ANÁLISE DAS RELAÇÕES ENTRE FUNÇÕES COMPOSTA E INVERSA DE ANALYSING RELATIONS BETWEEN COMPOUND AND INVERSE

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1 ANÁLISE DAS RELAÇÕES ENTRE FUNÇÕES COMPOSTA E INVERSA DE FUNÇÕES POLINOMIAIS DE PRIMEIRO GRAU ANALYSING RELATIONS BETWEEN COMPOUND AND INVERSE FUNCTIONS OF FIRST DEGREE POLYNOMIAL FUNCTIONS Jeferson da Silva Gonçalves Secretaria da Educação do Estado de São Paulo Brasil jgoncalves.edumat@gmail.com Rosana Nogueira de Lima Universidade Anhanguera de São Paulo Brasil rosananlima@gmail.com RESUMO Neste artigo, apresentamos um recorte de uma pesquisa sobre funções composta e inversa na qual objetivamos analisar em que aspectos um enfoque diferenciado sobre esses tópicos, elaborado de forma a explorar a relação entre diversos registros semióticos e com auxílio da ferramenta computacional GeoGebra, contribuiria para estudantes de uma turma do primeiro ano do Ensino Médio de uma escola pública de período integral do Estado de São Paulo realizarem uma jornada pelos diferentes mundos da Matemática e para a construção da relação existente entre esses objetos matemáticos. A teoria dos Registros de Representações Semióticas de Duval e o quadro teórico dos Três Mundos da Matemática de Tall fundamentaram esse estudo. A metodologia de Design Experiment de Cobb et al. norteou a elaboração, condução e análise desse experimento de ensino, e os dados obtidos por meio dele foram analisados utilizando nossa fundamentação teórica. Neste artigo, foram analisadas as produções dos estudantes diante de uma atividade que tratou das relações entre funções composta e inversa de funções polinomiais de primeiro grau. Os resultados evidenciaram que os alunos realizaram uma jornada pelos diferentes mundos da Matemática, por meio de diversos registros semióticos, com o auxílio da ferramenta computacional adotada em nossa pesquisa. PALAVRAS-CHAVE: Função Composta. Função Inversa. Três Mundos da Matemática. Registros de Representações Semióticas. Design Experiment. GeoGebra. ABSTRACT

2 In this paper, we present part of a research study on compound and inverse functions in which we aimed at analysing in what aspects an innovative approach about these topics, designed to explore relationship among various semiotic registers and with the aid of the computational tool GeoGebra, would contribute to high school students from a full time São Paulo State public school to make a journey through the different worlds of Mathematics and for building the relation between these mathematical objects. Duval s Theory of Semiotic Representation Registers and Tall s theoretical framework of the Three Worlds of Mathematics support this study. Cobb et al s methodology, Design Experiment, guided designing, conducting and analysing this teaching experiment, and collected data were analysed using our theoretical frameworks. In this paper, we analysed students production facing an activity about relations between compound and inverse functions of linear functions. Results evidenced that students made a journey through different mathematical worlds by means of various semiotic registers with the aid of the computational tool adopted in this research study. KEYWORDS: Compound Function. Inverse Function. Three Worlds of Mathematics. Semiotic Representation Registers. Design Experiment. GeoGebra. 1 INTRODUÇÃO O estudo de funções composta e inversa faz parte da Proposta Curricular da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo. É apresentado inicialmente no primeiro ano do Ensino Médio e retomado no terceiro ano. Porém, uma análise preliminar das coleções aprovadas no Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) 2015 para o Ensino Médio evidenciou que o enfoque dado a esses dois tipos de função não proporciona que os alunos conheçam relações existentes entre elas, e não é apresentada qualquer proposta de utilização de recursos computacionais nos exercícios propostos ou complementares que favoreça a compreensão dessas relações. Entendemos que a relação entre funções composta e inversa vale a pena ser analisada porque é uma condição necessária para determinar se uma dada função é inversível ou não. Sendo uma função bijetora, e a sua inversa, temos que a composta entre essas funções é a identidade, isto é,. Além disso, se trabalharmos com a representação gráfica dessas funções no plano cartesiano, os gráficos delas serão simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Assim, esta relação também possibilita discussão de gráficos e de simetria, importantes para o desenvolvimento matemático do aluno. 2

3 Considerando a importância de se trabalhar a relação entre funções composta e inversa, elaboramos um experimento de ensino que permitisse aos estudantes examinála experimentalmente, com a ferramenta computacional GeoGebra. A partir da exploração de diferentes registros semióticos de representação, analisamos se tal experimento contribuiria para que os alunos realizassem uma jornada por diferentes mundos da Matemática para a construção da relação entres esses objetos matemáticos. Tivemos por hipóteses que o experimento proposto permitiria que os alunos explorassem as relações entre as funções composta e inversa nos registros gráfico, algébrico e da língua natural, e realizassem uma jornada pelos Três Mundos da Matemática. Assim, neste artigo, apresentamos os resultados desse experimento de ensino no que se refere a funções polinomiais de primeiro grau, aplicado a alunos de 1º ano do Ensino Médio de uma escola pública estadual de Período Integral de Santo André/SP. Para isso, iniciaremos, a próxima seção, com a apresentação da fundamentação teórica e da revisão de literatura que nos guiaram nessa pesquisa. 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E REVISÃO DE LITERATURA Para a elaboração do experimento de ensino e para a análise dos dados coletados, utilizamos a teoria dos Registros de Representações Semióticas de Raymond Duval e o quadro teórico dos Três Mundos da Matemática de David Orme Tall. Para Tall (2013), o desenvolvimento cognitivo de um indivíduo referente à Matemática ocorre de pelo menos três maneiras distintas, porém interligadas, que nos levam a Três Mundos da Matemática. O Mundo Conceitual Corporificado é o mundo das percepções e ações, que podem ser físicas ou mentais. O Mundo Operacional Simbólico representa as ações realizadas em objetos matemáticos por meio de símbolos com os quais um indivíduo realiza cálculos e manipulações. Finalmente, o Mundo Formal Axiomático é o mundo das definições, axiomas e teoremas, para a construção de um sistema axiomático formal. 3

4 A teoria dos Registros de Representações Semióticas proposta por Duval (2011) define registro de representação semiótica como um sistema que admite três atividades cognitivas, sendo elas: a formação de representações em determinado registro que exprime uma representação mental ou evoca um objeto real que deve respeitar as regras próprias do sistema utilizado; a atividade de tratamento de um registro de representação semiótica, que é uma atividade de transformação de uma representação para outra, no interior de um mesmo registro; e a atividade de conversão que realiza uma transformação entre representações provenientes de registros distintos. A justificativa para a utilização desses dois quadros teóricos, bem como do uso de tecnologias, apoia-se na revisão de literatura de nosso estudo. Akkoç e Tall (2002) apontam que grande parte das pesquisas envolvendo o conceito de função utiliza-se da Teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2011). Essa afirmação nos inclina a utilizar esta mesma teoria para nossa pesquisa. Por outro lado, assim como Felipe (2013), entendemos a relevância de se trabalhar com outras teorias, dado que elas podem colaborar para a observação do estudo de função com uma nova perspectiva. Tais discussões nos guiaram a utilizar ambas as teorias, de forma a analisar a contribuição que elas podem trazer para o ensino e a aprendizagem de função, em particular da relação entre funções composta e inversa. Por um lado, pesquisadores que utilizaram Registros de Representação Semiótica, como Andrade e Kaiber (2011), evidenciaram, em suas pesquisas sobre funções composta e inversa, que os alunos participantes apresentavam dificuldades no estabelecimento de conversões entre representações dos registros gráfico, algébrico e língua natural e na realização de uma análise nos registros gráfico e tabular quando esses registros não eram acompanhados do registro algébrico. Por outro lado, pesquisas que utilizaram os Três Mundos da Matemática, como as de Felipe (2013) e Akkoç e Tall (2002) para estudar o ensino e a aprendizagem de função, destacaram que a utilização de um ambiente computacional pode favorecer a compreensão desse conceito e possibilitar uma jornada por Três Mundos da Matemática, trazendo benefícios que seriam impossíveis em outros ambientes de ensino. 4

5 Considerando a problemática evidenciada na literatura, justifica-se a necessidade desse estudo, que permite ao aluno realizar explorações diferenciadas com a utilização do recurso computacional GeoGebra, tratando das relações entre as funções composta e inversa, em particular utilizando registros gráfico, da língua natural e algébrico, com a intenção de amenizar as dificuldades levantadas pela literatura. A escolha do software GeoGebra se deu pelo fato de o mesmo ser livre e por permitir um trabalho de integração entre os registros algébrico, gráfico e numérico. Além disso o software proporciona uma jornada por diferentes mundos matemáticos, dada a necessidade de utilizar características formais para relacionar diferentes registros, uso de características simbólicas para compreender tratamentos no registro algébrico e características corporificadas para explorar os registros gráficos, por exemplo. Esse recurso computacional é de fácil manuseio, traduzido para a língua portuguesa e ocupa pouca memória no computador, sendo possível utilizá-lo em qualquer escola que tenha laboratório de informática ou dispositivos com sistema operacional Android. Na próxima seção, apresentamos nossos procedimentos metodológicos, e a descrição dos sujeitos e ambiente no qual o experimento foi desenvolvido. 3 METODOLOGIA E DESENVOLVIMENTO Para a elaboração, condução e análise do experimento de ensino, utilizamos o Design Experiment de Cobb et al. (2003), que prevê a construção de abordagens inovadoras para o ensino de Matemática, tendo caráter cíclico, iterativo e flexível. Participaram do estudo 28 estudantes do primeiro ano do Ensino Médio Período Integral de uma escola localizada em Santo André/SP, na faixa etária de 15 e 16 anos. O experimento de ensino foi aplicado durante as Aulas de Orientação de Estudo no laboratório de informática da escola. Esse laboratório era composto por 27 computadores novos. Os alunos já haviam tido contato com o conteúdo de função em aulas regulares, por meio de uma abordagem que privilegiou o registro simbólicoalgébrico sem a utilização de recurso computacional. Haviam estudado funções composta e inversa, mas não tiveram contato com as relações existentes entre elas. 5

6 A pesquisa foi realizada em cinco etapas: questionário preliminar; familiarização com o software GeoGebra; aplicação das atividades do design; aplicação das atividades adicionais do redesign; e aplicação das atividades do redesign. Apenas o questionário preliminar foi realizado individualmente, as demais etapas foram realizadas em duplas. Analisamos os dados de duas duplas Dupla-R1 e Dupla-R2, pois eles foram os únicos participantes que estiveram presentes em todos os 18 encontros realizados. Com a aplicação do questionário preliminar, observamos deficiências desses alunos em relação ao conceito de função, e que eles não haviam compreendido os conceitos de função composta e inversa. Isso nos fez reavaliar nossas atividades, por isso elaboramos atividades adicionais do redesign. Para este artigo, apresentamos as atividades do redesign referentes a funções polinomiais de primeiro grau. Para a análise dos dados, foram coletadas e analisadas as produções escritas nas fichas de atividades distribuídas aos alunos, as capturas de telas utilizando o software Camtasia e a áudio-gravação das falas dos sujeitos. Na próxima seção, apresentamos uma breve descrição e a análise das atividades sobre funções polinomiais de primeiro grau presentes em nosso experimento de ensino. 4 ANÁLISE DOS RESULTADOS Neste artigo, apresentamos resultados das atividades relacionadas às funções composta e inversa de funções polinomiais de primeiro grau. Essas atividades envolviam a análise da simetria dos gráficos de uma função bijetora f de em e a inversa dela g, em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, incluindo a análise das coordenadas de pontos pertencentes a cada reta, e que a composição dessas duas funções é a função identidade. Envolviam também a discussão de que a composição de duas funções é a identidade somente se as funções são inversas. Na Figura 1, apresentamos a interface do GeoGebra apresentada aos alunos para o trabalho com uma das atividades relacionadas a funções polinomiais de primeiro grau. Nela, os alunos poderiam modificar o valor do coeficiente linear, analisar as leis algébricas da função f e 6

7 da inversa g, analisar coordenadas de pontos pertencentes às retas, analisar a simetria das retas em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, dentre outras. Figura 1: Interface do software GeoGebra para a Atividade 1 Fonte: GONÇALVES, 2017, p. 279 Sobre o estudo da simetria de uma função e sua inversa em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, a utilização do GeoGebra permitiu que os alunos observassem que os gráficos dessas funções são simétricos em relação à reta. Além disso, também observaram que, sendo A um ponto pertencente ao gráfico da função, o simétrico dele A em relação à reta pertence ao gráfico da função g inversa de f, e, que as coordenadas dos pontos A (a, b) e A (b, a) são simétricas em relação à reta, conforme apresentamos na Figura 2. Figura 2: Produção da Dupla-R1 para a Tarefa 1 da Atividade 1 do Redesign Fonte: GONÇALVES, 2017, p

8 A observação, pelos alunos, dessa propriedade foi possível pela manipulação de um controle deslizante que modificava o coeficiente angulara da função. A partir dessa manipulação, uma característica do mundo corporificado, o software permitiu que os alunos compreendessem uma característica formal e ainda a extrapolassem, como observamos na Figura 3. Conversões do registro gráfico para o registro algébrico também ocorreram. Figura 3: Produção da Dupla-R2 para a Tarefa 3 da Atividade 1 do Redesign Fonte: GONÇALVES, 2017, p. 293 A utilização de GeoGebra foi fundamental para que os alunos compreendessem que a simetria entre uma função e sua inversa só ocorre em relação à reta. Na Figura 4, observamos que a Dupla-R2 utilizou várias ferramentas do software GeoGebra para verificar que os gráficos das funções e não eram simétricos. Primeiro construiu uma reta passando pelos pontos A e A, em seguida, determinou a intersecção dessa reta com o gráfico da função, criando o ponto C, e depois comparou as coordenadas dos pontos A e C, observando que elas não são inversas (destaque em amarelo). Figura 4: Produção da Dupla-R2 a Tarefa 5 da Atividade 1 Fonte: GONÇALVES, 2017, p

9 Ao comparar as coordenadas dos pontos A e C, essa dupla utilizou características formais que obteve durante o trabalho com nossas atividades para concluir que a simetria deveria ser em relação à reta. Além disso, fez conversões dos registros gráfico para numérico, o que foi possível pela utilização do software. No que se refere à composição entre uma função e sua inversa, as características simbólicas do GeoGebra permitiram que os alunos fizessem tal composição com funções polinomiais de primeiro grau e observassem que o resultado é justamente, e que a composição é comutativa. Nesse trabalho, utilizaram principalmente o tratamento com registros algébricos. 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste artigo apresentamos um recorte de uma pesquisa que teve por objetivo analisar em que aspectos um enfoque diferenciado sobre funções composta e inversa, que procurou explorar a relação entre diversos registros semióticos e um recurso computacional dinâmico, contribuiria para os alunos realizarem uma jornada pelos Três Mundos da Matemática e para a construção da relação entres esses objetos matemáticos. Após a aplicação do nosso experimento de ensino, verificamos que os alunos observaram relação de simetria de uma função e sua inversa no registro gráfico em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Também observaram que a composição de uma dada função com sua inversa resulta na função identidade. Durante a aplicação do experimento, verificamos que o uso do recurso computacional GeoGebra contribuiu de maneira positiva para que os alunos realizassem uma jornada pelos diferentes Mundos da Matemática, e alcançassem experiências envolvendo a composição de diferentes tipos de função com a sua respectiva inversa nos registros gráfico e algébrico, fato que não seria possível no ambiente papel e lápis. Ficou explícito que eles começaram a relacionar a Janela de Álgebra com a Janela de Visualização para apresentarem suas respostas, a partir da aplicação da Atividade Adicional 4 do Redesign, pois, a troca de ideias, e a comparação entre as produções no ambiente computacional GeoGebra, contribuiu para que os alunos começassem a 9

10 relacionar os registros algébrico e gráfico, apresentando, assim, um entendimento melhor relacionado ao estudo das funções composta e inversa. Observamos também que os alunos participantes estavam mais familiarizados com o software GeoGebra, e, com isso, mudaram a maneira de observar e responder as tarefas propostas. Assim, verificamos que, como já apontado por Allevato (2010), o uso do recurso computacional de forma contínua pode contribuir de maneira positiva para a aprendizagem de conceitos matemáticos de maneira mais eficaz. Além disso, a troca de ideias e a comparação entre as produções no ambiente computacional GeoGebra contribuiram para que os alunos começassem a relacionar os registros algébrico e gráfico, apresentando, assim, um entendimento melhor relacionado ao estudo das funções composta e inversa. Espera-se que essa pesquisa possa contribuir para o ensino de Matemática, representando uma proposta complementar e inovadora de abordagem da relação entre a composta e inversa de função polinomial de primeiro grau. REFERÊNCIAS AKKOÇ, H.; TALL, D. The simplicity, complexity and complication of the function concept. In: CONFERENCE OF THE INTERNATIONAL GROUP FOR THE PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS EDUCATION, 26, United Kingdom. Proceedings of the 26 th PME. United Kingdom: v. 2, p , ALLEVATO, N. S. G. Utilizando animação computacional no estudo de funções. Revista de Ensino de Ciências e Matemática, v. 1, n. 2. p , ANDRADE, L.S; KAIBER, C. T. Registros de representação semiótica e o estudo de funções. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM- IACME, Recife, Brasil, Disponível em: < Acesso em: 18 fev DUVAL, R. Ver e ensinar a matemática de outra forma: entrar no modo matemático de pensar os registros de representações semióticas. Organização Tânia M.M. Campos. Tradução Marlene Alves Dias. São Paulo: PROEM, FELIPE, P. A proposta curricular do estado de São Paulo e o software GeoGebra: uma análise de atividades sobre funções exponencial e logarítmica à luz dos três mundos da matemática. São Paulo, f. Dissertação (Mestrado em Educação 10

11 Matemática) Programa de Pós-graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo UNIBAN/SP, São Paulo, GONÇALVES, J. S. Relações entre funções inversa e composta: uma exploração dos conceitos com o auxílio do software GeoGebra. São Paulo, f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) Programa de Pós-graduação em Educação Matemática, Universidade Anhanguera de São Paulo, São Paulo, TALL, D. How Humans Learn to Think Mathematically. New York: Cambridge University Press,