Otimização de um algoritmo de restauração de imagens baseado na minimização do funcional de regularização de Tikhonov

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1 Otimização de um algoritmo de restauração de imagens baseado na minimização do funcional de regularização de Tikhonov Claudir Oliveira, D. Stutz Instituto Politécnico, IPRJ, UERJ, Nova Friburgo, RJ A. J. Silva Neto UERJ - Departamento de Engenharia Mecânica e Energia Instituto Politécnico do Rio de Janeiro Nova Friburgo, RJ asjneto@iprj.uerj.br. Resumo: Para o tratamento de imagens obtidas com microscópios de força atômica, o grupo de pesquisa em problemas inversos do Instituto Politécnico desenvolveu, em parceria com pesquisadores da UFRJ, um método iterativo pouco tradicional na área de restauração de imagens, baseado na minimização do funcional de regularização de Tikhonov. Porém, um problema típico neste método consiste na seleção do parâmetro de regularização adequado para o compromisso entre a acurácia e a estabilidade da solução. Dessa forma, um método de busca iterativa para o valor ótimo deste parâmetro é aplicado para uma implementação em computação paralela com MPI (Message Passing Interface). Com esta abordagem, procura-se obter um valor mínimo para o funcional na iteração seguinte do processo de restauração, acelerando, portanto, o processo de convergência do método de restauração de imagens e consequentemente, o tempo de execução requerido pelo algoritmo de busca. Palavras-chave: Computação Paralela, Parâmetro de regularização de Tikhonov, Restauração de Imagens. 1 Introdução Com o surgimento dos Microscópios de Força Atômica (Atomic Force Microscope - AFM) e os recentes avanços no desenvolvimento dessa tecnologia é possível gerar imagens com alta definição e com isso a visualização em escala nanométrica. Quando o elemento de iteração entre o aparelho de aquisição da imagem e a amostra apresenta limitações geométricas, como é o caso da ponteira do cantiléver usado em AFM, a presença de perturbações indesejáveis pode ocorrer, sendo notável a produção de imagens com ruídos. Abordagem de problemas inversos tem sido empregada na restauração destas imagens visando diminuir os efeitos de borramento bem como os efeitos dos ruídos 5]. No sentido de recuperar uma imagem que tenha sofrido algum tipo de degradação, utilizase dessas técnicas de restauração, no interesse de encontrar uma aproximação consistente ˆx ij para a imagem real x ij em relação à distribuição de intensidade, partindo de uma imagem conhecida y, obtida a partir de um experimento. Será utilizado uma imagem teste que ilustra uma amostra obtida através do microscópio, que para este experimento sintético será degradada superficialmente indicando que a imagem sofreu deformação durante a digitalização. 334

2 Em processamento de imagens os efeitos de degradação e ruído podem ser descritos pela seguinte equação 1] y = δx + η, (1) onde y é a imagem degradada, δ representa a função de borramento e η é o ruído aditivo. Para a obtenção da imagem estimada ˆx ij, para a qual os efeitos de borramento causados pela ponteira do microscópio e o ruído adquirido pelo próprio processo de aquisição da imagem sejam reduzidos, uma possível abordagem consiste na minimização do funcional de regularização de Tikhonov dado por 1] Q(ˆx) = y ij N N k= N l= N b klˆx i+k,j+l ] 2 + αλ (ˆx, x) (2) A imagem degradada obtida pelo AFM é representada por y ij, com dimensão M M, b kl é um operador de borramento que modela matematicamente a interação ponteira-amosta, N é a delimitação do alcance de atuação de operador em torno do ponto (kl), x é a imagem de referência, αλ (ˆx, x) representa o termo de regularização em que α é o parâmetro de regularização que deve ser ajustado para que se obtenha um equilíbrio entre a informação experimental e a suavização dos efeitos devido ao ruído e Λ (ˆx, x) é o funcional de regularização, construído com distâncias de Bregman 1, 2, 8] dado por Λ (ˆx, x) = 1 q + 1 { ˆx ij (ˆxij ) q x q ij q ] x q ij (ˆx ij x ij ) onde q é o parâmetro que ao ser variado leva a uma família de termos de regularização. 2 Formulação do problema de restauração A fim de minimizar o funcional Q Q(ˆx) é escrita a equação do ponto crítico = 0 a partir ˆx rs do qual obtém-se um sistema de equações não-lineares F rs (ˆx) = 0, r, s = 0, 1,..., M 1 (4) sendo aqui considerada a imagem com M M píxeis. O sistema da Eq. (4) é resolvido numericamente através do método de Newton - Raphson, com a linearização obtida a partir da expansão de Taylor, sendo mantidos apenas os termos de primeira ordem. Empregando-se no método, um fator de suavização γ, estabelecido a priori sobre os incrementos, tem-se ˆx t+1 = ˆx t + γ ˆx t, t = 0, 1, 2,... e 0 < γ < 1 (5) Segundo Stutz 7], o processo de restauração de imagens aplicando o método iterativo de Jacobi simplificado apresentou resultados com melhor desempenho computacional em comparação com aqueles obtidos pelo método de Gauss-Seidel, utilizado na versão serial desenvolvida em 1]2] por não apresentar dependência de dados. As correções das incógnitas em paralelo podem ser obtidas então utilizando o método de Gauss-Jacobi. Dessa forma escreve-se então ˆx t,k+1 rs 1 = ω (F mn ) m = r n = s F rs ˆx t,k + F rs ˆx m=0 m r n=0 mn n s } ˆx t,k ˆx t,k mn onde k é contador de iterações do método de Jacobi, ω é uma relaxação aplicada ao método (0 < ω < 1). Os índices contidos no somatório m r e n s, refletem a influência de uma 335 (3) (6)

3 vizinhança local em torno da diagonal principal (m = r e n = s), sendo r = s = 1, 2...M e os termos da Eq. (6) são dados por 2]7]8] F rs = Q(ˆx) ( ) ] r+n s+n N N = 2 y ij b klˆx ρτ b r i,s j + α ˆx rs q (ˆxq rs x q rs) (7) i=r N j=s N F mn = F rs ˆx mn = 2 N N k= N l= N k= N l= N b kl b r m+k,s n+l + α(ˆx rs ) q 1 δ(r, m)δ(s, n) (8) onde δ(.) representa o delta de Kronecker. O cálculo das correções é realizado através do método de Jacobi simplificado 7]8] partindo-se da estimativa inicial ˆx t,0 = 0 na Eq. (6). 3 Método iterativo paralelo para busca do parâmetro de regularização No sentido de buscar um valor ótimo α de tal modo que se obtenha um valor mínimo para o funcional, na próxima iteração, podemos reescrevê-lo da seguinte forma Q min Usando o método de Newton, escreve-se então x α = arg α min Q (ˆx t+1) α > 0 (9) α k+1 = α k φ(αk ) φ (α k ) Após o cálculo das Eqs. (7) e (8) e das correções ˆx, calcula-se então a nova aproximação para imagem com a Eq.(5), e dada uma estimativa inicial para α 0 a Eq. (10) é resolvida tomando-se φ (α) = Q(ˆx 1 ) α = 0 (11) e N ] N φ (α) = 2γ 2 b kl α ( ˆx0 ρτ ) 2 k= N l= N N N ] N ] N 2γ R(ˆx 0 ) γ b kl ˆx 0 2 ρτ b kl α 2( ˆx0 ρτ ) k= N l= N k= N l= N + γ ( { x q 2 ( ˆx0 ij ) )} ( ) + α 2 ( ˆx 0 2 q α α 2( ˆx0 ij) + αγ 2 (ˆx1 ij) q 1 ij ) α ( ) (12) onde x q = (ˆx 1 ij )q x q ij e as derivadas parciais de primeira e segunda ordem são dadas por ( ˆx t rs) α = 1 F mn 2 ( ˆx t rs) α 2 = 2 (ˆxq 1 rs ) qf 2 mn Frsˆx q 1 rs F mn (ˆxq rs x q ] rs) q { } (ˆx q rs x q rs) q (ˆxq 1 rs F rs ) F mn m = r n = s t = 0 m = r n = s t = 0 O critério para a escolha do valor ótimo de α baseia-se na seguinte condição: Enquanto Q(x 1, α k+1 ) < Q(x 1, α k ) faz-se α = α. O processo de busca do α em paralelo é executado até que o critério de parada α k+1 α k /α k < ε seja satisfeito, onde ε é uma tolerância estabelecido a priori. 336 (10) (13) (14)

4 4 Metodologias empregadas para avaliação da imagens Para medir eficácia dos resultados da aplicação paralela com o cálculo do parâmetro de regularização iterativo, visando compará-la com a versão sequencial, faz-se necessário usar metodologias de avaliação para julgar de forma adequada os resultados obtidos nas duas versões utilizadas. Para isso foram adotadas as seguintes medidas durante o processo iterativo: i) Erro Médio Quadrático - MSE (Mean Square Error). Calcula a distância entre as intensidades dos píxeis da imagem original e o resultado da restauração 4], MSE = 1 MN x ij ˆx k ij] 2 (15) onde x ij é a imagem original e ˆx k ij é a versão aproximada a cada iteração. ii) Erro Quadrático Médio Ponderado pela Informação - IWMSE. Fornece uma medida de comparação de imagens baseado nas características do sistema visual humano, correspondendo a um critério subjetivo de comparação e expressa a qualidade visual percebida 6], IW MSE = 1 MN ( ) f, f 1 + Imap(i, j) f i,j f ] 2 i,j (16) onde f i,j representa a intensidade no ponto de coordenada i, j da imagem original ou de referência, fi,j é a intensidade no ponto de mesma coordenada ( de uma imagem degradada ou f, f resultante de um processo de restauração e Imap(i, j) = max Imap(i, f j), I f ) map (i, j) é o valor máximo dos mapas de informação das imagens original e degradada (áreas de interesse visual). Outras medidas comumente usadas na reconstrução de imagens também foram aplicadas 4]7]: PSNR (Peak Signal to Noise Ratio), RMSE (Normalized Root Mean Square Error) e MAE (Mean Absolute Error). O maior valor para o PSNR representa melhor restauração enquanto para demais medidas deseja-se obter um menor valor para indicar que a imagem foi melhorada. As medidas de energia local aplicadas nos cálculos do IWMSE são indicadas por: IWMSE/V, IWMSE/S e IWMSE/G representativas da variância local, magnitude de borda (Sobel) e escala de cinza (Grayscale ) respectivamente 6]8]. 5 Avaliação dos resultados da restauração Na avaliação dos resultados com o parâmetro de regularização iterativo dinâmico adotou-se uma imagem padrão de teste Fig. (1a) com dimensão 256x256 píxeis e modificada (Fig. (1b)) com diferentes tipos de degradação e identificada como DβV σsρ 1]3], onde β representa a dimensão da matriz de borramento (B), σ é a variância e ρ é a relação sinal-ruído (SNR) dada em db (decibéis). A fim de simular os efeitos de degradação de imagens de AFM, a imagem padrão foi modificada pela função de degradação Gaussiana e um termo de ruído aditivo expresso da seguinte forma i2 + j 2 2σ δ i,j = Z B,σ e 2 (17) onde Z B,σ é uma constante de padronização que garante i,j δ ij = 1 e σ 2 é a variância que simula os diferentes tipos de ponteiras. A imagem na Fig. (1c) é resultante do processo de restauração empregando o método iterativo de busca em paralelo do parâmetro de regularização α. Para que os resultados entre as versões serial e paralelo possam ser comparados, os parâmetros utilizados na restauração das imagens devem ser iguais. 337

5 ISSN (a) (b) (c) Figura 1: Imagem padra o (a) modificada (D5v40s20) (b) e restaurada (c) com o algoritmo de restaurac a o em paralelo empregando os para metros: α0 = 0, 08, B = 5 5, σ 2 = 40 e q=1. Na Tab. (1) sa o apresentados os resultados das medidas aplicadas na avaliac a o da melhor imagem restaurada para os seguintes modelos de degradac a o: B = 5 5, σ 2 = 40 e SN R = 20, 30, 40. Medidas MSE RMSE MAE PSNR IWMSE/V IWMSE/S IWMSE/G D5v40s ,88 42, , , , , ,5 Serial D5v40s ,73 32, , , , , ,1 D5v40s40 725,412 26, , , , , ,51 D5v40s ,98 42, , , , , ,04 Paralelo D5v40s ,89 32, , , , , ,10 D5v40s40 725,40 26, , , , , ,93 Tabela 1: Medidas de avaliac a o comparativas das imagens restauradas (Fig.(1a)) com os programas serial e paralelo usando o para metro de regularizac a o iterativo. Os dados nume ricos na tabela permitem concluir que a estrate gia de paralelizac a o adotada e eficaz e portanto aceita vel. Observa-se tambe m onde ocorreu a melhor restaurac a o das duas verso es ao julgar pelo modelo subjetivo do sistema visual humano (IWMSE). Embora possa ser notado que o valor para as medidas objetivas adquiridas no processamento em paralelo sejam relativamente maior em alguns casos, o IWMSE aponta para a melhor imagem restaurada. Com estes resultados, as metodologias foram enta o aplicadas na restaurac a o de uma imagem real de AFM. Na Fig. (2a) e mostrada uma imagem degradada de AFM onde as caracterı sticas de borramento (geometria da ponteira) sa o desconhecidas e a imagem melhorada pelo programa paralelo (Fig. (2c)) empregando os para metros: B=5, σ 2 = 20, α0 = 0, 008 e ω = 0.5. Nesse modelo de restaurac a o, a imagem original e desconhecida, portanto, na o e possı vel empregar as medidas no processo iterativo. Neste sentido, sa o feitas apenas as diferenc as nume ricas entre as imagens melhoradas pelos algoritmos serial e paralelo, (Tab. (2)). MSE 0, IWMSE/V 0, IWMSE/S 0, IWMSE/G 0, RMSE 0, MAE 0, Tabela 2: Me tricas de avaliac a o da diferenc a entre as restaurac o es das imagens de AFM, Fig. (2) obtida a partir dos programas sequencial e paralelo. De acordo com as metodologias de avaliac a o os resultados observados permitem averiguar a efica cia da utilizac a o do algoritmo paralelo proposto na restaurac a o das imagens de AFM. 338

6 ISSN (a) (b) (c) Figura 2: Imagem de um AFM (a), da superfı cie de um eritroblasto em estado leuce mico restaurada com o programa serial (b) e paralelo (c) empregando o para metro de regularizac a o iterativo 6 Avaliac a o de desempenho computacional Na Fig. (3) sa o apresentados os gra ficos referentes a s medidas de desempenho (tempo de execuc a o, acelerac a o e eficie ncia) obtidas com o programa de restaurac a o sequencial e paralelo usando α iterativo. Os testes foram realizados variando as dimenso es de borramento (B = 5 5, e B = 9 9) e empregando-se as seguintes dimenso es de imagens: 256x256, 512x512 e 1024x1024 pı xeis. Para a obtenc a o destes resultados foi utilizado um computador Dell Modelo-501LX com processador i7-2860qm com 4 nu cleos reais simulando 8 processadores virtuais. (a) (b) (c) (d) Figura 3: Representac a o gra fica do gerenciamento do tempo gasto por processador com cada umas das imagens usando as dimenso es do operador de borramento (a) B = 5 5 e (b) B = 9 9. A representac a o gra fica da ana lise de acelerac a o (a) e eficie ncia (b) do algoritmo paralelo que emprega o para metro de regularizac a o iterativo e referente ao uso do operador de borramento B = 9 9. Na Fig (3a) e (3b) e possı vel notar que o programa paralelo apresentou um ganho de tempo significativo, principalmente quando imagens de maior resoluc a o sa o processadas e/ou quando aumenta a dimensa o do operador de borramento. Pequenos picos no desempenho (Fig. (3c) e (3d)) foram observados quando se acrescenta o nu mero de processadores, possivelmente causados 339

7 por overheads (processamento ou armazenamento em excesso). 7 Conclusão A paralelização do algoritmo de restauração com o parâmetro de regularização dinâmico a avanços em relação ao algoritmo sequencial conforme pode ser observado nos resultados apresentados. O tempo ganho foi significativo, principalmente no tratamento de imagens maiores. O método de Jacobi simplificado utilizado na metodologia com o cálculo do parâmetro α iterativo permitiu uma boa taxa de paralelização explorando assim adequadamente o ambiente computacional. As medidas de tempo, aceleração e eficiência apresentadas neste trabalho podem variar dependendo da arquitetura empregada, no entanto, o algoritmo paralelo ainda está sendo aprimorado de forma a reduzir os overheads e obter assim melhor desempenho computacional. 8 Agradecimentos Os autores agradecem o apoio financeiro do CNPq, Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico, e da FAPERJ, Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro. Referências 1] Cidade, G.A.G.; Silva Neto, A.J.; Roberty, N.C., A Generalized Approach for Atomic Force Microscopy Image Restoration with Bregman Distances as Tikhonov Regularization Terms, Inverse Problems in Engineering, 8 (2000), ] Cidade, G.A.G.; Silva Neto, A.J.; Roberty, N.C., Restauração de Imagens com Aplicações em Biologia e Engenharia - Problemas Inversos em Nanociência e Nanotecnologia, Notas em Matemática Aplicada, SBMAC, São Carlos, Vol. 1, ] Furtado, V. Avaliação do uso do funcional de Tikhonov com uma família de funções de regularização a um parâmetro para a restauração de imagens biológicas. Dissertação de Mestrado, Pós-graduação em Modelagem Computacional, Instituto Politécnico do Rio de Janeiro, UERJ, Nova Friburgo, ] Romualdo, K. V., Proposição e Avaliação de Indicadores de Desempenho para Algoritmos de Restauração de Imagens, Dissertação de Mestrado, Pós-graduação em Modelagem Computacional, Instituto Politécnico do Rio de Janeiro/UERJ, Nova Friburgo, ] Silva Neto, A. J., Problemas Inversos: Aplicações em Engenharia e Medicina - Um Breve Texto sobre Engenharia, Medicina, Matemática, Neurônio, Genes e Formigas.pp em Cápsulas de Ciências, Editora Quartet, Rio de Janeiro, ISBN ] Stutz D.; Silva Neto, A. J; Farias, R. C., Information Weighted Mean Square Error (IWMSE): Uma medida de comparação de imagens baseada na percepção. X Encontro de Modelagem Computacional, Anais, Nova Friburgo, ] Stutz D., Estratégias de Computação Paralela para Restauração de Imagens com o Funcional de Regularização de Tikhonov, Tese de Doutorado, Pos-graduação em Modelagem Computacional, Instituto Politécnico, UERJ, Nova Friburgo-RJ, ] Stutz, D. e Silva Neto A. J. Fundamentos de Computação Paralela para a Restauração de Imagens de Microscopia de Força Atômica, Vol. 58, Notas em Matemática Aplicada, SBMAC, São Carlos, 2011, ISBN (e-isbn ). 340