INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA

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1 Disciplina: Laboratório de Engenharia Química I Período: rev. 1.4 ESTUDO DA VELOCIDADE TERMINAL DE CORPOS EM ESCOAMENTO DESCENDENTE 1. Objetivo Determinar o coeficiente de arrasto (C D ) para corpos não esféricos e a viscosidade de um fluido através do escoamento descendente de corpos aproximadamente esféricos. 2. Fundamentação Teórica Em muitos temas de mecânica dos fluidos, o fluido move-se sobre um corpo estacionário, outras vezes, um corpo move-se através de um fluido estacionário. Estes dois fenômenos, embora distintos, são equivalentes na análise da mecânica dos fluidos, pois o que importa é o movimento relativo entre o fluido e o corpo. Tais fenômenos onde se estuda o movimento de um corpo em um fluido estacionário são chamados de Escoamentos sobre Corpos ou Escoamentos Externos. 2.1 Aspectos teóricos relacionados ao experimento Quando um corpo é mergulhado dentro de um líquido e sobre ação de seu peso se desloca verticalmente para baixo, três forças principais agem no mesmo: a força peso (W) direcionada para baixo, a força de empuxo (E) direcionada para cima e a força de arrasto (F D ) que aponta no sentido contrário ao movimento do corpo. O equacionamento do problema ocorrerá da seguinte forma: W E F D = ma (1) Quando o equilíbrio de forças se estabelece, diz-se que o sistema atingiu seu estado estacionário e o corpo está em descida à velocidade constante, a velocidade terminal (Vt). No experimento que será realizado, a velocidade terminal, o diâmetro e a massa específica do corpo, entre outras propriedades, serão empregados para estimar a viscosidade do fluido no qual ocorre o escoamento. 2.2 Arrasto e sustentação Um fluido pode exercer forças e momentos sobre um corpo em várias direções. Quando em repouso, um fluido exerce somente forças de pressão normais à superfície de um corpo Velocidade Terminal, v Revisão novembro de 2016 Página 1

2 imerso nele. No entanto, um fluido em movimento também exerce forças tangenciais de cisalhamento na superfície por causa de efeitos viscosos. Por exemplo, quando você estende o braço para fora de um carro em movimento, você experimenta uma espécie de empurrão exercido pelo vento em seu braço e que resulta da ação de uma força. A força que resulta da ação de um fluido sobre um corpo na direção do escoamento é chamada de Arrasto. Esta força deve-se aos efeitos combinados da pressão e das forças de cisalhamento na superfície do corpo (atrito), na direção do escoamento do fluido. Quando as componentes de pressão e as forças de cisalhamento numa superfície agem na direção normal ao escoamento do fluido, a força resultante recebe o nome de sustentação. 2.3 Coeficiente de Arrasto As forças de arrasto e sustentação dependem, entre outros parâmetros, da massa específica do fluido, da velocidade à montante V do corpo e do tamanho, forma e orientação do corpo. Um procedimento prático para estimar estas forças é trabalhar com números adimensionais apropriados que representam suas características. No caso da força de arrasto, este número é o Coeficiente de Arrasto C D, o qual é definido abaixo: C D = F D (2) 1 2 ρv²a onde A é a área frontal do corpo (a área projetada sobre um plano normal à direção do escoamento). No estudo dos fatores que caracterizam o arrasto sobre os corpos é comum uma análise separada das contribuições referentes ao atrito e à pressão. O arrasto de atrito é a componente da força de cisalhamento da superfície do corpo na direção do escoamento, portanto, depende da orientação do corpo, bem como da intensidade da tensão de cisalhamento na superfície. O arrasto de atrito é zero para uma superfície plana normal ao escoamento, e máximo para uma superfície plana paralela ao escoamento do fluido. O arrasto de pressão é proporcional à área frontal e à diferença entre as pressões que agem na frente e atrás do corpo imerso. Desta forma, o arrasto de pressão é dominante para corpos rombudos, e pequeno para corpos carenados. O arrasto de pressão torna-se mais significativo quando a velocidade do fluido é muito alta para o fluido seguir a curvatura do corpo e, portanto, o fluido se separa do corpo em algum ponto e cria uma região de pressão muito baixa na parte traseira do corpo e o arrasto, neste caso, é devido à grande diferença de pressão entre os lados frontal e traseiro do corpo. C D = C D,atrito + C D,pressão F D = F D,atrito + F D,pressão (3) Velocidade Terminal, v Revisão novembro de 2016 Página 2

3 A natureza do escoamento afeta significativamente o Coeficiente de Arrasto total. O coeficiente de arrasto (C D ), em geral, depende do Número de Reynolds (Re), especialmente para Re < Com Re mais elevados, C D permanece essencialmente constante para a maioria das geometrias, visto que o escoamento torna-se totalmente turbulento. No entanto, esse não é o caso para corpos arredondados (rombudos), como cilindros e esferas. O coeficiente de arrasto exibe um comportamento diferente nas regiões de Re baixo (Re 1; escoamento lento), moderado (1 < Re 2 x 10 5 ; laminar) e alto (Re 2 x 10 5 ; turbulento). Para cilindros e esferas, Re crítico fica em torno de 2 x Para corpos com área frontal de escoamento circular, tem-se: F D = C D A ρv² 2 = C D πd² ρv² 4 2 = C D πd² ρv² (4) 8 A rugosidade da superfície, em geral, aumenta o coeficiente de Arrasto no escoamento turbulento; esse é o caso de corpos carenados. No entanto, em corpos rombudos, um aumento na rugosidade da superfície pode na realidade diminuir o coeficiente de Arrasto, pois nestes corpos é induzida uma turbulência na camada limite para um Número de Reynolds menor, fazendo o fluido fechar atrás do corpo, estreitando a esteira e reduzindo consideravelmente o arrasto de pressão. Isso resulta em um C D muito menor e, portanto, uma força de arrasto muito menor em certo intervalo do número de Reynolds, se comparado com outros de superfície lisa e tamanho idêntico na mesma velocidade. 2.5 Correlações da fluidodinâmica de uma partícula isolada Na literatura estão disponíveis algumas correlações baseadas no estudo do movimento de uma partícula isolada (esférica ou isométrica) em um fluido Newtoniano. Tais correlações podem ser utilizadas, por exemplo, para determinar a velocidade terminal da partícula (conhecendo-se o diâmetro) e o coeficiente de arrasto total através do cálculo do número de Reynolds. O diâmetro utilizado nas correlações é dito diâmetro de Stokes (dst), pois todos os cálculos são realizados adotando-se regime de Stokes (Re < 0,5 e partícula em movimento uniforme) (MASSARANI, 2002). Para corpos aproximadamente esféricos, o dst é o próprio diâmetro da partícula. Para corpos isométricos (poliedros regulares) ou de formato pouco uniforme, em que não é possível determinar o diâmetro, relações envolvendo a esfericidade dos mesmos são utilizadas para readequar as equações. A esfericidade é definida como a razão entre a superfície da esfera com o mesmo volume que a partícula e a superfície desta última: Velocidade Terminal, v Revisão novembro de 2016 Página 3

4 φ = πdp² Sp no qual Sp é a área de superfície da partícula e Dp o diâmetro da esfera de mesmo volume que a partícula: em que Vp é o volume da partícula. (5) Dp = ( 6 π Vp) 1/3 (6) As correlações para a partícula esférica isolada são: Correlação n Valor médio e Desvpad C D = [( 24 n 1/n 0,63 (C D )exp Re ) + 0,43 n ] = 1,00 ± 0,09 (C D )cor n 1/n Re = [( C n DRe² 24 ) + ( C 0,95 (Re)exp DRe² 0,43 ) 2 = 1,00 ± 0,06 ] (Re)cor Fonte: MASSARANI (2002) Para a partícula isométrica: Correlação n Valor médio e Desvpad C D = [( 24 n 1/n 0,85 (C D )exp K 1 Re ) + K n 2 ] = 1,00 ± 0,13 (C D )cor n 1/n Re = [( K n 1C D Re² ) + ( C 1,2 (Re)exp 2 DRe² = 1,00 ± 0,10 ) ] (Re)cor 24 K 2 Em que: Fonte: MASSARANI (2002) Re = DpVtρ f μ (7) C D Re² = 4 ρ f (ρ s ρ f )gdp³ 3 μ² K 1 = 0,843 log ( φ 0,065 ) (9) K 2 = 5,31 4,88φ (10) Tais correlações são recomendadas apenas para os intervalos: 0,65<ϕ<1, e Re< (8) 3. Materiais - 01 paquímetro; - 01 termômetro; - 01 cronômetro; - 02 provetas de 1 L; - 1 balança analítica; - 1 L de detergente; - Corpos esféricos (de preferência material plástico); - Corpos de formato não-esférico (cone e/ou hemiesfera). Velocidade Terminal, v Revisão novembro de 2016 Página 4

5 4. Procedimento Experimental a. Medir as dimensões de cada corpo com um paquímetro, registrando os valores encontrados. Determinar o volume dos corpos a serem estudados; b. Pesar os corpos a serem testados em balança para registro de sua massa e estimativa de sua massa específica; c. Adicionar aproximadamente 1 L de detergente dentro de uma proveta; d. Mergulhar um corpo de cada vez, de forma cuidadosa para que o mesmo penetre no fluido com a menor velocidade possível e sem turbulência conforme figura 1; e. Registrar por meio de um cronômetro, o tempo necessário para que o corpo percorra o espaço compreendido entre as marcas sinalizadas na proveta; f. Repetir o experimento mais 2 vezes. Para isso, transfira o detergente da proveta para outra vazia. Recupere os corpos, lavando-os em seguida. Repita o procedimento a partir do passo d. g. De posse dos dados obtidos, determinar o coeficiente de descarga para cada corpo testado e/ou a viscosidade do fluido. Comparar os resultados com dados da literatura. 5. Questionário a. Qual seria a implicação em utilizar uma esfera de aço maciço ao invés de uma plástica, para a análise da velocidade terminal? E se o detergente fosse substituído por um fluido não-newtoniano? b. É prudente adotar regime de Stokes para o movimento dos corpos testados em detergente? Ainda, o espaço percorrido considerado é suficiente para estabelecimento de velocidade constante? Prove por meio gráfico e de cálculos em função dos dados obtidos experimentalmente (comparar a solução analítica da função v(t) da partícula a partir da equação diferencial com os dados obtidos experimentalmente e utilizando as correlações de Stokes. Consultar MASSARANI (2002). c. Como você determinaria a viscosidade do detergente? Qual corpo seria o mais indicado para uso? Compare o valor obtido com o disponível para consulta (segundo FISPQ, 0,255 Pa.s para o Detergente Neutro Ypê). Discuta possíveis desvios. d. Comparando-se os valores de coeficiente de arrasto dos objetos obtidos pelas equações 1 e 4 e pelas correlações adotando regime de Stokes, com os disponíveis na literatura Velocidade Terminal, v Revisão novembro de 2016 Página 5

6 (consultar obras de YOUNG et al. (2004), ÇENGEL e CIMBALA (2007) e Handbooks de engenharia), o que você pode concluir? Foram semelhantes? Se não, quais fatores você supõe terem influenciado nos cálculos e que não foram considerados? 6. Bibliografia ÇENGEL, Y. A. e CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos. 1ª. Edição. McGraw Hill - Artmed, 2007; YOUNG, DONALD F., MUNSON, BRUCE R. E OKIISHI, Fundamentos da Mecânica dos Fluidos. Tradução da 4ª edição norte-americana. Edgard Blucher, 2004; MASSARANI, Giulio. Fluidodinâmica em Sistemas Particulados. 2ª Edição. Rio de Janeiro: E-papers Serviços Editoriais, Histórico de revisões/atualizações deste roteiro: Versão Prof. Édler Lins de Albuquerque em Versão Discente Júlio César Lima Lira em Versão Prof. Édler Lins de Albuquerque em Versão Discente Felipe de O. Mascarenhas em Velocidade Terminal, v Revisão novembro de 2016 Página 6