DETERMINAÇÃO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA À FADIGA UTILIZANDO SIMULAÇÕES ESTATÍSTICAS

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1 DETERMINAÇÃO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA À FADIGA UTILIZANDO SIMULAÇÕES ESTATÍSTICAS Emerson Giovani Rabello, 1 Nelson do Nascimento A. Filho, 1 Paulo de Tarso Vida Gomes, 1 Luiz Leite da Silva, 1 Tanius Rodrigues Mansur, 1 1 Centro de Desenvolvimento da Tecnologia Nuclear CDTN, Avenida Presidente Antônio Carlos, Campus da UFMG - Pampulha - CEP Belo Horizonte- MG Brasil Resumo: Existem distintos métodos experimentais para determinação de propriedades mecânicas de componentes estruturais sujeitos a esforços cíclicos. A seleção do método adequado depende do objetivo que se quer atingir. Podese, por exemplo, determinar a distribuição de vida para um nível constante de tensão alternada e/ou a distribuição de resistência para uma vida constante. O Limite de Resistência à Fadiga (LRF) é definido como o valor de tensão para o qual o material tem uma probabilidade de 50% de não falhar, antes de completar um período de tempo T, pré-determinado. Esta abordagem fornece informações essenciais para o dimensionamento correto de elementos de máquinas. Vários métodos são utilizados para a determinação do Limite de Resistência à Fadiga (LRF), dentre os quais, destacam-se o método da sobrevivência, o método do degrau, o método Prot, o método do valor extremo e o Método Up-and-down. O objetivo deste trabalho é aplicar simulações estatísticas para determinar os Limites de Resistência à Fadiga de quatro materiais diferente: aço carbono A 36, aço inoxidável AISI 304, aço inoxidável AISI 316L e o cobre eletrolítico. Palavras-chave: Limite de Resistência à Fadiga, Fadiga, Simulação Estatística em Fadiga 1. INTRODUÇÃO Fadiga é o fenômeno de falha de um material sob carregamento cíclico. É um problema que afeta qualquer componente que se move ou que suporta cargas (tensões) que variam com o tempo de forma cíclica ou não. Automóveis nas estradas, aviões no ar, locomotivas e vagões sob trilhos, pontes sob veículos, são alguns exemplos de estruturas sujeitas à fadiga. Para a prevenção de falhas por fadiga deve-se considerar a resposta do material aos diversos carregamentos passíveis de existir durante a vida prevista do componente. Além disso, as características de fadiga de um material não podem ser deduzidas a partir de outras propriedades mecânicas quase-estáticas. Elas devem ser medidas diretamente, através de ensaios mecânicos específicos. Um conceito importante em estudos de fadiga é o Limite de Resistência à Fadiga (LRF), que é o valor de tensão para o qual o material tem uma probabilidade de 50% de não falhar antes de completar um período de tempo T (geralmente bastante longo) pré-determinado. Existem vários métodos para a estimação deste limite. O objetivo deste trabalho é aplicar simulações estatísticas para determinar os limites de resistência à fadiga de quatro materiais diferente: aço carbono A 36, aço inoxidável AISI 304, aço inoxidável AISI 316L e o cobre eletrolítico. 2. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA E OBJETIVOS Os ensaios mecânicos que visam à coleta de informações para o estudo da fadiga de materiais são realizados na forma de testes de vida acelerados, onde a variável resposta de interesse é o tempo (número de ciclos) até a ocorrência da falha e a variável de estresse é o nível de tensão (medida em MPa) aplicado aos corpos-de-prova dos materiais a serem estudados. Nestes testes, os materiais são colocados em operação com uma taxa de uso mais elevada que a normal, visando obter informações de maneira rápida, facilitando a predição da confiabilidade. Os resultados destes ensaios são usualmente descritos por meio de uma curva conhecida como S-N. Nestas curvas, a vida dos materiais (número de ciclos) sob teste é expressa em função da tensão alternada aplicada sob o mesmo. A determinação de uma curva S-N é realizada através da aplicação de determinado valor de tensão alternada (movimento cíclico), a qual é

2 mantida constante até a ruptura do material ou até que este atinja um determinado período de tempo (número de ciclos) sem se romper. Aplica-se então outro valor de tensão alternada e determina-se o tempo (ou número de ciclos) em que ocorreu a ruptura e assim sucessivamente. Em cada nível de tensão é testado, um número de amostras (corpos-de-prova) do material sob estudo, sendo que a curva S-N é traçada sobre o valor médio do número de ciclos até a ruptura obtida em cada nível de tensão. Esta curva é muito importante, pois reflete o comportamento do tempo de vida do material para vários níveis de tensão diferentes. A determinação do Limite de Resistência à Fadiga visa conhecer qual o valor de tensão (eixo Y da curva S-N) para o qual metade (50%) das amostras sob teste não irão se romper até um período de tempo pré-determinado. Para estimar o valor do Limite de Resistência à Fadiga (LRF) para um determinado tipo de material, existem vários métodos conhecidos. O objetivo aqui é aplicar o Método de Modelos de Regressão para Dados Oriundos de Testes de Vida Acelerados, técnica amplamente utilizada em estudos de confiabilidade e, simular (utilizando as características obtidas da aplicação aos resultados experimentais da Distribuição Log-normal) o Teste Up and down para a determinação do limite de resistência à fadiga. Os métodos serão, então, apresentados e aplicados aos quatros materiais citados anteriormente e se buscara a determinação do Limite de Resistência à Fadiga para um tempo de vida de 2 x 10 6 ciclos. A primeira página tem margem superior igual a 5 cm, e todas as outras margens (esquerda, direita e inferior) iguais a 2 cm. Todas as demais páginas do trabalho devem ter todas as suas margens iguais a 2 cm. 3. MODELOS DE REGRESSÃO PARA DADOS ORIUNDOS DE TESTES DE VIDA ACELERADOS Ao serem realizados experimentos para o estudo de fadiga, percebe-se que a variável resposta, tempo de falha das unidades sob teste, apresenta valores diferentes para um mesmo nível de tensão alternada aplicada. Na estatística, isto equivale a dizer que, para cada nível de tensão, os tempos de falha das unidades seguem certa distribuição de probabilidade (Neto e Colosimo, 1999). A idéia geral deste método é que se podem encontrar modelos de regressão que descrevem o comportamento do tempo de falha das unidades por meio de duas componentes: uma componente determinística e outra probabilística. A componente probabilística do modelo determina a variabilidade inerente dos dados. Isto é feito ao se assumir uma distribuição de probabilidade para o tempo de falha do material sob teste (as distribuições mais utilizadas são a Lognormal e a Weibull). Isto significa que, para cada nível de tensão, o tempo de falha do material segue uma mesma distribuição de probabilidade e o que faz diferir um nível de tensão do outro são os valores dos parâmetros desta distribuição (Mansur, 2003). A utilização desse modelo requer que sejam feitas algumas hipóteses. Uma delas é que a variabilidade seja a mesma para cada nível de tensão. Isto nem sempre é verdadeiro. Entretanto, muitas vezes quando se trabalha em outra escala, por exemplo, na escala logarítmica, esta suposição torna-se aproximadamente válida. Isto é o que é feito quando se utiliza modelos de regressão (Mansur, 2003). Os modelos utilizados na análise de dados de confiabilidade são construídos para o logaritmo do tempo de falha Τ, ou seja, Y = ln(t). Nesses modelos, supõe-se que Y tem uma distribuição com parâmetro de locação µ(x) e parâmetro de escala > 0 (Neto e Colosimo, 1999). Utiliza-se a notação µ ( x) para indicar que o parâmetro de locação da distribuição de Y depende da variável de estresse ( x ), que é para o caso de fadiga a tensão alternada aplicada σ a. Este é o procedimento geral, qualquer que seja a distribuição admitida para Y (Log-normal ou Weibull). O modelo tem a seguinte forma geral (Neto e Colosimo, 1999): ( Τ) = β + β + ε Y 0 1 = ln x (1) Sendo: T o tempo de falha; ( A) β = ln ; = w 0 β e A e w parâmetros que dependem do material utilizado, do método de ensaio, da geometria e da característica dos corpos-de-prova. é o parâmetro de escala, o qual corresponde ao desvio padrão, constante para todos os níveis de tensão e ε tem uma distribuição que independe da variável "x". A Equação (1) pode ser escrita como: Y = µ ( x) + ε (2) Sendo: µ = + (3) ( x) β 0 x Após a estimativa dos parâmetros, é necessário que se utilize algum método para verificar a adequação do modelo. Os procedimentos para estimar os parâmetros do modelo e verificar a adequação do mesmo são encontrados em (Freitas e Colosimo, 1997).

3 A utilização desse método para estimar o limite de resistência à fadiga pode ser resumida por meio do seguinte procedimento: 1. Obter os dados experimentais de um teste de vida acelerada. 2. Estimar os parâmetros do modelo, segundo a distribuição de probabilidade Log-normal. 3. Verificar a adequação do modelo, validando-se as hipóteses associadas ao mesmo. 4. Utilizar a função de confiabilidade R(T) = P(T t), correspondente à distribuição Log-normal, encontrando, por meio de cálculo inverso, qual o valor da variável de estresse (tensão alternada aplicada) x 0, que corresponde a um valor de R(T) = 50%. R(T) = P(T t) é a probabilidade de que o tempo até a falha do material seja maior do que um tempo t determinado (2 x 10 6 ciclos neste trabalho). 5. O valor obtido no item anterior é o limite de resistência à fadiga Ajuste do Modelo de Regressão Base A distribuição estudada a seguir é a Log-normal. A estimativa dos parâmetros deste modelo e a verificação da adequação do mesmo foram feitas utilizando-se o software estatístico MINITAB, versão 15. A seguir, é utilizada a função de confiabilidade da distribuição Log-normal e o cálculo inverso para estabelecer o limite de resistência à fadiga para os materiais sob estudo (Neto e Colosimo, 1999). Sabe-se (Freitas e Colosimo, 1997) que a função de confiabilidade da Log-normal é dada por: R ( Τ ) = P( Τ t) ln( t) ( ) = Φ R T β β x (4) Sendo: Φ o percentil da distribuição normal padrão; β 0, β 1 e os parâmetros estimados pelo modelo; t o tempo de vida de interesse, neste caso 2 x 10 6 ciclos e x 0 o nível de tensão. A partir da expressão para R(T) da distribuição Log-normal, pode-se estabelecer o cálculo inverso (obtenção de x 0,) da seguinte forma: 1 1 [ Φ + ( t) β ] 1 x = ln (5) 0 0 β 1 Φ é o valor de z (normal padrão) correspondente ao percentil de interesse. O limite de resistência à fadiga é o valor x 0 para o qual se tem R(T) = 50%, ou seja, a probabilidade de que os corpos-de-prova venham a falhar após 2 x 10 6 ciclos é de 50%. Este valor será utilizado na verificação das estimativas obtidas pelos métodos: Cálculo direto através da distribuição Log-normal (Método de modelos de regressão para dados oriundos de testes de vida acelerada) e simulação Up-and-down. O Método Up-and-down é um procedimento utilizado tanto para a realização de ensaios mecânicos específicos em estudos de fadiga, quanto para a análise dos dados provenientes desses ensaios, sendo muito útil para estimar a média e a variância do limite de resistência à fadiga (Colins, 1993) Simulação do Método Up-and-down A simulação foi realizada no software MINITAB e seguiu os procedimentos utilizados no Método Up-and-down. Os níveis de tensões escolhidos para a simulação foram aqueles que correspondem aos seguintes valores da função de confiabilidade para o modelo base: R(T) = 10%, 50% e 90%. Foi realizada uma simulação para cada material estudado. Os valores das tensões correspondentes a R(T) = 10%, 50% e 90% apresentam entre si um passo constante, d. A simulação foi realizada da seguinte maneira: a) Com os valores obtidos para β 0, β 1 e dos dados experimentais calculou-se, utilizando-se a EQ. 4, x 0 para R(T) = 10%, 50% e 90%. b) O valor do parâmetro µ(x), EQ. 3, foi calculado após determinado o valor x 0. c) Com os valores obtidos para µ(x) e e, utilizando-se o software Minitab, geraram-se os valores dos números de ciclos correspondentes às tensões encontradas para R(T) = 10%, 50% e 90%. d) Se o valor for menor que t = 2 x 10 6, significa que o corpo-de-prova falhou, então, repete-se o processo com o valor de tensão menor. Se o valor for maior que 2 x 10 6 aumenta-se o valor da tensão. Repetem-se esta sequencia até se ter os valores desejados. e) De posse dos 22 valores gerados em c, aplica-se o Up-and-down convencional.

4 4. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES A partir da Eq.(5), da distribuição Log-normal calculou-se o Limite de resistência à fadiga. Na Tab. (1) são apresentados estes valores. Tabela 1. Resultados obtidos para os Limites de resistência à fadiga. Modelos de regressão para dados oriundos de testes de vida acelerados. MATERIAL INTERCEPTO β ο TENSÃO β 1 SCALE σ LRF x o (MPa) Aço A 36 23,8143-0, , Inox ,4848-0, , Inox 316L 23,076-0, , Cobre 19,95-0, , Baseando-se na distribuição de vida obtida experimentalmente nas curvas S-N-P, onde foram selecionados os valores correspondentes à confiabilidades de 10, 50 e 90%, foram calculados os parâmetros da distribuição log-normal. Nas tabelas de 2 a 5 mostram-se os valores obtidos. Tabela 2 Parâmetros de simulação Up-and-down para o aço carbono A 36. Aço A 36 INICIAL 23,8143-0, , , , % 23,8143-0, , , , , % 23,8143-0, , , , % 23,8143-0, , , , ,47186 Tabela 3. Parâmetros de simulação Up-and-down para o aço inoxidável AISI 304. Aço Inox 304 INICIAL 48,4848-0, , , , % 48,4848-0, , , , , % 48,4848-0, , , , % 48,4848-0, , , , , Final 48,4848-0, , ,0862 0, Tabela 4. Parâmetros de simulação Up-and-down para o aço inoxidável AISI 316L. Aço Inox 316L INICIAL 23,076-0, , , , % 23,076-0, , , , , % 23,076-0, , , , % 23,076-0, , , , ,47186 Tabela 5 Parâmetros de simulação Up-and-down para o cobre eletrolítico. Cobre INICIAL 19,95-0, , , , % 19,95-0, , , , , % 19,95-0, , , , % 19,95-0, , , , ,282667

5 De posse dos valores mostrados nas Tab. de 2 a 5 obtiveram-se os valores dos números de ciclos para a construção do Up-and-down simulado. 260 Up and down aço carbono A Figura 1. Up-and-down simulado para o aço carbono A Up and down inox Figura 2. Up-and-down simulado para o aço inoxidável 304. Up and down inox 316 L Figura 3. Up-and-down simulado para o aço inoxidável 316 L.

6 130 Up and down cobre Figura 4. Up-and-down simulado para o cobre. Aplicando-se a metodologia Up and down para se calcular os limites de resistência à fadiga para as Figuras de 1 a 4 tem-se: Tabela 6. Limites de resistência à fadiga. MATERIAL Limite de resistência à fadiga Up and down Modelos de regressão para dados oriundos (MPa) de testes de vida acelerados Aço A ± Aço Inox ± Aço Inox 316L 270 ± Cobre Eletrolítico 79 ± CONCLUSÕES Os resultados mostram que se podem obter ótimos resultados no cálculo do limite de resistência à fadiga, quando se utiliza a simulação numérica dos ensaios. A comparação mostrada acima é uma forma de validar o Método Up and down, que é bastante utilizado em trabalhos de fadiga. Outra conclusão é que de posse dos resultados experimentais obtidos para a construção das curvas S-N pode-se determinar o limite de resistência à fadiga sem a necessidade de ensaios específicos. Para que a simulação seja eficiente, entretanto, é necessário que existam dados experimentais preliminares de distribuição da vida para a determinação da função distribuição. 6. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq); à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais (FAPEMIG) e ao Centro de Desenvolvimento da Tecnologia Nuclear (CDTN) pelo suporte para a realização deste trabalho. 7. REFERÊNCIAS Collins, J.A., 1993, "Failure of Materials in Mechanical Design", Ed. John Wiley & sons, New York, USA, pp Freitas, M.A. e Colosimo, E.A., 1997, "Confiabilidade: Análise de Tempo de Falha e Testes de vida Acelerados", Ed. Fundação Christiano Ottoni, pp Mansur, T. R.; Avaliação e Desenvolvimento de Modelos de Determinação de Acúmulo de Danos por Fadiga em um Aço Estrutural, Tese de doutorado DEM EEUFMG, Dezembro, 2003, Minas Gerais Brasil. Neto, B. R.; Colosimo, E. A., 1999, Comparação de dois métodos para determinação do limite de resistência à fadiga do aço ASTM A Relatório do Departamento de Estatística UFMG. 8. DIREITOS AUTORAIS Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluído no seu trabalho.

7 DETERMINATION OF FATIGUE LIMIT USING STATISTICAL SIMULATIONS Emerson Giovani Rabello, 1 Nelson do Nascimento A. Filho, 1 Paulo de Tarso Vida Gomes, 1 Luiz Leite da Silva, 1 Tanius Rodrigues Mansur, 1 1 Centro de Desenvolvimento da Tecnologia Nuclear CDTN, Avenida Presidente Antônio Carlos, Campus da UFMG - Pampulha - CEP Belo Horizonte- MG Brasil Abstract: There are distinct types of experimental methods for mechanical properties determination of mechanical components subjected to cyclic loadings. The selection of the adequate method depends on the specific goal to be achieved. You can, for example, determine the life distribution for a constant level of alternating stress and/or a strength distribution for a constant life. Fatigue limit (FL) can be defined as the stress value to which the material has the probability of 50% to not fail before completing a pre-determined period of time "T". That approach provides essential information for the correct sizing of machine elements. Several methods are used for the determination of FL, including the Response or Survival Method, the Step-Test Method, the Prot Method, and the Staircase or Up-and-Down Method. The purpose of this paper is to apply statistical simulations to determine the fatigue limit of four different materials: A36 carbon steel, AISI 304 Stainless Steel, AISI 316 l Stainless Steel and electrolytic copper. Keywords: fatigue limit, fatigue, fatigue statistical simulation RESPONSIBILITY NOTICE The authors are the only responsible for the printed material included in this paper.