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1 Natal RN, 2 a 28 de outubro de 2 CONTROLE PREDITIVO COM COMPENSAÇÃO DE ATRITO ESTÁTICO E DINÂMICO PARA UM ROBÔ MÓVEL OMNIDIRECIONAL DE TRÊS RODAS Judson Soares da Silva Carlos Eduardo Trabuco Dórea André G. Scolari Conceição UFRN - CT - DCA Natal, RN, Brasil LaR-Robotics Lab., DEE, UFBA, Salvador, Brasil judsonsoaress@gmail.com, cetdorea@dca.ufrn.br, andre.gustavo@ufba.br Abstract A Model Predictive Control MPC) scheme is proposed to control the trajectory of a threewheled omnidirectional mobile robot, with compensation of static and dynamic friction forces. Viscous, Coulomb and stiction) static frictions and Stribeck effects are considered. A linearizing feedback is used for friction compensation. Linear MPC with constraints is then designed to control the robot linear and angular velocities. The velocity reference inputs are sent to the controller by a trajectory planner which is based on the robot inverse kinematics. Simulation results illustrate the improvements on trajectory control due to the use of a richer friction model. Keywords Mobile robots, Friction, Model Predictive Control, Trajectory Control, Modeling. Resumo Neste trabalho é proposto um esquema de controle preditivo para controle da trajetória de um robô móvel omnidirecional de três rodas, com compensação dos efeitos de forças de atrito estático e dinâmico. São considerados: atrito viscoso, atrito de Coulomb, atrito estático stiction) e o efeito Stribeck. Uma ação de realimentação linearizante é usada para a compensação de atrito. Um controlador preditivo linear com restrições é então projetado para o controle das velocidades linares e angulares do robô. Os sinais de referência de velocidade para este controlador são fornecidos por um planejador de trajetórias baseado na cinemática inversa. Resultados de simulação ilustram a melhoria no controle de trajetória proporcionada pela uso de um modelo de atrito mais completo. Palavras-chave Robótica Móvel, Atrito, Controle Preditivo, Controle de Trajetória, Modelagem. Introdução Os veículos omnidirecionais possuem um diferencial quando comparados a outros veículos com rodas convencionais por exemplo, os veículos com locomoção diferencial) devido a sua mobilidade, que proporciona movimentos em todas as direções e manobras em espaços reduzidos. A modelagem e o estudo da mobilidade destes veículos são o primeiro passo para o projeto de controladores, principalmente por causa de características nãolineares que podem ser encontradas em sistemas físicos, muitas delas inerentes ao sistema Zhou et al., 2). As não-linearidades podem ser do tipo: saturação, zona morta, backlash ou folga, histerese, entre outras. Nos veículos com rodas acionadas por atuadores elétricos, a não linearidade do tipo zona morta é em geral decorrente das forças de reação causadas pelos componentes do atrito nos eixos de movimento. O atrito é um fenômeno complexo, causado por não linearidades como: agarramento stiction), histerese, efeito Stribeck, escorregamento e viscosidade Olsson et al., 998)Bona and Indri, 2). Todas estas não linearidades são particularmente notadas quando os movimentos são realizados em baixas velocidades, especialmente quando interceptam o zero. Controladores de trajetória que não levam em conta efeitos de atrito tendem, assim, a apresentar desempenho pobre em baixas velocidades. Em Barreto Sb. et al., 24), um esquema de controle preditivo com compensação de atrito foi proposto para o controle de trajetória de um robô móvel omnidirecional de três rodas. Resumidamente, este esquema consistia em: uma realimentação linearizante para compensar o efeito das forças de atrito, um controlador preditivo linear com restrições para o controle de velocidade e um planejador de trajetórias baseado em cinemática inversa para geração das referências de velocidade para o controlador. No entanto, em Barreto Sb. et al., 24) considerou-se um modelo de atrito simplificado, levando em conta apenas as forças de atrito viscoso e de Coulomb. Neste trabalho, propõe-se a extensão da técnica proposta em Barreto Sb. et al., 24), adotando-se um modelo matemático que leva em conta as forças de atritos de Coulomb força constante), viscoso proporcional à velocidade), stiction relacionado a velocidade nula) e o efeito Stribeck transição entre velocidade nula e não nula). Resultados de simulação mostram uma melhoria significativa no controle de trajetória com o uso de um modelo mais completo de atrito. O artigo está organizado da seguinte forma. Na Seção 2, descreve-se o modelo cinemático e dinâmico do robô. O controlador com compensação de atrito é apresentado na Seção 3. Na Seção 4, os resultados de simulação são apresentados e discutidos. As considerações finais são apresentadas na Seção. 624

2 2 Modelo do robô Neste trabalho, um modelo de atrito é utilizado para representar o balanço de forças que atuam no centro de massa do robô. Essa abordagem para robôs móveis omnidirecionais, introduzida por Conceição et al., 29) e expandida por Conceicao et al., 2), considera o modelo de atrito Coulomb + Viscoso, mais a força de atrito estático stiction) e o efeito Stribeck. A força de atrito resultante em função da velocidade é representada na Figura. Figura : Atrito de Coulomb + Viscoso + Stiction + Stribeck. 2. Modelo Cinemático mundo no sistema de coordenadas do robô e viceversa: cosθt)) sinθt)) R o θt)) = sinθt)) cosθt)) 2) A pose do robô é representada pelo vetor x r t) y r t) θt)] T que descreve a posição do robô no sistema de coordenadas do mundo e a diferença angular entre os sistemas de coordenadas. As componentes ortogonais vt) e v n t) de velocidade linear, e a velocidade angular wt) são representadas pelo vetor vt) v n t) wt)] T. A relação entre as velocidades angular das rodas w mi t), onde i =, 2, 3) e as velocidades do robô vt), v n t), wt)) é dada por: com, vt) v n t) wt) B = = B T ) r l w m t) w m2 t) w m3 t) cos π 6 ) cos π 6 ) sin π 6 ) sin π 6 ) b b b, 3), 4) onde b é a distância entre o centro de massa do robô e as rodas, r o raio das rodas, e l a redução dos motores. 2.2 Modelo Dinâmico Figura 2: Sistemas de Coordenadas e parâmetros. A partir da geometria do robô e dos sistemas de coordenadas mostrados na Figura 2, as equações cinemáticas de movimento podem ser deduzidas como: dx rt) dy rt) dθt) = RT o θt)) vt) v n t) wt) ) onde a matriz ortogonal de rotação R o θt)) é definida para mapear o sistema de coordenadas do As equações que descrevem as forças de tração do centro de massa do robô juntamente com as forças de atrito de Coulomb, Viscoso, agarramento stiction) e o efeito Stribeck podem ser formuladas como ), 6) e 7). F = F v t) F vn t) Γt)] T contém os vetores das forças F v t) e F vn t) no sistema de coordenadas do robô, e Γt) é o momento de inércia ao redor do centro de gravidade do robô ponto P ). M é a massa do robô e J o momento de inércia do robô. B v, B vn e B w são os coeficientes de atrito de Coulomb, C v, C vn e C w são os coeficientes de atrito Viscoso, segundo as direções de v, v n e w respectivamente. O agarramento é uma força denotada por F s = F sv t) F svn t) F sw t)] T, que descreve o atrito em repouso e seu valor é superior ao do nível de Coulomb. Assim, F s equivale à força mínima necessária para iniciar o movimento do robô. Tendo como base as considerações acima, acrescenta-se o efeito Stribeck. Tal fenômeno explica por que, para velocidades baixas, o atrito logo após o início do movimento diminui com o aumento da velocidade e a força de atrito estático não decresce de maneira descontínua, mas sim em função da velocidade Olsson et al., 998). v s é a velocidade Stribeck nas direções v, v n, w v sv, v svn, v sw ) que representa a curva decrescente 62

3 F v t) B v vt) C v + F sv C v ) F vn t) B vn v n t) C vn + F svn C vn ) Γt) B w wt) C w + F sw C w ) e vt) vsv e vnt) vsvn e wt) vsw, α >, sgnα) =, α =,, α <. )] δs sgnvt)) = M dvt), ) )] δs sgnv n t)) = M dv nt), 6) δs )] sgnwt)) = J dwt), 7) após se vencer o agarramento. δ s é o parâmetro que descreve a passagem do atrito estático para o atrito de Coulomb nas direções de v,v n e w δ sv, δ svn, δ sw ), e pode assumir diferentes valores de acordo com a aplicação Canudas de Wit and Tsiotras, 999). A relação entre as forças de tração do robô e as forças de tração das rodas f i =, 2, 3 é dada por: F vt) = cos π 6 )f 2t) f 3 t)), 8) F vn t) = f t) + f 2 t) + f 3 t)) sin π ), 6 9) Γt) = f t) + f 2 t) + f 3 t)] b. ) A força de tração em cada roda i para i =, 2, 3) é dada por: f i t) = T it) r i, ) sendo T i o torque de rotação da roda. A dinâmica de cada motor CC i para i =, 2, 3) pode ser descrita pelas equações: di ai t) u i t) = L ai + R ai i ai t) + k vi w mi t), 2) T i t) = l i K ti i ai t), 3) onde u i são as tensões aplicadas aos motores, L ai são as indutâncias e R ai as resistências de armadura, w mi é a velocidade de rotação dos motores, l i as reduções de cada motor e i ai as correntes de armadura. Métodos de estimação para obter os coeficientes de atritos podem ser encontrados em Conceicao et al., 2). Os parâmetros do modelo usados neste trabalho são apresentados na Tabela. Considerando-se as constantes de tempo da parte elétrica muito inferiores às da parte mecânica do sistema, podem-se desprezar os termos que envolvem a indutância em 3). Substituindo então em 8)-) e reorganizando as equações, chega-se à seguinte representação de estado: Tabela : Parâmetros do Modelo. Símbolo Carpete Grama B vn/m/s) B vn N/m/s).82.6 B ωn/rad/s).2. C vn) C vn N)..9 C ωn.m) F sv N).8 3 F svn N).6 2. F sw N.m).2. v sv m/s) v svn m/s) v sw rad/s) δ s ẋt) = Axt) + But) + xt) K + G e )) vs δs sgnxt)), 4) sendo xk) o vetor cujos componentes são as velocidades lineares e angular. O desenvolvimento detalhado deste modelo pode ser encontrado em Correia, 22). 3 Controle Preditivo com Compensação de Atrito O esquema de controle preditivo usado aqui é similar àquele porposto em Barreto Sb. et al., 24). Suas características principais são resumidas nesta seção. Uma estrutura em cascata, mostrada na figura 3, é adotada, na qual a malha interna controla as velocidades do robô e as referências de velocidade são geradas pela malha externa. O bloco que implementa a cinemática inversa do robô gera tais referências a partir de uma sequência prédeterminada de poses futuras. O controlador interno é, assim, projetado para controlar as velocidades do robô. Controle Preditivo é usado na malha interna, o que permite lidar explicitamente com restrições 626

4 um problema de otimização quadrática QP), para o qual métodos numéricos de resolução eficientes, tais como o método dos pontos interiores Barreto Sb. et al., 24) são disponíveis. Figura 3: Esquema de Controle. de controle tensão de entrada máxima nos motores) e otimizar o comportamento futuro do sistema a partir de uma trajetória a ser seguida prédefinida. O modelo de tempo discreto usado é obtido a partir do modelo contínuo usando o método conhecido como invariância ao degraufranklin et al., 986), sob a hipótese de que não ocorre nenhuma mudança nos sinais dos componentes de xt) no intervalo entre duas amostras. O modelo discretizado de 4) é então dado por: xk + ) = A d xk) + B d uk) + )) xk) K d + G d e vs δs sgnxk)). ) Como em Barreto Sb. et al., 24), o sinal de controle é dividido em duas partes: uk) = u f k) + u c k), sendo u f k) uma realimentação linearizante tal que: xk) B d u f k) = K d + G d e )) vs δs sgnxk)). 6) A equação acima tem solução única para qualquer xk), pois a matriz quadrada B d R 3 3 é inversível. A partir desta escolha de u f k), a dinâmica do sistema torna-se linear em relação a u c k): xk + ) = A d xk) + B d u c k). 7) No entanto, as restrições no sinal de controle tensão máxima que pode ser aplicada aos motores) se aplicam a uk), não apenas a u c k), o que, devido à não-linearidade de u f k) 6), faz com que o problema de otimização associado ao controle preditivo tenha restrições não-lineares ao longo do horizonte de predição. Com o objetivo de contornar esta dificuldade e poder usar os métodos eficientes de controle preditivo linear, tal restrição é imposta apenas no instante k, visto que xk) é o vetor conhecido de velocidades medidas em k. O problema de otimização associado é então formulado em 8), onde H p é o horizonte de predição; H u é o horizonte de controle; Q e R são matrizes de ponderação, simétricas definidas positivas, com dimensões apropriadas; xk) é o vetor de referências de velocidade geradas pelo bloco de cinemática inversa; ūk) é a entrada de equilíbrio correspondente e xk) é o vetor de velocidades no instante k. O problema de otimização 8) é 4 Resultados de Simulação 4. Compensação de Atrito Nesta subseção, resultados do método de compensação de atrito proposto serão comparados à abordagem de compensação de atrito proposta em Barreto Sb. et al., 24). Os gráficos na Figura 4a) mostram o comportamento do componente de velocidade v, para uma entrada do tipo rampa com transição por zero. A curva em azul apresenta uma zona morta consideravelmente menor quando comparada à curva com o controlador proposto em Barreto Sb. et al., 24), devido ao efeito de compensação do atrito estático stiction) proposto neste artigo. A diferença de desempenho dos dois controladores pode ser explicada pela análise das ações de controle resultantes para cada controlador. Os dois sinais de controle u 2 e u 3 voltagem dos motores em curvas azul) variam de forma mais abrupta na transições por zero provocando uma compensação mais eficiente da zona morta, conforme mostrado na Figura 4b). 4.2 Controle em Cascata Nesta seção, resultados do controlador em estrutura em cascata são apresentados. A referência é definida como um conjunto de pontos no sistema de coordenadas do mundo: T rajk + j) = x r k + j) ȳ r k + j) θk + j)] T, j =,,..., H p. Dada a pose posição e orientação) atual do robô, calculam-se as velocidades de referência para os próximos H p períodos de tempo. O vetor de velocidades de referência xk + j k)= vk + j k) v n k + j k) wk + j k)] T, j =,,..., H p, onde j é um passo de predição da velocidade do robô a cada instante k, é dado por com e ] vk + j k) evx ] v nk + j k) wk + j k) = Rθk)) e vy e w, 9) evx e vy e w ] = v navcosϕ) v navsinϕ) θk + j k) θk) ], 2) ϕ = arctan ȳ r k + j k) y r k), x r k + j k) x r k)), onde v nav é a velocidade de referência do centro de massa do robô, o qual é um parâmetro do projeto do controlador. Na Tabela 2 são listados o conjunto de pontos no sistema de coordenadas do mundo e o parâmetro v nav. 627

5 Hp min uf k),u ck+j) i= xk + i) xk + i))t Qxk + i) xk + i))) + H u j= uk + j) ūk + j))t Ruk + j) ūk + j))) s.t.: xk + i + ) = A d xk + i) + B d u ck + i) uk) = u f k) + u ck) uk + j) = u ck + j) for j > )), xk) B d u f k) = K d + G d e vs δs sgnxk)) uk) 6 8) referencia Barreto et al, 24) proposto uvolts) Proposto Barreto et al, 24) Vm/s) amostras a) Curva de velocidade, componente v. u3volts) u2volts) amostras b) Voltagem dos motores - sinais de controle. Figura 4: Compensação da zona morta. Tabela 2: Pontos da trajetória. Objetivos x r ȳ r θ vnav m) m) rad) m/s) G.pi.3 G2 pi.3 G3.pi.3 G4 2pi.3 A pose inicial do robô foi m) m) rad)] T e v nav =.3m/s). A trajetória e posição angular do robô, as velocidades do robô e a voltagem dos motores são apresentadas na Figuras a) e b). Observa-se que os sinais de controle não excederam os limites pré-definidos, que o controlador proposto neste artigo teve melhor desempenho no tempo de execução da trajetória 3, 6s versus 6s) e no caminho percorrido, quando comparado ao proposto em Barreto Sb. et al., 24). Nas Figuras c) e d) apresentam-se as velocidades de referência e as velocidades executadas pelo robô para os dois controladores. Verifica-se claramente que o controlador de Barreto Sb. et al., 24) apresentou um desempenho pior na compensação de atrito em velocidades próximas a zero, especialmente quando interceptam o zero. Este fato além de ocasionar uma execução mais lenta da trajetória, gerou sinais de controle que podem sacrificar os atuadores motores). Conclusões Neste artigo foi proposta uma extensão da técnica proposta em Barreto Sb. et al., 24) para controle de trajetória com compensação de atrito de um robô móvel ominidirecional com três rodas. Nesta extensão, o controlador preditivo de velocidade adota um modelo matemático que leva em conta as forças de atritos de Coulomb força constante), viscoso proporcional à velocidade), stiction relacionado a velocidade nula) e o efeito Stribeck transição entre velocidade nula e não nula). Os resultados de simulação ilustram a melhoria significativa no controle de trajetória proporcionada pela uso desse modelo de atrito mais completo, como resultado de uma melhor compensação na zona morta dos atuadores, representando um ganho significativo de desempenho especialmente em velocidades baixas e mudanças de direção do robô. A validação experimental desses resultados deve ser objeto de trabalhos futuros. Agradecimentos Os autores agradecem o apoio financeiro do CNPq. Referências Barreto Sb., J., Scolari Conceicao, A., Dorea, C., Martinez, L. and De Pieri, E. 24). Design and implementation of Model Predictive Control with friction compensation on an omnidirectional mobile robot, Mechatronics, 628

6 .2 Proposto Barreto, 24) 6 Proposto u.8 4 u 2 u 3 ym) xm) θrad) uv) uv) Barreto et al, 24) u u 2 u tempos) a) Trajetória e posição angular tempos) b) Sinais de Controle. V n m/s) Vm/s) wrad/s) tempos) c) Curvas de velocidade. Referência Proposto Vm/s) V n m/s) wrad/s) Referência Barreto, 24) tempos) d) Curvas de velocidade. Figura : Trajetória. IEEE/ASME Transactions on 92): Bona, B. and Indri, M. 2). Friction compensation in robotics: an overview, Decision and Control, 2 and 2 European Control Conference. CDC-ECC. 44th IEEE Conference on, pp Canudas de Wit, C. and Tsiotras, P. 999). Dynamic tire friction models for vehicle traction control, Decision and Control, 999. Proceedings of the 38th IEEE Conference on, Vol. 4, pp vol.4. Conceicao, A. G. S., Correia, M. D. and Martinez, L. 2). Modeling and friction estimation for wheeled omnidirectional mobile robots, Robotica FirstView:. Conceição, A. G. S., Costa, P. J. and Moreira, A. P. 29). Practical approach of modeling and parameters estimation for omnidirectional mobile robots, IEEE Transactions on Mechatronics 43): Correia, M. D. 22). Modelagem de robôs móveis com rodas omnidirecionais incluindo modelos estáticos de atrito, Master s thesis, Universidade Federal da Bahia, Programa de Pós- Graduação em Engenharia Elétrica. Franklin, G. F., Powell, J. D. and Naeini, A. E. 986). Feedback Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley. Olsson, H., Åström, K. J., Gäfvert, M., Wit, C. C. D. and Lischinsky, P. 998). Friction models and friction compensation, Europian Journal of Control 4: Zhou, J., Er, M. J. and Wen, C. 2). Adaptive control of nonlinear systems with uncertain dead-zone nonlinearity, Decision and Control, 2 and 2 European Control Conference. CDC-ECC. 44th IEEE Conference on, pp