprendizagem desse objeto matemático. Sendo professor de escolas estaduais há mais de quinze anos, lecionando para os alunos do Ensino Fundamental e Médio, também tive a oportunidade de observar as dificuldades que os estudantes apresentam quando do estudo de funções e, diante disso, optei por realizar uma pesquisa científica vinculada a esse tema. O levantamento de pesquisas que trataram do processo de ensino e aprendizagem do conteúdo de funções compostas e inversas revelou uma reduzida exploração do tema, sendo este abordado com maior ênfase no ensino superior. Por exemplo, o trabalho de Barbosa (2009) tratou de funções compostas e regra da cadeia, apresentando uma abordagem com o auxílio da ferramenta computacional Winplot. A pesquisadora apontou que as dificuldades apresentadas pelos estudantes ao tratarem da regra da cadeia estavam relacionadas com a não compreensão da função composta. Ao realizar a análise de uma amostra de livros didáticos, a autora observou que há um destaque para o registro algébrico e que parte das ideias principais desse objeto matemático não é apresentada. Para Barbosa (2009), uma abordagem gráfica contribuiria para a interpretação de algumas características importantes da composição de duas funções, como por exemplo, a análise das restrições dos domínios, permitindo, assim, que os estudantes elaborassem conjecturas referentes a este objeto matemático. No contexto das pesquisas sobre ferramentas computacionais no ensino de Matemática, são apresentados os estudos de Borba e Penteado (2005) e de Noss e Hoyles (1996), os quais apontam a necessidade de pesquisas que integrem recursos computacionais, construídas de forma a visar ganhos pedagógicos. Borba e Penteado (2005) destacam que nos ambientes computacionais, são utilizadas diferentes estratégias para o ensino e para a aprendizagem de um determinado objeto matemático, servindo de complemento ao uso do lápis e papel em sala de aula. Para o pesquisador, os softwares educacionais têm o objetivo, dentre outros, de destacar o

3 aspecto visual da Matemática, sendo o seu uso de direito do aluno, que está voltado para o letramento tecnológico, lidando com a leitura e o tratamento nesta nova mídia. Noss e Hoyles (1996) recomendam a utilização de recursos computacionais, destacando que tais ferramentas podem favorecer o desenvolvimento do pensamento matemático. Para os pesquisadores, um software computacional de Matemática deve constituir um ambiente favorável para que os estudantes possam utilizar as suas potencialidades, transformando-as em novas aprendizagens. O uso de ambientes informatizados que favoreçam a atividade de investigação também é apontado nas pesquisas de Boeri e Silva (2011), Souza et al. (2011), Mota e Laudares (2011) e Fonseca e Júnior (2011). Nesse contexto os autores revelam que tais ferramentas podem favorecer o desenvolvimento do pensamento matemático, trazendo benefícios que não seriam possíveis em outros ambientes de ensino. Uma análise preliminar do conteúdo de funções compostas e inversas realizada em algumas coleções aprovadas no PNLD-2015 Ensino Médio apontou uma abordagem que não relaciona esses dois tópicos. Normalmente, as funções compostas são tratadas principalmente no registro algébrico, sem qualquer exploração gráfica, e a determinação da inversa se faz por um processo algorítmico, que pode "ocultar" a relação entre funções compostas e inversas, ou seja, as abordagens não tratam que a inversa de uma função bijetora f(x) é uma função g(x) tal que f(g(x))=g(f(x))=x. Essa situação é ilustrada a seguir. Figura 1: Algoritmo de determinação de função inversa. Fonte: LEONARDO, 2013, p. 82.

4 Ainda, quanto à utilização de recursos computacionais, foi possível observar que os livros não apresentam qualquer proposta de uso deste tipo de ferramenta, tanto nos exercícios propostos, quanto nos exercícios complementares. Segundo Gonçalves (2012, p. 74) [...] recursos de geometria dinâmica permitem ao estudante uma autonomia de exploração, favorecendo um trabalho de levantamento e de validação de conjecturas e de exploração de relações entre registros. Desta forma, no presente estudo, pretende-se investigar as produções de oito estudantes diante de um experimento de ensino construído de forma a explorar a relação entre funções compostas e inversas, integrando conversões entre os registros algébrico, gráfico, numérico e da língua natural, nos ambientes papel e lápis e GeoGebra. A escolha do software GeoGebra se deu pelo fato de o mesmo ser livre e por permitir um trabalho de integração entre os registros algébrico, gráfico e numérico. Esse recurso computacional é de fácil manuseio, traduzido para a língua portuguesa e ocupa pouca memória no computador, sendo possível utilizá-lo em qualquer escola que tenha laboratório de informática. Para a elaboração, condução e aplicação do experimento de ensino, será adotada a metodologia de Design Experiments (COBB et al., 2003). Essa metodologia tem por foco principal investigar a produção dos estudantes diante de situações inovadoras sobre determinado conteúdo, possuindo caráter cíclico, iterativo e flexível, ou seja, o design inicial pode ser remodelado de acordo com as produções dos estudantes. Neste contexto, são apresentadas as questões de nossa pesquisa: Que compreensões emergem dos estudantes quando participam de um experimento de ensino que relaciona os conceitos de função composta e função inversa, desenvolvido nos ambientes papel e lápis e GeoGebra e elaborado de forma a integrar os registros algébrico, gráfico, numérico e da língua natural? Que influências do software adotado são observadas na construção desses objetos matemáticos? Partindo da abordagem proposta, tem-se por hipótese que o estudante será capaz de construir e estabelecer relações entre os objetos matemáticos função composta e função inversa, por meio da exploração de representações dos registros gráfico, algébrico, numérico e da língua natural. Ainda, tem-se por hipótese que o recurso computacional, ao

5 permitir uma exploração simultânea e dinâmica de representações, auxiliará no processo de construção de conjecturas. Referencial teórico Dado que o presente estudo teve a preocupação de integrar representações de registros distintos, os pressupostos teóricos referentes aos registros de representações semióticas de Duval (1995, 2000, 2006, 2011) o fundamentaram. Este pesquisador relata sobre a especificidade da Matemática em relação às outras ciências, uma vez que, dado o seu caráter abstrato, o acesso a seus objetos necessita necessariamente da utilização de registros de representações semióticas, tais como os registros algébrico, gráfico, da língua natural e figural. Tal fato requer uma forma diferenciada de análise do processo de ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos, denominado modelo cognitivo. Neste modelo, Duval (2006) define registro de representação semiótica como um sistema semiótico que admite três atividades cognitivas, denominadas formação, tratamento e conversão. A formação de representações em determinado registro exprime uma representação mental ou evoca um objeto real. A atividade de tratamento é uma transformação entre representações que pertencem a um mesmo registro e a atividade de conversão é uma transformação entre representações provenientes de registros distintos. Exemplificando, no conteúdo de funções composta e inversa, apresenta-se uma situação de tratamento no interior do registro algébrico. Sendo f : definida por f ( x) 4x 5, a função inversa g : é dada por: f ( g( x)) x 4g( x) 5 x 4g( x) x 5 x 5 g( x) 4 A seguir, é apresentada uma situação de conversão entre representações dos registros gráfico e algébrico, no conteúdo de funções composta e inversa.

6 Figura 2: Exemplo da atividade de Conversão. Fonte: Acervo Pessoal A atividade de conversão pode ser afetada pelo fenômeno da não congruência. Segundo Duval (2006), para que haja congruência entre duas representações de registros distintos, é necessário que três condições sejam verificadas: a correspondência semântica entre as unidades significantes que as constituem, uma mesma ordem de apreensão das unidades das duas representações e conversão de uma unidade significante de representação de partida para uma unidade significante correspondente no registro de chegada. Uma conversão será não congruente se pelo menos uma dessas condições não for verificada. Ainda, uma conversão pode ser congruente em um sentido e não congruente no sentido contrário, levando o estudante a ter desempenhos distintos quando uma situação é proposta nos dois sentidos de conversão. Duval (1995) revela que o ensino de Matemática não se preocupa com este fenômeno, considerando, equivocadamente, que se o estudante demonstra conhecimento na resolução de uma tarefa em um sentido de conversão, automaticamente ele será capaz de resolver a mesma tarefa no sentido contrário. O autor também classificou os registros quanto a sua funcionalidade e discursividade. Neste caso, um registro pode ser monofuncional discursivo ou não discursivo e multifuncional discursivo ou não discursivo. Se ele admitir um tratamento algoritmizável, ele é classificado como monofuncional e, se admitir o discurso, é

7 classificado como discursivo. Nestas condições, o registro algébrico é classificado como monofuncional discursivo, o gráfico como monofuncional não discursivo, a língua natural como multifuncional discursivo e o figural como multifuncional não discursivo. Duval (1995) relata que o ensino de Matemática normalmente privilegia os registros monofuncionais discursivos em detrimento dos demais. Para a análise dos dados, utilizaremos o quadro teórico dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2013). Esse pesquisador apresenta três diferentes tipos de conceitos em Matemática. O primeiro está relacionado com a ação física e mental, incluindo o uso visual e outros sentidos, o segundo conta com o uso de símbolos matemáticos que atuam como processo e conceito (proceitos) na aritmética, álgebra e cálculo simbólico e, no terceiro, está previsto o uso de uma linguagem formal e cada vez mais sofisticada do pensamento matemático avançado. Com isso, o quadro teórico dos Três Mundos da Matemática relaciona esses três tipos de conceitos com os mundos Conceitual Corporificado, Operacional Simbólico e Formal Axiomático. Com relação à inserção de recursos computacionais no ensino de Matemática, citamos os estudos de Borba e Penteado (2005) e Noss e Hoyles (1996), os quais apontam para a utilização de ferramentas que favoreçam o desenvolvimento do pensamento matemático, trazendo benefícios que não seriam possíveis em outros ambientes de ensino. Ainda, estes autores defendem o uso de recursos computacionais no ensino como um direito de qualquer estudante. Coerente com esta visão, pretendemos construir no software GeoGebra, situações em que seja possível analisar de forma dinâmica e simultânea as relações entre representações dos registros gráfico e algébrico. Considerando a problemática evidenciada na literatura e a importância da inserção de ferramentas computacionais que permitam explorações diferenciadas das comumente obtidas em outros ambientes, justifica-se a necessidade desse estudo. Procedimentos Metodológicos Para a elaboração e análise do experimento, será utilizada a metodologia de Design Experiment de Cobb et al. (2003), a qual prevê a construção de abordagens inovadoras sobre determinado domínio, sendo dotada de caráter cíclico, iterativo e flexível.

8 O experimento contará com a participação de oito estudantes do primeiro ano do Ensino Médio de uma escola da rede estadual de ensino de São Paulo de período integral, com faixa etária entre quinze e dezessete anos. Será apresentada uma primeira proposta para os estudantes e, dada a metodologia adotada, esta pode ser remodelada de acordo com suas produções. O professor-pesquisador assumirá o papel de orientador do processo, interferindo principalmente nos momentos de bloqueio. Como os sujeitos de pesquisa já tiveram contato inicial com o conteúdo de funções, será aplicado um questionário inicial com o intuito de investigar suas concepções prévias. Em seguida, partindo das dificuldades observadas e das necessidades apontadas na revisão de literatura, será construído um experimento de ensino sobre esse objeto matemático. A abordagem explorará relações entre as diversas representações semióticas, tanto no ambiente papel e lápis como no GeoGebra. Esse experimento será aplicado aos mesmos sujeitos, organizados em duplas, em um laboratório de informática contendo o software GeoGebra. Pretende-se observar que compreensões emergem dos estudantes quando participam de nosso experimento de ensino sobre funções compostas e inversas, uma vez que este incluirá explorações diferentes das comumente realizadas no ensino. Dentre elas, a exploração gráfica da composição de funções, a relação entre composta e inversa, e a análise dinâmica das conversões entre representações dos registros algébrico, gráfico e numérico via software. Durante esta fase de aplicação, serão coletadas as produções orais e escritas dos sujeitos, bem como as telas das construções com o software. Para a captura das telas, será utilizado o software livre Camtasia. Dado que o experimento ainda está em processo de elaboração, não há um prazo previsto para sua execução. No primeiro encontro será aplicado o questionário inicial (pré-teste) e será realizada a familiarização com o software. Em seguida, os alunos participarão do experimento e, por fim, haverá um encontro para a realização de um pós-teste, a fim de avaliar os possíveis avanços dos sujeitos e o impacto da nova abordagem na construção de suas concepções. Os resultados serão analisados mediante comparação entre os resultados obtidos no pré-teste com os obtidos no pós-teste. Além disso, serão avaliadas as compreensões dos sujeitos durante a aplicação do experimento, o qual será remodelado e complementado de acordo com as necessidades apresentadas pelos estudantes.

9 Conclusões Considerando que o estudo está em fase inicial, não é possível fornecer dados conclusivos, porém, espera-se elaborar um cenário diferenciado sobre funções compostas e inversas, construído a partir das novas tendências no ensino de Matemática, constituindo, assim, um material de apoio aos docentes dessa área. Referências BARBOSA, S. M. Tecnologias da Informação e Comunicação, Função Composta e Regra da Cadeia. Rio Claro, f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Rio Claro, BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 3ª Ed. 1ª Reimpressão. Belo Horizonte: Autêntica, (Coleção Tendências em Educação Matemática, 2). BOERI, C. N.; SILVA, S. L. Novas Tecnologias no Ensino-Aprendizagem da Matemática: o uso da informática. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, Disponível em < Acesso em: 17 set COBB, P.; CONFREY,J.; DISESSA, A.; LEHRER,R.; SCHAUBLE, L. Design Experiments in education research. Educational Researcher, v.32, n.1, p. 9-13, DUVAL, R. Sémiosis et pensée humaine. Berna: Peter Lang, DUVAL, R. Basic Isseus for Research in Mathematics Education. In: CONFERENCE OF THE INTERNATIONAL GROUP FOR THE PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS EDUCATION, 24, 2000, Hiroshima. Proceedings of the 24 th PME. Hiroshima: Department of Mathematics Education, Hiroshima University, v.1, p , DUVAL, R. A cognitive analysys of problems of comprehension in a learnig of mathematics. Educational Studies in Mathematics, Springer, n. 61, p , DUVAL, R. Ver e ensinar a matemática de outra forma: entrar no modo matemático de pensar os registros de representações semióticas. Organização Tânia M.M. Campos. Tradução Marlene Alves Dias. São Paulo: PROEM, FELIPE, P. A proposta curricular do estado de São Paulo e o software GeoGebra: uma análise de atividades sobre funções exponencial e logarítmica à luz dos três mundos da matemática. São Paulo, f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Programa de Pós-graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo UNIBAN/SP, São Paulo, FONSECA, D. S. ; JÚNIOR A. J. S. Ensinando e aprendendo matemática com inclusão digital na escola pública brasileira. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, Disponível em < Acesso em: 17 set

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