CAPÍTULO 3 DINÂMICA DOS FLUIDOS ELEMENTAR EQUAÇÃO DE BERNOULLI 2ª PARTE

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS CAPÍTULO 3 DINÂMICA DOS FLUIDOS ELEMENTAR EQUAÇÃO DE BERNOULLI 2ª PARTE Prof. Eliane Justino 3.6 EXEMPLOS DA APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI Se o escoamento puder ser modelado como invíscido, incompressível e se o regime for permanente, tem-se para a Equação de Bernoulli entre dois pontos que pertencem a mesma linha de corrente, (1) e (2): JATO LIVRE Descreve a descarga de líquidos para a atmosfera de um grande reservatório. Como mostrado na Figura a seguir. 1

2 3.6.1 JATO LIVRE Escoamento Vertical no Bocal de um Tanque JATO LIVRE Aplicando a Equação de Bernoulli entre (1) e (2): Considerando que a referência está na saída do jato O reservatório é de grande porte V 1 0 Conservação da Massa. p 1 = p 2 = 0 estão expostos à pressão atmosférica e consideraremos a pressão relativa, sendo assim os valores de p 1 e p 2 são nulos. Portanto: 2

3 3.6.1 JATO LIVRE Para se provar que p 2 = 0, ou seja esta submetido a pressão atmosférica, pode-se aplicar F = m.a na direção normal a linha de corrente entre os pontos (2) e (4). Se as linhas de correntes na seção de descarga do bocal são retilíneas (R = ) segue que p 2 = p 4, analise a Equação abaixo. Como (2) é um ponto arbitrário no plano de descarga do bocal, segue que a pressão neste plano é igual a atmosférica JATO LIVRE Note que a pressão precisa ser constante na direção normal às linha de corrente porque não existe componente da força peso ou uma aceleração na direção horizontal. O escoamento se comporta como um jato livre, com a pressão uniforme e igual a atmosférica (p 5 =0 ), a jusante do plano de descarga do bocal. Aplicando a Equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (5), considerando a referência no ponto (5), tem-se: 3

4 3.6.1 JATO LIVRE H é a distância entre a seção de descarga do bocal e ponto (5) JATO LIVRE Considerando agora um jato horizontal Escoamento Horizontal no Bocal de um Tanque 4

5 3.6.1 JATO LIVRE A velocidade na linha de centro do escoamento V 2, será um pouco maior que V 1, e um pouco menor do que a do fundo, V 3, devido a diferença de elevação. V 1 < V 2 < V 3 A velocidade na linha de centro do escoamento representa bem a velocidade média do escoamento se d << h. Se o contorno do bocal não é suave, veja figura a seguir, o diâmetro do jato, dj, será menor que o diâmetro do orifício, d h. Este efeito, conhecido como vena contracta, é o resultado da inabilidade do fluido de fazer uma curva de 90º JATO LIVRE Efeito da Vena Contracta num Orifício com Borda pontuda Como as linhas de corrente no plano de saída são curvas ( R < ), a pressão não é constante entre as linhas de corrente. Note que é necessário um gradiente infinito de pressão para que seja possível fazer uma curva com raio nulo (R = 0). 5

6 3.6.1 JATO LIVRE A pressão mais alta ocorre ao longo da linha de centro em (2) e a mais baixa, p 1 = p 3 = 0, ocorre na periferia do jato. Assim, as hipóteses de que a velocidade é uniforme, que as linhas de correntes são retilíneas e que a pressão é constante na seção de descarga não são válidas. Entretanto, elas são no plano da vena contracta (seção a a). A hipótese de velocidade uniforme é válida nesta seção desde que d j << h. O formato da vena contracta é função do tipo de geometria da seção de descarga JATO LIVRE Algumas configurações típicas estão mostradas na Figura ao lado juntamente com os valores típicos experimentais do coeficiente de contração, C c. Este coeficiente é definido pela relação A j /A h onde A j é a área da seção transversal do jato na vena contracta e A h é a área da seção de descarga do tanque. 6

7 3.6.1 ESCOAMENTOS CONFINADOS São caso de escoamentos em que a pressão não pode ser determinada a priori, como acontece no caso de jato livre, visto que, a pressão em que estes escoamentos estão submetidas é diferente da pressão atmosférica. EXEMPLO: Escoamento em bocais e nas tubulações que apresentam diâmetro variáveis. Onde a velocidade média do escoamento varia, porque a área de escoamento não é constante. Para solucionar este tipo de problema é utilizado o conceito de Conservação da Massa (ou Equação da Continuidade) juntamente com a equação de Bernoulli ESCOAMENTOS CONFINADOS Será utilizado uma Derivação a partir de argumento intuitivos para obtenção da Equação da Conservação da Massa Simplificada: Considere um escoamento de um fluido num volume fixo, tal como um tanque, que apresenta apenas uma seção de alimentação e uma seção de descarga, como mostrado na Figura abaixo: 7

8 3.6.1 ESCOAMENTOS CONFINADOS Se o escoamento ocorre em regime permanente, de modo que não existe acumulo de fluido no volume, a taxa com que o fluido escoa para o volume precisa ser igual a taxa com que o fluido escoa do volume (de outro modo a massa não seria conservada). A vazão em massa na seção de descarga: Onde Q é a vazão em volume (m 3 /s). Se a área da seção de descarga é A e o fluido escoar na direção normal ao plano da seção com velocidade média V, a quantidade de fluido em volume que passa pela seção no intervalo de tempo δt é expressa por: ESCOAMENTOS CONFINADOS Ou seja, igual a área da seção de descarga multiplicada pela distância percorrida pelo escoamento (Vδt). Assim, sendo a vazão em volume dada por Q = A.V, tem se para vazão em massa: Para que a massa no volume considerado permaneça constante, a vazão em massa na seção de alimentação deve ser igual àquela na seção de descarga. 8

9 3.6.1 ESCOAMENTOS CONFINADOS Se a seção de Alimentação for (1) e a de descarga (20, tem-se: Assim, a conservação da massa exige que: Se a massa específica do fluido permanecer constante, ρ 1 = ρ 2, a Equação se torna; ESCOAMENTOS CONFINADOS Por exemplo, se a área da seção de descarga é igual a metade da área da seção de alimentação, segue que a velocidade media na seção de descarga é igual ao dobro daquela na seção de alimentação. EXEMPLO 3.7 pág. 109 A Figura a seguir mostra um tanque (diâmetro D = 1,0 m) que é alimentado com um escoamento de água proveniente de um tubo que apresenta d, igual a 0,1m. Determine a vazão em volume Q, necessário para que o nível da água (h) permaneça constante e igual a 2 m. 9

10 EXEMPLO 3.7 pág. 109 EXEMPLO 3.7 pág. 109 SOLUÇÃO Se modelarmos o escoamento como invíscido, incompressível e em regime permanente, a aplicação da Equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2) resulta em: (1) Admitindo que p 1 = p 2 = 0, z 1 = h e z 2 = 0, tem-se 10

11 EXEMPLO 3.7 pág. 109 Note que o nível d água pode permanecer constante (h = constante) porque existe uma alimentação de água no tanque. Da Equação da Conservação da massa, que é adequada para escoamento incompressível, requer que Q 1 = Q 2, onde Q = A.V. Assim, A 1.V 1 = A 2.V 2, ou: (2) Assim: (3) EXEMPLO 3.7 pág. 109 Combinando as Equações (1) e (3), obtém-se e: Neste exemplo nós não desprezamos a energia cinética da água no tanque (V 1 0). Se o diâmetro do tanque é grande em relação ao diâmetro do jato (D >> d), A Eq. (3) indica que V 1 << V 2 e a hipótese de V 1 = 0 será adequado 11

12 EXEMPLO 3.7 pág. 109 O erro associado com esta hipótese pode ser visto a partir da relação entre a vazão calculada admitindo que V 1 0, indicada por Q, e aquela obtida admitindo que V 1 = 0, denotada por Q 0. Essa relação é dada por: A Figura a seguir mostra o gráfico dessa relação funcional. Note que 1 < Q / Q 0 1,01 se 0 < d / D < 0,4. EXEMPLO 3.7 pág. 109 Assim, o erro provocado pela hipótese de V 1 = 0 é menor do que 1% nesta faixa de relação de diâmetros. 12

13 EXEMPLO 3.8 pág. 110 A Figura abaixo mostra o esquema de uma mangueira de diâmetro D = 0,03 m que é alimentada, em regime permanente, com ar proveniente de um tanque. O fluido é descarregado no ambiente através de um bocal que apresenta seção de descarga, d, igual a 0,01 m. Sabendo que a pressão no tanque é constante e igual a 3,0 kpa (relativa) e que a atmosfera apresenta pressão e temperatura, padrões, determine a vazão em massa e a pressão na mangueira. EXEMPLO 3.8 pág. 110 SOLUÇÃO: Se nós admitirmos que o escoamento ocorre em regime permanente é invíscido e incompressível, nós podemos aplicar a equação de Bernoulli ao Longo da Linha de Corrente que passa por (1), (2) e (3). Assim: (1) Se nós admitirmos que z 1 = z 2 = z 3 (a mangueira está na horizontal), que V 1 = 0 (o tanque é grande) e que p 3 = 0 (jato livre), tem-se que: e 13

14 EXEMPLO 3.8 pág. 110 A massa específica do ar no tanque pode ser obtida com a Lei do Gases Perfeito (utilizando temperatura e pressão absolutas). Assim: Assim, nós encontramos que: e EXEMPLO 3.8 pág. 110 Note que o valor de V 3 independe do formato do bocal e foi determinado utilizando apenas o valor de p 1 e as hipóteses envolvidas na Equação de Bernoulli. A carga de pressão no tanque, p 1 /γ = (3000 Pa)/(9,8 m/s 2 ) (1,26 kg/m 3 ) = 243 m, é convertida em carga de velocidade V 3 2 /2g = (69,0 m/s 2 )/ (2 x 9,8 m/s 2 ) = 243 m. Observe que, apesar de termos utilizado pressões relativas na Equação de Bernoulli (p 3 = 0), nós utilizamos a pressão absoluta para calcular a massa específica do ar com a Lei dos Gases Perfeitos. A pressão na mangueira pode ser calculada utilizando a Eq. (1) e a Equação da conservação de massa. 14

15 EXEMPLO 3.8 pág. 110 Assim: E da Eq. (1): A pressão na mangueira é constante e igual a p 2 se os efeitos viscosos não forem significativos. O decréscimo na pressão de p 1 a p 2 acelera o ar e aumenta sua energia cinética de zero no tanque até um valor intermediário na mangueira e finalmente até um valor máximo na seção de descarga. EXEMPLO 3.8 pág. 110 Como a velocidade do ar na seção de descarga do bocal é nove vezes maior que na mangueira, a maior queda de pressão ocorre do bocal (p 1 = 3 kpa, p 2 = 2,96 kpa e p 3 = 0). Como a variação de pressão de (1) para (3) não é muito grande em termos absoluto, (p 1 p 3 )/ p 1 = 3,0/101 = 0,03, temos que a variação na massa específica do ar não é significativa. (veja equação dos gases perfeito). Assim, a hipótese de escoamento incompressível é razoável para este problema. Se a pressão no tanque fosse consideravelmente maior ou se os efeitos viscosos forem importantes, os resultados obtidos neste exercícios não são adequados. 15

16 EXEMPLO 3.9 pág. 112 Em muitos casos a combinação dos efeitos de energia cinética, pressão e gravidade são importantes no escoamento. O Exemplo 3.9 ilustra uma destas situações. A Figura a seguir mostra o escoamento de água numa redução. A pressão estática em (1) em (2) são medidas com um manômetro em U invertido que utiliza óleo, densidade igual a SG, como fluido manométrico. Nestas condições, determine a leitura no manômetro (h). EXEMPLO 3.9 pág

17 EXEMPLO 3.9 pág. 112 SOLUÇÃO: Se admitirmos que o regime de operação é o permanente e que o escoamento é incompressível e invíscido, nós podemos escrever a Equação de Bernoulli do seguinte modo: A Equação da conservação da massa pode fornecer uma segunda relação entre V 1 e V 2 se admitirmos que os perfis de velocidade são uniformes nestas duas seções. Deste modo: EXEMPLO 3.9 pág. 112 Combinando as duas últimas Equações: Esta diferença de pressão é medida pelo manômetro e pode ser determinada com os conceitos desenvolvidos no Cap. 2. Assim: (1) Ou (2) 17

18 EXEMPLO 3.9 pág. 112 As Equações (1) e (2) podem ser combinadas para fornecer: Mas como V 2 = Q/A 2. A diferença de elevação z 1 z 2 não aparece na equação porque o termo de variação de elevação na Equação de Bernoulli é cancelado pelo termo referente a variação de elevação na equação de manômetro. EXEMPLO 3.9 pág. 112 Entretanto, a diferença de pressão p 1 p 2 é função do ângulo θ por causa do termo z 1 z 2 da Eq. (1). Assim, para uma dada vazão em volume, a diferença de pressão p 1 p 2 medida no manômetro variará com o θ mas a leitura do manômetro, h, é independente deste ângulo. Geralmente, um aumento de velocidade é acompanhado por uma diminuição na pressão. Por exemplo, a velocidade média do escoamento de ar na região superior de uma asa de avião é maior do que a velocidade média do escoamento na região inferior da asa. Assim, a força liquida a pressão na região inferior da asa é maior do que aquela na região superior da asa e isto gera a força de sustentação na asa. 18

19 CAVITAÇÃO Se a diferença entre estas velocidades é alta, a diferença entre as pressões também pode ser considerável, isto pode introduzir efeitos compressíveis nos escoamentos de gases, e a cavitação nos escoamento de líquidos. A Cavitação ocorre quando a pressão no fluido é reduzida a pressão de vapor e o líquido evapora. Pressão de Vapor, p v, é a pressão em que as bolhas de vapor se formam num líquido, ou seja, é a pressão em que o líquido muda de fase. Esta pressão depende do tipo de líquido e da temperatura. CAVITAÇÃO EXEMPLO: A água evapora a 100º C na atmosfera padrão, 1,013 bar, e a 30º C quando a pressão no líquido é igual a 4,24 kpa (abs), ou seja: p v = 4,24 kpa (abs) - a 30º C p v = 101,3 kpa (abs) - a 100º C É possível identificar a produção de Cavitação num escoamento de líquido utilizando a Equação de Bernoulli. EXEMPLO: Se a velocidade do fluido aumenta, por uma redução da área disponível para o escoamento, a pressão diminuirá. 19

20 CAVITAÇÃO Distribuição de Pressão e Cavitação Numa Tubulação com Diâmetro Variável; CAVITAÇÃO Esta diminuição de pressão, necessária para acelerar o fluido na restrição, pode ser grande o suficiente para que a pressão no líquido atinja o valor da sua pressão de vapor. EXEMPLO: Cavitação pode ser demonstrada numa mangueira de jardim. Se o bocal de borrifamento for estrangulado obtém-se uma restrição da área de escoamento, de modo que a velocidade da água nesta restrição poderá ser relativamente grande, se formos diminuindo a área de escoamento, o som produzido pelo escoamento de água mudará, um ruído bem definido é produzido a partir de um certo estrangulamento, este som é provocado pela Cavitação. 20

21 CAVITAÇÃO A Ebulição ocorre na Cavitação (apesar da temperatura ser baixa) e, assim, temos a formação de bolhas de vapor nas zonas de baixa pressão. Quando o fluido escoa para uma região que apresenta pressão mais alta (baixa velocidade), as bolhas colapsam. Este processo pode produzir efeitos dinâmicos (implosões) que causam transientes de pressão na vizinhança das bolhas. Acredita-se que pressões tão altas quanto 690 MPa ocorrem neste processo. Se as bolhas colapsam próximas de uma fronteira física elas podem, depois de um certo tempo, danificar a superfície na área de cavitação. CAVITAÇÃO A Figura abaixo mostra a cavitação nas pontas de uma hélice. Neste caso, a alta rotação da hélice produz uma zona de baixa pressão na periferia da hélice. Obviamente, é necessário projetar e utilizar adequadamente os equipamentos para eliminar os danos que podem ser produzidos pela cavitação. 21

22 EXEMPLO 3.10 pag. 114 A Figura a seguir mostra um modo de retirar água a 20º C de um grande tanque. Sabendo que o diâmetro da mangueira é constante, determine a máxima elevação da mangueira, H, para que não ocorra Cavitação no escoamento de água na mangueira. Admita que a seção de descarga da mangueira está localizada a 1,5 m abaixo da superfície inferior do tanque e que a pressão atmosférica é igual a 1,13 bar. EXEMPLO 3.10 pag. 114 SOLUÇÃO: Nós podemos aplicar a Equação de Bernoulli ao longo da linha de Corrente que passa por (1), (2) e (3) se o escoamento ocorre em regime permanente, é incompressível e invíscido. Nestas condições: Nós vamos utilizar o fundo do tanque como referência. Assim, z 1 = 4,5 m, z 2 = H e z 3 = -1,5 m. Nós também vamos admitir que V 1 = 0 (tanque grande), p 1 = 0 (tanque aberto), p 3 = 0 (jato livre). A Equação da continuidade estabelece que A 2 V 2 = A 3 V 3. Como o diâmetro da mangueira é constante, temos que V 2 = V 3. Assim a velocidade do fluido na mangueira pode ser determinada com a Eq. (1), ou seja; (1) 22

23 EXEMPLO 3.10 pag. 114 (2) A utilização da Eq (1) entre os pontos (1) e (2) fornece a pressão na elevação máxima da mangueira, p 2. A Tab. B.1 do Apêndice mostra que a pressão de vapor da água a 20º C é igual a 2,338 kpa (abs). Assim, a pressão mínima na deve ser igual a 2,338 kpa (abs) para que ocorra cavitação incipiente no escoamento. A análise da Figura deste Exercício e da Eq. (2) mostra que a pressão mínima do escoamento na mangueira ocorre no ponto de elevação máxima. EXEMPLO 3.10 pag. 114 Como nós utilizamos pressões relativas na Eq. 1 nós precisamos converter a pressão no ponto (2) em pressão relativa, ou seja, p 2 = 2, ,3 = - 99 kpa. Aplicando este valor na Eq. (2), temos: Note que ocorrerá a formação de bolhas em (2) se o valor de H for maior do que o calculado e, nesta condição, o escoamento no sifão cessará. 23

24 EXEMPLO 3.10 pag. 114 Poderíamos ter trabalhado com pressões absolutas (p 2 = 2,338 kpa e p 1 = 101,3 kpa) em todo o problema e é claro que obteríamos o mesmo resultado. Quando mais baixa a seção de descarga da mangueira maior a vazão e menor o valor permissível de H. Nós também poderíamos ter utilizado a Equação de Bernoulli entre os pontos (2) e (3) com V 2 = V 3 e obteríamos o mesmo valor de H. Neste caso não seria necessário determinar V 2 como a aplicação da equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (3).. Os resultados obtidos neste Exemplo são independentes do diâmetro e do comprimento da mangueira (desde que os efeitos viscosos não sejam importantes). Observe que ainda é necessário realizar um projeto mecânico da mangueira (ou tubulação) para assegurar que ela não colapse devido a diferença entre pressão atmosférica e a pressão no escoamento MEDIÇÃO DE VAZÃO Muitos dispositivos foram desenvolvidos a partir da Equação de Bernoulli, para medir velocidade de escoamento e vazões em massa, um exemplo disto é o Tubo de Pitot. Há também os dispositivos utilizados, na medição de vazões em volume em tubos, condutos e canais abertos. Considerando medidores de vazão ideais, ou seja, aqueles onde os efeitos viscosos e de compressibilidade não são levados em consideração. O objetivo disto é entender o princípio básico de operação destes medidores de vazão. Um modo eficiente de medir a vazão em volume em tubos é instalar algum tipo de restrição no tubo e medir a diferença entre as pressões na região de baixa velocidade e alta pressão (1) e a de alta velocidade e baixa pressão (2). 24

25 3.6.3 MEDIÇÃO DE VAZÃO A Figura abaixo mostra três tipos de comuns de medidores de vazão: MEDIÇÃO DE VAZÃO A operação de cada um é baseada no mesmo princípio um aumento de velocidade provoca uma diminuição na pressão. A diferença entre eles é uma questão de custo, precisão e como sua condição ideal de funcionamento se aproxima da operação ideal. Admitindo que o escoamento entre os pontos (1) e (2) é incompressível, invíscido e horizontal (z 1 = z 2 ). Se o regime de escoamento é permanente, a Equação de Bernoulli fica restrita a: (1) 25

26 3.6.3 MEDIÇÃO DE VAZÃO Note que o efeito da inclinação do escoamento pode ser incorporado na Equação incluindo a mudança de elevação z 1 z 2 na Equação de Bernoulli. Admitindo que os perfis de velocidade são uniforme em (1) e (2), a Equação de Conservação da massa, pode ser rescrita como: (2) Combinando as Equações (1) e (2), tem-se a seguinte expressão para a vazão em volume teórica: MEDIÇÃO DE VAZÃO Assim para uma dada geometria do escoamento (A 1 e A 2 ) a vazão em volume pode ser determinada se a diferença de pressão p 1 p 2 for medida. A vazão real, Q real, será menor que o resultado teórico porque existe várias diferenças entre o mundo real e aquele modificado pelas hipóteses utilizadas na obtenção da Equação para a vazão em volume real, estas diferenças dependem da geometria dos medidores e podem ser menor do que 1% ou tão grande quanto 40%. 26

27 EXEMPLO 3.11 pág. 116 Querosene (densidade = SG = 0,85) escoa no medidor Venturi mostrado na Figura abaixo e a vazão em volume varia de 0,005 a 0,050 m 3 /s. Determine a faixa de variação da diferença de pressão medida nestes escoamento (p 1 p 2 ). EXEMPLO 3.11 pág. 116 SOLUÇÃO: Admitindo que o escoamento é invíscido, incompressível e que o regime é permanente, a relação entre a variação de pressão e a vazão pode ser calculada com a Equação: Tem-se: 27

28 EXEMPLO 3.11 pág. 116 A massa específica do querosene é igual a: A diferença de pressão correspondente a vazão mínima é: Já a diferença de pressão correspondente a vazão máxima é: EXEMPLO 3.11 pág. 116 Assim: Estes valores representam as diferenças de pressão que seriam encontradas em escoamentos incompressíveis, invíscidos e em regime permanente. Os resultados ideais apresentados são independentes da geometria do medidor de vazão um orifício, bocal ou medidor Venturi. A Equação: 28

29 EXEMPLO 3.11 pág. 116 Mostra que a vazão em volume varia com a raiz quadrada da diferença de pressão. Assim, como indicam os resultados do Exemplo 3.11, um aumento de 10 vezes na vazão em volume provoca um aumento de 100 vezes na diferença de pressão Esta relação não linear pode causar dificuldade nas medição de vazão se a faixa de variação for muito larga. Tais medições podem requere transdutores de pressão com uma faixa muito ampla de operação. Um modo alternativo para escapar deste problema é a utilização de dois manômetros em paralelo um dedicado a medir as baixas vazões e outro dedicado a faixa com vazões mais altas. MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS Outros medidores de vazão, baseados na Equação de Bernoulli, são utilizados para medir vazão em canais abertos tais como as calhas e canais de irrigação. Dois destes dispositivos de medida, a comporta deslizantes e o vertedouro de soleira delgada, serão analisados sob a hipótese de que o escoamento é invíscido, incompressível e que o regime é o permanente. 29

30 MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS - COMPORTAS A comporta mostrada na Figura abaixo é muito utilizada para controlar e medir vazão em canais abertos. Comporta Deslizante MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS - COMPORTAS A vazão em volume, Q, é função da profundidade de escoamento de água a montante da comporta, z 1, da largura da comporta, b e da sua abertura, a. Aplicando a Equação de Bernoulli e a Equação da Conservação de Massa (Continuidade) entre os pontos (1) e (2) pode oferecer uma boa aproximação da vazão real neste dispositivo, Admitindo que os perfis de velocidade são suficientemente uniformes a montante e a jusante da comporta. Aplicando a Equações de Bernoulli e da Continuidade entre (1) e (2) que estão localizados na superfície livre do escoamento tem-se 30

31 MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS - COMPORTAS e Como os dois pontos são superficiais, tem-se que p 1 = p 2 = 0. Combinando as Equações, resulta: MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS - COMPORTAS No caso limite onde z 1 >> z 2, esta Equação fica reduzida a: Neste caso limite a energia cinética do fluido a montante da comporta é desprezível e a velocidade do fluido a jusante da comporta é igual a de uma queda livre com uma altura igual (z 1 z 2 ) z 1. O mesmo resultado pode ser obtido a partir da Equação de Bernoulli entre os pontos (3) e (4) e utilizando p 3 = γz 1 e p 4 = γz 2 porque as linhas de correntes nestas sessões são retas. Nesta formulação, em vez de temos as contribuições da energia potencial em (1) e (2) encontra-se as contribuições da pressão em (3) e (4). 31

32 MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS - COMPORTAS Como o fluido não pode fazer uma curva de 90º e, também encontra-se uma vena contracta que induz um coeficiente de contração, C c = Z 2 /a menor que 1. O valor típico de C c é aproximadamente igual a 0,61 para 0 < a/z 1 < 0,20. Mas o valor do coeficiente de contração cresce rapidamente quando a relação a/z 1 aumenta. EXEMPLO 3.12 pág. 118 A água escoa sob a comporta deslizante mostrada na Figura abaixo. Estime o valor da vazão em volume de água na comporta por unidade de comprimento de canal. 32

33 EXEMPLO 3.12 pág. 118 SOLUÇÃO: Nós vamos admitir que o escoamento é incompressível, invíscido e que o regime de escoamento é o permanente. Assim, nós podemos aplicar a Equação: Obtém-se, Q/b, ou seja vazão em volume por unidade de comprimento do canal, dada por: EXEMPLO 3.12 pág. 118 Neste caso nós temos que z 1 = 5,0 m e a = 0,8 m. Como a/z 1 = 0,16 < 0,20, vamos admitir que C c o coeficiente de contração, é igual a 0,61. Assim, z 2 = C c.a = 0,61 x 0,8 = 0,488 m e a vazão por unidade de comprimento do canal é: Se nós considerarmos que z 1 >> z 2 e desprezarmos a energia cinética do fluido a montante da comporta, encontramos: 33

34 EXEMPLO 3.12 pág. 118 Neste caso, a diferença entre as vazões calculadas dos dois modos não é muito significativa porque a relação entre as profundidades é razoavelmente grande (z 1 /z 2 = 5,0/0,488 = 10,2). Este resultado mostra que muitas vezes é razoável desprezar a energia cinética do escoamento a montante da comporta em relação àquela a jusante da comporta. MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS VERTEDOR0 Um outro dispositivo utilizado para medir a vazão em canais abertos é o vertedoro. A Figura abaixo mostra um vertedoro retangular de soleira delgada típico. 34

35 MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS VERTEDOR0 Neste tipo de dispositivo a vazão de líquido sobre o vertedoro é função da altura do vertedoro, P w, da largura do canal, b e da carga d água acima do topo do vertedoro, H. A aplicação da Equação de Bernoulli pode fornecer um resultado aproximado para a vazão nestas situações, mesmo sabendo que o escoamento real no vertedoro é muito complexo. Os campos de pressão e gravitacional provocam a aceleração do fluido entre os pontos (1) e (2) do escoamento, ou seja, a velocidade varia de V 1 para V 2. No ponto (1) a pressão é p 1 = γ h, enquanto que no ponto (2) a pressão é praticamente igual a atmosférica p 2 = 0. MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS VERTEDOR0 Na região localizada acima do topo do vertedoro (seção a a) a pressão varia do valor atmosférico na superfície superior até o valor máximo na seção e de novo para o valor atmosférico na superfície inferior. Tal distribuição de pressão combinada com as linhas de corrente curvas produz um perfil de velocidade não uniforme na seção a a. A distribuição de velocidade nesta seção só pode ser determinada experimentalmente ou utilizando recursos teóricos avançados.. Analisando o problema de um modo mais simples, admitindo que o escoamento no vertedoro é similar ao escoamento num orifício com linhas de correntes livres. 35

36 MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS VERTEDOR0 Se a hipótese for válida, pode-se esperar que a velocidade média sobre o vertedoro é proporcional a (2.g.H) 1/2 e que a área de escoamento para o vertedoro é proporcional a H. b. Assim: Onde C 1 é uma constante que precisa ser determinada. C 1 geralmente é determinada por via experimental. EXEMPLO 3.13 pag. 120 Água escoa sobre um vertedor triangular como mostrado na Figura abaixo. Determine a dependência funcional entre a vazão em volume, Q, e a profundidade H utilizando um procedimento baseado na Equação de Bernoulli. Se a vazão em volume é Q 0, quando H = H 0, estime qual é a vazão quando a profundidade aumenta para H = 3 H 0. 36

37 EXEMPLO 3.13 pag. 120 SOLUÇÃO: Se admitirmos que o escoamento é invíscido, incompressível e que ocorre em regime permanente nós podemos utilizar a equação: Com esta, estima-se a velocidade média do escoamento sobre a comporta triangular. Deste modo nós obtemos que a velocidade média é proporcional a (2gH) 1/2. Também vamos admitir que a área de escoamento, para uma profundidade H, é H(H.tan(θ/2). EXEMPLO 3.13 pag. 120 A combinação destas hipótese resulta em: Onde C 2 é uma constante que precisa ser determinada experimentalmente. Se triplicarmos a profundidade (de H 0 para 3H 0 ), a relação entre as vazões é dada por: Note que a vazão em volume é proporcional a H 5/2 no vertedoro triangular enquanto que no retangular é proporcional a H 3/2. 37

38 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 3.2 pág 130 Modificado. A água escoa em regime permanente no bocal mostrado na Figura abaixo. O eixo de simetria do bocal está na vertical e a distribuição de velocidade neste eixo é dada por V = 10 (1+ z) k m/s. Admitindo que os efeitos viscosos são desprezíveis. Determine (a) o gradiente de pressão necessário para produzir este escoamento (em função de z). (b) se a pressão na seção (1) é de 340 kpa, determine a pressão na seção (2) (I) integrando o gradiente de pressão obtido na parte (a) e (II) aplicando a Equação de Bernoulli, ρ H20 = 998 kg/m 3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS EXERCÍCIO 02 - A água escoa sobre um vertedoro triangular como mostrado na figura abaixo. Determine qual é a vazão que passa neste vertedoro, sabendo que a altura de lâmina d água acima deste é de 2,0 m e que o ângulo de abertura, θ = 30º. Considere o coeficiente de contração do vertedoro igual a 0,50. 38

39 EXERCÍCIOS PROPOSTOS EXERCÍCIO 03 - E se o vertedoro fosse trapezoidal, como mostrado na Figura abaixo, com l = 1,5 m e fosse mantido mesmo valor de lâmina d água do exercício anterior, H = 2,0 m. Considere o coeficiente de contração do vertedoro igual a 0,72. EXERCÍCIOS PROPOSTOS EXERCÍCIO 04 - A água escoa sobre uma comporta deslizante como mostrada na Figura abaixo. Estime o valor de vazão em volume de água na comporta. 39