TEMPO DE ESVAZIAMENTO DE RESERVATÓRIOS

Transcrição

1 CURSO D Disciplina: Laboratório de Engenharia Química I Período: rev. 1.4 TEMPO DE ESVAZIAMENTO DE RESERVATÓRIOS 1. Objetivo Estudar o escoamento de fluidos no problema do esvaziamento de distintos tipos de recipientes. Objetivos específicos 1.1 Analisar o escoamento de fluidos através de diferentes recipientes com diâmetros de orifício de saída também distintos, determinar a altura em função do tempo por meio de diferentes equacionamentos; 1.2 Comparar os valores obtidos experimentalmente com aqueles esperados por abordagens teóricas (Equação de Bernoulli e aproximações); 1.3 Determinar em cada ensaio o número de Reynolds e caracterizar o regime de escoamento (laminar ou turbulento). 2. Fundamentação Teórica O experimento aborda o tema de esvaziamento de reservatórios contendo fluidos, que constitui um problema corriqueiro na prática industrial. Este tema será estudado a luz de conceitos básicos da mecânica dos fluidos. O tema de esvaziamento de reservatórios é um problema clássico da mecânica dos fluidos que aparece em diversas situações de interesse industrial. Para ilustrar consideremos o tanque cilíndrico indicado na Figura a seguir. D é o diâmetro do reservatório; d é o diâmetro do orifício de saída de fluido; h é a altura (nível de líquido) no tanque. Figura 1 Esquema mostrando o esvaziamento de um tanque cilíndrico. Tempo de esvaziamento de reservatórios, v Revisão Janeiro de 2017 Página 1

2 CURSO D Uma abordagem teórica rigorosa para este problema modela o mesmo como um escoamento em regime transiente, viscoso e rotacional. Entretanto, estimativas aproximadas podem ser obtidas a partir de adaptações de equações tais como a de Bernoulli com as devidas correções. Sabe-se que o emprego da equação de Bernoulli se justifica em situações de escoamento em regime permanente, invíscido e incompressível e deve ser aplicado em pontos do escoamento situados numa mesma linha de corrente. Fazendo-se isso para os pontos 1 e 2 da figura, tem-se: p 1 γ + V 1 2 2g + z 1 = p 2 γ + V 2 2 2g + z 2 = H (1) Sendo: p γ é a carga referente à pressão; V 2 2g é a carga da velocidade (cinética); z é a cota ou carga da elevação H é a carga total do escoamento. Uma das grandes limitações do emprego da equação de Bernoulli para o problema em questão é o fato de a situação real ocorrer em regime transiente. Modelo Dinâmico 1: Adaptação da Equação de Bernoulli com V 1 << V 2 e processo pseudo-estacionário. Para superar a dificuldade descrita nas suposições necessárias ao emprego da Equação 1, supõe-se que a velocidade da superfície do líquido no reservatório é muito menor que a velocidade na saída, visto que sua área de seção transversal é grande comparativamente ao diâmetro de saída em 2. Considerando ainda que os dois pontos estão submetidos à pressão atmosférica, a Equação (1) torna-se: z 1 = V 2 2 2g + z 2 (2) Nota-se que a velocidade instantânea (dh/dt) no ponto 1 não aparece na equação (2). Esta poderá ser obtida através da aplicação da lei de conservação da massa (Equação da Continuidade) para o sistema em questão, admitindo escoamento incompressível e regime pseudo-estacionário. Procedendo-se desta forma, tem-se: A 1 V 1 A 2 V 2 π D2 dh d2 π V 4 dt 4 2 V 2 D2 dh d 2 dt (3) Tempo de esvaziamento de reservatórios, v Revisão Janeiro de 2017 Página 2

3 CURSO D Substituindo-se (3) em (2), tem-se uma primeira estimativa teórica para dh/dt: dh dt = d2 D 2 2g(z 1 z 2 ) (4) A integração da equação (4) permite escrever h(t) como: h = 1 2 (d D ) 4 gt 2 ( d D ) 2 2gh 0 t + h 0 (5) Onde, h 0 = h(t=0). As alturas são medidas em relação à saída do reservatório. Modelo Dinâmico 2: Adaptação da Equação de Bernoulli partindo-se da hipótese de processo pseudo-estacionário. Uma outra possibilidade de estimativa para dh/dt pode ser obtida substituindo-se diretamente a Equação (3) em (1). Neste caso, obtém-se: dh dt = 2g(z 1 z 2 ) [( D 4 d ) 1] (6) A integração da equação (6) permite escrever h(t) como: h = 1 g 2 [( D t 2 2gh 0 4 d ) 1] [( D t + h 4 0 { d ) 1] } (7) Onde, h 0 = h(t=0). As alturas são medidas em relação à saída do reservatório. Modelo dinâmico 3: Adaptação da Equação de Bernoulli com V 1 << V 2 e processo pseudo-estacionário, levando em conta a perda de carga e a contração do jato de fluido na saída do reservatório. O coeficiente de descarga é um parâmetro adimensional definido por: C d = Descarga real Descarga teórica (8) A velocidade real no ponto 2 (V 2 ) é dada pelo produto entre a velocidade teórica, dada na equação 2, e o coeficiente de velocidade C v, que reflete a perda de carga associada ao escoamento. V 2 = C v V 2 = C v 2g(z 1 z 2 ) (9) Tempo de esvaziamento de reservatórios, v Revisão Janeiro de 2017 Página 3

4 CURSO D O ponto 2 está logo após o orifício de descarga do reservatório, devido à contração do jato do fluido, a área real do jato no ponto 2 é dada por: A 2 = C c A 2 (10) Onde (Cc) é o coeficiente de contração, um parâmetro adimensional para correção da área do jato. A vazão real de fluido é dada por: Sendo: Q = A 2V 2 = C v C c A 2 2g(z 1 z 2 ) = C d A 2 2g(z 1 z 2 ) (11) Q = A 1 dh dt (12) Igualando as equações (12) e (11): dh dt = C A 2 d 2g(z A 1 z 2 ) (13) 1 A integração da equação (11) permite escrever h(t) como: h = C d (d D ) gt 2 [C d ( d 2 D ) 2gh 0 ] t + h 0 (14) Modelo para esvaziamento de recipientes cônicos Figura 2 Esquema mostrando o esvaziamento de um tanque cônico. Através da análise da geometria do problema, tem-se: r 0 = r z 0 z = r = r 2 z z 2 Aplicando balanço de massa, em termos da elevação da superfície do líquido: V(z ) = z2 dz z 2 dt V 2 = V(z 2 ) = z2 dz 2 z 2 dt O balanço de energia mecânica fornece: d dt (K tot + Φ tot ) = Δ [( 1 2 V2 + gz) w] Δ(p < V > A) W E v Tempo de esvaziamento de reservatórios, v Revisão Janeiro de 2017 Página 4

5 CURSO D No qual E v é a energia dissipada. O trabalho realizado sobre a superfície líquida é dado por: Considerando que V 1 0, tem-se: W = p(πr 2 )( dz dt ) Δ(p < V > A) = pv 2 A 2 = p(πr 2 2 ) ( z2 z 2 2 ) (dz dt ) Este termo é cancelado com o trabalho realizado sobre a superfície livre. Desprezando a dissipação viscosa E v 0 e o termo associado ao acúmulo de energia cinética. O balanço de energia mecânica é escrito: z d dt (ρgz )πr 2 dz = 1 z 2 2 V 2 2 w 2 gz 2 w 2 2 Dividindo por w 2 = ρv 2 πr 2 e usando r 2 = z 2 ( r 2 2 2) (15). z 2 Substituindo V 2 = z2 dz e resolvendo: z2 2 dt 4 g d z 2 2 V 2 z 2 dt (z4 ) = V 2 2 gz 2 gz = 1 2 V 2 2 gz 2 V 2 = 2g(z z 2 ) (16) Do balanço de massa: Substituindo as equações 12 e 13 na 14: z d dt ρπr 2 2 dz = ρv 2 πr 2 (17) z 2 ( 1 2 d ) z 2 dt [1 3 (z3 z 3 2 )] = 2g(z z 2 ) Para z 2 z: z 3 2 dz = z dt 2 2 2g Sendo z = z 0 quando t = t 0 = 0 a integração fornece: 5 z z 2 = 5 2 z 2 2 t 2g Tempo de esvaziamento de reservatórios, v Revisão Janeiro de 2017 Página 5

6 CURSO D Isolando z: z 5 = 25 z gt 2 5 2gz z 2 0 t + 5 z0 (18) A equação 15 representa um modelo pseudo-estacionário para a altura de fluido durante o escoamento em recipiente cônico. Levando em conta o coeficiente de descarga, tem-se: 3. Materiais z 5 = 25 4 z 2 4 2gC 2 d t 2 5 2gz z Cd t + z 0 (19) - Água e/ou um outro fluido a ser testado; - Pigmento solúvel em água (Anilina azul); - 01 Becker de 2 L (frascos coletores); - 01 Barrilete para armazenamento de água; - 01 Bureta sem válvula e 01 Bureta 50 ml; - Termômetros (utilizar sempre o mesmo termômetro para as medições); - 01 Argola; - 02 Suportes para bureta e 01 Suporte universal; - 01 Garrafa PET de 1 L adaptada; - Tampas de garrafa PET perfuradas ao centro (mensurar e escolher somente 3); - Suporte para a garrafa; - Rolhas perfuradas ao centro de diferentes diâmetros (mensurar e escolher somente três); - Papel milimetrado, 01 Paquímetro e 01 Régua graduada ou trena; - Fita adesiva; - 01 Cronômetro; - Câmera de filmagem com boa resolução (celular ou máquina fotográfica). Tempo de esvaziamento de reservatórios, v Revisão Janeiro de 2017 Página 6

7 CURSO D 4. Procedimento Experimental Teste 1: Esvaziamento de uma bureta de vidro sem válvula com diâmetros diferentes na saída a. Com o uso de um paquímetro e régua, registrar as dimensões importantes no recipiente para a descrição do fenômeno. Efetuar cada leitura em triplicata e adotar a média do resultado. b. Com o uso de um termômetro, registrar a temperatura do fluido a ser testado. c. Adicione uma gota do pigmento ao fluido. d. Use a fita adesiva para criar marcas na bureta correspondentes aos volumes de 0; 10; 20; 30; 40 e 50 ml. e. Adaptar a rolha ao recipiente de vidro e posicionar o recipiente de coleta. f. Encher o recipiente com o fluido a ser testado, tomando o cuidado de tampar a saída do orifício. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto da escala criada). g. Destampar a saída de fluido, filmando o escoamento do mesmo da primeira até a sexta marca na bureta, deixando-o escoar para o recipiente de coleta. h. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a 10 ml escoados e o tempo total de esvaziamento do recipiente. (DICA: Utilize algum programa com tempo entre os quadros de aproximadamente 0,03s, por exemplo: Movie Maker ) i. Anotar os valores obtidos. j. Repetir os passos anteriores com as demais rolhas testadas. De posse dos dados coletados, obter h x t para cada rolha, comparando os valores experimentais com os três modelos teóricos propostos Teste 2: Esvaziamento de uma bureta de vidro com válvula a. Repetir os passos de a. a d. do item 4.1. b. Encher o recipiente com o fluido a ser testado, tomando o cuidado de deixar a válvula na posição fechada. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto da escala criada). c. Abrir a válvula de saída do fluido, filmando o escoamento do mesmo da primeira até a sexta marca na bureta, deixando-o escoar para o recipiente de coleta. d. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a 10 ml escoados e o tempo total de esvaziamento do recipiente.. (DICA: Utilize algum programa com tempo entre os quadros de aproximadamente 0,03s, por exemplo: Movie Maker ) e. Anotar os valores obtidos. Com esses dados obter h x t para a bureta com válvula, comparando os valores experimentais com os modelos teóricos propostos e com os resultados obtidos no experimento 4.1. Tempo de esvaziamento de reservatórios, v Revisão Janeiro de 2017 Página 7

8 CURSO D Teste 3: Esvaziamento da água existente em um barrilete a. Com o uso de um paquímetro e/ou régua, registrar as dimensões importantes no recipiente para a descrição do fenômeno. b. Estando a válvula de saída de água fechada, encher o barrilete com água. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto da escala). c. Abrir totalmente a válvula de saída, deixando a água escoar. Anotar os tempos correspondentes a variações de 1 cm no nível de água do recipiente. (DICA: Neste experimento a velocidade é lenta o suficiente para permitir o uso de um cronômetro de voltas). d. Fechar a válvula quando o mesmo atingir na última marcação indicada. e. Anotar os valores obtidos Teste 4: Esvaziamento da água existente em uma garrafa PET adaptada utilizando 1 tampa com diâmetro de orifício distinto para cada grupo. Figura 3 Teste 3: Esvaziamento de água em um barrilete. a. Com o uso de um paquímetro e/ou régua, registrar as dimensões importantes no recipiente para a descrição do fenômeno. b. Adaptar a tampa ao recipiente e posicionar o recipiente de coleta quando necessário. c. Adicione uma gota do pigmento à água. d. Encher o recipiente inicialmente com água, tomando o cuidado de tampar a saída do orifício. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto da escala). e. Destampar a saída de fluido, filmando o movimento da superfície do líquido ao longo da escala, e deixando-o escoar para o recipiente de coleta. Figura 4 Teste 4: Esvaziamento de uma garrafa PET adaptada. Tempo de esvaziamento de reservatórios, v Revisão Janeiro de 2017 Página 8

9 CURSO D f. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a cada 1 cm escoado e o tempo total de esvaziamento do recipiente. (DICA: Utilize algum programa com tempo entre os quadros de aproximadamente 0,03s, por exemplo: Movie Maker ). g. Anotar os valores obtidos Teste 5: Esvaziamento de recipiente cônico a. Com o uso de um paquímetro e régua, registrar as dimensões importantes no recipiente para a descrição do fenômeno (Ver equação 15 e Figura 2). Efetuar a leitura em triplicata e adotar a média do resultado. b. Adicione uma gota do pigmento ao fluido. c. Encher o recipiente com o fluido testado até o limite da região cônica, tomando o cuidado de deixar a válvula na posição fechada. d. Abrir a válvula de saída do fluido, filmando o escoamento do mesmo ao longo da escala colocada atrás do recipiente, deixando-o escoar para o recipiente de coleta. e. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a cada 1 cm escoado e o tempo total de esvaziamento do recipiente. f. Anotar os valores obtidos. Figura 5 Teste 5: Esvaziamento de recipiente cônico. 6. Cálculos e análises dos resultados Os resultados e discussões efetuados deverão ser apresentados no relatório da prática na forma de tabelas e gráficos que possam apresentar/responder ao que se pede, conforme questionamento descrito abaixo. A partir de um ajuste de curvas aos dados experimentais é possível propor um modelo dinâmico empírico. Este modelo está de acordo com a teoria? Justifique. Porque é mais adequado utilizar os modelos na forma integrada do que na diferencial? Qual modelo dinâmico teórico apresentado se aproxima mais dos resultados empíricos? O que justifica este comportamento? Tempo de esvaziamento de reservatórios, v Revisão Janeiro de 2017 Página 9

10 CURSO D Ao considerarmos que a velocidade na superfície do líquido é aproximadamente zero estaremos cometendo um erro significativo? Compare os modelos empregados para responder esta pergunta. O atrito no recipiente e a formação da vena contracta foram importantes? Em cada intervalo de medição, Δt, determinar se o escoamento é laminar ou turbulento. Observar se o tipo de escoamento se mantém sempre o mesmo, justificando. Sabendo que o coeficiente de descarga depende do número de Reynolds, proponha uma modificação no modelo teórico que leve em conta a transitoriedade do escoamento. Para isto calcule em cada intervalo de medição, Δt, o coeficiente de descarga, em seguida relacione-o com o tempo médio entre as medições. De que fato decorre a incerteza associada ao novo modelo? Com base nos fatores desprezados pelos modelos, que condições experimentais permitiriam uma maior aproximação dos modelos teóricos com o resultado empírico? É possível exprimir uma relação funcional entre altura adimensional (h/h) e tempo adimensional (t/t) para os resultados experimentais? 7. Conclusões Inserir as conclusões com base nos resultados alcançados. 8. Bibliografia: ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos. 1ª. Edição. McGraw Hill Artmed, FOX, R. W.; McDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Mecânica dos Fluidos - 6ª edição, LTC, YOUNG, D. F.; MUNSON, B. R.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos. Tradução da 4ª edição norte-americana. Edgard Blucher, BIRD, R. B.; STEWART, W. E; LIGHTFOOT, E. N. Fenômenos de Transporte - 2ª edição, Editora LTC, Histórico de revisões/atualizações deste roteiro: Versão Prof. Édler Lins de Albuquerque em Versão Discente Murilo Fontes em Versão Prof. Édler Lins de Albuquerque em Versão 1.4 Prof. Édler Lins de Albuquerque em Tempo de esvaziamento de reservatórios, v Revisão Janeiro de 2017 Página 10