UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI LUIZ OTÁVIO SILVA BUENO CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DE LAJES E COMPARAÇÃO ENTRE AS FERRAMENTAS DISPONÍVEIS

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1 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI LUIZ OTÁVIO SILVA BUENO CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DE LAJES E COMPARAÇÃO ENTRE AS FERRAMENTAS DISPONÍVEIS SÃO PAULO 2008

2 ii LUIZ OTÁVIO SILVA BUENO CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DE LAJES E COMPARAÇÃO ENTRE AS FERRAMENTAS DISPONÍVEIS Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como exigência parcial para a obtenção do título de Graduação do Curso de Engenharia Civil da Universidade Anhembi Morumbi Orientador: Profº Msc. Engº Thomas Garcia Carmona

3 iii LUIZ OTÁVIO SILVA BUENO CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DE LAJES E COMPARAÇÃO ENTRE AS FERRAMENTAS DISPONÍVEIS Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como exigência parcial para a obtenção do título de Graduação do Curso de Engenharia Civil da Universidade Anhembi Morumbi Trabalho em: de de Profº MSc. Engº Thomas Garcia Carmona Profº MSc. Engº Fernando Jose Relvas SÃO PAULO 2008

4 iv Dedico a Deus por tornar possível mais esta realização na minha vida a minha família, em especial aos meus pais e minha avó que sempre me ajudaram e me cobraram muito em relação aos estudos e a minha namorada pela paciência de ficar inúmeros finais de semana estudando e pela ajuda na elaboração deste, a todos que de alguma forma contribuíram para que eu pudesse concluir o curso de Engenharia.

5 v AGRADECIMENTOS A todos os professores do curso, principalmente ao meu orientador Profº Thomas Garcia Carmona pela atenção, pela amizade e pela ajuda na elaboração deste trabalho, ao Profº Fernando José Relvas pela dedicação, pelo rigor e qualidade de suas aulas e ao Profº Tiago Garcia Carmona principal responsável pelo tema escolhido do trabalho e pela oportunidade de estagiar na área de estruturas. Ao escritório de Exata Engenharia e Assessoria SS Ltda pela ajuda com o material bibliográfico e pelos conhecimentos adquiridos, que sem eles seria impossível a elaboração dos modelos de cálculo. A Universidade Anhembi Morumbi pela bolsa de estudos, sem a qual não seria possível concluir a graduação.

6 vi RESUMO Este trabalho apresenta um breve histórico do dimensionamento de lajes de concreto armado, sua evolução ao longo do século XX e como as ferramentas computacionais transformaram os cálculos, o dimensionamento e os projetos de lajes em processos mais dinâmicos. Vários são os softwares disponíveis no mercado para efetuar tais tarefas, neste trabalho foram analisados dois deles, o TQS e o Strap, além do método tradicional da ruptura atualmente aceito pela NBR 6118; finalmente os resultados obtidos foram comparados e discutidos. Palavras Chave: Lajes, Cálculo, Dimensionamento, TQS, Strap, Método tradicional.

7 vii ABSTRACT This study presents a brief historical of the design of slabs of reinforced concrete, your evolution in the curse of century XX and how the computer tools changed the calculation, the design and the slab s projects in process more dynamics. Some many are the software available in the market to make such tasks, this study have been analysis two them, the TQS and the Strap, besides of the traditional method of the rupture currently admitted for NBR 6118; finally the results acquired were been compare and discussed. Key Worlds: Slabs, Calculation, design, TQS, Strap, Traditional Method.

8 viii LISTA DE FIGURAS Figura Exemplo de Laje (FUSCO, 1995)... 6 Figura Deslocamentos de Placas Devido aos Momentos Fletores (AVELINO, 2000)... 7 Figura Equilíbrio de um Elemento de Placa para as Forças Cortantes (HENNRICHS, 2003)... 8 Figura Equilíbrio de um Elemento de Placa para Momentos Fletores e Torsores (HENNRICHS, 2003)... 9 Figura Equação de Lagrange (DUARTE, 1998)... 9 Figura Exemplo de Charneiras Plásticas (FUSCO, 1995) Figura Gráfico dos Domínios (NBR-6118) Figura Exemplo de Configurações de Ruína (GONZALEZ, 1997) Figura Laje Plana Discretizada em Elementos Finitos ( AVELINO, 2000) Figura Laje Plana Discretizada em uma Grelha (AVELINO, 2000) Figura 6.1 Formas das Lajes do Pavimento Tipo (AUTOR, 2008) Figura 6.2 Exemplo de Discretização das Lajes (AUTOR, 2008) Figura 6.3 Equações para a Determinação dos Momentos das Lajes (RELVAS, 2007) Figura Modelação das Lajes do Pavimento Tipo ( AUTOR, 2008) Figura Renderização das Lajes do Pavimento tipo ( AUTOR, 2008) Figura Gráfico de Momentos das Lajes do Pavimento tipo (AUTOR, 2008) Figura Lajes Modeladas em Barras de Grelhas no TQS ( AUTOR, 2008) Figura Entrada Gráfica das Lajes no TQS ( AUTOR, 2008) Figura 6.9 Extração dos Momentos Fletores pelo TQS (AUTOR, 2008) Figura 7.1 Exemplo do Problema de Execução das Armaduras Negativas (AUTOR, 2008) Figura 7.2 Diagrama de Momentos Fletores a partir do Método da Ruptura ( AUTOR, 2008) Figura Diagrama de Momentos Fletores a partir do M.E.F. ( AUTOR, 2008) Figura Diagrama de Momentos Fletores a partir do Método da Analogia de Grelhas ( AUTOR, 2008)... 34

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10 x LISTA DE TABELAS Tabela 5.1 Espessuras Mínimas de Lajes (NBR 6118) Tabela 5.2 Cobrimentos Mínimos dos Estribos (NBR 6118) Tabela 5.3 Pesos Específicos Adotados para Revestimentos (Relvas,2007) Tabela Valores Mínimos das Cargas Verticais (NBR 6120) Tabela 8.1 Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 0 (RELVAS, 2007)... 2 Tabela Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 1 (RELVAS, 2007)... 3 Tabela Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 2 (RELVAS, 2007)... 4 Tabela Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 3 (RELVAS, 2007)... 5 Tabela Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 4 (RELVAS, 2007)... 6 Tabela Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 5 (RELVAS, 2007)... 7 Tabela Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 6 (RELVAS, 2007)... 8 Tabela Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 7 (RELVAS, 2007)... 9 Tabela Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 8 (RELVAS, 2007) Tabela 8.10 Tabelas para Determinação das Armaduras (RELVAS, 2007)... 12

11 xi LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas M. E. F. Método dos Elementos Finitos NBR Strap Norma Brasileira Structural Analisys Programs

12 xii LISTA DE SÍMBOLOS cm d e Fck g 0 γ kn mm MPa M x M y V σ unidade de comprimento em centímetros Altura útil espessura resistência característica a compressão do concreto peso próprio peso específico quilonewton milímetro megapascal momento fletor na direção x momento fletor na direção y força cortante tensão

13 xiii SUMÁRIO p. 1. INTRODUÇÃO OBJETIVOS Objetivo Geral Objetivo Específico MÉTODO DE PESQUISA JUSTIFICATIVA REVISÃO BIBLIOGRÁFICA O Cálculo Estrutural antes dos Microprocessadores Lajes Fundamentação Teórica para os Elementos de Placa Cálculo de Placas pelo Método Clássico Cálculo de Placas em Regime Rígido-Plástico O Método dos Elementos Finitos O Método de Analogia de Grelhas ANÁLISE ESTRUTURAL DO PAVIMENTO Método da Ruptura Método dos Elementos Finitos Método das Grelhas... 28

14 xiv 7 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS ANALISADOS CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXO A TABELAS PARA DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES... 1 ANEXO B TABELAS KC E KS... 11

15 1. INTRODUÇÃO O pavimento de uma edificação, que é um elemento estrutural de superfície, pode ser projetado com elementos pré-moldados ou moldados no local. O pavimento moldado no local pode ser composto por uma única laje (maciça ou nervurada), sem vigas, ou por um conjunto de lajes, maciças ou nervuradas, apoiadas em vigas. O presente trabalho abordará apenas o segundo caso, ou seja, pavimento composto por lajes maciças de concreto armado (placas de concreto) apoiadas em vigas em seu contorno. Uma das características das lajes maciças é que elas distribuem suas reações em todas as vigas de contorno. A partir disso, há melhor aproveitamento das vigas do pavimento, pois todas elas, dependendo apenas dos vãos, podem ter cargas da mesma ordem de grandeza. Uma vantagem em relação às pré-moldadas está na facilidade em colocar, antes da concretagem, tubulações elétricas, hidráulicas, etc. Em relação as desvantagens em comparação com as pré-moldadas está no quesito de execução do elemento que inclui montagem da armação, escoramento, concretagem e cura. Os profissionais e universitários da engenharia civil, concordam que o avanço tecnológico trouxe inúmeras facilidades, em especial o da computação, para o campo da engenharia de estruturas. Um dos grandes desafios da engenharia moderna é encontrar soluções para problemas que têm surgido a partir do uso de programas computacionais e das construções com arquitetura mais complexa. Entre os exemplos de estrutura em que o uso da computação tornou-se fundamental podemos citar as placas de concreto armado, ou seja, as lajes. Anteriormente, o cálculo dessas lajes era feito manualmente com o auxílio de tabelas através de métodos aproximados, o que em estruturas de grande porte demandava enorme quantidade de tempo. Entretanto, com o aprimoramento dos programas de cálculo e análise, além dos próprios computadores, o projeto das estruturas em geral tornou-se mais rápido e dinâmico nos escritórios especializados. (HENNRICHS, 2003)

16 2 2. OBJETIVOS O cálculo de lajes é uma etapa corrente no dimensionamento de estruturas civis, a definição da ferramenta mais adequada e que gera resultados mais satisfatórios é importantíssima para a escolha do método a ser utilizado pelo responsável pelo projeto de estruturas. 2.1 Objetivo Geral O objetivo deste trabalho é discutir os diversos métodos de cálculo de lajes, o método elástico (com o auxílio de tabelas), o método da ruptura (também com o uso de tabelas), o método dos elementos de placas (pelo software Strap) e o de grelhas de barras (pelo software TQS). 2.2 Objetivo Específico Identificar as potencialidades e limitações dos métodos disponíveis verificando se os softwares atendem adequadamente as necessidades dos engenheiros de estruturas.

17 3 3. MÉTODO DE PESQUISA O processo de pesquisa do presente trabalho foi efetuado através de livros técnicos sobre o assunto, de dissertações de mestrado, apostilas do curso de Concreto Armado e com o auxílio de tabelas de cálculo. Para uma análise prática do assunto foi apresentado o dimensionamento das lajes de um pavimento por meio de três ferramentas diferentes e os resultados obtidos foram comparados e discutidos.

18 4 4 JUSTIFICATIVA A evolução tecnológica transformou significativamente as maneiras de projetar estruturas, os engenheiros estruturais que antes de existir softwares para estes fins, calculavam e dimensionavam edifícios por métodos aproximados como o da ruptura; nos dias atuais existem ferramentas poderosíssimas com este intuito, porém apenas adquirir os programas de cálculo não é o suficiente. O engenheiro responsável deve ter experiência e saber quais os casos em que determinado software é mais recomendável ou menos recomendável e qual ferramenta será mais útil para as tarefas cotidianas. Especificamente no caso de projetos de lajes, a determinação de tais aspectos depende da geometria dos elementos e também de qual o tipo de materiais empregados na execução do elemento. Face os motivos supra mencionados torna-se imprescindível o estudo, a comparação e a determinação dos pontos fortes e fracos dos métodos mais conhecidos para auxiliar os engenheiros que pretendem atuar na área de projeto de estruturas.

19 5 5 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 5.1 O Cálculo Estrutural antes dos Microprocessadores Nos primórdios, as operações aritméticas eram desenvolvidas mediante o uso de tábuas de logarítmos que facilitavam as multiplicações, divisões, potenciações e radiciações. (VASCONSELOS, 1992). Ainda em 1924 eram muito usadas essas táboas, tendo nessa data o Prof. TELEMACO VAN LANGENDONK, com a idade de apenas 15 anos, publicado uma taboa de logaritmos dos números 1 a , com 5 decimais, usando técnicas próprias para a sistematização dos cálculos e controle da precisão (Typografia do Centro, Porto Alegre, 1924). Quem possuísse uma máquina de calcular de engrenagens, aperfeiçoamento da máquina de Pascal (1642), poderia acelerar enormemente o trabalho numérico. Eram comuns nas escolas de engenharia as famosas máquinas de manivela Ohner e bem mais tarde as máquinas Curta, fabricadas no principado de Lichtenstein. Estas, verdadeiras jóias da mecânica de precisão da época, possuíam a forma de um pequeno cilindro negro que cabia na mão, podendo, com alguma habilidade, ser manuseado com a mão esquerda, reservando a direita apenas para girar a minúscula manivela e registrar no papel os resultados (VASCONSELOS, 1992). A introdução das chamadas réguas de cálculo hoje totalmente esquecidas, constituiu um grande passo no cálculo de estruturas. Seu uso no Brasil deve ter começado por volta de 1910, tendo adquirido rapidamente as proporções de um verdadeiro vício. Não era raro observar em obras, nos anos 40, engenheiros realizando verificações expeditas, alterando armaduras, substituindo bitolas e às vezes até mesmo calculando peças novas (VASCONSELOS, 1992). 5.2 Lajes A classificação geral das peças estruturais denomina de placas, as estruturas laminares com superfície média plana, onde as solicitações ocorrem de forma

20 6 perpendicular ao seu plano médio. Nas estruturas de concreto, as placas recebem o nome de lajes. Figura Exemplo de Laje (FUSCO, 1995) As placas podem diferenciar-se pela sua forma (de contorno poligonal ou circular, maciças ou com espaços vazios); pela disposição de seus apoios (placas apoiadas no seu contorno, placas em balanço, placas contínuas em uma ou duas direções); pela forma do apoio (pontual ou lineares); pelo tipo de apoio (apoio simples ou engastamento). Cada placa pode, além disso, estar submetida a diferentes tipos de carga, como por exemplo, carga pontual, uniforme, triangular, etc. O estudo das placas define um sistema de referência O xyz, com o plano O xy coincidente com o plano médio da peça. A espessura h da placa é medida perpendicularmente ao plano médio. Para o cálculo dos esforços nas placas existem dois grupos de métodos. Os métodos clássicos, fundamentados na teoria da elasticidade, supondo que o material é homogêneo e isótropo e se comporta elasticamente, da mesma forma que se faz, para o cálculo de esforços em outros tipos de elementos estruturais. Já métodos de ruptura, fundamentados na teoria da plasticidade, supõem, que o material comportase como um corpo rígido - perfeitamente plástico. Através dos métodos clássicos obtêm-se, com aproximação, os esforços na situação de serviço, a partir dos quais pode-se definir a distribuição das armaduras na placa,

21 7 de modo que a mesma apresente um bom comportamento em serviço. Os métodos de ruptura não proporcionam informação de qual a distribuição de armaduras adequada, mas permitem a obtenção mais racional da carga última na situação de esgotamento da placa. Ambos os sistemas são, portanto, de grande interesse, devendo-se escolher, em cada caso, o mais adequado para o objetivo que se pretende atingir. Sob a ação de um carregamento uniformemente distribuído, a placa sofre deformações e os seus pontos se deslocam. Figura Deslocamentos de Placas Devido aos Momentos Fletores (AVELINO, 2000) 5.3 Fundamentação Teórica para os Elementos de Placa A análise estrutural tem por objetivo determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações de estados limites últimos e de utilização, definições da NBR Através da análise estrutural, torna-se possível estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos, em uma parte ou em toda a estrutura. Deve ser realizada através de um modelo estrutural que represente, da maneira mais adequada possível, o comportamento da estrutura real, permitindo delinear assim o caminhamento das tensões até os apoios da mesma. Em casos muito complexos, a interação soloestrutura também deve ser contemplada no modelo (DUARTE, 1998).

22 8 As estruturas usuais de edifícios podem ser idealizadas, ao serem submetidas à análise, como sendo uma composição de elementos estruturais básicos, classificados de acordo com sua forma geométrica e sua função estrutural. A análise linear dos elementos de placa é feita com base na teoria clássica de Kirchhoff para placas delgadas. A hipótese básica de Kirchhoff para placas finas estabelece que pontos situados sobre retas originalmente normais à superfície média indeformada, permanecem sobre retas normais à superfície média deformada. Admite-se, pois, que os pontos do plano médio da placa sofrem apenas deslocamentos verticais, pequenos em relação à espessura da mesma, desprezando-se os deslocamentos horizontais. Na formulação matemática da teoria, é admitida uma carga p(x,y), normal ao plano da placa, que pode ser distribuída por qualquer lei, sobre toda ou parte da placa. A deformada da placa é definida por uma função w(x,y), que determina os deslocamentos verticais dos pontos (x,y) do plano médio da mesma. Os esforços solicitantes que atuam sobre um elemento de placa são mostrados nas figuras a seguir: Figura Equilíbrio de um Elemento de Placa para as Forças Cortantes (HENNRICHS, 2003).

23 9 Figura Equilíbrio de um Elemento de Placa para Momentos Fletores e Torsores (HENNRICHS, 2003) O desenvolvimento da formulação, encontrado em ampla bibliografia do assunto, como por exemplo em TIMOSHENKO (1940) não será efetuado aqui. No entanto, apresenta-se a seguir a equação diferencial das placas: Figura Equação de Lagrange (DUARTE, 1998) Onde D = Eh 3 / 12(1-v 2 ) = rigidez à flexão da placa, equivalente à rigidez EI das vigas, Sendo: E = módulo de deformação longitudinal, h = espessura, v = coeficiente de Poisson.

24 10 As condições de contorno da equação diferencial expressa dependem dos diferentes tipos de vinculação das bordas. Com isso, quando se trata, por exemplo, de uma borda reta paralela ao eixo y, têm-se, em função do comportamento admitido para essa borda, as seguintes condições de contorno possíveis: borda engastada: o deslocamento vertical (w) e a rotação ( w/ x) são nulos; borda simplesmente apoiada: o deslocamento vertical (w) e o momento fletor (m x ) são nulos; borda livre: o momento fletor (m x ) e a reação na borda (v x - m xy / y) são nulos. Conforme expõe Duarte (1998), o processo de busca de uma função w(x,y) que satisfaça à equação diferencial das placas e atenda às condições de contorno para uma laje submetida a um carregamento p(x,y), torna-se inviável devido as complicações algébricas a que conduz. Em função dessas dificuldades, recorre-se com freqüência a soluções aproximadas, obtendo-se w(x,y) como uma soma de funções elementares que satisfaçam as condições de contorno. No entanto, o processo de integração da equação de Lagrange mediante séries, apresenta o inconveniente de ser aplicável a alguns poucos casos de forma de placas e condições de apoio. Uma solução possível, favorecida pelo advento dos computadores, é o uso da integração numérica pelo processo das diferenças finitas, de aplicação mais geral e que conduz a resolução de um sistema de equações lineares. Este tipo de cálculo é preferencialmente aplicado para a elaboração de tabelas, através das quais obtêm-se facilmente os esforços em placas com formas e carregamentos mais comuns. Ao se tratar de placas com formas mais complexas, contendo aberturas, com regiões de diferentes espessuras, carregamentos não uniformes ou variadas condições de contorno, as tabelas anteriormente citadas não podem ser usadas. Deve-se então, nestes casos recorrer a outras alternativas mais refinadas de cálculo, como a técnica dos elementos finitos ou o método da analogia de grelhas, estudados no transcorrer do presente trabalho. Existem outras formas de cálculo refinadas, não analisadas aqui, o processo das faixas finitas e o método dos elementos de contorno. O processo das faixas finitas se aplica principalmente as estruturas com apoios simples nos extremos, com a presença ou não de apoios intermediários, tendo ênfase para a aplicação em

25 11 tabuleiros de pontes. Em relação ao método dos elementos de contorno, constata-se que o mesmo constitui, ao lado do método dos elementos finitos, mais um tipo de aplicação de métodos numéricos em engenharia, como alternativa para solução analítica de problemas complexos. Seu procedimento consiste em discretizar o contorno de uma determinada região, dividindo-a em elementos e estabelecendo relações entre incógnitas do problema em pontos do contorno. Busca a solução da equação diferencial que rege o domínio da região analisada através da solução de um sistema de equações integrais no contorno da mesma. Conhecendo-se as incógnitas no contorno, pode-se determinar, em função das próprias, o comportamento em qualquer parte do domínio em estudo. 5.4 Cálculo de Placas pelo Método Clássico O método elástico, ou clássico, pode ser definido pela teoria das placas delgadas, o qual se baseia nas equações de equilíbrio de um elemento infinitesimal de placa e nas relações de compatibilidade das deformações. Para a utilização correta do método clássico deve-se fazer algumas considerações sobre os materiais componentes do elemento, por exemplo considera-se que as placas são constituídas de material homogêneo, elástico, isótopo, linear fisicamente e têm pequenos deslocamentos. O concreto armado não é um material homogêneo, face sua composição ser de aço e concreto. A propriedade que denomina a teoria, refere-se ao fato de que o elemento quando solicitado por uma carga, sofre uma deformação e ao retirar-se essa carga, a deformação cessa-se. Material isótropo é aquele que tem as mesmas propriedades qualquer que seja a direção observada, ao contrário do material ortótropo, que tem propriedades diferentes em duas direções ortogonais.

26 12 Linearidade física é quando a relação entre tensões e deformações se mantêm linear, ou seja, obedece a Lei de Hooke, desprezando-se portanto a fissuração do concreto. Linearidade geométrica significa que os esforços e as tensões, não são afetados pelo estado de deformação da estrutura. Para facilitar o emprego das condições de contorno na resolução do problema de determinação de esforços, faz-se, na maioria das vezes, outras considerações, tais como: a ação das placas nas vigas de contorno se faz somente por meio de forças verticais, não havendo transmissão de momentos de torção para as vigas; as ações das placas nas vigas são uniformemente distribuídas e não há transmissão de carga diretamente para os pilares; a carga nas placas é transferida para as vigas e daí para os pilares; as vigas de contorno são indeslocáveis na direção vertical; a rotação das placas no contorno é livre (apoio simples) ou totalmente impedida (esgastada). 5.5 Cálculo de Placas em Regime Rígido-Plástico A teoria das charneiras plásticas teve sua primeira publicação em dinamarquês, por INGERSLEV (1921), sendo que sua teoria não era aplicável a muitos casos de lajes por não levar em conta os esforços corantes ao longo das linhas de plastificação. Um compatriota seu, JOHANSEN (1931), melhorou significativamente a nascente teoria, deduzindo fórmulas para cálculo dos momentos de plastificação em diversos tipos de laje, formulação essa aceita ainda hoje. Segundo Duarte (1998), apesar de aceita nos meios técnicos, a teoria das charneiras plásticas ainda é deixada de lado ou pelo menos relegada a um segundo plano entre as opções de análise de lajes. Duarte explica que, isso se deve ao fato de que a mesma constitui uma aplicação do teorema cinemático, que conduz a resultados com possibilidades de serem contra a segurança, face estabelecer um limite superior para a carga de ruína. Esta insegurança teórica, entretanto, não se

27 13 verifica na prática, uma vez que os resultados experimentais demonstram que o valor da carga última ou de ruína é em geral superior à fornecida pela teoria das charneiras plásticas, sendo que esta reserva de resistência decorre, principalmente, dos efeitos de arqueamento e de membrana que surgem na laje quando de sua solicitação sob altos níveis de carga. O cálculo das placas de concreto armado pela teoria das charneiras plásticas (ou método da ruptura) é feito admitindo-se que a ruína somente ocorra com a formação de um conjunto de linhas de plastificação, as quais transformam a laje em um sistema hipostático. As linhas de plastificação assim consideradas são na verdade zonas de plastificação delineadas por seções planas ou cilíndricas, normais ao plano médio da laje, nas quais foi atingido o momento de plastificação. Essas linhas são designadas por charneiras plásticas e correspondem, nas lajes reais de concreto armado, a zonas de intensa fissuração da face tracionada. Figura Exemplo de Charneiras Plásticas (FUSCO, 1995) Nas aplicações da teoria das charneiras plásticas são consideradas apenas as cargas proporcionais. Elas são as que se mantém proporcionais entre si, ou seja, variando de zero até os seus valores máximos. Admite-se sempre como satisfatória a capacidade de rotação das charneiras plásticas, até o colapso final da laje. Para a determinação da carga de ruína, ao longo das charneiras plásticas são consideradas apenas os momentos fletores de plastificação e consequentemente desprezando-se todos os outros possíveis esforços atuantes.

28 14 A atual norma de concreto Armado nacional a NBR 6118 determina que o cálculo de lajes no regime rígido-plástico é permitido desde que as cargas atuem sempre no mesmo sentido e que as deformações das seções da laje estejam nos domínios 2 ou 3, no gráfico das deformações. Figura Gráfico dos Domínios (NBR-6118) Os fatores que influenciam as configurações das charneiras de uma laje são as condições de apoio da mesma, a natureza e a distribuição das cargas e a disposição das armaduras. Todas as configurações geometricamente possíveis são denominadas configurações possíveis. A cada posicionamento das charneiras, corresponde uma determinada intensidade de carga que fornece a energia consumida na formação e no desenvolvimento das linhas de plastificação. A configuração de ruína é aquela que corresponde à menor carga entre as configurações possíveis, ou ainda ao maior momento de plastificação.

29 15 Figura Exemplo de Configurações de Ruína (GONZALEZ, 1997) Na análise plástica, admite-se que o concreto armado trabalha na iminência de ruptura, ou seja, que ele apresenta um comportamento correspondente a uma fase posterior à da análise não-linear de seu diagrama de tensão-deformação, caracterizada por escoamento de armaduras e pelo progresso de linhas de plastificação ao longo da sua estrutura. Admite-se, pois, neste tipo de análise, um comportamento rígido-plástico perfeito ou elasto-plástico perfeito para concreto armado, permitindo uma determinação adequada do valor da carga máxima que ele pode ser submetido numa solicitação, carga esta conhecida como carga de ruína ou carga última ( DUARTE, 1998). A partir dessas considerações iniciais pode-se iniciar o processo de cálculo o qual possui as seguintes etapas de dimensionamento: Determinar os apoios da laje, se ela poderá ser apoiada nos quatro lados, ou apenas em dois lados paralelos, ou apenas em um lado, quando a mesma estará em balanço. Deve-se determinar se a laje é armada em uma ou duas direções. A partir dos lados apoiados e do coeficiente λ, que é a relação entre os lados maiores e menores da laje, ou seja L>/L<. Caso o valor seja superior a 2, a laje será armada em uma direção e a armação será no lado menor; se o valor for igual

30 16 ou inferior a dois, ela será armada em duas direções, desde que também seja apoiada nos quatro lados. Verificar a situação das lajes, se as mesmas são isoladas ou contínuas. As lajes serão isoladas se elas não possuírem lajes no seu entorno e também se as lajes estiverem em níveis diferentes das outras lajes ao redor. As lajes serão contínuas caso as lajes ao seu entorno estejam no mesmo nível. A Norma anteriormente citada determina as espessuras mínimas para as placas de concreto armado: Tabela 5.1 Espessuras Mínimas de Lajes (NBR 6118) Lajes de cobertura não em balanço Lajes de piso ou de cobertura em balanço Lajes que suportem veículos de peso total < 30 KN Lajes que suportem veículos de peso total >30 KN Lajes com protensão 5 cm 7 cm 10 cm 12 cm 15 cm Além da espessura, fixa também que qualquer barra da armadura, inclusive de distribuição, de montagem e estribos, deve ter cobrimento de concreto pelo menos igual ao seu diâmetro, mas não menor que: Classe de Agressividade ambiental CLASSIFICAÇÃO GERAL DO TIPO DE AMBIENTE PARA EFEITO DE PROJETO Tabela 5.2 Cobrimentos Mínimos dos Estribos (NBR 6118) I FRACA RURAL / SUBMERSA II MODERA DA III FORTE URBANA MARINHA / INDUSTRIAL IV MUITO FORTE INDUSTRIAL / RESPINGOS DE MADÉ Risco de deterioração da estrutura Insignificante Pequeno Grande Elevado Cobrimento nominal (mm) Para o pré-dimensionamento das lajes retangulares maciças, sem carregamento direto de alvenaria, a altura útil mínima, d, é obtida pela seguinte expressão:

31 17 Determinado a altura útil, pode-se calcular a altura total h: h = d + (φ/2) + c Adotando φb = 10 mm temos: h = d + 0,5 + c (cm) Determinada altura deve-se calcular o g 0, o g rev, o g acid definido de acordo com o tipo de uso (ver tabela 5.3) e a partir da soma desses fatores, saber qual a carga total a qual a laje estará submetida, após calcula-se a altura útil da laje e as armaduras com o auxílio das tabelas kc e ks. Para o calculo do g 0, a expressão é: Adotando peso especifico: Do concreto simples: γ c = 24,0 (kn/m 3 ) Do concreto armado: γ c = 25,0 (kn/m 3 ) g o = h * γ c (kn/m 3 )

32 18 Além do g 0, calcula-se a carga g rev de acordo com o tipo de revestimento em que a laje está solicitada a partir da expressão: g rev = e 1 * γ 1 + e 2 * γ e n * γ n sendo e a espessura do revestimento e γ rev, o peso especifico do revestimento e a sobrecarga de uso determinado pelas tabelas a seguir: Tabela 5.3 Pesos Específicos Adotados para Revestimentos (Relvas,2007) Tipo de revestimento rev 1 Argamassa de cimento e areia 21,00 2 Argamassa de cal, cimento e areia 19,00 3 Argamassa de gesso 12,50 4 Lajotas de cerâmica 18,00 5 Mármore ou granito 28,00 6 Tacos de madeira 10,00 7 Basalto 30,00 γ Tabela Valores Mínimos das Cargas Verticais (NBR 6120) 1 - Arquibancadas 2 - Balcões 3 - Bancos 4 - Bibliotecas 5 - Casas de maquinas 6 - Cinemas 7 - Clubes 8 - Corredores 9 - Cozinhas não residenciais 10 - Depósitos 11 - Edifícios residenciais 12 - Escadas 13 - Escolas Local Mesma carga da peça com a qual se comunicam e as previstas em Escritórios e banheiros Salas de diretoria e de gerência Sala de leitura Sala para depósito de livros Sala com estantes de livros a ser determinada em cada caso ou 2,5 kn/m2 por metro de altura observado, porém o valor mínimo de (incluindo o peso das máquinas) a ser determinada em cada caso, porém com o valor mínimo de Platéia com assentos fixos Estúdio e platéia com assentos móveis Banheiro Sala de refeições e de assembléia com assentos fixos Sala de assembléia com assentos móveis Salão de danças e salão de esportes Sala de bilhar e banheiro Com acesso ao público Sem acesso ao público A ser determinada em cada caso e na falta de valores experimentais conforme o indicado em Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro Despensa, área de serviço e lavanderia Com acesso ao público (ver ) Sem acesso ao público Anfiteatro com assentos fixos Corredor e sala de aula Outras salas Carga (kn/m 2 ) 4,00 2,00 1,50 2,50 4,00 6,00 7,50 3,00 4,00 2,00 3,00 4,00 5,00 2,00 3,00 2,00 A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3, ,50 2,00 3,00 2,50 3,00 2,00

33 Escritórios Salas de uso geral e banheiro 15 - Forros Sem acesso a pessoas 16 - Galerias de arte A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo 17 - Galerias de lojas A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo 18 - Garagens Para veículos de passageiros ou semelhantes com carga máxima de estacionamentos 25 kn por veículo. Valores de Φ indicados em Ginásios de esportes Dormitórios, enfermarias, sala de recuperação, sala de cirurgia, 20 - Hospitais sala de raio X e banheiro Corredor Incluindo equipamentos, a ser determinado em cada caso, 21 - Laboratórios 22 - Lavanderias 23 - Lojas 24 - Restaurantes 25 - Teatros 26 - Terraços 27 - Vestíbulos 2,00 0,50 3,00 3,00 3,00 5,00 2,00 3,00 porém com o mínimo 3,00 Incluindo equipamentos 3,00 4,00 3,00 5,00 - Palcos Demais dependências: cargas iguais às especificadas para cinemas Sem acesso ao público Com acesso ao público Inacessível a pessoas Destinados a heliportos elevados: as cargas deverão ser fornecidas pelo órgão competente do Ministério da Aeronáutica Sem acesso ao público Com acesso ao público 2,00 3,00 0,50-1,50 3, O Método dos Elementos Finitos O Método dos Elementos Finitos (M.E.F.) consiste em dividir o domínio de integração do problema contínuo em um número discreto de regiões pequenas de dimensões finitas denominadas elementos finitos (LA ROVERE, 2001). Ao conjunto de regiões se dá o nome de malha de elementos finitos. No método, a placa é substituída por uma série de elementos de forma quadrilátera ou triangular, podendo variar as dimensões e características elásticas de um elemento para outro. São tomadas como incógnitas os deslocamentos ω e os esforços m, e suas derivadas nos vértices dos elementos. Supõe-se que os deslocamentos ω dentro de cada elemento são dados por uma função simples (um polinômio, por exemplo), cujos coeficientes numéricos são fixados, uma vez conhecidos os valores da função ω e de suas derivadas nos vértices dos elementos. Dessa forma, sendo distintas as funções ω e m e suas derivadas de um elemento para outro, se garante a compatibilidade de deformações entre elementos contínuos ao se igualar seus valores nos vértices. As condições de equilíbrio de forças da estrutura proporcionam um sistema de equações lineares, que uma vez resolvido, fornece deslocamentos e permite o

34 20 cálculo imediato dos esforços na placa. A figura abaixo representa uma laje plana modelada em elementos finitos. Figura Laje Plana Discretizada em Elementos Finitos ( AVELINO, 2000) Calavera (1999) relata que o método dos elementos finitos pode abordar o cálculo de praticamente qualquer forma de placa, submetida a quaisquer tipos de carga e qualquer tipo de condições de contorno. Ainda segundo Calavera, face esse método se basear em métodos de cálculo em regimes elásticos, pode-se calcular as flexas das placas em condições de serviço com razoável aproximação. Por se tratar de um método numérico, geralmente processado por computadores, é de fundamental importância que o projetista que aplique o método tenha pleno conhecimento dos elementos, configurações e condições a serem aplicadas, caso contrário os resultados fornecidos podem onerar o custo da estrutura, e ainda pior, colocar em risco a segurança de seus usuários. Embora o método dos elementos finitos possa tornar um bom engenheiro ainda melhor, ele pode tornar um mau engenheiro muito perigoso (COOK,1989). 5.7 O Método de Analogia de Grelhas O método de resolução numérica por elementos finitos de barras (Analogia de Grelha) consiste em substituir a placa por uma malha, formando uma grelha, a qual é

35 21 composta por barras (vigas) ortogonais entre si, sendo essas barras paralelas e transversais aos eixos principais da placa. Todas as barras e nós da grelha situam-se no mesmo plano, o que facilita a análise e processamento do método. A cada viga se atribui uma inércia à flexão e uma inércia à torção. Mais recentemente, a técnica vem sendo utilizada como uma opção na análise das lajes usuais de edifícios, de acordo com BARBOSA (1992), no processo de aplicação da técnica, deve-se garantir que as rigidezes das barras sejam tais que, ao submeterem-se as duas estruturas a um mesmo carregamento, elas se deformem de maneira idêntica e que os esforços solicitantes em qualquer barra de grelha sejam iguais as resultantes das tensões na seção transversal da parte da laje que a barra representa. Figura Laje Plana Discretizada em uma Grelha (AVELINO, 2000) A resolução do problema é feita através de análise matricial, sendo, portanto, um método de fácil elaboração e resolução rápida, principalmente quando auxiliado por computador. Os efeitos de flexão são os mais importantes para a análise da grelha, entretanto, os efeitos de torção também devem ser considerados. O método consiste em definir a matriz de rigidez da grelha, em função das propriedades das barras, aplicar as cargas nos nós ou transformar os carregamentos nos elementos em cargas nodais equivalentes, e então por análise matricial são

36 22 obtidos os deslocamentos da grelha. Em função dos deslocamentos obtidos são calculados, também matricialmente, os esforços, momentos fletores, momentos torsores e esforços cortantes, nas extremidades das barras da grelha.

37 23 6 ANÁLISE ESTRUTURAL DO PAVIMENTO A escolha de um modelo estrutural para a análise das lajes de um edifício depende, de modo geral, do nível de dificuldades e particularidades que a forma do pavimento apresente. Formas estruturais mais simples podem ser calculadas através de modelos simplificados, porém, formas mais complexas requerem modelos mais refinados de análise. É importante ressaltar que mesmo para análise de formas simples é necessária muita atenção por parte do engenheiro projetista, pois modelos que não contemplem a rigidez relativa entre elementos estruturais podem conduzir a resultados que além de serem imprecisos, sejam inseguros. O presente capítulo apresenta o roteiro de cálculo de um conjunto de lajes de um pavimento tipo de um edifício residencial, o qual contém desde o método simplificado com a utilização de tabelas, até um dos mais refinados atualmente como é o caso dos elementos finitos, que considera de maneira mais precisa a interação entre os elementos estruturais que compõe o pavimento, como também a atuação dos carregamentos. É efetuada ainda a análise através da técnica da analogia de grelha, que apesar de tratar as lajes como barras de uma grelha equivalente, possibilita as mesmas considerações já citadas para o método dos elementos finitos. As análises dos momentos fletores, foram efetuadas considerando-se apenas na direção horizontal para simplicidade de comparação. Figura 6.1 Formas das Lajes do Pavimento Tipo (AUTOR, 2008)

38 Método da Ruptura O cálculo de lajes segue os procedimentos descritos a seguir: 1º verificar os apoios: as duas lajes possuem os quatro lados apoiados. 2º determinar se as lajes serão apoiadas em uma ou duas direções: Lx = 4,00 m e Ly = 5,00 m das duas lajes Portanto λ = 1,25, lajes armadas em duas direções. 3º verificar a situação: as lajes possuem um dos lados menores (Lx) engastados, os outros lados são isolados. Pré-dimensionamento da altura útil: d = 0,671*5,0*(0,028-0,006*4/18) d = 9,00 cm. Determinação da altura total h: h = d c h = h = 12,0 cm Para o cálculo do g 0, utiliza-se a expressão: g o = h * γ c (kn/m 2 ) g o = 0,12 * 25 (kn/m 2 ) g o = 3,00 kn/m 2 Em seguida determina-se o g rev, adotado como 1,20 kn/m 2 Sendo um edifício residencial, o q ac é 1,50 kn/m 2 Portanto a carga total é a soma dos itens anteriores, ou seja, P = g o + g rev + q ac

39 25 P = 5,7 kn/m 2 Com esses dados, é possível calcular os momentos máximos, positivos e negativos. adotando X/M = 1 Figura 6.2 Exemplo de Discretização das Lajes (AUTOR, 2008) Para o cálculo dos momentos utiliza-se as tabelas constantes no anexo A e as equações abaixo: Figura 6.3 Equações para a Determinação dos Momentos das Lajes (RELVAS, 2007) Sendo o menor lado considerado engastado, define-se que as duas lajes são, de acordo com as tabelas de momentos, do tipo 1. Para a utilização das tabelas além do tipo de laje, é necessário o índice λ, que é a relação dos lados da laje, ou seja, Ly/Lx.

40 26 λ = 5/4 λ = 1,25 ; Tem-se portanto mx = 0,052 my = 0,033 xy = 0,033 Das expressões anteriores defini-se: mx = 4,70 kn.m my = 3,00 kn.m xy = 3,00 kn.m 6.2 Método dos Elementos Finitos As duas características principais do método são a subdivisão da estrutura em partes finitas (elementos), interligando-as entre si através de um número discreto de pontos em sua periferia (nós) e a escolha da função que descreve o comportamento interno dessas pequenas partes ou elementos. Esta última constitui a mais fundamental das características, uma vez que o bom ou mau comportamento do elemento é que vai viabilizar ou não o uso do método. O comportamento do elemento é então descrito por uma função ou um conjunto de funções especialmente escolhidas, que permitem analisar como se comportam as tensões e os deslocamentos dentro daquele elemento, quando o mesmo é submetido a determinado tipo de ação. São estas funções que vão indicar a maneira específica de se deformar de cada elemento. Em função do tipo de comportamento assumido sobre cada elemento e das diversas possibilidades que podem ser utilizadas, existem várias alternativas para a formulação de elementos. Essas formulações são normalmente chamadas modelos de elementos finitos.

41 27 Figura Modelação das Lajes do Pavimento Tipo ( AUTOR, 2008) A análise do pavimento tipo do Edifício residencial proposto foi efetuado através do método dos elementos finitos através do software STRAP. Foi processado um modelo com elementos de placa com malha da ordem de 0,50 m x 0,50 m. As propriedades dos materiais utilizada foi concreto com fck de 25 MPa, os carregamentos considerados foram os mesmos apresentados no cálculo pelo método de ruptura no início deste capítulo. Figura Renderização das Lajes do Pavimento tipo ( AUTOR, 2008)

42 28 Figura Gráfico de Momentos das Lajes do Pavimento tipo (AUTOR, 2008) 6.3 Método das Grelhas Diante da variabilidade de formas das lajes e dos diferentes tipos de carregamento, é difícil estabelecer-se ou definir-se uma malha como sendo genericamente a ideal para cada caso. A partir dessa premissa, visando melhores esclarecimentos sobre o uso da técnica, apresentam-se a seguir, algumas considerações para sua correta aplicação neste trabalho. De acordo com indicações de HAMBLY (1976), apresentadas em DUARTE (1998), são válidos os seguintes critérios para lajes retangulares, que devem ser adequados a cada tipo de laje que se deseja modelar: a) As barras da grelha devem estar localizadas em posições pré-determinadas pelo projeto, tais como linhas de apoio ao longo das vigas de extremidade, bem como de outras se existirem, que contenham uma ação específica; b) Em lajes ortótropas, cada barra deve ter no máximo uma largura igual a 1/4 do vão transversal ao seu eixo;

43 29 c) Numa laje ortótropa, na direção de menor inércia, deve-se considerar a largura das barras igual a 40% do vão transversal ao seu eixo. Caso haja dúvidas quanto à isotropia ou ortotropia da laje, deve-se adotar o critério anterior; d) Quanto mais densa a malha, melhores serão os resultados obtidos. No entanto, essa melhora deixa de acontecer quando a largura das barras for menor que duas ou três vezes a espessura da laje; e) No caso de existência de balanços na laje, é necessário colocar-se pelo menos duas barras transversais ao vão em balanço; f) Deve-se colocar uma linha de barras no contorno livre da laje, cuja largura para o cálculo do momento de inércia à torção deve ser diminuída de 0,3 h, por se tratar do ponto por onde passa a resultante das tensões de cisalhamento devidas à torção; g) Nas regiões de grande concentração de esforços, tais como apoios ou cargas concentradas, recomenda-se dispor uma malha cuja largura das barras não seja superior a três ou quatro vezes a espessura da laje; h) Não devem ser considerados os orifícios na laje desde que sua maior dimensão não exceda 3h, sendo h a espessura da laje, a não ser que estejam localizados muito próximos dos pilares. Existindo aberturas maiores, devem ser aplicados os mesmos critérios válidos para as bordas livres. Figura Lajes Modeladas em Barras de Grelhas no TQS ( AUTOR, 2008)

44 30 O momento de inércia à flexão das barras longitudinais e transversais da grelha é calculado considerando que cada barra representa uma largura b de laje igual a distância entre os centros dos vãos adjacentes à barra, com valor dado pela respectiva equação estabelecida pela resistência dos materiais para as seções retangulares (I = b. h 3 / 12). Para o momento de inércia à torção (I T ) é admitido o valor correspondente àquele indicado pela teoria de Saint Venant, de acordo com a fórmula apresentada abaixo, encontrada em TIMOSHENKO (1981). I T = β. b. c 3 sendo b o maior lado da seção, c o menor lado e com β variando em função de uma relação entre os mesmos, de acordo com as indicações abaixo: b/c 1,00 1,50 1,75 2,00 2,50 3,00 4,00 6,00 8,00 10,00 β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333 Outro aspecto importante que merece destaque na aplicação da técnica da analogia de grelha, é a consideração da vinculação dos pilares na grelha equivalente, de modo a avaliar a influência de suas rigidezes no comportamento do pavimento em análise. A análise do pavimento tipo do Edifício residencial proposto foi efetuado pelo método dos elementos finitos de barras através do software TQS e foi adotado deformação plástica do elemento estrutural. Foi processado um modelo com espaçamento entre as barras de 0,50 x 0,50 e os carregamentos e propriedades considerados foram os mesmos das análises anteriores.

45 31 Figura Entrada Gráfica das Lajes no TQS ( AUTOR, 2008) Figura 6.9 Extração dos Momentos Fletores pelo TQS (AUTOR, 2008)

46 32 7 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS ANALISADOS O cálculo com auxílio de tabelas pelo método da ruptura apresentou os menores valores dentre todas as outras análises. Essas diferenças significativas se devem além das simplificações que este modelo admite em sua análise, a saber, da indeformabilidade das vigas de apoio das lajes, dos painéis de laje isolados uns dos outros com aproximações de suas condições de vinculação, porém o motivo principal de tal diferença está no fato de o método da ruptura e o programa TQS considerarem possíveis e corriqueiros erros na execução (verificar figura abaixo) das armaduras negativas o qual desloca para baixo o gráfico dos momentos, os valores máximos dos momentos negativos (ou seja diminuindo-os) e os positivos também deslocados para baixo são aumentados. Figura 7.1 Exemplo do Problema de Execução das Armaduras Negativas (AUTOR, 2008) Os modelos analisados através da técnica da analogia de grelha e do método dos elementos finitos apresentaram resultados um pouco parecidos. Para os momentos fletores negativos, a técnica da analogia de grelha apresentou resultado bastante superior ao do método dos elementos finitos e para os momentos fletores positivos resultados apesar de maiores, da mesma ordem de grandeza. Diante dos resultados

47 33 obtidos dos modelos em análise linear, pôde-se constatar que a técnica da analogia de grelha e o método dos elementos finitos foram os que conduziram a resultados a favor da segurança para as lajes analisadas e que outras formas de pavimentos com características semelhantes às do estudado, dependendo do tipo de carregamento e da forma das estruturas, inviabilizam o uso do cálculo simplificado com tabelas do método da ruptura. Para melhor visualização, seguem abaixo os gráficos correspondentes ao valores obtidos a partir de cada método de cálculo proposto, e dois gráficos comparativos: Figura 7.2 Diagrama de Momentos Fletores a partir do Método da Ruptura ( AUTOR, 2008) Figura Diagrama de Momentos Fletores a partir do M.E.F. ( AUTOR, 2008)

48 34 Figura Diagrama de Momentos Fletores a partir do Método da Analogia de Grelhas ( AUTOR, 2008) Momentos Fletores Negativos (kn.m/m) 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 Ruptura Elem. Finitos Analag. Grelha Figura 7.2- Comparação dos Valores Calculados dos Momentos Fletores Negativos

49 35 (kn.m/m) Momentos Fletores Positivos 4,50 4,00 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 Ruptura Elem. Finitos Analag. Grelha Figura Comparação dos Valores Calculados dos Momentos Fletores Positivos

50 36 8 CONCLUSÕES A escolha de um modelo estrutural para a análise das lajes de um edifício depende, principalmente, do grau de dificuldades que se tenha diante da forma estrutural prevista para uma dada concepção arquitetônica. Formas mais simples podem ser dimensionadas, de modo geral, com análises através de modelos simplificados, ao passo que formas mais complexas, com geometrias mais diversas das tradicionais retangulares, exigem modelos mais refinados de análise. Entretanto, mesmo para formas estruturais relativamente simples, modelos simplificados de análise podem conduzir a resultados muito imprecisos, em função da maneira como são considerados os carregamentos atuantes e da consideração ou não da rigidez relativa entre os elementos estruturais. O pavimento tipo do Edifício residencial, tomado como exemplo nas análises realizadas no trabalho, apresenta uma forma estrutural basicamente simples, com todas as lajes retangulares. Os resultados fornecidos, entretanto, pelos modelos estruturais propostos, foram muito diferentes. Estas diferenças observadas nos três tipos de análise ocorreram devido às considerações simplificadas que alguns admitem, que as vigas são apoios indeslocáveis para as lajes e o cálculo dos painéis de lajes como placas isoladas; porém o grande responsável pelos elevados valores de momentos fletores obtidos pelo software TQS em relação as outras ferramentas foi a redução da inércia à torção das vigas, sendo que ao se considerarmos a inércia a torção normal, os valores resultantes da modelação pelo TQS se assemelharam muito ao do M.E.F. A modelagem das lajes com elementos de placa através do método dos elementos finitos possibilita a apresentação dos resultados através de envoltórias de esforços que permitem uma avaliação mais clara da estrutura do pavimento como um todo. Através dessas envoltórias, é possível perceber mais diretamente possíveis falhas nas rigidezes de algum elemento estrutural.