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1 PROJETO E IMPLEMENTAÇÃO DE CONTROLE PREDITIVO COM COMPENSAÇÃO DE ATRITO DE UM ROBÔ MÓVEL OMNIDIRECIONAL Júlio C. L. Barreto S., André G. S. Conceição, Carlos E. T. Dórea, Edson R. De Pieri UFBA - Escola Politécnica - DEE Rua Aristides Novis, Salvador, BA UFRN - CT - DCA Natal, RN UFSC - CTC - DAS Florianópolis, SC s: julioclb@ufba.br, andre.gustavo@ufba.br, cetdorea@dca.ufrn.br, edson@das.ufsc.br Abstract In this work we present and discuss implementation results of a Model Predictive Control (MPC) scheme with friction compensation applied to trajectory following of an omnidirectional 3-wheeled robot. A cascade structure is used where the reference velocities which are sent to the predictive controller are generated from the knowledge of a pre-defined trajectory of the robot. Part of the control effort is used to compensate the effects of static friction, allowing the use of efficient algorithms for linear MPC with constraints. Experimental results show that the proposed strategy is efficient in compensating friction effects as well as in tracking predefined trajectories. Keywords Mobile robots, Model Predictive Control, Trajectory Following, Friction Compensation Resumo Neste trabalho são apresentados e discutidos resultados de implementação de um esquema de controle preditivo com compensação de atrito aplicado ao seguimento de trajetória de um robô móvel omnidirecional de 3 rodas. Uma estrutura em cascata é usada onde as velocidades de referência enviadas para o controlador preditivo são geradas a partir do conhecimento de uma trajetória pré-definida para o controle preditivo. Parte do esforço de controle é usado para compensar efeitos de atrito estático, permitindo o uso de algoritmos eficientes de controle preditivo linear sob restrições. Resultados experimentais mostram que a estratégia proposta é eficiente tanto na compensação dos efeitos do atrito quanto no seguimento de trajetórias pré-definidas. Keywords Robôs móveis, Controle Preditivo, Seguimento de Trajetória, Compensação de Atrito 1 Introdução Recentemente, um grande interesse tem sido demonstrado em técnicas de controle aplicadas ao problema de seguimento de trajetórias para robôs móveis. Um grande destaque têm sido dado aos robôs omnidirecionais já que eles tem mobilidade no plano e podem se mover a cada instante em qualquer direção sem reorientação, o que lhes confere uma maior capacidade de manobra em relação a robôs não-holonômicos (Li and Zell, 2007), como os na configuração Ackerman e diferencial. A aplicação do Controle Preditivo requer um modelo preciso do sistema. No caso em estudo, o modelo é não-linear, principalmente por causa do atrito. Os parâmetros dos modelos de atrito são muito difíceis para estimar com precisão (Ray, 2009). Mais do que isso, os modelos são bastante complexos, requerendo, como consequência, complexos métodos de projeto de controle. Para contornar essa dificuldade, foi obtido um modelo simplificado, a exemplo do que foi feito em (Conceição et al., 2009), onde foi obtido um modelo de um robô omnidirecional de 4 rodas. Em (Conceição et al., 2007) resolveu-se o problema do seguimento para este mesmo robô, através do projeto de um controlador NMPC (Nonlinear Model Predictive Control). A principal desvantagem de técnicas de controle preditivo não-linear é o fato de que é necessário resolver um problema de otimização não convexo, o que é uma tarefa complicada. O objetivo desse trabalho é apresentar resultados de implementação de controle preditivo com compensação de atrito para seguimento de trajetória de um robô omnidirecional de 3 rodas. Parte do esforço de controle é usada para compensar as não-linearidades associadas ao atrito estático, o que permite o uso de algoritmos eficientes de controle preditivo sob restrições. O artigo está organizado da seguinte forma: na Seção 2 o modelo não-linear do robô móvel omnidirecional de 3 rodas é apresentado, e os parâmetros desse modelo são validados. Na Seção 3 mostra-se o desenvolvimento do Controlador Preditivo. Os resultados dos experimentos são discutidos na Seção 4. Finalmente, as conclusões são apresentadas na Seção 5. 2 Modelo do Robô O modelo do robô móvel omnidirecional foi desenvolvido com base na dinâmica e na cinemática da base do robô e na dinâmica dos motores CC ISSN: Vol. X 809

2 do robô. Este modelo é utilizado para prever as posições e orientações do robô nos instantes futuros e leva em conta elementos como saturação, limites de corrente dos motores e atritos relacionados às equações de movimento. 2.1 Cinemática do Robô Figura 1: Sistemas de coordenadas e parâmetros geométricos. A partir da geometria do robô e dos sistemas de coordenadas mostrados na Figura 1, as equações cinemáticas de movimento do robô podem ser facilmente obtidas: ξ = R T (θ) ξ r (1) onde a matriz ortogonal de rotação R(θ) é definida para mapear o sistema de coordenadas da terra no sistema de coordenadas do robô e vice-versa, e é dada por: R(θ) = cos(θ) sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) (2) O vetor ξ = [x r y r θ] T descreve a localização do robô no sistema de coordenadas da terra e a diferença angular entre os sistemas de coordenadas. ξ r = [v v n w] T é o vetor de velocidades, onde v e vn são as componentes ortogonais da velocidade e w é a velocidade angular do robô.no sistema de coordenada do robô e descreve a velocidade linear e angular do robô no ponto P, centro de massa do robô. A relação entre as velocidades angulares das rodas do robô (w mi, para i = 1, 2, 3) e as velocidades do robô (v, vn, w) é dada por: [ ] [ v 0 r 2 3 r 3 3 ] [ ] wm1 v n w = 3 3 r 23 r 33 2r 1 r 3 1 r 2 r 3 3b 3b 3b w m2 w m3, (3) sendo b a distância entre o centro de massa do robô e as rodas, e r i o raio de cada roda i. 2.2 Dinâmica do robô Segundo as coordenadas definidas na Figura 1 e pelas leis de Newton derivam-se as equações de translação e rotação do robô móvel, F v(t) B vv(t) C vsgn(v(t)) = M dv(t), (4) F vn (t) B vn v n(t) C vn sgn(v n(t)) = M dvn(t),(5) dw(t) Γ(t) B ww(t) C wsgn(w(t)) = I n, (6) sgn(α) = 1, α > 0, 0, α = 0, 1, α < 0., onde F v e F vn representam as componentes ortogonais da força de tração no sistema de coordenadas do robô, e (Γ) representa o momento ao redor do centro de gravidade do robô (ponto P ). M é a massa do robô e I n o momento de inércia do robô. Os coeficientes de atrito viscoso são representados por B v v(t), B vn v n (t) e B w w(t) e os coeficientes de atrito de coulomb por C v sgn(v(t)), C vn sgn(v n (t)) e C w sgn(w(t)). As relações entre as forças de tração do robô e as forças de tração das rodas são, F v (t) = cos(δ)(f 2 (t) f 3 (t)) (7) F vn (t) = f 1 (t) + sen(δ)f 2 (t) + sen(δ)f 3 (t) (8) Γ(t) = (f 1 (t) + f 2 (t) + f 3 (t))b. (9), onde δ é o ângulo entre a componente vn e o eixo y do sistema de coordenadas da terra. A força de tração em cada roda i (para i = 1, 2, 3) é dada por f i (t) = T i(t) r i, (10) sendo T i o torque de rotação da roda, f i a força de tração em cada roda e r i o raio de cada roda. A dinâmica de cada motor CC i (para i = 1, 2, 3) pode ser descrita pelas equações: di ai (t) u i (t) = L ai + R ai i ai (t) + K vi w mi (t), (11) T i (t) = l i K ti i ai (t), (12) onde u i são as tensões de armadura, que devem ser tais que 6 u(t) 6; L ai são as indutâncias da armadura, R ai as resistências, l i as reduções de cada motor, w mi as velocidades angulares dos rotores e i ai as correntes de armadura. Os parâmetros dos motores, parâmetros geométricos e os parâmetros estimados são apresentados na Tabela 1. Os métodos de estimação para obter os coeficientes de atrito e o momento de inércia podem ser encontrados em (Conceição et al., 2009). 2.3 Representação em Espaço de Estados Escrevendo as equações do modelo na forma de espaço de estados tem-se: x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Ksgn(x(t)) (13) ISSN: Vol. X 810

3 Tabela 1: Parâmetros do modelo. Símbolo Descrição Valor Bv (N/m/s) atrito viscoso para v 2 Bvn (N/m/s) atrito viscoso para vn 1,5 Bω (N/rad/s) atrito viscoso para ω 0,024 Cv (N) atrito de coulomb para v 1,2 Cvn (N) atrito de coulomb para vn 0,8 Cω (N.m) atrito de coulomb para ω 0,0035 b(m) raio do robô 0,1 M(kg) massa do robô 1,5 J(kg.m 2 ) momento de inércia do robô 0,025 δ ângulo 30 o r 1, r 2, r 3 (m) raio das rodas 0,035 l 1, l 2, l 3 redução 19:1 La (H) indutância de armadura 0,00011 Ra (Ω) resistência de armadura 1,66 Kv (V olts/rad/s) constantes emf 0,0059 K t1...3 (N.m/A) constantes de torque 0,0059 (a) Comparação da velocidade v do modelo e do robô real, com u 1 = 0, u 2 = 3V e u 3 = 3V. y(t) = Cx(t) (14) sendo x o vetor de velocidades e u o vetor de tensões de entrada, com Bv A = GDK tlr 1 G T M Bvn M Bω J Cv M 0 0 B = GD, C = I, K = G = D = 0 cos(δ) cos(δ) 1 sen(δ) sen(δ) b b b, 0 Cvn M Cω, l 1 K t1 MR a1 r l 2 K t2 MR a2 r l 3 K t3 JR a3 r 3. J, onde K t é a matriz diagonal das constantes de torque dos 3 motores, l é a matriz que contém as reduções dos 3 motores e r é a matriz dos raios. Analisando a equação (13), pode-se observar que a não-linearidade reside no termo Ksgn(x(t)). O modelo obtido foi validado experimentalmente por meio de testes de resposta ao degrau, como pode ser visto na Figura 2. 3 Controlador Preditivo O esquema de controle proposto neste trabalho baseia-se em uma estrutura em cascata, como mostrado na Figura 3. Este esquema é semelhante ao usado em (Liu et al., 2008), onde a malha de controle interna é destinada ao controle da dinâmica do robô, e as referências de velocidade são fornecidas pelo controlador da malha externa. Este último é, na verdade, um bloco que inverte as equações cinemáticas, ou seja gera as referências de velocidade a partir da medição da posição do robô. O controlador interno deve, então, ser projetado como um controlador de velocidade do sistema, como expresso pelas equações (13) e (14). Neste trabalho propõe-se o uso de Controle Preditivo na malha interna, trata-se de um controlador que é facilmente projetado a partir de modelos de tempo discreto(maciejowski, 2002). A discretização de (13) pelo método do segurador de ordem zero leva ao seguinte modelo: x(k + 1) = A d x(k) + B d u(k) + K d sgn(x(k)). (15) Foi utilizado um período de amostragem de 50ms. (b) Comparação da velocidade ω do modelo e do robô real com u 1 = 1V, u 2 = 1V e u 3 = 1V. Figura 2: Validação dos parâmetros estimados. Considerando o controle de velocidade, robôs omnidirecionais de 3 rodas possuem 3 entradas de controle e apenas 3 variáveis de estado. Portanto, parte dos graus de liberdade no controle pode ser usada para compensar as não-linearidades. Considere-se, então, a seguinte ação de controle: u(k) = u f (k) + u c (k), sendo u f (k) uma realimentação linearizante, tal que: B d u f (k) = K d sgn(x(k)). (16) Como B d R 3 3 e posto(b d ) = 3, a equação acima possui solução única qualquer que seja x(k). A partir desta escolha, a dinâmica do sistema torna-se linear em relação a u c (k): x(k + 1) = A d x(k) + B d u c (k). (17) O problema de otimização associado ao Controle Preditivo, a ser resolvido a cada período de amostragem k, pode agora ser formulado conforme (18). H p é o horizonte de predição, H u é o horizonte de controle, Q e R são as matrizes de ponderação simétricas, definidas positivas, com dimensões apropriadas, x é o vetor de referências de velocidades, fornecido pelo bloco que inverte as equações cinemáticas e x(k) é o vetor de velocidades medidas no instante k. Logo, o Controle Preditivo Linear pode, em princípio, ser aplicado ao sistema linear (17). No ISSN: Vol. X 811

4 (a) Estrutura do controlador. (b) Robô Móvel. Figura 3: Esquema de controle. entanto, a entrada de controle u(k) é sujeita às seguintes restrições: u l (k) 6, para l = 1, 2, 3. Devido ao termo linearizante, as ações de controle futuras devem satisfazer às restrições não-lineares em (16), ao longo do horizonte de controle H u. Pode-se contornar esta dificuldade impondo-se a restrição de controle apenas para j = 0, visto que x(k) é o vetor, conhecido, de velocidades medidas no instante k. O vetor de referências de velocidades é fornecido por um bloco que inverte as equações cinemáticas, no sentido de obter a nova referência a partir da posição atual do robô. Em (Barreto et al., 2010) podem ser encontrados detalhes sobre a geração das referências de velocidade, bem como resultados de simulação do esquema de controle proposto aplicado ao modelo de um robô de 4 rodas. O problema de otimização em (18) é um problema de programação quadrática, para o qual métodos numéricos eficientes de solução são disponíveis. O índice de desempenho é escolhido de modo a forçar uma convergência rápida para x da trajetória do estado. 4.1 Controle de Velocidades Para a referência de v = 0, 6m/s, vn = 0, 6m/s e w = 0rad/s, a curva de velocidade e o gráfico das ações de controle podem ser observados na Figura 4. Do gráfico das velocidades v e vn, percebe-se que passado o regime transitório, os valores oscilaram em torno do valor desejado com uma amplitude relativamente pequena, o que quer dizer que o controlador MPC buscou a referência. Nota-se um tempo de acomodação de 0, 7s. As tensões u 1, u 2 e u 3 também oscilam com uma amplitude pequena em torno do valor de regime, indicando que o desempenho foi bem próximo do ideal. 4 Resultados Experimentais (a) Curva de velocidade. O robô móvel, Figura 3(b), é composto basicamente por dois módulos principais: um sistema microprocessado(pic32mx420f512 ) embarcado responsável pela implementação da instrumentação do sistema além da geração da base de tempo (50ms) para a concepção do relógio de tempo real e outro desenvolvido em PC para a implementação dos controladores de alto nível e do sistema supervisório. Tais módulos se comunicam através de protocolo proprietário sob o padrão RS-232. Os motores CC são do tipo A-max 22 R179, da Maxon Motors, acionados através de circuitos em ponte H modelo S17-3A-LV-HBRIDGE da Acroname Robotics. O sistema supervisório foi implementado com o software Lazarus IDE no sistema operacional Linux/Ubuntu. (b) Tensões nos 3 motores CC. Figura 4: Experimento com a referência de v = 0, 6m/s e vn = 0, 6m/s. ISSN: Vol. X 812

5 Hp min uf (k),u c(k+j) i=0 ((x(k + i) x)t Q(x(k + i) x)) + H u j=0 ((u(k + j) u)t R(u(k + j) u)) s.a: x(k + i + 1) = A d x(k + i) + B d u c (k + i) u(k + j) = u f (k + j) + u c (k + j) B d u f (k) = K d sgn(x(k)) u(k) 6 (18) 4.2 Compensação de atrito Aplicar o controle preditivo linear ao modelo do robô diretamente não permitiria obter um bom resultado, como foi observado em simulações, e a aplicação do controle preditivo não-linear requer a resolução de um problema de otimização nãoconvexo, de implementação muito complexa. Foi então implementado o método de compensação de atrito descrito na seção anterior. Nesta subseção serão analisados os testes da compensação de atrito. Os gráficos das Figuras 5(a) e 5(b), correspondem respectivamente, ao comportamento da velocidade v e das tensões correspondentes, que podem ser utilizados para comparar o desempenho do robô em malha aberta e em malha fechada. Pode-se observar que para o caso em malha fechada a zona morta é muito menor do que para a resposta em malha aberta, graças ao efeito da compensação do atrito estático (Figura 5(a)). Da comparação com a reta, percebe-se que boa parte da zona morta foi compensada. Do gráfico das ações de controle (5(b)) percebe-se a compensação, já que enquanto para o caso em malha aberta as tensões variam linearmente com o tempo, para o caso em malha fechada os valores das tensões variam bruscamente quando elas estão próximas de zero. Da Figura 6(a) verifica-se que a zona morta é bem menor para o caso com a compensação de atrito. No gráfico das tensões (Figura 6(b)) notase que a variação nas ações de controle também ocorreu. Pela comparação da curva de ω com a reta em vermelho, pode-se perceber que a compensação de atrito foi mais eficiente para esse caso. Verifica-se que restou uma pequena parte da zona morta, isso se deve às variações do coeficiente de atrito do solo e à zona morta dos motores, que não são consideradas no modelo de simulação utilizado. Apesar disso os resultados podem ser considerados satisfatórios, já que a resposta em malha fechada se aproximou de uma reta. 4.3 Controle de Trajetória Nesse trabalho, a trajetória de referência é definida de forma parametrizada, no sentido de que as sequências de x, y e θ de referência são definidas independentemente pelo usuário. Para uma trajetória em degrau, com uma velocidade do (a) Velocidade v. (b) Tensões nos 3 motores CC. Figura 5: Compensação de zona morta para v. ma = malha aberta. centro de massa do robô de v nav = 0, 3m/s, foram obtidos os gráficos da Figura 7. Neste experimento, a posição inicial do robô coincide com o início da trajetória. Observa-se na figura do rastreamento da trajetória (Figura 7(a)) que o desempenho do seguimento foi satisfatório já que o erro foi pequeno até nas transições. Observou-se que a trajetória foi seguida com um tempo de navegação de 12, 3s. Da Figura 7(b), nota-se que os valores de tensão dos motores alcançaram no máximo valores na faixa de 3, 5V em módulo, portanto não ocorreu saturação dos motores. Percebe-se também que o controle foi mais agressivo nas transições, o que quer dizer que a predição foi bem sucedida. 5 Conclusões Nesse trabalho, foi proposto um algoritmo de Controle Preditivo com compensação de atrito com o ISSN: Vol. X 813

6 (a) Velocidade ângular ω. (a) Seguimento da trajetória. (b) Tensões nos 3 motores CC. Figura 6: Compensação de zona morta para ω. ma = malha aberta. objetivo de resolver um problema de seguimento de trajetórias para um robô móvel omnidirecional de 3 rodas. No sistema de controle em cascata, o bloco que inverte as equações cinemáticas foi utilizado para obter as referências de velocidades que são passadas para o controlador preditivo a cada iteração a partir da posição atual do robô. Uma parte do esforço de controle é usada para tornar o modelo linear, permitindo o uso de algoritmos eficientes de Controle Preditivo. Os resultados experimentais mostraram que o esquema proposto é capaz de compensar satisfatoriamente os efeitos do atrito estático, bem como de fazer o robô seguir uma trajetória pré-estabelecida. 6 Agradecimentos Júlio César Lins Barreto Sobrinho é bolsista da CAPES, Programa Pró-Engenharia. Os autores gostariam de agradecer à Profa Luciana Martinez do DEE-UFBA e aos alunos Tiago Trindade Ribeiro e Jovelino Torres dos Santos do Laboratório de Robótica da UFBA pela valiosa ajuda na implementação do sistema de controle. Referências Barreto, J. C., Conceição, A. S. and Dorea, C. E. T. (2010). Predictive control of an omnidirectional mobile robot with friction com- (b) Tensões nos motores. Figura 7: Seguimento da trajetória em degrau, v nav = 0, 3m/s. pensation, Latin American Robotics Symposium and Intelligent Robotics Meeting - LARS2010, pp Conceição, A., Moreira, A. and Costa, P. (2009). Practical approach of modeling and parameters estimation for omnidirectional mobile robots, Mechatronics, IEEE/ASME Transactions on 14(3): Conceição, A., Oliveira, H., Sousa e Silva, A., Oliveira, D. and Moreira, A. (2007). A nonlinear model predictive control of an omnidirectional mobile robot, Industrial Electronics, ISIE IEEE International Symposium on, pp Li, X. and Zell, A. (2007). Motion control of an omnidirectional mobile robot, ICINCO-RA (1), pp Liu, Y., Zhu, J., Williams II, R. and Wu, J. (2008). Omni-directional mobile robot controller based on trajectory linearization, Robotics and Autonomous Systems 56(5): Maciejowski, J. (2002). Predictive control with constraints, Pearson Education Ltd. Ray, L. (2009). Estimation of terrain forces and parameters for rigid-wheeled vehicles, Robotics, IEEE Transactions on 25(3): ISSN: Vol. X 814