Universidade Federal do Oeste do Pará

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1 Universidade Federal do Oeste do Pará FÍSICA II NONATO COLARES 9 de novembro de 2016 Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

2 Fluidos Fluidos são materiais que têm a propriedade de poderem se escoar ou fluir facilmente, devido a facilidade de deformarem por não resistirem a tensões de cisalhamento ou tangenciais. Os fluidos compreendem tanto ĺıquido como gases. Um ĺıquido tem volume bem definido, mas não a forma: mantendo seu volume, amolda-se ao recipiente que o contém. Um gás não tem a forma nem o volume bem definidos, expandindo-se até ocupar todo o volume do recipiente que o contém. Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

3 Massa Específica ou Densidade Absoluta ou Densidade Em pressão e temperatura constantes, uma substância pura tem densidade constante calculada pela relação µ = m V onde m e V são a massa e o volume da amostra, respectivamente. O que pesa mais, uma bola de chumbo de 1 kg ou uma bola de isopor de 1kg? O que tem a ver a densidade com a pergunta anterior? Unidades. No SI: kg/m 3 No CGS: g/cm 3 Outras: kg/l, kg/cm 3 etc. Relações. 1 kg/l=1 g/cm 3 =10 3 kg/m 3 1 cm 2 =10 4 m 2 1 cm 3 =10 6 m 3 1 l=1 dm 3 Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

4 Densidade Relativa A densidade relativa ente dois fluidos é a relação entre suas densidades absolutas. Sendo µ 1 e µ 2 as densidades de dois fluidos, a densidade relativa do fluido 1 em relação ao fluido 2 será d R = µ 1 µ 2 Como exemplo, o álcool e a água têm densidades absolutas µ 1 =0.8 g/cm 3 e µ 2 =1.0 g/cm 3, respectivamente. Neste caso, a densidade relativa do álcool em relação à água será d R = = 0.8 Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

5 Pressão Qual o efeito da ação do fluido sobre um objeto imerso nele? Seria o fluido capaz de esmagar um objeto? Considere um pequeno sensor de pressão suspenso em um recipiente preenchido por fluido. F A Sensor de pressão Vácuo (a) (b) Se observa o deslocamento do êmbolo móvel pela aplicação de uma força sobre o mesmo. O que faz essa força invisível provocar este efeito? Pressão do fluido sobre o êmbolo. p = F A onde F é o módulo da força normal a que está sujeita a superfície da área A. Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

6 A figura abaixo mostra um tanque contendo um ĺıquido qualquer aberto para a atmosfera. y Ar Água F 2 y 1,p 1 y=0 P y 2,p 2 F 1 Do diagrama de corpo livre obtemos: F 2 = F 1 + mg Mas F 2 = p 2 A 2 ; F 1 = p 1 A 1 e A 1 = A 2. p 2 A = p 1 A + mg Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

7 Mas m = µv ev = A (y 1 y 2 ). p 2 A = p 1 A + µa(y 1 y 2 )g p 2 = p 1 + µg(y 1 y 2 ) Fazendo y 1 = 0, p 1 = p 0, y 2 = h e p 2 = p obtemos a pressão absoluta: onde: p: pressão total ou absoluta. p 0 : pressão atmosférica. µgh: pressão manométrica. p = p 0 + µgh Unidades: 1 Pa= 1 N/m 2. 1 atm= 760 mmhg=76 cmhg=1, N/m 2 =1, Pa. Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

8 Pressão Atmosférica: Experiência de Torricelli Sabemos que estamos imersos em um fluido, denominado atmosfera. Qual o valor de pressão que este fluido imprime sobre nós? Considere o experimento realizado por Torriceli. P m 0.76 m P atm P hg Ar Hg Dados do experimento: tubo em forma de U. fluido utilizado: Hg, µ Hg =13, kg/m 3. gravidade local: g 9, 8 m/s 2. Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

9 Pressão Atmosférica: Experiência de Torricelli O valor de pressão obtido por Torricelli foi: p Hg = µ Hg g h p Hg = 13, , 8 0, 76 p Hg 1, N/m 2 Este valor de pressão é o mesmo da pressão atmosférica P atm pois os dois pontos estão no mesmo nível. p Hg = P atm 1, N/m 2 Qual o significado físico deste valor? Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

10 Manômetro de tubo aberto Até aqui vimos que a pressão manométrica é dada por p = p p 0 = µ g h Existe algum aparelho capaz de calcular esta pressão? A resposta está no manômetro de tubo aberto que consta de um tubo em forma de U contendo um ĺıquido. Neste aparelho uma das extremidades do tubo fica ligada a um recipiente cuja pressão manométrica desejamos determinar, e a outra extremidade permanece aberta para a atmosfera. p 0 h 1 p h h 2 Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

11 Líquidos imiscíveis Um dos mais belos fenômenos da natureza é sem dúvida o encontro das águas do Amazônas e Tapajós. O que tem a ver este fenômeno com a densidade dos ĺıquidos? A resposta está no fato de ĺıquidos imiscíveis de densidades diferentes não se misturarem. Quando estes ĺıquidos possuem colorações diferentes, essa imiscibilidade fica evidente. μ 1 μ 2 Na situação ilustrada, o ĺıquido 1 possui densidade menor que o ĺıquido 2. Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

12 Vasos Comunicantes Existiria então uma maneira de determinar as posições de equiĺıbrio dos ĺıquidos imiscíveis em um tubo em forma de U? A resposta está no experimento conhecido como vasos comunicantes. p 0 p 0 μ 1 h 1 h2 p 1 μ 2 p 2 Da figura acima observa-se que P 1 = P 2, pois estão no mesmo nível. Aplicando a lei de Stevin. P 0 + µ 1 g h 1 = P 0 + µ 2 g h 2 µ 1 h 1 = µ 2 h 2 Do experimento constata-se que se µ 1 < µ 2, então h 1 > h 2 e vice-versa. Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

13 Princípio de Pascal Uma variação da pressão aplicada a um fluido incompressível contido em um recipiente é transmitida integralmente a todas as partes do fluido e às paredes do recipiente. Bolinhas Êmbolo p ext Líquido P h p A pressão p em qualquer ponto P do ĺıquido é, portanto, Para uma variação de pressão p tem-se p = p ext + µgh (1) p = p ext + µg h Mas h = 0 pois o fluido é incompressivel. Portanto: p = p ext A variação de pressão é a mesma para todos os pontos do interior do ĺıquido, como afirma o princípio de Pascal. Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

14 Princípio de Pascal e a Prensa Hidráulica Dispositivo hidráulico que pode ser usado para aumentar a força F e aplicada ao êmbolo de área menor. Fe Ae As ds de Fs De acordo com o princípio de Pascal, a força F e e a força F s produzem uma variação p da pressão do ĺıquido que é dada por: p = Fe A e = Fs A s Fs A s F s = F e A s A e = Fe A e Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

15 O êmbolo de entrada é deslocado para baixo de uma distância d e, delocando o êmbolo de saída para cima de uma distância d s, de modo que o mesmo volume V do ĺıquido incompressível é deslocado pelos dois êmbolos. Assim, V = A ed e = A sd s A sd s = A ed e O trabalho de saída é dado por d s = d e A e A s ( ) ( ) A s A e W = F sd s = F e d e A e A s W = F sd s = F ed e (2) A Eq.(2) mostra que o trabalho W realizado sobre o êmbolo de entrada pela força aplicada é igual ao trabalho W realizado pelo êmbolo de saída ao levantar uma carga. Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

16 Princípio de Arquimedes Consideremos um corpo sólido ciĺındrico circular de área de base A e altura h totalmente imerso num fluido em equiĺıbrio, cuja densidade é µ. p 1 p p p p h p 2 A força resultante por unidade de área é dada por E A = p 2 p 1 E = µgh E = µgah onde Ah = V. E = µgv Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

17 Esta força resultante recebe o nome de empuxo. E = µvg onde µv = m F. E = m F g onde m F é a massa do fluido deslocado pelo corpo. Este resultado pode ser enunciado pelo princípio de Arquimedes. Quando um corpo está total ou parcialmente submerso em um fluido, uma força de empuxo E exercida pelo fluido age sobre o corpo. A força é dirigida para cima e tem módulo igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

18 Flutuação O princípio de Arquimedes explica o fato de corpos flutuarem na água. A medida que um bloco de madeira desloca mais e mais água, o módulo E da força de empuxo aumenta até o momento em que as forças de empuxo e força gravitacional se igualam. F g = E F g = m F g A partir deste momento, a madeira permanece em equiĺıbrio estático, e dizemos que está flutuando na água. Em outras palavras, um corpo que flutua desloca um peso de fluido igual ao seu próprio peso. Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

19 Peso aparente Sistema massa mola, a leitura será peso da bola. Experiência debaixo d água: a força de empuxo a que a bola está submetida diminui a leitura da mola. ///////// ///////// Δh E P ap P Esta leitura passa a ser portanto um peso aparente O peso aparente de um corpo está relacionado ao peso real e à força de empuxo. Para o corpo descendente, temos: Para o corpo ascendente, temos: P ap = P E P ap = E P Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

20 Exercícios 1. Determine o aumento de pressão do fluido em uma seringa quando uma enfermeira aplica uma força de 42 N ao êmbolo circular da seringa, que tem um raio de 1,1 cm. Adote g=9,8 m/s Três ĺıquidos imiscíveis são despejados em um recipiente ciĺındrico. Os volumes e densidades dos ĺıquidos são: 0.5 l, 2.6 g/cm 3 ; 0.25 l, 1.0 g/cm 3 ; 0.4 l, 0.8 g/cm 3. Qual é a força total exercida pelos ĺıquidos sobre o fundo do recipiente? 1 l =1000 cm 3. (Ignore a contribuição da atmosfera.) 3. Uma janela de escritório tem 3.4 m de largura por 2.1 m de altura. Como resultado da passagem de uma tempestade, a pressão do ar do lado de fora do edifício cai para 0.96 atm, mas no interior do edifício permanece em 1.0 atm. Qual é o módulo da força que empurra a janela para fora por causa dessa diferença de pressão?. 1 atm=1, N/m 2. Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

21 Exercícios 4. Calcule a diferença hidrostática entre a pressão arterial no cérebro e no pé de uma pessoa com 1.83 m de altura. A densidade do sangue é 1, kg/m Com a profundidade de 10.9 km, a fossa das Marianas, no oceano Pacífico, é o lugar mais profundo dos oceanos. Em 1960, Donald Walsh e Jacques Piccard chegaram à fossa das Marianas no batiscafo Trieste. Supondo que a água do mar tem uma massa específica uniforme de 1024 kg/m 3, calcule a pressão hidrostática aproximada (em atmosferas) que o Trieste teve que suportar. Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

22 Exercícios 6. A profundidade máxima d max que um mergulhador pode descer com um tubo de respiração é determinada pela densidade da água e pelo fato de que os pulmões humanos não funcionam com uma diferença de pressão maior que 0.05 atm. Qual é a diferença entre o d max da água doce e o da áua do Mar Morto? As densidades da água doce e do Mar Morto são 1, kg/m 3 e 1, kg/m 3, respectivamente. 7. Alguns membros da tripulação tentam escapar de um submarino avariado 100 m abaixo da superfície. Que força deve ser aplicada a uma escotilha de emergência, de 1.2 m por 0.6 m, para abrí-la para fora nessa profundidade? A densidade da água do oceano é 1024 kg/m 3 e a pressão do ar no interior do submatrino é 1.0 atm. 8. Que pressão manométrica uma máquina deve produzir para sugar lama com uma densidade de 1800 kg/m 3 através de um tubo e fazê-la subir 1.5 m? Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

23 Exercícios 9. Os mergulhadores são aconselhados a não viajar de avião nas primeiras 24 horas após um mergulho, porque o ar pressurizado usao durante o mergulho pode introduzir nitrogênio na corrente sanguínea. Uma redução súbita da pressão do ar (como a que acontece quando um avião decola) pode fazer com que o nitrogêncio forme bolhas no sangue, que podem produzir embolias dolorosas ou mesmo fatais. Qual é a variação de pressão experimentada por um soldado da divisão de operações especiais que mergulha a 20 m de profundidade em um dia e salta de pára-quedas de uma altitude de 7.6 km no dia seguinte? Suponha que a densidade média do ar nessa faixa de altitudes seja 0.87 kg/m 3. Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

24 Dinâmica dos Fluidos Como descrever o movimento de um fluido? Uma possibilidade é fixar a atenção em cada ponto r do fluido e descrever como varia com o tempo a velocidade v nesse ponto fixo do fluido: v = v(r, t) (3) Em geral, a cada instante t, será uma partícula diferente do fluido que passará pela posição r. Na figura, a direção e o comprimento de cada traço dão a direção e a magnitude da velocidade do fluido no ponto correspondente Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

25 Linhas de Corrente Para descrever o sentido de propagação do fluido, desenham-se as linhas de corrente. Na figura, o campo de velocidade se desloca da esquerda para a direita, daí a orientação das linhas de corrente. Uma imposição ao estudo da dinâmica dos fluidos ideais é considerar que estes estão em escoamento estacionário. O escoamento de um fluido é estacionário quando o campo de velocidade do fluido não varia com o tempo, ou seja, quando a (3) se reduz a v = v(r) (4) Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

26 Linhas de Corrente Isto quer dizer que diferentes partículas do fluido sempre passam pelo mesmo ponto com a mesma velocidade, embora v possa variar de ponto a ponto. Num escoamento estacionário, as linhas de corrente coincidem com as trajetórias das partículas do fluido. Duas linhas de corrente nunca podem se cruzar, porque, num ponto de cruzamento, haveria ambiguidade na direção da velocidade, com duas direções diferentes no mesmo ponto. Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

27 Conservação da Massa: Equação da Continuidade Observando o deslocando do fluido, conclui-se que a quantidade de massa dentro de uma tubulação é conservada, levando a lei de conservação da massa aplicada ao movimento do fluido. A figura mostra uma tubulação ciĺındrica sendo atravessada por um fluido. A Δx vδt{ = O volume de massa que atravessa o cilindro é V = A x = A v t. A massa de fluido que atravessa o cilindro é m = µv = µav t Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

28 Conservação da Massa: Equação da Continuidade Considerando o escoamento estacionário em uma porção de tubo de corrente situada entre duas seções transversais de áreas A 1 e A 2, onde as velocidades e densidades são, respectivamente v 1, µ 1 e v 2, µ 2 a lei da conservação da massa leva a m 1 = m 2 µ 1 A 1 v 1 t 1 = µ 2 A 2 v 2 t 2 Como o escoamento é estacionário, a massa do fluido contida entre as seções A 1 e A 2 não pode variar com o tempo, ou seja, a massa m 1 que entra por A 1 num intervalo de tempo t tem de ser igual a massa m 2 que sai do tubo por A 2 nesse mesmo intervalo: µ 1 A 1 v 1 = µ 2 A 2 v 2 (5) Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

29 Conservação da Massa: Equação da Continuidade Isto significa que o produto µav permanece constante ao longo do tubo de corrente, representando o fluxo de massa por unidade de tempo através da seção transversal do tubo. Em particular, se o fluido é incompressível, temos µ 1 = µ 2 = µ (constante), a Eq.(5) fica A 1 v 1 = A 2 v 2 (fluido incompressível). (6) O produto Av=constante neste caso mede o volume do fluido que atravessa a seção transversal do tubo por unidade de tempo, e chama-se vazão do tubo. Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

30 Equação de Bernoulli Vamos aplicar ao movimento de um fluido perfeito a lei da conservação da energia. Consideremos um tubo de corrente limitado por duas seções transversais A 1 e A 2, situadas no entorno dos pontos 1 e 2 do fluido, respectivamente, onde as pressões são p 1 e p 2, as magnitudes das velocidades v 1 e v 2 e as alturas em relação a um plano horizontal de referência são z 1 e z 2. A 2 m 2 v 2 F 2 F 1 A 1 m 1 v 1 x =v Δt 1 1 h 1 h 2 x =v Δt 2 2 Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

31 Equação de Bernoulli Pela teorema do trabalho temos: W = K F 1 x 1 F 2 x 2 + mgh 1 mgh 2 = 1 2 m 2v m 1v 2 1 Mas m 1 = m 2 = m. Mas x = v t. Assim: Mas m = µv = µax = µav t. Logo: p 1 A 1 x 1 p 2 A 2 x 2 + mg(h 1 h 2 ) = 1 2 m ( v2 2 v 1 2 ) p 1 A 1 v 1 t p 2 A 2 v 2 t + mg(h 1 h 2 ) = 1 2 m ( v2 2 v 1 2 ) (p 1 A 1 v 1 p 2 A 2 v 2 ) t + mg(h 1 h 2 ) = 1 2 m ( v2 2 v 1 2 ) (p 1 A 1 v 1 p 2 A 2 v 2 ) t + mg(h 1 h 2 ) = 1 2 µav t ( v2 2 v 1 2 ) Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

32 Equação de Bernoulli (p 1 A 1 v 1 p 2 A 2 v 2 ) t + µav tg(h 1 h 2 ) = 1 2 µav t ( v2 2 v 1 2 ) Mas A 1 v 1 = A 2 v 2 = Av. Assim: (p 1 A 1 v 1 p 2 A 2 v 2 ) + µavg(h 1 h 2 ) = 1 2 µav ( v2 2 v 1 2 ) p 1 Av p 2 Av + µavg(h 1 h 2 ) = 1 2 µav ( v2 2 v 1 2 ) p 1 p 2 + µg(h 1 h 2 ) = 1 2 µ ( v2 2 v 1 2 ) p 1 + µgh 1 p 2 µgh 2 = 1 2 µv 2 2 que é a famosa equação de Bernoulli. p 1 + µgh µv 2 1 = p 2 + µgh µv 2 2 Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

33 Aplicações da Equação de Bernoulli 1. Determine a velocidade de escoamento da água no ponto B. Considere a velocidade no ponto A igual a zero e a diferenção z 0 z = h. P 0 A z 0 B P 0 v h z Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

34 Aplicações da Equação de Bernoulli 2. A figura abaixo mostra a maneira de calcular a velocidade de avião. Considerando a pressão e a velocidade no ponto O igual 0 e p 0, respectivamente; a diferença de altura entre os pontos O a A desprezível e a pressão em A igual a p, mostre que a velocidade do fluido no ponto P é v = 2 (p 0 p) µ Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

35 Aplicações da Equação de Bernoulli 3. No problema anterior, considerando p 0 p = µ 0 gh, onde µ 0 é a densidade do fluido, mostre que a velocidade de escoamento do fluido no ponto A é v = 2 µ 0 µ gh Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36

36 Aplicações da Equação de Bernoulli 4. Mostre que a velocidade do fluido no ponto 1 é dada por: v 1 = A 2 2gh A 2 1 A2 2 Nonato Colares (RNCC) Física I 9 de novembro de / 36