Aula 1 - Estratégias básicas - Princípio da casa dos pombos

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1 Murilo Vasconcelos Andrade 20 de Janeiro de Introdução Durante esta primeira parte do curso, iremos ver algumas das estratégias básicas usadas em olimpíadas de Matemática. São conceitos bastaste simples, porém importantes e que serão utilizados todo o tempo ao longo da sua trajetória olímpica. É importante que cada um deles estejam bem fixos para que consigam avançar com segurança para os próximos passos. O formato das aulas serão em geral da seguinte forma: 1. Introdução 2. Tópico principal 3. Exercícios Resolvidos. Problemas 5. Para saber mais De todas, a parte mais importante são, sem dúvidas, os problemas. É importante tentar resolver muitos problemas, pois esta é a única forma de evoluir no mundo de olímpiadas. Reflita sobre eles no ônibus, na fila do banco, durante o almoço chato da família... Caso não consigam, discutam entre si, busquem ajuda de outros, me pergunte. É importante refletir sobre os problemas, mas igualmente importante também é saber quando parar de refletir e ir buscar a solução. Quando isto ocorrer, tente entendê-la, faça ligeiras alterações no problema e veja como isso altera a solução. Em geral vai ajudar a fixar as idéias. Antes de partir para a matemática, vamos fazer uma breve digressão sobre a teoria dos chunks : 1.1 Teoria dos chunks Chunk em inglês quer dizer um pedaço, bloco. A teoria dos chunks, em psicologia, explica que a nossa memória opera por blocos. Pesquisadores viram que grandes mestres de xadrez não necessariamente calculam posições mais rapidamente que bons jogadores de xadrez. A diferença fundamental é que eles possuem uma biblioteca mental de posições mais vasta que outros jogadores, e assim conseguem prever as próximas jogadas baseadas nessa biblioteca. Outro exemplo é a leitura. Quando aprendemos a ler, lemos letra por letra - nosso chunk é a letra. À medida que o tempo passa, lemos sílaba por sílaba - o chunk é a sílaba. Adultos em geral têm como chunks as palavras, por já ter bastante costume com todas elas. Por isso lêem mais rápido. Quando vemos a frase Ordem e Progresso, o chunk é a frase inteira. No mundo da matemática, precisamos também de chunks. O hábito de resolver determinado tipo de problema nos torna muito mais capazes de resolver novos problemas parecidos. Em geral chunks trabalham juntos, e à medida que se aprende novas técnicas, elas vão se tormando chunks maiores, misturando-se com chunks de outras técnicas que já aprendemos. 1

2 Por isso a necessidade de fazermos o máximo possível de problemas (diferentes). Assim teremos cada vez chunks maiores e mais complexos, e poderemos resolver problemas com muito mais facilidade.. In mathematics you don t understand things. You just get used to them.- John von Neumann 2 Tópico principal Agora finalmente o que nos interessa: Princípio da Casa dos Pombos. Mas antes, vamos a duas definições: Definição 2.1. As funções teto x, R : N e piso x, R : N são definidas como o menor inteiro maior ou igual a x, para a função teto, e o maior inteiro menor ou igual a x, para a função piso. Por exemplo, 1. = 2, 1. = 1, π = e 1. = 1, 1. = 2, π = 3. n, n = n = n. Para todo inteiro Princípio da Casa dos Pombos (PCP): Se existem n pombos a serem colocados em k casas, então ao menos uma casa possuirá n/k pombos. Demonstração Deixamos para o leitor (use raciocínio por absurdo). Apesar de bastante simples, o princípio da casa dos pombos é utilizado em inúmeros exercícios e teoremas. Vamos a alguns exemplos: 1. Entre sete pessoas, podemos achar quatro do mesmo sexo 2. Entre 121 pessoas, podemos achar 13 que nasceram no mesmo mês 3. Entre 370 pessoas, podemos achar ao menos 2 que nasceram no mesmo dia do ano. Se temos 7 bolas pretas e 13 bolas brancas numa gaveta, quantas bolas são necessárias que tiremos ao acaso da gaveta, de maneira que tenhamos 2 bolas da mesma cor? 5. Prove que no Brasil existem duas pessoas (não carecas) com o mesmo número de cabelos. Estes exercícios são bem simples, pois são aplicações direta do PCP: 1. Só há duas casas (sexo masculino e feminino). 7 2 = 2. Nesse caso temos 12 casas (uma para cada mês) = As casas são os dias do ano ( 366 possibilidades ao todo) = 2. Basta retirarmos 3 bolas, pois 3 2 = 2 5. Se assumirmos que uma pessoa qualquer tem no máximo um milhão de cabelos, e que no Brasil existem mais de 201 milhões de pessoas, pelo PCP existem ao menos = 201 pessoas com o mesmo número de cabelos no Brasil! Em geral, esse princípio é usado para demonstrar a existência de algo, e quase sempre é necessário combinar com outras idéias (lembrem-se dos chunks!), como vamos ver nos exercícios. 3 Exercícios Resolvidos 1. Mostre que, para todo n e para a 0, a 1,..., a n inteiros quaisquer, existem a i e a j tal que a j a i seja divisível por n. Solução Quais são os pombos e as casas? Neste caso, as casas são os possíveis restos módulo n e os pombos são os números. Ora, mas existem n possíveis restos ao todo e n+1 inteiros, portanto, pelo 2

3 PCP, ao menos dois números a i e a j devem possuir o mesmo resto r. Sendo assim, a diferença deles possui resto 0 quando dividida por n. 2. Numa festa há 50 pessoas. Mostre que duas delas conhecem o mesmo número de pessoas na festa ( assumindo que se A conhece B, B conhece A) Solução Nesse caso, os pombos são as pessoas, e as casas são as quantidades de pessoas que cada pessoa conhece. Ora, existem n pessoas e também n casas (cada pessoa conhece de 0 a n-1 outras pessoas), então não podemos usar o PCP! PQP! Mas não é bem assim. Se uma pessoa conhece todas as outras na festa, então não existe outra pessoa que não conhece na festa. Logo, existem apenas n-1 casas, e pelo PCP ao menos duas pessoas conhecem o mesmo número de pessoas. 3. Seja A um conjunto de n+1 inteiros em {1, 2,..., 2n}. Prove que existe algum elemento em A que divide outro. Solução Particione o conjunto 1,2,...,2n em n conjuntos com a proriedade que um divide o outro. Isto pode ser feito como segue: Pegue {1, 2,,...}, {3, 6, 12,...},..., de tal maneira que começamos com um número ímpar e multiplicamos por potências de 2. Como existem n números ímpares menores que 2n, existem também n tais subconjuntos. Logo, pelo PCP, ao menos dois dos n+1 elementos estão no mesmo subconjunto, e portanto, um divide o outro.. Mostre que, para todo n, existe um múltiplo de n de no máximo n algarismos, todos iguais a 0 ou 1. Solução Usaremos o resultado da questão 1 com a sequência a 0 = 0, a 1 = 1, a 2 = 11, a 3 = 111,..., a n = 10 n Colocamos 51 pontos aleatoriamente em um quadrado de lado 1. Mostre que existem ao menos 3 no interior de um círculo de raio 1/7 ( este circulo não está necessariamente inteiramente dentro do quadrado). Solução Este é outro exemplo clássico de aplicação do PCP. Para usar o princípio, precisamos de menos de 51 2 casas, ou seja, no máximo 25. Não é muito fácil cobrir um quadrado com 25 círculos, mas é bem fácil cobrir com 25 quadrados menores, de lado 1 5. Pelo PCP, ao menos um destes quadrados possui 51 2 = 3 pontos. Mas a diagonal de um desses quadradinhos é igual a 2 5, que é menor que a diagonal de um círculo de raio 1/7. Logo existe um círculo de raio 1/7 que cobre tal quadrado. 6. Considere n inteiros a 1,..., a n. Prove que existe um subconjunto de S = {a 0, a 1,..., a n } tal que a soma dos elementos é divisível por n. Solução Este problema parece muito próximo do problema 1. O fato de termos 2 n possíveis subconjuntos parece nos ajudar também. No entanto há uma importante diferença. Não podemos subtrair dois conjuntos quaiquer (como fizemos com os números na questão 1). Para subtrairmos, os conjuntos devem estar contidos um no outro. Isto nos dá a idéia de utilizar subconjuntos crescentes. Neste caso, S 1 = {a 1 }, S 2 = {a 1, a 2 },..., S n = S. Mas ainda não dá! Temos n casas (restos da divisão da soma dos elementos por n) e n pombos (subconjuntos S i ). Mas não podemos desistir, sempre há uma saída! Se um desses subconjuntos possuir resto 0, já encontramos o subconjunto que queremos. Senão, nos resta n-1 possíveis restos, e podemos usar o PCP para mostrar que existem (ao menos) dois subconjuntos S i es j que possuem a soma com o mesmo resto quando dividido por n. Neste caso (consideremos sem perda de generalidade i < j) o conjunto S j S i possui a propriedade desejada. 7. Um jogador de xadrez joga ao menos 1 partida por dia, mas não mais que 10 partidas por semana. Mostre que, se ele jogar durante vários dias, podemos encontrar uma série de dias consecutivos onde ele joga exatamente 23 partidas. Solução Seja a i o número de partidas disputadas até o dia i. Temos E logo 1 a 1 < a 2 <... < a k 10 k 7 3

4 2 a < a <... < a k k Para k suficientemente grande temos 10 k < 2k (pegue por exemplo k = 36). Logo entre os 2k números a 1, a 2,..., a k, a , a ,..., a k + 23 há pelo menos 2 iguais. Mas não podemos ter a i = a j ou a i + 23 = a j + 23, logo a i = a j + 23, e entre os dias i e j, o jogador jogou exatamente 23 partidas. 8. Os números 0,1,2,..,9 são escritos 10 vezes cada um em uma matriz 10x10. Prove que existe uma linha ou coluna que contém mais de 3 números diferentes. Solução Crie um grafo com 10 vértices A 0, A 1,..., A 9, um para cada coluna, 10 vértices B 0, B 1,..., B 9, um para cada linha, e 10 vértices C 0, C 1,..., C 9,um para cada dígito. Una com uma aresta vértices de colunas A i (resp. linha) com vértices de dígitos C j se e somente se há ao menos um número j na coluna i (resp. linha). Cada dígito aparece 10 vezes. Logo, ele aparece em ao menos 7 linhas e colunas (por quê? dica: desigualdade aritmético-geométrica). Assim temos ao todo pelo menos 70 arestas, e pelo princípio da casa dos pombos, pelo menos um dos A 0,...A 9, B 0,..., B 9 possui = arestas. 9. Seja S um conjunto de 10 inteiros positivos, cuja soma total é inferior a 250 Prove que existem dois subconjuntos disjuntos A, B S de tamanho igual e de igual soma dos elementos. Solução Existem ( 10 5 ) = 252 subconjuntos de tamanho 5. Pelo PCP da casa dos pombos, dois deles têm a mesma soma. Se não são disjuntos, subtraia de cada um a parte comum. 10. Nove pessoas estão sentadas em uma fila de 12 cadeiras. Mostre que existem três cadeiras consecutivas ocupadas. Solução Separe as 12 cadeiras em grupos de 3 cadeiras consecutivas: {1, 2, 3}, {, 5, 6},... Pelo PCP, existe um desses grupos com 3 ocupantes. Obs: Note que provamos um resultado mais forte do que o pedido. Isto é bastante comum em problemas de olímpiada. Problemas 1. Mostre que a expressão 2x x + 1 é sempre igual a x ou x. Quando acontece cada caso? 2. Prove que x = x + 2x Quantas pessoas são necessárias para que possamos afirmar com certeza que a) Duas b) Três c) k pessoas nasceram no mesmo dia do ano?. Escolhemos 11 números do conjunto {1, 2,..., 20}. Prove que dois deles possuem soma Mostre que o produto de cinco números inteiros consecutivos não pode ser o quadrado de um número inteiro. 6. Escolhemos 7 pontos no interior de um hexágono regular de lado 1. Mostre que ao menos dois deles possuem distância 1 7. Prove que, se pegarmos no plano 5 pontos de coordenadas inteiras, existem dois deles que possuem o ponto médio também de coordenadas inteiras 8. Prove que existe um múltiplo de π que dista menos de de um inteiro. 9. Seja f(x) um polinômio de coeficientes inteiros, e f(a) = f(b) = f(c) = 2 com a,b,c inteiros distintos. Mostre que não existe d tal que f(d) = 3

5 10. Considere n tal que 2 e 5 não dividem n. Prove que podemos achar um múltiplo de n composto apenas de 3 s e 0 s. 11. Podemos preencher as casas de um tabuleiro n x n com os números 1, 0, 1 de maneira que as somas dos números escritos em cada linha, coluna e cada uma das diagonais seja diferente? 12. Suponha que os pontos do plano estejam coloridos com duas cores diferentes. Mostre que existe um retângulo cujos vértices são da mesma cor. 13. Suponha que os pontos do plano estejam coloridos com duas cores diferentes. Mostre que existe um triângul equilátero cujos vértices são da mesma cor. 1. Mostre que qualquer poliedro convexo possui duas faces com o mesmo número de lados. 15. (Suécia 2010) Em uma competição de matemática, o número de competidores é maior que k vezes o número de problemas. Se todos os competidores resolveram pelo menos um problema, prove que existe um entre eles tal que qualquer problema resolvido por ele foi resolvido por pelo menos k outros competidores. 16. Uma placa de carro tem sete dígitos binários (0 ou 1), e pode começar com 0s. Se duas placas devem sempre diferir em pelo menos três posições, qual o número máximo de placas possível? 17. Suponha que 55 números sejam escolhidos entre os números 1,2, Mostre que dois deles diferem de 9. Verifique se o mesmo ocorre para 10,11,12 e Mostre que em um grupo de 6 pessoas existem três que se conhecem ou se desconhecem mutuamente. ( Este é um caso particular dos chamados números de Ramsey, como brilhantemente expostos em [3]) 19. Suponha que 17 amigos se correspondem por WhatsApp, cada um deles com os demais. Cada par discute um de três tópicos: futebol, política e problemas de olimpíada. Mostre que existem ao menos três que se correspondem uns com os outros sobre o mesmo tópico. 20. Mostre que se n é ímpar, e a 1,..., a n é uma permutação de 1,2,..., n então o produto (a 1 1)...(a n n) é par. 21. Prove que, para quaisquer números reais y 1,..., y 7 existem dois tais que 0 y i y j 1 + y i y j São escolhidos 10 subconjuntos diferentes de 1,2,...,20. Prove que existem dois desses subconjuntos que possuem ao menos 5 elementos em comum. 23. (Teorema de Erdos-Szekeres) Os números 1,2,..,mn+1 são dispostos em alguma ordem. Prove que existe uma sequência de m+1 termos em ordem crescente, ou de n+1 termos em ordem decrescente. 2. (Putnam 1993) Sejam x 1,..., x 19 inteiros positivos menores que ou iguais a 93. Sejam y 1,..., y 93 inteiros positivos menores que ou iguais a 19. Prove que existe uma soma (não vazia) de alguns x i s igual à soma de alguns y j s 25. Um disco fechado de raio 1 contendo 7 pontos cujas distâncias dois a dois são 1. Mostrar que o centro faz parte dos 7 pontos. 26. Considere uma circunferência de comprimento 1 que contém um buraco de comprimento ɛ > 0. Um homem cujo passo tem comprimento irracional a ( medido ao longo do perímetro) anda sobre a circunferência. Mostre que o homem vai cair no buraco. 27. Mostre que existe m número natural n tal que sin n < Prove que existe um inteiro n tal que os primeiros dígitos de 2 n são 2,0,1,5, nesta ordem. 29. Os quadrados de um tabuleiro n x n são numerados aleatoriamente de 1 a n 2. Prove que existem dois quadrados adjacentes cujos números diferem de no máximo n. 5

6 30. (São Petersburgo 1998) Em cada uma de 10 folhas de papel são escritas várias potências de 2. Um dado número pode ser escrito múltiplas vezes na mesma folha e pode ser escrito em mais de uma folha. Mostre que algum número aparece pelo menos 6 vezes ao todo. 31. (USAMO 1976) Os quadrados de um tabuleiro x7 são coloridos de preto ou branco. Mostre que existe um retângulo de lados paralelos aos eixos com os cantos da mesma cor. 32. (Longlist IMO Bulgaria) Colocamos n + 1 reis em um tabuleiro infinito. Prove que podemos escolher n + 1 deles de modo que não existam dois que se ataquem ( i.e. cujos quadrados nenhum ponto em comum). 33. (Putnam 2001) Seja B um conjunto de mais de 2 n+1 /n pontos distintos em um espaço de n (n 3) dimensões, com coordenadas da forma (±1, ±1,..., ±1). Mostre que existem 3 pontos distintos de B cujos vértices formam um triângulo equilátero. 3. (Torneio das Cidades, 1989) Temos 101 retângulos distintos de papel de lados inteiros não maiores que 100. Prove que podemos escolher tres deles A, B e C de modo que A cobre B e B cobre C. 35. Mostre que existem inteiros a, b, c com a, b, c < 10 6 tais que a + b 2 + c 3 < (IMO 1972) Prove que a partir de 10 números de dois dígitos, podemos sempre achar dois subconjuntos disjuntos cujos elementos possuem a mesma soma. 37. (IMO 1985) Seja M um conjunto de 1985 naturais distintos tais que nenhum dos números possua um divisor primo maior que 26. Mostre que existem um subconjunto de M de quatro elementos cujo produto possui a quarta potência de um número natural. 38. (IMO 1978) Os membros de uma sociedade internacional são originários de 6 países diferentes. A lista de membros contém 1978 nomes numerados de 1 a Mostre que existe um membro cujo número vale a soma dos números de dois outros membros vindo do mesmo país ou o dobro do número de um compatriota. 39. (Putnam 2006) Sejam 1,2,3,..., 2005, 2006, 2007, 2009,2012,2016,... uma sequência definida por x k = k para k = 1, 2,..., 2006 e x k+1 = x k + x k 2005 para k Mostre que a sequência tem 2005 termos consecutivos divisíveis por Sejam A e B dois subconjuntos não-vazios de S = {1, 2,..., 99}. Denote por a e b denote o número de elementos em A e B respectivamente, e suponha a + b = 100. Prove que para cada inteiro s S, existem inteiros x A e y B tais que x+y é igual a s ou s (Putnam 2000) Sejam a j, b j, c j inteiros para 1 j N. Assuma que para cada j, ao menos um de a j, b j, c j é ímpar. Mostre que existem inteiros r, s, t tais que ra j + sb j + tc j é ímpar para pelo menos N valores de j 7 2. (Putnam 2002). Dados 5 pontos em uma esfera, mostre que quatro deles devem pertencer a um hemisfério fechado. 3. Os números de Fibonacci são definidos por F 1 = F 2 = 1 e F n = F n 1 + F n 2 para n 3. Se p é um número primo, prove que algum dos primeros p + 1 números de Fibonacci deve ser divisível por p.. 16 números são escolhidos do conjunto {1, 2,..., 100}. Prove que dentre esses n[umeros existem distintos a,b,c,d tais que a + b = c + d. 5. Os quadrados de um grid 5 x 1 são coloridos de duas cores. Prove que existem 3 linhas e 3 colunas tais que os 9 quadrados que intersectam são da mesma cor. 6

7 5 Para saber mais Referências [1] Problem-Solving Strategies, Artur Engel, chapter [2] Revista Eureka! no 5, artigo O princípio das gavetas. [3] Revista Eureka! no 6, artigo O Teorema de Ramsey. 7