COMUNICAÇÃO MATEMÁTICA EM TORNO DE NOÇÕES DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM DOIS AMBIENTES DE APRENDIZAGEM NO ENSINO MÉDIO

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1 COMUNICAÇÃO MATEMÁTICA EM TORNO DE NOÇÕES DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM DOIS AMBIENTES DE APRENDIZAGEM NO ENSINO MÉDIO Helder Lima Silva 1 GDn 6 Educação Matemática, Tecnologias Informáticas e Educação à Distância Resumo do trabalho. Neste estudo temos por objetivo de pesquisar os saberes matemáticos acerca de Funções Trigonométricas, e os fenômenos naturais e/ou científicos que podem ser contextualizados com estas funções no 3º ano do Ensino Médio como instituição de referência/aplicação. Analisar as práticas de alunos desta instituição a partir de situações-problema utilizando os ambientes papel/lápis e computacional GeoGebra. Para isso, adotamos a Análise e Institucional e Sequência Didática como metodologia de pesquisa, escolhendo uma Escola da Rede Pública do Município de Vitória da Conquista BA mergulhando os estudos na Abordagem Instrumental, nas Teorias: Linguística e Comunicação, Antropológica do Didático e Registros de Representações Semióticas. Esperamos com este estudo contribuir nas reflexões sobre a comunicação e contextualização de alguns fenômenos por meio de Funções Trigonométricas no Ensino Médio. Palavras-chave: Funções Trigonométricas; Ambiente Computacional GeoGebra; Ensino Médio. Introdução As Funções Trigonométricas são objetos reconhecidos nas Instituições de Educação Básica (IEB), a partir do 2º ano do Ensino Médio, através do currículo, fazendo assim parte da vida estudantil dos alunos, não apenas nos estudos matemáticos, neste nível escolar, como também em outros domínios das ciências, tais como a Física, a Química, a Biologia e as Engenharias nas Instituições de Ensino Superior, caracterizando-se, portanto, como um dos objetos indispensáveis na formação de recursos humanos. Vários problemas que colaboram com a evolução da ciência e da tecnologia encontram soluções na Matemática utilizando conceitos de Funções Trigonométricas, contribuindo direta ou indiretamente no convívio social das pessoas. A comunicação ou transmissão de sinais produzidos pelo batimento do coração, o acompanhamento do choro de um bebê, as ondas sonoras, os sistemas de discagem DTMF 2 1 Universidade Estadual de Santa Cruz, heldercedoca@gmail.com, orientador: Dr. Afonso Henriques. 2 DTMF é a sigla em inglês Dual-ToneMulti-Frequency, de tons de duas frequências utilizados na discagem dos telefones mais modernos.

2 de telefones, o batimento na afinação de um Piano, por exemplo, são soluções dinâmicas de problemas sociais cobertos destes conceitos, constituindo-se como exemplos de contextualização da Trigonometria enquanto componente curricular. Diversas possibilidades de representação, visualização e manipulação direta, em tempo real ou animações dinâmicas de computadores associadas aos conhecimentos trigonométricos no processo ensino-aprendizagem, que podem conduzir os alunos na compreensão do tipo de soluções mencionadas, nem sempre são desenvolvidas no ensino, em particular na Educação Básica. Esta problemática é notável, nos documentos oficiais como os Projetos Políticos Pedagógicos (PPP), nos parâmetros de avaliação de competências dos alunos, em especial no Estado da Bahia. Por outro lado, os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM), revelam que: A proposta de Matemática dos PCNEM é que cada escola e grupo de professores proponham um trabalho pedagógico que permita o desenvolvimento das competências almejadas. Fazem parte desta elaboração diversos fatores mais diretamente ligados ao planejamento, entre eles a escolha dos temas relativos ao conteúdo específico da disciplina, a análise dos recursos de ensino e dos métodos de abordagem desse conhecimento, o cuidado com os tempos de ensino e de aprendizagem e dos espaços para que isso ocorra. (BRASIL, 2002, p.119) As Instituições escolares têm, portanto, a autonomia de desenvolverem seus próprios projetos com base nos Parâmetros Curriculares Nacionais. Estes, se referindo ainda aos estudos da Trigonometria, imersos no tema Álgebra: números e funções sublinham que o aluno do Ensino Médio deve: Utilizar e interpretar modelos para resolução de situações-problema que envolva medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos. Compreender o conhecimento científico e tecnológico como resultado de uma construção humana em um processo histórico e social, reconhecendo o uso de relações trigonométricas em diferentes épocas e contextos sociais. (BRASIL, 2002, p.123) Dentre estas exigências e competências propostas no PCNEM, a nossa prática pedagógica em sala de aula de Escolas Públicas, nos permite ratificar empiricamente que existem grandes dificuldades por parte dos alunos na aprendizagem de Funções Trigonométricas. Contudo, não sabemos bem da essência das principais dificuldades encontradas pelos alunos em torno deste tema. Acreditamos, porém que tais dificuldades dependem de vários fatores, sociais, didáticos e institucionais que devem ser investigadas tais como, as organizações matemáticas correspondentes, a comunicação matemática, os problemas e suas relações sociais, bem como os registros de representação colocados em jogo no seu ensino. A utilização e interpretação de modelos para a resolução de situaçõesproblema, bem como os conhecimentos científicos e tecnológicos preconizados nos

3 PCNEM podem exercer um papel preponderante nesta investigação. Estas inquietações que estão emergindo neste momento de discussão e consolidação do nosso projeto da Dissertação de Mestrado, nos conduzem a uma profunda reflexão sobre as nossas práticas pedagógicas no Ensino da Matemática, mais especificamente sobre o processo ensino-aprendizagem 3 de Funções Trigonométricas nas Instituições de Escolas Públicas, onde constatamos que este processo vem passando, principalmente, pela mera reprodução dos conceitos e das atividades propostas nos livros didáticos adotados nas escolas a partir daqueles sugeridos pelo Ministério de Educação, sem que sejam contextualizadas e muito menos se colocar em ação as possíveis potencialidades que os instrumentos tecnológicos vêm, cada vez mais, disseminando na Educação, de modo a fortalecer e evidenciar as estreitas relações possíveis entre os componentes curriculares e o cotidiano dos alunos. Por exemplo, a comunicação matemática realizada pelo emissor (Professor) sobre a função trigonométrica representada por f ( x) Asen( x θ), onde A, e θ são variáveis didáticas (embora constantes) que assumem diferentes valores reais, pode ser concebida pelo receptor (aluno) dentro de uma sala de aula, como uma simples organização de signos no registro algébrico. Com efeito, fixados os valores das referidas variáveis pelo emissor podem-se obter funções senos específicas, onde os alunos (receptores) são, então, convidados a encontrar os valores destas funções em cada ângulo x fixo, o gráfico da função num certo intervalo de variação de x, e tantas outras propriedades que podem ser exploradas em sala de aula, como a imagem da função, o contradomínio da função. Estes conhecimentos podem conduzir os alunos a perceberem uma relação do estudo em jogo com certos fenômenos que lhe cingem no seu dia-a-dia. Será que tais conhecimentos estão sendo trabalhados em sala de aula nesta perspectiva? Pois, o ensino de Matemática as vezes se restringe ao tratamento matemático por ela mesma. Assim, investigar as possíveis relações de Funções trigonométricas com os fenômenos conhecidos pelos alunos no seu dia-a-dia, colocando em prática a comunicação matemática e as possibilidades de representação deste tipo de funções nos diferentes registros integrando instrumentos tecnológicos, é o nosso interesse neste trabalho. Com este interesse remonta aos estudos e inquietações apresentadas mais acima no âmbito de propostas e sugestões institucionais sobre o ensino do objeto do saber (Funções Trigonométricas), ao passo que nos colocamos os seguintes questionamentos: 3 Mais adiante indicaremos a escolha que fizemos sobre apresentação deste processo com hífen.

4 Quais são as efetivas propostas oficiais sobre o processo ensino-aprendizagem de Funções Trigonométricas no Ensino Médio? Como são organizados os conceitos destas funções no que tange ao tipo de tarefas (exercícios e problemas) propostas aos alunos, os métodos ou técnicas de realização, os discursos teórico-tecnológicos previstos favorecendo a Comunicação Matemática? As possíveis relações de Funções trigonométricas com possíveis fenômenos conhecidos pelos alunos no seu dia-a-dia são evidentes para esta comunicação? Que registros de representações estão presentes ou ausentes na referida organização? Quais são as ferramentas tecnológicas utilizadas conforme preconizado nos PCNEM? Para responder tais questões, fazemos referência aos estudos e análise de documentos oficiais, análise de um ambiente computacional de Geometria Dinâmica, em especial o software GeoGebra relativamente ao estudo das Funções Trigonométricas, além dos estudos e análise de práticas institucionais de alunos do 3º ano do Ensino Médio de uma Escola Pública da rede Estadual de Ensino, localizada na cidade de Vitória da Conquista Bahia, tendo os seguintes objetivos: Objetivo Geral Pesquisar os saberes matemáticos acerca de Funções Trigonométricas, e os fenômenos naturais e/ou científicos que podem ser contextualizados com estas funções no3 ano do Ensino Médio como instituição de referência/aplicação. Analisar as práticas de alunos desta instituição a partir de situações-problema utilizando os ambientes papel/lápis e computacional GeoGebra. Objetivos Específicos Desenvolver uma análise institucional em torno do estudo de Funções Trigonométricas a partir de documentos oficiais e de livros didáticos de Matemática sugeridos no Ensino Médio; Pesquisar fenômenos sociais ou próximos ao cotidiano dos alunos do Ensino Médio podendo ser modelados com conhecimentos trigonométricos utilizando o ambiente computacional GeoGebra; Identificar e analisar as potencialidades e os entraves do software GeoGebra relativamente ao estudo de Funções Trigonométricas; Compreender as funções de linguagens de comunicação e suas aplicações no ensino de Funções Trigonométricas;

5 Estudar as práticas institucionais de alunos do 3ª ano do Ensino Médio relativamente ao estudo de Funções Trigonométricas; Analisar as representações no registro: da linguagem materna, algébrico, gráfico e numérico desenvolvidos pelos alunos no estudo de Funções Trigonométricas. Assim, visando a análise institucional em torno do Ensino-Aprendizagem de Funções Trigonométricas e considerando as indagações primárias que apresentamos mais acima, bem como os objetivos gerais e específicos, apresentamos a seguiras questões diretrizes da nossa pesquisa Questões de Pesquisa Q1. Existem fenômenos naturais e/ou científicos que podem ser modeladas com noções de Funções Trigonométricas no Ensino Médio utilizando ambientes computacionais? Se sim? Quais? Q2. Quais são as contribuições que o ambiente computacional GeoGebra poderá trazer na modelagem dos fenômenos considerados em Q1no estudo de Funções Trigonométricas no Ensino Médio? Q3. Quais são as práticas institucionais dos alunos 3º ano do Ensino Médio em torno de Funções Trigonométricas utilizando os ambientes papel/lápis e computacional GeoGebra? Q4. Qual é a concepção dos alunos do 3º ano do Ensino Médio sobre a abordagem de Funções Trigonométricas desenvolvidas atualmente em sua sala de aula? Nenhuma pesquisa na área de Educação Matemática é isenta de uma fundamentação teórica. Henriques (2001) sublinha que: Fundamentar uma pesquisa científica é algo que tem preocupado os candidatos em relação as pesquisas em Educação Matemática. Porém, a literatura científica é extremamente ampla e rica em recursos científicos que possibilitam aos futuros pesquisadores, pressupostos capazes de permitir justificar uma pesquisa, o que, entretanto, exige um contato permanente com a biblioteca e muita leitura. A definição da fundamentação teórica é consequência do estudo bibliográfico, em paralelo com as disciplinas oferecidas pelo curso. Em muitos casos, por influência dos orientadores (Henriques, 2001, p.27). Baseados neste universo de informações, bem como na nossa problemática que culminou nos objetivos e questões de pesquisa que acabamos de apresentar, encontramos nas nossas leituras e por influência do orientador, uma fundamentação nas teorias que apresentamos a seguir.

6 Quadro Teórico Para introduzirmos esta parte do nosso trabalho, recorremos a definição fornecida por Henriques e Serôdio (2013), quando sublinham: Entendemos por quadro teórico, como o referencial teórico de base de uma pesquisa, escolhido pelo pesquisador em função da sua problemática, constituído, pelo menos, por uma teoria capaz de fornecer ferramentas de análise aos estudos que se pretende desenvolver. (HENRIQUES; SERÔDIO, 2013, p.2) Tendo em vista a compreensão de funções de linguagem e comunicação entre alunos nos estudos matemáticos, a utilização do ambiente computacional GeoGebra como ferramenta tecnológica no estudo de Funções Trigonométricas, e considerando a dimensão institucional deste objeto de estudo, bem como as possibilidades de suas representações em diferentes registros, o nosso Quadro Teórico é constituído pela Teoria Linguística e Comunicação elaborada por Roman Jakobson, por entendermos que as funções da linguagem poderão nos auxiliar na compreensão e estruturação de conhecimentos matemáticos, pela Abordagem Instrumental de Rabardel (1995), que poderá nos permitir a compreensão sobre as ferramentas tecnológicas do ambiente computacional GeoGebra e sua utilização no processo ensino-aprendizagem de Funções Trigonométricas, como objeto de estudo; pela Teoria Antropológica do Didático (TAD) proposta por Chevallard (1992) por entendermos que este objeto de estudo é institucional, podendo ser analisado no contexto praxeológico, e pela Teoria de Registros de Representação Semiótica desenvolvida por Duval (1995), pois compreendemos que o objeto em estudo pode ser analisado em vários registros de representações semióticas, buscando assim mobilizar a função cognitiva do sujeito diante dessas representações. Em função do espaço que nos é disponibilizado, para este trabalho, não nos detemos ao detalhamento destas teorias. Assim, apresentamos a seguir a metodologia que escolhemos na realização do mesmo. Metodologia Para desenvolvermos a nossa pesquisa realizaremos uma análise institucional e sequência didática tal como proposta por Henriques et al (2012), (2013) e Henriques (2001), baseados na TAD e na Engenharia Didática, respectivamente. Segundo Henriques e Serôdio (2013). A análise institucional como metodologia de pesquisa, fornece ferramentas para identificarmos as condições e exigências que determinam, numa instituição, as referidas práticas institucionais em torno de objetos de estudos, como as IM, requeridos na formação de recursos humanos. (HENRIQUES; SERÔDIO, 2013, p.3) Por IM, os autores estão se referindo às Integrais Múltiplas, como objeto de estudo.

7 No nosso caso, este objeto são as Funções Trigonométricas. Para Henriques, Nagamine, Nagamine (2012) Análise Institucional é: Um estudo realizado em torno de elementos institucionais, a partir de inquietações/questões levantadas pelo pesquisador no contexto institucional correspondente, permitindo identificar as condições e exigências que determinam, nessa instituição, as relações institucionais e pessoais a objetos do saber, em particular, os objetos matemáticos, as organizações ou praxeologias desses objetos que intervém no processo ensino/aprendizagem. (HENRIQUES; NAGAMINE; NAGAMINE, 2012, p.1268) Baseados na Noosfera debatida por Chevallard (1992), os autores explicam que uma instituição é constituída pelo menos por um dos elementos que eles apresentam no Quadro 1 e afirmam que: Uma instituição de referência é correspondente à instituição de realização e/ou aplicação da pesquisa em questão, seja de ensino ou não. A explicitação dessa instituição pelo pesquisador deve satisfazer, pelo menos, um desses elementos. (HENRIQUES, 2012, p.1263). Quadro 1: Elementos constituintes de uma instituição Fonte - HENRIQUES, NAGAMINE, NAGAMINE, p.(1263) Para tornar explicito os procedimentos metodológicos da análise institucional, Henriques (2014) apresenta as seguintes etapas organizadas em um quadro que reproduzimos abaixo. Quadro 2: Etapas de análise institucional como metodologia de pesquisa. 1ª Etapa Definir a problemática/questões da pesquisa, em torno de um determinado ensino (ou objeto do saber), objetos gerais e específicos. 2ª Etapa Identificar uma instituição: De Referência, ou de Referência e a de Aplicação, ou de Referência e Aplicação. 3ª Etapa Identificar e escolher os elementos institucionais que se pretende analisar a partir daqueles apresentados no Quadro 1 eventualmente acrescidos de outros, visando o objeto de estudo. 4ª Etapa Leitura e estudo de cada um dos elementos institucionais escolhidos na 3ª Etapa. 5ª Etapa Sequência Didática (elaboração, análises e aplicação de um dispositivo experimental) para análise das práticas efetivas de sujeitos da instituição. No desenvolvimento da nossa pesquisa estamos seguindo estas etapas. Para isso, escolhemos uma Escola da Rede Pública Estadual de Vitória da Conquista como instituição de referência e aplicação. Nesta instituição analisaremos como elementos institucionais, os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM), as

8 Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM), o Projeto Político Pedagógico (PPP), o Livro Didático (LD), as tecnologias e os alunos do 3º ano do Ensino Médio. Com base na análise destes elementos, organizaremos uma Sequência Didática (SD) que segundo Henriques (2001). É um esquema experimental formado por situações, ou tarefas, realizadas com um determinado fim, desenvolvido por sessões de aplicação a partir de um estudo preliminar[análise institucional] em torno de um objeto do saber e de uma análise matemática/didática, caracterizando os objetivos específicos de cada situação, problema ou tarefa[constituinte de uma praxeologia]. As análises matemática/didática que o autor se refere contemplam as estratégias e resoluções possíveis, a forma de controle e os resultados esperados em cada situação, prérequisitos e competências, que são parte da análise a priori e se desenvolvem com base na praxeologia de referência do objeto de estudo, que no nosso caso, as Funções Trigonométricas. As referidas sessões são constituídas de dispositivos experimentais organizados na Pesquisa Interna, contendo as tarefas propostas ao público envolvido na Pesquisa Externa. Ambos os conceitos são definidos por Henriques (2014) como segue: Definição 01 - A PESQUISA INTERNA é uma sondagem realizada pelo pesquisador individualmente (ou por um grupo de pesquisadores), sem intervenção de sujeitos externos. Momento no qual o pesquisador (ou o grupo) procura compreender melhor o seu objeto de estudo. Ele conjectura, problematiza, formula hipóteses, questiona-se, define o quadro teórico, os objetivos e descreve o percurso metodológico da sua pesquisa. (Ibidem, 2014, 68) Definição 02 - A PESQUISA EXTERNA é uma sondagem que envolve sujeitos externos, como público alvo. Momento, no qual o pesquisador (ou grupo) aplica os estudos desenvolvidos na pesquisa interna. Esta aplicação, teste ou experimentação pode ou não envolver seres humanos. A aplicação de uma sequência para o estudo de práticas efetivas de estudantes de uma instituição, por exemplo, é uma pesquisa externa. (Ibidem, 2014, 68) A Sequência Didática que nos propomos organizar é coberta pelas duas definições, e será constituída de um dispositivo experimental desenvolvido no ambiente papel/lápis e outro no ambiente computacional GeoGebra. As análises envolvem, além dos saberes em jogo, a investigação da influência de funções de linguagem na comunicação matemática a partir da organização dos alunos em dois grupos, denominados emissor e receptor, utilizando primeiro o ambiente papel/lápis e em seguida o computacional GeoGebra (em dois momentos distintos de aplicação). Na pesquisa, detalhamos todas as etapas da Análise Institucional e Sequência Didática que acabamos de resumir, tornando explícita a maneira como utilizamos esta metodologia para tentarmos atender os nossos objetivos. Apresentamos a seguir as nossas considerações finais desta proposta para o evento.

9 Considerações Finais Este trabalho está voltado para o estudo de Funções Trigonométricas, envolvendo fenômenos naturais e/ou científicos, no desenvolvimento e contextualização de seus conceitos utilizando as técnicas dos ambientes papel/lápis e computacional GeoGebra no 3º ano do Ensino Médio como instituição de referência/aplicação. Emergindo da Educação Matemática enquanto campo de pesquisa e conhecimento, estamos buscando estudar as referências teóricas que poderão nos fornecer elementos necessários na investigação e análise dos fenômenos que nos referimos acima. Para isso, escolhemos o quadro teórico constituído pela Abordagem Instrumental, pelas teorias: da Linguística e Comunicação, Antropológica do Didático e Registros de Representação Semióticas. Além disto, optamos pela Análise Institucional e Sequência Didática como metodologia de pesquisa, inicialmente desconhecida por mim. Percorrendo esta metodologia, apresentaremos uma Análise Institucional de referência em torno dos (01) Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM), (02) as Orientações Curriculares Nacionais do Ensino Médio (OCEM), (03) o Projeto Político Pedagógico (PPP), (04) o Livro Didático (LD), (05) a tecnologia (GeoGebra) e (06) os alunos como elementos institucionais. Esperamos, com análise destes seis elementos, respondermos as cinco questões de pesquisa que nos colocamos anteriormente, visando assim, trazer contribuições significativas no processo ensino-aprendizagem da Matemática, em especial as Funções Trigonométricas no Ensino Médio, bem como a consolidação e aprofundamento da nossa experiência e formação acadêmica. Apresentamos a seguir o cronograma simplificado do desenvolvimento da nossa pesquisa. REFERÊNCIAS BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 5. ed. Belo Horizonte: Autêntica, BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio, Parte I - Bases Legais, Secretaria de Educação Média e Tecnológica Brasília: MEC; SEMTEC, BRASIL. PCN+, Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacional, Parte III: Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias./ Secretaria de Educação Média e Tecnológica Brasília: MEC; SEMTEC, CHEVALLARD, Y. Concepts fondamentaux de la didactique : perspectives apportées par une approche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques, V. 12, n 1, p HENRIQUES, A. Dinâmica dos Elementos da Geometria Plana em Ambiente Computacional Cabri-Géomètre II, Editus, 2001.

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