UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA PATRÍCIA FELIPE

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1 UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA PATRÍCIA FELIPE A PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO E O SOFTWARE GEOGEBRA: UMA ANÁLISE DE ATIVIDADES SOBRE FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA À LUZ DOS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA SÃO PAULO 2013

2 PATRÍCIA FELIPE MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA A PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO E O SOFTWARE GEOGEBRA: UMA ANÁLISE DE ATIVIDADES SOBRE FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA À LUZ DOS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA Dissertação apresentada à banca examinadora da Universidade Bandeirante Anhanguera, como exigência parcial para a obtenção do título de mestre em Educação Matemática sob a orientação da Professora Doutora Rosana Nogueira de Lima. SÃO PAULO 2013

3 Felipe, Patrícia F353p A Proposta Curricular do Estado de São Paulo e o software GeoGebra: uma análise de atividades sobre Funções Exponencial e Logarítmica à luz dos Três Mundos da Matemática. / Patrícia Felipe. -- São Paulo: Universidade Bandeirante Anhanguera, xv, 240 f.: il.; 30 cm. Dissertação (MESTRADO) Universidade Bandeirante Anhanguera, Orientadora: Profa. Dra. Rosana Nogueira de Lima Referências bibliográficas: f Função. 2. Três Mundos da Matemática. 3. Design Experiment. 4. GeoGebra. Lima, Rosana Nogueira. II. Universidade Bandeirante de São Paulo. IV. Título. CDD

4 UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA Patrícia Felipe A Proposta Curricular do Estado de São Paulo e o Software GeoGebra: uma análise de atividades sobre Funções Exponencial e Logarítmica à luz dos Três Mundos da Matemática Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, na Universidade Bandeirante Anhanguera, à seguinte banca examinadora: UNIBAN ANHANGUERA SÃO PAULO 2013

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6 AGRADECIMENTOS À Deus, por ter me concedido a oportunidade de conhecer pessoas especiais que contribuíram para a conclusão de mais uma etapa em minha vida. À Professora Doutora Rosana Nogueira de Lima pelo trabalho de orientação que, com enorme dedicação, paciência, atenção, competência e empenho, contribuiu para que este trabalho fosse realizado. Às Professoras Doutoras Monica Karrer e Soraia Kindel pelas sugestões, comentários e críticas que enriqueceram essa pesquisa e, em particular, por ter nos dado a honra em aceitar nosso convite para participar desta etapa tão importante em nossas vidas. Às Professoras Doutoras Vera H. G. de Souza, Verônica Y. Kataoka e Maria Elisa E. L. Galvão pelo carinho, críticas e sugestões, principalmente durante as aulas das disciplinas de Atividade de Pesquisa I e II. A todos os Professores do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante Anhanguera, em especial, às Professoras Doutoras Siobhan Victoria (Lulu) Healy e Solange H. A. Fernandes e ao Professor Doutor Luiz Gonzaga X. de Barros, por todo apoio e incentivo. Aos funcionários da Secretaria do Programa Stricto Sensu, pelos informes passados, em especial, à Anália, pela dedicação e empenho, se prontificando em ajudar naquilo que fosse possível. A todos os amigos do curso, em particular, Caroline, Crislaine, Márcia, Renata, Edmar, Izaías, Marcos, Odhilton e Rodrigo, pela amizade e companheirismo nos momentos de estudo e discussões em grupo. Aos meus pais, Leonilda e Antônio, aos meus irmãos, Marcelo e André, à minha cunhada Andréa e a minha amiga Fátima por estarem ao meu lado, me auxiliando em todos os momentos dessa jornada. Ao meu esposo, Valter, pela imensurável paciência e incentivo, pelo empenho na formatação desse trabalho, auxiliando-me nos momentos mais difíceis. A toda família que torceu por mim, em particular, à minha avó Carmem, pelas orações de proteção que fez por mim. Ao meu amigo Jeferson Gonçalves e à minha amiga Diana Maia, pelas contribuições a este trabalho.

7 À Equipe Gestora da Escola, em especial, à Diretora Circe e a Vicediretora Déborah, por ter autorizado a aplicação do experimento; em particular, pelo respeito e compreensão às minhas ausências na escola nessa etapa final. À professora Sinara por ter cedido os alunos para a realização do experimento, pela eficiência dos registros de observação e, acima de tudo, pela amizade. Aos professores Susete e Marcelo pelo apoio e contribuições dadas e, em especial, à professora Susete pelo carinho e incentivo em todos os momentos. A todos os professores da Escola que torceram por mim, em particular, aos professores Sônia Godói, Valquiria, Genize, Anita, Ângela, Marisol, América, Pedro, Rubens e Flávio, pelo apoio, incentivo, amizade e, em particular, à professora Valquiria pela paciência de ler e de corrigir esse texto. Aos alunos participantes voluntários da pesquisa, pois sem eles não seria possível a realização do experimento. À Secretaria Estadual de Educação do Estado de São Paulo pela Bolsa de Estudos fornecida. A todas as pessoas que contribuíram, de maneira direta ou indiretamente, para a conclusão desse trabalho.

8 RESUMO Nesse trabalho, temos como objetivo adaptar atividades do Caderno do Aluno Matemática, parte integrante do material de apoio da Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo, volumes 2 e 3, da primeira série do Ensino Médio, relacionadas ao conceito de função para serem trabalhadas com auxílio do software GeoGebra, buscando integrar tal Proposta a um ambiente computacional. Participaram da pesquisa seis alunos da primeira série do Ensino Médio de uma escola da rede pública estadual da cidade de São Bernardo do Campo, São Paulo. Conduzidos pela metodologia do Design Experiment (COBB et al., 2003), adaptamos sete atividades que contemplam conteúdos de funções polinomiais de 1º e 2º graus, exponencial e logarítmica. Para a análise dos dados coletados, nos atemos apenas às funções exponencial e logarítmica por entender que estas funções são menos abordadas na literatura em Educação Matemática. Essa metodologia foi relevante em nossa pesquisa, devido ao caráter cíclico e flexível, que permitiu que fizéssemos redesigns, nos momentos necessários, para que os alunos reformulassem as percepções e conjecturas levantadas, testando-as novamente, para validá-las. Coletamos os dados por meio de registros orais, escritos e vídeos gravados, e os analisamos à luz do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004), os mundos conceitual corporificado, proceitual simbólico e formal axiomático, especificando quais características foram usadas pelos sujeitos na realização das atividades. Os resultados obtidos indicam que esses alunos trabalharam predominantemente com características do mundo corporificado para realizar as atividades propostas. O software colaborou para que eles fizessem relações principalmente entre os mundos corporificado e formal. O mundo simbólico foi pouco percebido, talvez porque as atividades adaptadas envolveram mais discussões sobre os mundos corporificado e formal. Sugerimos que se façam redesigns dessas atividades contemplando, também, as discussões relacionadas ao mundo simbólico. O ambiente criado em nossa pesquisa contribuiu para que os alunos assumissem uma postura ativa no processo de construção de conhecimento, visando o desenvolvimento da autonomia. Além disso, proporcionou uma abordagem diferenciada de funções exponencial e logarítmica, por meio do dinamismo e da agilidade na simulação de gráficos para a realização das análises propostas, no sentido de relacionar os parâmetros da função com a variação gráfica. Esperamos que nossa pesquisa contribua para a ampliação da literatura em Educação Matemática cujo olhar é lançado para a aprendizagem do conceito de funções exponencial e logarítmica. Palavras-chave: Função. Três Mundos da Matemática. Design Experiment. GeoGebra.

9 ABSTRACT With this study, we aim at adapting activities from Student s Mathematics Booklet, which is part of the São Paulo State New Curricular Proposal support material, volumes 2 and 3, for first grade of high school, and related to the concept of function, to be developed with the aid of the software GeoGebra, in an attempt to integrate such proposal to a computing environment. Six high school first grade students from a public school in São Bernardo do Campo, São Paulo, participated in the research study. Conducted by the methodology of Design Experiment (COBB et al., 2003), we adapted seven activities that include contents of 1 st and 2 nd degree polynomial functions, exponential and logarithmic ones. For the analysis of the data collected, we focused solely on exponential and logarithmic functions since we understand that these functions are less addressed in the literature on mathematics education. This methodology was relevant to our research, for its cyclical flexible characteristics that allowed us to do the necessary redesigns in specific moments for students to reformulate perceptions and assumptions raised by testing them again, to validate them. We collect data through oral, written records and recorded videos, and analyzed them in the light of the theoretical framework of the Three Worlds of Mathematics (TALL, 2004), conceptual embodied world, proceptual symbolic world and formal axiomatic world, specifying which characteristics have been used by the subjects in carrying out the activities. Results obtained indicate that these students worked predominantly with characteristics of embodied world to perform the proposed activities. The main aspect of the use of the software was it helped students to make relations between formal and embodied worlds. The symbolic world was hardly noticed, perhaps because the activities adapted involved more discussions about embodied and formal worlds. We suggest that some redesigns should be included, as long as discussions related to symbolic world. The environment created in our research study has helped students to take an active stance in the process of construction of knowledge, aiming at the development of autonomy. In addition, it has provided a differentiated approach of exponential and logarithmic functions, through the dynamism and agility in simulating graphics to analyse what was proposed in the activities, to relate the parameters of the function with graphic variation. We hope that our research study may contribute to the literature in Mathematics Education that looks into the learning of exponential and logarithmic functions. Keywords: Function. Three Worlds of Mathematics. Design Experiment. GeoGebra.

10 LISTA DE FIGURAS Figura 1: Recorte dos itens (a) e (d) da Atividade 1 da Situação de Aprendizagem 1, apresentada na Figura Figura 2: Os Três Mundos da Matemática Figura 3: Conteúdo Curricular da primeira série do Ensino Médio, 2º Bimestre Figura 4: Conteúdo Curricular da primeira série do Ensino Médio, 3º Bimestre Figura 5: Diretrizes para Situação de Aprendizagem Figura 6: Atividade 2 da Situação de Aprendizagem 1, da seção Lição de Casa Figura 7: Atividade 1 da Situação de Aprendizagem 1, da seção Você Aprendeu? Figura 8: Atividade 1 da Situação de Aprendizagem 1, da seção Você Aprendeu? Figura 9: Atividade 1 da Situação de Aprendizagem 1, da seção Lição de casa Figura 10: Diretrizes para Situação de Aprendizagem Figura 11: Atividade 1 da Situação de Aprendizagem 2, da seção Você Aprendeu? Figura 12: Atividade 4 da Situação de Aprendizagem 2, da seção Você Aprendeu? Figura 13: Atividade 2 da Situação de Aprendizagem 2, da seção Lição de Casa Figura 14: Diretrizes para Situação de Aprendizagem Figura 15: Exemplos de Deslocamentos verticais e/ou horizontais: Figura 16: Diretrizes para Situação de Aprendizagem Figura 17: Atividade 3 da Situação de Aprendizagem 4, da seção Você Aprendeu? Figura 18: Diretrizes para Situação de Aprendizagem Figura 19: Atividade 1 e 2 da Situação de Aprendizagem Figura 20: Quadro Resumo da Situação de Aprendizagem 1 da seção Você Aprendeu? Figura 21: Quadro Resumo da Situação de Aprendizagem 1 da seção Pesquisa Individual Figura 22: Atividade Figura 23: Diretrizes para Situação de Aprendizagem Figura 24: Atividade1 da Situação de Aprendizagem 2 da seção Lição de Casa Figura 25:Atividade 2 da Situação de Aprendizagem 2 da seção Lição de Casa

11 Figura 26: Diretrizes para Situação de Aprendizagem Figura 27: Texto para leitura e análise da Situação de Aprendizagem Figura 28: Atividade da Situação de Aprendizagem 3 da seção Pesquisa Individual Figura 29: Diretrizes para Situação de Aprendizagem Figura 30: Interface do software GeoGebra Figura 31: Interface do GeoGebra da Atividade Figura 32: Interface do GeoGebra da Atividade Figura 33: Interface do GeoGebra da Atividade Figura 34: Exemplo de resolução da Atividade Figura 35: Interface do GeoGebra da Atividade Figura 36: Interface do GeoGebra da Atividade Figura 37: Interface do GeoGebra da Atividade Figura 38: Interface do GeoGebra da Atividade Figura 39: Atividade da aula de familiarização com o GeoGebra Figura 40: Atividade 6 Exercício 2 Produção da D Figura 41: Imagem capturada durante a entrevista com a D Figura 42: Atividade 6 Exercício 2 Produção da D Figura 43: Atividade 6 Exercício 3 Produção da D Figura 44: Atividade 6 Exercício 4 Produção da D Figura 45: Atividade 6 Exercício 5 Produção da D Figura 46: Atividade 6 Exercício 6 Produção da D Figura 47: Atividade 6 Exercício 7 Produção D Figura 48: Atividade 6 Exercício 7 Interface do GeoGebra Produção da D Figura 49: Atividade 6 Exercício 7 Item (c) Produção da D Figura 50: Atividade 6 Exercício 7 Item (d) Produção da D Figura 51: Atividade 6 Exercício 7 Item (d) Produção da D Figura 52: Atividade 6 Exercício 7 Item (d) Produção da D Figura 53: Atividade 6 Exercício 8 Interface do GeoGebra Produção da D Figura 54: Atividade 6 Exercício 8 Itens (c) e (d) Produção da D Figura 55: Atividade 7 Interface do GeoGebra Figura 56: Atividade 7 Exercício 2 Produção da D Figura 57: Atividade 7 Exercício 2 Itens (a) e (b) Produção da D Figura 58: Atividade 7 Exercício 2 Produção da D Figura 59: Reflexão da D3 Atividade 7 Exercício 3 Item (d) Figura 60: Atividade 7 Exercício 4 Produção da D Figura 61: Atividade 7 Exercício 5 Produção da D Figura 62: Atividade 7 Exercício 4 Produção da D Figura 63: Atividade 7 Exercício 5 Produção da D Figura 64: Tela capturada durante a produção da D Figura 65: Atividade 7 Exercício 6 Produção da D Figura 66: Atividade 7 Exercício 6 Produção da D

12 Figura 67: Atividade 7 Exercício 10 Produção da D Figura 68: Reflexão da D3 sobre os gráficos das funções exponencial e logarítmica Figura 69: Atividade 7 Exercício 10 Produção da D Figura 70: Produção da D3 sobre a relação entre as funções exponencial e logarítmica Figura 71: Atividade 7 Exercício 10 Produção da D

13 LISTA DE QUADROS Quadro 1: Design da Atividade Quadro 2: Design da Atividade Quadro 3: Design da Atividade Quadro 4: Design da Atividade Quadro 5: Design da Atividade 5 Problema Quadro 6: Design da Atividade 5 Problema Quadro 7: Design da Atividade 6 Exercícios 1 e Quadro 8: Design da Atividade 6 Exercício Quadro 9: Design da Atividade 6 Exercício Quadro 10: Condições para o crescimento ou decrescimento da função exponencial Quadro 11: Design da Atividade 6 Exercício Quadro 12: Classificação da função exponencial em crescente ou decrescente Quadro 13: Design da Atividade 6 Exercício Quadro 14: Design da Atividade 6 Exercícios 7 e Quadro 15: Design da Atividade 7 Exercícios 1 e Quadro 16: Design da Atividade 7 Exercício Quadro 17: Design da Atividade 7 Exercício Quadro 18: Design da Atividade 7 Exercício Quadro 19: Condições para o crescimento ou decrescimento da função logarítmica Quadro 20: Design da Atividade 7 Exercício Quadro 21: Design da Atividade 7 Exercícios do 7 ao Quadro 22: Síntese das Atividades e objetivos propostos em cada uma delas Quadro 23: Síntese das Sessões de aplicação do experimento Quadro 24: Questões apresentadas na aula de familiarização com o software Quadro 25: Atividade 2 Produção da Dupla Quadro 26: Atividade 7 Exercício 3 Produções da Duplas 1, 2 e

14 SUMÁRIO INTRODUÇÃO CAPÍTULO 1: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA CAPÍTULO 2: REVISÃO DE LITERATURA SOBRE O USO DE TECNOLOGIAS NO ENSINO DE FUNÇÕES SOBRE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS CAPÍTULO 3: A PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO A PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO PARA A DISCIPLINA DE MATEMÁTICA MATERIAL DE APOIO SOBRE A ANÁLISE DAS ATIVIDADES DOS CADERNOS ANÁLISE DAS ATIVIDADES DOS CADERNOS VOLUME ANÁLISE DAS ATIVIDADES DOS CADERNOS VOLUME CAPÍTULO 4: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS A METODOLOGIA: DESIGN EXPERIMENT O SOFTWARE GEOGEBRA O DELINEAMENTO DA PESQUISA CAPÍTULO 5: APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES DO CADERNO VOLUME DESIGN DA ATIVIDADE DESIGN DA ATIVIDADE DESIGN DA ATIVIDADE DESIGN DA ATIVIDADE DESIGN DA ATIVIDADE APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES DO CADERNO VOLUME

15 DESIGN DA ATIVIDADE DESIGN DA ATIVIDADE CAPÍTULO 6: APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS PRIMEIRA ETAPA SEGUNDA ETAPA TERCEIRA ETAPA: ANÁLISE DA ATIVIDADE QUARTA ETAPA: ANÁLISE DA ATIVIDADE CONSIDERAÇÕES FINAIS RESPONDENDO AS QUESTÕES DE PESQUISA VALIDANDO AS HIPÓTESES DE PESQUISA LIMITAÇÕES E SUGESTÕES PARA NOVAS PESQUISAS REFERÊNCIAS APÊNDICES

16 14 INTRODUÇÃO Há treze anos trabalho 1 em escolas públicas do Estado de São Paulo como professora de Matemática nos Ensinos Fundamental e Médio, e percebo os esforços de professores para ensinar Matemática. Aparentemente, são muitas as dificuldades dos alunos em aprender Matemática, e é grande a desmotivação deles para aprender esta disciplina. Por outro lado, também percebo alguns alunos talvez desmotivados com o tipo de abordagem da sala de aula para o ensino de Matemática. Dificuldades de aprendizagem de Matemática apresentadas por alunos refletem-se nos índices do Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar de São Paulo (SARESP) e do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) da escola em que trabalho, que não são ainda tão satisfatórios como o grupo docente e a gestão da escola gostariam. Com o avanço da tecnologia, os alunos parecem ficar mais motivados a aprender quando usam ferramentas computacionais. Ligados em seus ipods, iphone e celulares, talvez o giz e a lousa como únicos recursos não sejam mais suficientes para eles. Sendo o uso da tecnologia um fator potencialmente motivador, é possível que ele colabore para que os alunos aprendam mais e, portanto, para a melhoria daqueles índices. Tendo em vista esse avanço tecnológico, o Governo do Estado de São Paulo equipou as escolas estaduais com uma sala contendo computadores, nomeada sala do acessa, objetivando colocar o aluno em contato com essa ferramenta, a fim de estimular e motivar aprendizagem para que, futuramente, seja inserido com sucesso no mercado de trabalho. Além disso, com acesso à internet, o aluno pode fazer pesquisas para a realização dos trabalhos acadêmicos, navegar em redes sociais e, ainda, ter a oportunidade de participar de aulas diferenciadas. 1 Nesta introdução, usaremos primeira pessoa do singular quando estivermos nos referindo à experiência pessoal da mestranda autora desta pesquisa.

17 15 Entretanto, muitas vezes, o professor não teve, em sua formação inicial, orientação sobre como usar ferramentas computacionais para o ensino de Matemática, o que acaba por fazer com que a sala do acessa fique vazia, e o aluno não tenha aulas diferenciadas. Percebo que esta falta de conhecimento acarreta, também, o receio do professor de que alunos possam controlar o computador com maior facilidade do que ele e, assim, poderá perder o controle sobre o que o aluno está fazendo. Talvez, por esse motivo, o professor se encontra, ainda, com uma postura de transmissor do conhecimento, e o aluno, como o sujeito passivo na apreensão do conhecimento. Laudares e Miranda (2007) tecem uma crítica em relação à postura do professor [...] o professor ainda teme a mudanças. Resiste em trocar uma aula expositiva, considerada por ele um meio eficaz, por um processo mais participativo do estudante, isto é, resiste em adotar uma postura de orientador da construção do conhecimento, em substituição à metodologia do doador na transmissão do saber, ainda que a sociedade informacional lhe ofereça possibilidades e recursos tecnológicos para facilitar a mediação didática com uso de ferramentas desenvolvidas pela eletrônica e pela microeletrônica (LAUDARES; MIRANDA, 2007, p.73). Entendemos que o professor deve inovar sua prática docente, uma vez que, com o avanço da tecnologia, não só o governo do Estado forneceu uma sala equipada com computadores, como também forneceu o material da nova Proposta Curricular de São Paulo, composto por cadernos seriados, por disciplina, para o professor e para o aluno, proposto pelo programa São Paulo faz Escola que surgiu em No material dessa nova proposta, após uma breve observação, percebemos que se fala pouco sobre o uso das ferramentas tecnológicas que estão dentro da sala do acessa para serem usadas a fim de se trabalhar a aprendizagem. Por esse motivo, cremos que deveria ser feito um trabalho para unir esses dois instrumentos que a Secretaria Estadual de Educação proporcionou às escolas do Estado: a sala do acessa e o material da nova Proposta Curricular. Tomada por estas inquietações (as dificuldades de aprendizado de alunos em Matemática e a necessidade de utilização dos instrumentos proporcionados pela Secretaria Estadual de Educação), me inscrevi no processo seletivo do curso de Mestrado Acadêmico em Educação Matemática,

18 16 oferecido pela Universidade Bandeirante Anhanguera, com intuito de enriquecer minha formação inicial e buscar alternativas que contribuam para a melhoria da aprendizagem dessa tão temida disciplina: a Matemática. Escolhemos o conceito de função por entender que ele é fundamental no estudo da Matemática, e está presente em diversas áreas do conhecimento, como, por exemplo, Química, Física, Biologia, entre outras, bem como, em situações do dia-a-dia, em que nos deparamos, por exemplo, com a necessidade de relacionar a velocidade média de um carro com a distância por ele percorrida, a fim de calcular o consumo de combustível e o total a pagar em uma viagem; ou de relacionar temperaturas em lugares diferentes, como por exemplo, Londres (onde se usa graus Fahrenheit para medir a temperatura) e Brasil (onde usamos graus Celsius). Por causa da importância desse conceito para os aprendizes, é preciso motivá-los para esse aprendizado. A importância do estudo de funções também é apontada nos Parâmetros Curriculares Nacionais: [...] o conceito de função desempenha também papel importante para descrever e estudar através da leitura, interpretação e construção de gráficos, o comportamento de certos fenômenos tanto do cotidiano, como de outras áreas do conhecimento, como a Física, Geografia ou Economia. Cabe, portanto, ao ensino de Matemática garantir que o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática (BRASIL, 1999, p.257). Mendes (1994), citado por Ardenghi (2008), destaca a evolução do conceito de função por volta do século XX: O conceito de função teve uma evolução lenta e gradual, através dos séculos, até chegar às formas que o apresentamos hoje aos nossos alunos. Atualmente, o conceito de função ocupa um papel central e unificador na Matemática. Um conhecimento amplo e consistente de funções é um dos objetivos a se alcançar na Educação Matemática. Desta forma, é importante procurar conhecer como se processa sua aprendizagem, identificar e analisar os principais problemas com os quais os alunos se deparam ao estudar função e detectar quais os principais obstáculos à aprendizagem deste conceito. (MENDES, 1994, p.58 apud ARDENGHI, 2008, p.34).

19 17 Além disso, estudos realizados sobre esse tema, tais como, os de Oliveira (1997), Souza (2010), Maia (2007), Silva (2012), entre outros, apontam dificuldades que alunos apresentam na identificação de que função é uma relação entre duas grandezas ou duas variáveis e na classificação dela em crescente, decrescente e constante; na definição de função, pois a definem como uma equação; nas diversas representações de função, como, por exemplo, nos provenientes dos registros gráfico, algébrico, tabular e da língua natural (enfatizamos a dificuldade de transformação do registro gráfico para o algébrico); na identificação da variável f(x) como sendo a dependente e, x como a independente; na função definida por várias sentenças; na compreensão do domínio, contradomínio e imagem; entre outras. Tendo em vista essas dificuldades, evidencia-se a necessidade de buscar novas metodologias e ambientes de ensino que não usem apenas ambiente papel e lápis, proporcionando uma aprendizagem por meio de instrumentos inovadores, a fim de minimizar, pelo menos, algumas das dificuldades apontadas na literatura. Na concepção de Henriques e Nagamine (2011) Os ambientes computacionais de aprendizagem (ACA) enquanto instrumentos podem ser entendidos como alternativas didáticas que permitem o tratamento de objetos de estudo de forma diferenciada daquela referente ao tratamento dos mesmos, que ocorrem na relação usual sujeito-objeto, na medida em que instrumentos oferecem potencialidades que permitem vislumbrar ou preencher algumas lacunas deixadas pelo ensino tradicional do ambiente papel/lápis. As exigências impostas pelos ACA fazem com que o sujeito faça a sua auto-avaliação em tempo real. (p.33) Considerando as inquietações que me trouxeram ao curso, essa pesquisa tem como objetivo adaptar atividades do Caderno do Aluno Matemática 2, relacionadas ao conceito de função para serem trabalhadas com auxílio de um software. Dessa forma, pretendemos prover uma integração da Nova Proposta Curricular de São Paulo com um ambiente computacional, buscando analisar se essa utilização colabora para que o aluno supere 2 Quando nos referirmos ao Caderno do Aluno da disciplina de Matemática abreviaremos como CAM.

20 18 algumas das dificuldades de aprendizagem do conceito de função apresentadas nas literaturas. Para tanto, vamos analisar as atividades pertencentes ao CAM, volumes 2 e 3, da primeira série do Ensino Médio, e estudar uma possível adaptação para o uso do software GeoGebra, baseando-nos na metodologia do Design Experiment, elaborando atividades que permitam que alunos transformem informações em conhecimento, de forma que eles possam se apropriar do domínio matemático específico, nesse caso, de função. Salientamos que trabalharemos, então, os conceitos de função afim, função quadrática, função exponencial e função logarítmica com o auxílio do software GeoGebra, e analisaremos os dados coletados à luz do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004), composto por um mundo corporificado, um mundo simbólico e um mundo formal. Considerando que estes alunos desconhecem funções exponencial e logarítmica, decidimos trabalhar também com as funções polinomiais de 1º e 2º graus, porém vamos analisar somente as atividades específicas de exponencial e logaritmo por entender que a literatura sobre estas funções é menos extensa do que a literatura sobre funções polinomiais. Ainda, esperamos que o uso do software possa contribuir para despertar o interesse em aprender Matemática, uma vez que acreditamos que o ambiente computacional pode trazer maior dinamismo e motivação para tal aprendizado. Na visão de Friedman (1996), a aprendizagem depende em grande parte da motivação. Os alunos precisam de um estímulo para aprender, e o exercício lúdico desperta a motivação e o interesse destes (FRIEDMAN, 1996, apud MAIA, 2007, p.59). Nortearemos nossa pesquisa pelas seguintes questões: 1) É possível integrar a Nova Proposta Curricular de São Paulo a um ambiente computacional por meio da adaptação de atividades pertencentes ao Caderno do Aluno Matemática? 2) O ambiente utilizado contribuiu para a aprendizagem do conceito de função, por meio das atividades adaptadas do CAM para o uso do GeoGebra?

21 19 Teve-se por hipóteses que o experimento proposto permitiria analisar a possibilidade de se fazer adaptações de atividades dos Cadernos do Aluno Matemática (vol.2 e 3) para o uso do software GeoGebra, que o uso desse ambiente poderia trazer vantagens na exploração das funções e que o experimento elaborado favoreceria a transição entre os Três Mundos da Matemática. Apresentaremos, no Capítulo 1, os aspectos do quadro teórico escolhido para fundamentar nossa pesquisa, e que guiou a análise dos dados coletados. No Capítulo 2, Revisão de Literatura, apresentamos os resumos das pesquisas que julgamos importantes para a elaboração da nossa, elencando as dificuldades apresentadas por alunos, de séries variadas, em diferentes níveis de ensino sobre conceito de função. Abordamos no Capítulo 3, as diretrizes estabelecidas na nova Proposta Curricular de São Paulo para o ensino do Estado de São Paulo e, especificamente, para o ensino de Matemática. Descrevemos os objetivos propostos por bimestres, em cada Situação de Aprendizagem, presentes nos Cadernos do Professor e, também, apresentamos a análise feita das atividades sugeridas nos Cadernos do Aluno. Ambos são da primeira série do Ensino Médio, volumes 2 e 3, pelo fato de ser feita nesses cadernos a abordagem de funções polinomiais de 1º e 2º graus, funções exponencial e logarítmica, alvo de nosso estudo. Descrevemos, no Capítulo 4, os procedimentos metodológicos de nossa pesquisa, apresentando a metodologia escolhida, que é o Design Experiment; o software utilizado, que é o GeoGebra; os sujeitos da pesquisa, a caracterização do ambiente utilizado para a realização das atividades adaptadas que fazem parte do nosso instrumento de coleta de dados. A escolha do software GeoGebra se deu por ele ser de domínio público e de fácil manuseio, permitindo a representação simultânea, em um único campo visual, das características algébricas e geométricas do objeto em estudo. Além disso, é compatível com nossa fundamentação teórica ao permitir que o aluno faça uma jornada por diferentes mundos da Matemática, pois, na

22 20 interface do software, há duas janelas intituladas como Janela de Álgebra e Janela de Visualização. No caso de função a Janela de Álgebra exibe, entre outros elementos, a expressão algébrica; e a Janela de Visualização exibe o plano cartesiano com o gráfico da função e os seletores que permitem modificar parâmetros com cada função. Esses dois elementos, como veremos mais adiante, permitem que se façam relações entre mundos simbólico e corporificado, por exemplo. No Capítulo 5, foi feita a apresentação das atividades adaptadas, seguidas de uma análise preliminar baseada no quadro teórico dos Três Mundos da Matemática e nos resultados apontados na revisão de literatura. No Capítulo 6, apresentamos a análise dos dados coletados nos protocolos à luz dos Três Mundos da Matemática. Para finalizar, apresentamos as considerações finais do nosso estudo. Esperamos que nosso estudo contribua para o avanço das pesquisas científicas na área de Educação Matemática, no que se refere à aprendizagem do conceito de função, com uma proposta de abordagem dinâmica e inovadora para a sala de aula.

23 21 CAPÍTULO 1: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Neste capítulo apresentamos os aspectos principais sobre o quadro teórico dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004), o qual servirá como subsídios para o desenvolvimento da nossa pesquisa. Estudos realizados por Tall (2004a) apontaram que, além dos conceitos matemáticos geométrico, simbólico e axiomático (TALL, 2004a, p.2) existem três formas diferentes para o desenvolvimento cognitivo do aluno, considerando que objetos matemáticos eram percebidos como um todo, descritos com linguagem cada vez mais sofisticada; ações sobre esses objetos podiam ser representadas por meio de símbolos manipuláveis; e, então, formalizava se o conceito por meio de deduções, definições e provas formais. Desse modo, Tall (2004a) os classificou em três diferentes, porém interligados, Mundos da Matemática, a saber: O mundo conceitual corporificado (mundo corporificado), que se refere às percepções que temos sobre objetos matemáticos, que podem ser de forma física ou mental, como, por exemplo, os atos de refletir, observar, descrever, deduzir propriedades, sendo utilizada uma linguagem cada vez mais sofisticada para classificar e definir tais propriedades. Para Lima (2007), são consideradas corporificadas imagens, gráficos, desenhos, figuras geométricas que são construídas, ou não, pelo computador e que, junto com propriedades, possam ser analisadas e compreendidas. Por exemplo, ao trabalharmos com uma tabela de valores para uma determinada função, envolvendo números inteiros, estamos usando características corporificadas desse conceito. Quando se busca um valor numérico para a função, por meio da expressão algébrica, utilizando-a como se fosse uma fórmula para o cálculo, também é considerado como característica corporificada. Além disso, quando observamos a forma do gráfico de uma função, podemos estar analisando características corporificadas. Evidenciamos tais características na Atividade 1 do CAM, apresentada na Figura 1, por

24 22 exemplo, em que fizemos um recorte do problema apresentado na Figura 6, dos itens (a) e (d). Figura 1: Recorte dos itens (a) e (d) da Atividade 1, apresentada na Figura 7. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno Matemática, 2009, volume 2, p.8 e 9. O mundo proceitual simbólico (mundo simbólico), que se baseia em ações que realizamos sobre objetos matemáticos, representando-as por meio de símbolos que são manipulados. Os símbolos passam a ter uma dupla interpretação, por serem flexíveis, pois podem ser tanto um processo (por exemplo, o de contar), como um conceito (por exemplo, o de número), definidos assim, como proceitos, de acordo com TALL (2006). Modificações efetuadas na lei de uma função podem ser consideradas características simbólicas. No caso da função quadrática, por exemplo, dada a lei da função na forma canônica, obter a forma desenvolvida ou geral,., pode-se manipulá-la para O mundo formal axiomático (mundo formal), referente às demonstrações de propriedades dos objetos matemáticos por meio de axiomas e definições, que podem ser provadas. A linguagem, nesse mundo, aborda termos técnicos e tem o rigor da matemática formal. Por exemplo, a identificação de que x é a variável independente e f(x), a dependente, é uma formalização ao conceito de função, enunciação à relação de dependência entre as variáveis x e f(x), que é característica do mundo formal. A análise e a identificação da relação entre os parâmetros de uma função e a variação do gráfico são também próprias do mundo formal.

25 23 Salientamos que não pretendemos encontrar, nos resultados de nossa pesquisa, características do mundo formal com todo o rigor axiomático, uma vez que isso não é habitual no Ensino Médio. Esperamos, sim, encontrar características formais dos conceitos envolvidos nas questões, visando à construção do conceito principal, no nosso caso, de função. Dada a importância da articulação entre os Três Mundos da Matemática, de modo que possibilite o desenvolvimento cognitivo do aluno, rumo à construção do conhecimento, nos aguçou a curiosidade de se trabalhar com esse quadro teórico, por ser inovador, diferente e não usual, pois são poucos os autores que já o utilizaram como referencial teórico em suas pesquisas, quando o tema escolhido foi função. Evidências disso, percebemos ao realizar nossas leituras que compuseram nosso próximo capítulo, da Revisão de Literatura, em que a mais usada foi a teoria dos registros de representação semiótica de Duval. Além disso, Akkoç (2006) afirma que em pesquisas sobre função são usadas como referenciais teóricos a teoria da reificação de Sfard (1991, 1992), a teoria APOS de Dubinsky (1992) e as ideias de imagem de conceito e definição de conceito de Vinner (1981). Ainda sobre a articulação entre os Três Mundos da Matemática, Badaró (2010) reforça que eles não são isolados nem podem ser considerados como estágios de desenvolvimento, mas devem ser entendidos como resultante do crescimento cognitivo que cada indivíduo obtém e da evolução do pensamento Matemático que cada um constrói (BADARÓ, 2010, p.31). A figura a seguir ilustra os Três Mundos da Matemática, na perspectiva de Lima (2007), bem como a articulação entre eles.

26 24 Figura 2: Os Três Mundos da Matemática Fonte: Adaptado de LIMA, 2007, p.81 Observando a figura, evidencia-se que o mundo corporificado se articula com o mundo simbólico por meio da ação, ou seja, primeiramente o aluno percebe os objetos envolvidos no exercício ou na situação; faz uma representação simbólica dessas percepções inicialmente detectadas no mundo corporificado, dando significado aos conceitos matemáticos, com auxílio da manipulação dos símbolos; e, por meio da reflexão, quando o aluno consegue assimilar e formalizar os conceitos em questão, que podem ser, ou não, por meio de demonstrações ou provas formais, estará utilizando características do mundo formal. Tall (2004b) afirma que cada indivíduo aprende por um caminho diferente, ou seja, cada um realiza uma diferente jornada por entre os mundos da Matemática, rumo à construção do conceito matemático, alvo do estudo. Nessa jornada, há inúmeros obstáculos para se ultrapassar, e isso requer que

27 25 cada indivíduo busque conhecimentos prévios e experiências anteriores, que são de grande valia para o desenvolvimento cognitivo. A essas experiências anteriores, que influenciam novas aprendizagens de conceitos, seja de maneira positiva ou negativamente, o autor chama de já-encontrados (TALL, 2004b), e define o termo como experiências anteriores que são empregadas no estudo de novos conceitos, para construção de novas estruturas matemáticas (TALL, 2005, p.6). Por exemplo, na função polinomial de 1º grau, com, quando o aluno assimila que o coeficiente a da função é a taxa de variação, ele não faz mais o cálculo, dados dois pontos e. Ainda, percebemos, em nossas aulas, que esse problema com sinais envolvendo as quatro operações elementares, também fica evidente no estudo da função quadrática, para determinação das raízes ou zeros da função, sendo o método escolhido para isso, a Fórmula de Bháskara 3, em que e. Observamos que há muitas operações e sinais envolvidos para os alunos manipularem até a obtenção dos resultados das raízes ou zeros da função. No caso desses exemplos, de acordo com Lima (2007), a experiência anterior com Aritmética tornou-se um obstáculo 4 para o aluno (LIMA, 2007, p.87). Isto é, os já-encontrados acabaram influenciando negativamente a aprendizagem de novos conteúdos. Porém, novos conteúdos também podem influenciar já-encontrados. Para essa situação, Lima (2007) utiliza o termo a-encontrar e o define como uma experiência encontrada posteriormente que pode afetar a memória de conhecimentos anteriores (LIMA; TALL, 2008, p.5). 3 Fórmula de Bháskara: ; e o discriminante. 4 Lima (2007) relata que o conceito de obstáculo foi descrito por Brousseau (1997), no contexto da Educação Matemática, como um conhecimento que é válido dentro de certo domínio, mas que falha ao ser usado fora desse domínio de validade (LIMA, 2007, p.87).

28 26 Em nossa experiência em sala de aula, pudemos observar que, após o estudo do Teorema de Pitágoras 5, os alunos aprenderam Relações Métricas no triângulo retângulo. Uma dessas relações afirma que o quadrado da altura h é igual ao produto das medidas das projeções m e n dos catetos. Outra, que o quadrado da medida do cateto b é igual ao produto da medida da sua projeção m pela hipotenusa a. Posteriormente, foi feita uma revisão sobre o Teorema de Pitágoras, e verificou-se que a maioria desses alunos aplicou o Teorema da seguinte maneira: ; acreditamos que por influência das relações métricas estudadas, caracterizando um aencontrar. Outro exemplo, ao se trabalhar com o conteúdo sobre números negativos, com as operações de multiplicação e divisão, que são trabalhadas depois das operações de adição e subtração, o aluno aprende que ; e que. Quando opera com a adição e a subtração, entra em conflito cognitivo, pois ao fazer, coloca como resultado ( 3), porque fica gravado em sua memória a famosa regra de sinais menos com mais é igual a menos, ou ainda, que ( 5) + ( 3) = 8, de forma incorreta, porque menos com menos é igual a mais. Isso fica evidente no estudo de função em que se pretende calcular valores de f(x) atribuindo valores para x, dada a lei da função como, por exemplo, para calcular, ou. Uma possível explicação para esse fato é descrito por Lima (2007), em uma situação similar, em que aponta que, se os já-encontrados forem afetados pelos a-encontrar é porque não estavam bem estruturados na mente do indivíduo e necessitavam de reconstrução (LIMA, 2007, p.88). Entendemos que o professor deva ser um mediador, a fim de auxiliar alunos a superar dificuldades, identificando já-encontrados e a-encontrar que estejam interferindo em novas aprendizagens e experiências, de modo que reflitam sobre os erros, reconstruindo conhecimentos cada vez mais 5 Neste teorema afirma-se que: Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.

29 27 sofisticados sobre o domínio matemático em questão e, preferencialmente, que consigam realizar uma jornada pelos Três Mundos da Matemática. A importância do estudo desse quadro teórico, levantando essas características de diferentes mundos da Matemática, nos fez perceber que a busca pela adaptação de atividades do CAM para o uso do GeoGebra, baseado na metodologia do Design Experiment, poderá auxiliar alunos a superarem algumas dificuldades na apreensão do conceito de funções polinomiais de 1º e 2º graus, exponencial e logarítmica. Diante do exposto, percebemos que mais uma questão de pesquisa emerge desse quadro teórico, além das duas já existentes e que relembramos aqui: 1) É possível integrar a Nova Proposta Curricular de São Paulo a um ambiente computacional por meio da adaptação de atividades pertencentes ao Caderno do Aluno Matemática? 2) O ambiente utilizado contribuiu para a aprendizagem do conceito de função, por meio das atividades adaptadas do CAM para o uso do GeoGebra? Acrescentamos uma terceira questão de pesquisa, a saber: 3) O uso de um ambiente computacional para o estudo de funções exponencial e logarítmica permitiu que os alunos realizassem uma jornada pelos Três Mundos da Matemática? Como justificativa para o uso do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática, trouxemos as contribuições para o estudo de função reveladas em duas pesquisas: Angelini (2010) e Lima e Sousa (2012), que também utilizaram esse quadro teórico. Angelini (2010) desenvolveu uma pesquisa cujo objetivo foi investigar quais ideias de oito alunos da segunda série do Ensino Médio, de uma escola da rede pública da cidade de São Paulo, apresentavam sobre o conteúdo de funções, identificando a definição de conceito e a imagem de conceito (TALL; VINNER, 1981) de função na resolução de problemas que envolvessem tal conteúdo. Além disso, o autor pretendia inferir quais características dos Três

30 28 Mundos da Matemática (TALL, 2004) esses alunos apresentariam nas respostas para os problemas propostos. questões: O autor situou seu trabalho na tentativa de responder as seguintes I Qual imagem de conceito (TALL; VINNER, 1981) de função que alunos do Ensino Médio apresentam, após terem estudado este tema na 1ª série do Ensino Médio? II Qual definição de conceito (TALL; VINNER, 1981) de função que alunos do Ensino Médio apresentam, após seu estudo deste tema na 1ª série do Ensino Médio? III Quais características dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004) surgem nas respostas de alunos ao resolver problemas relacionados ao conceito de função? (ANGELINI, 2010, p.21). O instrumento diagnóstico dele foi composto por dez questões variadas com gráficos, textos, problemas, utilizando vários tipos de representações. Os resultados sobre imagem de conceito apontaram a predominância do uso de características do mundo corporificado, uma vez que os alunos estão limitados à utilização de tabela numérica para construção de gráficos, diagramas, lançamentos de pontos sobre o plano cartesiano, operações aritméticas com números inteiros para comparar resultados. São poucos os que usam características do mundo simbólico, ou seja, os que articulam as expressões algébricas na forma geral, por exemplo, y = ax + b; dominam regra de três ; e calculam com números decimais com certa facilidade. Apenas um aluno apresentou indícios de pensamento formal quando relacionou corretamente as variáveis tempo e orçamento. Sobre a definição de conceito, predominou as características do mundo corporificado, pois os alunos não conseguiram associar função como uma relação de dependência entre duas variáveis. Nenhum aluno usou características do mundo formal. Angelini (2010) concluiu que esses oito alunos precisavam retomar o estudo desse importante conceito e, talvez, se o fizessem com uma abordagem baseada no quadro teórico dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004) poderiam alterar o resultado encontrado. Além disso, ele sugere que se dê mais ênfase em alguns conteúdos como, por exemplos, as tabelas e diagramas não devem ser usados apenas para organizar dados e sim, para ajudar no raciocínio, na tomada de decisão para resolver um problema; e a importância das expressões algébricas, na resolução de problemas, e não apenas para encontrar pares ordenados.

31 29 Lima e Souza (2012) também contribuíram para o estudo de função, escrevendo um artigo sobre uma pesquisa realizada com sete professores de matemática, de escolas das redes pública e particular, e que apresentavam dificuldades na interpretação e visualização de gráficos de maneira global; e, também, na generalização da concepção de variável. Os professores foram convidados a resolver atividades cujo objetivo era o de explorar a representação gráfica de modo global e, não, plotagem ponto a ponto, ou, mesmo, por meio de tabelas, como encontrados em livros didáticos adotados pelo programa escolar; e, ainda, de relacionar o gráfico com a expressão algébrica, identificando a relação existente entre as variáveis (dependente e independente) e o gráfico, por meio da utilização da conversão entre registros gráfico, algébrico e língua natural, a fim de auxiliar professores a ampliarem sua imagem de conceito sobre função. As autoras elaboraram atividades embasadas nos Registros de Representação Semiótica (Duval, 1995, 2000) e analisaram os dados à luz do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática (Tall, 2004), buscando características dos mundos corporificados, simbólico e formal, existentes na imagem de conceito (Tall e Vinner, 1981) desses professores, sobre função. Foram realizadas seis sessões de duas horas e meia cada, trabalhadas em duplas ou trios, sendo utilizado como recurso o software Cabri-géomètre II. Para análise, Lima e Souza (2012) utilizaram os dados coletados de apenas um professor, utilizando, como critério de escolha, o fato de ser este o mais antigo membro do grupo. Os resultados apontaram que o professor tem a imagem de conceito limitada às funções polinomiais de 1º e 2º graus e características predominantes do mundo corporificado. Pode-se dizer que esse professor não realizou uma jornada pelos Três Mundos da Matemática, porém, trabalhar outras funções como, por exemplo, de grau três ou trigonométrica, o ajudou a ampliar sua imagem de conceito sobre função. No próximo capítulo, apresentaremos os relatos das pesquisas que compuseram a revisão de literatura.

32 30 CAPÍTULO 2: REVISÃO DE LITERATURA Nesse capítulo, apresentamos as leituras realizadas que retratam a importância da aprendizagem do conceito de função e as dificuldades apresentadas por alunos de séries variadas, trazendo, inicialmente, a pesquisa de Ardenghi (2008), que realizou um estudo do tipo estado da arte, considerando dissertações e teses durante o período de 1970 até As dificuldades mais comuns levantadas pelos autores foram aquelas relacionadas a conversão do registro gráfico para o registro algébrico e a identificação da função constante como sendo função. Além disso, apontou, também, a confusão que alunos fazem entre a noção de função e a de equação; domínio com contradomínio; manipular números fracionários nas equações; a mudança da linguagem escrita para a linguagem algébrica; e a sugestão de se iniciar um estudo partindo da representação gráfica para a algébrica. O autor afirma que o conteúdo, da forma como é abordado nos livros didáticos, por utilizar uma linguagem considerada muito técnica, está distante da realidade do aluno, tornando-o um sujeito passivo na construção do conhecimento. Para minimizar esse impasse, Ardenghi (2008) sugere que se apliquem sequências de ensino que proporcionem uma participação mais ativa do aluno na construção do conhecimento, levando em consideração as concepções prévias dele sobre o conceito de função; que se utilize a informática como ferramenta facilitadora no estudo do gráfico de funções; e que se trabalhe com problemas contextualizados e com situações mais próximas do cotidiano do aluno, para que ele possa compreender o conceito de função como ferramenta de resolução de problemas (ARDENGHI, 2008, p.71). Vale a pena notar que o levantamento de Ardenghi (2008) sobre a preferência dos temas por pesquisadores aponta, entre outros, o Uso de Tecnologias com 32,5% das pesquisas analisadas por ele, que se refere aos trabalhos que abordam o uso de softwares ou calculadoras gráficas; e a Didática com 30,4%, que se refere aos trabalhos que elaboram sequências de

33 31 ensino. Vale ressaltar que 58,7% dos trabalhos envolveram como público alvo o Ensino Médio. Esse levantamento revela que o uso de tecnologias vem crescendo nas pesquisas de 1970 a 2005, e que se devem sugerir sequências de ensino para que o aluno saia da posição de passivo na aprendizagem e passe a ser sujeito ativo na construção do conhecimento. Então, vamos trazer pesquisas que abordam o uso de tecnologias no ensino de funções e outras, especificamente, sobre funções exponencial e logarítmica, que utilizaram ou não a Didática, isto é, elaboraram sequências de ensino SOBRE O USO DE TECNOLOGIAS NO ENSINO DE FUNÇÕES Miranda e Laudares (2007) trouxeram reflexões sobre o processo de informatização na prática educativa com o ensino de Matemática, e levantaram uma série de questões para ponderarmos: O professor acredita que pode substituir seu discurso e a cópia do aluno em sala de aula por uma instrução dirigida para o aluno estudar em sala de aula? O estudante quer sair da sua posição passiva de copista na sala de aula para, na posição ativa de ler o livro, usar o computador? O professor confia na tecnologia da informática como recurso metodológico, além de seu discurso? (MIRANDA; LAUDARES, 2007, p. 75 e 76). Motivados por estas questões, na busca pelas respostas, pesquisamos no banco de teses e dissertações das principais Universidades, e percebemos que o número de produções na área de Educação Matemática que utilizam recursos tecnológicos no ensino e na aprendizagem de conceitos matemáticos vem crescendo rapidamente. Verificamos essa preferência pelo tema no levantamento feito por Ardenghi (2008), que, no período analisado, já apontava 32,5% de adeptos ao uso da tecnologia em sala de aula. Entendemos que, talvez, seja esse o caminho para que os alunos apreendam conceitos matemáticos e, então, vamos relatar os trabalhos que encontramos e julgamos serem de grande valia para a nossa pesquisa, uma vez que também

34 32 pretendemos utilizar o recurso tecnológico como ferramenta para a aprendizagem, no nosso caso, do conceito de função. Tendo como foco a investigação das possíveis potencialidades do ambiente computacional nos processos de ensino e de aprendizagem do conceito de função, Maia (2007) desenvolveu uma sequência didática composta por seis atividades sobre função quadrática com objetivo de trabalhar características dessa função por meio de um software gráfico, que, de forma lúdica, explorasse noções de intervalo e de domínio de função, com intuito de auxiliar alunos a superarem as dificuldades na compreensão do conceito de função como uma relação entre grandezas, considerando letras como variáveis ou como números generalizados. Ou seja, segundo a autora, alunos identificam a expressão algébrica como uma equação. Fundamentada na Teoria das Situações de Brousseau (1986) e na Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2003), e baseada nos princípios da Engenharia Didática de Artigue (1995), contemplou, em suas atividades, a representação gráfica e a representação algébrica nas formas canônica e desenvolvida da função quadrática. Salientamos que Maia (2007) fez uma análise de livros didáticos e teceu uma crítica aos mesmos sobre a abordagem da construção gráfica ser, na maioria das vezes, por meio de tabelas, na qual se atribuem números inteiros para x, ou por meio da utilização de pontos chamados de pontos notáveis da parábola, sendo eles os pontos de intersecção com os eixos cartesianos e o ponto do vértice da parábola. Comenta, ainda, que a passagem do gráfico para a expressão algébrica é pouco explorada. A autora utilizou o software Winplot por ser de domínio público, e principalmente, por ser de conhecimento dos alunos, uma vez que a professora da turma o utilizava como recurso, rotineiramente, em sala de aula. Diferentemente da nossa pesquisa, em que utilizaremos o software GeoGebra, também de livre acesso, porém os alunos não têm nenhuma familiaridade, pois os professores não têm o hábito de utilizar recursos tecnológicos na prática docente deles.

35 33 Maia (2007) aplicou a sequência para oito alunos, dispostos em duplas, da 8ª série 6 (atual 9º ano) do Ensino Fundamental, de uma escola particular de São Bernardo do Campo. Os encontros foram marcados fora do horário regular de aula dos alunos, e contou com as presenças da professora da turma e de uma observadora. Para a coleta de dados, foram utilizados os registros escritos, filmados em VHS, anotações da observadora e as atividades gravadas em disquetes. Por meio da análise dos dados, a autora concluiu que os alunos tiveram um grande avanço na compreensão da construção e da análise de gráficos de função quadrática, uma vez que o software também contribuiu para uma agilidade na construção desses gráficos, mudando apenas os valores dos parâmetros. Além disso, os alunos perceberam que o gráfico pode ter duas representações algébricas, uma na forma canônica e outra na forma desenvolvida. Por sua vez, Benedetti (2003) também desenvolveu uma sequência de atividades que abordavam os conteúdos sobre funções polinomiais de graus variados, na forma, por entender que estas não são usualmente estudadas no Ensino Médio. O autor utilizou o Graphmatica que é um software de fácil acesso, por ser livre, realizando oito encontros no laboratório de informática, de uma escola da rede particular do município de Itu, São Paulo, com duas duplas de alunos da primeira série do Ensino Médio. Por meio da análise dos dados coletados, o autor concluiu que os alunos aprenderam a articular as propriedades tanto nos registros gráfico, algébrico, tabular quanto em outras mídias como a oralidade, a gestual, a calculadora, o lápis e o papel. Além disso, o software proporciona ao aluno a visualização simultânea de forma rápida e prática de várias representações das famílias de funções abordadas nas atividades. Para ele, é devido a um estudo regido de vai e vem de conjecturas, reflexões e refutações, que se produz o conhecimento e que cabe ao professor ou pesquisador a reflexão sobre sua prática pedagógica e a escolha do ambiente a ser utilizado para produção do conhecimento, visando sempre a melhor atuação dos alunos na aprendizagem de um dado conteúdo. 6 Nessa pesquisa, ao nos referirmos aos anos de escolaridade do Ensino Fundamental, usaremos a nomenclatura atual, por exemplo, a 8ª série se refere ao atual 9º ano.

36 34 As pesquisas de Maia (2007) e Benedetti (2003) enfatizam as potencialidades do uso de um software no ensino e na aprendizagem do conceito de função como, por exemplo, as visualizações simultâneas das representações gráfica, tabular e algébrica de um mesmo objeto matemático; as diversas simulações gráficas realizadas por meio da manipulação de seletores disponíveis no software; a construção do conhecimento privilegiada pelas interações entre aluno, professor, pesquisador e as próprias mídias. Ballejo (2009) fez uma análise de três livros didáticos e concluiu que nenhum deles traz abordagens diferenciadas para o estudo de polinômios e, ainda, teceu uma crítica ao fato de não apresentarem atividades cuja resolução possa ser feita com o recurso do computador, como já existem em livros nos Estados Unidos. Isso posto, empenhou-se em utilizar o software GeoGebra com desígnio de auxiliar alunos a superarem algumas dificuldades em relação a funções polinomiais de graus 1, 2 e 3, tais como, relacionar essas funções com suas respectivas representações gráficas; identificar o motivo das raízes estarem sobre o eixo das abscissas; presumir a relação entre a intersecção dos gráficos com os eixos; e o termo independente da função. Para tanto, a autora desenvolveu sua pesquisa focada no estudo de funções polinomiais de 2º e 3º graus como produto de funções de 1º grau, a fim de analisar o termo independente e os zeros das funções, utilizando como recurso o software GeoGebra. Elaborou três sequências de atividades que foram aplicadas em três encontros, de cinquenta minutos cada, a vinte e oito alunos do 3º ano do Ensino Médio de uma escola particular de Porto Alegre, dispostos em doze duplas e quatro preferiram trabalhar individualmente. A autora baseou seu instrumento de coleta de dados nos pressupostos da Engenharia Didática (ARTIGUE, 1996). Analisando os resultados, Ballejo (2009) afirma ter atingido seus objetivos com os alunos, uma vez que eles apresentaram compreensão dos conceitos em questão, desenvolvimento da autonomia, confiança, fizeram conjecturas, enfim, foram bem participativos durante a construção do conceito de funções polinomiais. Deixa como sugestão que professores repensem a prática docente, busquem atualizações e o aperfeiçoamento das aulas.

37 35 Diferentemente de nossa pesquisa em que aplicaremos nossas atividades com alunos da primeira série do Ensino Médio, analisando nossos dados à luz do quadro teórico dos Três mundos da Matemática. Por meio das janelas de Visualização e de Álgebra disponíveis no GeoGebra, proporcionaremos aos alunos a visualização simultânea da representação gráfica e algébrica da função. De maneira geral, focamos os objetivos de nossas atividades na compreensão da relação entre as variações dos coeficientes da função com gráfico e a expressão algébrica. Scano (2009) fez um levantamento das questões aplicadas pelo Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (SARESP) de 2005, que abordaram o conceito de função, e, baseando-se no relatório pedagógico do SARESP de 2007 cujos índices assinalados foram baixos, constatou que alunos, de diferentes níveis de escolaridade, apresentaram dificuldades para representar uma função gráfica e algebricamente, relacionar os coeficientes com a função afim, bem como, de reconhecer a relação de dependência entre as variáveis e o cálculo da taxa de variação. Na tentativa de contribuir para o avanço na apreensão do conceito de função, o autor se propôs a desenvolver uma sequência de ensino, baseada nos princípios da Engenharia Didática de Artigue (1988), fundamentada pela Teoria das Situações Didáticas (BROUSSEAU, 1986) e da Teoria dos Registros de Representações Semióticas (DUVAL, 1999), mediada pelo uso do software GeoGebra, para dezessete alunos, dispostos em sete duplas e um trio, do 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola particular situada no município de Vargem Grande Paulista, na região da Grande São Paulo. A pesquisa apoiou-se em duas questões, a saber: Nossa sequência de ensino contribuirá para que os alunos expressem algébrica e graficamente a dependência de duas variáveis de uma função afim? Após a aplicação da sequência de ensino, os alunos reconhecerão que o gráfico de uma função afim é uma reta e conseguirão relacionar os coeficientes da equação da reta com o gráfico? (SCANO, 2009, p.33) Scano (2009) aplicou dezoito atividades separadas em quatro etapas, com duração de duas aulas de cinquenta minutos cada, sendo a primeira,

38 36 composta pelas quatro atividades iniciais, no ambiente papel e lápis, com objetivo de proporcionar a compreensão da representação algébrica da função afim, realizando generalizações. Na segunda etapa, aplicou oito atividades utilizando o GeoGebra, cujo objetivo era explorar a representação gráfica da função afim e a determinação dos coeficientes a e b da equação da reta. Na terceira etapa, aplicou uma atividade, com o recurso gráfico do GeoGebra, a fim de explorar a variação dos coeficientes a e b da equação e o comportamento da reta. Na última etapa, aplicou cinco atividades, individualmente, no ambiente papel e lápis, com intuito de verificar se os alunos utilizariam os conhecimentos aprendidos para a resolução de novas situações. Analisando as respostas dos alunos, por meio dos protocolos das atividades, o autor pôde concluir que sua sequência de ensino contribuiu para o avanço na aprendizagem do conceito de função, pois os alunos realizaram as atividades com facilidade e, na etapa final, aplicaram os conhecimentos apreendidos na resolução de novas situações que envolvem função. Além do estudo da função afim, estendemos nossa pesquisa para análises das funções quadráticas, exponencial e logarítmica pelo fato de estarmos provendo adaptações dos cadernos, volumes 2 e 3, integrados a nova Proposta Curricular de São Paulo SOBRE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS Em nossa pesquisa, optamos por um olhar mais aprofundado para as funções exponenciais e logarítmicas por entender que são estas as funções menos abordadas em pesquisas na área de Educação Matemática. Então, relatamos algumas pesquisas que julgamos serem pertinentes ao tema e que utilizaram ou não a tecnologia como recurso pedagógico. Na tentativa de inovar o estudo de Função, Limites e Derivadas, a fim de viabilizar a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral no ensino superior, levando em consideração a ideia de que o professor tem que mudar de postura

39 37 e acreditar que o computador pode sim construir o conhecimento, Alves (2010) lança uma pergunta que vai situar sua pesquisa: Como a utilização de Tecnologias Informacionais e Comunicacionais pode contribuir/redirecionar o ensino de Funções, Limites e Continuidade em disciplinas de Introdução ao Cálculo? (ALVES, 2010, p.50). O autor elaborou uma sequência didática, baseada em Zabala (1998), composta por dez atividades, sendo que, para análise dos dados, ele escolheu apenas cinco delas, a saber: funções exponenciais e logarítmicas; funções polinomiais; existência de limites e limites laterais; limites fundamentais, infinitos e no infinito; e continuidade, por julgar estas as mais consistentes para responder a sua questão norteadora. Essa sequência didática foi aplicada a dezesseis alunos da primeira série de Licenciatura em Matemática, da Universidade Federal de Ouro Preto, de forma individual, com auxílio do software GeoGebra, por ser um software de domínio público e de fácil manuseio. Dentre estas cinco atividades, o autor percebeu que os alunos não apresentaram dificuldades para identificar o crescimento ou decrescimento da função exponencial, associado à base da função. Porém, não aconteceu o mesmo para a função logarítmica, em que as dificuldades ocorridas foram para determinar o crescimento ou decrescimento da função, de acordo com a base; para trabalhar com as propriedades da mudança de base dos logaritmos; e para identificar a relação entre as funções inversas, exponencial e logarítmica. Além disso, nas atividades sobre polinômios, houve dificuldades para fatorarem os polinômios e para construírem os gráficos de funções definidas por mais de uma sentença. As atividades foram aplicadas durante todo o 2º semestre, concomitantemente com o conteúdo lecionado pelo professor da turma. Ao final, entraram na composição da nota (Média Final) para aprovação e/ou retenção dos alunos. Segundo o autor, apenas um aluno apresentou rendimento insatisfatório, precisando fazer a prova final, como recuperação de todo o conteúdo.

40 38 Para o autor, o uso do software GeoGebra para a realização das atividades proporcionou aos alunos melhor visualização do comportamento dos gráficos, por meio da movimentação dos seletores e, consequentemente, variação dos parâmetros, acarretando formulação de conjecturas e uma boa interpretação dos gráficos, bem como, das propriedades das funções. Por meio do recurso do software, os alunos puderam criar pontos sobre os gráficos e movimentá-los, a fim de explorar as relações de limites laterais, por exemplo. Além disso, destaca a mudança na postura dos alunos, que deixa de ser passiva, para ser ativa, questionadora e autônoma dentro da sala de aula. Por fim, Alves (2010) conclui que é possível adequar o conteúdo de Funções, Limites e Continuidades a ambientes computacionais, desde que o professor repense sua prática docente, para que saia da postura de transmissor do saber e assuma uma postura de orientador, estimulando o aluno na construção ativa de seu próprio conhecimento. Essa pesquisa de Alves (2010) vem ao encontro da nossa em relação aos objetivos propostos nas atividades das funções exponenciais e logarítmicas, isto é, de fazer com que os alunos minimizem as dificuldades em classificar as funções em crescente e decrescente; em compreender a propriedade da mudança de base na função logarítmica; em identificar a existência da relação entre as funções exponencial e logarítmica como sendo uma a inversa da outra. Além disso, a dinâmica, descrita pelo autor, sobre o uso do software em relação à aprendizagem do aluno, nos motivou pela escolha do GeoGebra. Porém, nossa pesquisa tem um diferencial que é adaptar as atividades do CAM para o uso do software, a fim de promover a integração da nova Proposta Curricular de São Paulo como o ambiente computacional. Vemos que Alves (2010) percebe a possibilidade de adequação dos conteúdos de Cálculo para o uso do GeoGebra, e pretendemos analisar essa possibilidade para as atividades do CAM. Já Karrer (1999) trabalhou com situações-problema para a introdução do conceito de logaritmo, utilizando a calculadora como recurso, com a finalidade de auxiliar alunos na superação das dificuldades relacionadas à compreensão, interpretação e aplicação do logaritmo como ferramenta para resolverem as

41 39 equações exponenciais. Outras dificuldades apontadas são em relação ao entendimento de potenciação, principalmente para expoentes racionais; à interpretação e resolução de problemas que envolvem a função exponencial; à compreensão da relação existente entre função exponencial e logarítmica como sendo funções inversas. Segundo a autora, ao analisar seis livros didáticos, observou que, na maioria deles, a introdução do conceito de logaritmo se fazia pela definição como sendo a função inversa da exponencial; e que não abordavam problemas contextualizados e nem exercícios de estimativas. Amparada pelas contribuições da Psicologia Cognitiva dadas por Piaget, Vygotsky e Vergnaud e, também, pelas ideias da linha francesa da Didática da Matemática, a autora elaborou quatro fichas de exercícios, que contemplavam exercícios básicos de exponencial e de logaritmo e situações-problema. Aplicou-as, como um estudo piloto, a três alunas da primeira série do Ensino Médio de um colégio da rede particular de São Bernardo do Campo. Por meio da análise dos resultados, fez pequenas modificações nessas atividades que compuseram a sua sequência de ensino. A autora se fez valer da seguinte questão [ ] estudar se a introdução do conceito de logaritmo a partir de problemas desafiadores e significativos, nos quais o mesmo assume o papel de ferramenta de resolução de uma equação exponencial, favorece a formação de seu conceito (KARRER, 1999, p.5). Empenhada na busca pela resposta, conduziu a aplicação desta sequência em três fases, a saber: na primeira fase, foi aplicado um pré-teste para dois grupos de alunos, sendo um, chamado de grupo experimental, composto por dezesseis sujeitos, dispostos em duplas, da primeira série do Ensino Médio, de uma escola da rede particular de ensino de São Paulo; e o outro grupo, chamado grupo de referência, composto por vinte e nove sujeitos da primeira série do Ensino Médio de outra escola da rede particular de ensino de São Paulo. Na segunda fase, a sequência foi aplicada para o grupo experimental com auxílio da calculadora científica; já no grupo de referência, prevaleceu uma abordagem tradicional de ensino sobre logaritmos, apresentada nos livros didáticos fornecidos pela escola. Na última fase, os dois

42 40 grupos foram submetidos ao pós-teste para posteriores análises dos dados, lembrando que o grupo experimental continuou usando a calculadora e o grupo de referência teve acesso apenas à tabela de logaritmo decimal fornecida pelo livro. A autora relata que o grupo de referência entregou o pré-teste praticamente em branco, e, por esse motivo, não conseguiu afirmar com precisão o avanço do grupo em relação à aprendizagem do conceito de logaritmo, uma vez que esse grupo só atingiu dois dos oito objetivos propostos pela sequência, referentes a questões técnicas. Porém, o grupo experimental teve um avanço considerável na superação dos erros cometidos no pré-teste, atingindo satisfatoriamente sete dos oito objetivos. Mensurando estes resultados, pode-se dizer que o equivalente a mais de dois terços dos sujeitos do grupo experimental tiveram um avanço e, ainda, teriam condições para serem aprovados segundo critério escolar, devido sua média de acerto ser igual ou superior a 75% da avaliação. Já o grupo de referência está bem longe disso, ou seja, dentre os vinte e nove sujeitos, três acertaram acima de 50%, sete acertaram cerca de 50%, e os outros dezenove tiveram um desempenho insatisfatório, equivalente a 25% da avaliação. Resumidamente, nesse grupo, apenas um terço dos sujeitos teriam condições de serem aprovados de acordo com critério escolar. Essa análise apresentada por Karrer (1999), nos incentiva a buscar essa adaptação de atividades do CAM para uso com um software, visto que os alunos podem ter oportunidade de aprender de forma dinâmica e motivadora, com auxílio de outros materiais pedagógicos, acarretando maior sucesso nas avaliações e, consequentemente, no entendimento de função. Por esse motivo, reforçamos a relevância de nossa pesquisa cujo objetivo é adaptar as atividades propostas no Caderno do Aluno para que ele possa sair do ambiente papel e lápis e adentrar num ambiente mais dinâmico e motivador, que é o computacional. Por meio dos recursos que o software GeoGebra oferece, como por exemplo, o uso de seletores, o aluno poderá variar os valores dos parâmetros na função e observar o comportamento do gráfico, da equação algébrica, interpretando, analisando e conjecturando sobre

43 41 as propriedades e, com isso, estará apreendendo melhor o conceito de logaritmo. Santos (2011) elaborou uma sequência didática com objetivo de explorar o conceito de função logarítmica, por entender que esta função é pouco estudada por alunos no Ensino Médio, segundo conversa informal com professores da rede pública, que alegam que o ano letivo termina rápido, e que o bimestre, no qual está inserido o conteúdo, não é suficiente. A autora ressalta a importância desse conceito que se faz presente no estudo de alguns fenômenos naturais, tais como ph de soluções químicas, escalas para medir a intensidade de terremotos, entre outros (SANTOS, 2011, p.22). Segundo Santos (2011), esses professores, em suas aulas, apontaram que os alunos têm dificuldades em localizar pontos no plano cartesiano, operar com as propriedades da potenciação, regras de sinais e, até mesmo, realizar uma divisão; transformar representações do registro algébrico para representações do registro gráfico, por meio do preenchimento de tabelas, pois fazem a substituição errada na expressão algébrica, dos valores do domínio da função, para o cálculo da imagem. A autora relata a dificuldade dos alunos em articular a conversão entre os registros gráfico, algébrico e língua natural. Com intuito de minimizar tais dificuldades, elaborou o instrumento de coleta de dados de sua pesquisa, apoiando-se nos pressupostos da Engenharia Didática (ARTIGUE; DOUADY; MORENO, 1995), e fundamentando-se pela Teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2009) e por Processos do Pensamento Matemático Avançado (DREYFUS, 2001), mediado pelo uso do software GeoGebra e da calculadora científica. Nortearam esta pesquisa as seguintes questões: 1. Os alunos com a sequência didática proposta neste trabalho conseguem reconhecer alguns elementos fundamentais para o estudo da função logarítmica, tais como domínio, imagem e esboço do gráfico? Em que medida? Quais as dificuldades encontradas? Quais avanços percebidos? 2. O uso do software GeoGebra como estratégia didático-pedagógica no estudo da função logarítmica contribuiu ou não para a aprendizagem dos alunos? (SANTOS, 2011, p.24). Participaram da pesquisa seis alunos, dispostos em três duplas, do 3º ano do Ensino Médio de uma escola pública da rede estadual de São Paulo no

44 42 município de Itaquaquecetuba. Foram realizados oito encontros, fora do período regular de aula, com duração máxima de duas horas cada, para responderem as quatro sessões de atividades, realizadas no laboratório de informática da escola. A autora fez pequenas adaptações do Caderno do Professor Matemática, da primeira série do Ensino Médio, volume 3, para atender a sua fundamentação teórica (Duval). Inseriu o conteúdo da sua sequência na mesma ordem em que se encontra naquele caderno: noção de potência, exercícios de exponencial e logaritmo, função logarítmica. Com isso, muitas de suas atividades dariam para ser resolvidas num ambiente papel e lápis. Por exemplo, em uma de suas questões, os alunos tiveram que construir um gráfico em um quadriculado oferecido no próprio protocolo. Utilizou o GeoGebra apenas em algumas questões para a construção dos gráficos, para que os alunos observassem o comportamento das curvas, principalmente para estudar a função inversa. Santos (2011) relata que, apesar das dificuldades com potenciação, interpretação de enunciados, mudanças do registro algébrico para o registro gráfico, os alunos avançaram suas concepções, principalmente com auxílio da calculadora e do software que proporcionou a eles a visualização gráfica da função. Já em nossa pesquisa, priorizamos nas atividades o mesmo conteúdo do caderno, com os objetivos nele citados, porém explorados integralmente no ambiente computacional, por meio das potencialidades oferecidas pelo software, acreditando que o auxílio desse ambiente possa trazer maiores discussões e produções de conhecimento. Dominoni (2005) elaborou uma sequência de atividades, fundamentada na teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 1993), com objetivo de auxiliar alunos na compreensão do objeto matemático Função Exponencial por meio da articulação entre os diferentes registros de representação, tais como, o tabular, gráfico e algébrico e, ainda, a linguagem natural. Dispostos em duplas, responderam às atividades dezesseis alunos da primeira série do Ensino Médio de uma escola particular da cidade de Arapongas, Paraná.

45 43 A autora fez um levantamento bibliográfico e, juntamente com a experiência dela em sala de aula, percebeu que a maioria das dificuldades relacionadas à aprendizagem dos alunos, sobre o conceito de Função Exponencial, se deve ao fato de que eles não conseguirem fazer as conversões de maneira correta entre os registros tabular, gráfico e algébrico de uma mesma função. Além disso, relatou a importância de se promover atividades que permitam que o aluno faça ligações entre esses registros de representação seja por meio de tabelas, fórmulas, diagramas, manipulações algébricas ou gráficas. Dominoni (2005) se baseou nos princípios da Engenharia Didática (ARTIGUE, 1996), e dividiu seu experimento em duas fases, sendo a primeira composta por sete atividades realizadas com intervenção da pesquisadora quando necessário, que utilizava os recursos giz, lousa, calculadora e exercícios similares para explicação das dúvidas surgidas durante a aplicação da sequência. A segunda fase foi direcionada para a realização de seis atividades, sem consulta a qualquer material didático, anotações ou, ainda, ajuda da pesquisadora. Os resultados apontaram outras dificuldades, além das citadas acima, a respeito da conversão entre os diferentes registros de representação de função como, por exemplo, trabalhar com potências cujo expoente é negativo ou a base um número fracionário e, também, com equações exponenciais. Além disso, apresentaram dificuldades no cálculo de porcentagem e na construção dos gráficos porque não souberam dimensionar as escalas nos eixos x e y, localizando os pares ordenados e, consequentemente, traçar a curva. Ainda, os alunos não perceberam que a função translada verticalmente em algumas situações. Dominoni (2005) constatou que os alunos conseguiram classificar as funções em crescente ou decrescente e fazer a conversão do registro tabular para o registro gráfico. Porém, foi grande a confusão na conversão dos registros tabular, gráfico e língua natural para o registro algébrico. A autora concluiu que seria preciso fazer muitas outras atividades que explorassem o estudo de potenciação e porcentagem e, ainda, elaborar atividades que enfatizassem mais a conversão do registro gráfico para o algébrico antes do início da aplicação dessa sequência, pois sozinhos, isto é,

46 44 espontaneamente, os alunos não tiveram iniciativa para encontrar caminhos para a resolução das atividades, havendo a necessidade da ajuda da pesquisadora, que utilizou exemplos similares para explicar tais conteúdos, minimizando as dúvidas. Percebemos que, com intervenção da professora-pesquisadora, os alunos conseguiram realizar as atividades, guiados por exemplos resolvidos. Em nossa pesquisa, como temos um propósito de adaptar atividades do CAM para uso do software, verificando se, por meio delas, ocorre a aprendizagem do conceito de função, não vamos intervir durante a realização do experimento, isto é, aplicaremos as atividades e, se necessário for, faremos o redesign das questões até que os alunos consigam resolvê-las satisfatoriamente. Lima (2009) propôs analisar a atuação de dois professores de Matemática, de uma escola pública estadual de São Paulo, na aplicação da sequência didática elaborada por ele, junto a 80 alunos de Ensino Médio. Segundo relato desses dois professores, eles não utilizam a sala de informática como suporte por causa da falta de apoio técnico e de softwares educacionais, bem como, da quantidade de computadores ser insuficiente para o número de alunos presentes na sala de aula. Por exemplo, nessa escola, funcionam apenas dez computadores no laboratório de informática, sendo as turmas compostas, em média, por quarenta alunos. Fundamentado pelo trabalho de Simon sobre trajetórias hipotéticas de aprendizagem (THA), e com o objetivo de elaborar uma THA que envolva situações contextualizadas, interdisciplinares e de construção por meio de atividades e resolução de problemas para que o aluno possa aplicar seu conhecimento em situações do cotidiano, em outras áreas de conhecimento e internas à própria matemática (LIMA, 2009, p.17), o autor dividiu a aplicação da sequência didática em quatro momentos, a saber: o primeiro foi destinado a atividades de revisão sobre potenciação e resolução de equações exponenciais; o segundo foi composto pela aplicação de três atividades que contemplavam exercícios de resolução de logaritmos com auxílio do uso da calculadora; o terceiro abordava a resolução de duas atividades que envolveram as propriedades dos logaritmos, bem como a construção da condição de existência; o último foi composto por uma atividade

47 45 que abordava a construção gráfica das funções exponencial e logarítmica, realizado no laboratório de informática da escola, com auxílio do software Winplot, a fim de que os alunos percebessem as relações existentes entre elas. Ao final das aulas, os professores colaboradores aplicaram uma avaliação escrita, elaborada por Lima (2009b), que foi dividida em duas partes: a primeira composta por exercícios que objetivavam o reconhecimento e a utilização de grandezas expressas pela lei da função do tipo na resolução de situações-problema. A segunda parte contemplava mais exercícios de cálculo de logaritmos objetivando o estudo do conceito de logaritmo de um número. Lima (2009) levantou três questões norteadoras para sua pesquisa: a) Como compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com o planejamento de ensino, no caso particular das funções logarítmicas? b) Como podem ser propostas e desenvolvidas em sala de aula situações didáticas de aprendizagem, que explorem contextos do cotidiano de outras áreas do conhecimento e da própria Matemática? c) Que atuação pode ter um professor de Matemática ao abordar o tema funções logarítmicas, quando se pretende que os alunos sejam protagonistas na construção de suas aprendizagens? (LIMA, 2009, p. 19). Com intuito de responder às questões, Lima (2009) fez uma análise de dois livros didáticos e da Proposta Curricular de São Paulo (2008) para averiguar como é feita a abordagem desse conteúdo por outros autores. Além disso, fez a revisão bibliográfica percebendo que a maioria das pesquisas analisadas relatam as mesmas dificuldades apresentadas por alunos quando o conteúdo estudado se refere ao logaritmo como, por exemplo, as regras de potenciação; resolução de equações de 1º e 2º graus e exponenciais; construção e interpretação de gráficos, uma vez que os alunos não sabem dimensionar as escalas dos eixos x e y; determinação do domínio, imagem e função inversa. O pesquisador atuou como observador, fazendo os registros escritos e gravações de áudio dos acontecimentos e diálogos entre professor e alunos. Ele elaborou uma THA com atividades envolvendo situações-problema, interpretação e construção de gráficos. Essas atividades foram reformuladas de

48 46 acordo com as sugestões dos dois professores colaboradores da pesquisa. Após a finalização da aplicação, considerando a análise dos dados, o autor fez a terceira versão das atividades seguidas de estratégias para aplicação, a fim de disponibilizá-las para o uso dos professores que quiserem fazer um estudo diferenciado sobre esse tema. Os resultados da pesquisa de Lima (2009) apontaram que, além das dificuldades já mencionadas por meio da revisão bibliográfica dele, surgiram aquelas relacionadas à interpretação de texto; conversão da língua natural para a linguagem algébrica nos problemas; utilização equivocada da condição de existência dos logaritmos; uso inadequado da calculadora para resolução dos logaritmos, muitas vezes, por falta de conhecimento; problemas na manipulação algébrica como, por exemplo, aquelas em que o logaritmo não se apresenta isolado em um dos membros da equação. Além disso, o autor aferiu que menos da metade das duas turmas conseguiu reconhecer e fazer uso de grandezas expressas pela lei da função logarítmica na interpretação e na resolução das situações-problema, pois eles escolhem caminhos que não são os logaritmos para a resolução dos exercícios e, ainda, resolver questões que abordavam o uso das propriedades logarítmicas. Já para a resolução das questões de cálculo dos logaritmos, mais da metade das turmas conseguiram executar corretamente a tarefa, alegando que esse tipo de exercício estava mais próximo dos exercícios que estão habituados a resolver em sala de aula. Vale ressaltar que, na sala de informática, as atividades foram realizadas em grupos de até quatro alunos pelo motivo da disponibilidade dos computadores e que, nessa pesquisa, houve a intervenção dos professores colaboradores a todo instante que lhes era solicitado ajuda. Somente dessa maneira, os alunos conseguiram compreender, por exemplo, a relação de função inversa existente entre as funções exponencial e logarítmica; classificar as funções em crescente e decrescente, identificando o domínio e a imagem de cada uma delas. O pesquisador observou que, na sala em que o professor tinha uma postura de deixar os alunos mais à vontade para a resolução dos exercícios,

49 47 eles perderam o interesse em resolver as atividades, esperando a resolução que era feita na lousa após o tempo estipulado. Já na sala do professor que tinha uma postura de cobrança maior, perguntando a todo instante como resolvia os exercícios, despertou entre os alunos o instinto de competição de modo que cada um deles queria ser o primeiro a resolver as atividades, antes da resolução na lousa. Dessa forma, o autor concluiu que O papel do professor é fundamental para o processo de aprendizagem, pois como ele atua tendo em mãos uma sequência de atividade é mais determinante do que a própria atividade no que diz respeito a uma perspectiva construtivista. Nenhum resultado é possível se o professor não entende os objetivos da atividade para aprendizagem dos alunos e as utiliza de maneira equivocada (LIMA, 2009, p.188). Lima (2009) relata, ainda, que as atividades que exploram o raciocínio e a interpretação de texto em situações-problema quase não fazem parte da rotina de uma aula de Matemática, assim como, o uso de um ambiente informatizado. O autor comenta que seria preciso que os professores utilizassem mais esse recurso em sua prática docente, uma vez que foi aferido que o ápice no interesse dos alunos ocorreu na resolução das atividades realizadas com auxílio do software. Destacamos que o autor fez uma reflexão sobre a postura do professor no processo de ensino e de aprendizagem dos conteúdos matemáticos enfatizando a necessidade de uma possível mudança, isto é, sair da condição de transmissor do saber para mediador ; o que acarretará, também, uma possível mudança na postura do aluno, isto é, passará de sujeito passivo para sujeito ativo na construção do conhecimento. Souza (2010) elaborou uma sequência de ensino composta por quatro atividades extraídas da Situação de Aprendizagem 1 presentes no Caderno do Professor Matemática (2008), volume 3, da primeira série do Ensino Médio, que abordavam o estudo da função exponencial e aplicou para quatorze alunos da 2ª série do Ensino Médio, de uma escola da rede pública estadual de São Paulo, dispostos em duplas, a fim de verificar as concepções deles após terem estudado essa função na 1ª série. A autora utilizou os ambientes papel e lápis para a resolução das atividades xerocopiadas com auxílio da calculadora científica; e o computacional com auxílio do software GeoGebra apenas para

50 48 plotagem de gráficos da função exponencial. Os resultados apresentados por ela evidenciaram as dificuldades dos alunos para operarem as potências cujo expoente fosse um número racional ou com a base negativa e decimal; dificuldades para converterem o registro algébrico para o registro gráfico; construções gráficas erradas, tendendo ao gráfico de uma reta, devido às irregularidades nas escalas dos eixos x e y. Além disso, percebeu que a calculadora facilitou o tratamento dos registros e que os alunos partem do registro algébrico para o registro tabular e, por sua vez, para o registro gráfico. Destacamos que Oliveira (2005) também elaborou uma sequência didática que contribuísse para o estudo de logaritmo e revelou que, em geral, os alunos apresentaram dificuldades em relacionar a base de um sistema de logaritmos com a razão das progressões; compreender a correspondência entre as médias aritmética, geométrica e os logaritmos; e operar potências com expoente racional, na representação decimal. Entretanto, os alunos conseguiram determinar a condição de existência dos logaritmos para o conjunto dos números reais; compreender as propriedades operacionais dos logaritmos; reconhecer que o logaritmo transforma uma operação em outra de menor nível (OLIVEIRA, 2005, p. 84). Entre outros fatos, a autora concluiu que a construção de um conceito é um processo lento que exige a exploração contínua por meio da apresentação de situações-problema que explorem os diferentes aspectos desse conceito (OLIVEIRA, 2005, p.104). Silva (2012), guiado pela metodologia da Engenharia Didática (ARTIGUE, 1996) e pressupostos da pesquisa qualitativa (FLICK, 2006), elaborou uma sequência de atividades que fosse útil como uma ferramenta para auxiliar o professor em sala de aula, no ensino de funções exponencial e logarítmica, composta por situações-problema aplicadas a fenômenos naturais que proporcionasse a interdisciplinaridade, tais como, o crescimento populacional de bactérias, cálculo de juros compostos (Matemática Financeira), ph de soluções químicas, cálculo da intensidade de terremotos, entre outros, a fim de evitar abordagens tradicionais em que se predomina a aula expositiva, giz e lousa, exercícios exaustivos com repetição de algoritmos ou técnicas, conforme apontou o levantamento feito no livro didático, a fim de valorizar mais situações em que se privilegie o raciocínio e a expressão dos alunos e, não, a

51 49 mera memorização de conteúdos. Essas atividades foram resolvidas nos ambientes papel e lápis, com auxílio da calculadora, objetivando proporcionar aos alunos a conversão entre representações dos registros da língua natural, algébrico e gráfico; e no computacional para aplicação de uma atividade que objetivava a apresentação dos gráficos das funções exponencial e logarítmica, a fim de comparar as relações existentes entre elas. Um olhar sobre as pesquisas já realizadas foi lançado pelo autor com intuito de encontrar lacunas no ensino ou na aprendizagem de funções, alvo do estudo dele, e fundamentado nas teorias de Vergnaud (1982, 1996) sobre Campos Conceituais e Duval (1996, 2003, 2009) sobre as Representações Semióticas, formulou uma pergunta norteadora para a pesquisa: Apresentar o conceito de função, a partir da análise de fenômenos e tabelas, envolvendo relações entre grandezas, contribui na compreensão e aprendizagem de funções logarítmicas e exponenciais? (SILVA, 2012, p.17). Baseado nas leituras realizadas e na experiência em sala de aula, o autor relatou que as dificuldades mais frequentes dos alunos condizem aos conteúdos considerados básicos na Matemática como, por exemplo, a falta de domínio em operar com números decimais e sua representação na forma fracionária. Assim, ele aplicou uma aula de revisão de potenciação antes do início do experimento de ensino, para que os alunos minimizassem as dúvidas e conseguissem resolver as atividades propostas que eram compostas por problemas que envolviam a relação entre grandezas por meio de análises de tabelas numéricas e interpretação da representação gráfica. Participaram da pesquisa de Silva (2012), vinte e seis alunos, dispostos em grupos médios de três ou quatro, da primeira série do Ensino Médio do Instituto Federal do Rio Grande do Sul. Foram realizados, com intervenção do professor-pesquisador, cinco encontros vídeo gravados, sendo o último destinado à aplicação de uma avaliação escrita cujo objetivo era averiguar a aprendizagem dos alunos sobre o conceito de domínio, imagem, crescimento e decrescimento de funções exponencial e logarítmica. Os resultados da pesquisa de Silva (2012) apontaram que a maioria dos grupos conseguiu elaborar a lei matemática que modelava cada situação; na análise gráfica conseguiram identificar as variáveis do problema e a noção de

52 50 crescimento e decrescimento das grandezas; os alunos apresentaram, ainda, dificuldades em porcentagem e regras de potência; eles utilizaram uma função do 1º grau para representar a lei da função exponencial nos problemas que abordavam o crescimento populacional por constar a informação de que a cada hora a população dobrava ou triplicava; os alunos identificaram corretamente as variáveis dependente e independente, porém apresentaram dificuldades em executar cálculos algébricos e para expressarem matematicamente a relação entre as grandezas; alguns alunos também apresentaram dificuldades em transitar entre as representações semióticas desenvolvidas nos problemas. Entretanto, após a intervenção do professor pesquisador as duplas conseguiram modelar corretamente as situações envolvidas com as funções exponencial e logarítmica. O autor acredita que sua pesquisa tenha contribuído no sentido de desenvolver uma ferramenta para auxiliar os professores em sala de aula no que se refere ao ensino e a aprendizagem dos conceitos de funções exponencial e logarítmica, pois, além de trabalhar com situações mais próximas do cotidiano do aluno, ele utilizou um software para apresentações, visualizações das propriedades e construções gráficas que despertou o interesse dos alunos e, ainda, propiciou o diálogo entre o grupo, a formulação de hipóteses e a validação das conjecturas. Por meio de uma síntese dos autores, descritos neste capítulo, as dificuldades mais comuns observadas nas pesquisas foram a confusão existente entre função e equação; a identificação de uma função como uma relação de dependência entre duas variáveis; a classificação dela em crescente, decrescente e constante; conflito na compreensão das diversas representações de funções provenientes dos registros gráfico, algébrico, tabular, língua natural; identificação da variável f(x) como sendo a dependente e, x como a independente; função definida por várias sentenças; compreensão do domínio, contradomínio e imagem; entre outras. Especificamente sobre as funções exponenciais e logarítmicas, alvo de nossa análise de dados, as dificuldades mais comuns apresentadas por alunos de séries variadas, levantadas pelos autores, foram a operação com potências que exibem na base ou no expoente números negativos, decimais ou

53 51 fracionários; a construção do gráfico dessas funções pelo simples fato de que os alunos não sabem dimensionar as escalas nos eixos x e y do plano cartesiano e, por conta disso, os gráficos tenderam a retas; a conversão dos registros da língua natural ou gráfico para o registro algébrico, isto é, elaborar a expressão algébrica das funções exponenciais e logarítmicas; e manipular essas expressões algébricas, principalmente quando o y não está isolado em um dos membros da equação. Visando amenizar tais dificuldades, pretendemos contribuir para a aprendizagem do conceito de funções polinomiais de 1º e 2º graus, exponencial e logarítmica, adaptando atividades do CAM, para o uso de um software, objetivando promover a integração entre a nova Proposta Curricular de São Paulo e o ambiente computacional. Além disso, alguns autores reforçam a ideia de que é preciso rever as posturas, do professor e do aluno, nos processos de ensino e de aprendizagem do conceito de função em geral, de modo que o aluno exerça um papel ativo na construção do conhecimento; e o professor, o papel de orientador do saber matemático. Ainda, a maioria dos autores ampararam suas pesquisas na Teoria das Situações Didáticas (Brousseau); na Teoria dos Registros de Representação Semiótica (Duval) e a metodologia da Engenharia Didática (Artigue). Por esse motivo, averiguamos que nossa pesquisa traz uma fundamentação teórica inovadora para auxiliar o estudo de função, que é o quadro teórico dos Três Mundos da Matemática (Tall, 2004), que nos permite fazer uma análise diferente, percebendo coisas diferentes daquilo que os autores perceberam ao utilizarem outro o referencial teórico, por exemplo, a Teoria dos Registros de Representação Semiótica (Duval). No próximo capítulo, descreveremos as vertentes estabelecidas para o ensino no Estado de São Paulo, na área de Matemática, presente na Proposta Curricular do Estado de São Paulo.

54 52 CAPÍTULO 3: A PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO Nesse capítulo, apresentamos as diretrizes para o ensino no Estado de São Paulo, da disciplina Matemática, de acordo com a Proposta Curricular de São Paulo. Além disso, fizemos uma análise das atividades sugeridas no Caderno do Aluno Matemática, e apresentamos os objetivos propostos em cada Situação de Aprendizagem presente no Caderno do Professor. A nova Proposta Curricular de São Paulo foi elaborada com o objetivo de unificar o currículo das escolas da rede pública do Estado de São Paulo. De acordo com a Secretaria de Educação do Estado de São Paulo (SEE/SP) seu dever é garantir a todos uma base comum de conhecimentos e competências, para que as escolas funcionem de fato como uma rede (SÃO PAULO, 2008, p.8). Moura (2010) recorda que, no início do ano letivo de 2008, a SEE/SP enviou, para todas as escolas da rede pública, um primeiro material em formato de Jornal para professores e alunos, com conteúdos determinados como requisitos mínimos para o desenvolvimento de habilidades matemáticas, de leitura e de produção de textos; uma revista intitulada Revista do Professor, a fim de subsidiar o professor na aplicação das atividades durante as aulas; e vídeos tutoriais, para auxiliar os gestores na distribuição e na aplicação desse material, durante um período de 42 dias, nomeado como período de recuperação. O material usado nesse período de recuperação contribuiu para a aprendizagem de habilidades básicas de Língua Portuguesa e de Matemática, necessárias para a interação do aluno com o restante da Proposta Curricular, no processo de implantação. Assim, foram nomeados alguns princípios centrais para a estruturação da nova Proposta Curricular, a saber: uma escola que também aprende; o currículo como espaço de cultura; as competências como eixo de aprendizagem; a prioridade da

55 53 competência de leitura e escrita; a articulação das competências para aprender; e a contextualização no mundo do trabalho. (SÃO PAULO, 2008, p.11) Com o avanço da tecnologia, o foco de atenção dos alunos foi se modificando, havendo a necessidade, tanto desses alunos quanto dos professores, de aprender a conviver com essa gama de informações, geradas em alta velocidade, atreladas aos princípios da cidadania. Para tanto, a escola deixa de ser vista como instituição que ensina para posicioná-la como instituição que também aprende a ensinar (SÃO PAULO, 2008, p.12), pois os gestores devem aprender como formar professores didática e pedagogicamente, e estes, por sua vez, devem aprender como formar alunos ética e culturalmente para se tornarem, ao longo do tempo, cidadãos responsáveis capazes de atuar na comunidade com autonomia e autenticidade. Reforçamos essa ideia com um trecho de um texto exposto na Proposta Como os alunos estão na escola, preparando-se para assumir plenamente sua cidadania, todos devem passar pela alfabetização científica, humanista, linguística, artística e técnica, para que sua cidadania, além de ser um direito, tenha qualidade. (SÃO PAULO, 2008, p.21) Tendo em vista esse propósito, formar para a cidadania, se faz necessário que a escola cumpra o papel de auxiliar alunos no desenvolvimento de competências e de habilidades, nomeadas por esta nova Proposta Curricular e amparadas pela Lei de Diretrizes e Bases LDB (lei 9394/1996), que deslocou o foco do ensino para o da aprendizagem (SÃO PAULO, 2008, p.14), fazendo com que professores repensem o plano de trabalho (rumo ao que o aluno deve aprender e, não, ao que se pretende ensinar), pretendendo garantir a todos igualdade de oportunidades, diversidade de tratamento e unidade de resultados (SÃO PAULO, 2008, p.15). A nova Proposta Curricular enfatiza a importância em se desenvolver a competência leitora e escritora, em todas as disciplinas, de todas as séries, uma vez que acredita que só por meio dela será possível concretizar a constituição das demais competências, tanto as gerais como aquelas associadas a disciplinas ou temas específicos (SÃO PAULO, 2008, p.18). É por intermédio dessa competência que crianças, jovens e adultos adquirem discernimento para relacionarem-se e expressarem-se perante o mundo.

56 54 Quanto mais aguçada se tornar essa competência, melhor desempenho terá o ser humano na conquista pela autonomia. Ressaltamos, ainda, que, por meio desse avanço tecnológico, informações estão disponíveis em todos os lugares (sites, redes sociais, entre outros), de forma rápida e prática, bastando o toque de alguns dedos, porém, de maneira desorganizada e fragmentada. Cabe à escola, por meio de ações educacionais, estimular a curiosidade do aluno pela busca de soluções, orientar, fazer com que ele pense e reflita como deve se apropriar dessas informações, articulando-as para convertê-las em conhecimento, a fim de desenvolver competências e habilidades para reconhecer, identificar e ter visão crítica (SÃO PAULO, 2008, p.21) sobre as coisas do mundo real, caminhando, assim, para a construção da sua identidade como cidadão. A LDB assegura ao aluno educação por um período de mais de doze anos, a alfabetização nas ciências, nas humanidades e nas técnicas (SÃO PAULO, 2008, p.21) e, ao final dessa educação básica, o aluno deve, ainda, demonstrar competências básicas sobre domínios tecnológico e científico, que são necessários para a formação profissional dele e, consequentemente, para a inserção no mercado de trabalho. Dada a importância de ampliar competências e habilidades dos alunos, entendemos que os conteúdos trabalhados no Ensino Médio devem visar uma articulação entre a teoria e a prática, dando relevância aos conceitos estudados, para que não sejam abordados como meros tópicos requeridos em vestibulares, a fim de selecionar ou excluir alunos em faculdades A PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO PARA A DISCIPLINA DE MATEMÁTICA A Proposta Curricular está dividida em áreas, a saber: Linguagens, Códigos e suas tecnologias; Ciências Humanas e suas tecnologias; Ciências Naturais e suas tecnologias.

57 55 A Matemática pode ser considerada como um eixo norteador para o desenvolvimento do raciocínio lógico, indutivo ou dedutivo, senso crítico, capacidade de argumentação, reflexão, interpretação, decisão, abstração, contextualização, formulação de hipóteses, validação, conclusão; enfim, a Matemática contribui para o desenvolvimento das competências básicas necessárias para a formação pessoal do indivíduo, de modo que permita o exercício consciente da cidadania. Para contemplar tais competências, os conteúdos a serem aprendidos foram divididos em quatro grupos temáticos, a saber: números, geometria, grandezas e medidas, e tratamento da informação. Esses temas estão presentes na grade curricular tanto dos anos finais do Ensino Fundamental quanto do Ensino Médio. O diferencial está na ênfase dada no ensino, ou seja, no nível de tratamento e/ou aprofundamento durante a explanação dos conceitos, em cada ano/série, respeitando sempre o grau de maturidade da turma, bem como, os limites individuais de aprendizagem. Pode-se lançar mão da história como um recurso para o ensino, com intuito de contextualizar situações de aprendizagem, tornando-as mais significativas para apreensão de conceitos, a fim de auxiliar alunos a transformarem essas informações em conhecimento. Vale ressaltar que a Proposta Curricular é flexível, por isso, além de permitir a articulação entre conteúdos com maior ou menor escala de aprofundamento, permite ao professor decidir o tempo necessário para se trabalhar um conteúdo, que deve ser coerente com o objetivo em questão, visando sempre o desenvolvimento das competências mencionadas. Por fim, salientamos que, no Ensino Médio, os conteúdos devem focar a retomada de conceitos de maneira mais abrangente, ampliando as ideias e os conhecimentos, rumo à construção de uma linguagem mais culta e formal para expressar os objetos matemáticos estudados. Verificamos que o tema Função, alvo do nosso estudo, é abordado nos anos finais do Ensino Fundamental, com uma escala maior de tratamento no segundo bimestre, no 9º ano. Porém, no terceiro e quarto bimestres, do 7º ano,

58 56 os alunos começam a tomar conhecimento de conceitos relacionados à proporcionalidade direta e inversa entre grandezas; e a introdução de letras para representar valor desconhecido, chegando a conceituar equações. Já no terceiro bimestre, no 8º ano, os alunos aprofundam um pouco mais essa última noção com a resolução de equações do 1º grau e sistemas lineares, em que o foco é a manipulação dos símbolos para encontrar o valor desconhecido; e exploram a noção de gráficos com o estudo de coordenadas de um ponto e sua localização no plano cartesiano. Na primeira série do Ensino Médio, são abordados padrões de regularidade, desencadeando para a generalização. Novamente, com uma escala maior de tratamento, encontramos a manipulação dos símbolos para expressar objetos matemáticos. No entanto, é no segundo bimestre desta série que conteúdos sobre funções são trabalhados detalhadamente e com maior ênfase, como apresentado na Figura 3, especificando a relação entre duas grandezas, a noção de proporcionalidade direta e inversa com o quadrado e as funções polinomiais de 1º e 2º graus. Figura 3: Conteúdo Curricular da primeira série do Ensino Médio, 2º Bimestre. Fonte: SÃO PAULO, 2008, p.57. Também no Ensino Médio, nesta mesma série, porém, no terceiro bimestre, são trabalhados os conteúdos sobre funções Exponencial e Logarítmica, como apresentado na Figura 4 tendo como objetivo principal o estudo do crescimento ou decrescimento da função exponencial, enfatizando o

59 57 significado das potências, estudadas no primeiro bimestre do Ensino Fundamental, no 6º ano (como uma introdução); no 8º ano (com expoentes inteiros); e no 9º ano (com expoentes racionais e reais). Analogamente, o estudo de logaritmos está focado na representação de fenômenos, como, por exemplo, o estudo de escalas de intensidade dos terremotos, ph de substâncias, cálculos de juros, entre outros, cuja variável se localiza no expoente; bem como, na aplicação dele para resolver tais fenômenos. Além disso, há atividades cujo objetivo é a compreensão da relação existente entre a função exponencial como sendo a inversa da função logarítmica. Figura 4: Conteúdo Curricular da primeira série do Ensino Médio, 3º Bimestre. Fonte: SÃO PAULO, 2008, p.58. Optamos por trabalhar com a primeira série do Ensino Médio por termos a flexibilidade para aplicarmos uma escala maior de aprofundamento sobre os conteúdos funções polinomiais de 1º e 2º graus, exponenciais e logarítmicas, objetivando que, por meio das atividades que conseguirmos adaptar para o uso do software, alunos convertam as informações nelas contidas em conhecimento, ampliando sua concepção sobre função, realizando uma jornada por diferentes Mundos da Matemática. Por isso, apresentaremos a seguir, uma noção geral sobre os cadernos do Professor e do Aluno da disciplina Matemática, volumes 2 e 3, da primeira

60 58 série do Ensino Médio, seguidos de uma análise sobre as atividades escolhidas MATERIAL DE APOIO O material de apoio fornecido pela SEE/SP, que integra a nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo é composto por 76 cadernos, multisseriados, para cada disciplina do currículo, de 6º a 9º anos do Ensino Fundamental e de 1ª a 3ª série do Ensino Médio, intitulados como Caderno do Professor e Caderno do Aluno. Os Cadernos do Professor iniciam com uma explanação de alguns fatores fundamentais relacionados à motivação da criação desses cadernos, objetivos, metas a serem alcançadas, baseadas sempre na Proposta Curricular do Estado de São Paulo. Em um desses fatores, enfatizaram que os cadernos foram elaborados com a ajuda de Especialistas da Educação, juntamente com professores que se prontificaram a enviar críticas, reflexões e sugestões sobre as primeiras atividades abordadas por meio do estudo do jornal, promovido pelo Programa São Paulo faz Escola, no início da implantação da Proposta. Baseados nessas críticas, as atividades foram reformuladas, bem como, os objetivos delas, de maneira a promover melhor articulação entre teoria e prática, e de contemplar o desenvolvimento de competências e habilidades necessárias para o desenvolvimento pessoal, rumo ao cumprimento da meta: educação de qualidade, que atenda os objetivos sociais (SÃO PAULO, 2008, s/p). Outro fator importante é o reconhecimento de que as salas são heterogêneas e numerosas, com alunos em diferentes estágios de aprendizagem (SÃO PAULO, 2009c, s/p). Pensando nisso, com objetivo de auxiliar professores em sua prática de sala de aula e de derrubar essa barreira da diversidade, promovendo a aprendizagem de alunos, os cadernos foram elaborados com propostas de atividades, como situações de aprendizagem; estratégias para aplicação; considerações para avaliação;

61 59 algumas sugestões de materiais como, por exemplo, softwares para aprendizagem do objeto matemático em questão, e livros e/ou documentos oficiais para apoio; orientações para recuperação, de forma a retomar conceitos estudados; e considerações finais. Os conteúdos dos Cadernos do Professor Matemática 7 estão agrupados em oito unidades e organizados em quatro situações de aprendizagem. Para cada Situação de Aprendizagem, há um quadro com o tempo previsto para o estudo; conteúdos e temas que serão abordados; competências e habilidades a serem desenvolvidas; estratégias e roteiro para aplicação. Cabe ao professor definir o tempo e a escala de tratamento que dará na abordagem dos conteúdos, por meio das situações de aprendizagem, coerentemente com o nível de amadurecimento de seus alunos. O Caderno do Aluno Matemática (CAM) inicia com algumas recomendações da Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas (CENP) para auxiliar alunos a criarem o hábito de estudo, a fim de que eles consigam se organizar durante o bimestre, não havendo acúmulo de tarefas ou dúvidas. Além disso, delineia um panorama sobre os conteúdos que os alunos vão estudar no respectivo bimestre. Há, ainda, seções de atividades intituladas Você Aprendeu?, Lição de Casa e Pesquisa Individual para os alunos realizarem em sala de aula e em casa. No CPM são apresentadas resoluções de atividades que compõem o CAM. Essas atividades foram elaboradas com textos, mapas, tabelas, gráficos, exercícios mais objetivos e mecanizados por meio de cálculos, porém, existem outras mais contextualizadas para fixação do conceito. Por exemplo, há exercícios em que é apresentado um quadro intitulado Leitura e Análise de Texto (SÃO PAULO, 2009a, p.28), que requer do aluno habilidade e competência, para lê-lo e interpretá-lo, respondendo as questões propostas de maneira a transformar tais informações em conhecimento. Além disso, há outro quadro intitulado Pesquisa Individual (SÃO PAULO, 2009b, p.9), que aborda um tópico matemático em que se pretende despertar a curiosidade do aluno, para pesquisar em casa, como por exemplo, um exercício que utiliza a 7 Ao fazermos menção ao Caderno do Professor da disciplina Matemática usaremos a abreviação CPM.

62 60 calculadora; um gráfico para ser construído com auxílio de um software; entre outros; a fim de auxiliar alunos no avanço de conhecimentos SOBRE A ANÁLISE DAS ATIVIDADES DOS CADERNOS Nossa pesquisa tem como propósito o estudo de funções polinomiais de 1º e 2º graus, exponencial e logarítmica. Apresentaremos um breve esboço e análise das atividades contidas no CAM, volumes 2 e 3, da primeira série do Ensino Médio, que foram utilizadas como parâmetro para adaptação das nossas atividades para o uso do software. Também, utilizaremos os CPM para relatar as orientações para aplicação das Situações de Aprendizagens ANÁLISE DAS ATIVIDADES DOS CADERNOS VOLUME 2 Nos Cadernos do Professor e do Aluno, volume 2, a Situação de Aprendizagem 1 está intitulada como Funções como Relações de Interdependência: Múltiplos Exemplos. O CPM traz orientações para aplicação da Situação de Aprendizagem 1, conforme ilustrada na Figura 5. Figura 5: Diretrizes para Situação de Aprendizagem 1 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Professor Matemática, volume 2, 2009, p.11.

63 61 As atividades da Situação de Aprendizagem 1 tem como objetivos a abordagem dos conteúdos de relacionar grandezas direta e inversamente proporcionais para a introdução do conceito de função, explorando as variáveis dependentes e independentes; e a análise de gráficos, a fim de desenvolver competências e habilidades para a compreensão desses conceitos, contextualizando a noção de função por meio de situações-problema, conforme aponta a Figura 5. No CAM, encontramos, inicialmente, execícios que relacionam pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de tabelas e situações-problema. Por exemplo, na Figura 6 apontamos um problema que envolve proporcionalidade. Figura 6: Atividade 2 da Situação de Aprendizagem 1, da seção Lição de Casa. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno Matemática, 2009, volume 2, p.7 Observamos que essa atividade pode ser resolvida por meio da interpretação de que, a cada um segundo, a pedra cairá 4,9 metros, ou seja, 4,9 é a constante de proporcionalidade. A resolução também pode ser feita por meio de manipulação simbólica, se o aluno optar por substituir, na expressão algébrica, o número correspondente na variável, encontrando os valores desconhecidos da distância e do tempo, respectivamente, nos itens (b) e (c). Após essas atividade sobre cálculo da constante de proporcionalidade e de classificação de grandezas direta ou inversamente proporcionais, começa a

64 62 introdução de Gráficos de funções, com o acréscimo da construção desses gráficos, no plano cartesiano, num ambiente papel e lápis. Citamos, como exemplo, a atividade da Figura 7, que reune os conceitos iniciais trabalhados no CAM, tais como, preencher tabela, identificar a relação entre as grandezas (direta ou inversamente proporcionais), dar a constante de proporcionalidade, e construir o gráfico. Figura 7: Atividade 1 da Situação de Aprendizagem 1, da seção Você Aprendeu?. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno Matemática, 2009, volume 2, p.8 e 9. Há atividades que trazem, no enunciado do problema, a expressão algébrica e convidam o aluno a responder questões que podem ser resolvidas por meio da manipulação algébrica como, por exemplo, a apresentada na Figura 8. Outras fornecem o gráfico e, por meio de interpretação e análise do gráfico, os alunos podem responder as questões propostas como, por exemplo, apresentado na Figura 9.

65 63 Figura 8: Atividade 1 da Situação de Aprendizagem 1, da seção Você Aprendeu?. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno Matemática, 2009, volume 2, p.10 e 11. Figura 9: Atividade 1 da Situação de Aprendizagem 1, da seção Lição de casa. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno Matemática, 2009, volume 2, p.12 e 13. A Situação de Aprendizagem 2, cujo Tema é Funções de 1º grau: Significado, Gráficos, Crescimento, Decrescimento, Taxas, traz o seguinte quadro de orientações, apresentado na Figura 10. Figura 10: Diretrizes para Situação de Aprendizagem 2 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Professor Matemática, 2009, volume 2, p.20. A Situação de Aprendizagem 2 tem por objetivo o estudo de função polinomial de 1º grau, incluindo suas características: coeficientes, crescimento, decrescimento, gráfico, inequação e taxa de variação, a fim de desenvolver,

66 64 entre outras, a competência de expressar graficamente tal função como uma relação entre duas grandezas. Para tanto, o roteiro para aplicação sugere que o professor faça uma explanação sobre as características já abordadas anteriormente na Situação de Aprendizagem 1, aprofundando a noção de proporcionalidade com a inserção de taxa de variação, crescimento e decrescimento, por exemplo. Neste texto do roteiro, é sugerido que o professor explique a expressão da função de 1º grau (f(x)=ax+b), com a diferente de zero ( ); que o gráfico dessa função é uma reta; função constante para a = 0; inclinação da reta, definindo o coeficiente a como a variação de f(x) a cada unidade de x; a função é crescente para valores de a positivos; e a função é decrescente para valores de a negativos. A Situação de Aprendizagem 2 é composta por nove atividades, sendo que três delas têm como intuito enfatizar o cálculo para a determinação dos valores dos coeficientes da função f(x) = ax + b, analisando o comportamento do gráfico de acordo com a variação do coeficiente a, apresentados na Figura 11 e na Figura 12. Duas atividades são destinadas para expressar a lei algébrica de uma função por meio de situações-problema e/ou gráficos. Uma trabalha com a noção de taxa de variação; outra fornece a função para substituição de valores na variável independente para calcular a variável dependente; e duas são de inequação.

67 65 Figura 11: Atividade 1 da Situação de Aprendizagem 2, da seção Você Aprendeu? Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno Matemática, 2009, volume 2, p.15 Figura 12: Atividade 4 da Situação de Aprendizagem 2, da seção Você Aprendeu?. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno Matemática, 2009, volume 2, p.18 Para o estudo de taxa de variação é apresentado uma atividade que retrata o gráfico de uma situação em que o aluno é convidado a resolvê-la por meio da razão entre a diferença de dois valores do eixo y e dois valores do eixo x. A Figura 13 apresenta a atividade do CAM que aborda o estudo do conteúdo de taxa de variação. Figura 13: Atividade 2 da Situação de Aprendizagem 2, da seção Lição de Casa. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno Matemática, 2009, volume 2, p.25 A Situação de Aprendizagem 3: Funções de 2º grau: significado, gráficos, intersecções com os eixos, vértices, sinais, propõe atividades para a

68 66 compreensão de que a função do tipo f(x) = ax 2 expressa uma grandeza diretamente proporcional ao quadrado de outra. No quadro de orientações, há uma síntese do que se espera com a aplicação das atividades dessa Situação de Aprendizagem (Figura 14). Figura 14: Diretrizes para Situação de Aprendizagem 3 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Professor Matemática, 2009, volume 2, p. 28. As atividades iniciais fornecem a expressão algébrica de diversas funções quadráticas, na forma f(x) = ax 2, para os alunos construírem o gráfico de cada uma, num mesmo sistema de eixos coordenados, objetivando que eles percebam a abertura da concavidade da parábola de acordo com a variação do coeficiente a e a identificação da posição da concavidade da parábola, voltada para cima ou para baixo, associado ao sinal de a (positivo ou negativo). As atividades seguintes apresentam um quadro com texto explicativo sobre a forma canônica da função polinomial do 2º grau em três momentos, a começar por, para o estudo do deslocamento vertical da parábola; num segundo momento,, para o estudo do deslocamento horizontal; e, finalmente, enfatizando os deslocamentos horizontais e/ou verticais da parábola, bem como, a determinação do vértice em cada um dos momentos. O objetivo é que o aluno compreenda o papel de cada coeficiente (a, h, v) acrescido na expressão algébrica. Para tanto, o procedimento era o mesmo em todas as atividades, ou seja, era fornecida a lei algébrica de diversas funções de 2º grau para serem

69 67 construídas num único plano cartesiano, num ambiente papel e lápis. Eis um exemplo de uma das construções apresentadas para os alunos no CAM (Figura 15). Figura 15: Exemplos de Deslocamentos verticais e/ou horizontais:. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno Matemática, 2009, volume 2, p.34. Também apresenta-se a forma geral da função de 2º grau, com a, b e c números constantes, e em algumas atividades, com intuito de explorar eixo de simetria, valor máximo ou valor mínimo e determinação das raízes. A Situação de Aprendizagem 4, intitulada Problemas envolvendo Funções de 2º grau em múltiplos contextos: Problemas de Máximos e Mínimos traz a apresentação dos conteúdos, competências e habilidades a serem desenvolvidas por meio das atividades propostas, apresentada na Figura 16.

70 68 Figura 16: Diretrizes para Situação de Aprendizagem 4 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Professor Matemática, 2009, volume 2, p. 51. Esta Situação de Aprendizagem é composta por seis atividades, cuja resolução se encontra no CPM e mais dois problemas que estão apenas no CAM. O objetivo é aprofundar e contextualizar os conceitos trabalhados nas Situações de Aprendizagem anteriores como, por exemplo, encontrar a expressão algébrica de uma função apresentada por meio de gráfico ou de uma situação problema; explorar a noção de valor máximo ou mínimo; encontrar o valor da variável dependente substituindo o valor na variável independente na lei da função dada no enunciado do problema. Apresentamos na Figura 17 um exemplo de problema presente no CAM, que foi escolhido para o nosso estudo. Figura 17: Atividade 3 da Situação de Aprendizagem 4, da seção Você Aprendeu?. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno Matemática, 2009, volume 2, p.49.

71 69 Finalizamos nossa análise dos Cadernos volume 2, salientando que não foi sugerida a resolução de qualquer das Situações de Aprendizagem num ambiente diferente de papel e lápis. Em momento algum foi feita menção ao uso de software como auxiliador no processo de estudo de funções polinomiais de 1º e 2º graus, nem mesmo na sessão Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema, presente no CPM (2009c, p.59). Nesta sessão, apenas foram sugeridos o Material sobre funções (PEC)" elaborado pela SEE/CENP (2001) e a Proposta Curricular para o ensino de Matemática: 2º grau, proposto pela SEE/CENP (1992). Por esse motivo, entendemos ser relevante a nossa pesquisa, cujo objetivo é integrar tais atividades ao uso de softwares educacionais, visando o domínio de um conceito matemático, além do desenvolvimento de competências necessárias para a conquista da autonomia ANÁLISE DAS ATIVIDADES DOS CADERNOS VOLUME 3 Faremos uma análise similar à apresentada anteriormente, sobre os Cadernos do Professor e do Aluno, volume 3, enfatizando os aspectos mais relevantes. O Roteiro para aplicação das Situações de Aprendizagem 1, intituladas como As Potências e o Crescimento/Decrescimento Exponencial: a Função Exponencial, faz uma sugestão para que o professor retome as ideias sobre o conteúdo de Potenciação, com ênfase aos expoentes inteiros e racionais, para, então, introduzir o estudo de função exponencial, pois é imprescindível que o aluno compreenda que algumas potências não são calculáveis, considerando o conjunto dos números reais, como, por exemplo, que, ao ser resolvida aplicando a propriedade das potências, se transforma na raiz quadrada de menos dezesseis e, então, que não existe um número real que elevado ao quadrado resulte em outro que seja negativo. A Figura 18 ilustra as diretrizes para essa Situação de Aprendizagem 1.

72 70 Figura 18: Diretrizes para Situação de Aprendizagem 1 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Professor Matemática, 2009, volume 3, p. 11. Os exercícios propostos nessa situação objetivam explorar a noção de crescimento não linear, ou seja, para cada unidade acrescida no expoente, o resultado final da potência fica multiplicado pelo valor da base dessa potência. Para trabalhar essa ideia, no CAM é apresentado um exemplo com uma situação que contém um texto e uma tabela, ilustrada na Figura 19, para o aluno observar o crescimento da Produção P (em toneladas), anualmente, relacionando as respectivas potências. Após a leitura deste quadro, o aluno é convidado a responder algumas questões envolvendo resolução de potências com expoentes racionais e esboçar o gráfico numa malha quadriculada oferecida no CAM, ou seja, para serem resolvidas no ambiente papel e lápis.

73 71 Figura 19: Atividade 1 e 2 da Situação de Aprendizagem 1 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno Matemática. Volume p.3-5. Em geral, os exercícios trazem diversas funções para serem construídas numa mesma malha quadriculada, disponível no CAM, para os alunos observarem o comportamento de cada curva, a fim de chegarem à dedução e discussão sobre as características de cada uma delas para ser uma função crescente ou decrescente. Após essas atividades, há um quadro intitulado como Quadro-resumo apresentado na Figura 20, no qual há uma síntese para uma melhor compreensão do conteúdo exposto até aquele momento.

74 72 Figura 20: Quadro Resumo da Situação de Aprendizagem 1 da seção Você Aprendeu? Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno Matemática. Volume p.8. Em seguida, há um campo destinado à Pesquisa Individual em que sugere, ao aluno, a utilização de um software livre Graphmatica ou Winplot para a construção de algumas funções exponenciais, apontadas no texto. Faz, ainda, uma menção para que, se possível, ele utilize o laboratório de informática da escola, porém, não explica como deve proceder para a execução dessa tarefa, tampouco, remete-se ao professor essa função de explicar os conceitos e os objetos envolvidos por meio do recurso tecnológico. Independentemente do tipo de ambiente a ser trabalhado, percebemos a preocupação presente nessas atividades, em revelar para o aluno, as diferenças entre os gráficos, causadas pelo valor da base a da função como, por exemplo, o gráfico das funções mencionadas abaixo, na Figura 21, para a classificação em função crescente e decrescente. Figura 21: Quadro Resumo da Situação de Aprendizagem 1 da seção Pesquisa Individual. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno Matemática. Volume p.11.

75 73 Finalizando a Situação de Aprendizagem 1, aparece um problema, cuja resolução envolve raciocínios sobre função exponencial, uma vez que as expressões algébricas são do tipo, com p e k são constantes reais, a fim de contextualizar e consolidar o estudo de potências, além de familiarizar os alunos com os gráficos das respectivas funções exponenciais e formalizar o conceito, definindo a condição de existência. Dado o término da Situação de Aprendizagem 1, é de suma importância que o aluno saiba deliberar a condição de existência da função exponencial f(x) = a x, sendo, ou seja, a base deve ser sempre um número positivo, pois, caso contrário, poderíamos ter situações que não existiriam soluções pertencentes ao conjunto dos números reais como, por exemplo, se a base a = 16 e x =, teríamos a função f(x) =, e para resolvê-la aplicando a propriedade das potências, requer a extração de uma raiz quarta de ( 16), e isso não é possível porque não há um número real que elevado à quarta potência dê uma imagem negativa. A base, também, não pode ser zero porque, se fosse, teríamos e, de acordo com a propriedade das potências, quando x=0, ficaria que é indeterminado; para qualquer outro valor de x resultaria em uma imagem zero, desenhando a função constante no plano cartesiano. Ainda, a base tem que ser diferente de 1, porque sabemos que 1 elevado a qualquer número resulta nele mesmo. Dessa forma, teríamos o conjunto unitário {1} como imagem da função, logo, ela não poderia ser classificada como uma função exponencial. Espera-se ainda, que os alunos reconheçam uma função crescente quando a>1 e decrescente quando 0<a<1. Além disso, analisando as atividades, percebemos a preocupação em explorar a variação do gráfico de acordo com os coeficientes na função, com p e k constantes reais como apresentado na Figura 22. As atividades propunham, sempre, a construção do gráfico de duas funções num mesmo plano cartesiano, para que os alunos observassem as modificações em relação ao ponto de intersecção com eixo y, crescimento e/ou decrescimento da curva, a imagem do gráfico, entre outros. Levando em consideração esses aspectos, adaptamos uma atividade para o estudo dessas

76 74 características modificáveis na função, de acordo com a variação dos coeficientes, que serão descritas no Capítulo 5. Figura 22: Atividade 3 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Professor Matemática. Volume p.17. A Situação de Aprendizagem 2: Quando o Expoente é a Questão, o Logaritmo é a Solução: a Força da Ideia de Logaritmo, objetiva uma ampliação do estudo de função exponencial, uma vez que os alunos devem compreender os logaritmos como expoentes, para representar números muito grandes ou, então, muito pequenos. Além disso, aborda propriedades dos logaritmos, incluindo a mudança de base, bem como, a aplicação deles em diferentes contextos. É o que podemos conferir na Figura 23. Figura 23: Diretrizes para Situação de Aprendizagem 2 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Professor Matemática, 2009, volume 3, p.19.

77 75 O CAM apresenta para os alunos uma parte do contexto histórico do surgimento dos logaritmos; a tabela ou tábua de logaritmos; propriedades fundamentais e mudança de base de logaritmos. Os alunos são convidados a resolver atividades que envolvem logaritmos em qualquer base, em bases decimais e aqueles sobre mudança de base. Além disso, há exercícios para aplicação de propriedades apresentadas e, ainda, aplicação dessas propriedades para resolução de logaritmos em diferentes contextos como, por exemplo, nas situações ilustradas abaixo, na Figura 24 e na Figura 25. Esses problemas foram escolhidos para serem adaptados, compondo nosso instrumento de coleta de dados. Figura 24: Atividade1 da Situação de Aprendizagem 2 da seção Lição de Casa. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno Matemática. Volume p.23. Figura 25:Atividade 2 da Situação de Aprendizagem 2 da seção Lição de Casa. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno Matemática. Volume p.24. Notamos que a atividade apresentada na Figura 25, sobre o conteúdo de logaritmos, não requer propriedades logarítmicas em sua resolução, uma vez que o enunciado do exercício fornece o valor aproximado de.

78 76 Ainda, há problemas que abordam logaritmos em contextos de cálculo do ph de líquidos, escala de intensidade dos terremotos ou intensidade sonora, entre outros. A Situação de Aprendizagem 3, intitulada como As Funções com Variável no Expoente: a Exponencial e sua Inversa, a Logarítmica, objetiva apresentar a função logarítmica como sendo a função inversa da exponencial. Na Figura 26, resumem-se os conteúdos e temas, competências e habilidades e as estratégias propostas para o desenvolvimento da Situação de Aprendizagem 3. Figura 26: Diretrizes para Situação de Aprendizagem 3 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Professor Matemática, 2009, volume 3, p. 36. No CAM é apresentado um texto para leitura, sintetizando os conceitos mais relevantes já estudados nas Situações de Aprendizagem anteriores como, por exemplo, a condição de existência da função exponencial, quando a função é crescente e/ou decrescente e o gráfico. Acrescenta a função logarítmica fazendo um paralelo com a função exponencial quanto aos nomes das variáveis e, então, define a função logarítmica por e apresenta os gráficos das funções, exponencial e logarítmica, num mesmo plano cartesiano analisando a condição para crescimento e/ou decrescimento delas, como podemos observar na Figura 27.

79 77 Figura 27: Texto para leitura e análise da Situação de Aprendizagem 3 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno Matemática. Volume p.36. Após o texto, sugere duas atividades com pares de funções f(x) e g(x) para explorar a ideia de funções inversas. Posteriormente, faz uma referência para o aluno utilizar os softwares Graphmatica ou o Winplot para construir tais gráficos e analisar as relações existentes entre eles. Porém, não há explicação de como trabalhar e nem as soluções esperadas. Então, ilustra por meio de um desenho a relação existente entre as funções exponencial e logarítmica, quando traçada uma reta que é a bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja, afirma que cada ponto de um gráfico tem um simétrico a ele em relação à reta traçada. Assim, conclui que as funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra. É o que podemos observar na Figura 28. Figura 28: Atividade da Situação de Aprendizagem 3 da seção Pesquisa Individual. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno Matemática. Volume p.38.

80 78 Ao término desse texto, convida os alunos a construírem o gráfico das funções f(x) = 10 x e g(x) = log x, numa mesma malha quadriculada disponível no CAM, ou seja, num ambiente papel e lápis. Neste mesmo ambiente, são resolvidas as próximas atividades que envolvem a determinação de pontos sobre esses gráficos de modo que leve o aluno a pensar em figuras geométricas como, por exemplo, um quadrilátero e um trapézio isósceles; determinação de funções crescentes e/ou decrescentes; e a diferença dos padrões de crescimento/decrescimento entre essas duas funções. Na última Situação de Aprendizagem, intitulada As Múltiplas faces das Potências e dos Logaritmos: Problemas envolvendo equações e inequações em diferentes contextos faz uma abordagem com aplicação dos conhecimentos produzidos, a fim de aprimorar as competências e as habilidades desenvolvidas até o momento do estudo, por meio de situações que envolvem fenômenos naturais e conhecidos. Citamos, como exemplo, questões que envolvem o tabuleiro de xadrez; em uma dobradura de papel em x vezes, qual seria a espessura do papel?; comparar essa espessura com a distância da Terra à Lua e da Terra ao Sol; calcular os juros de um Capital aplicado; entre outros. Observe a panorâmica para essa Situação de Aprendizagem, na Figura 29. Figura 29: Diretrizes para Situação de Aprendizagem 4 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Professor Matemática, 2009, volume 3, p. 43. Esta Situação de Aprendizagem 4 finaliza com a aplicação dos conceitos apreendidos durante o estudo do CAM, volume 3, explorando o cálculo e a estimativa de números muito grandes ou muito pequenos como, por exemplo, nas últimas atividades, um problema aborda uma escala logarítmica, criada por Pogson, em que trabalha com expoentes do tipo (2,5) 5 para representar o

81 79 brilho das estrelas, criada por Hiparco (150 a. C.). Outra atividade aborda estimativa da idade de fósseis por meio da expressão algébrica:, dado o valor do logaritmo decimal 2. Ballejo (2009) afirma que, nos três livros didáticos analisados, que foram aprovados pelo MEC (Ministério da Educação), não há um estudo diferenciado de função ou atividades que possam ser resolvidas com auxílio do computador, como já ocorrem em livros adotados pelas escolas dos Estados Unidos. Percebemos por meio dessa análise do CAM (volumes 2 e 3), que, diferentemente daqueles livros, a nova Proposta Curricular de São Paulo traz algumas sugestões de atividades que trabalham com exercícios e com resolução de problemas contextualizados; e alguns para serem realizados em um ambiente informatizado, porém, notamos que ainda são poucos exercícios que requerem essa ferramenta tecnológica em sua resolução. Vale destacar que o CAM traz algumas sugestões para o uso do software, isto é, não traz atividades explicitadas para o uso do software, seguidas de explicações, no corpo do Caderno. Outra análise de livros didáticos feita por Karrer (1999) revelou que, na maioria deles, além de não trazer uma abordagem de logaritmo com problemas contextualizados e exercícios de estimativa, o conceito de logaritmo é introduzido por meio de uma definição de função como sendo a inversa da exponencial. Já na Proposta Curricular de São Paulo, percebemos a presença desse tipo de exercícios, como, por exemplo, aqueles que descrevemos na análise da Situação de Aprendizagem 4, do CAM (vol. 3), sobre estimativa da idade de fósseis. No próximo capítulo, apresentamos os procedimentos metodológicos, descrevendo a metodologia, o software utilizado, caracterizando os sujeitos da pesquisa, o ambiente criado e a descrição das adaptações das atividades que compuseram nosso instrumento de coleta de dados.

82 80 CAPÍTULO 4: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Nesse capítulo, apresentamos a metodologia utilizada, o software GeoGebra, os sujeitos da pesquisa, caracterização do ambiente utilizado para a realização das atividades adaptadas que compõem nosso instrumento de coleta de dados, bem como, as justificativas para as respectivas escolhas, e as características pertinentes aos Três Mundos da Matemática que estão presentes nas atividades A METODOLOGIA: DESIGN EXPERIMENT O Design Experiment é uma metodologia que teve sua origem, aproximadamente, em 1970, nos Estados Unidos, devido à existência de lacunas entre as práticas da pesquisa e do ensino; e, também, da inexistência de um modelo específico da Educação Matemática, sendo aplicados modelos de outras áreas, por exemplo, a psicologia, para realizar análises dos desenvolvimentos matemáticos. Proposta por Cobb et al. (2003) e aplicada como um modelo em pesquisas na Educação Matemática, essa metodologia tem como objetivo principal analisar processos de aprendizagem de domínios matemáticos específicos e a influência de um ambiente utilizado na aprendizagem desse domínio matemático abordado. Uma vez definido o objetivo da pesquisa, deve-se escolher uma entre as diversas modalidades para realização de um Design Experiment, tais como, com um grupo restrito de sujeitos, juntamente com o professor/pesquisador, cujo objetivo seja desenvolver e estudar um domínio matemático, por meio de um desenho de atividades que serão testadas e, se necessário, redesenhadas, até que auxilie alunos a se apropriarem do conceito envolvido; analogamente

83 81 para classes numerosas; com estudo voltado à formação de futuros professores; ou, ainda, estudos voltados para análise dos fatores que podem influenciar no âmbito escolar, provocando uma reestruturação na organização escolar. Salientamos que, independente do tipo escolhido, cabe ao professor que pode ser, também, o pesquisador... criar meios de interação que possam encorajar os estudantes a modificar seus pensamentos atuais (KARRER, 2006, p.202), por meio de situações inovadoras. Além disso, os atores do experimento (professor, pesquisador e o sujeito) tem seus respectivos papéis definidos como colaboradores no processo. Chamamos a atenção para o aluno, que assume um papel mais ativo na construção do conhecimento. Cobb et al. (2003) destacam algumas características relevantes do design, a saber: O desenvolvimento de uma classe de teorias que envolvem o processo de aprendizagem, bem como, os meios que dão suporte à aprendizagem. No caso do design com grupo restrito de sujeitos, representa um modelo da compreensão deles em relação a um domínio matemático específico; O caráter de natureza intervencionista, uma vez que o objetivo do design é propor formas de aprendizagem inovadoras, a fim de promover melhorias no âmbito educacional; Os aspectos prospectivo, relacionado à formulação de hipóteses que serão testadas; e o reflexivo, relacionado à formulação de conjecturas que serão levantadas e analisadas à luz do referencial teórico escolhido e da revisão de literatura; Os aspectos iterativo, cíclico e flexível complementam os dois aspectos anteriores, uma vez que as conjecturas que foram formuladas, caso sejam refutadas, podem ser reformuladas e testadas novamente durante a realização do experimento, alterando o desenho inicial com base nas produções dos sujeitos, visando a inovação. Mesmo que, para isso, leve dias, semanas,

84 82 meses, pois, não há um período pré-estabelecido para a realização do experimento. O Design Experiment é uma metodologia utilizada para desenvolver teorias e, não apenas, para ajustar o que funciona (COBB et al., 2003, p.9, tradução nossa), uma vez que surgem da prática e estão relacionadas a um domínio matemático específico. Sendo assim, se faz necessária uma busca na literatura para identificar dificuldades, lacunas existentes, resultados descobertos por meio das pesquisas sobre o objeto matemático que se pretende estudar e o domínio específico esperado que o aluno desenvolva. Além disso, deve ser feito um levantamento do conhecimento prévio que o aluno possui sobre o conceito a ser apreendido, elencando os conhecimentos esperados e não esperados. Pode-se fazer valer de pré-testes para realização de tal levantamento, ou, ainda, podem ser realizados trabalhos considerados como piloto, com o intuito de aperfeiçoar o experimento, por meio de análise dos dados coletados na produção dos sujeitos. Sobre essa coleta de dados, é importante que se faça o registro desses dados, podendo ser, por exemplo, por meio de gravações de áudio e vídeo, de apontamentos do observador, de protocolos gerados pelos sujeitos e, ainda, pode ser feita uma entrevista direcionada para entender o raciocínio deles, que, talvez, não tenham conseguido se expressar por intermédio da escrita. Assim, quanto maior o número de elementos de coleta, mais rica em detalhes poderá ser a análise. Dessa forma, o pesquisador poderá analisar os dados de maneira precisa, fazendo uma retrospectiva sobre tudo que ocorreu no ambiente criado para aprendizagem, além de poder fazer as transcrições fidedígnas dos vídeos, com as falas e pensamentos dos sujeitos, de maneira a enriquecer sua análise e conclusão dos dados. Segundo Cobb et al. (2003) Um desafio central na condução de análises retrospectivas é trabalhar sistematicamente com os conjuntos de dados extensos e longitudinais gerados no decurso de uma experiência de design para que as reivindicações resultantes sejam confiáveis. Como parte deste processo, é importante explicitar os critérios e tipos de evidência usados ao fazer determinados tipos de inferências para que outros

85 83 pesquisadores possam compreender, monitorar, e criticar a análise (COBB et al., 2003, p.13, tradução nossa 8 ). Consideramos, então, que a nossa pesquisa tem um caráter inovador, pois objetivamos adaptar algumas atividades sobre função presentes no CAM, volumes 2 e 3, da primeira série do Ensino Médio, para o uso do software GeoGebra, a fim de integrar a nova Proposta Curricular de São Paulo a um ambiente computacional. Ressaltamos que levamos em consideração, além das dificuldades apontadas na Revisão de Literatura, as concepções prévias dos alunos que foram levantadas durante a aula de familiarização com o software, descritas na Etapa 1, no Capítulo 6 (p.141), de maneira que as atividades adaptadas possam contemplar a maioria, ou a totalidade, dessas dificuldades apresentadas por alunos do Ensino Médio. Dado o objetivo do trabalho, faremos as reformulações das questões, quando for necessário, aplicando novamente as atividades até que os alunos apreendam o conceito do domínio específico alvo do estudo. Identificamos o caráter iterativo, cíclico e flexível que enquadram essa metodologia em nossa pesquisa. No nosso caso, o ambiente utilizado para o desenvolvimento das atividades foi composto pelo uso do software, os alunos dispostos em duplas, e a não intervenção do professor/pesquisador ou da observadora durante a aplicação das atividades adaptadas. Apesar de a metodologia adotada prever certas intervenções do professor/pesquisador durante a execução do experimento, tais como a formulação de novos questionamentos e discussões com os sujeitos, optamos por realizar poucas interferências deste tipo, uma vez que o objetivo principal do estudo consistiu em investigar a possibilidade de adaptação de atividades sobre as funções polinomiais de 1º e 2º graus, exponencial e logarítmica do 8 A central challenge in conducting retrospective analyses is to work systematically through the extensive, longitudinal data sets generated in the course of a design experiment so that the resulting claims are trustworthy. As part of this process, it is important to be explicit about the criteria and types of evidence used when making particular types of inferences so that other researchers can understand, monitor, and critique the analysis.

86 84 CAM ao ambiente computacional. Por este motivo, visando investigar se a adaptação realizada seria compreendida pelos alunos, as intervenções do professor/pesquisador ficaram voltadas principalmente ao redesign das atividades, nos casos em que as reformulações se mostraram necessárias. Além disso, trabalharemos com um grupo restrito de alunos, um observador, que é o professor da turma, e o pesquisador. Os registros produzidos para análise serão os protocolos dos sujeitos, as gravações de vídeo (captura de telas) e, se necessário for, entrevistas para esclarecimentos dos procedimentos realizados por eles, na interpretação e realização das atividades. Esses registros possibilitarão fazer uma retrospectiva para a análise fiel dos dados coletados à luz do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática, em que buscaremos características desses mundos que evidenciem a aprendizagem do domínio matemático envolvido na questão, comprovando que alunos conseguiram, ou não, converter informações em conhecimento, e o quanto essa transição pôde, ou não, ser favorecida com o uso de um ambiente computacional O SOFTWARE GEOGEBRA O GeoGebra é uma combinação de geometria com álgebra, foi criado por Markus Hohenwarter, em 2001, na Universitat Salzburg e continua em desenvolvimento na Florida Atlantic University. Nessa pesquisa, utilizamos o software na versão 4.0 que foi lançada em outubro de No site 9 oficial do software, encontramos várias plataformas, uma comunidade e um fórum para plantão de dúvidas, disponível em diversos idiomas. Além disso, há exemplos de atividades para todos os níveis de ensino cujos conteúdos englobam geometria, álgebra, estatística, gráficos e cálculo. 9

87 85 O GeoGebra pode ser utilizado como recurso auxiliador no estudo dos conteúdos matemáticos dos Ensinos Fundamental e Médio, por oferecer uma interface amigável, que conversa com o usuário de maneira fácil e prática, por meio de comandos disponíveis no software como, por exemplo, os seletores, que ao serem manipulados, permitem que se faça diversas simulações da representação gráfica de funções de maneira rápida e dinâmica, explorando características visuais, articulando a escrita algébrica e a representação gráfica como características fundamentais para a apreensão do conceito, no nosso caso, de função. Considerando o nosso objetivo de adaptar atividades do CAM para o uso de um software, escolhemos o GeoGebra por ele ser um software livre, de fácil manuseio e que proporciona ao aluno a visualização simultânea das representações algébrica e gráfica de um mesmo objeto, alvo do estudo. Além disso, ele se mostra compatível com o quadro teórico adotado, uma vez que permite a articulação entre os Três Mundos da Matemática por meio da Janela de Visualização, Janela de Álgebra e da manipulação dos seletores. Por exemplo, na Janela de Visualização, quando o aluno manipula os seletores e observa as modificações sofridas no gráfico, trabalha com características corporificadas. Quando manipula os seletores e analisa as modificações ocorridas na expressão algébrica, na Janela de Álgebra, trabalha com características simbólicas. Quando o aluno assimila a relação existente entre as duas janelas, ou seja, manipula os seletores, observa as variações ocorridas no gráfico e as relaciona com a expressão algébrica, dando significado ao conceito envolvido, aplica características formais. Apresentamos na Figura 30 a tela inicial do software. As demais telas, com descrição dos menus e dos comandos básicos, se encontram no Apêndice A (p.208), intitulado Familiarização do software GeoGebra.

88 86 Figura 30: Interface do software GeoGebra Fonte: Acervo Pessoal Os comandos básicos, bem como, as potencialidades do software foram explicados aos alunos em uma pré-aula preparatória, que antecedeu a aplicação do experimento, cujo objetivo era de familiarizá-los com o software e, ainda, fazer um levantamento dos conhecimentos prévios dos alunos. Essa pré-aula foi denominada por nós como sendo a primeira sessão e foi relatada no Capítulo 6. A primeira sessão teve duração de três horas e meia, e foi realizada no laboratório de informática da escola, que dispõe de vinte computadores O DELINEAMENTO DA PESQUISA Nossa pesquisa foi realizada em uma escola da rede pública da cidade de São Bernardo do Campo, no Estado de São Paulo. Inicialmente, explicamos para os sujeitos a finalidade do projeto, bem como, os objetivos e entregamos, em seguida, o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido, apresentado no Apêndice B (p. 217), e o Termo de Concessão do uso de Imagens,

89 87 apresentado no Apêndice C (p.220), para que colhessem assinaturas de seus responsáveis, uma vez que todos os sujeitos são menores de 18 anos. De uma classe da primeira série do Ensino Médio, no período da manhã, composta por trinta e sete alunos, participaram da pesquisa seis sujeitos voluntários agrupados em duplas, pelo motivo de ser feita, nesta série, a abordagem do conteúdo de função de maneira mais detalhada e abrangente, isto é, com as definições apresentadas de maneira formal como, por exemplo, as definições de funções polinomiais de 1º e 2º graus, se estendendo para o estudo das funções exponencial e logarítmica; a classificação das funções em crescente ou decrescente; a formalização da relação entre os parâmetros e o gráfico; entre outros. Adaptamos as atividades do CAM da primeira série do Ensino Médio, volumes 2 e 3, para serem exploradas utilizando como recurso o software GeoGebra, com intuito de auxiliar os alunos na apreensão do conceito de função, pois Ardenghi (2008) sugeriu que se façam sequências de ensino que utilize, de preferência, a informática como ferramenta facilitadora no estudo de função, para que o aluno tenha uma participação ativa na construção do conhecimento. Baseado na metodologia do Design, conjecturas foram formuladas e testadas e, quando refutadas, foram reformuladas e novamente aplicadas. Para a adaptação das atividades, levamos em consideração as concepções prévias dos alunos sobre função, cuja análise foi sugerida por Ardenghi (2008), que foram levantadas na primeira sessão e descritas nesse trabalho, no Capítulo 6, além de algumas das dificuldades apontadas por autores na nossa Revisão de Literatura e dos objetivos propostos no CPM, de acordo com o que se propõe no design. Para a realização desse experimento, num primeiro momento, estipulamos sete encontros semanais, com duração de duas horas cada, que foram realizados fora do horário regular de aula desses alunos, no laboratório de informática da escola, composto por vinte computadores. Como se fizeram necessários alguns redesigns e entrevistas para esclarecimento das dúvidas, totalizaram treze encontros.

90 88 Utilizamos como registros os protocolos das duplas, os vídeos gravados dos encontros, as gravações das entrevistas que se fizeram necessárias e as anotações feitas pelo observador, a fim de enriquecer a análise dos dados. Considerando que os alunos ainda não tinham o conhecimento de funções exponencial e logarítmica, nem do software, iniciamos nosso experimento aplicando atividades adaptadas sobre funções polinomiais de 1º e 2º graus, por serem estas as funções mais conhecidas por eles, quando estudadas por meio de uma breve noção no Ensino Fundamental. Porém, para análise dos nossos dados, utilizamos apenas as atividades adaptadas de funções exponencial e logarítmica, por estas funções não serem tão abordadas nas dissertações e teses quanto as funções polinomiais de 1º e 2º graus, na área de Educação Matemática, segundo os resultados da Revisão de Literatura. Analisamos os dados produzidos pelas duplas à luz do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004), buscando evidências sobre o uso de características dos Mundos da Matemática, para avaliarmos se houve ou não aprendizagem do domínio matemático, alvo do estudo, e, por conseguinte, respondermos nossas questões de pesquisa. A seguir, apresentamos as adaptações realizadas nas atividades, seguidas das justificativas, objetivos, conjecturas esperadas por alunos, e as características dos Três Mundos da Matemática presentes em cada situação.

91 89 CAPÍTULO 5: APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES Primeiramente, neste Capítulo, apresentamos nossas adaptações das atividades do Caderno, volume 2, e posteriormente as adaptações do volume 3. Descrevemos as resoluções esperadas pelos alunos, bem como, as características presentes em cada um dos Três Mundos da Matemática APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES DO CADERNO VOLUME 2 O CAM volume 2 se refere aos conteúdos de funções polinomiais de 1º e 2º graus. Então, apresentamos os designs de um total de cinco atividades adaptadas, a saber: a Atividade 1 referente a uma adaptação da função polinomial de 1º grau; a Atividade 2 propõe o estudo da taxa de variação; a Atividade 3 explora a função polinomial de 2º grau na forma canônica; a Atividade 4 faz um estudo similar ao da Atividade 3, porém com a expressão algébrica representada na forma geral; e a Atividade 5 aborda a interpretação de dois problemas que envolvem a resolução de funções polinomiais de graus 1 e DESIGN DA ATIVIDADE 1 Nossa primeira atividade adaptada está baseada nos exercícios 1 (p.15), 4 (p.18) e 5 (p.19) do CAM, volume 2, sendo apresentada a seguir no Quadro 1 (p.91). Mantivemos as competências e habilidades a serem desenvolvidas, citadas na Figura 10, (p. 63) bem como os objetivos propostos na Situação de

92 90 Aprendizagem 2, cujo foco é trabalhar os conceitos de função polinomial de 1º grau, explorando a identificação dos coeficientes m e n na função ; crescimento e decrescimento da função; e análise da variação do gráfico de acordo com o valor do coeficiente angular. Ressaltamos que, em nossa atividade, o coeficiente angular foi representado por a e o linear por b, ao invés de m e n, respectivamente, presentes em algumas atividades do CAM, pelo motivo de construírmos dois seletores no GeoGebra, nomeados como a e b. Por ser mais conveniente e de leitura mais fácil, apresentaremos primeiro a figura que ilustra a tela do software, quando os alunos abrem o arquivo do GeoGebra; posteriomente o quadro que contém as questões de cada atividade adaptada do CAM, seguido da análise preliminar. A Figura 31 apresenta a interface do GeoGebra do arquivo referente à Atividade 1 adaptada para o uso do software. Figura 31: Interface do GeoGebra da Atividade 1 Fonte: Acervo pessoal

93 91 Abra o arquivo da atividade 1, no GeoGebra e responda as questões: a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando arrasta o seletor a para a direita? E para a esquerda? b) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando arrasta o seletor b para a direita? E para a esquerda? c) O que podemos concluir sobre os seletores a e b em relação à função polinomial de 1º grau f(x) = ax + b? d) Quando colocamos o seletor a = 0 o que acontece com o gráfico? Esse gráfico representa uma função? Se sim, qual? Movimente o seletor b para se certificar de sua resposta. e) Considerando o valor de a>0, quando a reta estará mais ou menos inclinada em relação ao eixo x? E quando a<0, o que acontece? f) Com suas palavras, defina os coeficientes a e b. Com suas palavras, defina os pontos C e D. Quadro 1: Design da Atividade 1. Nos itens (a) e (b), seguem orientações para o aluno movimentar os seletores a e b e descrever a variação do gráfico. Esperamos que os alunos relatem que, ao arrastar o seletor a para a direita, isto é, para valores maiores que zero, a reta cruza os quadrantes ímpares e quanto maior é o valor atribuído ao coeficiente a, mais em pé fica a reta, ou seja, o ângulo entre a reta e o lado positivo do eixo x fica mais próximo de 90º, mas é menor que ele. Ao arrastar o seletor a para a esquerda, a reta cruza os quadrantes pares, e quanto menor for o valor atribuído ao coeficiente a, mais deitada fica a reta, isto é, o ângulo entre a reta e o lado positivo do eixo x é maior que 90º. Já, a mudança de valores do seletor b, tanto para a direita quanto para a esquerda, faz com que a reta translade sobre o eixo y e o valor atribuído ao coeficiente b é o valor da ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo y, ou seja, D (0, b). Nos itens (d) e (e), pretendemos que os alunos identifiquem os tipos de função, a saber: função constante, função crescente e função decrescente. Quando o coeficiente a assume valor zero, a reta torna-se paralela ao eixo x, e intercepta o eixo y no valor escolhido para o coeficiente b. Essa função é

94 92 definida como função constante, independente do valor atribuído à variável x, o valor da função é sempre o valor do coeficiente b. Quando a assume valor positivo, quanto maior o seu valor, maior é o ângulo ou a inclinação que a reta forma com a parte positiva do eixo x, caracterizando-se como função crescente. Já quando a é negativo, quanto menor for esse valor, menor será o ângulo formado entre a reta e a parte positiva do eixo x será maior que 90º, sendo classificada como função decrescente. Nesses quatro itens descritos, encontramos características do mundo corporificado, uma vez que pretendemos que alunos observem a variação do gráfico, de acordo com os valores atribuídos às variáveis, por meio da manipulação do seletor e, assim, descrevam suas percepções, formulando conjecturas. Nos itens (c), (f) e (g), esperamos que os alunos relacionem o coeficiente a com a inclinação da reta e com a classificação da função em crescente e/ou decrescente; e o coeficiente b, como o valor cujo gráfico intercepta o eixo y, ou o termo independente, e com a translação da reta. Espera-se que ele observe que a abscissa do ponto C é a raiz da função, ou seja, o ponto em que o gráfico intercepta o eixo x; e o ponto D é o ponto em que o gráfico intercepta o eixo y. Nos itens (c) até (g), encontramos características do mundo formal, pois os alunos devem concluir o que observaram nos outros itens, formalizando o conceito abordado como, por exemplo, de que o coeficiente a retrata a inclinação da reta e o coeficiente b refere-se ao valor em que a reta intercepta o eixo y, relacionando a expressão algébrica com o gráfico; e que quando a assume valor zero, obtém-se uma função constante. Também devem formalizar o conceito de raiz da função, identificando o ponto de coordenadas (x,0); e ponto de intersecção entre o gráfico e o eixo y, cujas coordenadas do ponto são (0,y), que é uma característica do mundo formal. Segundo a concepção de Lima e Souza (2012), é formal porque, para representar as coordenadas de um ponto graficamente, é preciso seguir regras formais (LIMA; SOUZA, 2012, p.4).

95 DESIGN DA ATIVIDADE 2 No CAM, é apresentado um gráfico que retrata a produção brasileira de petróleo em função de um determinado tempo, apresentado na Figura 13 (p.65). O objetivo da questão é calcular a taxa de crescimento aproximada da produção média anual, em milhões de barris, no ano de 2006, realizando a razão entre a variação da produção e a variação anual. Em nossa adaptação, no primeiro momento, pretendemos que alunos adquiram a noção de variação. Por esse motivo, elaboramos questões simples para que, ao movimentar o seletor a, observem o comportamento do gráfico, relacionando x com y. Então, introduzimos o conceito de taxa de variação. No segundo momento, como redesign, poderíamos inserir questões relacionadas à produção brasileira de petróleo, uma vez que os alunos já teriam aprendido o conceito de taxa de variação. A Figura 32 apresenta a interface do GeoGebra do arquivo referente à Atividade 2, adaptada para o uso do software. Figura 32: Interface do GeoGebra da Atividade 2 Fonte: Acervo pessoal

96 94 Abra o arquivo da atividade 2, no GeoGebra e responda as questões: a) Observe a reta. Qual a variação do y quando x varia uma unidade? b) Movimente o seletor a. Observe novamente, quando x varia uma unidade quantas unidades variam no y? c) Varie mais algumas vezes o valor do a e para cada valor que você parar observe essa variação. E compare esta variação do x em relação ao y com a lei da função. O que você percebe? Se andar duas unidades no x quantas unidades andará no y? Quadro 2: Design da Atividade 2 No item (a), ao abrir o arquivo da Atividade 2, os alunos encontrarão a expressão algébrica f(x) = 1x + (0), ou f(x) = x, e os seletores a e b. Esperamos que os alunos entendam que a cada unidade de x que varia, y varia de acordo com a taxa de variação da função. Nos itens (b) e (c), para exemplificar o que pretendemos que os alunos concluam nesses itens, suponhamos que eles movimentem o seletor a para o valor 2, obtendo a expressão algébrica f(x) = 2x + (0), ou f(x) = 2x. Esperamos que alunos observem que quando x varia uma unidade, y varia duas unidades. Quando x varia duas unidades, y varia quatro. Ou seja, a variação de y está sendo o dobro da variação de x. Pretendemos que os alunos, por meio de suas escolhas para valores de a, concluam que essa variação é representada por meio do coeficiente que acompanha x, ou seja, esse coeficiente é a taxa de variação. No item (d), pretendemos que as duplas, cada uma de acordo com o valor que escolheu para a, consiga identificar que dependerá do coeficiente do x, ou seja, se a = 3 está visível na tela a função f(x) = 3x + (0). Se x variar duas unidades, perceberá que y irá variar seis, isto é, o triplo da variação de x. Assim, pretendemos que eles concluam que isso ocorre devido à taxa de variação que é a razão entre a variação de y pela variação de x; e que este valor fica acompanhado da variável x, na expressão algébrica. Nos três primeiros itens, encontramos características do mundo corporificado, pois alunos vão manipular os seletores, construindo mentalmente

97 95 a ideia do objeto matemático envolvido, que se refere à percepção do que ocorre com o valor de y a cada variação de x. Os alunos vão descrever suas conjecturas. Se, porventura, o aluno quiser substituir valores na expressão algébrica e manipulá-la para testar suas hipóteses, usará características do mundo simbólico. No último item, como há um conceito implícito na questão para o aluno refletir e, então, formalizar o conceito de taxa de variação, espera-se que o aluno compreenda função como uma relação entre as variáveis, para conseguir validar suas conjecturas e formalizar que a taxa de variação é a razão entre a diferença entre y B e y A e a diferença entre x B e x A, dados dois pontos pertencentes ao gráfico, A (x A, y A ) e B (x B, y B ). Feito isso, estará usando características do mundo formal DESIGN DA ATIVIDADE 3 Na Atividade 3, faremos o estudo da função polinomial de 2º grau ou função quadrática, na forma canônica. Observamos, no CAM, a intenção de se trabalhar com a construção de vários gráficos num mesmo sistema de eixos coordenados, para que os alunos visualizem e discutam as diferenças relacionadas com os coeficientes da função. Por esse motivo, adaptamos uma atividade que explora relações entre os coeficientes a, m e n na função e o respectivo gráfico, por meio da manipulação do seletor, que pode assumir valores positivos e negativos, e promover a simulação de várias funções em um curto período de tempo, permitindo, ao aluno, fazer conjecturas e testar a veracidade delas. Iniciamos com o estudo da expressão algébrica na forma canônica e, posteriormente, utilizamos praticamente a mesma abordagem com a expressão algébrica na forma geral, isto é,. Mantivemos os mesmos

98 96 conteúdos, competências e habilidades mencionadas no quadro, presentes no CPM, ilustrado na Figura 14 (p.66). Vale ressaltar que, no CAM (p.34) a forma canônica da função f é apresentada de duas maneiras: e, isto é, ora com a variável a e ora com a variável k. Em nossas atividades, utilizamos a forma. A Figura 33 apresenta a interface do GeoGebra do arquivo referente a Atividade 3 adaptada para o uso do software. Figura 33: Interface do GeoGebra da Atividade 3 Fonte: Acervo pessoal A seguir descreveremos as resoluções esperadas para Atividade 3 apresentada no Quadro 3. Abra o arquivo da atividade 3, no GeoGebra e responda as questões: 1) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando a assume valores positivos? E negativos?

99 97 2) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando m assume valores positivos? E negativos? 3) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando n assume valores positivos? E negativos? 4) O que podemos concluir sobre os valores de a, m, n em relação à função polinomial de 2º grau f(x) = a(x-n) 2 +m? 5) Compare as duas expressões algébricas que aparecem na janela de álgebra do GeoGebra e escreva o que você percebe. 6) Quando colocamos o valor a = 0 o que acontece com o gráfico? Esse gráfico representa uma função? Se sim, qual? 7) Considerando o valor de a>0, quando a concavidade da parábola estará mais ou menos fechada? E quando a<0, o que acontece? 8) Com suas palavras, defina os coeficientes a, m, n. 9) Com suas palavras, defina os pontos A, B, C, D. Quadro 3: Design da Atividade 3 Nos itens (1), (2), (3) e (7), espera-se que o aluno observe que, quando o coeficiente a assume valores positivos (a>0), a concavidade da parábola estará voltada para cima, e que quanto maior for o valor de a, mais fechada ficará a concavidade. Já para valores negativos (a<0), a concavidade da parábola estará voltada para baixo, e que quanto menor for o valor atribuído para a, a concavidade ficará mais fechada. Na expressão algébrica, esperamos que os alunos observem que o coeficiente a acompanha x 2. Para o coeficiente m, esperamos que o aluno perceba que, ao escolher valores positivos, a parábola se desloca verticalmente no sentido positivo do eixo y, interceptandoo no valor atribuído ao m. Já para o coeficiente n, ao atribuir valores positivos, a parábola se desloca horizontalmente sobre o eixo x, no sentido positivo do eixo. Analogamente, ao atribuir valores negativos, a parábola se desloca horizontalmente no sentido negativo do eixo. Esses quatro itens têm características do mundo corporificado, uma vez que pedimos descrições das percepções sobre o objeto em análise. Por meio da manipulação dos seletores, os alunos podem construir mentalmente suas conjecturas e anotá-las nas fichas do estudo.

100 98 Nos itens (4) e (8), é esperado que o aluno conclua que, em relação à função polinomial de 2º grau, na forma canônica, o coeficiente a está relacionado com a disposição da concavidade da parábola, sendo ela para cima ou para baixo, dependendo do sinal positivo ou negativo de a, bem como, abertura da parábola, sendo ela mais fechada ou não. O coeficiente m está associado à translação vertical da parábola, sendo m a quantidade de unidades que faz a parábola transladar para os sentidos positivo ou negativo do eixo y. Já o coeficiente n está coligado à translação horizontal da parábola, ou seja, é a quantidade de unidades que a parábola translada para os sentidos positivo ou negativo do eixo x. Portanto, as coordenadas do vértice da parábola podem ser obtidas a partir do ponto (n, m). Exemplificamos com a expressão algébrica, presente na janela de álgebra do GeoGebra,, cuja representação gráfica está ilustrada na Figura 34. Observando a expressão algébrica, a parábola se deslocou duas unidades, na vertical, para cima em relação ao eixo y; e três unidades, na horizontal, para a direita, em relação ao eixo x. O vértice da parábola é o ponto (3,2), o que podemos observar na Figura 34. Figura 34: Exemplo de resolução da Atividade 3. Fonte: Acervo pessoal

101 99 Nesses dois itens, espera-se que o aluno formalize as conjecturas levantadas nos itens do (1) ao (3), compreendendo o papel de cada parâmetro, conforme o valor atribuído, positivo ou negativo. Ao assimilar a forma canônica da função com os respectivos parâmetros a, m, n, conecta-se ao mundo formal. Além disso, temos a determinação do vértice da parábola, que é um ponto cujas coordenadas são (n, m), que também pertence ao mundo formal. No item (5), o aluno deve perceber que uma é a forma desenvolvida da outra, ou seja, uma expressão algébrica está na forma canônica e a outra está na forma geral, porém, as duas representam a mesma parábola. Podemos dizer que as funções e, são proceitos que dão o mesmo efeito (LIMA; SOUZA, 2012). Na tela do GeoGebra, o aluno tem acesso às duas formas da representação algébrica da função, porém deve ter essa compreensão que caracteriza-se no mundo simbólico. Caso o aluno queira representar suas ações por meio da substituição de valores nos coeficiente e desenvolver a equação para comprovar que se trata da mesma função, continua usando características do mundo simbólico. No item (6), quando o coeficiente a assume valor zero, a parábola se transforma em uma reta paralela ao eixo x, representando o gráfico da função constante, considerando a função do tipo. Encontramos, neste item, características dos mundos corporificado, no que se refere à descrição do comportamento do gráfico, manipulando o seletor; e formal, porque o aluno deve refletir sobre a função, compreendendo a relação entre as variáveis x e f(x), ou seja, não importa o valor atribuído ao x (domínio), o valor de f(x) (imagem) é sempre o mesmo. Por esse motivo, é definida como função constante. No item (9), espera-se que o aluno defina que o ponto A é o ponto de intersecção da parábola com o eixo y. Os pontos B e C são os pontos de intersecção com o eixo x ou ainda, que são as raízes ou zeros da função quadrática. O ponto D é o vértice da parábola. Estão presentes nesse item características do mundo formal, pois se espera que o aluno defina os pontos notáveis da parábola: raízes ou zeros da função, vértice e pontos de intersecção entre o gráfico e os eixos x e y.

102 DESIGN DA ATIVIDADE 4 Na Atividade 4, como dito anteriormente, ao invés de colocar várias expressões algébricas para serem plotadas num mesmo plano cartesiano, como especificadas no CAM, nós abordamos praticamente as mesmas questões da Atividade 3 adaptada, porém com a expressão algébrica na forma desenvolvida ou na forma geral, cujo objetivo é fazer o estudo de várias funções por meio da manipulação dos seletores oferecidos pelo software, realizando diversas simulações de maneira rápida, de modo que o aluno possa levantar suas hipóteses, bem como, conjecturas e testá-las, visando a construção do conhecimento sobre o conceito de função. A Figura 35 apresenta a interface do GeoGebra do arquivo referente a Atividade 4 adaptada para o uso do software. Figura 35: Interface do GeoGebra da Atividade 4 Fonte: Acervo pessoal

103 101 Abra o arquivo da atividade 4, no GeoGebra e responda as questões: 1) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando a assume valores positivos? E negativos? 2) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando b assume valores positivos? E negativos? 3) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando c assume valores positivos? E negativos? 4) O que podemos concluir sobre os valores de a, b, c em relação à função polinomial de 2º grau f(x) = ax 2 + bx + c? 5) Quando colocamos o valor de a = 0 o que acontece com o gráfico? Esse gráfico representa uma função? Se sim, qual? 6) Considerando o valor de a>0, quando a concavidade da parábola estará mais ou menos fechada? E quando a<0, o que acontece? Quadro 4: Design da Atividade 4 Ressaltamos que, ao abrir o arquivo da Atividade 4, o aluno vai encontrar a expressão algébrica ou, com os seletores indicando a = 1, b = 0 e c = 0. Nos itens (1) e (3), esperamos que o aluno faça uma análise similar a análise apresentada nos itens (1) e (2) da Atividade 3. No item (2), espera-se que o aluno observe que, quando modificar o valor do coeficiente b na função, o vértice percorre a trajetória de uma parábola definida por. Nesses três primeiros itens, identificamos características do mundo corporificado, pois, por meio da manipulação dos seletores a, b e c, esperamos que o aluno descreva as variações que ocorrem, respectivamente, no gráfico, assimilando mentalmente características do objeto em estudo. No item (4), esperamos que o aluno conclua que o coeficiente a está relacionado com a disposição da concavidade da parábola, ou seja, para cima ou para baixo, de acordo com o sinal (positivo ou negativo) do coeficiente; que o coeficiente b está relacionado com a translação da parábola horizontalmente, em relação ao eixo x; e que o coeficiente c está relacionado com a translação

104 102 da parábola, verticalmente, em relação ao eixo y, e ainda, que esse valor é o mesmo em que o gráfico intercepta o eixo y. Assim, ao relacionar os coeficientes com a expressão algébrica, dando sentido à função quadrática, formalizando o conceito do domínio específico desse item, estará usando características do mundo formal. No item (5), esperamos que o aluno responda que, quando o coeficiente a assume valor zero, a parábola se transforma em uma reta, paralela ao eixo x, representando o gráfico da função constante, quando b for igual a zero. Porém, quando a assume valor zero e b assume valores diferente de zero, o gráfico se transforma em uma reta crescente para b>0 e em uma reta decrescente quando b<0, obtendo assim, uma função do 1º grau. Encontramos características dos mundos corporificado, no que se refere à descrição do comportamento do gráfico, manipulando o seletor; e formal, porque se espera que o aluno reflita e assimile o tipo de função que se obtém atribuindo ao coeficiente a o valor zero e para b, valores zero, positivos e negativos. Por exemplo, quando a=0 e b=0, compreender a relação entre as variáveis x e f(x), ou seja, não importa o valor atribuído ao x (domínio), o valor de f(x) (imagem) é sempre o mesmo. Por esse motivo, é considerada como função constante. No item (6), esperamos que alunos façam a mesma análise apresentada no item (7) da Atividade DESIGN DA ATIVIDADE 5 Na Atividade 5, adaptamos situações com problemas, contemplando as Situações de Aprendizagem 1 e 4, cujo objetivo é aprofundar e contextualizar os conceitos trabalhados nas Situações de Aprendizagem anteriores como, por exemplo, encontrar a expressão algébrica da função por meio de gráfico ou de uma situação problema; explorar a noção de valor máximo ou mínimo; encontrar o valor da variável dependente substituindo, na lei da função dada no enunciado do problema, o valor na variável independente, a fim de auxiliar alunos a superarem algumas das dificuldades apontadas na literatura.

105 103 Consideramos as competências e habilidades relacionadas nos quadros presentes nas Situações de Aprendizagem 1 e 4, ilustrados na Figura 5 (p. 60) e na Figura 16 (p. 68), respectivamente. Adaptamos o Problema 3, do CAM (página 49), ilustrado na Figura 17 (p.68), com objetivo de aplicar função do 2º grau em diferentes contextos, para resolver situações envolvendo otimizações, por meio de análises de valor máximo ou mínimo; traduzir por meio de expressões algébricas a relação existente entre uma grandeza direta com o quadrado de outra e, resolvê-las interpretando os resultados encontrados. No CAM, esse problema retrata a situação da construção de um muro de 36 metros, em volta de um terreno retangular, a partir de uma parede já existente, trazendo a figura que ilustra a situação, logo abaixo do enunciado. É composta por três itens, para serem resolvidos no próprio caderno, num espaço destinado a cada item. No primeiro item, o aluno é convidado a expressar a lei algébrica A da área do terreno em função de x. No segundo item, construir o gráfico de A. No último, calcular a área máxima desse terreno, bem como, suas respectivas dimensões. Descreveremos, a seguir, nossas adaptações para esse problema, lembrando que, ao abrir o arquivo do Problema 1, Atividade 5, no GeoGebra, o aluno vai encontrar a reprodução do desenho do problema, presente no CAM, apresentada na Figura 36, porém com o valor de 12 unidades de medida, por ser mais conveniente para o aluno trabalhar no espaço disponível na interface do software. Além disso, estão visíveis os eixos coordenados, x e y, e uma barra vertical que contém um ponto P deslizante sobre ela, cuja finalidade será descrita logo abaixo, no decorrer das questões.

106 104 Figura 36: Interface do GeoGebra da Atividade 5. Fonte: Acervo pessoal pesquisa. A seguir, faremos a descrição do Problema 1, da Atividade 5, da nossa PROBLEMA 1 Deseja-se murar (cercar com muros) um terreno retangular utilizando-se de uma parede já existente no terreno. Sabe-se que o comprimento do muro correspondente aos outros três lados do terreno é 12 metros. a) Abra o arquivo da atividade 5, movimente o ponto P e observe o que acontece. Com a ferramenta do GeoGebra, meça os comprimentos dos segmentos ON, NI e HI. Coloque também a área do retângulo. b) Movimente novamente o ponto P e encontre a área máxima do retângulo. Anote na linha abaixo essa área. c) Quais as dimensões, comprimento e largura, do terreno para que a área seja máxima?

107 105 d) Tomando o segmento HI como x, movimente o ponto P de forma que x tenha as medidas indicadas na tabela e preencha o que se pede. x Perímetro Área x Perímetro Área 0 3, ,5 4, ,3 5,6 3 6 e) Escreva a expressão algébrica que representa a área desse retângulo. f) Construa o gráfico dessa função no GeoGebra. Você pode restringir o domínio de acordo com a tabela. g) Coloque um ponto sobre a parábola e movimente-o sobre a curva. Qual a altura máxima que esse ponto atinge? h) O que podemos concluir sobre esse ponto e a área máxima do retângulo? Quadro 5: Design da Atividade 5 Problema 1 No item (a), espera-se que o aluno perceba que, ao movimentar o ponto P sobre a barra vertical que se encontra à direita, na interface do software, o retângulo se altera, modificando as suas dimensões e, consequentemente a sua área. Por esse motivo, foi pedido para que ele coloque, de maneira visível, as dimensões dos segmentos que compõem os lados do retângulo (terreno) e a medida da área. Dessa forma, o aluno pode visualizar e compreender melhor a situação descrita no enunciado, bem como, nas questões ao pedir as dimensões do terreno para que sua área seja máxima, como veremos no item (c). No item (b), é esperado que o aluno encontre em uma de suas simulações, o valor 18 m 2, visualizando que, quando a área vale 18 m 2, as dimensões do retângulo assumem os valores 3 m e 6 m, respondendo assim, ao item (c). No item (d), o aluno é convidado a fazer as simulações com os valores pré-estabelecidos na tabela, preenchendo os campos vazios, sendo estes, o perímetro e a área. O software disponibiliza estas ferramentas de modo que ficam visíveis esses valores na interface, para o aluno anotar na tabela.

108 106 Nesses quatro primeiros itens, encontramos características do mundo corporificado, pelo fato do aluno observar as modificações ocorridas na situação criada na tela, por meio da manipulação do seletor, e descrever as propriedades percebidas sobre o objeto que estejam sendo requeridas. No item (e), esperamos que o aluno elabore a expressão algébrica para o cálculo da área e construa o gráfico no GeoGebra, como solicitado no item (f). Para isso, esperamos que ele compreenda a expressão algébrica da área de um retângulo para, então, deduzir a expressão requerida no exercício, por meio da interpretação do desenho construído na tela do software, utilizando características do mundo simbólico. No item (g), o aluno vai perceber, ao movimentar o ponto, que o valor mais alto que ele atinge é 18 unidades de medida, podendo até querer representá-lo por meio das coordenadas (3,18), representando o valor máximo pela ordenada y. Esperamos, então, que ele responda que a altura máxima atingida pelo ponto é de 18 unidades de medida, que é o mesmo valor da área máxima do retângulo, obtido no item (b). Dessa forma, pretendemos que ele conclua, no item (h), que o valor da área máxima é o mesmo valor da ordenada y do vértice da parábola. Nesse item, encontramos características do mundo corporificado, quando o aluno observa e descreve o valor máximo que atinge o gráfico, movimentando o seletor. Porém, encontramos raízes no mundo formal, quando o aluno é convidado a concluir a relação existente entre valor máximo e a ordenada do vértice da parábola, que é o objeto matemático implícito na questão. Adaptamos o problema 2, do CAM (página 7), ilustrado na Figura 6 (p.61), com o objetivo de relacionar grandezas direta e inversamente proporcionais, para a introdução do conceito de função, explorando as variáveis dependentes e independentes e análise de gráficos, a fim de desenvolver competências e habilidades para a compreensão desses conceitos, contextualizando a noção de função.

109 107 No CAM, observamos que, no enunciado do Problema 2 foi fornecida a expressão algébrica para o aluno identificar a constante de proporcionalidade no primeiro item. Nos dois próximos itens, o aluno podia fazer a substituição dos valores dados, nas questões, na variável correspondente da expressão algébrica, encontrando os valores desconhecidos da distância e do tempo. Notamos que a resolução desse problema estava condicionada apenas ao ambiente papel e lápis. Optamos, então, em elaborar questões para que os alunos pudessem refletir, a partir da construção de um gráfico, a fim de disponibilizar vários caminhos, vários raciocínios, para que construam o conhecimento, apreendendo o conceito do objeto de estudo da questão. A seguir, descrevemos o Problema 2 da Atividade 5, adaptada do CAM. PROBLEMA 2 Quando uma pedra é abandonada em queda livre (sem considerar a resistência do ar ao movimento), a distância vertical d que ela percorre em queda é diretamente proporcional ao quadrado do tempo t de queda, ou seja, d = kt 2. Observando-se que, após 1 segundo de queda, a pedra caiu 4,9 metros, pergunta-se: a) Qual é o valor da constante de proporcionalidade k? b) Qual a expressão algébrica que descreve esse movimento? c) Abra um arquivo no GeoGebra e construa o gráfico. d) Coloque um ponto sobre a curva. Trace uma perpendicular, passando por esse ponto, em relação ao eixo x e outra em relação ao eixo y. e) Considerando o problema, como você interpreta o ponto zero no gráfico? f) Qual é a distância vertical percorrida após 5 segundos? g) Quanto tempo a pedra levará para cair 49 m? Quadro 6: Design da Atividade 5 Problema 2 No item (a), espera-se que o aluno resolva o problema por meio da interpretação de que, a cada um segundo, a pedra cairá 4,9 metros, ou seja, 4,9 é a constante de proporcionalidade. A resolução também pode ser feita por meio da manipulação simbólica, se o aluno optar por substituir, na expressão

110 108 algébrica, o número correspondente nas variáveis d = 4,9 e t = 1, encontrando o valor desconhecido da constante de proporcionalidade (k = 4,9). Nesse item, encontramos características dos mundos corporificado, quando o aluno opta por resolver mentalmente a questão, refletindo e deduzindo a resposta da questão; e simbólico, quando o aluno opta por substituir os valores nas variáveis, encontrando a solução para a questão e, além disso, está sendo utilizado um número decimal, que requer um raciocínio mais sofisticado. No item (b), espera-se que o aluno escreva a expressão algébrica. Nesse item, identificamos característica do mundo simbólico, pois é esperado que o aluno substituísse o valor da constante k encontrado no item (a). No item (c), pedimos para o aluno construir o gráfico no GeoGebra e o item (d), para que ele construa retas auxiliares a fim de lhe assessorar na análise do gráfico, para a resolução dos próximos itens. No item (e), por ser uma questão aberta, em que o aluno deve expor seu ponto de vista, esperamos que ele interprete que o ponto zero é o momento em que a pedra é abandonada em queda livre, ou seja, a partir dele a pedra cai 4,9m em 1 segundo; 19,6m em 2 segundos; e, assim, por diante. Assim, (como respondido no item (a)), 4,9 é a constante de proporcionalidade, considerando-se a distância percorrida pela pedra. Porém, o aluno pode dizer que, por estar em queda livre, a constante deve levar o sinal negativo ( 4,9), isto é, a pedra vai perdendo altura, descrevendo um gráfico cuja concavidade da parábola esteja voltada para baixo. Além disso, outra interpretação seria expressar o raciocínio de que, a partir do zero, a pedra movimenta-se da seguinte maneira: 4,9m em 1 segundo; 19,6m em 2 segundos; e, assim, por diante; então, será considerado o valor absoluto da constante de proporcionalidade (4,9), acarretando um desenho de uma parábola cuja concavidade está voltada para cima. Esperamos, ainda, que alunos comentem que o gráfico ficará desenhado do lado positivo do eixo x, ou seja, com um domínio restrito no intervalo, uma vez que não há valores negativos

111 109 para representar o tempo, em segundos. Salientamos que aceitaremos como válidas as duas interpretações. Entendemos que, neste item, estão presentes características do mundo corporificado, quando é esperado que o aluno interprete e descreva o movimento da queda da pedra. O item (f) pode ser resolvido de duas maneiras diferentes. Uma delas é utilizar as retas auxiliares construídas e, por meio do ponto de intersecção entre elas, o aluno pode visualizar a coordenada (x,y), identificando que x é a variável independente e representa o tempo; y é a variável dependente e representa a distância percorrida pela pedra em queda livre. Assim, o ponto encontrado é (5; 122,51). Portanto, entendemos que fica mais fácil para o aluno interpretar que em 5 segundos a pedra caiu 122,51 m. Caso o aluno faça essa análise, estará utilizando características do mundo formal. Porém, se ele apenas identificar o ponto de intersecção e responder a questão sem assimilar a relação entre as variáveis, estará usando características do mundo corporificado. Outra opção, seria o aluno substituir o valor 5 na variável t (tempo) e, por meio da manipulação simbólica, chegaria ao resultado esperado, 122,5 m, utilizando, assim, características do mundo simbólico. Analogamente, no item (g), espera-se que o aluno manipule as retas e interprete que o ponto de intersecção entre elas tem a ordenada de valor 49. Ao localizar esse ponto (3,16; 49), espera-se que ele responda que a pedra levará 3,16 segundos para cair 49 m. Ao optar pela manipulação simbólica, substituindo a variável d (distância) por 49, encontrará a variável t (tempo) ao extrair a raiz quadrada de 10 que é, aproximadamente, igual a 3,16, considerando duas casas decimais, como está igualmente determinado no software. Portanto, pode concluir que a pedra cairá 49 m em aproximadamente 3,16 segundos. Nesses dois últimos itens, (f) e (g), se o aluno responder apenas por meio da observação das coordenadas do ponto de intersecção entre as retas, sem relacionar as variáveis, estará utilizando características corporificadas. Caso ele utilize a substituição do valor na expressão algébrica, encontrando o valor desconhecido, estará utilizando características simbólicas. Por fim, o

112 110 esperado é que o aluno formalize o conceito de função como uma relação entre duas variáveis: a distância percorrida pela pedra e o tempo gasto para isso; e que ele possa refletir e formalizar a ideia de domínio da função, pois, não existem valores negativos para a variável tempo. Dessa forma, utilizará características do mundo formal APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES DO CADERNO VOLUME 3 Para as próximas atividades, utilizamos o CAM, volume 3, para as adaptações da Atividade 6, referente ao estudo da função exponencial e da Atividade 7, em que é feita a abordagem da função logarítmica. Baseado em nossa Revisão de Literatura, percebemos que os alunos apresentaram dificuldades para operar potências que exibiam, tanto na base quanto no expoente, números negativos, decimais ou fracionários. Com intuito de prevenir esse fato, fizemos uma aula de revisão sobre Propriedades das Potências antes do início da resolução das nossas atividades, a fim de auxiliar os alunos na resolução das Atividades de funções exponencial e logarítmica DESIGN DA ATIVIDADE 6 Na Atividade 6, objetivamos trabalhar com a função exponencial na forma, a fim de que os alunos visualizem a variação do gráfico da função exponencial, conforme vão se alterando os parâmetros a, b, c, d, e, pois percebemos na Situação de Aprendizagem 1, no CAM (páginas 3 a 12), a intenção de se construir diversos gráficos de função exponencial num mesmo plano cartesiano, atribuindo-se valores inteiros e decimais para a base da potência, abordando o estudo de função crescente e decrescente. Segue a apresentação das questões, juntamente com a descrição da resolução delas.

113 111 Por ser mais conveniente e de leitura mais fácil, apresentamos separadamente cada exercício da Atividade 6, seguido das ações esperadas por alunos e as características que remetem cada item. A Figura 37 apresenta a interface do GeoGebra do arquivo referente à Atividade 6 adaptada para o uso do software. Figura 37: Interface do GeoGebra da Atividade 6 Fonte: Acervo pessoal Abra o arquivo da atividade 6, no GeoGebra. 1) Coloque o cursor sobre o gráfico e anote a lei da função... 2) Movimente o seletor a e responda as questões: a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando a assume valores positivos? E negativos? b) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando a=0? E a=1? c) A partir de a=0, movimente os valores de a lentamente para a direita e observe as variações no gráfico na expressão algébrica. Descreva o que você percebeu.

114 112 d) Com a=0.6, anote a expressão algébrica nas linhas abaixo. Coloque um ponto sobre a curva e anime-o. Observe a variação das coordenadas (x,y) do ponto A e complete a tabela abaixo. O que você percebe sobre os valores de y em relação à variação de x? e) Com a=2, anote a expressão algébrica nas linhas abaixo. Faça a animação do ponto A e complete a tabela abaixo. O que você percebe sobre os valores de y em relação à variação de x? f) Com base em suas observações, o que podemos concluir sobre uma função crescente ou decrescente? g) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? Quadro 7: Design da Atividade 6 Exercícios 1 e 2. Na questão (1), o aluno vai anotar em sua folha de respostas, a função exponencial, na forma. Ressaltamos que na questão (2) haverá movimentação apenas do seletor a, ficando fixos os seletores b=1, c=1, d=0, e=0. No item (a), ao movimentar o seletor a para a direita, ou seja, quando a assume valores positivos, espera-se que o aluno perceba que o gráfico se mantém nos quadrantes I e II, isto é, acima do eixo x. Já, quando a assume valores negativos, não existe gráfico construído no plano cartesiano. Na expressão algébrica, ele pode perceber que o valor que é atribuído ao parâmetro a, no seletor, é o valor que aparece na base da potência.

115 113 No item (b), quando a assume valor zero, o gráfico fica sobre o eixo x, considerando os demais seletores fixos. Na expressão algébrica, espera-se que o aluno perceba que, sendo zero, a base da potência ( ), notará que zero elevado a qualquer número, sempre resultará em zero, isto é,. Assim, pensando em pontos teríamos (1,0) e (3,0), o que resulta na imagem do gráfico sobre o eixo x. Salientamos que, sendo a base zero, não podemos atribuir valores negativos ao x, pois teríamos uma divisão por zero ao tentarmos resolver a potência,, o que não seria uma função exponencial. Quando a assume valor 1, o gráfico se apresenta como uma reta, paralela ao eixo x, interceptando o eixo y no ponto (0,1). Isso ocorre porque 1 elevado a qualquer número, resultará sempre em 1,, o que não seria uma função exponencial e, sim, uma função constante. Nesses dois primeiros itens, encontramos características do mundo corporificado, porque o aluno pode manipular o seletor, atribuindo valores para o parâmetro a, descrevendo o que percebeu sobre o objeto. Nos itens (c), (d), (e) e (f), objetivamos a identificação de características das funções como crescente e decrescente. Assim, num primeiro momento, pretendemos analisar o que os alunos observam ao movimentar o seletor a para a direita (a>0), pois quando atribuir valores para a tal que 0<a<1, o gráfico da função será decrescente; quando for atribuído valores para a tal que a>1, o gráfico da função será crescente. Para os alunos perceberem as diferenças entre uma e outra, no item (d), ele deve anotar a expressão algébrica ; ao completar a tabela, encontrará os pares ordenados ( 4; 7.72), ( 3.61; 6.32), ( 2.11; 2.94), (0;1), (1; 0.6), (2; 0.36) e (4; 0.13); observando os valores de x e de y, poderá dizer que, conforme se aumentam os valores de x, diminuem os valores de y; concluindo posteriormente, no item (f), que esta é uma característica de função decrescente, ou ainda, pode dizer que para ser uma função decrescente a base a da potência, deve ser um número compreendido entre zero e um (0<a<1).

116 114 Já no item (e), espera-se que o aluno anote a expressão algébrica. Ao completar a tabela, encontrará os pares ordenados ( 7; 0.01), ( 4; 0.06), ( 1; 0.5), (0; 1), (1; 2), (2; 4) e (3; 8); observando os valores de x e de y, poderá dizer, que conforme os valores de x aumentam, os valores de y também aumentam; concluindo posteriormente, no item (f), que esta é uma característica da função crescente, ou ainda, pode dizer que para ser uma função crescente, a base a da potência, deve ser um número maior que um (a>1), porém precisa se lembrar que não pode ser a=1, pois resultaria na reta paralela ao eixo x. Nos itens (c) até (f), encontramos características do mundo corporificado, quando o aluno manipula o seletor e descreve sua percepção sobre o movimento do objeto na tela. Porém, tem raízes no mundo formal, uma vez que, ao responder esses itens, o aluno pode construir a noção da condição de existência da função exponencial, que está implícita na questão, bem como, a classificação da função em crescente ou decrescente. No item (g), espera-se que o aluno perceba que o gráfico intercepta o eixo y no ponto (0,1). Quanto às características dos Três Mundos da Matemática, se o aluno apenas responder por meio da visualização do gráfico na interface do software, ou copiando as coordenadas do ponto que aparecem na Janela de Álgebra, estará utilizando características do mundo corporificado. Caso ele opte em substituir zero na variável x, da expressão algébrica visível na Janela de Álgebra, para calcular o valor do y, determinando as coordenadas do ponto (x,y), estará utilizando características do mundo simbólico. Porém, se o aluno assimilar e identificar os eixos x e y como abscissa do ponto (eixo horizontal) e ordenada (eixo vertical) respectivamente, estará utilizando características do mundo formal, pois, conforme mencionado, para se determinar as coordenadas de um ponto é preciso seguir regras formais (LIMA; SOUZA, 2012). A seguir, descreveremos o exercício 3 dessa atividade. 3) Movimente o seletor b e responda as questões: a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando b assume

117 115 valores positivos? E negativos? b) Escolha um valor positivo para representar b e anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. c) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? d) Escolha um valor negativo para representar b e anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. e) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? f) O que podemos concluir sobre o valor de b na expressão algébrica f(x)=b.a cx+d +e. Quadro 8: Design da Atividade 6 Exercício 3. Ressaltamos que os seletores c, d, e ficarão fixos nos valores 1, 0, 0, respectivamente, e a função será. Nos itens (a), (b) e (d), esperamos que os alunos percebam que, como o coeficiente b está multiplicando a base da potência, se ele escolher para a base um número a tal que 0<a<1, e multiplicá-la por um valor de b positivo, a função será decrescente (Exemplo: ) e o gráfico tem sua imagem nos quadrantes I e II. Para constatar, o aluno pode colocar um ponto sobre a curva e, ao manipulá-lo, observará que, conforme aumenta o valor da abscissa x, diminui o valor da ordenada y. Mantendo esse mesmo valor para a base, porém escolhendo um valor negativo para b, a função passa a ser crescente (Exemplo: ), pois se colocar um ponto sobre a curva observará que a variação das coordenadas aumenta simultaneamente e a imagem do gráfico fica nos quadrantes III e IV. Quando a base da potência for a>1 ao ser escolhido para b um valor positivo, a função obtida é crescente e o gráfico se desenha nos quadrantes I e II. Mantendo-se o mesmo valor para a base, porém invertendo o valor de b para números negativos, a função fica decrescente e o gráfico se desenha nos quadrantes III e IV. Encontramos nesses três itens características do mundo corporificado, uma vez que os alunos são convidados a atribuir valores para os parâmetros, por meio dos seletores e, então, observar as variações, refletir sobre elas e conjecturar sobre o objeto em questão.

118 116 Nos itens (c) e (e), espera-se que o aluno observe que o gráfico intercepta o eixo y no mesmo valor atribuído ao parâmetro b, que é, também, o valor que multiplica a potência (a cx+d ). Vale ressaltar que isso ocorre quando e assume valor zero. Quanto à determinação das características dos Três Mundos da Matemática, consideraremos a mesma análise feita no item (g), da questão (2), dessa atividade. No item (f), esperamos que o aluno perceba que a potência está multiplicada por b, ou seja, se a b for atribuído o valor 3, significa que a função resultará em uma imagem y que será o triplo do resultado da potência. Por exemplo:, se atribuirmos para x o valor 1, a potência resultará em 2. Fazendo o triplo de 2 obteremos 6. Identificamos características do mundo formal, pelo fato de o aluno ser convidado a formalizar a condição de influência do parâmetro b na função. Para isso, terá que refletir sobre suas conjecturas anteriores e associar o parâmetro b à função. A seguir, descreveremos o exercício 4 da Atividade 6. 4) Considerando a=2 e b=1, movimente os valores de c e responda as questões. a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando c assume valores positivos? E negativos? b) Escolha um valor positivo para representar c e anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. c) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? d) Escolha um valor negativo para representar c e anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. e) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? f) Escolha outros valores para representar a e b. Movimente os valores de c e observe as variações do gráfico e da expressão algébrica. Selecione um valor para representar c e anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. g) O que podemos concluir sobre o valor de c na expressão algébrica f(x)=b.a cx+d +e? Quadro 9: Design da Atividade 6 Exercício 4.

119 117 Ressaltamos que nessa questão estão fixos os seletores d=0 e e=0. Para a resolução dos itens (a) até (e), consideraremos a função. Nos itens (a) até (e), espera-se que o aluno observe que ao atribuir valores positivos para c, a função continua crescente. Ao atribuir números negativos, a função se altera para decrescente. Na expressão algébrica, o valor atribuído a c, por meio do seletor, aparece no expoente da potência, multiplicando x. Assim, chamamos a atenção para esse exercício que tem a base a>1, porém o expoente é negativo. Por exemplo, se o aluno escolher c= 3, deverá ter a função, aplicando a Propriedade da Potenciação, obterá, ou seja, a base está entre 0<a<1, que é uma função decrescente. Por esse motivo, ao atribuir números negativos, nesse caso, a função resulta em decrescente, embora tenha uma base representada por a>1. Nos itens (c) e (e), espera-se que o aluno perceba que, independente do valor atribuído ao c, o gráfico intercepta o eixo y no ponto (0,1), pois os seletores estão fixos em a=2, b=1, d=0 e e=0. Consideraremos a mesma determinação das características dos Três Mundos da Matemática apresentada na questão (2), no item (g), dessa atividade. No item (f), para analisar a condição da função em relação ao fato de ser crescente ou decrescente, dependerá dos valores atribuídos aos parâmetros a, b e c. Apresentamos na tabela, a seguir, as possíveis respostas dos alunos. FUNÇÃO DECRESCENTE FUNÇÃO CRESCENTE 0 < a < 1, b > 0 e c > 0 0 < a < 1, b < 0 e c > 0 0 < a < 1, b < 0 e c < 0 0 < a < 1, b > 0 e c < 0 a > 1, b < 0, c > 0 a > 1, b > 0 e c > 0 a > 1, b > 0 e c < 0 a > 1, b < 0, c < 0 Quadro 10: Condições para o crescimento ou decrescimento da função exponencial. Nos itens (a), (b), (d) e (f), encontramos características do mundo corporificado se o aluno apresentar apenas a descrição da sua percepção sobre o comportamento do gráfico, por meio do manuseio dos seletores. No

120 118 entanto, se o aluno refletir e conseguir relacionar o valor atribuído (positivo ou negativo) ao parâmetro com a base, dando significado à expressão algébrica, juntamente com o gráfico, formalizando o porquê de ser crescente e/ou decrescente, apresentará características do mundo formal. No item (g), esperamos que o aluno observe que o parâmetro c é responsável pelo aumento acelerado, ou não, no crescimento e/ou decrescimento da função, uma vez que c encontra-se no expoente, multiplicado por x. Por exemplo, analisando alguns pontos para a função, encontramos (1,2), (2,4), (3,8). Se alterarmos o valor de c = 2, obtemos a função, analisando os pontos de mesma abscissa, encontramos (1,4), (2,16), (3,64). Percebemos que o crescimento ou decrescimento exponencial é modificado de acordo com o valor atribuído ao parâmetro c. Encontramos neste item características do mundo formal, uma vez que o aluno é convidado a formalizar suas conjecturas, sobre o parâmetro c e a relação com a expressão algébrica da função. Porém, se o aluno apenas descrever o que observou com a manipulação do seletor, sem relação alguma entre a variação do gráfico e a expressão algébrica e os valores do coeficiente, estará usando características corporificadas. A seguir, descreveremos o exercício 5 da Atividade 6. 5) Considerando a=2, b=1, c=1, movimente os valores de d e responda as questões. a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando d assume valores positivos? E negativos? b) Escolha um valor positivo para representar d e anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. c) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? d) Escolha um valor negativo para representar d e anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. e) Faça modificações nos valores de a, b, c e d, escolhendo inclusive, valores negativos. Anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou

121 119 decrescente? Justifique sua resposta. f) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? g) O que podemos concluir sobre o valor de d na expressão algébrica f(x)=b.a cx+d +e? Quadro 11: Design da Atividade 6 Exercício 5. Ressaltamos que nessa questão, o seletor fixo é e=0. Para a resolução dos itens de (a) até (d), foram fixados a=2, b=1 e c=1. Nos itens (a) até (d), os alunos trabalharão com a função. Esperamos que o aluno perceba que, ao variar os valores de d, para positivos ou negativos, a função continua sempre crescente. A modificação ocorre na curvatura do gráfico, pois o parâmetro d está diretamente relacionado a uma adição com x no expoente da potência. Quanto maior é o valor de d, maior fica a curvatura, que intercepta o eixo y no ponto (0, ), ou seja, substituindo o zero no lugar de x, nessa função, obtemos:. Assim, para a resolução dos itens (c) e (f), dependerá do valor atribuído ao parâmetro d. A determinação das características dos Três Mundos da Matemática que usaremos é a mesma análise apresentada na questão (2), item (g) dessa atividade. No item (a), encontramos características do mundo corporificado, pelo motivo de ser uma descrição da variação do gráfico, de acordo com o valor atribuído ao parâmetro, por meio da movimentação do seletor. Nos itens (b), (d) e (e), encontramos características do mundo corporificado se o aluno apresentar apenas a descrição da sua percepção sobre o comportamento do gráfico, sem assimilação da expressão algébrica com o valor do parâmetro. No entanto, se o aluno refletir e conseguir relacionar o valor atribuído (positivo ou negativo) ao parâmetro com a base, dando significado à expressão algébrica, juntamente com o gráfico, formalizando o porquê de ser crescente e/ou decrescente, usará características do mundo formal. Os itens (e) e (f) dependem dos valores escolhidos por cada aluno. Na tabela abaixo, segue uma relação sobre as condições para que a função seja crescente ou decrescente, de acordo com os valores atribuídos aos parâmetros

122 120 a, b, c, d. Esperamos que o aluno responda pelo menos uma dessas possibilidades. FUNÇÃO CRESCENTE FUNÇÃO DECRESCENTE 0<a<1, b<0, c>0, d>0 0<a<1, b>0, c>0, d>0 0<a<1, b>0, c<0, d>0 0<a<1, b>0, c>0, d<0 0<a<1, b<0, c>0, d<0 0<a<1, b<0, c<0, d>0 0<a<1, b>0, c<0, d<0 0<a<1, b<0, c<0, d<0 a>1, b>0, c>0, d>0 a>1, b<0, c>0, d>0 a>1, b>0, c>0, d<0 a>1, b>0, c<0, d>0 a>1, b<0, c<0, d>0 a>1, b<0, c>0, d<0 a>1, b<0, c<0, d<0 a>1, b>0, c<0, d<0 Quadro 12: Classificação da função exponencial em crescente ou decrescente. No item (g), espera-se que o aluno observe que o valor do parâmetro d não influencia no crescimento e/ou decrescimento da função, mas na curvatura do gráfico. Encontramos características do mundo formal, uma vez que é esperado que o aluno formalize suas conjecturas sobre o parâmetro d e a relação dele com a expressão algébrica da função. A seguir, descreveremos o exercício 6 da atividade 6. 6) Considerando a=2, b=1, c=1 e d=0 movimente os valores de e. Responda as questões. a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando e assume valores positivos? E negativos? b) Escolha um valor positivo para representar e. Anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. c) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? d) Escolha um valor negativo para representar e. Anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta.

123 121 e) Escolha um valor 0<a<1 para representar a. Movimente os valores de e, observando as variações do gráfico e da expressão algébrica. Selecione um valor para representar e. Anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. f) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? g) O que podemos concluir sobre o valor de e na expressão algébrica? Quadro 13: Design da Atividade 6 Exercício 6. Nos itens de (a) até (d), vamos trabalhar com a função. Esperamos que o aluno observe que quando e assume valores positivos, o gráfico translada verticalmente para cima, no sentido positivo do eixo y, tantas unidades quantas forem escolhidas para e. Analogamente, quando e assume valores negativos, o gráfico translada verticalmente para baixo, no sentido negativo do eixo y. Dessa maneira, a função é crescente, independente do valor, positivo ou negativo, que for atribuído ao parâmetro e, porque a base da potência é um número a tal que a>1, que é característica da função crescente. Ressaltamos que, no item (a), encontramos características do mundo corporificado, por ser uma descrição da variação do gráfico, de acordo com o valor atribuído ao parâmetro por meio da movimentação do seletor. Ou seja, refere-se às percepções mentais, do aluno, sobre o objeto. Nos itens (c) e (f), pretendemos que o aluno identifique que o ponto de intersecção com o eixo y se dá pela adição dos valores atribuídos aos parâmetros b e e, ou seja, será o ponto (0, b+e). Caso o aluno consiga fazer essa leitura, relacionando o gráfico com a expressão algébrica, apresentará características do mundo formal. Porém, se o aluno copiar as coordenadas do ponto visível na Janela de Álgebra, usará características do mundo corporificado. Se optar por substituir zero na expressão algébrica para calcular o valor de y, usará características do mundo simbólico. Sugerimos a exploração de outros valores para b, a fim de perceber a relação (0, b+e). No item (e), esperamos que o aluno escolha uma base para a potência entre 0<a<1 e um valor qualquer para o parâmetro e, compondo, por exemplo, a função. Como já estudado, essa é característica da função

124 122 decrescente. Logo, independe do valor atribuído ao parâmetro e, o papel dele é transladar o gráfico verticalmente, para cima ou para baixo, em relação ao eixo y, tantas unidades quanto lhe forem atribuídas. A propósito, é o que pretendemos que alunos concluam no item (g). Assim, essa função será sempre decrescente. Nos itens (b), (d) e (g), se o aluno apenas descrever sua percepção mental, sobre a variação do gráfico em relação ao movimento dos respectivos seletores, usará características do mundo corporificado. Porém se o aluno o responder relacionando a influência da inserção desse parâmetro à expressão algébrica com o gráfico, formalizando o conceito, estará usando características do mundo formal. A seguir, descreveremos os exercícios 7 e 8, referentes aos problemas adaptados do CAM, volume 3 (páginas 23 e 24), exercícios 1 e 2, respectivamente, da seção Lição de Casa, apresentados na Figura 24 (p.75) e Figura 25 (p.75). Nessa seção, o exercício 1, referente a População de Bactérias traz, no enunciado, a expressão algébrica das populações de bactérias P 1 e P 2. Dessa forma, convida o aluno a responder três itens, por meio da manipulação algébrica, substituindo os valores fornecidos nos itens, encontrando a solução do problema. Não pede construção do gráfico. Já o exercício 2, referente a Substância Radioativa, segue o mesmo padrão, fornecendo a expressão algébrica no enunciado, e sugerindo dois itens para o aluno responder utilizando a manipulação algébrica. Também não questiona o gráfico. Analisando os dois problemas, podemos dizer que a resolução das questões é baseada na utilização das propriedades da potenciação, sendo realizadas apenas no ambiente papel e lápis. Dessa maneira, adaptamos esses dois problemas, pedindo para os alunos construírem os gráficos das funções, uma vez que julgamos importante a visualização do comportamento do gráfico, para interpretação e resolução das questões.

125 123 Atividade 6. A seguir, descreveremos nossas adaptações nos exercícios 7 e 8 da 7) Certa população P 1 de bactérias dobra a cada meia hora, ou seja, P 1 = t (t em horas). Simultaneamente, outra população P 2 de bactérias cresce mais lentamente que P 1, dobrando de valor a cada duas horas, P 2 = ,5t (t em horas). a) Construa os gráficos de P 1 e P 2 no GeoGebra. b) As funções P 1 e P 2 são crescentes ou decrescentes? Justifique sua resposta. c) Em que instante t as duas populações terão o mesmo valor? d) Quais serão os valores de P 1 e P 2 quando t=3? 8) Certa substância radioativa decompõe-se de forma que sua massa m reduz-se à metade do valor inicial a cada 4 horas. Partindo-se de 60 gramas da substância, temos m = ,25t. a) Construa o gráfico da função no GeoGebra. b) A função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. Coloque um ponto sobre a curva. Construa duas perpendiculares passando por este ponto sendo uma em relação ao eixo x e outra em relação ao eixo y. c) Qual será a massa restante após 8 horas? E após 3 horas? d) Após quanto tempo a massa restante será igual a 12 gramas? E a 20 gramas? Quadro 14: Design da Atividade 6 Exercícios 7 e 8. No exercício 7, itens (a) e (b), esperamos que o aluno construa os gráficos, cujas expressões algébricas foram fornecidas no enunciado, e percebam pela curva, que são funções crescentes. Entendemos que a plotagem de gráficos, com auxílio de um software, deva ser considerada como característica do mundo corporificado. Como as incógnitas trabalhadas nos exercícios 7 e 8 se referem ao tempo, em horas, esperamos que os alunos restrinjam o domínio das funções para valores positivos.

126 124 No item (c), o aluno pode resolver observando o ponto de intersecção entre os dois gráficos, considerando a abscissa desse ponto, que é 2 horas, utilizando assim, características do mundo formal, pelo fato de ter compreendido que a intersecção entre as curvas é o momento que as duas funções tem o mesmo valor para x. Caso ele demonstre que conseguiu relacionar os eixos x e y com as variáveis independente (tempo) e dependente (quantidade de bactérias), respectivamente, usará características do mundo formal. Se o aluno resolver algebricamente, igualando as duas funções e isolando a incógnita t (tempo), encontrando o mesmo valor de 2 horas, estará utilizando características do mundo simbólico. Analogamente, no item (d), se o aluno apenas observar as coordenadas do ponto (x, y) de intersecção da reta auxiliar com os gráficos P 1 e P 2, no instante 3 horas, encontrará os resultados e 22627,42, respectivamente, usando características do mundo corporificado. Se ele substituir a incógnita t por 3 e resolver algebricamente cada uma das funções P 1 e P 2, encontrará os mesmos resultados, utilizando assim, características do mundo simbólico. Se conseguir assimilar o conceito de função como uma relação entre as variáveis tempo (em horas), expresso no eixo horizontal (variável independente), e a variável quantidade da população, expresso no eixo vertical (variável dependente), encontrando os resultados, estará utilizando características do mundo formal. No exercício 8, nos itens (a) e (b), esperamos que o aluno perceba que o gráfico construído é de uma função decrescente. Observando a função, ele também pode identificar, utilizando o conceito aprendido no exercício 4, que chamava atenção para o expoente negativo, representado por uma base a>1, pois ao resolver pela Propriedade da Potência, obterá, sendo a base da potência, na realidade, um número entre 0< a <1 e b>0. Nesse caso, encontramos características do mundo corporificado, pelo fato de que o aluno vai plotar o gráfico, por intermédio do software, e analisar o comportamento da curva desenhada na tela, formulando suas conjecturas. Ressaltamos que, se o aluno identificar que a função é decrescente por meio de uma análise algébrica, ou seja, que a base está representada por um

127 125 número a tal que 0<a<1, está multiplicada por um número b tal que b>0, no expoente há um número c tal que c>0, estará usando características do mundo formal. No item (c), o aluno pode resolver utilizando a manipulação das retas construídas, localizando-as sobre o valor requerido no problema, ou seja, sobre o número 8, no eixo x (tempo) e obterá a ordenada y do ponto, na Janela de Álgebra, que é igual a 15 gramas. Idem para 3 horas, cujo resultado esperado é igual a 35,66 gramas. Outra opção é a resolução algébrica, por meio da substituição dos valores 8 e 3, na incógnita tempo (t), resultando nos números 15 gramas e 35,66 gramas, respectivamente. No item (d), espera-se que o aluno perceba que agora tem a ordenada 12 (em gramas) e precisa achar o tempo (em horas). Pode resolver com auxílio das retas construídas, localizando-as sobre o número 12 e obterá a abscissa desse ponto, na Janela de Álgebra do GeoGebra, que é o valor 9,28 horas. O mesmo ocorre para o valor 20 gramas, cujo resultado é igual a 6,24 horas. Também pode optar em resolver algebricamente, substituindo a incógnita m (massa) na função, calculando a outra. Como dito anteriormente para os itens (c) e (d), se o aluno compreender a expressão algébrica como sendo uma relação entre as variáveis massa e tempo, e utilizá-la para representar suas conjecturas e manipulá-la para concluir o objeto requerido na questão, usará características do mundo simbólico; e, ainda, utilizando a relação entre as variáveis dependente e a independente, fazendo a leitura do gráfico buscando as coordenadas do ponto, cuja abscissa ou a ordenada, tenha sido solicitada (x, y), usará características do mundo formal. Porém, se o aluno apenas buscar, na Janela de Visualização, as coordenadas do ponto de intersecção das retas auxiliares com os respectivos gráficos requeridos nos itens, estará utilizando características do mundo corporificado. Nossa próxima atividade foi inspirada nas anteriores, cujo objetivo era introduzir os parâmetros, um por vez, para percepção das variações do gráfico.

128 126 No CAM, volume 3, os exercícios referentes ao logaritmo, são apresentados com exercícios de manipulação algébrica para cálculo de logaritmo em qualquer base; problemas que abordam Terremoto e a Escala Richter, o ph (potencial hidrogeniônico) de substâncias, e a intensidade do som medida em decibel. Para esses problemas, não encontramos situações que pudessem ser adaptadas para o uso do software de maneira dinâmica, a fim de desenvolver apreensão do conceito de função DESIGN DA ATIVIDADE 7 Por ser mais conveniente e de leitura mais fácil, também apresentamos separadamente cada exercício da Atividade 7, seguido das ações esperadas por alunos e as características que remetem cada item. A Figura 38 apresenta a interface do GeoGebra do arquivo referente a Atividade 7 adaptada para o uso do software. Figura 38: Interface do GeoGebra da Atividade 7 Fonte: Acervo pessoal

129 127 Abra o arquivo da atividade 7, no GeoGebra. 1) Coloque o cursor sobre o gráfico e anote a lei da função... 2) Movimente o seletor a e responda as questões: a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando a assume valores positivos? E negativos? b) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando a=0? E a=1? c) A partir de a=0, movimente os valores de a lentamente para a direita e observe as variações no gráfico na expressão algébrica. Descreva o que você percebeu. d) Com a=0.6, anote a expressão algébrica nas linhas abaixo. Coloque um ponto sobre a curva e anime-o. Observe a variação das coordenadas (x, y) do ponto A e complete a tabela abaixo. O que você percebe sobre os valores de y em relação à variação de x? e) Com a=2, anote a expressão algébrica nas linhas abaixo. Faça a animação do ponto A e complete a tabela abaixo. O que você percebe sobre os valores de y em relação a variação de x? f) Com base em suas observações, o que podemos concluir sobre uma função crescente ou decrescente? g) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x? Quadro 15: Design da Atividade 7 Exercícios 1 e 2. No exercício 1, o intuito é apresentar a expressão algébrica do logaritmo para os alunos. Porém, explicamos para os alunos que o software só permite escrever a função logarítmica na forma de base decimal. Por esse motivo, para se trabalhar com logaritmos em outras bases, é preciso utilizar a Propriedade da Mudança de Base. Dessa forma, ele deve anotar, na folha, a função. Ressaltamos que, no exercício (2), estarão fixados os seletores em b=1, c=1, d=0, e=0.

130 128 No exercício 2, itens (a) e (b), é esperado que o aluno perceba a condição de existência do logaritmo, ou seja, quando a assume valores negativos, zero e um, não há gráfico construído. Assim, o gráfico da função é existente para a>0 e, ou seja, a maior que zero e a diferente de 1. Além disso, pode observar que o gráfico se desenha nos quadrantes I e IV. Salientamos que no item (c), quando colocamos a=0, não queremos que os alunos considerem zero, mas sim, valores a partir de zero (a>0), como por exemplo, 0,1; 0,2; 0,5; 0,6, entre outros, para que possam perceber que quando a assume um valor tal que 0<a<1, a curva se desenha de uma maneira; quando passa de a>1, a curva muda de posição. As conjecturas que são esperadas pelos alunos, para esse item, estão descritas a seguir. Nos itens (c), (d) e (e), o aluno deve observar as características para a função ser crescente e/ou decrescente. A primeira expressão algébrica solicitada é. Ao preencher a tabela, de acordo com essa função, o aluno deve encontrar as seguintes coordenadas (0,16; 3,53), (0,41; 1,74), (1;0), (2; 1,35); (3; 2,15) e (8; 4,07); e identificar que, conforme o valor de x aumenta, o valor de y diminui. Então, o desenho da curva que ele observa na Janela de Visualização do software, é o de uma função decrescente. A próxima função solicitada é. Ao preencher a tabela, de acordo com essa função, o aluno encontrará as coordenadas, a saber: (0,16; 2,6), (0,34; 1,54), (0,51; 1), (1; 0), (2; 1), (4; 2), (8; 3). Analisando a variação de y em função de x deve perceber que, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y também aumentam. Assim, o desenho da curva que se projeta na tela é o de uma função crescente. Nesses cinco primeiros itens, se o aluno apenas descrever as conjecturas observadas por meio da manipulação dos seletores, estará utilizando características do mundo corporificado. Caso ele faça a relação entre os valores que a pode assumir, a expressão algébrica e o gráfico, construindo a noção da condição de existência do logaritmo que está implícito na questão, mas não de maneira clara, estará usando características do mundo formal.

131 129 No item (f), pretendemos que o aluno identifique que a função será crescente quando a>0; e será função decrescente, quando 0<a<1. Ao assimilar essa informação, estará construindo a noção da condição de existência dos logaritmos, cujo domínio da função é o conjunto dos números reais positivos. Ao formalizar esse conceito, usará características do mundo formal. No item (g), esperamos que o aluno perceba que o gráfico da função logarítmica não intercepta o eixo y; e no eixo x, passa pelo ponto (1,0). Se o aluno simplesmente anotar as coordenadas do ponto que está visível na Janela de Álgebra, ou por meio da visualização do gráfico, usará características do mundo corporificado. Se ele relacionar as coordenadas do ponto com os eixos x e y, identificando as variáveis dependente e independente, usará características do mundo formal. A seguir, descrevemos o exercício 3 da Atividade 7. 3) Movimente o seletor b e responda as questões: a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando b assume valores positivos? E negativos? b) Escolha um valor positivo para representar b e anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. c) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x? d) O que podemos concluir sobre o valor de b na expressão algébrica? Quadro 16: Design da Atividade 7 Exercício 3. No exercício (3), estão fixos os seletores em c=1, d=0, e=0. Os itens (a) e (b) dependem do valor atribuído para a base do logaritmo. Se o aluno escolher um valor a tal que 0<a<1 e b>0, a função é decrescente. Se for escolhido 0<a<1 e b<0, a função se altera para crescente. Porém, se a base for a>1 e b>0, a função é crescente. Por fim, se for a base a>1 e b<0, resultará em decrescente. Nesse caso, encontramos características do mundo corporificado, uma vez que os alunos vão manipular o seletor b, e perceber as variações ocorridas no gráfico e, então, ao descrevê-las, começam a formular conjecturas, deduzindo propriedades, tais como, as condições observadas para função ser crescente e/ou decrescente.

132 130 No item (c), consideraremos a mesma análise feita no item (g), do exercício (2) dessa atividade. No item (d), esperamos que o aluno observe que, na função, o valor de b está multiplicando o valor do logaritmo e, por conseguinte, a função tem um crescimento ou decrescimento mais acentuado. Por exemplo, se o valor de b=2, significa que o resultado do logaritmo aumentará em duas vezes. Estão presentes características do mundo formal, uma vez que é esperada do aluno a formalização da condição do parâmetro b em relação a sua inserção na expressão algébrica, juntamente com as modificações sofridas graficamente. Porém, se o aluno simplesmente relatar suas percepções de acordo com a manipulação dos seletores, estará usando características do mundo corporificado. A seguir, descreveremos o exercício 4 da Atividade 7. 4) Considerando a=2 e b=1, movimente os valores de c e responda as questões. a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando c assume valores positivos? E negativos? b) Escolha um valor negativo para representar c e anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. c) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x? d) O que podemos concluir sobre o valor de c na expressão algébrica? Quadro 17: Design da Atividade 7 Exercício 4. No exercício (4), estão fixos os seletores em a=2, b=1, d=0, e=0. A expressão algébrica que será trabalhada nesse exercício é. Nos itens (a), (b) e (d), espera-se que o aluno perceba que, quando c assume valores positivos, o gráfico é de uma função crescente, presente nos quadrantes I e IV. Quando c assume valores negativos, passa a ser uma função decrescente, cujo gráfico se encontra nos quadrantes II e III. Na expressão algébrica, o valor atribuído a c fica multiplicado diretamente por x, o que faz com que o ponto de intersecção da curva com o eixo x, tenha outros valores diferentes de (1,0). Isso ocorre porque o ponto de intersecção com eixo

133 131 x tem que ter sua ordenada sempre zero. Para isso, o valor de (c.x), no logaritmando, deve ser sempre igual a 1, pois segundo a Propriedade dos Logaritmos 10, temos. Assim, a abscissa do ponto de intersecção dependerá do valor atribuído a c, de modo que o produto desses dois fatores resulte sempre em 1. Por exemplo, se o aluno escolher c=2, na Janela de Visualização do software, o gráfico já se desloca para o ponto de abscissa (0,5), porque. O aluno também pode observar as coordenadas desse ponto na Janela de Álgebra. Logo, para responder ao item (c), dependerá do valor atribuído ao parâmetro c, porém esperamos que os alunos percebam essa relação de dependência de c com x, para determinarem as coordenadas do ponto de intersecção da curva com o eixo x, compreendendo as modificações que ocorrem com a função, ao ser inserido esse parâmetro e, assim, conseguirão concluir o item (d). Se o aluno fizer essa análise, estará usando características do mundo formal. Caso ele anote as coordenadas do ponto via Janela de Álgebra do software, usará características do mundo corporificado. Encontramos características do mundo corporificado nos itens (a) e (b), devido às percepções e descrições das variações ocorridas graficamente, de acordo com a inserção do parâmetro c, acarretando as deduções de propriedades, por parte do aluno. Vale ressaltar que consideramos c diferente de zero no item (e), pois se o parâmetro c assumisse o valor zero, não haveria gráfico construído no plano cartesiano. Isto é, teríamos e resolvendo, obteríamos, e não existe nenhum valor para y que satisfaça a equação. Sugerimos a exploração de outros valores de a como, por exemplo, 0<a<1, a fim de que se perceba a influência de c quando inserido na função. A seguir, descreveremos o exercício 5 da Atividade 7. 5) Considerando a=2, b=1, c=1, movimente os valores de d e responda as questões. 10 O logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a zero.

134 132 a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando d assume valores positivos? E negativos? b) Escolha um valor positivo para representar d e anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. c) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x? d) Escolha um valor negativo para representar d e anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. e) Faça modificações nos valores de a, b, c e d, escolhendo inclusive, valores negativos. Anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. f) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x? g) O que podemos concluir sobre o valor de d na expressão algébrica? Quadro 18: Design da Atividade 7 Exercício 5. No exercício (5), o seletor está fixo em e=0. Nos itens de (a) até (d), trabalharemos com a expressão algébrica definida como. O ponto de intersecção da curva com o eixo x é (1,0). O aluno deve perceber que, quando d assume valores positivos, o gráfico translada para o sentido negativo do eixo x, a partir do ponto (1, 0), quantas unidades forem atribuídas a d. O mesmo ocorre quando se atribui a d valores negativos, porém a translação do gráfico é para o sentido positivo do eixo x. Por exemplo, se o aluno atribuir d=4, a expressão algébrica resulta em. Então, a partir da abscissa 1, o gráfico translada 4 unidades, para o sentido negativo do eixo x, parando em 3. Logo, o ponto de intersecção com eixo x é igual a ( 3,0). Outra opção para resolução, comentada no exercício anterior, é lembrar que a intersecção do gráfico com eixo x resulta num ponto de coordenadas (x,0). Para obter o valor zero para a ordenada, significa que o resultado de (x+d) tem que ser 1, pois, segundo a Propriedade dos Logaritmos,. Considerando o mesmo valor, d=4, para que (x+d) resulte em 1, podemos fazer a operação Logo, o ponto de intersecção com eixo x é igual a ( 3,0).

135 133 A intersecção com o eixo y é o ponto cujas coordenadas são (0,y). Espera-se que o aluno observe que só ocorre intersecção da curva com o eixo y, quando temos d>0. Como y resulta da função e a abscissa x=0, significa que (0+d) ou o valor d não pode ser número negativo e nem zero, pois d assume o valor do logaritmando da função cuja condição de existência, pra ele, é ser um número positivo. Nesse caso, estão presentes características do mundo formal. Sobre a questão de ser função crescente e/ou decrescente, espera-se que o aluno perceba que é indiferente o valor escolhido para o parâmetro d, uma vez que ele é responsável apenas pela translação horizontal do gráfico, em relação ao eixo x, modificando as coordenadas do ponto de intersecção do gráfico com os eixos x e y. De acordo com os exercícios estudados acima, são os parâmetros a, b, c que influenciam a classificação da função crescente ou decrescente. A seguir, no quadro estão relacionadas todas as possibilidades de resposta para a classificação da função em crescente ou decrescente, de acordo com os valores atribuídos aos parâmetros a, b, c, d. Esperamos que os alunos consigam concluir ao menos uma delas. FUNÇÃO DECRESCENTE FUNÇÃO CRESCENTE 0<a<1, b>0, c>0 0<a<1, b>0, c<0 0<a<1, b>0, c>0 0<a<1, b>0, c<0 0<a<1, b<0, c<0 0<a<1, b<0, c>0 0<a<1, b<0, c<0 0<a<1, b<0, c>0 a>1, b>0, c<0 a>1, b>0, c>0 a>1, b>0, c<0 a>1, b>0, c>0 a>1, b<0, c>0 a>1, b<0, c<0 a>1, b<0, c>0 a>1, b<0, c<0 Quadro 19: Condições para o crescimento ou decrescimento da função logarítmica. Nos itens (a), (b), (d), e (e), estão presentes características do mundo corporificado, uma vez que os alunos vão manipular o seletor d, e perceber as variações ocorridas no gráfico e, então, ao descrevê-las, começam a formular conjecturas, desencadeando para a dedução de propriedades, tais como, as

136 134 condições observadas para a função ser classificada em crescente e/ou decrescente. Já que os itens (c) e (f) abordam a interseção do gráfico com os eixos, determinando as coordenadas desse ponto, seguiremos a mesma análise feita no item (g) do exercício (2) dessa atividade. Por fim, o último item retrata a formalização da relação do parâmetro d com a expressão algébrica da função, que é característica do mundo formal. A seguir descreveremos o exercício 6 da Atividade 7. 6) Considerando a=2, b=1, c=1 e d=0 movimente os valores de e. Responda as questões. a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando e assume valores positivos? E negativos? b) Escolha um valor positivo para representar e. Anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. c) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x? d) Escolha um valor negativo para representar e. Anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. e) Escolha um valor 0<a<1 para representar a. Movimente os valores de e, observando as variações do gráfico e da expressão algébrica. Selecione um valor para representar e. Anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. f) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x? g) O que podemos concluir sobre o valor de e na expressão algébrica? Quadro 20: Design da Atividade 7 Exercício 6. Nos itens (a) até (d), estão fixos os seletores em a=2, b=1, c=1, d=0. Trabalharemos com a expressão algébrica da função. Esperamos que o aluno perceba que, quando e assume valores positivos, o ponto de intersecção do gráfico com o eixo x se aproxima da origem do plano cartesiano. Quando e assume valores negativos, esse ponto se afasta cada vez mais da origem do plano. Na expressão algébrica, o valor

137 135 atribuído a e fica acrescido no resultado de. Dessa forma, como a>0, independente do valor atribuído ao parâmetro e, a função permanece crescente e o gráfico se mantém nos quadrantes I e IV, porém não intercepta o eixo y. Para a intersecção com eixo x, o y deve ser zero (x,0), ou seja, o resultado de deve ser igual a zero. Logo, depende do número que for atribuído ao parâmetro e, para que se possa fazer o cálculo sobre qual deve ser o valor da abscissa x, para zerar a função. Por exemplo: para e = 3, temos a função, ou. O aluno pode resolver algebricamente, fazendo. Concluindo que o ponto de intersecção tem coordenadas (8, 0). Vale ressaltar que o software já dispõe o valor desse ponto quando o aluno insere, por meio da ferramenta, o ponto de intersecção do gráfico com o eixo x. Nesse caso, ele estará usando características do mundo corporificado. Mas, entendemos ser interessante que o aluno compreenda o porquê desse valor. Nos itens (e) e (f), o aluno vai escolher um valor a tal que 0< a <1, o que faz com que o gráfico seja decrescente, desenhado nos quadrantes I e IV. Variando os valores de e para positivos, o ponto de intersecção do gráfico com o eixo x se distancia da origem do plano cartesiano. O contrário ocorre quando e assume valores negativos. Independente do valor atribuído ao parâmetro e, positivo ou negativo, a função permanece decrescente. O gráfico não intercepta o eixo y, porém, no eixo x, para localizar a abscissa desse ponto, o raciocínio é igual ao descrito acima para o item (c). Assim, o aluno deve concluir que o parâmetro e não provoca o crescimento e/ou decrescimento do gráfico, apenas o translada para o sentido positivo ou negativo do eixo y. Encontramos neste item, características do mundo formal, pois, o aluno deve formalizar suas conjecturas sobre a influência do parâmetro e na variação do gráfico.

138 136 Voltamos aos itens (a), (b), (d) e (e) para relatar que encontramos características do mundo corporificado, uma vez que os alunos vão manipular o seletor e, percebendo as variações ocorridas no gráfico e, então, ao descrevêlas, começam a formular conjecturas, que contribuem para a dedução de propriedades, como, por exemplo, as condições para a função ser classificada em crescente e/ou decrescente. Nos itens (c) e (f), que abordam as coordenadas do ponto de intersecção, se o aluno apenas anotar o ponto que está visível na interface, estará usando características do mundo corporificado. Caso observe pelo ponto marcado no gráfico, relacionando os eixos x e y com as coordenadas do ponto, estará usando características do mundo formal. Os próximos exercícios, ainda da Atividade 7, foram baseados na Situação de Aprendizagem 3, do CAM, volume 3, páginas 34 até 39, cujo objetivo é apresentar a função logarítmica como a inversa da função exponencial. Como citado anteriormente, o CAM traz um texto explicativo sobre as características de cada função, exponencial e logarítmica, e as traça num mesmo plano cartesiano, como apresentado nas Figura 27 (p.77) e Figura 28 (p.77). E na seção Pesquisa Individual, sugere para o aluno fazer, com auxílio dos softwares Graphmatica ou Winplot, a construção das funções inversas e observar a relação existente entre elas em relação a pontos colocados sobre a reta, que é a bissetriz dos quadrantes ímpares. A seguir descreveremos nossas adaptações para os exercícios, do 7 ao 10, da Atividade 7. Abra um novo arquivo no GeoGebra. Insira um seletor; Construa as funções e ; Construa a reta y = x; Coloque um ponto A sobre f(x) e outro ponto B sobre g(x); Meça a distância entre cada ponto e a reta;

139 137 7) Considerando o valor de a = 2: a) movimente o ponto A até (0,1) e B (1,0). O que você percebe sobre a relação entre as distâncias dos pontos até a reta? b) mova o ponto A para (2,4) e B para (4,2). O que você percebe sobre a relação entre as distâncias dos pontos até a reta? c) Escolha outro valor para representar as coordenadas dos pontos A (m,n) e B (n,m). Anote as coordenadas de cada um. O que você percebe sobre a relação entre as distâncias dos pontos até a reta? 8) Considerando o valor de a = 5: a) movimente os pontos A e B da mesma maneira do exercício anterior. Anote as coordenadas de cada ponto. O que você percebe sobre a relação entre as distâncias dos pontos até a reta? 9) Considerando o valor de a = 0.6: a) movimente os pontos A e B da mesma maneira do exercício anterior. Anote as coordenadas de cada ponto. O que você percebe sobre a relação entre as distâncias dos pontos até a reta? 10) O que podemos concluir sobre a relação entre as funções exponencial e logarítmica? Quadro 21: Design da Atividade 7 Exercícios do 7 ao 10. Nesses exercícios de 7 a 10, espera-se que o aluno perceba que, ao movimentar os pontos, as coordenadas ficam invertidas, isto é, A (m, n) e B (n, m), as distâncias de cada ponto em relação à reta são iguais. Então, pode-se dizer que esses pontos são simétricos em relação à reta, que é a bissetriz dos quadrantes ímpares. Isto é, existe uma simetria entre os gráficos em relação a essa bissetriz. Isso acontece porque as funções são inversas. Nos exercícios 7, 8 e 9, encontramos características do mundo corporificado, uma vez que o aluno manipulará os seletores e os pontos, percebendo as variações ocorridas no gráfico, nas coordenadas desses pontos em relação à reta construída, e, então, ao descrevê-las, começa a formular conjecturas, que contribuem para a dedução de propriedades, como, por exemplo, que esses pontos são simétricos em relação à reta construída, que é a bissetriz dos quadrantes ímpares. Porém, se o aluno assimilar que isso só

140 138 acontece em funções que são inversas, formalizará esse conceito entre as funções exponencial e logarítmica, utilizando características do mundo formal. Com intuito de relembrar o leitor, compomos o Quadro 22 com a síntese de nossas atividades, bem como, os objetivos gerais propostos em cada uma delas. ATIVIDADE CONTEÚDO OBJETIVO GERAL 1 Relacionar a variação gráfica e a Função polinomial expressão algébrica de acordo com a de 1º grau variação dos parâmetros. 2 Taxa de Variação Calcular taxa de variação Relacionar a variação gráfica e a 3 expressão algébrica de acordo com a Função polinomial variação dos parâmetros, com a lei da de 2º grau função na forma canônica 4 5 Função de 2º grau Resolução problemas polinomial de Complementar 11 sequências, Revisão de generalização 6 Função Exponencial Relacionar a variação gráfica e a expressão algébrica de acordo com a variação dos parâmetros, com a lei da função na forma geral, com. Aplicação de funções polinomiais de 1º e 2º graus como ferramenta na resolução de problemas. Escrever a sentença matemática que traduz algumas situações; generalizar sequências escrevendo o termo geral. Relacionar a variação gráfica e a expressão algébrica de acordo com a variação dos parâmetros, com a lei da função na forma. 11 A Atividade Complementar foi inserida após a aplicação da Atividade 5, dada a necessidade apresentada pelos sujeitos.

141 139 7 Função Logarítmica Relacionar a variação gráfica e a expressão algébrica de acordo com a variação dos parâmetros, com a lei da função na forma. Explorar as funções exponencial e logarítmica como inversas. Quadro 22: Síntese das Atividades e objetivos propostos em cada uma delas. experimento. No próximo capítulo, relatamos as etapas da aplicação do nosso

142 140 CAPÍTULO 6: APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS Nesse capítulo, apresentamos os resultados da aplicação do experimento e as reformulações das atividades que se fizeram necessárias durante o processo de realização do experimento, bem como, as análises dos dados coletados à luz do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática. Destacamos que, diferentemente da pesquisa de Dominoni (2005) em que houve intervenção da pesquisadora, utilizando exemplos de exercícios similares aos estudados, a fim de auxiliar alunos na resolução da sequência de atividades propostas no experimento, em nossa pesquisa não fizemos intervenção durante a realização das atividades, por termos um propósito de averiguar a possibilidade de integrar a Proposta Curricular do Estado de São Paulo ao uso de um ambiente informatizado, por meio de atividades adaptadas do CAM. Talvez, se auxiliássemos nossos alunos, resolvendo exercícios similares ou mesmo respondendo as dúvidas surgidas nas atividades, eles compreenderiam com mais facilidade os conceitos envolvidos nas atividades e, então, nosso propósito ficaria comprometido. Com intuito de facilitar a leitura e o entendimento daquilo que foi feito durante a aplicação do nosso experimento de coleta de dados, estruturamos a apresentação e análise dos dados em quatro etapas, a saber: Na primeira etapa, relatamos a Sessão 1, referente à aula em que fizemos o levantamento das concepções prévias dos alunos e a familiarização com o software GeoGebra. Na segunda etapa, apresentamos um resumo do que foi feito durante a aplicação das primeiras atividades, nas Sessões 2 até 10, de funções polinomiais de 1º e 2º graus, pois vamos nos ater a analisar apenas as Atividades 6 e 7, de funções exponencial e logarítmica, considerando que a literatura sobre essas é menos ampla do que daquelas.

143 141 Na terceira etapa, fazemos a apresentação e a análise dos dados coletados sob as lentes do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática sobre a Atividade 6. Na quarta etapa, fazemos a apresentação e a análise dos dados coletados sob à luz do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática sobre a Atividade 7. Salientamos que, para as análises, consideramos os registros escritos (protocolos); os vídeos gravados; as entrevistas que se fizeram necessárias; e as anotações da observadora. Apresentamos no Quadro 23 uma visão geral das sessões realizadas durante o Design. DATA SESSÃO APLICAÇÃO 06/06/12 1 Levantamento das concepções prévias dos sujeitos e familiarização com o software GeoGebra 13/06/12 2 Atividade 1 e Atividade 2 20/06/12 3 Entrevista com todas as Duplas 27/06/12 4 Redesign da Atividade 1 01/08/12 5 Redesign da Atividade 2 08/08/12 6 Atividade 3 15/08/12 7 Atividade 4 22/08/12 8 Atividade5 29/08/12 9 Atividade Complementar 05/09/12 10 Redesign da Atividade 5 12/09/12 11 Atividade 6 19/09/12 12 Atividade 7 e Entrevista com a Dupla 3 26/09/12 13 Continuação da Atividade 7 Quadro 23: Síntese das Sessões de aplicação do experimento.

144 PRIMEIRA ETAPA A aplicação do nosso experimento teve início no mês de junho de 2012, e se estendeu até o final do mês de setembro. De acordo com a Proposta Curricular, no momento em que iniciamos, os alunos deveriam estar finalizando os estudos sobre o conteúdo de função polinomial do 2º grau. Porém, ao perguntarmos para a professora da turma, ela nos relatou que, devido às dificuldades de alguns alunos sobre o conteúdo de função polinomial do 1º grau, fez revisão de conteúdos por meio de exercícios extras sobre substituição de valores na expressão algébrica para o cálculo de f(x); determinação da raiz da função; localização de pontos no plano cartesiano; construção de gráfico; e situações com alguns problemas que envolvem função do 1º grau na sua resolução; e, por esse motivo, havia iniciado o conteúdo de função polinomial do 2º grau no final do mês de maio. Por causa disso, nosso estudo se iniciou quando os alunos ainda não estavam familiarizados com função polinomial de 2º grau. Apresentamos no Quadro 24 as questões que utilizamos na aula de familiarização com o software GeoGebra para o levantamento das concepções prévias dos sujeitos. Abordamos as noções de ponto e reta; plano cartesiano; posição relativa entre retas; funções polinomiais de 1º e 2º graus, exponencial e logarítmica; área e perímetro de figuras planas; classificação da função polinomial do 1º grau em crescente, decrescente e constante; identificação dos coeficientes angular e linear; e formalização do conceito de função; por entender que essas noções são consideradas como requisitos básicos para realização de nossas atividades adaptadas. Agora vamos explorar o software, resolvendo alguns exercícios. 1) Construa uma reta qualquer no plano cartesiano. O que foi preciso usar para traçar essa reta? 2) Construa uma reta paralela a esta outra que foi construída. Por que elas são paralelas? 3) Construa uma reta perpendicular em relação à primeira reta construída. Por

145 143 que elas são perpendiculares? 4) Construa uma reta perpendicular ao eixo das abscissas e outra em relação ao eixo das ordenadas. Personalize as retas. 5) Coloque um ponto de intersecção entre duas retas. Coloque outro ponto sobre outra reta. Anime-os e observe o comportamento dos dois pontos. 6) Construa o gráfico de funções do tipo,, e. Personalize-os. Coloque visível a malha quadriculada e altere a escala dos eixos x e y. 7) Construa um polígono. Meça a medida dos lados desse polígono. Dê os valores do perímetro e da área. 8) Abram o arquivo, no GeoGebra, denominado aula prévia. Movimentem os seletores e descreva o que você observa quando a>0, a<0 e a=0. Qual a classificação para a função nesses três casos? 9) Qual a relação entre o gráfico e a expressão algébrica presente na tela? 10) Qual é a relação dos coeficientes a e b com a expressão algébrica? Quadro 24: Questões apresentadas na aula de familiarização com o software A aula de familiarização com o GeoGebra foi realizada no laboratório de informática da escola com os seis sujeitos voluntários, dispostos um em cada computador. Tivemos a presença da professora da turma que atuou como observadora. Utilizamos um projetor multimídia atrelado a um notebook, a fim de auxiliar alunos no processo de aquisição dos comandos básicos do software. Salientamos que, nessa aula, os sujeitos não produziram registros escritos e, sim, de forma oral, isto é, o pesquisador manteve uma conversa com os sujeitos. Para analisar os dados, contamos com o vídeo gravado e as anotações da observadora. Ao relatarmos a produção dos sujeitos, usaremos pseudônimos, a fim de manter o anonimato deles. Identificaremos o professor/pesquisador com as letras (PP); observadora (O); os sujeitos Amanda (A), Brenda (B), Cristina (C), Jorge (J); Pâmela (P) e Vera (V). A partir da segunda sessão, os sujeitos se agruparam em duplas, a saber: Dupla 1 (D1) Vera e Jorge; Dupla 2 (D2) Brenda e Pâmela; e Dupla 3 (D3) Amanda e Cristina.

146 144 Descreveremos, a seguir, os pontos relevantes da Sessão 1. No item (1), quando foi perguntado aos sujeitos o que seria preciso para traçar uma reta, apenas três deles se manifestaram. Os outros sujeitos permaneceram em silêncio, pensativos, manuseando o mouse do computador. P: Uma régua. A: Montar uma tabela com vários pontos. V: Apenas dois pontos. Observamos que o sujeito A está condicionado ao uso de tabelas para construção de retas, talvez até para gráficos. Já P talvez não tenha compreendido o objetivo do questionamento. V afirmou com segurança que bastava inserir dois pontos no plano para traçar a reta. Então, por meio da ferramenta do software, eles construíram uma reta qualquer. No item (2), foi perguntado a eles o que seriam retas paralelas. Os sujeitos A, B, C e P responderam que são retas que não se cruzam. B completou por meio de um gesto com as mãos dispostas paralelamente. J permaneceu em silêncio. Finalizamos a Questão 2 com a institucionalização sobre retas paralelas e com a explicação de como construí-las por meio da ferramenta oferecida pelo software. No item (3), foi perguntado aos sujeitos o que eles sabiam sobre retas perpendiculares. Num primeiro momento ficaram em silêncio e, então, se manifestaram dizendo que não se lembravam. V ainda arriscou uma opinião: V: São as retas que têm noventa graus? PP: Como assim? Poderia explicar melhor para nós? V: Não sei explicar. Só acho que tem alguma coisa de ângulo de noventa graus. Após essa fala, retomamos os conceitos de retas paralelas e perpendiculares; ponto de intersecção entre as retas perpendiculares; construção dessas retas com auxílio da ferramenta disponível no software. No item (4), os sujeitos foram questionados pelo pesquisador sobre os eixos das abscissas e das ordenadas. P: O que é abscissa e ordenada? PP: Alguém quer responder para P? V: Abscissa é x e ordenada é y.

147 145 P: Ah, tá! Então x tá em pé e y tá deitado? Ou é o contrário? B: É o contrário, x tá deitado e y tá em pé, não é, professora? P: Ah, tá! (risos) Observamos por meio dessas falas que P estava em conflito quanto à localização dos eixos x e y. Ele identificou que um dos eixos está disposto horizontalmente e outro verticalmente, porém não sabia qual é x ou y, isto é, eixos das abscissas ou das ordenadas. Assim, talvez tenha dificuldades para determinar as coordenadas de pontos no plano cartesiano, ou identificar pares ordenados. Os outros sujeitos apenas observaram a conversa entre o professor/pesquisador e esse sujeitos. Após essa conversa, o professor/pesquisador enfatizou a disposição dos eixos coordenados no plano cartesiano. No item (5), o foco foi apresentar a diferença entre duas ferramentas disponíveis no software: ponto de intersecção e ponto sobre o objeto, sendo o primeiro um ponto fixo e o outro um ponto que se desloca sobre o objeto, nesse caso, a reta. No item (6), o objetivo foi avaliar as concepções dos sujeitos sobre as funções polinomiais de 1º e 2º graus, exponencial e logarítmica. Num primeiro instante, foi perguntado aos sujeitos sobre a função f. PP: Turma, alguém sabe me dizer que tipo de função é a f(x)? Os sujeitos A, C, V e J responderam que era uma função do 1º grau. Os sujeitos B e P ficaram em silêncio. PP: Sendo f(x) uma função de 1º grau, como é o seu gráfico? Apenas V respondeu que era uma reta. Os sujeitos A, B e P disseram que não lembravam e os sujeitos J e C ficaram em silêncio. PP: Agora, que tipo de função é a g(x)? V: É do 2º grau. PP: Por quê? A: Porque tem o 2 no expoente. PP: Tem certeza? A: Não sei. A professora que falou que era assim. V: A professora falou que o grau da equação é o maior número do expoente x. PP: Sendo g(x) uma função polinomial de 2º grau como é o seu gráfico?

148 146 Os sujeitos A, C e V disseram que é uma parábola. Os sujeitos B e J ficaram em silêncio, e o sujeito P disse que parecia um U. PP: Mas pode ser um U invertido, isto é,? P: Não! C: Pode sim! Se a função for decrescente o U é pra baixo. PP: Como assim? Poderia explicar melhor? C: Se o número que acompanha x 2 for positivo o U é pra cima porque a função é crescente. E se for negativo o U fica pra baixo porque é decrescente. PP: O que é decrescente? C: A função! V: Acho que não é isso, professora. PP: Como é então? V: Quando x 2 é negativo, o gráfico tem concavidade pra baixo e quando x 2 é positivo, ela é pra cima. PP: Tem certeza? V: Acho que sim. PP: Alguém mais quer opinar? Os sujeitos ficaram em silêncio após a pergunta do pesquisador. Segundo relato da observadora, os sujeitos J e B fizeram um gesto de concordância, com a cabeça, enquanto V apresentava suas conjecturas. Não fizemos a institucionalização sobre o conceito de função porque está no objetivo de nossas atividades o estudo da função polinomial de 2º grau. Porém, a professora da turma, que é nossa observadora, se manifestou após essa sessão, nos dizendo que estava ensinando justamente esses tópicos em sala de aula, isto é, fazendo um estudo sobre o gráfico da função quadrática, da concavidade dela, e da análise dos intervalos de crescimento ou decrescimento dessa função. PP: E a função h(x)? Alguém sabe qual é? A: É função de potência? PP: Não! E a j(x)? Qual função ela é? P: Nem imagino. O que é log? B: A gente não aprendeu isso. Os outros sujeitos concordaram com o sujeito B. Prosseguimos com o item (7). Primeiramente, foi perguntado aos sujeitos O que é um polígono?. Eles responderam que é um triângulo; um quadrado; um retângulo, até que o sujeito V disse que é uma figura com vários lados. No GeoGebra, o ícone do comando de construção de polígonos é identificado com a figura de um triângulo. Então, cinco dos sujeitos construíram um triângulo e apenas um fez um quadrilátero. Nesse item, também foram

149 147 trabalhados os comandos de medições de lados de figuras, área e perímetro delas. No item (8), os sujeitos tinham que abrir o arquivo apresentado na Figura 39, que continha o deslocamento de um carro de acordo com a variação dos valores dos coeficiente na função. O objetivo é levantar as concepções dos sujeitos sobre os coeficientes da função, inclinação da reta, entre outros, uma vez que a turma já esteve em contato com o conteúdo de função polinomial de 1º grau. Figura 39: Atividade da aula de familiarização com o GeoGebra Fonte: Arquivo pessoal Foi perguntado aos sujeitos o que eles observaram ao movimentar os seletores de acordo com o que pedia no enunciado da questão: a>0, a<0 e a=0. P: Quando a>0 o carro anda pra frente, quando a<0 o carro anda pra trás e quando a=0 o carro fica parado.

150 148 PP: Por quê? Alguém sabe me explicar? Os sujeitos permaneceram em silêncio observando, cada um, a interface do seu computador. Todos ficaram em silêncio. PP: Alguém mais quer falar outra observação? V: Eu quero! Eu observei que, quanto maior eu coloco o valor do a, mais rápido meu carrinho anda. PP: Alguém sabe por quê? B: Porque a reta fica mais em pé! PP: Por quê? PP: E quanto à classificação que está pedindo no item (8). Quem quer falar? Os sujeitos A, B, C, P se manifestaram dizendo que não se lembravam. O sujeito J permaneceu em silêncio. O sujeito V fez uma observação. V: Eu acho que a>0 é crescente; a<0 é decrescente e a=0 não sei o nome. PP: Alguém sabe? Todos os sujeitos permaneceram em silêncio. Nos itens (9) e (10), ao serem questionados quanto às relações entre o gráfico e a expressão algébrica, e entre os coeficientes e a expressão algébrica, alguns sujeitos disseram que não se lembravam e outros disseram que não sabiam, isto é, não tivemos respostas para estes itens. De maneira geral, concluímos que esse grupo de alunos apresenta conhecimentos sobre o comportamento das retas paralelas e perpendiculares, no plano, porém não conseguem elaborar uma definição formal sobre elas. Apresentam conhecimentos prévios sobre as leis das funções polinomiais de 1º e 2º graus, reconhecendo que a expressão algébrica representa uma função de 1º grau e que de 2º grau. Também, reconhecem que os gráficos são representados, respectivamente, por uma reta e uma parábola. Porém, apresentaram dificuldades em relacionar os coeficientes com a expressão algébrica e com as mudanças provocadas no gráfico. Por exemplo, na questão em que foi apresentado o gráfico do movimento do carro, por meio da manipulação dos seletores, tinham que é

151 149 observar as mudanças ocorridas graficamente para relacioná-las aos coeficientes. Os alunos não conseguiram responder qual era a relação existente entre o gráfico e os coeficientes na expressão algébrica. Ou seja, os alunos apresentaram dificuldades para identificar o coeficiente angular a como sendo a inclinação da reta e o coeficiente que acompanha x, e que b é o coeficiente linear ou termo independente da função, cujo valor representa a intersecção com o eixo y e, ainda, quando o seu valor é adicionado à função, provoca a translação do gráfico verticalmente em relação ao eixo y. Também apresentaram dificuldades para formalizar a condição da classificação das funções polinomiais de graus 1 e 2 em crescente ou decrescente. Ainda na função quadrática responderam com maior facilidade as questões que abordavam a relação entre coeficiente a e a concavidade da parábola e os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função. Embora não tenham respondido de maneira formal, apresentaram indícios de que possuem uma noção. Quando questionados se já haviam estudado esse conteúdo, os alunos responderam que sim, isto é, a professora estava abordando essa parte da matéria em sala de aula. Ressaltamos que nossas atividades adaptadas de função polinomial de 2º grau foram aplicadas somente no mês de agosto, pois no mês de junho, quando iniciamos as aplicações das atividades de função polinomial de 1º grau, se fizeram necessários os redesigns das atividades 1 e 2 e as entrevistas para esclarecimentos das dúvidas sobre o que escreveram nos protocolos. Logo após os alunos já entraram em recesso escolar. Em relação às funções exponencial e logarítmica, os alunos não apresentaram conhecimentos prévios porque ainda não tiveram contato com esses conteúdos, uma vez que está previsto o estudo deles no 3º bimestre, segundo a Proposta Curricular de São Paulo. De acordo com relato da professora da turma, o estudo das funções exponencial e logarítmica acabou protelado para o 4º bimestre, pelo motivo de ter percebido a necessidade de retomar o conteúdo de função polinomial de 2º grau, que foi abordado em sala de aula de maneira muito superficial, devido ao tempo mínimo de aula que tinha antes do recesso escolar. Ainda, percebeu

152 150 que muitos alunos não tinham compreendido esse conteúdo, principalmente na resolução de problemas que requerem as funções polinomiais de graus 1 e 2 como ferramenta para resolução. Percebemos, de maneira geral, que esse grupo de sujeitos apresenta dificuldades em compreender o conceito de função polinomial de 1º e 2º graus; relacionar o gráfico, bem como, os coeficientes com a expressão algébrica; identificar os eixos coordenados x e y; dentre outras dificuldades que também foram apontadas por meio das literaturas. Por esse motivo, em nossas adaptações das atividades, elaboramos questões que contemplam esses conteúdos, a fim de auxiliar alunos a minimizarem tais dificuldades. Agradecemos a presença deles e encerramos a primeira sessão, pedindo para que não faltassem na próxima, pois iríamos dar início ao experimento de ensino SEGUNDA ETAPA Adaptamos do CAM um total de sete atividades, sendo cinco delas referentes a funções polinomiais: a Atividade 1, relacionada ao estudo da função polinomial de 1º grau; na Atividade 2, um estudo da taxa de variação da função polinomial de 1º grau; Atividades 3 e 4 abordam a função polinomial de 2º grau nas formas canônica e geral, respectivamente; e Atividade 5 refere-se ao estudo de dois problemas que envolvem, na resolução, funções polinomiais de 1º e 2º graus. Na segunda sessão, aplicamos as Atividades 1 e 2, e percebemos que houve grande confusão em relação aos coeficientes a e b da função com os seletores e com as variáveis x e y. Talvez, por serem as primeiras atividades realizadas com esses seletores, os sujeitos não compreenderam o fundamento deles com aquilo que queríamos que percebessem em relação às variações do gráfico e da expressão algébrica. Por exemplo, na concepção das duplas, o

153 151 valor marcado no seletor a era o valor de x e o valor marcado no seletor b era o valor de y. Evidências desse fato são apresentadas no quadro a seguir, em que relatamos, como exemplo, as produções de uma das duplas, na Atividade 2, que foi exibida no Quadro 2 (p.94). AT. 2 Item (a) Item (b) Item (c) Item (d) D1 O y não varia, continua no mesmo (0). Nenhuma unidade varia. O valor de x pode variar em qualquer número, mas o y não varia pois y=0. Nenhuma unidade, só irá andar se mexermos no seletor b, e y mudaria de valor (função linear). Quadro 25: Atividade 2 Produção da Dupla 1 Analisando o quadro acima, julgamos que seria necessária uma entrevista para a dupla esclarecer algumas das respostas dadas. Quando entrevistada, D1 afirmou que, para eles, o valor atribuído ao seletor a era o valor da variável x, e o valor atribuído ao seletor b era o valor da variável y. É o que podemos observar na transcrição do trecho do diálogo da entrevista com D1. PP: A função fica positiva ou negativa? Qual a ideia de vocês ao escreverem isso? V: Vamos supor: se a gente mexe no seletor a pra frente, o valor do x da função vai aumentando, aí fica positivo porque aumenta o valor. Se mexer pra esquerda vai diminuindo, aí o valor de x da função fica negativo. Acho que é isso que a gente quis dizer. PP: Nessa outra questão vocês colocaram quando a>0 o valor é sempre positivo. Qual é o valor que é sempre positivo? V: Do x, que é do seletor a. PP: Na próxima pede pra definir os coeficientes a e b da função. Me falem um pouco sobre o que vocês perceberam. J: Quando você mexe no seletor b, você vai mudar o valor de x. V: Do y. PP: Tem certeza, J. Mexe lá no seletor b pra verificar. Após alguns minutos: PP: O que você observou mexendo no seletor b? J: Que aí sempre vai mudar o y. Não, o x. Não, o y. V: O y. PP: Então, mexendo no seletor b você observa que varia o quê? V: O valor do y. J: É, o valor do y. Quando você mexe no a varia o valor do x. V: No gráfico. PP: Então, pra vocês o que seria o a e b da função? V: o a tá mudando no x e b no y.

154 152 Quando questionados sobre o significado da palavra variação naquele item, D1 respondeu que era a movimentação feita nos seletores. Quanto à ideia de unidade, para eles, significava o aumento ou a diminuição de uma unidade no seletor a. Vamos observar a transcrição do trecho do diálogo da entrevista de D1que retrata esse equívoco. PP: Pra vocês, qual a ideia de variação? V: Variação? PP: É. V: Vamos supor: mudando o seletor a, que é do x, o valor do y não muda, continua no mesmo lugar que é zero. PP: E quando a gente fala varia uma unidade, o que vocês pensaram? O que significa unidade pra vocês? J: A gente aumentou uma unidade no seletor a. PP: Foram aumentando de uma em uma unidade no seletor a? V: É. Pra ver se o y mudava e continuou no mesmo valor. PP: Nessa outra, diz: quando x varia uma unidade, quantas unidades variam no y? V: A gente foi movendo o a sempre de um em um e a gente foi vendo que o y nunca mudou de valor. PP: Porque vocês estão observando o y aqui no seletor b. É isso? V: É, e tá sempre igual a zero. PP: Então, muda o b de lugar, se esse é o problema. Coloca num número qualquer. Agora varia o a. Qual a ideia de vocês sobre o que aconteceu? J: Tá variando o x, mas o y permanece o mesmo. PP: Certeza? V: Sim. Vamos supor, se deixar o y no 2, mesmo mudando o a o y não muda, continua no 2. Aí pode colocar o a negativo ou positivo e o y que é 2 agora continua no mesmo valor, y vai variar se mudar o valor de b. (Nesse momento, o sujeito V movimentava o seletor a para a direita e para a esquerda). De maneira geral, constatamos que, por causa dessa interpretação equivocada das duplas, as resoluções das primeiras atividades ficaram comprometidas, fazendo-se necessário um redesign delas. A partir dessas atividades, passamos a aplicar apenas uma atividade por sessão e já fazíamos o redesign logo em seguida, se necessário fosse. Não entraremos em detalhes sobre a atividade remodelada porque não será alvo de nossa análise. No entanto, ressaltamos que a Atividade 1 se encontra no Apêndice D (p.221); a Atividade 2, no Apêndice E (p.222); e o redesign da Atividade 1, no Apêndice F (p.223). Na sessão cinco, em que foi feito o redesign da Atividade 2, apresentada no Apêndice G (p.225), explicamos para as duplas o equívoco que cometeram em relação aos seletores e os coeficientes da função, e a partir de então, as duplas se habituaram que, ao manipularem os seletores, era esperado que elas

155 153 observassem as modificações ocorridas no gráfico, relacionadas aos coeficientes, quando inseridos na expressão algébrica. As dificuldades apresentadas por alunos em questões que envolvem a interpretação gráfica para o estudo de taxa de variação também foram evidenciadas nas pesquisas de Scano (2009). Essas duas atividades de redesign que fizemos foram importantes também, no sentido de aprendermos como se deviam formular as indagações para os alunos. Por exemplo, na Atividade 1, apresentada no Quadro 1 (p. 91), fizemos a seguinte pergunta: O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando arrasta o seletor a para a direita? E para a esquerda?. Então, percebemos a confusão em massa por causa do uso da palavra seletor, uma vez que os alunos ficaram focados apenas nos valores assinalados nele, relacionando-os com os valores das variáveis x e y, para analisar e calcular a taxa de variação, por exemplo. A partir de, então, passamos a formular as indagações de maneira diferente como, por exemplo, na Atividade 3, apresentada no Quadro 3 (p.97): O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando a assume valores positivos? E negativos?. Tanto é, que nessa Atividade 3, apresentada no Apêndice H (p.226), e na Atividade 4, apresentada no Apêndice I (p.227), não houve a necessidade de um redesign, pois os alunos compreenderam que estávamos nos referindo a valores para o coeficiente a, e não para valores da variável x. Assim, conseguiram fazer as análises propostas na Atividade, sem maiores problemas. Vale lembrar também que esses alunos estavam estudando a função polinomial de 2º grau em sala de aula, o que acarretou numa habilidade a mais para resolução das Atividades 3 e 4 propostas, não havendo a necessidade de um redesign. Outro ponto que gostaríamos de ressaltar está relacionado com a Atividade 5, apresentada no Apêndice J (p.228), que tinha como objetivo a resolução de dois problemas envolvendo funções polinomiais de 1º e 2º graus. Além da reformulação das questões, se fez necessária a elaboração de uma Atividade Complementar, apresentada no Apêndice K (p.230), que abordasse representação algébrica, pois todas as duplas deixaram de responder ao item

156 154 (e) do Problema 1, em que foi solicitada a expressão algébrica que representasse a área do retângulo exibido junto ao enunciado do problema. Então, lançamos mão do CAM, volume 1, para elaborar algumas atividades e refazer outras que constavam nele, a fim de retomar o estudo de representações algébricas e a noção da representação do termo geral de uma sequência. Após a resolução da Atividade Complementar, fizemos o redesign da Atividade 5, apresentada no Apêndice L (p.232). Ressaltamos que as atividades 1, 2, 3, 4, 6 e 7 são similares, pois usam a manipulação dos seletores para que os alunos compreendam as modificações ocorridas no gráfico quando os coeficientes variam de acordo com as expressões algébricas como, por exemplo,, ou. Ou seja, por meio da manipulação dos seletores, as duplas deveriam observar as variações ocorridas no gráfico, relacionando os coeficientes com a expressão algébrica, de acordo com a inserção de cada um desses coeficientes na função. Assim, as primeiras atividades, juntamente com seus respectivos redesigns, foram determinantes para a realização das demais atividades para as quais quase não foram necessárias atividades de redesign. Com a resolução dessas atividades, os alunos aprenderam, principalmente, a relacionar a variação do gráfico com os valores que são atribuídos a cada um dos coeficientes da função; a determinar o crescimento ou decrescimento das funções polinomiais de 1º grau de acordo com os valores dos parâmetros; a calcular taxa de variação; a relacionar as propriedades da função polinomial de 2º grau, nas formas canônica e geral, como, por exemplo, verificar a translação, horizontal ou vertical, do gráfico da função apenas analisando a expressão algébrica na forma canônica; a utilizar as funções polinomiais de 1º e 2º graus como ferramenta na resolução de problemas; entre outros. Em geral, predominaram características corporificadas na resolução dessas atividades, uma vez que os alunos descreveram suas percepções sobre o objeto matemático, por meio da manipulação dos seletores disponibilizados pelo software.

157 155 A seguir, faremos a apresentação e a análise dos dados coletados com as Atividades 6 e 7, apresentadas respectivamente, no Apêndice M (p.234) e no Apêndice N (p.238). Ressaltamos que se fez necessária mais uma entrevista com a Dupla 3, para entendermos o motivo de atribuírem ao gráfico da função exponencial o nome de parábola TERCEIRA ETAPA: ANÁLISE DA ATIVIDADE 6 Na sessão onze, foi aplicada a Atividade 6, referente ao conteúdo de função exponencial, que tinha por objetivos o reconhecimento de funções do tipo, como sendo a lei da função exponencial; a identificação das modificações do gráfico de acordo com a inserção de cada coeficiente na função, relacionando, ainda, com as variações da expressão algébrica; a classificação da função em crescente ou decrescente; e a percepção da condição de existência desse tipo de função. Essa atividade foi um pouco mais extensa do que as anteriores, levando cerca de três horas para a finalização. Os sujeitos foram alertados quanto ao tempo, mas não quiseram parar a resolução, alegando que, apesar de estarem cansados, já estavam no final e gostariam de concluir as ideias deles. Em geral, essa atividade proporcionou aos alunos o entendimento de que o gráfico da função exponencial do tipo é uma curva que se forma de acordo com algumas propriedades como, por exemplo, quando se atribui ao coeficiente a um valor menor que zero, ela é inexistente; para 0<a<1, ela é decrescente; e para a>1, ela é crescente. Além disso, eles perceberam as variações que ocorrem no gráfico quando são atribuídos valores positivos, negativos, e zero aos coeficientes da expressão algébrica, e descreveram as conjecturas levantadas nas questões usando, principalmente, características do mundo corporificado. Os alunos não conseguiram se expressar matematicamente por meio de uma linguagem mais formal. De acordo com o levantamento feito nas pesquisas de Alves (2010) e Silva (2012), podemos dizer que a compreensão dessas propriedades de

158 156 função exponencial foi facilitada pelo uso do software que proporcionou aos alunos uma melhor visualização do comportamento dos gráficos e, consequentemente, um melhor estudo das propriedades das funções, propiciando, ainda, o diálogo entre as duplas, a formulação de hipóteses e a validação das conjecturas. Ainda, relembramos a importância das experiências adquiridas por meio das atividades anteriores e de alguns redesigns, que influenciaram no entendimento e resolução dessa Atividade como, por exemplo, relacionar os valores atribuídos aos seletores com os coeficientes na expressão algébrica e, não, com os valores das variáveis x e y; ou perceber o comportamento do gráfico de acordo com o movimento de um dos seletores, buscando a relação existente entre eles. A seguir, faremos uma análise geral das três duplas, apontando as evidências ou os dados que nos pareceram mais interessantes e pertinentes, de maneira a enriquecer nossa análise e, consequentemente, nossa pesquisa, para que possamos atingir os objetivos, respondendo nossas questões de pesquisa. Lembramos que os dados foram analisados sob as lentes do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática, e que optamos por não fazer as institucionalizações ao final de cada atividade, pois queríamos analisar o que os alunos conseguiram produzir sem a intervenção do professor/pesquisador. Na Atividade 6, as duplas responderam todos os itens, não ficando nenhum tópico em branco. De maneira geral, as duplas conseguiram assimilar que a função desenha o gráfico de uma curva. Apenas D3 se equivocou apontando que era o gráfico de uma parábola. Como evidências disso, na Figura 40 apresentamos a produção da D3, em que há o comentário sobre a concavidade da parábola de acordo com a variação do coeficiente a.

159 157 Figura 40: Atividade 6 Exercício 2 Produção da D3. Fonte: Acervo pessoal. Assistimos ao vídeo gravado da D3, e observamos que há uma confusão entre a dupla quanto ao nome do gráfico. O sujeito A fala em reta e o sujeito C convence A de que é uma parábola porque faz curva. Na verdade, percebemos a necessidade da dupla em atribuir um nome ao gráfico da função exponencial, uma vez que, nas funções já estudadas como, por exemplo, a função polinomial do 1º grau, o gráfico recebeu o nome de reta; na função polinomial do 2º grau, o gráfico recebeu o nome de parábola. A seguir, transcrevemos o trecho em que consta a afirmação da D3 sobre o nome parábola, quando foi entrevistada. PP: Percebi nas atividades que vocês chamam o gráfico de parábola. Gostaria que vocês me dissessem como vocês perceberam isso. A: Eu tinha falado que era reta, mas tava errado. C: É parábola, porque tem abertura. (Faz um gesto, unindo as mãos, como indicado a seguir na Figura 41) A: É concavidade. PP: Tem certeza? C: Sim, a gente tá vendo isso na sala de aula. PP: Isso o quê? C: Parábola, concavidade. A: Função quadrática. C: É. A: Tem o a também. C: O a muda a concavidade. Figura 41: Imagem capturada durante a entrevista com a D3. Fonte: Acervo pessoal. Concluímos, então, que essa confusão da D3 está relacionada ao fato da dupla estar estudando a função polinomial de 2º grau e, ainda, de não ter conhecimento algum sobre a função exponencial. Assim, D3 atribuiu ao gráfico um nome que fosse do seu conhecimento, que foi parábola, pelo fato do gráfico fazer uma curva que, para eles, lembrava uma parábola. Então, a dupla está sendo influenciada por experiências anteriores na construção de novos conceitos, ou seja, estão utilizando já-encontrados, nesse caso, o termo

160 158 parábola, para expressar o nome do gráfico da função exponencial, do qual ainda não tem conhecimento algum. Quanto à classificação da função exponencial em crescente ou decrescente, podemos dizer que a atividade proporcionou às duplas a aprendizagem desse objeto matemático que, por meio da atribuição de valores para o coeficiente a, (manipulando o seletor a), conseguiram assimilar a relação entre a variação desse coeficiente e o gráfico, assim como os alunos de Dominoni (2005) e Alves (2010) também o fizeram. Ao responderem ao item, as duplas estão construindo a noção da condição de existência da função exponencial, que está implícita na atividade, usando características do mundo corporificado, pelo fato de descreverem aquilo que perceberam, por meio da manipulação do seletor a, não fazendo conexão com o mundo formal. É o que evidenciamos, por exemplo, na produção da Dupla 2. Figura 42: Atividade 6 Exercício 2 Produção da D2. Fonte: Acervo pessoal. Já para a conclusão sobre o comportamento do gráfico de acordo com a inserção de cada um dos parâmetros na função, de modo geral, as duplas conseguiram conjecturar e definir relações pertinentes às propriedades esperadas para aquela função. Percebemos essas atitudes por meio do diálogo entre as duplas, gravado no vídeo, e nos protocolos. Por exemplo, vamos observar o diálogo da D2 sobre o levantamento das hipóteses e conjecturas em relação à conclusão do papel do coeficiente b quando inserido na função, e o que escreveram no protocolo. B: Presta atenção que eu vou mexer o seletor. (movimenta o seletor b) P: Olha! O mesmo valor tá aqui! (apontam o dedo para a tela do computador) B: Então b é o ponto que intercepta o eixo y.

161 159 Figura 43: Atividade 6 Exercício 3 Produção da D2 Fonte: Acervo pessoal. Observamos que a dupla compreendeu parcialmente o papel do coeficiente b em relação à variação gráfica, pois percebeu que o valor atribuído a b, corresponde ao valor em que o gráfico intercepta o eixo y e que ele é responsável pelo crescimento ou decrescimento da função pelo fato de estar multiplicando a base da potência, porém, os alunos não perceberam que ele não é o único coeficiente que está relacionado a essa finalidade (identificar o crescimento/decrescimento), ou seja, o coeficiente a, referente à base, também deveria ser levado em consideração. Nessa questão, estavam fixos os seletores c=1, d=0, e=0. Então, a dupla estava trabalhando com a lei da função na forma e analisou, por meio da manipulação do seletor b, o que acontecia em relação à variação do gráfico que construiu por último e que estava visível na interface do software (, isto é, não conseguiu generalizar para outras situações como, por exemplo, que há duas possibilidades para a função ser crescente: quando for atribuído à base um número a tal que 0<a<1 e b<0 e para a>1 e b>0; e duas possibilidades para a função ser decrescente: quando for atribuído à base um número a tal que 0<a<1 e b>0 e para a>1 e b<0. Além disso, nenhuma das duplas mencionou os quadrantes em que os gráficos ficavam desenhados, ao movimentarem os seletores, como era esperado em nossa análise preliminar. Identificamos que as duplas utilizaram, nessa questão, características do mundo corporificado porque descreveram as conjecturas delas apenas do que perceberam em relação a um caso peculiar da função, não conseguindo generalizar para todas as situações a condição de crescimento e decrescimento da função exponencial escrita na forma, formalizando o conceito. Para Dominoni (2005), os alunos não conseguem expressar por meio de registros em linguagem natural aquilo que observam na representação gráfica, por causa da falta de um vocabulário adequado.

162 160 Entretanto, o nosso quadro teórico nos permite fazer uma análise diferente da análise feita por Dominoni (2005) em relação ao referencial teórico dela, isto é, os nossos alunos fazem os registros na língua natural daquilo que observam no registro gráfico, porém o fazem sem conexão com o mundo formal, isto é, usam características corporificadas. Verificamos, ainda, que a dupla utilizou já-encontrados que acabaram interferindo de maneira negativa para a análise e conclusão do papel do coeficiente b, que foi o fato de ter pensado no sinal do número atribuído ao b, ou seja, quando foi atribuído um número positivo, então, a função era crescente; quando foi atribuído um valor negativo, então, a função ficou decrescente. Nesse momento, a dupla não percebeu que tinha que levar em consideração, também, o valor da base a da função exponencial para a determinação do crescimento ou decrescimento da função. Evidenciamos esse fato por meio da transcrição do trecho do diálogo entre a D3, no momento da resolução da atividade. Vale ressaltar que em todas as transcrições de diálogos entre as duplas, onde se encontram os sinais de reticências significa que o sujeito fez uma pausa em sua fala para reflexão. A: Escolha um valor positivo para representar b e anote a função. C: Tá ótimo,. A: Essa função é crescente ou decrescente? A: Crescente. C: Crescente, pois... A: Crescente, pois o valor de b é positivo. A: Escolha um valor negativo para representar b. C: Coloca um número redondo. A: Anote a expressão algébrica, por favor. C: Sim,, a função é decrescente. A: Mas o que você tá respondendo? C: Aqui oh se a função é crescente ou decrescente. A: A função é decrescente. Por quê? Porque b é negativo. C: Pois o valor de b é negativo. Talvez se tivéssemos colocado logo em seguida uma questão, sendo a base atribuída com um número a tal que 0<a<1 e pedíssemos para fazer a mesma análise, atribuindo valores positivos e negativos ao b, os alunos teriam percebido que tinham que relacionar com algo mais, ou seja, com a base da potência para determinação do crescimento ou decrescimento da função. Ressaltamos um fato que achamos interessante durante a execução das atividades. Assistimos aos vídeos gravados das duplas e comparamos com o

163 161 que escreveram nos protocolos. Durante a execução das atividades, as duplas discutem entre si, levantando conjecturas e chegam a conclusões próximas do que esperávamos para os itens das questões. Porém, quando respondem no protocolo, escrevem conclusões equivocadas que não condizem com o que pensaram inicialmente para a questão. Por exemplos, em um pequeno trecho relatado a seguir, extraído do vídeo da gravação do diálogo entre os sujeitos da D1, observamos que eles conseguem ter a percepção e o entendimento que gostaríamos que tivessem para aquele item, sobre a mudança que ocorre no gráfico quando é inserido o coeficiente c na função. Porém, ao passarem para o papel, escrevem de outra maneira, ou seja, a seguir vamos comparar o que D1 discute em relação à definição, para eles, do coeficiente c na função, com aquilo que escrevem no protocolo. V: O número do c é o número do expoente. J: Mexe de novo. É o expoente que determina o jeito que vai ser o gráfico. V: Acho que na abertura do gráfico. Ele fica mais alongado. Figura 44: Atividade 6 Exercício 4 Produção da D1. Fonte: Acervo pessoal. Entendemos, nesse diálogo, que a dupla demonstra a percepção de que o coeficiente c, como está inserido no expoente, influencia na abertura do gráfico, ou seja, pode ser que tenham compreendido que influencia na forma do gráfico, determinando um crescimento ou decrescimento mais acentuado da curva e, consequentemente, da função no momento que o sujeito V usa o termo mais alongado, que é aquilo que esperávamos que as duplas percebessem. A produção oral da dupla é melhor que a escrita. Isso revela a importância de se trabalhar com mais de um tipo de dado de análise. Outra dupla, a D2, também relacionou o expoente da função com a abertura do gráfico, é o que podemos observar, a seguir, na transcrição do trecho que retrata o diálogo entre a dupla.

164 162 B: O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando c assume valores positivos? P: Tem que mexer aí pra ver o que acontece. B: Vai mudando a aberturazinha ali oh, tá observando? P: Tô. Então quando c assume valores positivos... B: Muda a abertura. P: Mas tem que falar o que acontece. B: Eu tô falando. Muda a abertura. P: Então, mas se você mexer pra cá, também vai abrir. Ele quer saber o que acontece quando é positivo e negativo. B: Ai, Deus! Quando é positivo ele tá mudando a abertura em relação a x e y positivos. P: Ah, tá! Quando ele é positivo, ela fica mais próxima ou longe do eixo y. (ele: o valor de c; ela: a curva). B: Quanto maior for o valor do c, mais perto da reta ela vai tá, né? P: Perto do eixo y. B: É, mas vai acontecer a mesma coisa quando ele tiver negativo. Queremos relatar, ainda, com essa questão sobre a inserção do coeficiente c na função, que despertou uma discussão entre os integrantes da D3, de maneira que apresentaram uma percepção a mais em relação aos parâmetros responsáveis pelo crescimento ou decrescimento da função. Vamos observar a transcrição do trecho do vídeo gravado da D3. A: Escolha um valor negativo para representar c. Anote a expressão algébrica. C:. É decrescente. Tem que falar? A: Sim. E justifique a resposta. C: É decrescente, pois... Acho melhor a gente colocar que é do valor do c. A: Coloca o expoente porque a gente já descobriu que c que é o expoente da função. C: Então, tipo, duas coisas determinam se a função é crescente ou decrescente. A: O quê? C: O valor do b e c. A: É, mas b continua positivo e a função é decrescente. C: Porque b é positivo e c é negativo. Após responderem no protocolo, o sujeito A continuou a leitura do próximo item, que era o (f) e, então, começaram a discussão. A: Aqui não diz se é número negativo ou positivo. C: Vamos pôr essa. A: Essa função é crescente ou decrescente? C: Crescente. A: Justifique sua resposta. É crescente, porque o expoente é positivo. C: Mas o b também. A: Muda o b negativo aí. C: Ui! (essa expressão de espanto foi porque o gráfico mudou bruscamente dos quadrantes I e II para III e IV; estava crescente e inverteu para decrescente). A: Coloca c negativo depois. Após alguns minutos. A: O expoente ainda que determina se ela é crescente ou decrescente. C: O b também. A: O b também. E o a também deve determinar.

165 163 C: Então, é crescente, pois os valores de b e c são positivos. Percebemos, por meio desse diálogo, que D3 ainda não relacionou a base com os coeficientes b e c da função para determinar o crescimento ou decrescimento da curva, apenas demonstrou uma ideia de que o coeficiente a possa estar relacionado para esse fim, porém não testaram suas conjecturas, movimentando o seletor a. Se eles escolhessem para a base um valor a tal que 0<a<1, perceberiam que a base também teria influência para determinação da função em crescente ou decrescente. Identificamos que os sujeitos utilizaram características do mundo corporificado, uma vez que descreveram as percepções de acordo com a manipulação do seletor, relacionando o coeficiente c com a expressão algébrica e o gráfico. Embora não conseguissem formalizar o conceito, apresentaram uma ideia inicial de que o expoente está relacionado com o crescimento acentuado da curva. A observação feita pelo sujeito P da D2, a respeito do gráfico chegar mais perto do eixo y, foi apontada na pesquisa de Dominoni (2005), cujos sujeitos também responderam que a curva se aproxima de y (DOMINONI, 2005, p.84) e, ainda, alguns se equivocaram ao se referirem ao aumento da base, e não ao aumento do expoente da função. A autora afirma que os alunos estavam se referindo ao crescimento acentuado da curva. O problema é que eles não conseguem expressar em linguagem natural aquilo que observam graficamente por conta da defasagem no vocabulário. Diferentemente para nós, o nosso quadro teórico nos permite fazer outra análise sobre essa questão, revelando que os alunos apresentam falta de conexão com o mundo formal, ao utilizarem características corporificadas para expressar as percepções dos objetos matemáticos, alvos do estudo. Nosso próximo item de análise é referente à conclusão das duplas sobre o coeficiente d da função. Citamos, a seguir, mais um exemplo de um trecho do diálogo da D3 e o que escreveram no protocolo, a respeito da conclusão do coeficiente d em relação à expressão algébrica. A: Mudamos o valor do seletor d para negativo. A função é crescente ou decrescente? (A função escolhida por D3 era ) C: Crescente, né?

166 164 A: É, mas todos os valores dos coeficientes são positivos menos o d. C: Mas os valores de a, b e c são positivos. É o que determina o que vai ficar: crescente ou decrescente. A: Ou seja, o valor de d não determina se vai ficar crescente ou decrescente! Figura 45: Atividade 6 Exercício 5 Produção da D3. Fonte: Acervo pessoal. Comparando a discussão de D3 com o que concluíram no protocolo, observamos que nas discussões eles pensam, conjecturam algo sobre os itens, que são as respostas mais próximas das esperadas por nós, na conclusão de cada item, porém transcrevem para o papel de maneira diferente ou resumida. Isso nos faz perceber que o professor pesquisador não pode levar em consideração apenas o que os alunos produzem de forma escrita, pois, muitas vezes, o escrito não traz o que eles realmente entenderam. Percebemos, por meio das comparações entre a escrita e a fala, que os sujeitos entenderam muito mais discutindo entre si, do que está escrito no protocolo. Talvez, uma possibilidade para explicar tal caso seja o fato deles não saberem se expressar matematicamente, de maneira formal. Produzem discussões, levantam conjecturas sobre os objetos matemáticos, descrevem suas percepções, que são características corporificadas e, às vezes, usam características do mundo simbólico, porém, apresentam dificuldade em fazer a passagem para o formal, isto é, usando características do mundo formal. Ainda, essa questão foi relevante para que a dupla percebesse que os coeficientes a, b, c, são responsáveis pelo crescimento ou decrescimento da função, e que a manipulação dos seletores permitiu a simulação rápida de alguns gráficos para que construísse esse conhecimento. Maia (2007) também enfatizou a agilidade na construção e simulação de gráficos com auxílio de software, no caso dela, o Winplot para o estudo da função quadrática. A identificação da influência do coeficiente e quando inserido na função, de um modo geral, foi a mais coerente e fácil de ser assimilada por todas as

167 165 duplas, ou seja, perceberam que o coeficiente e está relacionado com o deslocamento vertical do gráfico em relação ao eixo y. É o que evidenciamos na Figura 46. Figura 46: Atividade 6 Exercício 6 Produção da D2. Fonte: Acervo pessoal. Assim, levando em consideração as informações contidas nos protocolos das duplas e nas gravações e entrevistas, de maneira geral, percebemos que as duplas responderam apenas as percepções delas, conforme manipulavam os seletores, ou seja, usaram características corporificadas, descrevendo o que observaram sobre a variação do gráfico com a inserção de cada coeficiente na função. Porém, ao fazerem a junção de todos os parâmetros, compreendendo, por exemplo, que os coeficientes a, b, c são responsáveis pelo crescimento ou decrescimento da função exponencial, inicia-se o pensamento formal, isto é, utilizam características do mundo formal. Dentre as pesquisas que compuseram nossa revisão de literatura, não encontramos nenhuma cujo autor tenha feito uma abordagem da função exponencial na forma para que os alunos compreendessem as mudanças ocorridas no gráfico, quando inseridos na expressão algébrica, os parâmetros a, b, c, d, e. Ainda, em todos os itens nos quais se solicitava o ponto de intersecção do gráfico com os eixos, os alunos apenas colocaram as coordenadas do ponto, sem comentário algum, o que nos faz concluir que anotaram aquilo que visualizaram na Janela de Álgebra, ou simplesmente, observaram no gráfico construído, o que também é característico do mundo corporificado. Na resolução dos problemas 7 e 8, apresentados no Quadro 14 (p.123), de maneira geral, percebemos que as duplas utilizaram estratégias diferentes para a resolução, e chegaram parcialmente aos resultados esperados, ou seja, ocorreram alguns equívocos que foram relatados a seguir. Salientamos que

168 166 houve a nossa intervenção apenas no sentido de relembrar a linguagem do software como, por exemplo, para a inserção das funções exponenciais no campo de entrada: ; e. Iniciamos com o problema do exercício 7, referente ao crescimento das populações P 1 e P 2 de bactérias. Após a construção dos gráficos, foi solicitada a classificação das funções em crescente ou decrescente. Todas as duplas identificaram corretamente como sendo funções crescentes. Destacamos que as duplas utilizaram já-encontrados na resolução desse item como, por exemplo, D2 colocou um ponto sobre a curva e, ao movimentá-lo, verificou a variação do x em relação ao y, concluindo que eram funções crescentes. Observe a transcrição do diálogo entre os integrantes da D2 e o que escreveram no protocolo. P: Essa função é crescente ou decrescente? B: Vamo coloca um ponto sobre o gráfico. P: Tá aumentando. B: O x e o y, né? É crescente. Figura 47: Atividade 6 Exercício 7 Produção D2. Fonte: Acervo pessoal. No item (c), desse exercício 7, foi solicitado o instante t em que as duas populações teriam o mesmo valor. As três duplas interpretaram que teriam o mesmo valor no momento da intersecção dos gráficos, utilizando características do mundo formal. Então, com auxílio do recurso disponível no software, colocaram um ponto de intersecção entre os dois gráficos e na Janela de Álgebra apareceram as coordenadas do ponto C, que é o ponto de intersecção entre as curvas, como podemos observar, a seguir, na Figura 48 e, assim, interpretaram quem eram as variáveis x e y, sendo, respectivamente, o tempo e a quantidade, respondendo o item de maneira correta, duas horas.

169 167 Figura 48: Atividade 6 Exercício 7 Interface do GeoGebra Produção da D2. Fonte: Acervo pessoal. Transcrevemos, a seguir, o trecho do diálogo entre os integrantes da D3 para evidenciar o momento da interpretação das variáveis x e y como sendo o tempo e a quantidade de bactérias, respectivamente. A: Em que instante t, as duas populações terão o mesmo valor? C: É... A: Aqui, oh! (aponta o dedo para a tela) C: No intersecção. Coloca ai, oh. A: Onde?

170 168 C: Aqui. No intersecção de dois objetos. (aponta para o comando do ponto de intersecção entre dois objetos) A: Aqui? C: É. Entre dois objetos. Selecione dois objetos ou clique diretamente. (faz a leitura da dica que aparece no software, ao clicar o comando) A: Pronto! C: Qué tempo? A: É...dois no x e dezesseis no y. (faz a leitura das coordenadas visíveis na Janela de Álgebra) C: O tempo é aqui e a bactéria é esse? (faz um movimento rápido com as mãos próximas à tela, não conseguimos identificar a especificação feita sobre cada eixo) A: Em que instante? C: Coloca t igual a dois. A: Por quê? C: 2 é x que é tempo. Destacamos dois momentos importantes nesse diálogo: o primeiro foi a percepção da intersecção entre os gráficos como sendo o instante em que as duas populações apresentavam o mesmo valor da quantidade de bactérias; e da identificação dos eixos x, para representação do tempo e, y para a quantidade de bactérias. Entendemos que, nesses dois momentos, os alunos utilizaram características formais. Na Figura 49, apresentamos o protocolo da D1 para comprovar essa questão do instante t. Entendemos que usaram características corporificadas quando visualizaram as coordenadas do ponto de intersecção, e consideramos também que usaram características formais quando compreenderam e interpretaram as variáveis dependente e independente, identificando o eixo do tempo e o da quantidade da população de bactérias. Figura 49: Atividade 6 Exercício 7 Item (c) Produção da D1. Fonte: Acervo Pessoal. No item (d), pediam-se os valores de P 1 e P 2 no instante t = 3h. As duplas D1 e D2 utilizaram a estratégia apresentada na Figura 48, que foi construir uma perpendicular em relação ao eixo x, passando por um ponto qualquer sobre esse eixo, e marcar os pontos de intersecção dos gráficos de P 1 e P 2 com essa perpendicular construída. Notamos que D2 marcou o ponto D incorreto, pois era para ser o ponto de intersecção entre dois objetos: o gráfico

171 169 de P 2 e a perpendicular. Para a resposta do valor de P 1 as duas duplas acertaram, indicando Porém, para o valor da P 2, as duas duplas se equivocaram, colocando como resposta o valor Evidências desse fato estão ilustradas na Figura 50 e na Figura 51. Figura 50: Atividade 6 Exercício 7 Item (d) Produção da D1. Fonte: Acervo pessoal. Figura 51: Atividade 6 Exercício 7 Item (d) Produção da D2. Fonte: Acervo pessoal. Uma possível explicação para esse fato é que D1 e D2 podem ter se confundido no momento de observarem as coordenadas do ponto que fosse da intersecção de cada gráfico P 1 e P 2 na Janela de Álgebra ou pode ser dificuldade na interpretação gráfica. D2 já havia construído o ponto D incorretamente e, então, ao procurar as coordenadas do ponto sobre o gráfico, que, para eles, foi o de cor rosa verificou que era o ponto C que estava sobre o gráfico e, então colocou as coordenadas, de maneira equivocada, do ponto C (2, 16000). A partir de características corporificadas, D1 e D2 utilizaram características formais, pois quando construíram a perpendicular e o ponto de intersecção entre cada um dos gráficos e essa reta, identificaram as variáveis x e y como sendo o tempo e a quantidade de bactérias, respectivamente, interpretando os valores para cada questão, por meio das coordenadas dos pontos de intersecção exibidos na Janela de Álgebra do software. Identificamos também, já-encontrados quando tentaram utilizar a estratégia de construção de retas auxiliares, nesse caso, foi a construção de uma perpendicular passando por um ponto qualquer do eixo x, apresentada no Problema 2 da Atividade 5. Porém, não o fizeram de maneira correta, atribuindo pontos em lugares incorretos ou fazendo a manipulação dessas

172 170 retas de forma incorreta e, consequentemente, uma interpretação equivocada do que se pretendia para a questão. Já D3 optou em substituir o valor 3 na variável x, na expressão algébrica de cada população de bactérias e calcular o valor de y, que é a quantidade de bactérias. Nesse momento, utilizaram características do mundo simbólico. Para a resolução da função, conseguiram resolver encontrando a solução correta. Mas, para a função não conseguiram resolver a potência com expoente decimal, alegando que não se lembravam das propriedades de transformação do número decimal em fração. Na verdade, pode ser um já-encontrado que eles não utilizaram, por exemplo, fazer a transformação de 0,5 em. A: O que você tá fazendo? C: A conta. Quanto que é 2 à sexta? A: Quê? C: 2 à sexta? A: 2, 4, 8, 16, 32, 64. É 64. C: Então, é a P 1. A: O outro é a mesma coisa. C:. Tá e agora? A: Como que vai descobrir? C: Ah! x é 3! Zero ponto cinco vezes três quanto dá? A: Um vírgula cinco. C: Mas é elevado. Vixe! Não vai dar certo. A: 2 elevado a 1,5? C: É. Elevado a um ponto cinco, quanto dá? A: Tem que transformar esse número. C: Isso aqui eu não sei não. A: Pra transformar um número decimal em um número normal tem que fazer uma conta dividido por alguma coisa, não é? C: Não sei não. Então, D3 tentou resolver o exercício por meio da leitura do gráfico, colocando um ponto sobre a curva e manuseando-o de acordo com o valor requerido no item, que era para t=3h. Por fim, chegou a um resultado incorreto, como podemos observar na Figura 52. Identificamos que a falta de um jáencontrado impossibilitou que os alunos trabalhassem, pois colocar pontos sobre a curva para facilitar a leitura e interpretação do gráfico já havia sido feito em outras atividades.

173 171 Figura 52: Atividade 6 Exercício 7 Item (d) Produção da D3. Fonte: Acervo pessoal. Percebemos que essa dupla rascunhava em um papel, que achávamos que era a folha da atividade que cedemos à dupla. Porém, quando recolhemos os protocolos e questionamos a dupla a respeito das contas, disseram que era um rascunho e passaram a limpo, jogando fora o papel das contas. Ressaltamos que nenhuma dupla conseguiu acertar o valor da população de bactérias, representada pela função, no instante t=3h, ou porque fizeram uma interpretação equivocada do gráfico ou porque apresentaram dificuldades em operar com potências cujos expoentes exibem um número decimal. Essa dificuldade também foi evidenciada nas pesquisas de Araujo (2005), Dominoni (2005), Oliveira (2005), Lima (2009), Souza (2010), Santos (2011) e Silva (2012), por alunos da primeira até a terceira série do Ensino Médio, que já estudaram o conteúdo de potenciação desde o Ensino Fundamental, sendo auxiliados ou não pelo uso de tecnologia. No problema do exercício 8, referente à substância radioativa, as duplas construíram as retas auxiliares, como sugeria a questão e resolveram por meio da manipulação dessas retas, fazendo a leitura e a interpretação do gráfico, de acordo com o que era requerido nos itens, chegando todos às conclusões corretas. Apresentamos, na Figura 53, um exemplo de resolução do Problema 8, realizado pela D2 com auxílio do software e na Figura 54, o protocolo dessa dupla com os resultados que, também foram encontrados pelas três duplas.

174 172 Figura 53: Atividade 6 Exercício 8 Interface do GeoGebra Produção da D2. Fonte: Acervo pessoal. Figura 54: Atividade 6 Exercício 8 Itens (c) e (d) Produção da D2. Fonte: Acervo pessoal. As duplas usaram características formais ao interpretarem quais eram as variáveis dependente e independente, a massa (grama) e o tempo (hora), respectivamente, a partir de uma característica corporificada por meio da manipulação de retas auxiliares, que exibiam as coordenadas do ponto de intersecção na Janela de Álgebra, para que os alunos anotassem os valores que eram esperados na resolução do exercício.

175 173 Apresentamos os relatos das discussões entre os integrantes da D3 e da D2 a respeito do momento da interpretação das variáveis x e y em relação ao tempo e a massa. Primeiramente o relato da D3. A: Qual será a massa restante após oito horas? E três horas? Não entendi. (faz a leitura do enunciado escrito no protocolo) C: Mas...a massa? A: É. C: A massa é aqui. Será? (faz um movimento com as mãos no sentido horizontal, parece estar se referindo ao eixo x) A: Oh, a massa reduz-se a metade do valor inicial a cada quatro horas. (faz a leitura novamente) C: Acho que a massa é aqui, né? (agora aponta para o eixo y) A: Sessenta gramas... (o sujeito continua refletindo) C: A massa é embaixo? (se refere ao eixo x) A: Sessenta gramas...aqui é...partindo de sessenta gramas da substância... C: Então, a massa é aqui e o tempo é aqui. (aponta para os eixos y e x, respectivamente) A: Isso! A massa é y e x é tempo. C: Põe no oito aqui embaixo, é isso? A: É. C: Ui! Meu Deus! Olha. (expressão de espanto ao movimentar as retas auxiliares) A: Que da hora! C: O que que ele qué sabe? A: Qual será a massa? C: Quatorze ponto...quinze né? A: É. C: Deixa eu pôr direito. É quinze. A massa será quinze. (movimenta as retas auxiliares) A: Após oito horas a massa será quinze... É só mudar aqui? C: É. A: Agora é três. C: Após três horas será trinta e cinco ponto sete. A: Após quanto tempo a massa restante será igual a doze gramas? C: Aqui... pera aí. Onde tem que tá doze gramas? A: No y, né? C: Mais ou menos isso. A: Após nove horas aproximadamente. C: E a vinte gramas? A: Após seis horas. C: Vinte gramas após seis horas. A seguir o relato da D2, após construírem o gráfico da função exponencial e colocar um ponto sobre a curva para identificar o crescimento ou decrescimento da curva. P: Esse é o x e esse é o y? (aponta com o cursor para as coordenadas x e y do ponto que o parceiro colocou sobre o gráfico) B: Vamo lê de novo. (fazem leitura silenciosa do enunciado do problema) P: Eu acho...

176 174 B: Acha o quê? P:... (o sujeito fica em silêncio refletindo) B: Aqui é tempo e aqui é massa. (aponta para tela, porém não tivemos certeza qual dos eixos o sujeito apontou como sendo cada um: tempo e massa) B: Tenta colocar no oito. P: Coloca aproximadamente. (após algumas tentativas, sugere que use o termo aproximadamente) B: Aproximadamente quatorze vírgula noventa e oito? Agora você coloca três horas. P: Mas chega aqui? (aponta para a tela) B: Tem que fazê igual você fez nesse. P: Mas chega aqui? (aponta novamente para a tela) B: É. Em três horas. B: Aí. Já foi. P: Que inveja da minha esperteza! B: Após quanto tempo a massa restante será igual a doze gramas? Agora você coloca aqui, oh, esse valor, tipo... P: Qual? B: No segundo, que é massa. P: Doze? B: Aí. Passou. Aí. (o sujeito P estava manipulando as retas auxiliares) B: Agora vinte gramas. P: Quê? B: Vinte. B: Põe aproximadamente? (se refere ao valor encontrado pelo outro sujeito) P: Põe. Ressaltamos que os alunos utilizaram o termo aproximadamente em seus resultados por causa do arredondamento de casas decimais existentes no software GeoGebra. Mesmo assim, os resultados se aproximaram dos valores corretos em cada questão. Queremos enfatizar que as duplas utilizaram já-encontrados adquiridos ao longo da resolução das atividades da sequência, cada qual com a sua estratégia, para resolverem as situações novas propostas. Por exemplo, nesse problema do exercício 8, item (a) pedia-se para verificar se a função era crescente ou decrescente. Vamos observar as transcrições dos trechos dos diálogos gravados das duplas D2 e D3. Primeiramente, apresentamos o diálogo da D2. P: Essa função é crescente? B: Vamos ver se ela é crescente ou decrescente. Colocam um ponto sobre a curva e movimentam-no. B: Ela tá diminuindo, né? P: Ela tá aumentando. B: Não tá aumentando. Olha aqui o x tá aumentando e o y tá diminuindo. É decrescente. P: Ah tá!

177 175 Em seguida, o diálogo da D3. C: Essa função é crescente ou decrescente? A: É decrescente. C: Porque tá caindo. A: Porque o expoente da função é negativo e o resto é positivo. Para D2 não foi suficiente observar o desenho da curva. Então, utilizou já-encontrados adquiridos por meio da resolução das atividades anteriores como, por exemplo, a estratégia de colocar um ponto sobre o gráfico e movimentá-lo, observando a variação das coordenadas dele. Nesse caso, a dupla observou que, quanto maior fosse o valor da abscissa, menor seria o valor da ordenada do ponto, concluindo que a função era decrescente. Já D3 utilizou já-encontrados verificando os valores dos coeficientes a, b, c da função, concluindo que ela era decrescente. Destacamos que a estratégia de criar pontos sobre os gráficos e movimentá-los também foi utilizada pelos sujeitos de Alves (2010), por exemplo, ao realizarem o estudo de limites laterais com auxílio do GeoGebra. Percebemos que os alunos mobilizaram conhecimentos adquiridos na resolução de atividades anteriores ou já-encontrados como ferramenta para a resolução de novas situações, assim como, os sujeitos de Scano (2009) também o fizeram ao mobilizarem conhecimentos de par ordenado, equação da reta, raiz de uma função afim, determinada a partir das coordenadas do ponto, coordenadas do ponto de intersecção do gráfico com eixos do sistema cartesiano, representação gráfica de uma função (SCANO, 2009, p.131) na resolução da última atividade que envolvia esboço do gráfico de uma função afim, bem como, a determinação dos pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados x e y, raiz da função e o cálculo de algumas imagens. Vale ressaltar que, como os alunos não haviam tido qualquer contato com logaritmos até o momento da aplicação da atividade de função logarítmica, esperávamos que a maior parte das resoluções tivesse características do mundo corporificado.

178 QUARTA ETAPA: ANÁLISE DA ATIVIDADE 7 Aplicamos a Atividade 7 em duas sessões, 12 e 13, com duração de duas horas cada uma, para que os sujeitos se sentissem mais tranquilos para as discussões e a execução da tarefa. A Atividade 7 referente ao conteúdo de função logarítmica tem por objetivos o reconhecimento da função do tipo como sendo a lei da função logarítmica; a identificação das modificações de cada coeficiente na função, relacionando as variações com o gráfico; a classificação da função em crescente ou decrescente; a percepção da condição de existência da função; e a compreensão de que as funções exponencial e logarítmica são inversas. Essa atividade permitiu que as duplas percebessem, de um modo geral, que o gráfico da função logarítmica é uma curva, possível de ser construída quando a assume um valor tal que a maior que zero e a diferente de 1 (a>0 e ). Conseguiram identificar quando a função é crescente ou decrescente e descrever as variações do gráfico de acordo com os coeficientes que foram inseridos na expressão algébrica. O que percebemos que as duplas não entenderam foi que o coeficiente a representa o valor da base do logaritmo, embora tenha sido explicado para as duplas, no início da atividade, que a função logarítmica não poderia ser trabalhada dessa maneira no software, pois ele só permite a resolução de logaritmos na base dez e, por esse motivo, seria utilizada uma propriedade chamada mudança de base, que permite trabalhar com logaritmos de qualquer base, e assim, usaríamos a função ; e, ainda, apresentaram dificuldades para identificar que as funções exponencial e logarítmica têm uma relação de serem funções inversas uma da outra. Assim, entendemos que essa atividade mereceria um redesign. Como os alunos ainda não tinham conhecimento sobre essa função, optamos por fazê-la similar às anteriores, explorando a variação do gráfico em

179 177 relação à inserção dos coeficientes na expressão algébrica. Então, trabalhamos com a expressão algébrica na forma. Os alunos não apresentaram dificuldades nas descrições, talvez, por já estarem habituados a movimentar os seletores e observar as mudanças no comportamento do gráfico. Isso nos mostra que eles utilizaram já-encontrados na resolução dessa atividade. Deixamos claro que, num primeiro momento, não tínhamos visto a necessidade de se fazer um redesign dessa atividade porque estávamos interessados na percepção dos alunos quanto a classificar a função em crescente ou decrescente; descrever as variações gráficas de acordo com a mudança dos coeficientes; identificar a relação existente entre as funções exponencial e logarítmica. Evidências desses fatos estão descritos a seguir. Porém, ao assistirmos os vídeos, percebemos que as duplas se referem à função apenas como uma fração. Não levaram em consideração as nossas explicações dadas antes do início da atividade referentes à propriedade da mudança de base, e, dessa forma, não relacionaram que a seria a base do logaritmo. Problemas na identificação e aplicação da propriedade de mudança de base dos logaritmos também foram evidenciados na pesquisa de Alves (2010). Apesar das duplas terem identificado a variação do coeficiente a no gráfico, por meio da manipulação do seletor a, se referiram a esse coeficiente como sendo o denominador da fração, e aos coeficientes que estão no logaritmando como sendo apenas o numerador da fração. Assistimos ao vídeo, e percebemos que isso aconteceu pela necessidade das duplas de atribuir um nome para cada elemento que aparece na função. Como não tem conhecimento algum sobre logaritmo, bem como da propriedade de mudança de base dos logaritmos, utilizaram um já-encontrado que foi atribuir os nomes de numerador e denominador aos números que são exibidos na forma, com. Vamos observar a transcrição do trecho do diálogo entre D3. A: O que acontece no gráfico e na expressão algébrica quando a assume valores positivos? C: Deixa eu mexer pra vê.

180 178 A: Oh, lá na expressão algébrica o a é o valor...como que chama esse aqui? (o sujeito aponta com o dedo em direção a base do logaritmo) C: Não sei. Vamo chamar... A: É o valor que aparece no denominador. C: E que tá entre parênteses. A: E o de cima é o numerador. Talvez, seria preciso especificar no enunciado os nomes dos elementos, utilizando os termos base, logaritmando e logaritmo. Outro problema identificado foi em relação à intersecção do gráfico com os eixos. Nessa atividade, pedimos a intersecção do gráfico com os eixos x e y. Observamos que apenas uma das duplas assimilou que o gráfico não interceptava o eixo y, para funções cujos coeficientes d e e valessem zero. As outras duplas colocaram o valor em que o gráfico chega mais próximo do eixo y, como observamos na Figura 55, em que pode-se ter a impressão de que o gráfico corta o eixo y no ponto (0, 5). Figura 55: Atividade 7 Interface do GeoGebra. Fonte: Acervo pessoal.

181 179 Exemplificamos com a produção de uma das duplas, que respondeu que o gráfico interceptava o eixo y no valor ( 5). Talvez para ela, fosse o valor em que o gráfico chegava mais próximo desse eixo ou, ainda, que tenham tido uma possível ideia de que o gráfico cruzava o eixo, dado que a figura não é tão clara quanto a isso, o que acaba por ser falta de conexão com o mundo formal. Evidenciamos tal fato no protocolo da D3, ilustrado na Figura 56. Figura 56: Atividade 7 Exercício 2 Produção da D3. Fonte: Acervo pessoal. Na Atividade 6, não percebemos se houve esse problema, porque perguntamos apenas sobre o ponto de intersecção do gráfico com um dos eixos. Nessa atividade, perguntamos sobre o ponto de intersecção do gráfico com os dois eixos, x e y, no mesmo item. Talvez os alunos tenham se sentido obrigados a responder as duas perguntas, atribuindo as coordenadas para os dois pontos e, então, visualizaram o valor mais próximo a que o gráfico chegou do eixo y. Não perceberam que, na verdade, o gráfico não interceptou esse eixo. Ressaltamos que apenas uma das duplas compreendeu que o gráfico não interceptou o eixo y. Por meio dessa análise, identificamos que os sujeitos utilizaram características corporificadas não relacionadas ao formal, pois olharam apenas para o gráfico, procurando o valor em que ele interceptava cada um dos eixos. Em momento algum procuraram qualquer relação entre a expressão algébrica, o gráfico e os coeficientes. Por exemplo, se tivessem pensado que, para interceptar o eixo y, devemos ter um ponto de coordenadas (0, y) e, considerando a função que está ilustrada na Figura 55, teríamos. Por ser mais conveniente nos cálculos, usamos y no lugar de f(x) e, ao substituir zero na variável x, teríamos. Então, perceberiam que não há número real que satisfaça essa sentença. Assim, utilizariam uma característica do mundo formal, juntamente com o simbólico.

182 180 Outra maneira de resolver e, que também não pensaram, é utilizando o recurso disponível no software chamado ponto de intersecção entre dois objetos. Considerando a mesma função, ao tentar colocar um ponto de intersecção entre o eixo y e o gráfico acusaria, na Janela de Álgebra, como ponto A indefinido, como ilustrado na Figura 55. Assim, poderiam perceber que o gráfico não estava interceptando o eixo y. Faremos, a seguir, uma análise geral das produções das duplas, mostrando evidências de acordo com os objetivos propostos na atividade. Por meio da manipulação dos seletores, as duplas visualizaram a variação do gráfico de acordo com os valores de a, e, implicitamente, explanaram uma noção da condição de existência do logaritmo, mas não a fizeram de maneira formal. Por exemplo, é o que observamos na Figura 57. Figura 57: Atividade 7 Exercício 2 Itens (a) e (b) Produção da D1. Fonte: Acervo pessoal. Percebemos que as duplas compreenderam que é possível construir o gráfico da função logarítmica para valores de a>0 e, isto é, valores maiores do que zero e diferentes de 1 (um); para valores negativos e iguais a zero, o gráfico é inexistente. As duplas, ainda, não conseguiram se expressar formalmente, pois descreveram apenas as percepções do objeto matemático que visualizavam na tela, utilizando assim características corporificadas. Ressaltamos que, embora as duplas não tenham relacionado o coeficiente a como sendo a base do logaritmo, conseguiram assimilar que é ele o responsável pela classificação da função em crescente ou decrescente, de

183 181 acordo com os valores que lhe são atribuídos. Evidências sobre esse fato estão ilustradas na Figura 58. Figura 58: Atividade 7 Exercício 2 Produção da D1. Fonte: Acervo pessoal. Salientamos que, mesmo percebendo que a dupla estava se referindo ao coeficiente a, fizemos um questionamento sobre a primeira frase que escreveram, e, realmente, ela confirmou que faltou colocar o a, isto é, queriam dizer que quando a é um número entre zero e um, a função é decrescente. Embora a dupla tenha colocado a condição para a função ser classificada em crescente ou decrescente, só o fez utilizando características corporificadas, pois descreveu aquilo que percebeu manipulando o seletor a e observando a variação do gráfico, uma vez que não assimilaram o coeficiente a como sendo a base do logaritmo. Quanto à variação do gráfico com a inserção dos coeficientes na função, de maneira geral, os alunos perceberam parcialmente o papel de cada um. A seguir, mostraremos evidências sobre aquilo que as duplas compreenderam por meio de recortes das produções dos protocolos e de transcrições de trechos entre o diálogo das duplas nos vídeos. Iniciamos com a análise das produções dos sujeitos sobre o que eles concluíram sobre o valor de b na expressão algébrica, apresentadas no Quadro 26. Duplas Resposta D1 Quando mexemos no valor de b muda o valor de y. Ele é responsável pelo valor que vai multiplicar os números que estão D2 dividindo. D3 b é o valor que multiplica a fração. Quadro 26: Atividade 7 Exercício 3 Produções da Duplas 1, 2 e 3.

184 182 Percebemos que as duplas identificaram o valor de b apenas como sendo o número que está multiplicando a função, exibida na forma de fração. Mais uma vez, observamos que as duplas consideraram os termos da função (base e logaritmando) como numerador e denominador de uma fração e não parecem ter percebido qual é a modificação que b faz no gráfico quando variam os seus valores. Assistimos aos vídeos e percebemos que, em geral, as duplas movimentavam os seletores, identificavam o movimento do gráfico, porém alegavam que não saberiam escrever o que estava sendo modificado no gráfico em relação ao coeficiente. Então, decidiram que deveriam escrever apenas que o coeficiente b estava multiplicando a fração. Vamos observar o trecho do diálogo entre a D3, enquanto movimentavam o seletor b e conjecturavam sobre o que o coeficiente b variava no gráfico e na expressão algébrica. C: Eu não sei explicar isso. A: Nem eu. C: Como explicar que ela faz assim. (faz um gesto com as mãos imitando o gráfico do logaritmo). A: Que dá tchauzinho. (o sujeito A imita o C, levantando e abaixando os dedos, reproduzindo o movimento do gráfico ao variar os valores de b, como se estivesse fazendo um aceno de tchau ). C: Não sei. A: Bom é... C: É o valor aqui oh, na expressão algébrica. A: Oh gente! É esse aqui tá! Oh observa o mouse. (aponta com o cursor o valor que está multiplicando o logaritmo, na expressão algébrica). C: b é o valor que multiplica a fração. A: Ah, põe isso aí mesmo. Figura 59: Reflexão da D3 Atividade 7 Exercício 3 Item (d). Fonte: Acervo pessoal. Percebemos características do mundo corporificado, uma vez que os sujeitos não conseguiram se expressar de maneira formal, identificando a relação entre a variação do coeficiente b com o comportamento do gráfico, quando inserido na função.

185 183 Para a conclusão do papel da variação dos coeficientes c e d no gráfico, quando inseridos na função, ressaltamos um trecho do diálogo da D1 e depois da D3, que estão transcritos a seguir. Primeiramente, relatamos o diálogo com o levantamento das conjecturas de D1 sobre a relação do coeficiente c e d com a função, seguido daquilo que concluíram no protocolo. J: O que acontece com o gráfico quando c é positivo e negativo? V: Quando c é positivo a função cresce e ela fica do lado positivo do eixo x. Quando é negativo, ela fica do lado negativo do eixo x. J: Põe tudo isso na (d) pra concluir sobre c na expressão algébrica? (se referem ao item (d)) V: Não. Põe só que ele é o valor de x na função. J: Que ele é o valor...do quê mesmo? V: Valor de x na função. Figura 60: Atividade 7 Exercício 4 Produção da D1 Fonte: Acervo pessoal. J: Olha, vou mexer o d. (seletor d) V: O gráfico anda no x. J: É, mas acho que d não muda a função pra crescente ou decrescente. V: Mexe de novo os seletores de cima. Quem muda é o a, o b e o c. J: É, depende do valor deles, positivo ou negativo. J: O que acontece na expressão algébrica com o d? V: Na função, o x soma ou subtrai com alguma coisa que é atribuída pro d, por isso que ele anda pra lá e pra cá. E quando d é positivo a abertura vai aumentando. Quando é negativo a abertura vai fechando. J: O que eu coloco aqui? Tudo isso? V: Coloca que ele desloca o gráfico no eixo x. Sei lá. Figura 61: Atividade 7 Exercício 5 Produção da D1 Fonte: Acervo pessoal. D1 apresentou dificuldades para relacionar os coeficientes c e d com a expressão algébrica, bem como, com a movimentação gráfica. A única relação que conseguem fazer é descrever aquilo que observam com a manipulação dos seletores como, por exemplo, perceberam que o gráfico se desloca em relação ao sentido positivo e negativo do eixo x, ao movimentar o seletor d, que representa os valores que ficam somados ou subtraídos aos valores de x, no

186 184 logaritmando. Embora os sujeitos usem linguagens informais como, por exemplo, O gráfico anda no x, eles apresentam uma noção de que, talvez, quisessem dizer algo a respeito da translação do gráfico no eixo x; ou à referência que fazem ao c como sendo o valor de x, e não do coeficiente de x. No entanto, as duplas em geral não conseguem formalizar aquilo que escrevem em linguagem natural, utilizando, assim, características corporificadas. Outro fato importante que percebemos no diálogo de D1 é que, após o estudo dos três primeiros coeficientes, ou seja, quando chegou à inserção do quarto coeficiente, d, na expressão algébrica, a dupla conseguiu compreender que os coeficientes a, b, c foram responsáveis por determinar o crescimento ou decrescimento da função. Podemos dizer que os sujeitos utilizaram jáencontrados, adquiridos por meio da resolução das atividades anteriores, em que foram observando os valores positivos ou negativos dos coeficientes a, b, c, para, então, chegarem à formulação dessa conjectura, isto é, de observar esses três primeiros coeficientes. Identificamos indícios de características formais ao relacionar os três coeficientes com a função, compreendendo o papel que cada um tem para a determinação do crescimento ou decrescimento da função logarítmica. Comparando aquilo que as duplas discutem e conjecturam com o que escrevem, só nos faz lamentar pelo fato de elas transcreverem para o papel suas conjecturas, percepções e conclusões de maneira resumida, muitas vezes, por fadiga ao ter que escrever um texto maior, acarretando perda de informações importante para analisarmos a construção do conhecimento e do raciocínio utilizado pelo aluno na resolução de atividades. Em segundo lugar, apresentamos as discussões entre D3 e os recortes dos protocolos sobre as conclusões dos coeficientes c e d da função logarítmica. C: Movimenta os valores de c. A: Ah, eu não sei explicar isso. C: Aí, oh. (movimenta o seletor para a direita e para a esquerda) A: A curva vai...ele vai se deslocando, oh. ( ele quer dizer o gráfico) C: Uh, Uh! Tá agora me explica. A: Pode ver que ele vai se deslocando. Ele vai subindo.

187 185 (Estão considerando a curvatura do gráfico que, cada vez mais, se aproxima do eixo y, dando-lhes a impressão de que o gráfico está subindo ). C: Aí, chega uma hora que ele vira pra lá. (Querem dizer que dos quadrantes I e IV o gráfico inverte para os quadrantes II e III). A: Ele se desloca no eixo y para cima. C: E o que a gente responde aqui. A: A gente já falou dele em algum lugar. C: Foi. Aqui no (a). É o valor que acompanha x no numerador. (se referem ao item (a)). A: É isso mesmo. Figura 62: Atividade 7 Exercício 4 Produção da D3 Fonte: Acervo pessoal. C: Movimente o valor de d. Se liga, se liga. A: Ah! Move esse aqui agora, a parte de baixo. (aponta para o pedaço do gráfico que se encontra abaixo do eixo x) C: Move tudo. Não é só embaixo. A: Em relação ao outro, aqui também se move. C: Ah, tá! A: Faça modificações nos valores tananã, tananã, tananã, escolhendo inclusive valores negativos. (o sujeito faz a leitura) C: Vou coloca dois positivo e dois negativo. A: Coloca um positivo, um negativo, um positivo, um negativo. (referese aos coeficientes a, b, c, d da função) C: Faz aqui que eu não sei. A: Fia aqui é ninja, igual meu pai. Olha! Olha! Que coisa bonita! Eu que fiz! Eu que fiz! C: Tá. Agora vai. A: Anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Ela é decrescente. Por quê? C:. Porque b é negativo. A: É decrescente por quê? C: Porque eu quero que seja. A: Porque eu quis que fosse. Eu que coloquei os valores. C: Porque o valor de b e d são negativos. A: Não sei... C: Não! Porque acho que é aqui que vê. Os valores de b é negativos. A: Mas todos decidem se ela definiu crescente ou decrescente. C: Esquece, oh, porque d não define nada. A: Definiu sim, ela deslocou o gráfico. C: Só isso. Mas não se é crescente ou decrescente. Vou pôr que o b é negativo e o resto positivo. (se referem aos coeficientes a e c) A: Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x? C: Eixo x (2, 0). A: Eixo y é indefinido, tá? C: Eixo y não intercepta. A: Não. Eixo y é indefinido. C: Você gosta de palavra bonita. A: Então coloca não intercepta. C: Já coloquei. A: O que podemos concluir sobre d na expressão algébrica? C: O que é o d, mesmo? Mexe aí.

188 186 A: Tá vendo que é o deslocamento do gráfico. C: É o deslocamento do gráfico. (faz sinal de aspas ao falar a palavra deslocamento) A: É coloca entre aspas. Figura 63: Atividade 7 Exercício 5 Produção da D3. Fonte: Acervo pessoal. Percebemos que D3 observou a variação do gráfico em relação ao movimento dos valores atribuídos ao c, por exemplo, quando relatam que o gráfico vai subindo, e que num determinado momento ele vira, pois no vídeo, percebemos que eles apontam para a tela, se referindo à curvatura do gráfico e aos quadrantes, respectivamente. Porém, como não encontraram as palavras para se expressar, copiaram uma resposta do item (a) da mesma questão, nomeando o coeficiente c como sendo o valor que acompanhava x no numerador da fração. Mais uma vez, a dupla se referiu a uma propriedade dos logaritmos (mudança de base) como sendo apenas uma fração, exposto no protocolo da Figura 62 (p.185), sem relacionar seus elementos: a base e o logaritmando. Em relação ao coeficiente d, a dupla ainda não percebeu, ou não se atentou em apontar, que ele provoca o deslocamento do gráfico em relação a qual eixo (x ou y?). D3 apenas falou e escreveu que o coeficiente d está relacionado ao deslocamento do gráfico, porém em momento algum especificou o eixo a que se referiu. Identificamos que os alunos utilizaram características corporificadas, uma vez que fizeram a descrição de suas percepções sobre a variação do gráfico no momento que variava d, não havendo formalização das conjecturas. Outro ponto importante, extraído dessa discussão, é o fato da dupla ter percebido, nesse gráfico, que não há intersecção entre a curva e o eixo y. Significa que o gráfico construído naquela situação, ilustrado na Figura 55 (p.178), não favoreceu a interpretação correta, uma vez eles assinalaram o ponto de intersecção como sendo o valor cujo gráfico chegava mais próximo do eixo y. Mesmo respondendo, para essa função, que o gráfico não interceptava o eixo y, a dupla continuou apresentando falta

189 187 de conexão com o mundo formal, pois ela não compreendeu a relação existente de que só haverá intersecção entre a curva e o eixo y quando d assumir um número positivo (d>0), que era o esperado por nós. Apresentamos, na Figura 64, o gráfico com o qual D3 reconheceu a inexistência do ponto de intersecção entre a curva e o eixo y, porém usando características corporificadas. Figura 64: Tela capturada durante a produção da D3. Fonte: Acervo pessoal. Em relação à conclusão da variação do coeficiente e, constatamos que as duplas apresentaram diferentes visões da variação do gráfico, ou seja, uma delas observou o deslocamento da curvatura do gráfico em relação ao eixo y e a outra dupla, em relação ao eixo x. Vale ressaltar que era esperado que as duplas percebessem que o valor do coeficiente e não provoca crescimento ou decrescimento da função e, sim, a translação do gráfico nos sentido positivo e negativo do eixo y, dependendo do valor atribuído a e. Evidenciamos esses pontos de vista da dupla D3, que teve a percepção correta da translação do gráfico em relação ao eixo y, e D1, que se equivocou, colocando em relação ao eixo x, respectivamente, na Figura 65 e na Figura 66. Figura 65: Atividade 7 Exercício 6 Produção da D3. Fonte: Acervo pessoal.

190 188 Figura 66: Atividade 7 Exercício 6 Produção da D1. Fonte: Acervo pessoal. O fato da D1 não ter percebido que o gráfico da função translada em relação ao eixo y, também ocorreu com os sujeitos de Dominoni (2005) quando eles não assimilaram que a função translada verticalmente em algumas situações, dependendo dos valores atribuídos aos parâmetros. Observamos nesses protocolos que as duplas perceberam algo sobre a translação do gráfico em relação ao eixo y, quando os valores do coeficiente e variam. Entretanto, percebemos que elas, em geral, descreveram aquilo que realmente viram, por meio da manipulação dos seletores, as percepções e conjecturas, usando características do mundo corporificado, pois não conseguiram se expressar por meio de uma linguagem formal. Ressaltamos a relevância de nossas atividades que proporcionaram, mesmo que de maneira parcial, a compreensão da variação do gráfico e da expressão algébrica de acordo com cada coeficiente (a, b, c, d, e) quando inserido na função, de maneira gradativa, isto é, ao final quando foi inserido o último coeficiente (que foi e), ao manipularem todos os seletores, as duplas tiveram um entendimento melhor sobre a influência global de todos os coeficientes, ou seja, foi como se juntassem as peças de um jogo de quebracabeças. Evidenciamos esse fato por meio de dois momentos no diálogo entre a D3 em que estão fazendo a amarração dos coeficientes, manipulando todos os coeficientes disponibilizados na atividade. Primeiro momento: diálogo da D3. A: Movimenta os valores de e. C: Ele desloca para cima e para baixo. (se refere ao gráfico) A: Mas o outro também fazia isso. C: O d fazia assim oh. (faz um gesto com as mãos imitando o deslocamento do gráfico horizontalmente). A: Eu vou mexer o d pra ver. (movimenta para a esquerda e para a direita várias vezes o seletor d) A: Ah! O d desloca aqui oh no eixo x. (aponta para a tela do computador para se referir ao gráfico)

191 189 C: O e pra cima e pra baixo no eixo y. (se refere ao gráfico, fazendo um movimento com as mãos de subir e descer) A: Resposta muito inteligente! C: É e o bom é que a gente tá entendendo! A: escolha um valor negativo para representar e. Anote a expressão. C:. Ainda continua sendo crescente...como? A: Então, esse valor não determina se a função é crescente ou decrescente. Ele só faz o deslocamento no y. Eu sou muito inteligente! (se refere ao coeficiente e) C: Então é crescente ou decrescente? A: É crescente, pois os outros valores são positivos. C: A gente falou que d também só fazia deslocamento. A: É crescente, pois os valores de a, b e c são positivos. Segundo momento: diálogo da D3. A: Escolha um valor entre zero maior que a maior que um. Não. Escolha um valor zero menor que a menor que um. (se referia a 0<a<1) C: Aí. A: Selecione um valor para representar e. Anote a expressão algébrica. (O sujeito C deixa no valor 4,8 e não diz nada). A: Não. Valor redondo. C: Pronto! Tá no quatro. A: Anota aí. C:. É decrescente. A: Essa função é... A: Decrescente, por quê? (O sujeito C fica quieto, observando o gráfico e a expressão algébrica). A: Porque...(o sujeito movimenta todos os outros seletores novamente) A: Ah, é verdade! O a que determina se ela é crescente ou decrescente. C: Na verdade, os outros também determinam e a gente já escreveu isso em algum lugar... (O sujeito A se mostra resistente ao que o sujeito C relata. Então, ele movimenta o seletor a, para valores negativos e positivos, e observa que ora o gráfico desaparece, ora é decrescente ou crescente) A: É decrescente, mas os valores continuam sendo positivos...então... C: Então, é porque o a é decimal. Vou colocar isso. (escolheram a=0,8) Identificamos no diálogo do primeiro momento que a dupla percebeu que os coeficiente d e e são responsáveis pelas translações do gráfico, horizontalmente e verticalmente, respectivamente. Já os coeficientes a, b, c, para eles, são responsáveis pelo crescimento ou decrescimento da função de acordo com os valores positivos ou negativos. Tivemos a impressão que, nesse momento, eles relacionaram o valor do coeficiente a também como sendo um número positivo e, não, por ser a>1 (condição da base para ser crescente).

192 190 Somente no segundo momento é que parece que perceberam que tem algo a mais para a classificação da função em crescente ou decrescente, quando se depararam com os valores positivos exibidos na função, porém o gráfico dela estava desenhado, na tela, de maneira decrescente. Então, entraram em conflito, pois tinham que buscar uma justificativa para esse fato. Por meio da manipulação de todos os seletores, simularam vários gráficos, e perceberam que deveria ser pelo fato de a=0,8, ou como falaram um número decimal. Talvez, não tenham feito de maneira formal, relacionando o valor da base do logaritmo como um número a tal que 0<a<1, porém começam a aparecer, por meio da utilização de características corporificadas, indícios da conexão com o mundo formal, no momento em que os alunos conseguem juntar todos os coeficientes, identificando o papel de cada um na variação gráfica e na expressão algébrica. Em relação ao objetivo de identificar as funções exponencial e logarítmica como sendo uma a inversa da outra, em geral, as duplas não conseguiram compreender essa relação entre as funções por meio da resolução dessa atividade, de maneira formal, isto é, compreendendo o motivo ou o porquê delas serem inversas. Apresentaram, pois, uma noção dessa relação, por meio desse estudo, ao relatarem, nos protocolos e nos vídeos, a ideia de contrários, invertidos, ou de fazer gestos com as mãos. Talvez, precisassem de mais atividades, com mais exercícios para a percepção dessa relação ou mesmo um contato inicial com o cálculo de logaritmos e a nomenclatura envolvida. Tal fato também ocorreu com os sujeitos de Karrer (1999), Lima (2009) e Alves (2010) ao realizarem as atividades, apresentando dificuldades na assimilação da relação de função inversa existente entre as funções exponencial e logarítmica. Evidenciamos tal fato apresentando o protocolo de uma da D2 na Figura 67. Figura 67: Atividade 7 Exercício 10 Produção da D2. Fonte: Acervo pessoal.

193 191 A seguir, vamos observar o diálogo entre a D3 durante a resolução dos exercícios do 7 ao 10, referente à compreensão da relação de função inversa. A: Movimente o ponto A até (0, 1) e B até (1, 0). O que você percebe na relação entre as distâncias dos pontos e a reta? C: As distâncias são as mesmas, 0,71 os dois. Bonitinhos! A: Agora A (2,4) e B (4, 2). C: Pronto! A: O que você percebe sobre a relação entre as distâncias dos pontos até a reta? C: É a mesma ainda. A: Mas por que que são as mesmas? C: Porque...Se você perceber elas são iguais. A: Só que uma é crescente e a outra é decrescente. C: Não. As duas são crescentes. Mas são assim. São iguais, porém invertidas. (Faz o gesto com as mãos da inversão dos gráficos, como apresentado na Figura 68) Figura 68: Reflexão da D3 sobre os gráficos das funções exponencial e logarítmica. Fonte: Acervo pessoal. Percebemos que um dos sujeitos considera que os gráficos são iguais pelo fato dos dois serem as representações gráficas de funções crescentes. A seguir, apresentamos a transcrição do vídeo sobre a discussão da D3 no momento da conclusão sobre a relação de função inversa entre as funções exponencial e logarítmica. C: O que podemos concluir sobre a relação entre as funções exponencial e logarítmica? A: Que as distâncias são as mesmas. C: Que os gráficos são iguais. A: Calma! As distâncias...a relação entre as distâncias são iguais porque os valores são iguais. C: São iguais, porém invertidos. (se refere às coordenadas do ponto) A: Os valores são iguais, porém são invertidos. C: Escreve assim: Os gráficos das funções, tanto essa quanto essa, são os mesmos, porém invertidos, com as mesmas distâncias...

194 192 A: Porém, o gráfico...esse aqui é exponencial? (aponta para a curva na tela) C: Exponencial é esse. Esse aqui é o logaritmo. A: Porém o exponencial é crescente e o logaritmo é decrescente, mesmo que os valores dos pontos são invertidos por isso que dá a mesma distância. C: Os valores de x, y...os valores são os mesmos, porém invertidos. A: Tá! O gráfico...como que é? (começa a anotar no papel) C: O gráfico das funções são os mesmos... A: Escreve logaritmo e exponencial? C: Acho que não. A: O gráfico das funções são os mesmos, porém o exponencial... C: Não! Os dois são decrescentes agora. Pode pôr os mesmos. A: Oh, os gráficos das funções são as mesmas, porém invertidos... C: Porém os valores e as direções invertidas. Ah! Os valores invertidos. Coloca os valores de x e y são invertidos. A: Não, oh, os valores de x e y tá aqui. (aponta para os eixos do plano cartesiano na tela) C: Tô falando das coordenadas. A: Então, as coordenadas de A e B são invertidas. Oh, o gráfico das funções são os mesmos, porém os valores... C: Pera aí! Os valores de x e y dos pontos A e B são invertidos. A: Cabo não vida. (o sujeito C ia desligar a gravação do vídeo) C: Cabo. A: Por isso ocorre... C: O quê? A: A distância igual. C: Ah! É verdade. A: Por isso ocorre... C: Por isso as distâncias são iguais. A: É isso mesmo! Apresentamos o protocolo da D3. Figura 69: Atividade 7 Exercício 10 Produção da D3. Fonte: Acervo pessoal. Percebemos na fala do sujeito C que ele se refere aos gráficos como sendo os mesmos, pelo fato de serem representações gráficas de funções decrescentes. Apresentamos na Figura 70 a produção da D3.

195 193 Figura 70: Produção da D3 sobre a relação entre as funções exponencial e logarítmica. Fonte: Acervo pessoal. Apenas uma das duplas (D1) respondeu no protocolo que, para as funções exponencial e logarítmica, uma é a inversa da outra. Então, transcrevemos o trecho do diálogo da D1 sobre o levantamento das conjecturas para analisarmos melhor a conclusão dessa dupla sobre a relação entre as funções. J: O que podemos concluir sobre a relação entre as funções exponencial e logarítmica? V: É...Que elas são...uma é contrária a outra. Que uma é inversa a outra, porque... J: Coloca que o valor de x na exponencial é o valor de y... V: É na outra. J: Na logarítmica. V: É que é inverso. Aqui nessa função, o valor de x é do y. E esse do y é aqui do x. (o sujeito aponta para as coordenadas dos pontos) Percebemos que D1 utiliza o termo inverso para falar das coordenadas dos pontos que são invertidos nas funções exponencial e logarítmica, por causa da relação existente entre elas, de serem funções inversas. Embora tenham compreendido uma das relações sobre o fato de serem funções inversas, como ilustrado na Figura 71, a dupla não demonstra qualquer assimilação formal entre a relação do gráfico e da expressão algébrica, apontando outras propriedades ou características entre as funções exponencial ou logarítmica. Assim, utilizaram características corporificadas sem conexão

196 194 com o mundo formal, pois provavelmente eles não sabem o que é uma função inversa. Figura 71: Atividade 7 Exercício 10 Produção da D1. Fonte: Acervo pessoal. Em geral, verificamos que as duplas perceberam apenas que as coordenadas dos pontos A (m, n) e B (n, m), pertencentes aos gráficos das funções exponencial e logarítmica, são invertidas e que as distâncias deles até a reta são iguais. Entretanto, não compreenderam a relação envolvida de que, se esse fato ocorre, é porque os pontos são simétricos à reta que é a bissetriz dos quadrantes ímpares pelo fato das funções serem inversas. Ou seja, utilizaram apenas características corporificadas ao descreverem suas percepções sobre o objeto matemático da questão, com auxílio da manipulação dos seletores e da construção e visualização dos gráficos, porém sem conexão com o mundo formal. Ressaltamos que não houve intervenção da nossa parte para que os alunos assimilassem os conceitos abordados nas atividades. A nossa intervenção foi no sentido de auxiliar alunos na construção dos gráficos das funções, relembrando a linguagem do software como, por exemplo, no campo de entrada escrever as funções: e. Diferentemente da pesquisa de Lima (2009), cujos alunos tiveram auxílio dos professores colaboradores, que aplicaram o experimento, a todo o momento que precisaram e que tiveram dúvidas e, assim, assimilaram a relação entre as funções exponencial e logarítmica como sendo uma a inversa da outra, por exemplo. Concluímos, por meio de nossa análise que, de maneira geral, os objetivos propostos para essa atividade foram atingidos parcialmente. As duplas, de certo modo, entenderam a existência do gráfico de acordo com os valores atribuídos ao coeficiente a; o papel de cada um dos outros coeficientes

197 195 quando inseridos na função e a condição para classificar a função em crescente ou decrescente. No entanto, não assimilaram a transformação da função por meio da aplicação da propriedade de mudança de base dos logaritmos, identificando o coeficiente a como sendo a base do logaritmo, e não o denominador de uma fração, como descreveram nos protocolos. Além disso, apresentaram confusão em relação à identificação das coordenadas do ponto de intersecção do gráfico com os eixos x e y. Dependendo dos valores atribuídos aos coeficientes, o gráfico não intercepta o eixo y, porém duas duplas encontraram valores para a intersecção dos dois eixos, independente dos valores atribuídos aos parâmetros. Isso nos faz perceber que as duplas não fizeram conexão com o mundo formal. Ainda, apresentaram dificuldades para a compreensão da relação de função inversa existente entre as funções exponencial e logarítmica. Apesar de não termos feito as institucionalizações ao final das atividades, em conversa informal com a professora da turma, ela nos relatou que esses alunos que participaram do nosso experimento apresentaram um conhecimento a mais durante o estudo de funções exponencial e logarítmica na sala de aula regular, em relação aos outros alunos. Nas construções gráficas realizadas no ambiente papel e lápis, os sujeitos participantes de nossa pesquisa realizaram mais facilmente do que os outros, fazendo um traçado mais preciso da curva, sem fazer pontas. Na resolução do CAM, esses alunos atuaram como apoio, ajudando os colegas, uma vez que eles assimilaram a relação existente entre os coeficientes da função, o gráfico e a expressão algébrica, pois o uso do software permitiu que fizessem inúmeras simulações gráficas que favoreceram essa compreensão, e não apenas a realização de uma, duas ou três representações gráficas, como foi feito em sala de aula, para o restante dos alunos. Nessa Atividade 7, de maneira geral, identificamos o uso predominante de características corporificadas porque os alunos apenas relatam aquilo que observam, por meio do movimento dos seletores. Porém, começam a usar características do mundo formal quando, por exemplo, conseguem fazer a junção de todos os coeficientes, identificando o papel de cada um na

198 196 variação do gráfico, quando inserido na lei da função. Também, encontramos indícios do uso de características do mundo simbólico em uma dupla ao usar a estratégia da manipulação algébrica para resolver problema. Ressaltamos que o ambiente utilizado com auxílio de um software e a resolução de atividades adaptadas do CAM proporcionaram aos alunos um estudo diferenciado de funções exponencial e logarítmica ao permitir que eles fizessem simulações rápidas e precisas sobre os gráficos de várias funções e, ao mesmo tempo, comparar as variações com a expressão algébrica, visível na Janela de Álgebra da interface, a fim de que percebessem as características do gráfico de funções crescentes ou decrescentes; variação gráfica de acordo com os valores atribuídos aos parâmetros; visualização dos gráficos das funções inversas, para auxiliar a compreensão dessa relação existente entre elas. Além disso, Alves (2010) enfatiza a mudança na postura do aluno, que deixa de ser passiva para se tornar ativa, na construção do conhecimento; questionadora e autônoma dentro do ambiente escolar. Além disso, o trabalho em dupla promoveu discussões entre os sujeitos, que foram muito mais ricas em detalhes do que eles demonstraram de forma escrita nos protocolos. Talvez seja pela fadiga que sentem ao escrever textos longos ou pelo fato de não saberem se expressar matematicamente. Ainda, pode ser pelo fato de não estarem habituados a aulas em que eles são considerados sujeitos ativos no processo de construção do conhecimento e, o professor, o mediador do processo de aprendizagem, como aconteceu em nosso ambiente utilizado para a aprendizagem. Por esse motivo, o professor e o pesquisador não podem olhar apenas para os registros escritos, pois eles podem não trazer aquilo que realmente o aluno entendeu sobre um dado conteúdo. No nosso caso, enquanto pesquisador, ressaltamos a importância de se fazer os registros de vídeo e entrevistas gravadas, pois elas foram de grande valia para enriquecer nossa análise. Já o professor não pode ficar fazendo vídeos em todas as aulas e assistir a todos. Assim, ele pode tentar ouvir as discussões em sala de aula, isto é, ouvir os próprios alunos. A seguir, as nossas considerações finais para essa pesquisa.

199 197 CONSIDERAÇÕES FINAIS Essa pesquisa teve como objetivo adaptar atividades do CAM relacionadas ao conceito de função para serem trabalhadas com auxílio de um software. Guiados pela metodologia do Design Experiment, adaptamos sete atividades do CAM, volumes 2 e 3, da primeira série do Ensino Médio, para o uso do GeoGebra, e a aplicamos a seis alunos dessa série de uma escola da rede pública da cidade de São Bernardo do Campo, São Paulo. O GeoGebra foi escolhido por ser um software compatível com nosso quadro teórico, ao permitir que os alunos façam relações entre os mundos corporificado, simbólico e formal, por meio da visualização simultânea da representação das características algébricas e geométricas do objeto em estudo. Levando em consideração que os alunos não tinham conhecimento algum sobre funções exponenciais e logarítmicas, e as dificuldades apresentadas pelos autores em nossa revisão de literatura, optamos por iniciar o estudo com as funções polinomiais de 1º e 2º graus, a fim de fazer uma retomada do conceito de função, com intuito de minimizar tais dificuldades e de auxiliar alunos na aprendizagem de funções exponencial e logarítmica. Porém, para a análise dos dados coletados, feita à luz do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática, nos atemos apenas às funções exponencial e logarítmica pelo fato da literatura sobre essas duas funções ser menos extensa do que a das funções polinomiais. As questões que nortearam nossa pesquisa foram: 1) É possível integrar a Nova Proposta Curricular de São Paulo a um ambiente computacional por meio da adaptação de atividades pertencentes ao Caderno do Aluno Matemática? 2) O ambiente utilizado contribuiu para a aprendizagem do conceito de função, por meio das atividades adaptadas do CAM, para o uso do GeoGebra?

200 198 3) O uso de um ambiente computacional para o estudo de funções exponencial e logarítmica permitiu que os alunos realizassem uma jornada pelos Três Mundos da Matemática? Tivemos por hipóteses que o experimento proposto permitiria analisar a possibilidade de se fazer adaptações de atividades dos Cadernos do Aluno Matemática para o uso do software GeoGebra, que o uso desse ambiente poderia trazer vantagens na exploração das funções e que o experimento elaborado favoreceria a transição entre os Três Mundos da Matemática. Na próxima seção, retomamos estas questões e apresentamos nossas respostas para elas, bem como validamos nossa hipótese de pesquisa. 1. RESPONDENDO AS QUESTÕES DE PESQUISA Pensando em nossa primeira questão de pesquisa: É possível integrar a Nova Proposta Curricular de São Paulo a um ambiente computacional por meio da adaptação de atividades pertencentes ao Caderno do Aluno Matemática? Vimos que é possível fazer uma integração no sentido de que há atividades que são passíveis de adaptação, isto é, atividades adaptáveis, de modo que haja uma mudança real do ambiente papel e lápis para o ambiente computacional. Porém, nem tudo parece ser adaptável, ou seja, há atividades cuja adaptação não propiciou um estudo diferente do papel e lápis, o que não foi nosso intuito. Salientamos que a escolha das atividades a serem adaptadas foi difícil por pretendermos que a adaptação tornasse atividade apropriada para a resolução com o uso do computador, e não fazer "papel e lápis no computador". A nosso ver, evidências desse fato ocorreram quando não conseguimos fazer adaptações interessantes, envolvendo problemas de logaritmos com as atividades exibidas no CAM (vol.3), uma vez que adaptar

201 199 atividades que foram projetadas para um ambiente papel e lápis para o uso de um software não é simples, ou seja, de maneira que haja a mudança do papel e lápis para o ambiente computacional. Provavelmente, o professor que se propuser a adaptar outras atividades sob o mesmo enfoque, isto é, fazer a mudança do ambiente lápis e papel para o computacional, também terá essa dificuldade, pelo fato de não ser simples tal conversão de ambientes. A segunda questão norteadora foi: O ambiente utilizado contribuiu para a aprendizagem do conceito de função, por meio das atividades adaptadas do CAM, para o uso do GeoGebra? O ambiente utilizado com auxílio do software para resolução de atividades adaptadas do CAM proporcionou aos alunos melhor visualização dos gráficos das funções, simultaneamente com a expressão algébrica, para que eles pudessem fazer relações entre as variações gráficas, os coeficientes e a lei da função. Além disso, o software permitiu agilidade e rapidez nas simulações gráficas para a conclusão das questões. Afinal, entendemos o quanto seria difícil, demorado e trabalhoso construir tantos gráficos em um ambiente papel e lápis, para que os alunos percebessem tais variações. Além disso, o software contribuiu para uma mudança na postura do aluno, que saiu da condição passiva e assumiu uma postura ativa na construção do conhecimento, e também, o trabalho em duplas permitiu que os alunos trocassem informações, levantando conjecturas e testando-as para chegar às conclusões, contribuindo para o desenvolvimento da autonomia. Ainda, o software permitiu que os alunos fizessem relações entre os mundos corporificado e o formal. Por exemplo, no momento em que os alunos manipularam todos os seletores e foram assimilando o papel de cada coeficiente em relação às variações do gráfico e da expressão algébrica. A última questão levantada foi:

202 200 O uso de um ambiente computacional para o estudo de funções exponencial e logarítmica permitiu que os alunos realizassem uma jornada pelos Três Mundos da Matemática? Considerando que os alunos construíram gradativamente a noção de variação de cada coeficiente quando inserido na função, isto é, num primeiro momento eles utilizaram características corporificadas ao descreverem apenas as percepções daquilo que visualizavam com o movimento dos seletores, e, ao serem inseridos todos os coeficientes na função, os alunos conseguiram fazer a junção desses coeficientes, visualizando a variação ocorrida no gráfico em relação a cada um, utilizando, assim, características do mundo formal. Então, podemos dizer que os alunos conseguiram fazer algumas relações entre os mundos corporificado e formal, porém, houve a predominância de características do mundo corporificado, principalmente nas tarefas sobre função logarítmica. Talvez seja pelo fato de não termos escolhido atividades que privilegiassem essa relação entre os mundos corporificado e simbólico, ou entre os mundos simbólico e formal. Sendo assim, entendemos que a jornada não foi completa porque nossas atividades escolhidas e adaptadas contemplaram muito mais as discussões entre os mundos corporificado e formal do que o mundo simbólico. O software também não propiciou tantas relações assim usando o mundo simbólico. 2. VALIDANDO AS HIPÓTESES DE PESQUISA Considerando as nossas hipóteses de pesquisa, concluímos que elas foram parcialmente contempladas, pois, conforme já relatamos, é possível de se fazer adaptações do CAM para o uso do GeoGebra, porém, nem todas as atividades do Caderno são passíveis de adaptações para o uso do software de maneira que haja a mudança entre os ambientes papel e lápis e o computacional.

203 201 Além da dinâmica da manipulação dos seletores, da visualização simultânea dos gráficos das funções e das expressões algébricas, da agilidade nas construções desses gráficos, o software permitiu ao aluno que se dimensionassem os eixos x e y, determinando a graduação da maneira que lhe fosse mais conveniente para acomodar os pontos dos gráficos das funções, proporcionando maior precisão na construção dos gráficos, o que melhorou a visualização, interpretação e análise dos dados aos quais eles se referiam. Por exemplo, permite que o aluno trabalhe com pontos cujas coordenadas sejam expressas por valores bem pequenos (0, ; 1,0005) ou grandes (3, 64000) e modifique rapidamente, se necessário, a graduação desses eixos, para a análise do gráfico. Ainda, a transição entre os Três Mundos da Matemática não foi totalmente favorecida nesse experimento, uma vez que predominaram o uso de características dos mundos corporificado e formal. Talvez seja pelo fato de nossas atividades adaptadas não contemplarem tanto as discussões sobre o mundo simbólico. 3. LIMITAÇÕES E SUGESTÕES PARA NOVAS PESQUISAS Podemos dizer que a dificuldade na escolha das atividades foi uma limitação da nossa pesquisa, pois quisemos nos ater ao CAM, e esse fato pode nos ter privado de elaborar atividades que contemplassem um pouco mais uma discussão sobre a relação entre os mundos corporificado e formal e o mundo simbólico, por exemplo. Ou ainda, nos privou de encontrar problemas envolvendo exponencial e logaritmo que fossem interessantes de se adaptar para o uso do software. Além disso, podemos citar o fato de que, mesmo fazendo uma análise de Atividade a Atividade, não percebemos, naquele momento, a necessidade de um redesign da Atividade 7 para a compreensão da relação de funções inversas existente entre as funções exponencial e logarítmica. Entendemos que a riqueza dessa metodologia está na necessidade de um olhar mais

204 202 aprofundado na análise das atividades durante a realização das sessões, estipulando um prazo maior para reflexão e análise daquilo que foi produzido entre uma sessão e outra, a fim de perceber a necessidade de um redesign. Ainda sobre as limitações, queremos destacar o fato da extensão das atividades, isto é, quisemos trabalhar com a percepção das variações gráficas ao serem inseridos os parâmetros a,b,c,d,e na lei das funções exponencial e logarítmica, o que tornou algumas das atividades longas e cansativas. Percebemos que poderíamos ter simplificado alguns coeficientes cuja modificação gráfica não fosse tão evidente assim, e ter enfatizado mais outras relações entre os coeficientes como, por exemplo, na função exponencial, a adição dos valores dos coeficientes b e e resulta na ordenada do ponto de intersecção do gráfico com o eixo y, ou seja, P (0, b+e). Para tanto, poderíamos ter feito institucionalização com todo o grupo para que fossem discutidas essas relações entre os parâmetros, pois, talvez nem um redesign colaborasse para esse fim. Verificamos, também, por meio dos vídeos que as duplas sentiram a necessidade de atribuir nomes aos elementos da função como, por exemplo, um nome para os gráficos das funções exponencial e logarítmica; um nome para o coeficiente a da base do logaritmo. Então, percebemos que poderíamos ter feito um redesign dessas atividades para explicar, por exemplo, que na função, o coeficiente a é a base da exponencial e que na função, o coeficiente a é a base do logaritmo e x é o logaritmando. Ainda, nas Atividades de função logarítmica, em que foram necessários a transformação dos logaritmos para a base dez, por causa de uma limitação do software, os alunos não levaram em consideração as nossas explicações referentes à propriedade da mudança de base dos logaritmos, assim, apresentaram dificuldades na resolução dessa Atividade. Talvez poderíamos ter feito uma institucionalização para enfatizar esse conceito da propriedade da mudança de base dos logaritmos, ou até mesmo, um redesign.

205 203 Sugerimos, para uma próxima aplicação dessas atividades, que o professor pesquisador se atente a esses pontos que levantamos e avalie a necessidade de fazer ou não um redesign naquele momento, uma vez que a turma será outra, isto é, com outras necessidades e outras concepções prévias. Além disso, sugerimos que sejam feitas institucionalizações ao final das atividades, para que a turma formalize a relação entre os parâmetros, pois algumas relações são interessantes no sentido de facilitar a interpretação da variação gráfica. Esperamos que nossas atividades adaptadas contribuam para uma abordagem diferenciada no estudo das funções exponencial e logarítmica, no sentido de interagir a tecnologia com o CAM, privilegiando a aprendizagem do conceito de função, a fim de minimizar algumas das dificuldades apontadas na literatura. Ainda, que nossa pesquisa possa contribuir para a ampliação da literatura destinada ao estudo dessas funções, na área da Educação Matemática.

206 204 REFERÊNCIAS AKKOÇ, H. The Concept of Function: what have students met before. In: SIMPSON, A. Retirement as Process and Concept: A Festschrift for Eddie Gray and David Tall. Durham: Durham University, p AKKOÇ,H. and TALL, D. A mismatch between curriculum design and student learning: the case of the function concept. In D. Hewitt and A. Noyes (Eds), Proceedings of the sixth British Congress of Mathematics Education held at the University of Warwick, pp Available from ALVES, D. O. Ensino de Funções, Limites e Continuidade em Ambientes Educacionais Informatizados: Uma proposta para cursos de Introdução ao Cálculo. 152 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Educação Matemática). Universidade Federal de Ouro Preto. Ouro Preto, ANGELINI, N. M. Funções: um estudo baseado nos Três Mundos da Matemática. 219f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - Universidade Bandeirante de São Paulo, SP ARAÚJO, L.C.L. de; NÓBRIGA, J.C.C. Aprendendo matemática com o GeoGebra. São Paulo: Editora Exato, ARDENGHI, M.J. Ensino aprendizagem do conceito de função: pesquisas realizadas no período de 1970 a 2005 no Brasil p. Dissertação de Mestrado da PUC-SP, BADARÓ, J.N. Significados do Símbolo de Igualdade numa Jornada por Três Mundos da Matemática. 122f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, BALLEJO, C. C. O uso de software no ensino de funções polinomiais no Ensino Médio. 59f. Trabalho de Conclusão de Curso. Licenciatura em Matemática. Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS). Porto Alegre, BENEDETTI, F. C. Funções, Software gráfico e Coletivos Pensantes. 316f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Universidade Estadual Paulista, Rio Claro BRASIL.. Ministério da Educação (MEC), Secretaria de Educação Média e Tecnológica (Semtec). Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília:MEC/ Semtec, COBB, P.; CONFREY, J., DISESSA, A.; LEHRER, R., SCHAUBLE, L. Design Experiments in education research. Educational Researcher, v. 32, n. 1, p. 9-13, 2003.

207 205 DOMINONI, N. R. F. Utilização de Diferentes Registros de Representação: um estudo envolvendo Funções Exponenciais. 122f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática). Universidade Estadual de Londrina. Londrina, MAIA, D. Função Quadrática: Um estudo didático de uma abordagem computacional. 141f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo HENRIQUES, A.;NAGAMINE, A. Ensinando Geometria na escola com softwares. 34p.:il. Projeto: PERSAC Projeto de estudo de relação em sala de aula com a presença de ambientes computacionais de aprendizagem. Coleção UESC-Escola consciência. Cartilha 6. Ilhéus - Bahia: Editus, Itabuna: Via Litterarum, KARRER, M. LOGARITMOS, Proposta de uma sequência de ensino utilizando a calculadora. 227f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo LAUDARES, J. B.; MIRANDA, D. F. de. Informatização no Ensino da Matemática: investindo no ambiente de aprendizagem. ZETETIKÉ. Cempem, FE. Unicamp. V.15, n.27. jan/jun, LIMA, R. N. Equações Algébricas no Ensino Médio: Uma Jornada por Diferentes Mundos da Matemática. 358 p. Tese de Doutorado em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, LIMA, P. O. de. Uma trajetória hipotética de aprendizagem sobre Funções Logarítmicas. 213f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo, LIMA, R. N. de; SOUZA, V. H. G. de. Algebraic, graphic and natural language registers to interrelate different worlds of mathematics: the case of function. RIPEM - Revista Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. v.2, p.2-10, LIMA, R. N., & TALL, D. Procedural embodiment and magic in linear equations. Educational Studies in Mathematics, 67(1), MOURA, M. R. L. Reformas Educacionais e a Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Primeiras Aproximações. Anais do VI Seminário do Trabalho, Disponível em: pdf. Acesso em: 12 mar OLIVEIRA, N. de. Conceito de Função: Uma abordagem do processo ensino-aprendizagem. 165 f. Dissertação (Ensino da Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo, 1997.

208 206 OLIVEIRA, A. J. de. O ensino dos logaritmos a partir de uma perspectiva Histórica. 123f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências Naturais e Matemática). Centro de Ciências Exatas e da Terra. Universidade do Rio Grande do Norte. Natal RN, SANTOS, A. T. C. dos. O Ensino da Função Logarítmica por meio de uma sequência didática ao explorar suas representações com o uso do software GeoGebra. 200f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo SÃO PAULO (ESTADO). Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática Ensino Fundamental Ciclo II e Ensino Médio. São Paulo: SEE, Caderno do Aluno: Matemática, Ensino Médio 1ª série, volume 1. Coordenação Geral Maria Inês Fini; São Paulo: SEE, Caderno do Aluno: Matemática, Ensino Médio 1ª série, volume 2. Coordenação Geral Maria Inês Fini; São Paulo: SEE, 2009a.. Caderno do Aluno: Matemática, Ensino Médio 1ª série, volume 3. Coordenação Geral Maria Inês Fini; São Paulo: SEE, 2009b.. Caderno do Professor: Matemática, Ensino Médio 1ª série, volume 2. Coordenação Geral Maria Inês Fini; São Paulo: SEE, 2009c.. Caderno do Professor: Matemática, Ensino Médio 1ª série, volume 2. Coordenação Geral Maria Inês Fini; São Paulo: SEE, 2009d. SCANO, F.C. Função Afim: Uma sequência didática envolvendo atividades com o Geogebra p. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, SILVA, R. S. da. O uso de problemas no ensino e aprendizagem de funções exponenciais e logarítmicas na Escola Básica. 159f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática). Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre, SOUZA, C. V. de. A Função Exponencial no Caderno do Professor de 2008 da Secretaria do Estado de São Paulo, análise de atividades realizadas por alunos da 2ª série do Ensino Médio. 173f. Mestrado Profissional em Ensino de Matemática. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo, TALL, D. Introducing three worlds of mathematics. For the Learning of Mathematics. Canada. v.23, n.3, p a.

209 207. Thinking through three worlds of mathematics. In: International Conference for the Psychology of Mathematics Education, 28. Bergen, Norway. v. 4, , 2004b.. The transition from embodied thought experiment and symbolic manipulation to formal proof. In M. Bulmer, H. MacGillivray & C. Varsavsky (Eds.), Proceedings of Kingfisher Delta 05, Fifth Southern Hemisphere Symposium on Undergraduate Mathematics and Statistics Teaching and Learning (pp ). Fraser Island, Australia, Developing a Theory of Mathematical Growth. To appear in International Reviews on Mathematical Education (ZDM), 2006.

210 208 APÊNDICES Apêndice A - FAMILIARIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA FAMILIARIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA Nessa aula, faremos uma breve descrição sobre as potencialidades do software, bem como, as finalidades dos comandos básicos para construção de pontos, retas, gráficos, entre outros. Na área de trabalho do computador, clique no ícone para que seja aberto o programa. Isto feito, encontramos a tela inicial do software. Abaixo do ícone GeoGebra, se encontra a Barra de Menus, seguida da Barra de Ferramentas. A interface do software disponibiliza janelas intituladas como Janela de Álgebra, local em que ficam armazenadas os chamados objetos livres e objetos dependentes, e Janela de Visualização, local em que aparecem os eixos coordenados.

211 209 No rodapé da interface do software, existe um Campo de Entrada, local em que são inseridos os comandos, de forma direta, para obtenção dos objetos. Por exemplo, ao inserir a função f(x) = 2x, e clicar enter o gráfico é construído automaticamente. O mesmo acontece se inserir as coordenadas de um ponto. Exemplos: 1) Construa o gráfico da função f(x) = 2x. 2) Crie outras funções e construa os gráficos. Além disso, temos as funções com domínio restrito quadrada sqrt(...) ; raiz cúbica cbrt(...) ; entre outros. ; logaritmo decimal lg(...) ; raiz Na Barra Menu, existem os comandos: Arquivo, Editar, Exibir, Disposições, Opções, Ferramentas, Janela e Ajuda. Ao clicar sobre um deles, é aberta uma janela com mais subcomandos, cada qual com sua função. Por exemplo, citamos o Gravar como, que será bastante utilizado, uma vez que devem gravar todos os arquivos que produzirem para posteriores análises. Após a conclusão das análises, esses arquivos serão armazenados em nosso acervo pessoal.

212 210 A Barra de Ferramentas disponibiliza doze comandos que facilitam a construção de objetos na Janela de Visualização. Apresentamos os comandos mais utilizados para realização das atividades do experimento, seguidos de breves comentários sobre as funções. Este comando, ilustrado por uma seta, deve estar acionado sempre que o aluno quiser manipular seus objetos, selecionar outros ícones ou navegar por entre as Barras de Menu e de Ferramentas. Este comando oferece diversos recursos, sendo os mais utilizados, de acordo com as atividades: Ponto em objeto (por exemplo, cria pontos vinculados aos gráficos de retas ou curvas) e o de Intersecção de Dois Objetos (marca um ponto fixo entre a intersecção do gráfico com o eixo cartesiano, por exemplo).

213 211 Este comando permite a construção de retas e semirretas, além de auxiliar o estudo de vetores. De acordo com as atividades, poderá ser utilizado o comando Reta definida por dois Pontos, para a construção de retas auxiliares que, permitirão, por meio da manipulação, entender melhor as soluções das questões, bem como, os conceitos envolvidos. Este comando explora, entre outras, algumas noções sobre conceitos matemáticos como, por exemplo, paralelismo e perpendicularismo entre retas. De acordo com as atividades, pode ser usado o comando Reta Perpendicular, para construção de retas auxiliares, que podem facilitar a busca de soluções dos exercícios desenhados no experimento.

214 212 Por meio deste comando, é possível realizar medições entre ângulos, segmentos de reta, área, perímetro, inclinação de uma reta em relação ao eixo x. Será solicitado em algumas questões que envolvem perímetro e área. Este comando deve ser acionado sempre que alunos quiserem movimentar objetos dentro da Janela de Visualização. Por exemplo, movimentar o sistema de eixos coordenados ou, ainda, modificar suas escalas. Temos também os comandos oferecidos ao clicar o Botão Direito do Mouse, na Janela de Visualização. Abrirá uma janela, exibindo os ícones Eixos (quando está selecionado, com a borda azul, significa que os eixos coordenados estão visíveis); Malha (analogamente para a malha quadriculada); Zoom (varia o tamanho da visualização dos objetos); Eixo X: Eixo Y (altera proporcionalmente a escala dos eixos coordenados); Exibir Todos os Objetos (expõe objetos ocultos); Visualização Padrão (retorna às medidas iniciais); Janela de Visualização (são mais opções para configurar essa janela como, por exemplo, idioma, tamanho da fonte, entre outros).

215 213 O software oferece, ainda, as opções para personalizar os objetos construídos, tais como: modificar a cor, a espessura e o estilo da linha que contorna ou forma o objeto, entre outros. Por exemplo, construam o gráfico de uma função f, e personalizem, modificando a cor, estilo e espessura da linha. Para isso, basta selecionar o objeto que se pretende modificar e clicar com o botão direito do mouse. Uma janela se abre, com vários outros recursos: Exibir Objeto (tem que estar selecionado, caso contrário, o gráfico não fica visível), Exibir rótulo (quando selecionado, aparece os nomes dos objetos; por exemplo, neste caso, a função f), Habilitar Rastro, Copiar para a Linha de Comandos, Renomear, Apagar, Propriedades. Segue exemplos dos comandos mais usuais.

216 214 Ao clicar em propriedades, outra janela se abre com mais recursos: Básico, Cor, Estilo, Álgebra, Avançado, Programação, Apagar, Restaurar Configuração Padrão, Fechar. Os mais utilizados são os comandos Básico (oferece a opção de visualizar o rótulo com nome e valor); Cor (oferece opções de cores que mexem com a imaginação); Estilo (espessura da linha e tipo tracejada ou contínua dos objetos).

217 215 O GeoGebra disponibiliza o recurso de animação. Por exemplo: Coloque um ponto sobre um gráfico construído e anime-o. Para isso, deve escolher na barra de ferramentas, o comando ponto em objeto. Após colocar o ponto sobre o gráfico, deve clicar com o botão direito do mouse. Uma janela se abre, com recursos similares, descritos anteriormente, porém oferece o recurso Animar. Quando selecionado, o ponto se locomove sobre o gráfico construído, aparecendo uma seta na tela de visualização que, ao ser clicada, paralisa a animação. Para retornar, basta clicar no ícone e, assim, sucessivamente.

218 216 Agora vamos explorar o software, resolvendo alguns exercícios. 1) Construa uma reta qualquer no plano cartesiano. O que foi preciso usar para traçar essa reta? 2) Construa uma reta paralela a esta outra que foi construída. Por que elas são paralelas? 3) Construa uma reta perpendicular em relação à primeira reta construída. Por que elas são perpendiculares? 4) Construa uma reta perpendicular ao eixo das abscissas e outra em relação ao eixo das ordenadas. Personalize as retas. 5) Coloque um ponto de intersecção entre duas retas. Coloque outro ponto sobre outra reta. Anime-os e observe o comportamento dos dois pontos. 6) Construa o gráfico de funções do tipo,, e. Personalize-os. Coloque visível a malha quadriculada e altere a escala dos eixos x e y. 7) Construa um polígono. Meça a medida dos lados desse polígono. Dê os valores do perímetro e da área. 8) Abram o arquivo, no GeoGebra, denominado aula prévia. Movimentem os seletores e descreva o que você observa quando a>0, a<0 e a=0. Qual a classificação para a função nesses três casos? 9) Qual a relação entre o gráfico e a expressão algébrica presente na tela? 10) Qual é a relação dos coeficientes a e b com a expressão algébrica?

219 217 Apêndice B - Termo de Consentimento Livre e Esclarecido COMISSÃO DE ÉTICA UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO CONSELHO DA PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA (Resolução CONSEPE-UNIBAN nº 17/06 de 11/02/2006) TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO O(a) senhor(a) está sendo convidado(a) a participar, como voluntário, desta pesquisa que tem como finalidade investigar questões relacionadas ao ensino de um conceito da Matemática. Tal investigação é, por nós, considerada de fundamental importância, uma vez que poderá contribuir para a compreensão das dificuldades enfrentadas por um estudante no processo de construção desse conceito e para a reflexão sobre possíveis estratégias no sentido de amenizar tais dificuldades e oferecer ajuda para a superação das mesmas. Ao participar desta pesquisa, o(a) senhor(a) permitirá que a pesquisadora tenha a oportunidade de ampliar e aprofundar os estudos que vêm sendo desenvolvidos por outros pesquisadores das linhas de Ensino e Aprendizagem de Matemática e suas Inovações do Programa de Mestrado em Educação Matemática da UNIBAN-SP. Após ser esclarecido(a) sobre as informações a seguir, no caso de aceitar fazer parte do estudo, assine ao final deste documento, que está em duas vias. Uma delas é sua e a outra é da pesquisadora responsável. Em caso de recusa, o(a) senhor(a) não será penalizado(a) de forma alguma. O(a) senhor(a) tem liberdade de interromper sua participação, em qualquer fase do estudo, sem prejuízo algum. Sempre que quiser ou necessitar poderá solicitar informações sobre a pesquisa por meio do telefone da pesquisadora do projeto. Se o(a) senhor(a) tiver alguma consideração ou dúvida sobre a ética da pesquisa, entre em contato com a Comissão de Ética. 1. Cada participante será identificado por um apelido, a ser utilizado caso haja necessidade. 2. Será realizada as atividades propostas na pesquisa, num ambiente computacional, será vídeo -gravada e eventualmente registrada por escrito por um observador neutro. Dos protocolos serão tirados os dados qualitativos. 3. Os dados analisados são estritamente confidenciais e serão de estrito conhecimento da pesquisadora e de sua orientadora. As gravações serão utilizadas de forma sigilosa pela pesquisadora, para esclarecer dúvidas que possam surgir durante a análise dos protocolos e das observações escritas. As informações obtidas serão analisadas no conjunto de participantes, não sendo divulgada a identificação de nenhum destes.

220 Em qualquer etapa do estudo, o(a) senhor(a) terá acesso aos profissionais responsáveis pela pesquisa para esclarecimento de eventuais dúvidas. 5. A participação nesta pesquisa não traz complicações legais. Os procedimentos adotados nesta pesquisa obedecem aos Critérios da Ética em Pesquisa com Seres Humanos conforme Resolução no. 196/96 do Conselho Nacional de Saúde. Nenhum dos procedimentos que serão utilizados oferece riscos à sua dignidade. 6. Ao participar desta pesquisa o(a) senhor(a) não terá nenhum benefício direto. Entretanto, esperamos que este estudo traga informações importantes a respeito das dificuldades inerentes ao processo de construção do conceito em estudo, de forma que o conhecimento que será construído a partir desta pesquisa possa contribuir para o seu ensino. Para isso, a pesquisadora se compromete a divulgar os resultados obtidos. 7. O(a) senhor(a) não terá nenhum tipo de despesa para participar desta pesquisa, bem como nada será pago por sua participação. 8. Direito de ser mantido atualizado Os resultados parciais das análises serão compartilhados, à medida que forem obtidos. 9. Os dados analisados serão utilizados somente para esta pesquisa. Pesquisadora: Patrícia Felipe RG: Tel.: (11) patricia_felipe@ig.com.br Orientadora: Profª Drª Rosana Nogueira de Lima Av. Braz Leme, º andar, tel. (11) UNIBAN Campus MR Tel.: (11) , rosananlima@gmail.com Comissão de Ética: Av. Braz Leme, º andar Tel.: / 9021, Fax.: comissao.etica@uniban.br secretariapos@uniban.br Pesquisadora Patrícia Felipe Orientadora Profª Drª Rosana Nogueira de Lima Se após esses esclarecimentos o(a) senhor(a) consentir, de forma livre, em participar desta pesquisa, assine, por favor, a folha que segue:

221 219 UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO CONSELHO DA PÓS-GRADUAÇÃO EPESQUISA COMISSÃO DE ÉTICA (Resolução CONSEPE-UNIBAN nº 17/06 de 11/02/2006) Acredito ter sido suficientemente informado a respeito das informações que li ou que foram lidas para mim, descrevendo o estudo desta pesquisa. Eu discuti com a mestranda, Patrícia Felipe, a minha decisão em participar desse estudo. Ficaram claros para mim quais são os propósitos do estudo, os procedimentos a serem realizados, seus desconfortos e riscos, as garantias de confidencialidade e de esclarecimentos permanentes. Ficou claro também que minha participação é isenta de despesas. Concordo voluntariamente em participar deste estudo e poderei retirar o meu consentimento a qualquer momento, antes ou durante o mesmo, sem penalidades ou prejuízos ou perda de qualquer benefício que eu possa ter adquirido, ou no meu atendimento nesta unidade de ensino. Nome e Assinatura do Participante da Pesquisa (Somente para o responsável do projeto) Declaro que obtive de forma apropriada e voluntária o Consentimento Livre e Esclarecido deste paciente ou representante legal para a participação neste estudo. Assinatura do responsável pelo estudo Data / /

222 220 Apêndice C - Termo de Concessão do uso de imagens UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM DUCAÇÃO MATEMÁTICA CONCESSÃO DO USO DAS IMAGENS Declaro meu consentimento para a veiculação da imagem de meu(minha) filho(a) para fins de divulgação científica, nas condições do TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO, que li acima, ou que foram lidas para mim, a respeito do projeto O ESTUDO DE FUNÇÕES COM O AUXÍLIO DE UM AMBIENTE COMPUTACIONAL. São Bernardo do Campo, de de Assinatura do sujeito de pesquisa/representante legal Assinatura da pesquisadora responsável Assinatura da testemunha Assinatura da testemunha

223 221 Apêndice D - Atividade 1 do Design ATIVIDADE 1 Observação: Por favor, deixe todos os seus cálculos, anotações, ou raciocínios utilizados registrados nesta folha de atividade. DUPLA: DATA: / / Abra o arquivo da atividade 1, no GeoGebra e responda as questões: a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando arrasta o seletor a para a direita? E para a esquerda? b) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando arrasta o seletor b para a direita? E para a esquerda? c) O que podemos concluir sobre os seletores a e b em relação à função polinomial de 1º grau f(x) = ax + b? d) Quando colocamos o seletor a = 0 o que acontece com o gráfico? Esse gráfico representa uma função? Se sim, qual? Movimente o seletor b para se certificar de sua resposta. e) Considerando o valor de a>0, quando a reta estará mais ou menos inclinada em relação ao eixo x? E quando a<0, o que acontece? f) Com suas palavras, defina os coeficientes a e b. g) Com suas palavras, defina os pontos C e D.

224 222 Apêndice E Atividade 2 do Design ATIVIDADE 2 Observação: Por favor, deixe todos os seus cálculos, anotações, ou raciocínios utilizados registrados nesta folha de atividade. DUPLA: DATA: / / Abra o arquivo da atividade 2, no GeoGebra e responda as questões: a) Observe a reta. Qual a variação do y quando x varia uma unidade? b) Movimente o seletor a. Observe novamente, quando x varia uma unidade quantas unidades variam no y? c) Varie mais algumas vezes o valor do a e para cada valor que você parar observe essa variação. E compare esta variação do x em relação ao y com a lei da função. O que você percebe? d) Se andar duas unidades no x quantas unidades anda no y?

225 223 Apêndice F - Redesign da Atividade 1 ATIVIDADE 1 Observação: Por favor, deixe todos os seus cálculos, anotações, ou raciocínios utilizados registrados nesta folha de atividade.dupla: DATA: / / 1) Abra o arquivo da atividade 1, no GeoGebra e responda as questões: a) Observe o gráfico, o valor numérico de a e o valor numérico de b. Escreva a lei da função que você observa. b) Mude o valor numérico de a para 2, e escreva a lei da função encontrada. Qual foi a modificação que ocorreu com o gráfico em relação ao anterior? c) Mude o valor numérico de a para 3, e escreva a lei da função encontrada. Qual foi a modificação que ocorreu com o gráfico em relação ao gráfico obtido no item a)? d) Escolha mais dois valores numéricos para representar a e anote as leis das funções encontradas. Descreva as modificações observadas em cada gráfico em relação ao gráfico do item a). e) Com o valor numérico de a=1, mude o valor numérico de b para 4. Escreva a lei da função encontrada, e descreva a modificação ocorrida no gráfico desta função em relação ao gráfico do item a). f) Com o valor numérico de a=1, mude o valor numérico de b para 5. Escreva a lei da função encontrada, e descreva a modificação ocorrida no gráfico desta função em relação ao gráfico anterior. g) Com o valor numérico de a= 6.2, mude o valor numérico de b para 5. Escreva a lei da função encontrada, e descreva a modificação ocorrida no gráfico desta função em relação ao gráfico do item a). h) Com o valor numérico de a= 6.2, mude o valor numérico de b para 2.6. Escreva a lei da função encontrada, e descreva a modificação ocorrida no gráfico desta função em relação ao gráfico anterior. i) Mude o valor numérico de a e de b para zero (a=0; b=0). O que você observa no gráfico? j) Com a=0, mude o valor numérico de b para 5.6 e descreva a modificação que ocorreu com o gráfico desta função em relação ao gráfico do item anterior.

226 224 k) Com a=0, mude o valor numérico de b para 4.2 e descreva a modificação ocorrida no gráfico desta função em relação ao gráfico do item i). 2) O que acontece com o gráfico da função quando: a) a assume valores numéricos positivos? b) a assume valores numéricos negativos? c) a assume valor numérico igual a zero? d) b assume valores numéricos positivos? e) b assume valores numéricos negativos? f) b assume valor numérico igual a zero? 3) O que podemos concluir sobre os valores numéricos de a e de b em relação a função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b? 4) Observe as coordenadas dos pontos C e D quando os valores de a e b se modificam. O que podemos concluir sobre esses pontos?

227 225 Apêndice G - Redesign da Atividade 2 ATIVIDADE 2 Observação: Por favor, deixe todos os seus cálculos, anotações, ou raciocínios utilizados registrados nesta folha de atividade. DUPLA: DATA: / / Abra o arquivo da atividade 2, no GeoGebra e responda as questões: 1) Com a ferramenta do GeoGebra, crie dois pontos A e B sobre a reta, e determine as coordenadas (x,y) de cada um desses pontos. 2) Qual é a variação, ou seja, a diferença entre os valores do y B e y A? E a variação entre x B e x A? 3) Calcule a taxa de variação, isto é, a razão entre a diferença do y B e y A e a diferença entre x B e x A.Compare o valor encontrado nesta razão com a função que aparece na interface do GeoGebra. O que você percebe? 4) Mude o valor numérico de a. Anote as novas coordenadas dos pontos A e B. Qual a diferença entre os valores das coordenadas y B e y A? E a diferença entre x B e x A? 5) Calcule a taxa de variação. Compare o valor encontrado com a função que aparece na interface do GeoGebra. O que você percebe? 6) Mude o valor numérico de b. Determine as novas coordenadas dos pontos A e B. Qual a diferença entre os valores das coordenadas y B e y A? E a diferença entre x B e x A? 7) Calcule a taxa de variação entre esses pontos. Compare este valor com o do item anterior. O que você percebe? Justifique sua resposta. 8) Repita este procedimento por mais três vezes, mudando os valores numéricos de a e b, use inclusive números negativos para representar a e b. Verifique se o que você percebeu é verdadeiro para outros valores numéricos de a. 9) Construa uma reta definida pelos pontos A e B. Com o auxílio da ferramenta do GeoGebra, meça a inclinação dessa reta. Calcule a taxa de variação entre os pontos utilizados pelo software. 10) Compare esse valor com a função que aparece na interface do GeoGebra. O que podemos concluir?

228 226 Apêndice H - Atividade 3 do Design ATIVIDADE 3 Observação: Por favor, deixe todos os seus cálculos, anotações, ou raciocínios utilizados registrados nesta folha de atividade. DUPLA: DATA: / / Abra o arquivo da atividade 3, no GeoGebra e responda as questões: 1) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando a assume valores positivos? E negativos? 2) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando m assume valores positivos? E negativos? 3) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando n assume valores positivos? E negativos? 4) O que podemos concluir sobre os valores de a, m, n em relação à função polinomial de 2º grau f(x) = a(x-n) 2 +m? 5) Compare as duas expressões algébricas que aparecem na janela de álgebra do GeoGebra e escreva o que você percebe. 6) Quando colocamos o valor a = 0 o que acontece com o gráfico? Esse gráfico representa uma função? Se sim, qual? 7) Considerando o valor de a>0, quando a concavidade da parábola estará mais ou menos fechada? E quando a<0, o que acontece? 8) Com suas palavras, defina os coeficientes a, m, n. 9) Com suas palavras, defina os pontos A, B, C, D.

229 227 Apêndice I - Atividade 4 do Design ATIVIDADE 4 Observação: Por favor, deixe todos os seus cálculos, anotações, ou raciocínios utilizados registrados nesta folha de atividade. DUPLA: DATA: / / Abra o arquivo da atividade 4, no GeoGebra e responda as questões: 1) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando a assume valores positivos? E negativos? 2) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando b assume valores positivos? E negativos? 3) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando c assume valores positivos? E negativos? 4) O que podemos concluir sobre os valores de a, b, c em relação à função polinomial de 2º grau f(x) = ax 2 + bx + c? 5) Quando colocamos o valor de a = 0 o que acontece com o gráfico? Esse gráfico representa uma função? Se sim, qual? 6) Considerando o valor de a>0, quando a concavidade da parábola estará mais ou menos fechada? E quando a<0, o que acontece?

230 228 Apêndice J - Atividade 5 do Design ATIVIDADE 5 Observação: Por favor, deixe todos os seus cálculos, anotações, ou raciocínios utilizados registrados nesta folha de atividade. DUPLA: DATA: / / PROBLEMA 1 Deseja-se murar (cercar com muros) um terreno retangular utilizando-se de uma parede já existente no terreno. Sabe-se que o comprimento do muro correspondente aos outros três lados do terreno é 12 metros. Parede x x a) Abra o arquivo da atividade 5, movimente o ponto P e observe o que acontece. Com a ferramenta do GeoGebra, meça os comprimentos dos segmentos ON, NI e HI. Coloque também a área do retângulo. b) Movimente novamente o ponto P e encontre a área máxima do retângulo. Anote na linha abaixo essa área. c) Quais as dimensões, comprimento e largura, do terreno para que a área seja máxima? d) Tomando o segmento HI como x, movimente o ponto P de forma que x tenha as medidas indicadas na tabela e preencha o que se pede. x Perímetro Área 0 1 1,5 2 2,3 3 3,7 4

231 229 4,5 5 5,6 6 e) Escreva a expressão algébrica que representa a área desse retângulo. f) Construa o gráfico dessa função no GeoGebra. Você pode restringir o domínio de acordo com a tabela. g) Coloque um ponto sobre a parábola e movimente-o sobre a curva. Qual a altura máxima que esse ponto atinge? h) O que podemos concluir sobre esse ponto e a área máxima do retângulo? PROBLEMA 2 Quando uma pedra é abandonada em queda livre (sem considerar a resistência do ar ao movimento), a distância vertical d que ela percorre em queda é diretamente proporcional ao quadrado do tempo t de queda, ou seja, d = kt 2. Observando-se que, após 1 segundo de queda, a pedra caiu 4,9 metros, pergunta-se: a) Qual é o valor da constante de proporcionalidade k? b) Qual a expressão algébrica que descreve esse movimento? c) Abra um arquivo no GeoGebra e construa o gráfico. d) Coloque um ponto sobre a curva. Trace uma perpendicular, passando por esse ponto, em relação ao eixo x e outra em relação ao eixo y. e) Considerando o problema, como você interpreta o ponto zero no gráfico? f) Qual é a distância vertical percorrida após 5 segundos? g) Quanto tempo a pedra levará para cair 49 m?

232 230 Apêndice K - Atividade Complementar 12 ATIVIDADE COMPLEMENTAR DUPLA: DATA: / / 1) Escreva uma sentença matemática que traduza cada afirmação abaixo. a) o quadrado de um número somado com dois.: b) o triplo de um número acrescido de quatro.:.. c) a diferença entre o cubo de um número e o próprio número.:. 2) A seguir, estão os primeiros elementos de uma sequência de figuras que representam os chamados números quadrangulares. a) Quantos quadradinhos deverá ter o sexto elemento dessa sequência? E o décimo termo? b) Escreva a expressão do termo geral dessa sequência. 3) Nesta figura, cada quadradinho é formado por quatro palitos de comprimentos iguais. a) Quantos palitos serão necessários para a construção da sexta figura? E da sétima? b) Quantos palitos serão necessários para construir a 78ª figura? c) Escreva uma fórmula que expresse a quantidade de palitos da figura que ocupa a posição n nessa sequência. 4) Observe a sequência de figuras: 12 Atividades extraídas do Caderno do Aluno Matemática, volume 1, 2008.

233 231 a) Quantos quadrinhos brancos deverá ter a sexta figura dessa sequência? b) Preencha a tabela. Posição da figura na sequência n Número de quadrinhos pretos Número de quadrinhos brancos c) Quantos quadrinhos brancos deverá ter a 39ª figura dessa sequência? 5) Observe a sequência de figuras. Assinale a alternativa que representa a expressão algébrica que representa a quantidade de quadrinhos na Figura n. a) b) c) d) 6) Em uma sequência numérica, o primeiro termo é igual a 2 e os seguintes são obtidos a partir do acréscimo de três unidades ao termo imediatamente anterior. Nessa sequência, a) quais são os cinco primeiros termos? b) qual é o décimo termo? c) como se pode determinar um termo a n qualquer? 7) A expressão é a expressão do termo geral de uma sequência numérica, isto é, os termos da sequência podem ser obtidos se forem atribuídos a n valores naturais maiores do que zero. Para essa sequência, encontre: a) o primeiro termo c) o oitavo termo b) o quinto termo d) a posição do termo que é igual a