FLUIDOS IDEAIS EM RELATIVIDADE GERAL E COSMOLOGIA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA FELIPE DE MELO SANTOS FLUIDOS IDEAIS EM RELATIVIDADE GERAL E COSMOLOGIA VITÓRIA 2016

2 FELIPE DE MELO SANTOS FLUIDOS IDEAIS EM RELATIVIDADE GERAL E COSMOLOGIA COMISSÃO EXAMINADORA: Prof. Dr. Davi Cabral Rodrigues (Orientador). Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Dr. Júlio César Fabris (Coorientador). Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Dr. Felipe Tovar Falciano. Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas Prof. Dr. Winfried Ernst Wilhelm Zimdahl. Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Dr. Oliver Fabio Piattella. Universidade Federal do Espírito Santo VITÓRIA 2016

3 FLUIDOS IDEAIS EM RELATIVIDADE GERAL E COSMOLOGIA

4 FELIPE DE MELO SANTOS FLUIDOS IDEAIS EM RELATIVIDADE GERAL E COSMOLOGIA Dissertação apresentada ao Programa de Pós- -Graduação em Física do Centro de Ciências Exatas da Universidade Federal do Espírito Santo como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Física, na área de concentração de Física Teórica Orientador: Prof. Dr. Davi Cabral Rodrigues Coorientador: Prof. Dr. Júlio César Fabris Vitória 31 de março de 2016

5 de Melo Santos, Felipe D1234p FLUIDOS IDEAIS EM RELATIVIDADE GERAL E COSMOLOGIA / Felipe de Melo Santos. Vitória, 2016 xii, 60 f. : il. ; 29cm Dissertação (mestrado) Universidade Federal do Espírito Santo Orientador: Prof. Dr. Davi Cabral Rodrigues 1. Dissertações. 2. Dissertações. I. Orientador. II. Título. CDU 000.0*00.00

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7 Dedicado aos meus pais.

8 Agradecimentos À Deus, onipotente, onipresente e onisciente, em minha vida. Aos meus pais, Raimunda Nonata e Reinaldo Santos, por seus exemplos de carinho, atenção, ajuda e acima de tudo por seu amor incondicional. Aos meus irmãos, Tiago Santos e Jaime Neto, pelo amor e pelos conselhos nessa jornada. Às minhas cunhadas, Karla Renata e Dielle Petri e aos meus sobrinhos. Ao Prof. Dr. Davi Cabral Rodrigues pela paciência e pela dedicada e excelente orientação neste trabalho. Ao Prof. Dr. Júlio César Fabris pelas ideias e conselhos dados na coorientação. Aos professores da Pós Graduação em Física da UFES, Antônio Brasil Batista, José Alexandre Nogueira, Winfried Ernst Wilhelm Zimdahl e Oliver Fabio Piattella. À minha amiga, irmã, Tays Miranda, pela paciência, pelos conselhos, pelo companheirismo e pelo amor. À família Miranda. Aos irmãos Bruno Rodrigues e Márcio Sousa. Aos meus amigos e colegas de Vitória: Denis C. Rodrigues, Pedro Otavio, Carla R. Almeida, Gabriela Guerra, Mariniel Galvão, Igor Badke, Michael F. Gusson, Eddy Chirinos, Álefe Freire, Cássio Cecato Favarato, Fernando Pansini, Alan J. Romanel, Fabio Arthur, Mario Junior, Adriano Mesquita, Rafael Perez, Jefferson Moraes, Arthur Cavichini. Ao meu amigo Glauber Tadaeisky. Aos amigos de Belém: Leonardo Teixeira, Sarah Lopes, Ingrid Costa, Isaac Torres, Henrique. À minha querida amiga Lívia Santos. Ao meu amor incondicional, minha princesa, Sara Aviz, pelo amor, carinho, atenção, paciência,dedicação, companheirismo... durante todo esses anos de relacionamento e pelos que ainda virão. À minha sogra, meu sogro e meu cunhado. Ao secretario da Pós J. Carlos Coutinho. A todos que não foram citados aqui mais que contribuíram de forma direta ou indireta, para este trabalho. Finalmente, também agradeço à CAPES pela bolsa de estudo. vi

9 Dust in the wind, all we are is dust in the wind. (Kansas) vii

10 Resumo O conteúdo material que permeia o universo é comumente descrito por modelos de fluidos ideais. Uma revisão sobre a dinâmica destes fluidos é feita neste trabalho e uma formulação para a ação de fluido ideal é estudada. Mostra-se que modelos de campo escalar minimamente acoplado, como o campo escalar canônico e o campo tipo K-essência, mimetizam fluidos ideais. É feita a definição de campos não usuais, chamados fantasmas e táquions. Por fim, teoria de sistemas dinâmicos é usada para analisar a evolução desses fluidos num fundo cosmológico. Palavras-chave: Fluidos, Campos Escalares, Relatividade Geral, Cosmologia Sistemas Dinâmicos. viii

11 Abstract The matter content that permeates the universe is usually described by ideal fluids. Fluid dynamics is here reviewed, and an action for general ideal fluids is studied. It is shown that models of scalar fields minimally coupled, as the canonical scalar field and K-essence field, can mimic certain types of ideal fluids. The definitions of certain unusual fields, called ghosts and tachyons, are presented as part of the analysis of K-essence. At last, dynamical system theory is used to study these fluids on a cosmological background. Keywords: Fluid, Scalar Field, General Relativity, Cosmology, Dynamical Systems. ix

12 Lista de Figuras 6.1 Diagrama do Espaço de Fase do modelo cosmológico com matéria tipo poeira, radiação e constante cosmológica Diagrama de espaço de fase para o caso 1 3 < ω < 1. Nesta região as soluções do tipo fluido ideal são não inflacionárias Diagrama de espaço de fase para o caso 1 < ω < 1 3. Nesta região as soluções do tipo fluido ideal são inflacionárias Diagrama para ω = 1. O eixo de u = 0 torna-se singular e as soluções correspondentes são do tipo de Sitter com diferentes valores do fator de Hubble Diagrama de fase para n = 2 (ω = 1 3 ). As funções em laranja e vermelho representam equação de vínculo (6.46) Diagrama de um fluido ideal com ω = 1 3. As funções em vermelho e laranja representam a equação de vínculo do sistema, primeira equação de Friedmann.. 49 x

13 Sumário Agradecimentos Resumo Abstract Lista de Figuras vi viii ix x 1 Introdução 1 2 Revisão de Fluidos Ideais Dinâmica Não Relativística de Fluidos Ideais Dinâmica Relativística de Fluidos Ideais Equações da Dinâmica Relativística de Fluidos Ideais na Ausência de Campo Gravitacional Equações da Dinâmica Relativística de Fluidos Ideais para uma Métrica Genérica Velocidade de Propagação de Perturbações num Fluido Ideal Equação de Estado Ação Geral do Fluido Ideal Introduzindo a Ação do Fluido Ideal Fluxo Rotacional Isentrópico Movimentos Generalizados do Fluido Modelo de Campo Escalar Canônico Correspondência entre os Modelos de Campo Escalar Minimamente Acoplado e Fluido Ideal Representações sobre a Dinâmica de Fluido Não Usual Modelo de Campo Escalar tipo K-essência Correspondência entre Modelo de Campo Escalar tipo K-essência e Fluido Ideal xi

14 5.2 Caso Particular f (φ, X) = αx n Análise Qualitativa de Modelos Cosmológicos Modelo Cosmológico com Matéria, Radiação e Constante Cosmológica Modelo Cosmológico com Campo Escalar Canônico mais Potencial Modelo Cosmológico com Campo Escalar tipo K-essência Conclusão 50 Apêndice A Método da Esfera de Poincaré 53 Referências Bibliográficas 56 xii

15 Capítulo 1 Introdução A cosmologia consiste no estudo do universo como um todo e de sua composição. Ela é uma tentativa de explicar os detalhes da evolução, dos primórdios até a atual configuração. No caso do atual Modelo Padrão Cosmológico 1 (ΛCDM) há questões ainda não resolvidas, entre eles estão o paradigma inflacionário, e a origem da matéria e energia escuras. A inflação, proposta inicialmente por Alan H. Guth [4], afirma que o universo deve ter passado por um período de expansão acelerada, seu objetivo é resolver questões relacionadas ao universo primordial, como os problemas do horizonte, planura, entropia e outros. A matéria escura é uma forma postulada de matéria que não interage com a matéria comum, nem consigo mesma (ou é fracamente interagente), ela compõe 25% do conteúdo energético do universo. Por aparentemente interagir somente gravitacionalmente, sua presença é atualmente exclusivamente inferida a partir de efeitos sobre a matéria visível, como estrelas, galáxias e aglomerados de galáxias. A energia escura, uma forma exótica de energia que possui pressão negativa, é uma das formas atribuídas para explicar o atual cenário de expansão acelerada do universo [5]. Em cosmologia, o conteúdo material do universo é comumente modelado por fluidos ideais. A dinâmica de fluidos ideais, que é parte da hidrodinâmica, é uma teoria há muito estudada [6]. A hidrodinâmica é um quadro extremamente bem sucedido para descrever a dinâmica da matéria nas maiores medidas do universo [7]. A importância de se estudá-la está ligada à analise do estado de movimento do fluido. Isto dependerá da forma que o fluido se encontra, ou seja, se ele possui movimento relativístico ou não relativístico, ou ainda, se há ou não interação gravitacional sobre o sistema. Além disso, neste contexto é considerado que o fluido que permeia o universo é caracterizado por uma equação de estado de fluido barotrópico [7], p = p(e), especificamente por p = ωe, sendo p e E, respectivamente, a pressão e a densidade de energia do fluido, e ω [ 1, 1]. A expansão acelerada do universo observada atualmente faz com que se busque explicações para suas evidências [8 11]. Para manter a Teoria da Relatividade Geral [12, 13] intacta, necessita-se de um tipo de fluido que exerça o efeito de aceleração observado. Neste 1 Para um descrição detalhada do Modelo Padrão Cosmológico ver [1 3] 1

16 1. Introdução 2 contexto, verifica-se que a condição de energia 2 forte, E + 3p 0, deva ser violada, pois isto implica que a equação de estado do fluido obedeça a condição p E 1 3, ou seja, as pressões no fluido se tornam negativas ao ponto de superar a contribuição de energia. Existem ainda fortes evidências de que os dados observacionais favoreçam valores para ω < 1 [17] de tal forma que a condição de energia nula E + p 0 (condição de positividade da densidade de energia) seja também violada. Se isto de fato ocorrer, a densidade de energia do fluido deverá crescer a medida em que o universo se expande, conduzindo-o a uma possível singularidade no futuro, Big Rip [17 19]. Observa-se também que existem muitos indícios de um violação da condição de energia dominante E p, de modo que, diversos trabalhos dedicam-se a essa questão [20]. Da literatura [21, 22] sabe-se que existem modelos de campo escalar que efetivamente se comportam como fluidos ideais. Campos escalares fornecem modelos particulares de fluidos, com precisas consequências fenomenológicas, e estão em maior proximidade de uma teoria fundamental [23]. Um método bem adequado para estudar muitos aspectos de cosmologia são sistemas dinâmicos. Em geral, a teoria de sistemas dinâmicos é usada para estudar sistemas físicos que evoluem no tempo. Para se ter uma ideia sobre o que consiste o método, supõese que o estado do sistema físico em um instante de tempo pode ser descrito por um determinado elemento de um espaço de estado (espaço de fase), de dimensão finita ou infinita. A evolução do sistema é descrito por uma equação diferencial autônoma que tem simbolicamente a forma ẋ = f (x), de modo que, o ponto denota deriva com respeita a variável temporal atribuída ao sistema. Se o espaço de fase é dimensionalmente finito então esta equação diferencial representará um sistema autônomo de equações diferenciais ordinárias, enquanto que, se o espaço de fase for um espaço funcional, o mapa da função f (x) envolveria derivadas espaciais e a equação diferencial representaria um sistema autônomo de equações diferenciais parciais. No contexto cosmológico, com espaço homogêneo e isotrópico, estudase equações diferenciais ordinárias, desta forma, o espaço de fase analisado neste contexto possui dimensão finita. O objetivo da aplicação destes métodos é obter qualitativamente informações sobre a evolução das diversas classes de modelos cosmológicos à custa de fazer suposições idealizadas sobre os processos físicos no universo. A técnica de sistemas dinâmicos e sua aplicação em cosmologia pode ser vista de forma detalhada em [24 26]. A estrutura deste trabalho tem a seguinte forma. O segundo capítulo revisa o conceitos básicos sobre mecânica, não relativística e relativística, de fluidos ideais [6,12]. Serão obtidas as equações que descrevem o comportamento do fluido no tempo. Este comportamento é analisado em regime de baixas e altas velocidades, com e sem interação gravitacional. No capítulo três é feito uma discussão a respeito do princípio variacional para o fluido ideal [27]. O quarto capítulo descreve o modelo de campo escalar canônico minimamente acoplado. Dada as circunstâncias, verifica-se que este sistema mimetiza o modelo de fluido ideal [21, 28, 29]. Ainda, discute-se brevemente outras formas de campos escalares discutidos na literatura, o do tipo fantasma e do tipo taquiônico [30]. Outro sistema minimamente acoplado 2 Estudos sobre condições de energia podem ser vistos em [13 16]

17 1. Introdução 3 de campo escalar é descrito no capítulo cinco, o modelo de K-essência [22, 31 33]. Diferente do modelo canônico, este sistema é formado por uma função arbitrária que dependerá do termo cinético do campo escalar. As mesmas condições usadas para mimetizar o modelo de fluido ideal ao de campo escalar canônico, são utilizadas para o caso de K-essência. A princípio as equações que descrevem a dinâmica deste modelo serão obtidas com o um função arbitrária do termo cinético, em seguinte, será admitida uma forma para esta função. É feita análise por diagrama de espaço de fase, de forma a construir diagramas para cada modelo proposto e, por fim, verificar a riqueza e as semelhanças entre os gráficos obtidos. A análise final deste trabalho e suas perspectivas futuras são discutidas na conclusão.

18 Capítulo 2 Revisão de Fluidos Ideais 2.1 Dinâmica Não Relativística de Fluidos Ideais O estudo do movimento dos fluidos 1 denomina-se dinâmica dos fluidos [6]. Como seus fenômenos são estudados em meios macroscópicos, um fluido pode ser tratado como meio contínuo, ou seja, pode-se sempre pressupor que qualquer elemento de volume do fluido, pequeno que seja, é suficientemente grande para conter um grande número de moléculas. Neste contexto é feita a análise do movimento de um elemento de volume do fluido, que também será denominado partícula fluida 2. No entanto, os estudos feitos no decorrer do texto são baseados em movimento de fluidos onde a condutividade térmica e a viscosidade são insignificantes. Este tipo de fluido é denominado fluido ideal. De modo geral, ele também é definido como localmente isotrópico, ou seja, dado um observador movendose junto ao fluido, as propriedades físicas medidas por ele serão as mesmas em qualquer direção, entretanto, isto será válido se o caminho livre médio 3 entres as colisões no fluido forem pequenas em comparação com a escala de comprimentos utilizadas pelo observador. A descrição que fornece o estado do fluido é dado em função do seu campo de velocidade, v = v(x, y, z, t) (determinada em um ponto fixo (x, y, z) e em um instante t) e das suas respectivas magnitudes termodinâmicas, por exemplo, a pressão p(x, y, z, t) e densidade de massa ρ(x, y, z, t). Uma vez que estas grandezas são determinadas o estado do fluido em movimento é completamente estabelecido. A partir de então, podem ser obtidas as equações fundamentais da dinâmica de fluidos. A princípio, deve-se adquirir a equação que expressa a conservação de matéria, a equação de conservação de massa. Para isto, considera-se um certo volume V 0 do espaço, a massa do fluido contida nessa região é dada por ρdv, de modo que, a integração é feita sobre todo volume V 0. A massa do fluido que atravessa, por unidade de tempo, um elemento de área, da, da superfície que limita este volume é v d a, sendo d a tomado na direção normal a superfície e seu módulo igual a área do elemento de superfície. Desta maneira, a massa que 1 O estudo é direcionado tanto para líquidos quanto para gases. 2 Um volume extremamente pequeno comparado com o volume total do corpo. 3 Distância ou espaço entre duas colisões sucessivas das moléculas do fluido. 4

19 2. Revisão de Fluidos Ideais 5 sai de V 0, por unidade de tempo, é ρ v d a. A integração é feita sobre toda superfície fechada que delimita o volume em questão. Por outro lado, a redução da massa por unidade de tempo no volume é dada por ρdv. t Igualando estas duas equações, obtém-se: t ρdv = ρ v d a. (2.1) Mediante Teorema de Green, a integral de superfície se transforma em uma integral de volume, resultando [ ] ρ t + (ρ v) dv = 0. (2.2) Esta equação deve ser válida para qualquer elemento de volume dv, desta maneira, ρ + (ρ v) = 0, (2.3) t sendo esta a equação de conservação de massa. O termo ρ v representa a densidade de fluxo massivo, sua direção é a mesma do movimento do fluido e sua magnitude é igual a massa que atravessa, por unidade de tempo, a unidade de área perpendicular a velocidade. Como (2.3) fornece a conservação da massa no interior de V 0, a dinâmica de uma quantidade do fluido que sai desse volume será representada pela equação de Euler. Deste modo, considera-se certo volume do fluido, a força que atuará sobre ele será igual a integral da pressão feita sobre toda superfície que limita o volume, pd a. Do teorema de Green obtém-se pd a = pdv. (2.4) Deve-se notar que o termo p é a força atuante, por unidade de volume, sobre dv. Então, a equação de movimento do elemento de volume do fluido é obtida igualando este termo ao produto da massa por unidade de volume ρ pela aceleração d v, ou seja,4 dt ρ d v dt = p. (2.5) 4 Isto se refere a segunda lei de Newton, a qual diz que a força atuante em um corpo é diretamente proporcional à sua aceleração e o fator de proporcionalidade é a massa do corpo.

20 2. Revisão de Fluidos Ideais 6 A derivada de v refere-se à variação temporal da velocidade da partícula fluida quando ela se move no espaço. Sendo esta uma derivada total, tem-se Substituindo esta equação em (2.5) obtém-se d v dt = v + ( v ) v. (2.6) t v t + ( v ) v = 1 p, (2.7) ρ sendo esta a equação de Euler. Se o fluido está contido no interior de um campo gravitacional g, a força que atuará sobre qualquer elemento de volume é adicionada no segundo membro da equação (2.5). Assim, (2.7) fica v t + ( v ) v = 1 p + g. (2.8) ρ Uma característica importante de ser analisada refere-se à entropia do sistema. Dada relação de Gibbs dψ = sdt + Vdp, (2.9) sendo Ψ o potencial termodinâmico por unidade de massa 5 e V = 1 ρ o volume específico, e dada ausência da troca de calor entre as diferentes partes do fluido ideal, e também entre o meio externo, presume-se que o movimento do fluido é do tipo adiabático, desta forma, verifica-se que a entropia de qualquer partícula fluida permanece constante com o passar do tempo, 6 ds dt = 0, (2.10) sendo s a entropia por unidade de massa da partícula fluida. A condição do movimento adiabático também pode ser escrita como s + ( v )s = 0. (2.11) t Esta é a equação que descreve, de modo geral, o movimento adiabático do fluido ideal. Utilizando (2.3), a equação (2.11) pode ser escrita como uma "equação de conservação"para entropia: o termo ρs v representa a densidade de fluxo de entropia. 5 Potencial de Gibbs ou entalpia livre. 6 Para mais detalhes sobre este resultado ver [7, 34, 35]. (ρs) + (ρs v) = 0, (2.12) t

21 2. Revisão de Fluidos Ideais 7 A equação adiabática pode adquirir uma forma muito mais simples. Se a entropia é constante através do volume do fluido em um determinado instante inicial e segue mantendo este valor durante qualquer movimento subsequente do fluido (como muitas vezes acontece), a equação adiabática pode ser escrita simplesmente como este movimento é denominado isentrópico. s = constante, (2.13) Como dito inicialmente, a descrição que fornece o estado de um fluido é determinado pelo seu campo de velocidade, pressão e densidade de massa. Deste modo, o sistema completo que determinará a dinâmica do fluido ideal é composto pelas equações da conservação de massa, de Euler e a adiabática. Agora, considera-se o caso de um fluido em repouso em um campo gravitacional uniforme. A equação de Euler toma a forma: p = ρ g, (2.14) sendo esta a equação que descreve o equilíbrio mecânico do fluido no campo. Se não existe nenhuma compressão, devido ação de força externa, a densidade permanece constante em todo volume. Tomando o eixo z para cima, a pressão terá dependência somente nessa componente, assim, p = ρg, que, da integração, resultará z p = ρgz + constante. (2.15) A partir da condição de que o fluido, em repouso, está sujeito a uma pressão externa p 0 (a mesma em todos os pontos), em uma superfície livre de altura h, a constante em (2.15) a ser determinada é p 0 + ρgh, resultando 7 p = p 0 + ρg(h z). (2.16) Supondo que o fluido não só está em equilíbrio mecânico mas também equilíbrio térmico, desta maneira, considerando (2.9) e (2.14), obtém-se (Ψ + gz) = 0, de modo que, g está dirigido ao longo do eixo z negativo. O resultado é que em todo fluido Ψ + gz = constante, (2.17) sendo gz a energia potencial por unidade de massa do fluido no campo gravitacional. Uma consequência simples desta situação é que, havendo equilíbrio mecânico dentro do campo, a pressão sobre o fluido poderá ser uma função somente da altura z, isto induz que a 7 No caso de gases, como a atmosfera, não se pode pressupor que a densidade é constante.

22 2. Revisão de Fluidos Ideais 8 densidade será também uma função somente de z. Desta maneira, estas duas grandezas, juntas, determinam a temperatura do sistema, ou seja, esta outra grandeza também só dependerá da altura. No entanto, se a temperatura for diferente em distintos pontos com a mesma altura, não haverá equilíbrio mecânico. Pode-se também determinar a equação de equilíbrio para um fluido com massa muito grande, cuja estrutura é mantida por atração gravitacional. 8 Seja ψ o potencial gravitacional 9 criado pelo fluido que satisfaz a equação de Poisson 2 ψ = 4πGρ. (2.18) A aceleração gravitacional e a força sobre ρ são dadas, respectivamente, por ψ e ρ ψ. Desta maneira, a condição de equilíbrio hidrostático será p = ρ ψ. (2.19) Tomando o divergente desta ultima equação e substituindo em (2.18), obtém-se ( ) p = 4πGρ. (2.20) ρ Deve-se notar que esta situação se refere somente ao equilíbrio mecânico, pois a equação de Poisson não pressupõe a existência de um equilíbrio térmico completo. 2.2 Dinâmica Relativística de Fluidos Ideais Estabelecer equações que descrevem a dinâmica relativística de fluidos ideais têm uma importância fundamental quando se considera que o sistema analisado possui velocidades suficientemente grandes (perto da velocidade da luz c). De [12] verifica-se que o fluido ideal é caracterizado, neste contexto relativístico, pelo quadritensor momento-energia, T µν. Assim, considera-se um frame em repouso com relação ao fluido em determinado tempo e posição (descrito por "linha"), de maneira que, a hipótese de fluido ideal diz que T µν toma a forma característica de simetria esférica, ou seja, suas componentes são dadas por T ij = pδ ij, T ij = T ij = 0 e T 00 = E, sendo p e E a pressão e a densidade de energia do fluido, respectivamente. Agora, este mesmo frame é posto em repouso com relação ao laboratório, onde estão sendo feitas as medidas, e supõe-se que o fluido esteja se movendo em relação ao frame, num determinado ponto do espaço-tempo, com velocidade v. A conexão entre as coordenadas comóveis 10 ao fluido e as do laboratório são dadas por x α = Λ α β ( v) x β, 8 Este é o caso designado, por exemplo, para uma estrela. 9 Também chamado de Potencial Gravitacional Newtoniano. 10 Um observador que se move junto ao fluido.

23 2. Revisão de Fluidos Ideais 9 sendo Λ α ( v) a matriz transformação, ela assume os seguintes valores 11 β Λ 0 0 = Λ i 0 = γ v i c, ( 1 v 2 ) 1 2 c 2 γ, (2.21a) (2.21b) Λ i j = δ i j + vi v j (γ 1) v 2, (2.21c) Λ 0 j = γ v j c. (2.21d) No entanto, T µν é um tensor, sendo que o seu valor no frame do laboratório será obtido em analogia com a transformação feita nas coordenas, isto é, T µν = Λ µ α( v)λ ν β ( v)t αβ, de maneira que, suas componentes serão dadas por T ij = pδ ij + ( p + E ) vi v j T i0 = ( p + E ) vi c γ2, ( ) v T 00 = γ 2 2 c 2 p + E. c 2 γ2, (2.22) Estas componentes são agrupadas em uma única equação T µν = pη µν + ( p + E ) uµ u ν c 2, (2.23) sendo η µν a métrica do espaço-tempo de Minkowski 12, ou seja, as primeiras análises foram feitas com ausência de gravitação, posteriormente os estudos serão feitos considerando uma métrica generalizada. O quadrivetor u µ é definido como a quadrivelocidade do fluido, com u µ = dxµ dτ, (2.24) sendo dτ o tempo próprio da partícula fluida. Tem-se também u µ = γ(c, v), e normalização igual à de maneira que u µ u µ = η µν u µ u ν = c 2, (2.25) ( ) u µ u µ x ν u µ = 2uµ = 0. (2.26) xν 11 Para mais detalhes ver secção 2.1 de [12]. 12 Será considerada a seguinte assinatura η µν = ( 1, 1, 1, 1), também utilizada durante todo o trabalho.

24 2. Revisão de Fluidos Ideais Equações da Dinâmica Relativística de Fluidos Ideais na Ausência de Campo Gravitacional A expressão que fornece as equações de conservação do tensor momento-energia do sistema físico é T µν x ν = 0. (2.27) As equações de movimento relativístico do fluido são obtidas através desta equação. No entanto, a conservação de outras quantidades, como a carga do sistema, número de átomos, etc, não está contida em (2.27). Assim, precisa-se obter um princípio de conservação destas quantidades. Para isto, é utilizada uma destas quantidades referindo-se como o número de partículas 13 do volume. Sendo n a densidade do número de partículas em um frame que se move junto ao fluido num determinado ponto do espaço-tempo. Neste frame as componentes do quadrivetor fluxo de partículas, N µ, são N i = 0 e N 0 = n. (2.28) Em qualquer outro frame, que se move com velocidade v em relação ao fluido, o fluxo de partículas estará relacionado à (2.28) pelas seguintes transformações N i = Λ i µ( v)n µ = nγ vi c, (2.29) N 0 = Λ 0 µ( v)n µ = γn, (2.30) desta maneira, nota-se que N µ é proporcional a quadrivelocidade u µ, ou seja, N µ = n uµ c. (2.31) De modo geral, para qualquer frame, a componente temporal fornece a densidade do número de partículas, e as três componentes espaciais formam o vetor fluxo de partículas. A divergência de N µ fornece 0 = Nα x α = x α (nuα ) = ( ) ( ) nγ + nγ v. (2.32) t Esta é a conservação do número de partículas. Entretanto, se cada partícula possuir a mesma massa de repouso, a equação (2.32) fornecerá a equação de continuidade relativística (ou de conservação de massa) sendo ρ é a densidade de massa de repouso do sistema. 0 = x α ( ρu α ), (2.33) 13 Não confundir com o conceito de partícula fluida atribuído no início do capítulo.

25 2. Revisão de Fluidos Ideais 11 Pode-se obter uma extensão da conservação do tensor momento-energia através de uma projeção na direção da quadrivelocidade u µ. Para isto, substitui-se (2.23) em (2.27) de modo a obter a seguinte equação µν p 0 = η x ν + [ (p ) u µ u ν ] + E x ν c 2 Ao projetar (2.34) na direção da quadrivelocidade u µ, obtém-se. (2.34) µν p 0 = η x ν u µ + [ (p ) u µ u ν ] + E x ν c 2 u µ, (2.35) de maneira que, ao considerar (2.25) e (2.26), a equação (2.35) resultará na forma estendida da conservação de T µν 0 = u ν E x ν + ( p + E ) uν x ν. (2.36) Existe outra forma de projetar a conservação do tensor momento-energia, uma vez que esta fornecerá a forma relativística da equação de Euler. Este outro método projeta (2.34) no espaço tridimensional perpendicular à quadrivelocidade. Para que esta projeção espacial seja realizada contrai-se o vetor projeção, h µρ = η µρ + u ρu µ, com a equação (2.34), ou seja, c 2 0 = h µρ u µ u ν ( ) ( ) p + E + p + E hµρ x ν u µ uν x ν + ( p + E ) h µρ u ν uµ x ν + c2 µν p h µρ η x ν, que terá como resultado 0 = ( p + E ) u ν u ρ x ν + p p uν u ρ + c2 xν x ρ. (2.37) Esta forma relativística da equação de Euler pode ser escrita em termos da velocidade v. Para obtê-la basta fazer µ = 1 em (2.34), escrevendo u i = vi c u0, e depois usar (2.7) com µ = 0. Isto resultará v t + ( v ) [ 1 v = γ 2 ( p + E ) c 2 p + v p ]. (2.38) t resultando A equação do movimento adiabático pode ser obtida substituindo (2.32) em (2.35), Considerando a identidade termodinâmica [ 0 = nu ν p ( ) 1 x ν + ( ) ] E n x ν. (2.39) n ( ( ) 1 E KTdσ = pd + d n) n, (2.40)

26 2. Revisão de Fluidos Ideais 12 sendo 1 n o volume por partícula (volume molecular), K a constante de Boltzman14, T a temperatura e σ a entropia por partícula. Desta maneira, da última equação, (2.39) pode ser escrita como sendo esta a equação do movimento adiabático do sistema. 0 = u ν σ x ν σ + ( v )σ, (2.41) t Nota-se que, se tratando de um regime de baixas velocidades, a equação relativística da continuidade (ou da conservação de massa) resultará em (2.3). No caso da forma estendida de (2.27), deve-se ter um certo cuidado, pois, ao tomar este limite, a equação (2.36) poderá fornecer (2.3), no entanto, a obtenção desta equação dependerá de como é definida densidade de massa total do sistema neste limite. Esta mesma observação é valida para o caso da equação relativística de Euler ao ser colocada no mesmo regime. Todas as relações obtidas nesta subseção determinam a dinâmica relativística do fluido no espaço-tempo de Minkowski, ou seja, na ausência de campo gravitacional. A análise feita na próxima subseção será destinada a fornecer estas equações num ambiente onde há presença de gravitação Equações da Dinâmica Relativística de Fluidos Ideais para uma Métrica Genérica Até agora, as equações de movimento de um fluido ideal foram obtidas e analisadas no espaço-tempo de Minkowski, ou seja, sem a interação de um campo gravitacional. Na presença de um campo gravitacional o tensor momento-energia de um fluido ideal assume a forma T µν = pg µν + ( p + E ) uµ u ν c 2, (2.42) sendo g µν a métrica da variedade curva e u µ = dxµ dτ o quadrivetor velocidade da partícula fluida. Nota-se que (2.42) e (2.23) são semelhantes, no entanto, a métrica de Minkowski é substituída por uma métrica genérica em (2.42). Esta semelhança é garantida pelo Princípio da Equivalência. 15 A equação da conservação de T µν na presença de campo gravitacional é obtida simplesmente substituindo a sua derivada ordinária pela derivada definida em espaços curvos, ou seja, a derivada covariante ν T µν = 0. (2.43) Da mesma forma, as equações de determinaram a dinâmica relativística geral do 14 Esta constante é introduzida aqui para fazer σ adimensional. 15 Este princípio da Relatividade Geral diz que não é possível fazer uma distinção entre um campo gravitacional e um referencial acelerado. Em ambos os casos, deve-se observar os mesmos fenômenos físicos [12, 13].

27 2. Revisão de Fluidos Ideais 13 fluido são obtidas realizando a mesma substituição de derivada. 16 Assim, as equações da continuidade (2.32), 17 a estendida da conservação de T µν (2.36), de Euler (2.37) e do movimento adiabático (2.41), são dadas, respectivamente, por 0 = α (ρu α ), (2.44) 0 = u µ µ E + ( p + E ) µ u µ, (2.45) 0 = ( p + E ) u ν ν u ρ + u ρ u ν ν p + c 2 ρ p, (2.46) 0 = u µ µ (σ). (2.47) A normalização da quadrivelocidade (2.25) tomará a forma g µν u µ u ν = c 2, (2.48) implicando em ( ) ν u µ u µ = 2uµ ν u µ = 0. (2.49) A partir destas equações é possível obter a condição de equilíbrio mecânico no fluido, como obtido no final da seção anterior. Desta maneira, notando que em equilíbrio o campo é estático, isto é, o fluido não está se movendo, (2.48) dará u 0 = ( c 2 g 00) 1 2 e u i = 0. (2.50) Além disso, todas as magnitudes, g µν, p e E, são independentes do tempo e as componentes mistas da métrica são nulas, g 0i = g i0 = 0. Assim, a partir da equação (2.46), tem-se que resultará em 0 = c 2 γ p + Γ µ ( ) 00 p + E ( g00 ) 1 g µγ [ ] g 0 = c 2 µγ ( ) (p ) γ p + g00 + E ( g00) 1 2 x γ g µγ, γ p = ( p + E ) x γ ln( g 00) 1 2, (2.51) Quando γ assume o valor γ = 0 é obtido um valor trivial para esta equação, no entanto, para 16 É claro que ao atuar a derivada covariante em um escalar esta resulta em uma derivada ordinária. 17 Definir esta equação como a conservação de massa do sistema físico acaba por ser um tanto errada, pois, sabe-se que em relatividade geral o conceito de massa não é bem definido, desta maneira, é bom que fique claro que esta equação refere-se a conservação do número de partículas do sistema.

28 2. Revisão de Fluidos Ideais 14 γ = i obtém-se, no limite de baixas velocidades, a equação não relativística do equilíbrio hidrostático (2.19), exceto que o termo ( p + E ) aparece no lugar de ρ e ln( g 00 ) 2 1 aparece no lugar do potencial gravitacional. 2.3 Velocidade de Propagação de Perturbações num Fluido Ideal Uma importante análise feita em dinâmica dos fluidos é calcular a velocidade de propagação de perturbações em seu volume. Como exemplo, considera-se um fluido relativístico homogêneo e estático [12]. Para um estado imperturbável tem-se n 0, E 0, p 0, e σ constantes no espaço e tempo, e v 0 = 0. A perturbação resulta em n = n 0 + n 1, E = E 0 + E 1, p = p 0 + p 1 e v = v 1, no entanto, de acordo com (2.41), σ não sofre mudança. Por aproximação em primeira ordem as equações (2.32) e (2.38) tornam-se v 1 t Mas, com dσ = 0, a identidade termodinâmica (2.40) fornece Desta maneira, a equação (2.53) dará 0 = n 1 t + n v 1, (2.52) = c2 p 1 (p 0 + E 0 ). (2.53) ( p0 + E 0 ) n1 n 0 + E 1 = 0. (2.54) v 1 t = v 2 n 1 pert, (2.55) n 0 sendo v 2 pert a velocidade de perturbação, definida por v 2 pert c2 p 1 E 1 = c 2 ( ) p E σ. (2.56) O índice σ indica que a derivada é feita à entropia por partícula fixa. Ao combinar as equação para n 1 e v 1 é obtido a equação de onda 2 n 1 t 2 v2 pert. 2 n 1 = 0, (2.57) na qual mostra que a perturbação no fluido se propaga com velocidade igual a v pert, exatamente como em um fluido não-relativístico. 2.4 Equação de Estado Uma relação importante que descreve as propriedades de um fluido é sua equação de estado. É uma relação entre grandezas termodinâmicas que descrevem o fluido ou, mais

29 2. Revisão de Fluidos Ideais 15 especificamente, é uma equação termodinâmica que descreve o estado da matéria sob um dado conjunto de condições iniciais. Existe uma grande classe de fluidos estudados na literatura com equação de estado específica (ver [7]), no entanto, admitindo o universo homogêneo e isotrópico de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, a expressão mais simples da hidrodinâmica que pode ser utilizada para descrever o fluido que permeia este universo é a equação de estado p = (γ 1)E, (2.58) sendo γ = ω + 1 é denominado de índice barotrópico. O valor dele determina o tipo de fluido analisado. Com γ = 0 (caso da constante cosmológica) tem-se o limite entre o fluido cosmológico considerado convencional (γ > 0) e o fluido dito fantasma 18 (γ < 0). Além disso, existem outros casos característicos determinados pelo índice barotrópico, como, γ = 4 3 para radiação ou γ = 1, poeira. O caso fantasma, com γ < 0, implica em ω < 1. Entretanto, observa-se que a maioria dos trabalhos consideram o parâmetro ω para efeito de análise, ou seja, a equação (2.58) toma a forma p = we, (2.59) de maneira que, a partir daqui, ω assumirá o papel de parâmetro de equação de estado. O próximo capítulo tem por objetivo apresentar a ação geral do fluido ideal e, a partir do princípio variacional, obter as mesmas equações de movimento do fluido verificadas neste capítulo. 18 Fluidos que violam as condições de energia do sistema [13 16]

30 Capítulo 3 Ação Geral do Fluido Ideal 3.1 Introduzindo a Ação do Fluido Ideal Normalmente o tensor momento-energia de um fluido ideal é utilizado em relatividade geral como fonte de campo gravitacional. A obtenção das equações de movimento deste tipo fluido a partir do princípio variacional se torna um pouco complicada devido os vínculos relacionados as variáveis do fluido, no entanto, na literatura existem vários trabalhos que estudam diferentes formulações variacionais [27, 36 38]. Desta maneira, será atribuído um princípio variacional ao fluido ideal que descreverá movimentos simples, o movimento isentrópico assim como o movimento irrotacional do fluido, de modo que, em seguida, este princípio será generalizado para descrever movimentos gerais para um fluido ideal. Esta generalização não altera a forma básica que será atribuída à Lagrangiana, entretanto, acrescenta mais equações de vínculo que deverão ser satisfeitas. Deste modo, seja ρ, ɛ, s e u µ, a densidade de massa, a energia interna por unidade de massa, a entropia por unidade de massa e a quadrivelocidade do fluido, respectivamente. As medidas de ρ, ɛ e s são feitas no frame de repouso ao fluido. Em geral, um fluido ideal possui dois graus de liberdade termodinâmicos, de modo que, serão escolhidos a densidade ρ e a entropia s como tais parâmetros. No caso isentrópico, com s constante, todas as variáveis termodinâmicas podem ser escritas em termo de ρ. É conhecido que o fluido ideal pode ser descrito por duas densidades de Lagrangiana equivalentes, L 1 = p e L 2 = E [14, 27, 36, 37, 39, 40], entretanto, a forma da densidade de Lagrangiana básica a ser adotada é dada por [27, 36] L = L G + L 2. (3.1) O primeiro termo representa a densidade de Lagrangiana da gravitação e o segundo a densidade de Lagrangiana do fluido ideal [36], dadas respectivamente por L G = 1 2κ R e L 2 = ρ [ c 2 + ɛ(ρ) ]. Sendo E = ρ [ c 2 + ɛ(ρ) ] [36] e κ = 8πG. No entanto, deve-se notar que as variáveis do fluido, c 4 16

31 3. Ação Geral do Fluido Ideal 17 como ρ e u µ, satisfazem equações de vínculo representadas por (2.44) e (2.48) ( µ ρu µ ) = 0, g µν u µ u ν + c 2 = 0. Assim, a densidade de Lagrangiana do fluido a ser considerada é dada pela soma da L 2 mais os termos de vínculo ( L 3 = L 2 + λ 1 gµν u µ u ν + c 2) ( + λ 2 µ ρu µ ). (3.2) A ação que representa o acoplamento entre a gravitação e o fluido ideal é dada por S [ g µν, ρ, u µ ], λ 1, λ 2 = (L G + L 3 ) gd 4 x = [ 1 2κ R ρ ( c 2 + ɛ(ρ) ) + +λ 1 ( gµ u µ u ν + c 2) + λ 2 µ ( ρu µ ) ] gd 4 x. (3.3) Pelo princípio variacional, δs = 0, logo 1 δs = δ (L G ) gd 4 x + δ (L 3 ) gd 4 x + (L G + L 3 ) δ ( g ) d 4 x = 0. (3.4) De modo que, a variação δ(l G ) será δl G = 1 2κ R µνδg µν, (3.5) uma vez que foi desprezado termo de fronteira que aparece em δr µν. E, como [12] a equação (3.4) toma a forma, δs = = δ ( g ) = g 2 g µνδg µν, (3.6) ( 1 R µν 1 ) 2κ 2 g µνr δg µν gd 4 x + + δ (L 3 ) gd 4 L3 x 2 g µν gδg µν d 4 x ( 1 R µν 1 2κ 2 g µνr L ) 3 2 g µν δg µν gd 4 x + + δ (L 3 ) gd 4 x = 0. (3.7) 1 Todas as integrais de fronteiras são desconsideradas.

32 3. Ação Geral do Fluido Ideal 18 Dada dependência do sistema físico com respeito às varáveis g µν, ρ, u µ, λ 1, λ 2, a integral com δ (L 3 ) é δ (L 3 ) gd 4 x = δl3 δg µν δgµν gd 4 δl3 x + δρ δρ gd 4 δl3 x + δu µ δuµ gd 4 x δl3 δl3 + δλ 1 + δλ 2. (3.8) δλ 1 δλ 2 Considerando estas quantidades fixas na fronteira de integração, suas variações δg µν, δρ, δu µ, δλ 1 e δλ 2 serão nulas nesta fronteira. Desta maneira, as equações (3.7) e (3.8) obtém-se ( G µν = κ g µν L 3 2 L ) 3 g µν = κt µν, (3.9a) δl3 δρ δρ gd 4 x = 0, (3.9b) δl3 δu µ δuµ gd 4 x = 0, (3.9c) δl3 δλ 1 gd 4 x = 0 = g µν u µ u ν + c 2 = 0, (3.9d) δλ 1 δl3 δλ 2 gd 4 ( x = 0 = µ ρu µ ) = 0. (3.9e) δλ 2 De modo que (3.9a) são as equações de Einstein do sistema físico. Entretanto, ao resolver δl 3 e as equações (3.9b) e (3.9c), obtém-se δg µν e o tensor momento-energia λ 2 x µ uµ = (c 2 + ɛ + ρɛ ), (3.10) ρ λ 1 = 2c 2 (c2 + ɛ + ρɛ ), (3.11) T µν = ρ 2 ɛ g µν + ρ (1 + ɛ ) c 2 + ρ ɛ c 2 u µ u ν. (3.12) O termo ɛ representa a derivada da densidade de energia interna com relação a densidade de massa de repouso. Para o frame em questão esta derivada é obtida através da identidade termodinâmica Tds = dɛ + pd ( ) 1 ρ de maneira que, dado um fluxo isentrópico esta última equação fica, (3.13) dɛ dρ = p ρ 2. (3.14)

33 3. Ação Geral do Fluido Ideal 19 Desta maneira, as equações (3.10), (3.11) e (3.12), tomam a forma ( λ 2 x µ uµ = c 2 + ɛ + p ), (3.15) ρ ( ρ λ 1 = 2c 2 c 2 + ɛ + p ), (3.16) ρ ( T µν = pg µν + ρ 1 + ɛ c 2 + p ) ρc 2 u µ u ν = pg µν + ( p + E ) u µ u ν c 2. (3.17) Logo, sabendo que para obter a forma estendida da conservação do tensor momentoenergia e a equação de Euler, é necessário projetar a conservação de T µν paralelamente e perpendicularmente à direção da quadrivelocidade, respectivamente, então, para conservação de (3.17) obtém-se ( 0 = u µ µ ρ 1 + ɛ c 2 + p ) [ ( p ρc 2 + c 2 + ρ 1 + ɛ c 2 + p )] ρc 2 µ u µ, (3.18) ( 0 = ρ 1 + ɛ c 2 + p ) ρc 2 u ν ν u ρ + u ρu ν c 2 ν p + ρ p. (3.19) Estas ultimas equações juntamente com de conservação de massa (2.44) e a que representa o movimento isentrópico (3.14) descrevem a dinâmica do fluido. Agora, do resultado de (3.9c) e da equação (3.11) encontra-se a quadrivelocidade u µ = ( c 2 c 2 + ɛ + p ρ ) λ 2 x µ. (3.20) 3.2 Fluxo Rotacional Isentrópico A partir do valor de u µ dada por (3.20) e da equação da quadrivelocidade de rotação do fluido [41] w µ = 1 2 εµναβ u ν u α x β, (3.21) verifica-se que, { ( w µ = c4 2 εµναβ c 2 + ɛ + p ρ + ( c 2 + ɛ + p ρ ) 1 λ2 λ 2 x α x ν } ) 2 λ2 x ν 2 λ 2 x α x β x β ( c 2 + ɛ + ρ) p 1 = 0. (3.22)

34 3. Ação Geral do Fluido Ideal 20 A quadrivelocidade de rotação w µ é nula pois há uma contração entre o tensor antissimétrico ε µναβ (tensor de Levi-Civita), com dois tensores simétricos, A αν = λ 2 x α λ 2 x ν e B αβ = 2 λ 2 x α x β. 2 Desta forma, a Lagrangiana (3.2) descreve apenas um movimento isentrópico irrotacional. Assim, com o intuito de se livrar desta restrição é feita uma generalização do princípio variacional desta Lagrangiana para que ela descreva movimentos isentrópicos rotacionais, bem como irrotacionais. Para que isso ocorra é atribuído para cada partícula um número (uma "identidade") X(x) e é exigido que este número não mude a medida que avançamos com a partícula fluida, isto é, DX dτ = X x µ uµ = 0. (3.23) Na literatura está equação é denominada conservação de identidade da partícula [36]. Desde modo, a densidade de Lagrangiana que deve ser considerada é ( ) X L 4 = L 3 + λ 3 x µ uµ. (3.24) As variações são feitas como antes, ou seja, são obtidas as equações (3.9) bem como δl4 δx δx gd 4 x = 0, (3.25a) δl4 δλ 3 gd 4 x = 0 = X δλ 3 δx µ uµ = 0. (3.25b) No entanto, ao usar L 4 nos sistemas (3.9) e (3.25), a alteração vem na equação (3.9c), de maneira que, em vez de (3.20) obtém-se u µ = c 2 ( c 2 + ɛ + p ) λ 2 x µ λ 3 c 2 ( ρ c ρ 2 + ɛ + p ) X x µ. (3.26) ρ Substituindo (3.26) em (3.21), obtém-se w µ = 1 { ( 2 εµναβ c4 c 2 + ɛ + p ρ ρ ( c 4 c 2 + ɛ + p ) 1 λ 2 X λ 3 ρ x ν x α c4 ρ ( c 2 + ɛ + p ρ ) 1 λ 3 λ 2 x α X x ν ) 2 λ2 λ 3 X x ν x β x α ( x β x β 1 ρ ( c 2 + ɛ + p ρ) 1 c 2 + ɛ + p ρ ) 1 }. (3.27) A quadrivelocidade de rotação do fluido não é necessariamente nula, pois dependerá do valor do quadrigradiente de X(x), ou seja, se este quadrigradiente for ou não igual a zero. Desta forma, ambos movimentos rotacionais e irrotacionais estão inclusos nos extremos do 2 O produto entre um tensor simétrico e um antissimétrico ser nulo pode ser visto em [12, 13].

35 3. Ação Geral do Fluido Ideal 21 princípio variacional. Com exceção da equação (3.26) todos os outros resultados obtidos para o movimento do fluido continuam sendo os mesmos. Desta maneira, pode-se descrever todo movimento isentrópico do fluido através da Lagrangiana (3.24). 3.3 Movimentos Generalizados do Fluido Como dito no início deste capítulo, um fluido ideal possui, em geral, dois graus de liberdade termodinâmicos, de modo que, para o caso estudado, foram escolhidas a densidade de massa e entropia por unidade de massa, todas medidas no referencial de repouso do fluido. No movimento geral de um fluido ideal a entropia não permanece constante ao longo do fluido, no entanto, ela é constante para uma dada partícula fluida, isto significa que não há nenhuma troca de calor entre as diferentes partes do fluido. Esta condição implica que s não muda a medida que o elemento de volume avança, resultando na equação do movimento adiabático (2.41) u µ s x µ = 0. Desta maneira, a Lagrangiana que deve ser considerada é ( ) s L 5 = L 4 + λ 4 x µ uµ. (3.28) A Lagrangiana (3.28) juntamente com L G fornecem a ação total para o modelo de fluido ideal S T = { 1 2κ R ρ [ c 2 + ɛ(ρ) ] ( + λ 1 gµ u µ u ν + c 2) + ( +λ 2 µ ρu µ ) ( ) ( ) } X s gd + λ 3 x µ uµ + λ 4 x µ uµ 4 x. (3.29) Assim, as equações de movimento são originadas dos sistemas (3.9), (3.25) e do adicional δl5 δs δs gd 4 x = 0, (3.30a) δl5 δλ 4 gd 4 x = 0 = u µ s λ 4 x µ = 0. (3.30b) Como estão sendo considerados os dois grau de liberdade termodinâmicos, ρ e s, a energia interna por unidade de massa será uma função da forma ɛ(ρ, s). Com isso, a equação (3.14) é escrita ( ) ɛ = p ρ s ρ 2. (3.31)

36 3. Ação Geral do Fluido Ideal 22 a derivada é feita à entropia por unidade de massa fixa. As equações (3.10), (3.11) e do tensor momento-energia do fluido ideal, (3.17), permanecem inalteradas. No entanto, ao utilizar L 5 nos sistemas (3.9), (3.25) e (3.30), o quadrivetor u µ toma a forma u µ = c 2 ( c 2 + ɛ + p ) λ 2 x µ λ 3 c 2 ( ρ c ρ 2 + ɛ + p ) X x µ λ 4 c 2 ( ρ c ρ 2 + ɛ + p ) s x µ. (3.32) ρ Este valor continua garantindo que a velocidade de rotação do fluido não é necessariamente nula. A equação de Euler e a forma estendida da conservação de T µν permanecem inalteradas. Lembrando que a descrição do movimento geral do fluido é garantida por estas duas equações e pelas equações de vínculo postas ao longo da construção de (3.28). Nos próximos capítulos serão analisados modelos de campos escalares que, dadas as circunstâncias serão apresentadas, estes modelos se comportam efetivamente como fluidos ideais.

37 Capítulo 4 Modelo de Campo Escalar Canônico 4.1 Correspondência entre os Modelos de Campo Escalar Minimamente Acoplado e Fluido Ideal Há muitas décadas, modelos de campo escalar estão presentes no estudo de gravitação e cosmologia, de maneira a ter uma particular importância no contexto de universo inflacionário e modelos de quintessência (ver [5, 42 44]). De modo geral, é reconhecido que um campo escalar minimamente acoplado à gravitação pode ser representado como um fluido ideal [28, 29], no entanto, do ponto de vista conceitual um campo escalar e um fluido ideal são sistemas físicos muito diferentes. Como dito no início do capítulo 2 um fluido pode ser tratado como meio contínuo, porém, esta continuidade é perdida quando o fluido é observado de maneira fundamental, ou seja, ao se considerar escalas cada vez menores do fluido nota-se o aparecimento das partículas que o constituem. Entretanto, um campo escalar é fundamentalmente contínuo. Desta maneira, a densidade de Lagrangiana que representa o modelo de campo escalar minimamente acoplado à gravitação é dada por L = L G + L φ. (4.1) O segundo termo desta equação é a densidade de Lagrangeana do campo escalar φ usual dada por L φ = 1 2 µ φ µ φ V(φ). (4.2) Este campo auto-interage através de um potencial V(φ). A ação deste sistema é S = (LG + L φ ) gd 4 x, (4.3) 23

38 4. Modelo de Campo Escalar Canônico 24 de modo que, pelo princípio variacional, tem-se δs = δ (L G ) gd 4 x + δ ( L φ ) gd 4 x + (LG + L φ ) δ ( g ) d 4 x = 0. (4.4) Das equações (3.5) e (3.6) esta variação toma a forma ( 1 δs = R µν 1 ) 2κ 2 g µνr δg µν gd 4 x + + δ ( ) gd Lφ L 4 φ x 2 g µν gδg µν d 4 x = 0. (4.5) A dependência deste sistema é dada em função das variáveis g µν e φ, deste modo, a integral com δ ( L φ ) é δ ( ) gd L 4 φ x = δlφ δlφ δg µν δgµν gd 4 x + δφ δφ gd 4 x, (4.6) sendo δg µν e δφ arbitrários, a equação (4.5) fornece o sistema ( G µν = κ L φ g µν 2 L ) φ g µν = κt (φ) µν, (4.7a) ( ) δlφ δφ gd 4 x = 0. (4.7b) δφ Verifica-se da equação (4.7a) que o tensor momento-energia do campo escalar, T (φ) µν, é usual T (φ) µν = L φ g µν 2 L φ = g µν [ 1 ] 2 µ φ µ φ V(φ) g µν 2 [ g µν 1 ] 2 µ φ µ φ V(φ) = µ φ ν φ 1 2 g µν ρ φ ρ φ Vg µν. (4.8) A integral (4.7b) fornece a seguinte equação diferencial satisfeita por um campo escalar µ µ φ = V (φ), (4.9) sendo V (φ) a derivada do potencial em relação ao campo escalar. Desta maneira, as equações (4.7a) e (4.9) formam as equações de movimento deste sistema físico. Agora, para que o tensor T (φ) µν assuma a forma do tensor momento-energia do fluido ideal (2.42) é necessário que µ φ seja um campo vetorial tipo tempo [21,28,29]. A componente covariante da quadrivelocidade do fluido efetivo do campo escalar, em termos do gradiente

39 4. Modelo de Campo Escalar Canônico 25 de φ, pode ser tomada da seguinte forma [21] u µ = c µ φ ν φ ν φ, (4.10) assumindo que ν φ ν φ 0. A normalização da quadrivelocidade é Como µ φ é tipo tempo então α φ α φ < 0, que resultará u µ u µ = c 2 ν φ ν φ α φ α φ. (4.11) u µ u µ = c 2. A densidade de energia e a pressão relativas para um observador que se move junto ao fluido são obtidas através das seguintes equações 1 E = T µν u µ u ν c 2 (4.12a) e p = 1 3 T µνh µν. (4.12b) Para o caso do tensor T (φ) µν, (4.12) toma a forma E (φ) = 1 2 α φ α φ + V(φ) (4.13a) e p (φ) = 1 2 α φ α φ V(φ). (4.13b) Deste modo, a partir das equações (4.10) e (4.13), o tensor momento-energia do campo escalar pode ser obtido do tensor T µν do fluido ideal, isto é, pg µν + ( p + E ) u µ u ν c 2 = µ φ ν φ 1 2 g µν ρ φ ρ φ Vg µν T (φ) µν. (4.14) Esta ultima equação não mostra somente que um campo escalar minimamente acoplado pode ser descrito por um modelo de fluido ideal, mas também que qualquer fluido ideal, com equação barotrópica p = p(e), pode ser reproduzido por um campo escalar, de maneira que este tenha um potencial adequado V(φ). A afirmação do início deste capítulo na qual diz que um campo escalar não é composto 1 Estas equação são validas quando se relaciona um T µν qualquer com um tensor momento-energia do fluido Ideal.

40 4. Modelo de Campo Escalar Canônico 26 fundamentalmente por partículas mostra que, de modo geral, não faz sentido falar de conservação do número de partículas para um fluido efetivo de φ, ou seja, um campo escalar não é dotado de uma equação do tipo (2.44), que descreve a conservação de massa 2. Neste sentindo, este fluido é dito do tipo irrotacional devido não haver uma conservação de identidade de partícula (3.23), já que esta assegurava também a existência de fluxos rotacionais no fluido. Além disso, a priori, nada se pode afirmar sobre a entropia do fluido efetivo de φ, no entanto, ao compará-lo à um fluido ideal isentrópico isto faz com que seja natural associar φ com σ [45]. As projeções da conservação do tensor T µν de um fluido ideal também fornecem resultados satisfatórios quando nelas são utilizadas as equações (4.10) e (4.13). A forma estendida da conservação do tensor momento-energia (2.45) fornece a equação (4.9), enquanto que a forma relativística da equação de Euler gera a identidade obtida em espaços sem torção, o qual diz que o comutador de derivadas covariantes atuando em um escalar é igual a zero, [ µ, ν ]φ = 0. A velocidade das perturbações em fluidos efetivos de campo escalar não podem, em geral, ser obtidas pela equação (2.56), isto se deve ao fato de não ser possível inverter as funções 3 p = p(x, φ) e E = E(X, φ) a fim de fornecer a equação barotrópica p = p(e). 4 Entretanto, ao assumir φ e X como variáveis independentes pode-se definir v pert como a razão das diferenciais totais dp e de à σ fixo, ou seja, ( ) px v 2 pert = dx + p φ dφ c2 E X dx + E φ dφ σ, (4.15) sendo p X = p X e p φ = p. O caso isentrópico implica que dφ = 0 equivale à dσ = 0 [45], φ desta forma, (4.15) fica v 2 pert = c2 p X E X. (4.16) É importante deixar claro que dφ = 0 não significa dizer que o campo é constante, isto resultaria que a teoria estudada seria bastante trivial, pois X = 0. Nestas considerações, o valor dφ = 0 expressa que as diferenciais totais dp e de devem ser calculadas mantendo o campo φ fixo (ele continua variável no espaço-tempo) enquanto permite que X varie de forma arbitrária. Nota-se que esta expressão é válida para qualquer função V(φ). Para o modelo de campo escalar canônico a velocidade de perturbações no fluido efetivo de φ é v pert = c. Além do φ usual, existem outros tipos de campo que, dependendo do regime que estão colocados, afetam a estabilidade do sistema. Estes campos são chamados de táquions e fantasmas. As características usadas para definir estes campos são retiradas de [30] e de 2 Para o caso de um fluido ideal isentrópico são possíveis obter estes valores (ver [45]). 3 Sendo X 1 2 µ φ µ φ o termo cinético do campo escalar [22] 4 Uma vez que V(φ) = 0 ou V = cte pode-se obter p = p(e).