UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO Avaliando o Uso do Preditor de Smith Filtrado em uma Estratégia de Controle por Realimentação de Estados Aplicada a um Robô Móvel Omnidirecional JESSIVALDO SANTOS JUNIOR Salvador Bahia 2016

2 JESSIVALDO SANTOS JUNIOR Trabalho Final de Graduação em Engenharia de Computação Avaliando o Uso do Preditor de Smith Filtrado em uma Estratégia de Controle por Realimentação de Estados Aplicada a um Robô Móvel Omnidirecional Monografia elaborada pelo acadêmico Jessivaldo Santos Junior como parte das exigências para obtenção do título de Engenheiro de Computação pela Universidade Federal da Bahia, sob orientação do Professor Dr. André Gustavo Scolari Conceição. Salvador Bahia 2016 ii

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4 Dedicatória À todos os que aqui chegam, pois o caminho é árduo. iv

5 Agradecimentos Como não poderia deixar de ser, agradeço primeiramente àqueles que foram fundamentais em minha vida, meus pais! Quanto orgulho em ser filho de vocês. Aos meus irmãos, pela vida que dividimos. Às minhas tias, tios e avós pelo suporte essencial que me dão. E aos meus primos e primas. À todos os professores que ao longo desta graduação me guiaram no caminho da engenharia. Em particular, gostaria de dizer muito obrigado ao Professor André por ter sido meu orientador, desde a minha primeira iniciação cientifica até aqui neste TCC, ao Professor Tito por todo o conhecimento passado em diversas oportunidades, e também aos professores Humberto, PC e Gildemar. Aos meus nobres colegas de curso, membros da Panela Engcomp, GG! Afinal, na vida o que importa é a amizade. Especialmente a Rafael, que para além da amizade, dividiu comigo a carga de tantos projetos ao longo do curso. Aos bons amigos que fiz durante o intercâmbio, fizeram parte de minha graduação, e souberam se fazer presentes em minha vida. À Ana, por ser quem é. Te amo. Mais do que honrado em ter dividido esta jornada com todos vocês! Avante, seguimos. Jessivaldo Santo Junior. v

6 Epígrafe Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. (Pierre de Fermat) vi

7 Resumo Robôs móveis omnidirecionais possuem algumas características que trazem desafios ao projeto de um sistema de controle. Tais robôs apresentam natureza multivariável, não-linearidades, ruídos inerentes aos processos de medição de alguns dados sensoriais como velocidades das rodas e limitações de processamento, principalmente em bases robóticas de menor porte. Este último torna necessário o uso de camadas externas de softwares que inserem atrasos de comunicação à malha de controle. Uma maneira de lidar com o atraso é a utilização de estruturas de predição capazes de calcular a ação de controle com relação ao atraso existente. Neste contexto, o preditor de Smith filtrado surge como uma solução capaz de atuar tanto na compensação do atraso quanto na atenuação de ruído. No presente trabalho, uma estratégia de controle por realimentação de estados baseado em LQR será utilizada em conjunto com o preditor de Smith filtrado para realizar o controle de velocidade do robô móvel omnidirecional em tarefas de seguimento de trajetória. Uma outra abordagem, utilizando o preditor ótimo, também será utilizada para comparar os resultados obtidos com o preditor de Smith filtrado. O sistema de controle será implantado em um software de supervisão executado em um computador com sistema operacional LINUX capaz de se comunicar com o robô por meio de um rede sem fio ZigBee. Palavras-chave: Robô Omnidirecional, Seguimento de Trajetória, Controle de Velocidade, Preditor de Smith Filtrado, LQR. vii

8 Abstract Nonlinear models, measurement noises, and the multivariable nature of Omnidirectional mobile robots turn the design of control systems for such devices in a very interesting and challenging task. Moreover, hardware limitation in small robots makes it necessary to use an external control layer, which adds communication delays to the plant. A well-known technique to control systems with dead time is the Smith predictor. In the present work, a modified version of the Smith predictor, namely filtered Smith predictor, that is capable of performing not only delay compensation but also noise attenuation, will be applied to a LQR based state-feedback control law to perform velocity control of a robot in a path tracking problem. A LINUX computer will run the supervision software that contains the designed controller procedure. In addition, a ZigBee network is used in the communication between the control system and the robot. Keywords: Omni-directional Robot, Path Tracking, velocity Control, Filtered Smith Predictor, LQR. viii

9 Lista de Figuras Figura 1. Estrutura de Compensação de Atraso - Preditor de Smith Filtrado Figura 2. Evolução da postura do robô no tempo Figura 3. Imagem do robô Figura 4. Roda omnidirecional utilizada no robô Figura 5. Geometria e Sistemas de Coordenadas Figura 6. (a) Efeito do Atrito Viscoso; (b) Efeito do Atrito de Coulomb Figura 7. Atrito de Coulomb + atrito viscoso + Stiction Figura 8. Relação entre força de atrito e velocidade - Stiction + Stribeck + Coulomb + Viscoso Figura 9. Ambiente de Supervisão e Controle Figura 10. Módulo de comunicação ZigBee Figura 11. Estrutura do frame de mensagem ZigBee - API Mode Figura 12. Preditor ótimo - Seguimento de referência do tipo Degrau Figura 13. Preditor ótimo - Seguimento de referência do tipo Degrau na presença de ruído Figura 14. Preditor de Smith filtrado - Seguimento de referência do tipo Degrau Figura 15. Preditor de Smith filtrado - Resposta ao degrau na presença de ruído Figura 16. Preditor de Smith filtrado - Comparação da resposta do controlador na presença de ruído para diferentes valores de α Figura 17. Preditor ótimo - Sinais de controle para segmento de referência Figura 18. Atraso de comunicação medido no osciloscópio Figura 19. Atraso de comunicação medido no supervisório Figura 20. Preditor de Smith filtrado - Seguimento de referência do tipo Degrau Figura 21. Seguimento de trajetória Círculo Figura 22. Sinais de controle para o seguimento de trajetória circular Figura 23. Valores de referência versus Velocidades do robô trajetória circular Figura 24. Pose do robô durante o seguimento de trajetória circular Figura 25. Seguimento de trajetória Quadrado Figura 26. Sinais de controle para o seguimento de trajetória quadrática Figura 27. Valores de referência versus Velocidades do robô trajetória quadrática.. 44 Figura 28. Pose do robô durante o seguimento de trajetória quadrática ix

10 Lista de Tabelas Tabela 1. Valores dos parâmetros de modelo do robô omnidirecional x

11 Lista de Siglas LQR: Linear Quadratic Regulator PID: Proporcional Integral Derivativo CC: Corrente Continua PWM: Pulse Width Modulation ROS: Robot Operating System Kbps: Kilobytes per Second bps: Bytes per Second ms: Milissegundos xi

12 Lista de Símbolos v: velocidade linear do robô relativa ao eixo x do robô v n : velocidade linear do robô relativa ao eixo y do robô ω: velocidade angular relativa ao centro de massa do robô i: índice relativo à roda ou ao motor V mi : velocidade escalar da roda i w mi : velocidade angular da roda i r i : raio da roda i n i : relação de redução para o motor i M: massa do robô J: momento de inércia do robô L: raio da base do robô γ: ângulo entre o eixo da roda e o eixo y c G: matriz da cinemática direta do robô R: matriz dos raios das rodas do robô F v : força na direção de v F av : força de atrito à F v F vn : força na direção de v n F : força de atrito à F av n v n Ψ: torque Ψ a : força de atrito ao torque d dt : derivada em relação ao tempo f mi : força produzida pelo torque do motor na roda i T i : torque produzido pelo motor i xii

13 u i : tensão aplicada ao motor i L ai : indutância de armadura do motor i R ai : resistência de armadura do motor i i ai : corrente elétrica na armadura do motor i K vi : constante de força eletromotriz do motor i K ti : constante de torque do motor i F c : força de atrito de Coulomb C v : constante de atrito de Coulomb na direção de v F b : força de atrito viscoso B v : constante de atrito de viscoso na direção de v e: número de Euler F s : coeficiente de atrito estático v s : velocidade de Stribeck δ s : termo de ajuste do modelo de atrito x(t): vetor de estados do modelo u(t): vetor de entrada da representação em espaço de estados do modelo y(t): vetor de saída da representação em espaço de estados do modelo A, B, C, K, G e E(t): matrizes de representação em espaço de estados A d, B d e C d : matrizes de representação em espaço de estados discreto A a, B a e C a : matrizes de representação em espaço de estados para o modelo aumentado J: função custo do controlador LQR Q e R: matrizes de ponderação da função J K LQR : matriz de ganho do controlador de velocidade ξ[k]: vetor de espaço de estados aumentado em tempo discreto Fr[z]: filtro discreto utilizado no preditor de Smith filtrado xiii

14 α: parâmetro de ajuste do filtro do preditor de Smith filtrado Φ: ângulo que define o erro entre a orientação atual e a orientação desejada y ref : posição desejada do robô em y no sistema de coordenadas do mundo x ref : posição desejada do robô em x no sistema de coordenadas do mundo θ ref : ângulo de orientação de referência do robô no sistema de coordenadas do mundo y r : posição atual do robô em y no sistema de coordenadas do mundo x r : posição atual do robô em x no sistema de coordenadas do mundo θ: ângulo de orientação do robô no sistema de coordenadas do mundo v nav : velocidade de navegação do robô e vx : erro de velocidade relativo ao eixo x no sistema de coordenadas do mundo e vy : erro de velocidade relativo ao eixo y no sistema de coordenadas do mundo e w : erro de velocidade relativo ao eixo rotação do centro de massa do robô no sistema de coordenadas do mundo v ref : velocidade de referência relativa ao eixo x do robô v nref : velocidade de referência relativa ao eixo y do robô w ref : velocidade de referência relativa a rotação em torno do centro de massa do robô xiv

15 Sumário Lista de Figuras... ix Lista de Tabelas... x Lista de Siglas... xi Lista de Símbolos... xii 1. Introdução Objetivo Justificativa Estrutura do texto Fundamentação Teórica Controle de Velocidade Controlador LQR Inserção da Ação Integral Compensação de Atraso Preditor Ótimo Preditor de Smith Filtrado Controle de Posição e Seguimento de Trajetória Desenvolvimento Robô Móvel Omnidirecional Modelo Cinemático Modelo Dinâmico Modelo de Atrito Representação em Espaço de Estado Modelo Discreto Ambiente de Desenvolvimento Software de Supervisão e Controle Comunicação xv

16 ZigBee Protocolo de Mensagens Atraso de Comunicação Resultados Sintonia e Simulação Preditor Ótimo Preditor de Smith Filtrado Resultados Experimentais Atraso de Comunicação Seguimento de Referência Seguimento de Trajetória Considerações Finais Referências xvi

17 1. Introdução Ao longo das últimas décadas a robótica vem assumindo um papel de maior destaque na sociedade. Dividindo-se em diversas áreas, a robótica vem sendo aplicada com sucesso na indústria, em ambientes insalubres ou que exijam precisão e repetibilidade; na medicina, em procedimentos cirúrgicos críticos; no mercado do entretenimento, com brinquedos extremamente sofisticados; no lar, auxiliando nos afazeres domésticos etc. Tais aplicações exigem robôs com as mais diversas características. Isto faz da robótica uma área multidisciplinar de pesquisa que, como dito em (Spong, 2006), envolve diversos ramos do conhecimento, como: engenharia elétrica, engenharia mecânica, engenharia industrial, ciência da computação, matemática. Este trabalho versa sobre o que se conhece como robótica móvel, que trata dos robôs dotados de capacidade de locomoção no ambiente. A robótica móvel apresenta problemas específicos, tais quais, mapeamento do ambiente, localização, controle de posição e seguimento de trajetória. Neste contexto, os robôs omnidirecionais recebem uma atenção especial, por serem capazes de movimentar-se em qualquer direção sem a necessidade de reorientação (Barreto et al. 2014), facilitando a execução de manobras, tornando-os escolhas vantajosas para aplicações que exijam que o robô percorra uma trajetória em ambiente com obstáculos e/ou pouco espaço para operação. Devido à baixa capacidade computacional de algumas plataformas robóticas móveis, se faz necessário a utilização de uma camada externa de software responsável pelo processamento de tarefas de mais alto nível como: navegação, planejamento de trajetória, e as rotinas de controle. Deste modo, o hardware do robô dedica-se exclusivamente à aquisição de dados sensoriais e atuação dos motores. Este tipo de arquitetura, contudo, insere atrasos na malha de controle (Araújo et al., 2011), devido a necessidade de comunicação entre o robô e o software responsável pelo cálculo da ação de controle. 1

18 Além da existência de atrasos, a malha de controle também contém ruídos provocados, principalmente, pelo processo de medição das variáveis de estado utilizadas no controle do robô, como, por exemplo, velocidade das rodas. A estas características pode-se adicionar ainda possíveis erros de modelagem e a presença de não-linearidades inerentes aos robôs omnidirecionais, muitas vezes desconsideradas no projeto do controlador. Todos esses fatores exigem uma estratégia de controle robusta capaz de atenuar o ruído, compensar o atraso e suportar erros de modelagem Objetivo Este trabalho trata do desenvolvimento de um sistema de controle aplicado à um robô móvel omnidirecional desenvolvido em (Santos, 2014). O controlador deverá ser capaz de realizar o controle de posição do robô, dado um conjunto de pontos pertencentes a uma determinada trajetória. Para isso será utilizada uma malha de controle em cascata, composta por dois níveis. O nível mais externo trata do controle de posição. A saída desse controlador será a velocidade que precisa ser descrita pela base a fim de se atingir a posição desejada. Esta, então, será utilizada como entrada do nível mais interno, responsável pelo controle de velocidade. O sinal de controle obtido neste nível corresponde ao valor de tensão que deverá ser aplicado aos motores do veículo, a fim de se obter a velocidade desejada. Toda essa estratégia de controle será implantada em uma camada de software externa ao firmware do robô. O foco principal estará no controlador de velocidade, utilizando o modelo do robô omnidirecional proposto em (Conceição et al., 2015), será adotada uma estratégia de controle baseada em realimentação de estados conhecida como Regulador Quadrático Linear, do inglês LQR. Para aumentar a robustez, será empregado, em conjunto ao LQR, o preditor de Smith filtrado, apresentado em (Santos e Normey-Rico, 2010). Com isso busca-se compensar o atraso provocado pela comunicação entre o software de controle e o robô, e, além disso, a atenuação de ruídos existentes na malha de controle, em especial, o ruído de medição. O desempenho do preditor de 2

19 Smith filtrado será comparado com o de uma estratégia clássica de compensação de atraso, o preditor ótimo (Santos e Normey-Rico, 2012) Justificativa Técnicas de controle clássicas, como o PID (Proporcional Integral Derivativo), não apresentam bom desempenho em sistemas com atrasos significantes em sua malha (Willis, 1994), além de não serem adequados para o controle de sistemas multivariáveis com acoplamento significativo (Maciejowski, 2000), razão pela qual este trabalho busca utilizar técnicas avançadas de controle. O uso de um controle por realimentação de estados baseada em LQR, por sua vez, possui custo computacional menor do que o de estratégias de controle preditivas, como, por exemplo, a utilizada em (Araújo et al., 2011), que realizam a otimização de uma função custo a cada período de amostragem para que seja possível obter o sinal de controle da planta. Por fim, o preditor de Smith filtrado que será aplicado em conjunto ao controlador LQR, se justifica pela sua capacidade de atuar no sentido de aumentar a robustez da malha de controle, conforme analisado em (Santos e Normey-Rico, 2012), característica interessante em uma malha sujeita a perturbações causadas por ruídos e atrasos variáveis como é no caso tratado neste trabalho. Além do mais, dispositivos computacionais vêm sendo, cada vez mais, utilizados com o objetivo de controlar algum sistema externo, seja aplicado ao cotidiano das pessoas, como o controle de temperatura de um aparelho de ar-condicionado ou o sistema ABS no controle de freio em veículos automotivos, até aplicações industriais complexas que podem envolver o controle discreto em plantas de manufatura ou o controle de processos em indústrias petroquímicas. Tudo isso compõe um enorme campo de atuação para engenheiros de computação, sendo assim, justificando o aprofundamento no estudo de técnicas de controle e o Trabalho de Conclusão de Curso dedicado ao tema. 3

20 1.3. Estrutura do texto Na seção 2, será apresentada a teoria que fundamenta a estratégia de controle desenvolvida neste trabalho, para realização de tarefas de seguimento de trajetória do robô. A seção 3 trata dos recursos utilizados. Neste caso, o robô e seu modelo matemático, e as ferramentas empregadas na implementação do controlador. A seção 4 discutirá os principais resultados obtidos. Por fim, na seção 5, o leitor encontra as conclusões alcançadas durante o desenvolvimento do trabalho e a partir da análise dos resultados. 4

21 2. Fundamentação Teórica Esta seção tratará dos aspectos teóricos envolvendo os controladores utilizados. Neste trabalho, a tarefa de seguimento de trajetória para um robô móvel omnidirecional foi realizada utilizando uma estratégia de controle em cascata, contendo duas malhas de controle. Ambas as malhas de controle são realimentadas pela saída da planta, sendo que a malha interna é responsável pelo controle de velocidade, enquanto a malha externa realiza o controle de posição do robô, fornecendo a cada instante de amostragem uma nova referência de velocidade para a malha interna Controle de Velocidade A malha interna de controle realiza o controle de velocidade do robô. Para tal, foi utilizada uma técnica de controle por realimentação de estados baseada no Regulador Quadrático Linear, do inglês LQR, em conjunto, utiliza-se também uma estratégia de compensação de atraso. Serão desenvolvidos dois controladores diferentes, o primeiro irá utilizar o preditor ótimo para compensar o atraso, enquanto o segundo fará uso do preditor de Smith Filtrado. Os desempenhos de ambos serão comparados na seção de Resultados Controlador LQR O controlador empregado consiste de um compensador, que utiliza o processo de otimização de uma função de custo quadrática, por meio do LQR, para encontrar a matriz de ganho do sistema. O uso deste tipo de controlador se justifica pela simplicidade de implementação, a qual, consiste apenas de operações algébricas sobre o erro entre o estado atual e o valor desejado de operação. Considera-se, assim, um sistema cujo modelo discreto em espaço de estados é apresentado pela equação: 5

22 { x[k + 1] = A dx[k] + B d u[k], (1) y[k] = C d x[k] sendo x o vetor de estados, u o vetor de entrada e y o vetor de saída do sistema, e A d a matriz de estados, B d a matriz de entrada e C d a matriz de saída da equação, para um sistema no tempo discreto. A lei de controle é definida como: u[k] = K LQR x[k]. Sendo K LQR a solução do problema de minimização da função custo, J, definida por: J = k=0 (x[k] T Qx[k] + u[k] T Ru[k]), (2) sujeita à dinâmica do sistema apresentado em (1). Os termos Q e R são matrizes de ponderação utilizados na sintonia do controlador, permitindo o ajuste do tempo de resposta e da amplitude do sinal de controle, de modo a satisfazer os requisitos do sistema. Q deve ser semi-definida positiva, enquanto R deve ser definida positiva para que seja possível encontrar uma solução para o problema. A principal vantagem do uso do controlador LQR é que o processo de otimização acontece uma única vez, durante a sintonia do controlador. Com isso, reduzimos o custo computacional do cálculo do sinal de controle. Diferentemente, em soluções como a adotada em (Alcântara et al., 2014) onde a otimização da função custo deve ocorrer a cada período de amostragem Inserção da Ação Integral O controle por realimentação de estados baseia-se no modelo matemático da planta que se deseja controlar. Para garantir erro nulo em regime permanente, uma vez que o controlador utilizado fornece apenas um ganho ao sistema, faz-se necessário a 6

23 inserção de um integrador ao modelo utilizado. Um modelo em espaço de estados, como o apresentado em (1), pode ser manipulado de modo que seja feita a inserção de um integrador como se segue. Subtraindo o modelo apresentado em (1) pela equação do modelo atrasado de um período de amostragem, obtém-se: { x[k + 1] x[k] = A d(x[k] x[k 1]) + B d (u[k] u[k 1]). (3) y[k] y[k 1] = C d (x[k] x[k 1]) Equivalentemente, { x[k + 1] x[k] = A d(x[k] x[k 1]) + B d (u[k] u[k 1]). (4) y[k + 1] y[k] = C d (x[k + 1] x[k]) Simplificando as expressões em (4), define-se: x[k + 1] = x[k + 1] x[k]. Fazendo o mesmo para x[k], u[k] e y[k + 1], tem-se: { x[k + 1] = A d x[k] + B d u[k], y[k + 1] = C d x[k + 1]. (5) Podendo, ainda, ser reescrita como: x[k + 1] = A { d x[k] + B d u[k], y[k + 1] = y[k] + C d A d x[k] + C d B d u[k]. (6) Nota-se, a partir da equação (6), que o valor da saída do processo no instante de tempo seguinte, y[k + 1], passa a conter um termo de integração das saídas 7

24 passadas. Por fim, com a definição de um novo vetor de estados, ξ[k] = [ x[k] y[k]] T, é possível obter um modelo aumentando do sistema: { ξ[k + 1] = A aξ[k] + B a u[k], y[k] = C a ξ[k], (7) com A a = [ A d 0 C d A d I ], B a = [ B d ], e C C d B a = [0 I]. (8) d Compensação de Atraso A baixa capacidade computacional de algumas plataformas robóticas, como é o caso do robô omnidirecional, utilizado neste trabalho, que conta apenas com um microcontrolador PIC32, torna-se necessária a utilização de camadas externas de software para implementar o controlador. Entretanto, este tipo de abordagem insere um atraso na malha de controle referente ao tempo gasto na comunicação entre o robô e a plataforma externa na qual encontra-se o controlador. A presença de atrasos é algo bastante crítico, pois reduz a robustez e as margens de fase do sistema (Santos e Normey-Rico, 2012), principalmente na presença de ruídos e com incertezas de medição, como é no caso da robótica móvel. Uma das formas de lidar com o problema do atraso é a utilização de uma estratégia de controle com predição, de modo que seja possível calcular a ação de controle para um instante de tempo posterior ao instante no qual o cálculo é realizado Preditor Ótimo 8

25 Para solucionar o problema do atraso na malha de controle, o preditor ótimo utiliza a seguinte estratégia: na presença de um atraso de d intervalos de amostragem a ação de controle que será tomada no instante k + d é calculada implicitamente no instante k. Isto é possível ao se adicionar no modelo a informação de que a ação de controle atual, u[k], terá efeito apenas d instantes de amostragem a frente. Desta forma, em um sistema com um atraso igual a um período de amostragem, ou d = 1, temos um modelo dado por: { ξ[k + 1] = A aξ[k] + B a u[k 1]. (9) y[k] = C a ξ[k] Seguindo os passos apresentados em (Santos e Normey-Rico, 2012), pode-se reescrever a equação do sistema de modo que o vetor de estados no instante k + 1 possa ser calculado em relação ao instante k, ou seja: ξ[k + 1 k] = A a ξ[k] + B a u[k 1]. (10) A mesma pode ser reescrita de modo a remover o atraso do modelo predito, obtendose a expressão: ξ[k + 2 k] = A a ξ[k + 1 k] + B a u[k]. (11) O incremento ao sinal de controle passa a ser determinado pela seguinte equação: u[k] = K LQR {ξ ref [k + 1] ξ[k + 1 k]}. (12) Dado o exposto, a função custo a ser minimizada passa a ser escrita como: 9

26 J = k=0 (ξ[k + 1 k] T Qξ[k + 1 k] + u[k] T R u[k]). (13) Preditor de Smith Filtrado A utilização do preditor de Smith filtrado aplicado no controle de uma robô omnidirecional, conforme sugerida em (Alcântara et al., 2014), permite aumentar a robustez da malha de controle realizando a atenuação do ruído de medição e compensação de atraso. Figura 1. Estrutura de Compensação de Atraso - Preditor de Smith Filtrado. O diagrama da Figura 1 apresenta a estrutura do preditor de Smith filtrado. Nela podese observar que o mesmo sinal de controle aplicado a planta, neste caso o robô, é utilizado para prever a saída, através do modelo matemático do sistema. O novo vetor de estados, x[k + 1 k], utilizado no cálculo da ação de controle é composto pela saída obtida do modelo adicionada do valor proveniente do filtro passa baixa, Fr[z]. Sendo o filtro definido como: Fr[z] = z(1 α) z α. (14) O sinal filtrado, por sua vez, é composto do ruído de medição, n(t), mais a diferença entre a saída da planta e a saída atrasada do modelo, considerando o atraso nominal 10

27 da malha. Dessa forma, o filtro é capaz de atenuar o ruído de medição e os erros de modelagem do sistema. O termo α presente no filtro é responsável por controlar a seletividade do mesmo. Quanto mais próximo de 1 menor será o efeito dos valores obtidos da saída da planta sobre o cálculo da ação de controle Controle de Posição e Seguimento de Trajetória Considere o problema de seguimento de trajetória para um robô omnidirecional, conforme ilustrado pela Figura 2, onde deseja-se alterar a postura do robô no mundo, realizando o seu deslocamento até um ponto final de referência. Neste cenário, o papel do controlador de posição é encontrar o vetor de velocidade que será capaz de mover o robô na direção desejada. A cada instante de amostragem um novo vetor de velocidade é calculado, e passado como referência ao controlador de velocidade. Figura 2. Evolução da postura do robô no tempo. Para encontrar a velocidade, o controlador define um ângulo Φ, calculado como se segue: Φ = atan2(y ref (k + 1) y r, x ref (k + 1) x r ). (15) 11

28 É definida também uma velocidade de navegação, v nav, que é utilizada, juntamente com o ângulo Φ, no cálculo do erro de velocidade do robô em relação ao sistema de coordenadas do mundo, conforme a equação: e vx v nav cos Φ [ e vy ] = [ v nav sen Φ ]. (16) e w θ ref (k) θ(k) O erro de velocidade é então convertido para o sistema de coordenadas do robô, por meio da matriz de rotação que leva em consideração a orientação θ do mesmo no mundo. O resultado desta operação é o novo vetor de referência que será utilizado pela malha interna de controle, ou seja: v ref (k + 1) cos θ(k) sen θ(k) 0 e vx [ v nref (k + 1) ] = [ sen θ(k) cos θ(k) 0] [ e vy ]. (17) w ref (k + 1) e w Quando o robô atinge a posição de referência, ou uma região de interesse definida ao redor da mesma, o próximo ponto da trajetória é passado como a nova referência do controlador de posição. O processo descrito se repete para a nova posição de referência, até que toda a trajetória tenha sido percorrida. 12

29 3. Desenvolvimento 3.1. Robô Móvel Omnidirecional O robô, mostrado na Figura 3, é uma base robótica omnidirecional de 3 eixos desenvolvida por (Santos, 2014). As rodas estão posicionadas a 120º uma das outras, e são comandadas por motores CC, nos quais, a velocidade de rotação é controlada a partir da variação da tensão aplicada. Para isso utiliza-se a técnica de modulação por comprimento de pulso, do inglês PWM. Figura 3. Imagem do robô. Veículos omnidirecionais são capazes de se deslocar em qualquer direção sem a necessidade de reorientação, graças a utilização de rodas especiais que permitem movimentos transversais ao sentido de giro. Essa habilidade é devida a existências de pequenas roldanas instaladas ao longo da superfície de contato com o solo, conforme pode ser observado em detalhes na Figura 4. 13

30 Figura 4. Roda omnidirecional utilizada no robô. Na próxima subseção, será apresentado o modelo matemático utilizado, bem como sua representação em espaço de estados Modelo Cinemático O estudo da cinemática direta faz uma análise do movimento do robô a partir das velocidades de giro das suas rodas, sem considerar as forças que as produzem (Trindade, 2013). Para descrever o comportamento cinemático do robô, definem-se as velocidades v, v n e ω, observadas na Figura 5. v e v n são, respectivamente, a taxa de deslocamento linear nas direções x c e y c do centro de massa do robô no tempo. ω é a velocidade angular de giro sobre o próprio eixo. Figura 5. Geometria e Sistemas de Coordenadas. 14

31 Através de uma análise geométrica é possível relacionar as velocidades lineares das rodas do robô com v, v n e ω. Sendo V mi, com i = 1,2 e 3, a velocidade de cada roda i, tem-se que: V m1 = v n + ωl, (18) V m2 = v cos γ + v n sen γ + ωl, (19) V m3 = v cos γ + v n sen γ + ωl, (20) com γ igual a 30º. Uma vez que, ω é a componente angular da velocidade do robô, ωl, onde L é o raio da base do robô, representa a velocidade escalar de giro da base. Esta é tangente ao vetor de deslocamento gerado pelo movimento de cada uma das rodas e, com isso, contribui com as velocidades V mi. As outras parcelas que compõem as equações (18), (19) e (20) são encontradas diretamente da análise vetorial entre as componentes. Essas equações representam a cinemática inversa do robô, e podem ser manipuladas de modo a encontramos o modelo direto, como se segue. Definindo-se, 0 1 L G 1 = [ cos γ sen γ L], (21) cos γ sen γ L sendo 15

32 V m1 v [ V m2 ] = G 1 [ v nω ]. (22) V m3 Assim, encontra-se o modelo cinemático direto escrito de forma matricial como sendo: V m1 v [ v nω ] = G [ V m2 ]. (23) V m3 As velocidades V mi podem ser definidas em função da velocidade de giro da roda, w mi, ou seja: V mi = r i n i w mi, (24) para o qual, r i é o raio da roda i, e n i é a relação de redução do motor, também referente à roda i. A partir disso, o modelo cinemático passa, então, a ser definido como: w m1 v [ v nω ] = GRN 1 [ w m2 ], (25) w m3 sendo, R = [ r r r 3 ], (26) 16

33 n N = [ 0 n 2 0 ]. (27) 0 0 n Modelo Dinâmico No modelo dinâmico busca-se representar matematicamente a relação entre a cinemática do robô e as forças atuantes no mesmo. Essas forças são causadoras das velocidades descritas no modelo cinemático. Aplicando a segunda lei de Newton, ao sistema representado pela Figura 5, obtêm-se as seguintes equações: dv(t) dt dv n (t) dt dω(t) dt M = F v (t) F av (t), (28) M = F vn (t) F av (t), (29) n J = Ψ(t) Ψ a (t), (30) sendo, M a massa do robô, e J o seu momento de inércia. F v e F vn correspondem as forças que atuam sobre o robô nas direções de v, v n. Ψ é o torque em relação ao eixo de rotação que passa pelo centro de massa do veículo. Através de composições vetoriais, F v F vn e Ψ podem ser escritos em termos das forças f mi em cada uma das rodas, como: F v = f m2 cos γ f m3 cos γ, (31) F vn = f m1 + f m2 sen γ + f m3 sen γ, (32) Ψ = f m1 L + f m2 L + f m3 L. (33) 17

34 As rodas são movidas pela ação de motores CC que produzem o torque necessário para tal. A relação entre o torque T i, gerado por cada motor, e a força aplicada pela roda é descrita por: f mi = T i r i, i = 1,2,3, (34) na qual r i é o raio da roda i. O torque gerado em cada motor surge a partir da aplicação de uma tensão nos terminais de entrada do mesmo. A dinâmica de um motor CC pode ser descrita pelas equações: di ai (t) u i (t) = L ai + R ai i ai (t) + K vi w mi (t), (35) dt T i = n i K ti i ai (t), i = 1,2,3. (36) A tensão aplicada ao motor é dada por u i. L ai é a indutância, R ai é a resistência de armadura do motor e i ai é a corrente de armadura. As constantes de força eletromotriz e de torque são representadas por K vi e K ti, respectivamente. Desprezando o efeito da indutância de armadura do motor, uma vez que L ai é muito menor que R ai (vide Tabela 1) e realizando algumas manipulações e substituições, a partir das equações (35) e (36), é possível reescrever (34) em termos da velocidade angular da roda e da tensão aplicada ao motor, para cada motor i, como se segue: f mi = n ik ti r i R ai k vi w mi + n ik ti r i R ai u i. (37) Modelo de Atrito A análise do atrito é de fundamental importância em aplicações de robótica móvel. Sua negligência pode causar problemas de estabilidade no controlador, e erros no 18

35 seguimento de trajetória (Canudas de Wit et al., 1995). Um modelo de atrito aplicado à base robótica utilizada neste trabalho foi proposto em (Conceição et al., 2015). Nas equações (28), (29) e (30), respectivamente, F av, F e Ψ av n a representam as forças contrarias ao movimento do robô. Estas surgem em oposição a F v, F vn, e Ψ, nesta ordem, e são compostas pelos atrito de Coulomb, atrito viscoso, Stiction, ou atrito estático, e pelo efeito Stribeck. O atrito de Coulomb (Figura 6 (b)) é contrário ao sentido de deslocamento, ou seja, surge em oposição a força tangente aplicada pelas rodas à superfície. Seu valor é proporcional à carga normal (Sanca, 2006) e pode variar com a rugosidade da região de contato, o que pode ser observado em (Conceição et al., 2015). A sua expressão matemática é dada por: F c = C v sgn(v), (38) onde C v é o coeficiente de atrito de Coulomb para a velocidade v, e a função sgn é definida como: 1, para x > 0 sgn(x) = { 0, para x = 0. (39) 1, para x < 0 O atrito viscoso é devido ao deslocamento (deslizamento) do corpo sobre a superfície com a qual mantém contato, possuindo uma relação linear com a velocidade. Esta correspondência pode ser observada na Figura 6 (a), e sua expressão é dada por: F b = B v v(t), (40) com B v sendo o coeficiente de atrito viscoso para a velocidade v de deslocamento em uma determinada direção. 19

36 Figura 6. (a) Efeito do Atrito Viscoso; (b) Efeito do Atrito de Coulomb. Tanto o atrito de Coulomb quanto o atrito viscoso descrevem o comportamento das forças de oposição ao movimento para v > 0. A atuação dessas forças para a situação de repouso é descrita pelo Stiction. Representado por uma força F s, é caracterizado por ser o valor mínimo de força que se deve aplicar a um corpo para que este entre em movimento. O modulo de F s é maior que o nível de Coulomb o que gera uma descontinuidade no modelo de atrito, como visto na Figura 7. Figura 7. Atrito de Coulomb + atrito viscoso + Stiction. O efeito Stribeck trata exatamente dessa descontinuidade, considerando que o decrescimento da força de atrito, ao sair do repouso, não é imediato, mas dependente da velocidade (Sanca, 2006). A equação final para a força de atrito atuando sobre um corpo, quando este sai do repouso, é dada por: 20

37 F a = F b + C v sgn(v) + (F s C v )e v v s δ s sgn(v), (41) sendo v s a velocidade de Stribeck, e δ s um termo escolhido de acordo a aplicação (Canudas de Wit and Tsiotras, 1999). A relação final entre força de atrito e velocidade, quando se considera todos os fenômenos descrito pelo modelo, pode ser observada na Figura 8. Figura 8. Relação entre força de atrito e velocidade - Stiction + Stribeck + Coulomb + Viscoso. Utilizando a equação (41), é possível reescrever cada uma das forças de atrito, apresentadas no modelo dinâmico do robô, equações (28) a (30), como sendo: δsv F av (t) = B v v(t) + [C v + (F sv C v )e v(t) vsv ] sign(v(t)), (42) δsvn F (t) = B av n v n v n (t) + [C vn + (F C sv n v) e vn(t) vsvn ] sign(v n (t)), (43) Ψ a (t) = B ω ω(t) + [C ω + (F sω C ω )e ω(t) vsω δsω ] sign(ω(t)). (44) 21

38 Representação em Espaço de Estado Para representar o robô utilizando o modelo em espaço de estados, foram escolhidas como variáveis de estado as velocidades definidas através da equação (25) no modelo cinemático, que são também o objeto de controle e, portanto, as variáveis de saída do sistema. A entrada é dada pela tensão aplicada no terminal dos motores em cada uma das rodas. Assim, é possível mostrar que após algumas poucas manipulações algébricas e substituições entre as equações (25), (28) a (30), (31) a (33), (37) e (42) a (44) é possível chegar ao resultado matricial abaixo: dx(t) { dt = Ax(t) + Bu(t) + [K + GE(t)]sign(x(t)). (45) y(t) = Cx(t) Os vetores x(t), y(t) e u(t) são, nesta ordem, o vetor de variáveis de estado, o vetor de saída, e o vetor de entrada para o modelo em espaço de estados. Estes são definidos por: u(t) = [u 1 (t) u 2 (t) u 3 (t)] T, (46) x(t) = y(t) = [v(t) v n (t) ω(t)] T. (47) As matrizes A, B, C, K, G e E(t) são definidas como: A = [ 3l2 2 K t B v 2r 2 MR a M 0 3l2 K t B vn 2r 2 MR a M 0 0 3l2 K t 2 2r 2 JR a B ω J ] 0, (48) 22

39 B = lk t 0 1 rr a M b [ J 3 2M 1 2M b J 3 2M 1 2M b J ], (49) C = [ 0 1 0], (50) K = [ C v M C vn 0, (51) M 0 0 C ω J ] G = [ F s v +C v M F s vn +C vn M F s ω +C ω J ], e (52) E(t) = [ δsv e V(t) vsv δsvn 0 e Vn(t) vsvn e ω(t) vsω 0 δsω ]. (53) As não linearidades do modelo, causadas pelo atrito, e utilizadas na equação (45) serão ignoradas para o projeto do controlador, uma vez que seus efeitos se tornam críticos, apenas, em aplicações que trabalham com velocidades muito baixas, próximas a zero, o que não é o caso neste trabalho. Assim, o modelo em espaço de estados passa a ser dado por: dx(t) { dt = Ax(t) + Bu(t). (54) y(t) = Cx(t) 23

40 Os valores das constantes foram retirados de (Conceição et al., 2015), e encontramse na Tabela 1. Vale ressaltar que, pelo fato de tais constantes serem iguais para todos os motores e rodas, o sub índice i foi omitido. Tabela 1. Valores dos parâmetros de modelo do robô omnidirecional B v (N/m/s) Atrito viscoso para v 0,7 B vn (N/m/s) Atrito viscoso para v n 0,7 B w (N/rad/s) Atrito viscoso para ω 0,011 C v (N) Atrito de Coulomb para v 0,28 C vn (N) Atrito de Coulomb para v n 0,14 C w (N.m) Atrito de Coulomb para ω 0,0086 M (kg) Massa do robô 1,551 L (m) Raio do robô 0,1 J (kg.m 2 ) Momento de inercia do robô 0,0062 r (m) Raio das rodas 0,0505 n Redução dos motores 19 L a (H) Indutância de armadura 0,00011 R a (Ω) Resistência de armadura 1,69 K v (volts/rad/s) Constante E.M.F. 0,0059 K t (N.m/A) Constante de torque 0, Modelo Discreto Já que o controlador proposto será implementado via software, é preciso discretizar o modelo continuo apresentado em (54). Utilizando uma taxa de amostragem de 50ms e considerando a existência de um segurador de Ordem Zero, uma vez que o sinal de controle aplicado se mantém fixo até o próximo período de amostragem, obtém-se um modelo discreto para o sistema, conforme aquele apresentado em (1). Desta maneira, considerando-se os dados apresentados na Tabela 1, as matrizes do modelo discreto em espaço de estado para o robô são: 24

41 A d = [ ], (55) B d = [ ], e (56) C d = [ 0 1 0]. (57) Ambiente de Desenvolvimento O controlador foi implantado em uma plataforma de software previamente desenvolvida no Laboratório de Robótica do Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade Federal da Bahia. Esta plataforma roda em ambiente LINUX e fornece uma interface de operação que permite escolher as ações que serão tomadas junto ao robô, como, por exemplo, configurar o valor do PWM enviado as rodas. Além disso, oferece um módulo de comunicação que permite gerenciar e armazenar as mensagens enviadas e recebidas. Na sequência, serão apresentados mais detalhes sobre o software, bem como, sobre o protocolo de comunicação utilizado para a troca de mensagens entre o controlador e o robô Software de Supervisão e Controle O software foi desenvolvido em C++, utilizando um framework para aplicações robóticas, o ROS, do inglês Robot Operating System. Apesar do que o nome possa sugerir, trata-se de um meta sistema operacional, open-source, que oferece um conjunto de ferramentas bibliotecas que visam facilitar o trabalho de desenvolvimento de aplicações voltadas para a robótica, fornecendo serviços que abstraem tarefas como: troca de mensagens, localização e mapeamento, e planejamento de trajetórias (Open Source Robotics Foundation, 2015). 25

42 A Figura 9 mostra a tela do software de supervisão utilizado. Na parte esquerda da imagem, vê-se a janela de historico do sistema, por meio da qual, pode-se acompanhar as informações sensoriais do robô, variáveis de controle, e dados odométricos, bem como salvar os valores obtidos para posterior análise. Já na outra parte da imagem tem-se a janela principal, onde é possível escolher o modo de controle e de realizar o ajuste de parâmetros. Figura 9. Ambiente de Supervisão e Controle. No modo PID, o software informa ao robô que o controle de velocidade de suas rodas será realizado através dos seus PIDs internos (um PID para cada roda, embutidos no firmware do robô). Nesta mesma tela, o usuário é capaz de enviar novos valores de referência para o controlador, e, também, alterar os parâmetros de ajuste do PID para cada uma das rodas. No modo PWM, as rodas são acionadas diretamente, através do ajuste de seus PWMs. O usuário precisa informar o valor de tensão a ser aplicado em cada motor, entre -6V e 6V. Por fim, no modo Auto, o software de supervisão executa a rotina de controle desenvolvida neste trabalho. Esta rotina utiliza as informações sensoriais provenientes da comunicação com o robô, mais precisamente, os valores de velocidade das rodas, obtidos a partir de encoders instalados nas mesmas para obter as velocidades v, v n e ω, e, aplicando a 26

43 técnica da odometria, estima a pose do robô num dado instante. Nela, ainda, estão implementados os controladores de posição e velocidade, conforme definidos no item 2 (Fundamentação Teórica). O controlador de posição utiliza a informação odométrica para calcular os novos valores de referências que serão passados ao controlador de velocidade. Este, por sua vez, calcula os novos valores de tensão que devem ser aplicados aos motores para se obter as velocidades desejadas. Após isso, os valores de tensão são convertidos em termos dos PWMs utilizados no acionamento dos motores e então enviados ao robô. Os pontos relacionados à trajetória a ser seguida são definidos previamente em código, e ficam armazenados em um vetor que é então utilizado como um vetor de referências pelo controlador de posição. A cada novo ponto alcançado o controlador passa a adotar o próximo elemento do vetor como a referência a ser seguida Comunicação Para permitir o transito de informações e comandos entre robô e supervisório, foi utilizado um meio de transmissão sem-fio, possibilitando maior mobilidade e autonomia ao robô. O padrão escolhido por (Santos, 2014) para estabelecer o link de comunicação será discutido no próximo sub tópico ZigBee A rede ZigBee é um protocolo de comunicação sem-fio, de baixo custo e com baixas taxas de transferência, 250 Kbps, voltado para aplicações de controle e monitoramento. O protocolo é mantido pela ZigBee Alliance, uma comunidade constituída por mais de 400 membros, dentre os quais grandes multinacionais e universidades. Baseado no padrão IEEE , que define as camadas física e a camada de controle e acesso ao meio, o ZigBee define a camada de rede, permitindo topologias em malha, estrela, ou árvore, e a camada de suporte à aplicação, 27

44 responsável por rotear as mensagens e manter a comunicação entre dois dispositivos presentes na rede. A camada de aplicação não é definida pelo protocolo, e fica por conta do usuário, que neste caso, refere-se aos fabricantes de módulos de comunicação e dispositivos que implantam o ZigBee. O protocolo define, ainda, diferentes papeis que podem ser assumidos pelos dispositivos. Estes podem ser: coordinator responsável por iniciar a rede ZigBee, determinando o seu ID e o canal de operação. Além de realizar a inserção de novos dispositivos na rede e rotear mensagens; router capaz de autorizar a entrada de novos dispositivos na rede e rotear mensagens; end device incapaz de realizar qualquer tarefa administrativa na rede. Serve, apenas, como dispositivo final (sensor ou atuador), recebendo e enviando mensagens. Neste trabalho, utilizou-se o módulo de comunicação Xbee, fabricado pela Digi International, e mostrado na Figura 10. O Xbee fornece uma interface de comunicação serial, UART, por meio da qual pode ser conectado a um microcontrolador, ou a um computador. A porta UART permite ao módulo receber as mensagens que serão então transmitidas, sem-fio, a um outro dispositivo ZigBee em sua rede, bem como entregar as mensagens recebidas através da rede ao equipamento com o qual está conectado. 28

45 Figura 10. Módulo de comunicação ZigBee. A configuração do módulo de comunicação é realizada por meio de uma ferramenta de software fornecida pelo fabricante. Através dela é possível ajustar parâmetros como: (I) taxa de envio UART; (II) modo de operação, que pode ser: modo transparente, onde qualquer mensagem recebida através da porta serial é enviada ao dispositivo destino, também, configurado previamente via software, ou modo API, onde a aplicação precisa encapsular a mensagem em um frame específico, mostrado na Figura 11, para que esta seja considerada válida e, então, enviada ao destino final. Outras configurações possíveis estão relacionadas com criptografia de mensagens, endereço de rede, topologia de rede, etc., e não serão abordadas neste trabalho, uma vez que a topologia utilizada é bastante simples. Trata-se apenas de uma comunicação ponto-a-ponto entre o robô e supervisório. Figura 11. Estrutura do frame de mensagem ZigBee - API Mode. Nesse contexto, dois módulos Xbee são empregados na comunicação entre o robô e o supervisório. Ambos se comunicam, através da porta serial com o microcontrolador, responsável pelo controle do robô, e com o computador, no qual, o supervisório encontra-se em execução. A taxa de envio serial foi determinada em bps com o intuito de minimizar a latência na comunicação. O módulo 29

46 conectado ao robô é um End Device, e o módulo conectado ao computador é o coordenador de rede. Outro detalhe importante é que os dispositivos foram configurados para operar no modo API, sendo o formato das mensagens especificado no sub tópico a seguir Protocolo de Mensagens A troca de mensagens entre o robô e o software de supervisão segue um protocolo estabelecido por (Santos, 2014). Neste protocolo o primeiro byte do campo reservado a mensagem (cmddata, na Figura 11), no frame de comunicação, serve para informar o tipo de comando ou informação que está sendo enviado. Sendo que os tipos possíveis de mensagens definidos são: 0x01h Envio das leituras dos sensores: Este comando é utilizado unicamente pelo firmware do robô nas mensagens enviadas ao supervisório, contendo as informações sensoriais do robô; 0x02h Atuação direta sobre o sinal de tensão aplicado aos motores: Utilizado pelo supervisório, este comando informa ao firmware do robô que ele deverá atuar diretamente sobre a tensão aplicada no motor, a partir da alteração do duty cycle do PWM, de acordo com os valores informados na mensagem; 0x03h Configuração dos parâmetros do controlador PID: Ao enviar uma mensagem com este comando, o supervisório informa ao robô novos parâmetros para o controlador interno de velocidade, um PID digital para cada roda, implantado no firmware; 0x04h Envio das referências de velocidades para cada motor: Ao enviar uma mensagem com este comando, o supervisório informa ao robô que o controle de velocidade das rodas deverá ser feito através do seu controlador interno, um PID implantado no firmware. A mensagem deverá conter os valores de referência de velocidade do controlador. 30

47 Neste trabalho, são utilizados apenas os comandos 0x01h e 0x02h. A cada instante de controle é enviada ao robô uma mensagem, utilizando comando 0x02h, contendo o novo sinal de tensão, calculado pelo controlador e que será aplicado ao motor. Em seguida, realiza-se também a leitura da última mensagem enviada pelo robô, comando 0x01h, contendo as informações sensoriais do seu estado mais atual. Informações mais detalhadas acerca do formato das mensagens, e dos parâmetros enviados em cada uma delas, em relação a cada um dos comandos apresentados, podem ser encontradas no trabalho de (Santos, 2014) Atraso de Comunicação Para manter o sincronismo entre as mensagens trocadas entre robô e supervisório, determinou-se que a base de tempo deveria ser implantada no computador, utilizando os recursos de criação de tarefas periódicas do ROS. Deste modo, configurou-se o ROS para executar a tarefa de controle em ciclos de 50ms, atendendo a taxa de amostragem definida. A cada execução, após calcular os novos sinais de controle, o sistema envia uma mensagem contendo os valores de duty cycle do PWM dos motores. Em resposta a esta mensagem o robô envia ao supervisório suas informações sensoriais, contendo seu estado naquele instante. Entretanto, estes dados serão utilizados pelo controlador, apenas, no próximo ciclo de execução. Com isso, foi previsto um atraso teórico de 50ms para o sistema, equivalente a um período de amostragem. Contudo, os testes práticos mostraram que o supervisório não é capaz de atender o deadline da tarefa de controle, causando um atraso variável na planta de controle. Uma das razões identificadas foi a baixa latência da rede zigbee e o fato das operações de leitura da porta serial serem realizadas dentro do ciclo de execução da rotina do controlador, que acaba não sendo finalizado dentro da janela do período de amostragem definido. 31

48 4. Resultados 4.1. Sintonia e Simulação Para realizar a sintonia do controlador, utilizou-se o software MATLAB, uma plataforma computacional de alto nível que fornece recursos matemáticos, fundamentais ao projeto e análise de diversas disciplinas relacionadas às ciências e engenharias, dentre as quais sistemas de controle. Por meio dele, foi possível resolver o problema de otimização apresentado na fundamentação teórica, encontrando a matriz de ganho do controlador. Foram utilizados diferentes valores de Q e R, afim de se obter uma resposta com o menor tempo de acomodação, respeitando os limites de saturação do atuador para a amplitude do sinal de controle. A simulação do sistema, por meio das ferramentas do MATLAB, mostrou que tanto para o uso do preditor ótimo, quanto para o preditor de Smith filtrado os melhores valores encontrados para as matrizes de ponderação são: Q = [ ] e R = [ 0 1 0]. (58) A simulação também foi utilizada para avaliar o desempenho dos preditores na presença de ruídos na malha de controle. Para o caso do preditor de Smith filtrado, também se avaliou o comportamento do controlador para diferentes valores de alfa no filtro. Ademais, vale salientar que durante as simulações utilizou-se o modelo nãolinear do robô apresentado na equação 45. Nas duas próximas subseções serão apresentados os principais resultados obtidos com o uso do preditor ótimo e do preditor de Smith filtrado para o segmento de referência Preditor Ótimo 32

49 Figura 12. Preditor ótimo - Seguimento de referência do tipo Degrau. A Figura 12 exibe a resposta ao degrau do controlador de velocidade para a entrada x ref = [0,5 0,5 0] T. Os resultados obtidos mostram a capacidade do preditor ótimo em realizar a compensação de atraso e o seguimento de referência. Além disso, manteve o sinal de controle abaixo do limite de saturação que é de ±6V, graças as matrizes de ponderação, Q e R, escolhidas. Apesar dos bons resultados, acima obtidos, ao simular o sistema para a mesma entrada degrau, mas com a adição de um sinal de ruído no ramo de realimentação da malha de controle, o controle LQR com o preditor ótimo não foi capaz de manter o seguimento de referência e nem respeitar os limites de saturação para o sinal de controle, conforme observado na Figura 13. Isso evidencia a sensibilidade deste controlador à presença de ruídos de medição. 33

50 Figura 13. Preditor ótimo - Seguimento de referência do tipo Degrau na presença de ruído Preditor de Smith Filtrado Semelhante ao resultado obtido para o caso com o preditor ótimo, o controle LQR com o preditor de Smith filtrado também foi capaz de realizar o seguimento de referência para a entrada degrau x ref = [0,5 0,5 0] T. Entretanto, comparando a Figura 14 com a Figura 12, é possível notar que o preditor de Smith filtrado é ligeiramente mais eficiente, não apresentando as pequenas oscilações observadas, no caso anterior, para a velocidade angular na saída da planta, cuja referência foi mantida em 0 rad/s, além de ter apresentado um sinal de controle menos ruidoso. Figura 14. Preditor de Smith filtrado - Seguimento de referência do tipo Degrau. 34

51 Ao adicionar o ruído na malha de controle o preditor de Smith filtrado mostra um desempenho melhor do que foi observado com o preditor ótimo. É possível ver, pela Figura 15, que o controlador foi capaz de realizar o seguimento de referência. Ademais, o sinal de controle (Figura 16) se manteve dentro da faixa de operação, exibindo uma resposta parecida aquela observado no caso sem ruído. Figura 15. Preditor de Smith filtrado - Resposta ao degrau na presença de ruído. A existência do filtro é o responsável pelos resultados obtidos com o preditor de Smith filtrado. Pois, garante a atenuação de ruídos de alta frequência no ramo de realimentação, característica inexistente no controle realizado utilizando o preditor ótimo. Como dito anteriormente, a seletividade desse filtro é ajustada pelo termo α (ver equação (14)). Assim foram testados a resposta do controlador para diferentes valores de α. A Figura 16 mostra o sinal de controle para α = 0,85 e α = 0,9, na presença de ruído. 35

52 Figura 16. Preditor de Smith filtrado - Comparação da resposta do controlador na presença de ruído para diferentes valores de α. O sinal de controle observado na Figura 16 (b) possui menos variações que o sinal observado na Figura 16 (a). Uma vez que o maior valor de α no segundo caso provocou maior atenuação do ruído. Por essa razão o valor de α = 0,9 será utilizado na rotina de controle implementada no supervisório, sendo, então, o valor utilizado nos experimentos realizados com a base robótica Resultados Experimentais Seguindo os resultados obtidos na seção anterior, o sistema de controle implementado foi posto em teste com o objetivo de realizar o seguimento de referência, e também o seguimento de trajetórias pré-determinadas. Nestes testes, foi empregado apenas o preditor de Smith filtrado, tendo em vista que o controle de velocidade utilizando o preditor ótimo mostrou-se instável na prática. A Figura 17 mostra o gráfico do sinal de controle obtido ao se tentar utilizar o controlador com o preditor ótimo para seguimento de referência de um degrau x ref = [0,5 0 0] T. Tal comportamento evidencia a baixa robustez do preditor ótimo na presença de ruído, vide os resultados obtidos durante a simulação, nos quais o sinal de controle extrapolava os limites de saturação do atuador; e também na presença de atraso variável, existente na malha de controle e que será discutido na sequência. 36

53 Figura 17. Preditor ótimo - Sinais de controle para segmento de referência Atraso de Comunicação Figura 18. Atraso de comunicação medido no osciloscópio. A Figura 18 é uma captura de tela do osciloscópio que foi conectado aos pinos RX e TX do módulo de comunicação do supervisório. Nela, a onda azul corresponde à mensagem de controle enviada pelo supervisório ao robô, contendo os sinais de controle, enquanto a onda amarela mostra a mensagem enviada em resposta pelo robô, contendo os dados sensoriais. Analisando a imagem percebe-se que a 37

54 mensagem é enviada pelo robô imediatamente após o recebimento dos valores de controle vindos do supervisório, entretanto, os intervalos entre os ciclos de comunicação ultrapassam o intervalo de 50ms. Na Figura 19, é mostrado um gráfico do atraso de comunicação medido pelo supervisório, sendo possível observar em maior detalhe os valores do atraso a cada instante de controle. Figura 19. Atraso de comunicação medido no supervisório. Nota-se, assim que, não foi possível garantir o atraso nominal de 50ms considerado na fase de projeto do controlador. Verificou-se ainda que o tempo gasto no processamento do sinal de controle ficou abaixo de 1ms, mostrando que o processo de leitura e envio dos dados é o grande responsável pelos atrasos observados. O atraso observado na malha de controle ficou oscilando em torno de 60ms. O não atendimento dos requisitos de tempo podem ser atribuídos ao fato do sistema supervisório ser executado em um computador com sistema operacional LINUX, o qual, não oferece suporte a tarefas de tempo real, bem como o protocolo de comunicação utilizado na transmissão das mensagens, o Zigbee, que também não possui garantias temporais no envio de dados. Embora sejam indesejáveis, esses problemas ajudam a comprovar a robustez do preditor de Smith filtrado, conforme os resultados mostrados nas subseções e

55 Seguimento de Referência Figura 20. Preditor de Smith filtrado - Seguimento de referência do tipo Degrau. Ao contrário do que foi observado para o preditor ótimo, o controle com o preditor de Smith filtrado foi perfeitamente capaz de realizar a tarefa de segmento de referência para uma entrada do tipo degrau. A Figura 20 exibe os gráficos de velocidade e de controle para uma entrada degrau x ref = [0,5 0 0] T. O resultado obtido é semelhante àquele observado durante os testes de simulação e validam o uso do controlador com o preditor de Smith para os testes de seguimento de trajetória, cujos resultados serão apresentados em sequência Seguimento de Trajetória Para testar a eficácia da malha de controle foram realizados experimentos de seguimento de trajetória. O gráfico exibido na Figura 21 mostra o percurso realizado pelo robô para uma trajetória circular de 1 metro de raio. Nela pode-se ver que este foi capaz de realizar corretamente a tarefa determinada. Com isso, confirma-se os resultados obtidos durante a simulação para o uso do preditor de Smith filtrado. O controlador interno de velocidade apresentou imunidade aos ruídos de medição, causados pelos encoders. Assim como, foi capaz de compensar o atraso de comunicação que, conforme discutido anteriormente, mostrou-se pior do que o 39

56 esperado, sendo maior do que o especifica durante a fase de projeto e apresentando, inclusive, variação ao longo do tempo. Figura 21. Seguimento de trajetória Círculo. Do mesmo modo, os resultados obtidos em relação ao sinal de controle são bastante satisfatórios. Nota-se através da Figura 22 que durante todo o experimento a tensão em nenhum dos motores foi maior do que ±2 volts, bem abaixo do limite de saturação que é ±6 volts o que, além de economizar energia das baterias do robô, exige menos dos motores aumentando a vida útil dos mesmos. Figura 22. Sinais de controle para o seguimento de trajetória circular. 40

57 Na Figura 23, têm-se os gráficos dos sinais de velocidades de referência, determinados pelo controlador de posição, em comparação com os valores obtidos a partir das leituras dos encoders dos motores. Para v, v n os valores lidos seguem o gráfico das velocidades de referências. A velocidade angular, ω, contudo, apresenta uma resposta significativamente diferente dos valores de referência. Tal fato pode ser atribuído a erros de modelagem, principalmente, no que se refere a parâmetros como momento de inercia do robô e coeficiente de atrito viscoso, B w, uma vez que foram observadas pequenas divergências entre o valor da massa do robô apresentado na Tabela 1, e utilizado na obtenção dos parâmetros, e o valor da massa do robô utilizado. Figura 23. Valores de referência versus Velocidades do robô trajetória circular. Apesar disso, o erro existente no controle da velocidade ω não afeta significativamente o seguimento de trajetória, dado que o robô utilizado é um veículo omnidirecional capaz de realizar movimentos rotacionais simultaneamente a movimentos translacionais. Conforme visto nos gráficos da Figura 24, que mostra a pose do robô durante a realização do trajeto da Figura 21, apesar da trajetória especificada determinar uma orientação fixa de 0 rad, durante todo o percurso, observa-se oscilações que variam entre 0,5 rad e 0,5 rad. Já em relação a posição em X e Y a pose evolui conforme esperado. 41

58 Figura 24. Pose do robô durante o seguimento de trajetória circular. Além da trajetória circular, o controlador também foi testado para o seguimento de uma trajetória retangular, com dimensões de 1 metro de comprimento em cada um dos lados. Este tipo de trajetória contém mudanças abruptas de direção com ângulos de 90º, exigindo mais do controlador. O resultado obtido, exibido na Figura 25, mostra que o robô foi capaz de realizar a tarefa com sucesso, apesar de exibir um desempenho inferior em relação àquele da Figura 21. Isto é notado devido a maior oscilação em torno da referência desejada. Figura 25. Seguimento de trajetória Quadrado. 42