Belos Problemas: Indução e Princípio das Gavetas de Dirichlet

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1 Belos Problemas: Indução e Princípio das Gavetas de Dirichlet Rogério Ricardo Steffenon 1 1 Universidade do Vale do Rio dos Sinos, steffenonenator@gmail.com Neste minicurso serão apresentados e resolvidos alguns belos problemas, cuja solução utiliza argumentos elementares e relativamente simples. Os tópicos principais serão: Indução Matemática e Princípio das Gavetas de Dirichlet. Muitos dos problemas abordados surgem em Olimpíadas de Matemática e podem ser uma boa fonte para professores estimularem seus alunos a estudar Matemática. O texto base é o ebook disponível em Alguns temas que serão abordados: Indução Matemática: torres de Hanói, pesagens de moedas, cobertura de tabuleiro mutilado com L-triminós, problema de Josephus. Sistema binário e cartões mágicos binários, Teorema de Zeckendorf e cartões mágicos de Fibonacci. O Hotel de Hilbert. Jogos de subtração com palitos: NIM, Fibonacci NIM e outros. Princípio das Gavetas de Dirichlet. Segue uma lista de algumas atividades que pretendemos abordar no minicurso. Cartões Mágicos Binários O matemágico escolhe alguém da plateia e pede que essa pessoa pense num número de 1 a 63, sem revelá-lo. Em seguida, são apresentadas as 6 cartelas abaixo e o matemático faz 6 perguntas. O número que você pensou está na primeira cartela? Está na segunda cartela? E assim por diante. Ao final das 6 perguntas o matemágico revela o número que a pessoa pensou. Após realizar a mágica umas duas ou três vezes, a plateia deve deduzir o truque utilizado e por que ele sempre funciona. Cartões Mágicos Binários

2 Sequência de Fibonacci Consideremos a seguinte variação da sequência de Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 2 e F n = F n 1 + F n 2, para n 3. Podemos provar por indução que F 1 + F F 2n 1 = F 2n 1 e F 2 + F F 2n = F 2n+1 1. Teorema de Zeckendorf: Todo número inteiro positivo pode ser escrito de modo único como soma de termos não consecutivos da sequência F n. Agora o matemágico escolhe alguém da plateia e pede que essa pessoa pense num número de 1 a 120, sem revelá-lo. Em seguida, são apresentadas as 10 cartelas abaixo e o matemático faz até 10 perguntas. O número que você pensou está na primeira cartela? Está na segunda cartela? E assim por diante. Aqui há uma coisa que impressiona mais, pois se o número estiver numa determinada cartela, ele não estará na seguinte e, nesse caso, a quantidade de perguntas pode ser inferior a 10. Ao final das perguntas o matemágico revela o número que a pessoa pensou. Após realizar a mágica umas duas ou três vezes, a plateia deve deduzir o truque utilizado e por que ele sempre funciona. Cartões Mágicos de Fibonacci

3 Jogos de subtração com palitos NIM versão clássica Temos k pilhas com n 1, n 2,..., n k palitos em cada uma delas e dois jogadores E e D. Os dois jogam alternadamente e, em cada jogada, aquele que estiver na sua vez pode retirar quantos palitos quiser (pelo menos um) de apenas uma pilha. Ganha quem retirar o último palito. 3

4 Para esse jogo define-se a Soma Nim e o Teorema de Bouton (1901) dá a estratégia vencedora para o jogo: Sejam n um inteiro positivo e duas n-uplas de números inteiros (a 1,..., a n ) e (b 1,..., b n ). Definimos a soma nim como sendo (a 1 a 2 a 3 a n ) 2 (b 1 b 2 b 3 b n ) 2 = (c 1 c 2 c 3 c n ) 2, onde somamos coordenada a coordenada módulo 2: c i = a i + b i (mod 2). Por exemplo, (26) 10 (14) 10 = (11010) 2 (01110) 2 = (10100) 2 = (20) 10. Teorema de Bouton 1901 Um jogo que tem k pilhas de tamanhos n 1, n 2,..., n k é posição perdedora se, e só se, n 1 n 2 n k = 0. NIM Binário Seja N um inteiro maior do que 2. Arnaldo e Bernaldo disputam o seguinte jogo: há N pedras em uma pilha. Na primeira jogada, feita por Arnaldo, ele deve tirar uma quantidade k de pedras da pilha com 1 k < N. Em seguida, Bernaldo deve retirar uma quantidade de pedras m da pilha com 1 m k, e assim por diante, ou seja, cada jogador, alternadamente, tira uma quantidade de pedras da pilha entre 1 e a mesma quantidade de pedras que seu oponente tirou, inclusive. Ganha o jogador que tirar a última pedra. Para cada valor de N, determine qual jogador garante a vitória, independente de como o outro jogar, e explique qual é a estratégia vencedora para cada caso. Fibonacci NIM Seja N um inteiro maior do que 2. Arnaldo e Bernaldo disputam o seguinte jogo: há N pedras em uma pilha. Na primeira jogada, feita por Arnaldo, ele deve tirar uma quantidade k de pedras da pilha com 1 k < N. Em seguida, Bernaldo deve retirar uma quantidade de pedras m da pilha com 1 m 2k, e assim por diante, ou seja, cada jogador, alternadamente, tira uma quantidade de pedras da pilha entre 1 e o dobro da última quantidade de pedras que seu oponente tirou, inclusive. Ganha o jogador que tirar a última pedra. Para cada valor de N, determine qual jogador garante a vitória, independente de como o outro jogar, e explique qual é a estratégia vencedora para cada caso. Princípio das Gavetas de Dirichlet PGD Apresentaremos o princípio e resolveremos alguns problemas como, por exemplo: (a) Na cidade do Rio de Janeiro há pelo menos duas mulheres com a mesma quantidade de fios de cabelo na cabeça. (b) Se escolhermos mais do que n números do conjunto {1, 2,..., 2n}, então dois deles são primos entre si. (c) Se escolhermos mais do que n números do conjunto {1, 2,..., 2n}, então um deles será múltiplo do outro. (d) Seja a 0 um algarismo no sistema decimal. Todo número natural n tem um mútiplo que se escreve apenas com os algarismos 0 e a. (e) e = 1 0! + 1 1! é um número irracional. 2! 4

5 (f) Se tivermos nove números inteiros positivos que não possuem divisores maiores que cinco, então existem dois cujo produto é um quadrado perfeito. (g) IMO1985 Dado um conjunto M com 1985 inteiros positivos distintos, nenhum dos quais tem divisores primos maiores do que 23, mostre que há 4 elementos em M cujo produto é uma quarta potência. (Resolveremos o problema trocando 1985 por 1537). (h) De qualquer conjunto com 2 n+1 1 números inteiros positivos sempre é possível escolher 2 n elementos tais que a soma destes é divisível por 2 n. (i) Em um torneio de xadrez há 2n + 3 participantes. Cada par de participantes joga exatamente uma partida entre si. Os jogos são arranjados de modo que não haja dois jogos simultâneos e cada participante, após jogar uma partida, fica livre durante as próximas n partidas. Prove que um dos participantes que jogou na primeira partida também vai jogar a última partida. (j) Se p j o j-ésimo número primo, mostre que a soma abaixo é um número irracional. + j=1 1 2 pj = (k) Prove que existem 1000 números consecutivos entre os quais há exatamente 144 números primos. (l) O plano foi pintado usando três cores. Prove que existem dois pontos de mesma cor distando exatamente um metro. (Esse problema é impossível para 7 ou mais cores e está em aberto para 4, 5 ou 6 cores). (m) Cada ponto do perímetro de um triângulo equilátero é pintado de uma de duas cores: azul e vermelho. Mostre que é possível escolher três pontos da mesma cor formando um triângulo retângulo. Princípio Probabilístico das Gavetas de Dirichlet ou Problema dos Aniversários Em um grupo de N pessoas, a probabilidade de que haja pelo menos duas que façam aniversário no mesmo dia (366 N) e mês é igual a N. Referências [1] FERGUSON, T.S. Game Theory. ( tom/math167.html) [2] MORGADO, A.C.; CARVALHO, J.B.P.; CARVALHO, P.C.P.; FERNANDEZ, P. Análise Combinatória e Probabilidade. 10.ed. Rio de Janeiro: SBM, [3] ROSEN, K. Matemática Discreta e Suas Aplicações. São Paulo: McGraw-Hill, [4] SANTOS, J.P.O.; MELLO, M.P.; MURARI, I.T.C. Introdução à Análise Combinatória. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, [5] STEFFENON, R.R; GUARNIERI, F.M. Belos problemas de matemática: indução e contagem. Rio de Janeiro: SBM, Disponível em 5