ELETRÔNICA DE POTÊNCIA MODELAGEM DE CONVERSORES CC-CC EMPREGANDO MODELO MÉDIO EM ESPAÇO DE ESTADOS IVO BARBI EDIÇÃO DO AUTOR

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1 EETRÔNICA DE POTÊNCIA MODEAGEM DE CONVERSORES CC-CC EMPREGANDO MODEO MÉDIO EM ESPAÇO DE ESTADOS IVO BARBI EDIÇÃO DO AUTOR

2 Ivo Barbi MODEAGEM DE CONVERSORES CC- CC EMPREGANDO MODEO MÉDIO EM ESPAÇO DE ESTADOS Florianópolis Edição do Autor 05

3 Ivo Barbi Internet: II

4 MODEAGEM DE CONVERSORES CC- CC EMPREGANDO MODEO MÉDIO EM ESPAÇO DE ESTADOS III

5 B36m Barbi, Ivo Modelagem de conversores CC-CC empregando modelo médio em espaço de estados / Ivo Barbi. Florianópolis : [S. n.], p. : il. Inclui referência. Eletrônica de potência.. Circuitos elétricos lineares Análise. 3. aplace, Transformadas de. 4. Conversores CC-CC. I. Tí CDU: Catalogação na publicação por: Onélia Silva Guimarães CRB- 4/07 IV

6 AGRADECIMENTOS Ao Eng. Andreas M. P. Correa, por sua dedicação na preparação desta edição, digitando o texto, editando figuras, formatando e diagramando a edição final. Ao Bruno Barbi, pela criação da capa. Ao Diogo Duarte uis, pelo apoio administrativo na preparação desta edição. Ao Prof. Cassiano Rech, da UFSM, pela sugestão do título. V

7 VI

8 BIOGRAFIA DO AUTOR Ivo Barbi nasceu em Gaspar, Santa Catarina, Brasil, em 949. Formou-se em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Santa Catarina em 973. Obteve o título de Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Santa Catarina em 976 e o título de Doutor em Engenharia Elétrica pelo Institut National Polytechnique de Toulouse, França, em 979. Fundou a Sociedade Brasileira de Eletrônica de Potência(SOBRAEP), o Instituto de Eletrônica de Potência da Universidade Federal de Santa Catarina (INEP-UFSC) e o Congresso Brasileiro de Eletrônica de Potência (COBEP). É Pesquisador A do CNPq e Fellow IEEE. Foi Editor Associado na área de Conversores Estáticos de Potência do periódico internacional IEEE Transactions on Industrial Electronics. e Editor Associado Convidado para Edições Especiais do periódico IEEE Transactions on Power Electronics. Desde o mês de março de 05, é professor visitante do Departamento de Automação e Sistemas (DAS) da Universidade Federal de Santa Catarina. VII

9 VIII

10 Dedico este trabalho pequenino ANTONIO BARBI, nascido em 9/05/05, à sua mãe ADRIANA S. S. BARBI e aos meus outros filhos Bernardo Barbi Bruno Barbi Beatriz Barbi Isadora Barbi IX

11 X

12 PREFÁCIO Os conversores estáticos de energia elétrica, para serem úteis nas mais diversas aplicações, devem ter suas variáveis elétricas, tais como tensões, correntes e potências, devidamente controladas. Para escolher os controladores adequados e seus parâmetros, o projetista do conversor precisa conhecer os modelos de planta do estágio de potência do conversor, que geralmente apresentam-se sob a forma de funções de transferências. Essas funções de transferência são obtidas a partir de equações diferenciais lineares, que resultam da linearização de equações não lineares, em torno de pontos de operação específicos, nos quais o conversar deverá operar. Geralmente os conversores operam com frequências de comutação elevadas, da ordem de várias dezenas de quilohertz. No entanto, as dinâmicas envolvidas na troca de potência entre as fontes e as cargas, ocorrem em baixas frequências, da ordem de dezenas de hertz. Uma das peculiaridades dos conversores estáticos cc-cc é o fato de que em um período de operação, eles assumem diversos estágios topológicos, cujos circuitos equivalentes são lineares, representados por equações diferenciais de primeira ou segunda ordem. Porém, o comportamento macroscópico, em escala de tempo de suas respostas naturais do ponto de vista de valores médios quase instantâneos, é quase sempre não linear. Das diversas técnicas já propostas para a obtenção dos modelos matemáticos dos conversores estáticos cc-cc, duas se tornaram populares: (a) emprego do conceito de modelo médio em espaço de estado, proposto por Midlebrook e Cuk em 976 [], e (b) conceito de chave PWM, proposto por Vorpérian em 990 [4]. Cada uma das técnicas tem vantagens e desvantagens em relação à outra. Porém, o método que utiliza modelo médio em espaço de estado é atualmente o mais aceito e utilizado pela XI

13 comunidade internacional de especialistas em eletrônica de potência. O presente texto, despretensioso, incompleto e certamente pleno de imperfeições, é resultado das reflexões do autor sobre problemas de modelagem de conversores estáticos cc-cc, devidamente amparadas por publicações clássicas da área, de grande relevância técnica sobre o tema. O texto pretende introduzir o assunto, de maneira simples e resumida, através de exemplos, aos estudantes de engenharia elétrica, sobretudo aos pós-graduandos da área de eletrônica de potência e suas aplicações. Por isso o autor espera que o material possa ser útil para essa comunidade. Espera também que as imperfeições do texto não diminuam os benefícios que ele possa trazer aos que desejam aprender a modelar e controlar conversores estáticos cc-cc. Todo e qualquer comentário, observação ou crítica que possam contribuir para melhorar a qualidade do texto, serão bem acolhidos pelo autor. Florianópolis, agosto de 05. XII

14 Sumário PREFÁCIO... XI SUMÁRIO...XIII CAPÍTUO ANÁISE DE CIRCUITOS INEARES INTRODUÇÃO SOUÇÃO EMPREGANDO A TRANSFORMADA DE APACE EXEMPO NUMÉRICO ANÁISE DE UM CIRCUITO COM APENAS RESISTORES E CAPACITORES... 7 CAPÍTUO CIRCUITO RC CHAVEADO CAPÍTUO 3 CIRCUITO RC CHAVEADO... 4 CAPÍTUO 4 COVERSOR CC-CC ABAIXADOR A CAPACITOR CHAVEADO 47 CAPÍTUO 5 CIRCUITO R CHAVEADO CAPÍTUO 6 CIRCUITO R CHAVEADO... 6 CAPÍTUO 7 CIRCUITO C CHAVEADO CAPÍTUO 8 CIRCUITO VR CHAVEADO CAPÍTUO 9 MODEAGEM DO CONVERSOR BUCK INTRODUÇÃO EQUACIONAMENTO DA PRIMEIRA ETAPA DE OPERAÇÃO EQUACIONAMENTO DA SEGUNDA ETAPA DE OPERAÇÃO ANAISE EM REGIME PERMANENTE MODEO DE PANTA PARA CONTROE DA CORRENTE XIII

15 9.6 OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROE DA TENSÃO DE CARGA EXERCÍCIO PROPOSTO CAPÍTUO 0 MODEAGEM DO CONVERSOR BOOST INTRODUÇÃO CIRCUITO EQUIVAENTE PARA OPERAÇÃO EM REGIME PERMANENTE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONVERSOR PARA O CONTROE DA CORRENTE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONVERSOR PARA O CONTROE DE TENSÃO COMENTÁRIOS ADICIONAIS SOBRE A EXISTÊNCIA DE UM ZERO NO SEMIPANO DIREITO EXERCÍCIO PROPOSTO CAPÍTUO MODEAGEM DO CONVERSOR BUCK BOOST INTRODUÇÃO OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES GENÉRICAS ANAISE EM REGIME PERMANENTE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROE DA CORRENTE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROE DA TENSÃO DE SAÍDA. 45 CAPÍTUO CIRCUITO EQUIVAENTE DO CONVERSOR CC- CC BIDIRECIONA EM REGIME PERMANENTE...5. INTRODUÇÃO XIV

16 . OBTENÇÃO DO CIRCUITO EQUIVAENTE CAPÍTUO 3 MODEAGEM DO CONVERSOR BIDIRECIONA ZETA-SEPIC INTRODUÇÃO EQUAÇÕES GENÉRICAS CIRCUITO EQUIVAENTE PARA OPERAÇÃO EM REGIME PERMANENTE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROE DA CORRENTE DO CONVERSOR ZETA-SEPIC BIDIRECIONA CAPÍTUO 4 MODEAGEM DO CONVERSOR BOOST EM CONDUÇÃO DESCONTÍNUA INTRODUÇÃO EQUACIONAMENTO DO CONVERSOR BOOST OPERANDO EM CONDUÇÃO DESCONTÍNUA ANÁISE EM REGIME PERMANENTE MODEO DE PANTA PARA CONTROE DA CORRENTE NO INDUTOR FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROE DA TENSÃO CAPÍTUO 5 CONVERSOR CC-CC MEIA PONTE MODUADO EM FREQUÊNCIA INTRODUÇÃO MODEAGEM POR ESPAÇO DE ESTADOS MODEO PARA OPERAÇÃO EM REGIME PERMANENTE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROE DA CORRENTE. 05 CAPÍTUO 6 ANÁISE DO ERRO COMETIDO AO SE EMPREGAR O VAOR MÉDIO EM ESPAÇO DE ESTADOS XV

17 6. FONTE DE TENSÃO AIMENTANDO INDUTÂNCIA PURA FONTE DE TENSÃO AIMENTANDO CARGA R REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS... 8 XVI

18 CAPÍTUO ANÁISE DE CIRCUITOS INEARES. INTRODUÇÃO. Seja o circuito representado na Figura -. Trata-se de um circuito RC série. No instante t=0, o interruptor S é fechado. Figura -: Circuito RC série. O comportamento do circuito é definido pelas equações diferenciais (.) e (.). A corrente no indutor i e a tensão no capacitor v c são as variáveis de estado do circuito. di R i vc v (.) dv C C i (.) A partir de (.) e (.) obtém-se (.3) e (.4). 7

19 di R vc v i (.3) dvc i C (.4) As equações (.3) e (.4) podem ser representadas na forma matricial, de acordo com a expressão (.5). di R i 0 v dvc vc v C (.5) Sejam as definições descritas a seguir. i X vc (.6) di X dvc (.7) R A C 0 (.8) 8

20 0 B (.9) 0 0 v U v (.0) Desse modo, na forma matricial, obtêm-se a equação (.). X AX BU (.) Podem ocorrer situações em que as grandezas de saída não sejam os estados, mas sim uma combinação deles. Define-se então a equação (.). Y CX DU (.) onde Y é um vetor definido pelas grandezas desejadas. C e D são matrizes com termos constantes. Agrupando as equações (.) e (.) obtêm-se as equações (.3) e (.4), conhecidas como equações de estado do sistema. X AX BU (.3) Y CX DU (.4) Costuma-se representar em diagrama de blocos as equações de estado, de acordo com a Figura -. 9

21 Figura -. Representação das equações de estado por diagrama de blocos.. SOUÇÃO EMPREGANDO A TRANSFORMADA DE APACE. Vamos, com o emprego da transformada de aplace, obter a solução da equação de estados que representa o comportamento do circuito. Vamos ignorar a equação (.4). Seja a equação (.5). X A X BU (.5) Aplicando-se a transformada de aplace, obtêm-se a equação (.6). X( s) A X( s) BU( s ) (.6) Mas, X( s) si X( s) X (0) (.7) onde I é a matriz identidade. O vetor X(0) representa o estado inicial das variáveis do circuito. Substituindo-se (.7) em (.6) obtém-se (.8). 0

22 si X( s) X(0) A X( s) BU( s ) (.8) Assim: si X( s) A X( s) X(0) BU( s ) (.9) si A X( s) X(0) BU( s ) (.0) Portanto: X( s) si A X(0) si A BU( s ) (.) Por razões didáticas e para simplificar o problema, vamos considerar nula a tensão de alimentação. Isto significa que o vetor U=0. Portanto, X( s) si A X (0) (.) Resolve-se o sistema de equações representado por (.) aplicando-se a transformada inversa de aplace. Assim: X( t) X( s ) (.3) X( t) si A X (0) (.4) Como o vetor X(0) é formado por termos constantes, podemos escrever:

23 X( t) si A X (0) (.5) Prosseguimos nossa análise como segue. R s 0 si A 0 s 0 C R s si A s C R s si A s C (.6) (.7) (.8) Invertendo-se a matriz definida pela equação (.8), obtêm-se: Rs s I A C Rs RCs Rs RCs C( R s) Rs RCs Rs RCs (.9)

24 Seja R 0 C (.30) (.3) 0 (.3) Com essas definições, após manipulação algébrica adequada, obtêm-se: s / ( s ) ( s ) si A / C ( s) ( s ) ( s ) (.33) Deste modo: si0 VC0 / ( s ) ( s ) si A X(0) I0 / C ( s) VC0 ( s ) ( s ) (.34) Vamos considerar o caso de um sistema pouco amortecido, de modo que. Aplicando-se a transformada inversa de aplace, obtêm-se: 3

25 t t e sen( t) e cos( t) I0 X( t) t e sen( t) t VC 0 e cos( t) C (.35) A expressão (.35) pode ser reescrita como a expressão (.36). X( t) ( t) X (0) (.36) onde I0 X(0) Estado inical VC 0 I() t Xt ( ) Vetor de estado vc() t (.37) (.38) e () t t cos( t) t e sen t ( ) C t e sen t e t ( ) cos( t) (.39) A matriz ( ) t é conhecida como matriz de transição de estados. Trata-se de um conceito muito importante, pois permite conhecer os estados do sistema a qualquer instante, se as condições iniciais forem conhecidas e se o sistema evoluir livremente sem excitações nem perturbações. 4

26 A partir das expressões deduzidas com o emprego das equações de estado, podemos obter as expressões (.40) e (.4). t V C 0 i( t) e I0 cos( t) sen( t) (.40) t I 0 vc( t) e sen( t) VC0 cos( t) C (.4).3 EXEMPO NUMÉRICO. Vamos nesta seção apresentar um exemplo numérico e as formas de onda resultantes. Sejam os seguintes parâmetros e condições iniciais: Portanto: 50 mh; C 0 F; R 0 I 0 A; V 00V 0 C0 R 00 / H 0 C 995 rad/s 0 49,8 000 rad/s C 0,0Siemens 5

27 Desse modo, 00t 00t i ( t) 0e cos(995 t) 4,0 e sen(995 t) I0 00t 00t vc() t 50,5 e sen( t) 00e cos( t) VC0 As formas de onda resultantes, da corrente i (t) e da tensão v C (t), encontram-se representadas na Figura -3 e na Figura -4 respectivamente. Na Figura -5 é mostrado o plano de fase, onde a corrente i (t) é representada em função da tensão v C (t). Figura -3. Corrente em função do tempo, para o circuito da Figura -. Figura -4. Tensão nos terminais do capacitor, para o circuito da Figura.. 6

28 Figura -5. Plano de fase para as variáveis de estado do circuito representado na Figura -..4 ANÁISE DE UM CIRCUITO COM APENAS RESISTORES E CAPACITORES Seja o circuito mostrado na Figura -6. Desejamos encontrar as expressões das correntes i (t) e i (t). V é uma tensão constante e a chave S é fechada no instante t=0. Todos os resistores, bem como os capacitores, são idênticos entre si. As tensões nos capacitores, v C (t) e v C (t), são as variáveis de estado do sistema. Vamos estudar o caso particular em que as condições iniciais sejam nulas. Por inspeção do circuito podemos escrever as equações (.4) e (.43). 7

29 Figura -6. Circuito com resistores e capacitores. i C i V V V V R R C V V V R R (.4) (.43) Mas, dv i C (.44) C e dv i C (.45) C Portanto, dv RC V V V dv RC V V (.46) (.47) 8

30 Seja RC (.48) Portanto, v v v v v 0 (.49) Ou ainda, v / / v v / v / / v 0 (.50) Desse modo, V AV BU (.5) onde, v V v v V v (.5) (.53) / / A (.54) / / 9

31 v / BU (.55) 0 Também por inspeção pode-se escrever: i i V V R V V R (.56) (.57) Portanto, i / R 0 v V / R i / R / R v 0 (.58) Seja i i i / R 0 C / R / R (.59) (.60) V / R DU (.6) 0 30

32 Portanto: i C V DU (.6) Resumindo-se as expressões (.5) e (.6), obtêm-se V AV BU (.63) i C V DU (.64) que é a forma geral da representação de estado. Verificamos que nosso circuito, que é um sistema de segunda ordem linear e invariante no tempo, está sendo descrito matematicamente por um sistema formado por duas equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos então resolver essas equações. Aplicando-se a transformada de aplace na equação (.63) obtém-se a equação (.65). sv( s) V(0) AV( s) BU( s ) (.65) Desse modo: si A V( s) V(0) BU( s ) (.66) Ou ainda: V( s) si A V(0) si A BU( s ) (.67) 3

33 3 Seja (0) 0 V, nossa hipótese inicial. Assim: Mas, s s I A s (.68) Portanto, s s s s I A s s s (.69) () 0 V B U s s (.70) Assim, 0 () 0 V s s s s I A B U s V s s (.7)

34 Desse modo, V s V () s s s V () s V s s (.7) Aplicando-se a transformação inversa de aplace na equação (.67) obtêm-se a equação (.73). Desse modo, V( t) V( s ) (.73) t 3t ( ) V V t 4 3 e e (.74) 6 t t ( ) V V t e e (.75) 6 Nosso objetivo é encontrar as correntes I (t) e I (t). A partir da expressão (.64), obtemos: i C V DU (.76) 33

35 Portanto, i( t) / R 0 v( t) V / R i( t) / R / R v( t) 0 (.77) Assim, i () t i () t V v () t R v ( t) V ( t) R (.78) (.79) Substituindo as expressões (.74) e (.75) em (.78) e (.79) obtemos: t ( ) V i t 3 e e 6R 3t (.80) ( ) V i t 3 3 e R t (.8) V Observar-se que para t i( ) i( ), como era 3R esperado. Sejam os seguintes parâmetros, escolhidos a título de ilustração: 34

36 V 00V C 000F R 0 As correntes i (t) e i (t), em função do tempo, encontramse representadas na Figura -7, para esses parâmetros. Figura -7. Evolução das correntes do circuito representado na Figura

37 CAPÍTUO CIRCUITO RC CHAVEADO Seja o circuito representado na Figura -. Figura -- Circuito RC Chaveado. O interruptor ideal S é comandado pelo sinal representado na Figura -. Figura -. Sinal de comando do interruptor S. O interruptor S encontra-se fechado quando S e aberto quando S 0. O período de funcionamento é T S. 36

38 Desse modo, S S no intervalo 0, DTS 0 no intervalo DT, T A variável D, definida por (.), é denominada razão cíclica. S D t T (.) Vamos supor que o capacitor C esteja inicialmente carregado e que sua tensão inicial seja V C0. Se S permanecer fechado continuamente (D=), a tensão v c (t) e a corrente i c (t) serão representadas pelas expressões (.) e (.3). t v t V e (.) i c c C 0 t V C 0 t e (.3) R A expressão (.) é a solução da equação diferencial linear de primeira ordem representada por (.4). dvc( t) vc( t) C 0 (.4) R 37

39 Com essas informações desejamos obter a expressão da tensão do capacitor em função do tempo, para o interruptor S operando com D. Durante um ciclo de operação, o circuito assume dois estados topológicos mostrados na Figura -3. Figura -3. Estados topologicos do circuito. Durante o intervalo de tempo Δt, S encontra-se fechado e parte da energia armazenada no capacitor é dissipada em R. Os dois estágios topológicos mostrados na Figura - são representados pelas equações diferenciais lineares de primeira ordem (.5) e (.6) respectivamente. dvc( t) vc( t) C 0 (.5) R dvc() t C 0 (.6) Vamos multiplicar todos os termos de (.5) por D e todos os termos de (.6) por (-D). Em seguida vamos somar as duas equações. Assim: 38

40 dvc( t) vc( t) DC D 0 R (.7) dvc() t D C 0 (.8) Portanto: dvc() t D C vc( t) 0 R (.9) A expressão (.9) representa o circuito mostrado na Figura -4 Figura -4. Circuito equivalente. Seja o resistor equivalente definido pela expressão (.0). R eq R D (.0) Observe que o valor da resistência equivalente R eq é inversamente proporcional à razão cíclica D. Desse modo, o efeito do chaveamento é um aumento da resistência aparente do resistor do circuito. 39

41 A constante de tempo do circuito com chaveamento é R C (.) eq eq eq RC D (.) Ou ainda, eq D (.3) Podemos interpretar o efeito do chaveamento como o aumento da constante de tempo do circuito. Assim, como D, eq. Com o emprego da técnica descrita, obtém-se um único circuito linear, para um valor dado de D, que representa os dois estados topológicos do circuito, associados aos dois estados de condução do interruptor. Dito de outra forma, o circuito original, chaveado, passa a ser representado por um circuito sem interruptor, com variáveis contínuas. Cada estado topológico, para D constante, é representado por um circuito linear, descrito por uma equação diferencial linear. O circuito equivalente é também linear, onde as variáveis (estados) são valores médios quase instantâneos. O método empregado contem aproximações e introduz erro. O erro é tanto menor quanto menor for o período de chaveamento em relação à constante de tempo original do circuito. T Simulações realizadas mostram que para S 0,0 o erro cometido é menor que %. 40

42 CAPÍTUO 3 CIRCUITO RC CHAVEADO Seja o circuito representado na Figura 3-. Figura 3-. Circuito RC chaveado. O capacitor C encontra-se inicialmente carregado e sua tensão inicial é V C0. C encontra-se descarregado. t S é aberto e fechado com alta frequência de valor constante. A razão cíclica D é considerada constante. Ao longo do tempo, parte da energia inicialmente acumulada em C é transferida para C, e parte dela é transformada em calor no resistor R. Desejamos encontrar as expressões que representem os valores médios quase instantâneos das tensões v C (t) e v C (t). Em um período de operação, o circuito possui dois estágios topológicos representados na Figura 3-. Figura 3-. Estados topológicos do conversor: (a) intervalo DT e (b) intervalo ( D ) T. 4

43 Vamos equacionar cada um desses estágios topológicos. a) Primeiro Estágio: 0 t DT dvc() t C i C dvc() t i vc( t) vc( t) i R R (3.) (3.) (3.3) Portanto, dvc ( t) v C ( t) v ( ) C t C R R C dvc ( t) v ( ) ( ) C t v C t R R (3.4) (3.5) b) Segundo Estágio: DT t T dvc() t C 0 C dvc() t 0 (3.6) (3.7) Vamos multiplicar (3.4) e (3.5) por D. Assim: 4

44 dvc() t D D DC vc( t) vc( t) R R dvc() t D D DC vc( t) vc( t) R R (3.8) (3.9) Do mesmo modo, vamos multiplicar (3.6) e (3.7) por (-D). Assim, dvc() t DC 0 dvc() t DC 0 (3.0) (3.) Adicionando (3.6) com (3.0) obtemos (3.). dvc() t D D C vc( t) vc( t) R R (3.) Adicionando (3.8) com (3.) obtemos (3.3). dvc () t D D C vc( t) vc( t) R R (3.3) Desse modo (3.) e (3.3) formam um sistema de equações diferenciais de primeira ordem, representado pelas equações (3.4). 43

45 dvc() t D D C vc( t) vc( t) R R dvc() t D D C vc( t) vc( t) R R (3.4) Seja o resistor equivalente definido pela expressão (3.5). R eq R D (3.5) Então, C C dvc( t) vc( t) vc( t) R R eq eq dvc( t) vc( t) vc( t) R R eq eq (3.6) O sistema de equações (3.6) representa o circuito mostrado na Figura 3-3, contínuo, válido para valores médios quase instantâneos. Figura 3-3. Circuito equivalente para valores médios quase instantâneos. 44

46 Verificamos que devido à ação do chaveamento, o valor da resistência aparente é modificado e representado pela expressão (3.7). R eq R D (3.7) A constante de tempo do circuito resultante é representada pela expressão (3.8). R C (3.8) eq onde CC C (3.9) C C Seja V C0 a tensão inicial no capacitor C. O capacitor C encontra-se inicialmente descarregado. Então a corrente através do resistor equivalente durante o regime transitório é dada pela equação (3.0). V R t C i() t 0 e (3.0) eq As tensões sobre os capacitores C e C, em seus valores médios quase instantâneos, são representadas pelas expressões (3.) e (3.), respectivamente. 45

47 t V C0 vc() t C C e C C (3.) C VC 0 vc( t) e C C t (3.) O procedimento apresentado nos permitiu, a partir da representação por equações de estado de um circuito chaveado com dois estágios topológicos lineares, encontrar valores médios das variáveis de estado, que por sua vez representam um circuito equivalente não chaveado ou contínuo. Este é o princípio geral que iremos encontrar na modelagem dos diversos circuitos que serão apresentados nos capítulos subsequentes deste texto. A partir das equações (3.) e (3.) podemos observar que após o período transitório, quando a corrente do circuito se anula, as tensões V c e V c tornam-se iguais entre si, com o valor dado pela expressão (3.3). V V C C V C C C C0 (3.3) Portanto, os valores das tensões finais nos capacitores não dependem do valor do resistor R, nem da frequência de comutação ou da razão cíclica. Dependem apenas do valor da tensão inicial no capacitor C e das capacitâncias de C e C. Porém a duração do período transitório depende desses parâmetros. 46

48 CAPÍTUO 4 COVERSOR CC-CC ABAIXADOR A CAPACITOR CHAVEADO Seja o circuito representado na Figura 4-. Trata-se de um conversor CC-CC abaixador, empregando apenas capacitores, interruptores e suas resistências parasitas, portanto sem o emprego de dispositivos magnéticos, como indutores ou transformadores. Nosso objetivo é obter suas características fundamentais, como ganho estático e circuito equivalente, empregando a técnica de valores médios em espaço de estado. Figura 4-. Conversor CC-CC abaixador a capacitor chaveado. Os interruptores, considerados ideais, são comandados de acordo com os sinais mostrados na Figura

49 Figura 4-. Sinais de comando dos interruptores do circuito representado na Figura 4-. Nosso objetivo é encontrar um circuito linear equivalente, válido para valores médios quase instantâneos, que permita determinar o comportamento do conversor. Num ciclo completo de funcionamento, o conversor assume dois estados topológicos. Durante o intervalo de tempo (0, DT), o circuito equivalente é representado pela Figura 4-3. Figura 4-3. Circuito equivalente para o primeiro estágio topológico. Durante o intervalo de tempo (DT,T), o circuito equivalente é representado pela Figura

50 Figura 4-4. Circuito equivalente para o segundo estágio topológico. Vamos primeiramente obter as equações que representam o primeiro estágio de operação (Figura 4-3). i C i C v vc vc R R R vc v vc vc R R R R o dv C C i C C dv i C C (4.) (4.) (4.3) (4.4) Substituindo a equação (4.) em (4.3) e a equação (4.) em (4.4) obtemos (4.5) e (4.6): dvc vc vc v C (4.5) R R R 49

51 C dv C vc v vc R Ro R R (4.6) A seguir, vamos equacionar o circuito representado pela Figura 4-4. i C i C vc R vc R vc vc vc R R R o dv C C i C C dv i C C (4.7) (4.8) (4.9) (4.0) Portanto, dvc v C v C C (4.) R R C dv C vc vc R Ro R (4.) Vamos representar os modelos obtidos na forma matricial, de acordo com as expressões (4.3) e (4.4) para os intervalos de tempo (0, DT) e (DT,T) respectivamente. 50

52 dv v C C R R vc R dv C vc v C R Ro R R (4.3) dv C C R R vc (4.4) dvc vc C R R o R As expressões (4.3) e (4.4), escritas na forma compacta são representadas pelas expressões (4.5) e (4.6). K X A X B U (4.5) K X A X B U (4.6) onde, v X v C C (4.7) é o vetor de estado, sendo V C e V C os estados do circuito. 5

53 R R A R Ro R R Ro R R A R Ro R R Ro (4.8) (4.9) 0 B (4.0) 0 B 0 (4.) v R U v R (4.) Vamos multiplicar as expressões (4.5) e (4.6) por D e por (-D) respectivamente. Assim, DK X DA X DB U (4.3) ( D) K X ( D) A X (4.4) Vamos analisar a operação em regime permanente. Portanto, X 0. Desse modo, 5

54 0 DA X DB U (4.5) 0 ( D) A X (4.6) Portanto: R R D R Ro R RRo Dv R R R ( D) 0 R R Dv o R RRo R (4.7) O sistema representado por (4.7) pode ser simplificado, resultando na equação (4.8). D R Ro Ro Dv ( D) R R 0 o Dv Ro (4.8) 53

55 Assim: D D R Ro D D Ro ( D) ( D) Dv R R 0 o ( D) ( D) D v Ro (4.9) Após as devidas manipulações algébricas, obtêm-se as expressões (4.30) e (4.3). v ( D) v Dv 0 (4.30) C C R Ro D vc vc Dv 0 Ro (4.3) Manipulações algebricamente se expressões (4.30) e (4.3), obtemos a expressão (4.3). vc D( D) v R Ro D Ro (4.3) Seja o caso particular em que D 0,5. Portanto, v C Ro R R v o (4.33) 54

56 A expressão (4.33) mostra que o ganho ideal do conversor apresentado é igual a 0,5. O valor real do ganho é ligeiramente menor que 0,5, devido à queda de tensão no resistor série equivalente R. A expressão (4.33) representa o circuito equivalente mostrado na Figura 4-5. Figura 4-5. Circuito equivalente do conversor CC-CC abaixador a capacitor chaveado. Para razão cíclica diferente de 0,5 o circuito equivalente encontra-se representado na Figura 4-6. Figura 4-6. Circuito equivalente para D 0,5. Desse modo, pode-se escrever a expressão (4.34). v0 0,5R o v R R o eq (4.34) 55

57 Mas, como foi demonstrado anteriormente: vo D( D) v R Ro D Ro (4.35) Igualando-se a expressão (4.34) com (4.35) e manipulando-se algebricamente, obtêm-se a expressão (4.36). R eq R 4( D D ) (4.36) Ou ainda, R eq R 4( D D ) (4.37) Na Figura 4-7 é representado o valor de Req / R em função da razão cíclica D. Figura 4-7. Resistência equivalente em função da razão ciclica D. 56

58 Observa-se que o valor mínimo da resistência equivalente ocorre para D 0,5. Por isso esses conversores geralmente são projetados para operar com esse valor de D. Pode-se também demonstrar que o valor de R eq depende da frequência de chaveamento do circuito, além da razão cíclica D. Para D 0,5, o modelo obtido é válido se for respeitada a restrição: T R C (4.38) S ou ainda f S R C (4.39) Na análise apresentada, foi considerada muito grande a capacitância do capacitor C. Na análise apresentada a título de exemplo, todos os componentes foram considerados ideais, exceto o capacitor C cuja resistência é R. Contudo, o procedimento pode ser facilmente estendido para as situações em que as demais não idealidades sejam incluídas. Essa análise que acabamos de apresentar, serve para mostrar a eficiência do método do valor médio em espaço de estado, na análise dos conversores CC-CC a capacitor chaveado, que de outra forma seria complexa e demorada. 57

59 CAPÍTUO 5 CIRCUITO R CHAVEADO Seja o circuito representado na Figura 5-. Figura 5-. Circuito R paralelo com interruptor. O interruptor S é ideal e opera com frequência constante e razão cíclica D. Em um ciclo de operação ocorrem dois estágios topológicos para os intervalos de tempo (0,DT) e (DT,T) respectivamente, mostrados na Figura 5-. Figura 5-. Estagios topológicos para o circuito R paralelo. Os dois estágios são representados pelas equações diferenciais (5.) e (5.), respectivamente. 58

60 di 0 (5.) di R i 0 (5.) Vamos multiplicar (5.) e (5.) por D e (-D) respectivamente, obtendo (5.3) e (5.4). di D 0 (5.3) di ( D) ( D) Ri 0 (5.4) Somando (5.3) com (5.4) obtemos (5.5). di ( D) R i 0 (5.5) A equação diferencial (5.5) representa o circuito mostrado na Figura 5-3. Figura 5-3. Circuito equivalente do circuito R paralelo com interruptor. 59

61 Seja, R eq ( D ) (5.6) Assim: di Req i 0 (5.7) Seja I o o valor da corrente inicial no indutor. Resolvendo-se a equação diferencial (5.7) obtêm-se a expressão (5.8). t i () t I e (5.8) o Onde, R ( D) R eq (5.9) Verificamos então que o chaveamento modifica e controla o valor da resistência equivalente e consequentemente da constante de tempo do circuito. A hipótese fundamental empregada na modelagem, mais uma vez, é o período de chaveamento ser muito menor que a constante de tempo definida pelos parâmetros do circuito, R e, como geralmente ocorre nos circuitos reais. 60

62 CAPÍTUO 6 CIRCUITO R CHAVEADO Seja o circuito representado na Figura 6-. São adotadas as mesmas condições de operação do circuito estudado no CAPÍTUO 5. Seja I o a corrente inicial em, com o sentido indicado na Figura 6-. Seja nula a corrente inicial em. Deseja-se obter o circuito equivalente que represente a evolução das grandezas médias quase instantâneas do circuito, em função do tempo, em regime permanente. Figura 6-. Circuito R em paralelo com interruptor. Os dois estágios topológicos, para os intervalos de tempo (0, DT) e (DT, T) encontram-se representados na Figura 6-. 6

63 Figura 6-. Estágios topologicos do circuito R. As equações para o intervalo (DT, T) são: di V (6.) di V (6.) V Ri Ri (6.3) Portanto, di R i R i di R i R i (6.4) (6.5) Para o intervalo (0, DT) são obtidas as equações: di 0 (6.6) 6

64 di 0 (6.7) Na forma matricial, para os intervalos de tempo (DT, T) e (0, DT), o circuito é representado pelas equações (6.8) e (6.9), respectivamente. di R R i (6.8) di R R i e di 0 (6.9) di 0 Multiplicando-se (6.8) por (-D) e (6.9) por D obtém-se: di ( D) ( D) R ( D) R i di ( D) R ( D) R i ( D) (6.0) di D 0 di 0 D (6.) 63

65 Somando-se (6.0) com (6.) obtêm-se (6.). di ( D) R ( D) R i (6.) di ( D) R ( D) R i Ou ainda: di ( D) R i ( D) R i di ( D) Ri ( D) R i (6.3) (6.4) Seja, R ( D) R (6.5) eq Assim: di R i R i eq eq di R i R i eq eq (6.6) (6.7) As expressões (6.6) e (6.7) representam o circuito equivalente mostrado na Figura

66 Figura 6-3. Circuito equivalente para o circuito original R. Pode-se então concluir que o chaveamento modifica o valor da resistência aparente do circuito, definida pela expressão (6.5). O circuito resultante representa os valores médios quase instantâneos das tensões e correntes do circuito. Resolvendo-se o sistema de equações diferencias (6.6) e (6.7) obtém-se as expressões seguintes. I () t I o I () t I o e t e t (6.8) (6.9) t I () t I e (6.0) R o onde, eq R eq (6.) 65

67 R ( D) R (6.) eq eq (6.3) Verifica-se que o valor final de IR() t é igual zero. I t e I () t são não nulos. Contudo, os valores finais de () A partir da análise das equações (6.4) e (6.5), pode-se concluir que após o transitório, ou seja, para um tempo muito grande, as correntes nos dois indutores tornam-se iguais entre si, com os valores definidos pelas equações (6.6) e (6.7). I = I 0. (6.6) + I = I 0. (6.7) + 66

68 CAPÍTUO 7 CIRCUITO C CHAVEADO Seja o circuito representado na Figura 7-, com todos os seus componentes ideais. Figura 7-. Circuito C chaveado. A corrente inicial no indutor é I o e a tensão inicial no capacitor C é V Co. Os interruptores S e S são comandados de acordo com os sinais representados na Figura 7-. Figura 7-. Sinais de comando dos interruptores S e S. 67

69 Os estágios topológicos, para um ciclo de operação, encontram-se representados na Figura 7-3. Figura 7-3. Estágios toplogicos para um período de operação do circuito. Durante o intervalo de tempo (0, DT) o circuito é representado pelas equações (7.) e (7.). di 0 (7.) dv C C 0 (7.) Durante o intervalo de tempo (DT, T) o circuito é representado pelas equações (7.3) e (7.4). di v C (7.3) dv C C i (7.4) Os dois sistemas de equações são representados na forma matricial pelas equações (7.5) e (7.6), respectivamente. 68

70 di 0 0 i (7.5) dvc 0 0 vc C di 0 i (7.6) dvc 0 vc C Multiplicando-se (7.5) por D, (7.6) por (-D) e somandose, obtêm-se as equações (7.7) e (7.8). di ( D) v dvc C ( D) i C (7.7) (7.8) As equações (7.7) e (7.8) representam o circuito mostrado na Figura 7-4. Figura 7-4. Circuito equivalente do circuito C chaveado. Manipulando-se a equação (7.8) obtêm-se 69

71 v C ( D) C i (7.9) Substituindo-se (7.9) em (7.7) obtêm-se (7.0). di ( D) C i (7.0) Seja, C eq C ( D) (7.) Assim, di C eq i (7.) Ou ainda, C eq di i (7.3) Portanto: C eq di i (7.4) A expressão (7.4) representa o circuito equivalente mostrado na Figura

72 Figura 7-5. Circuito equivalente final do circuito C chaveado. Desse modo, podemos concluir que o chaveamento produz um capacitor variável, dependente da razão cíclica. Como 0D, então C C. eq Encontramos assim uma maneira de obter um capacitor cuja capacitância é maior que o valor da capacitância do capacitor físico. A partir da equação (7.7) é possível encontrar a equação (7.5). ( D) di vc (7.5) Portanto, ( D) i v C (7.6) Substituindo-se (7.6) em (7.8) obtêm-se. dvc C ( D) v C (7.7) 7

73 Portanto: C ( D) dv C v C (7.8) Seja, eq ( D) (7.9) Portanto: dvc C eq v C (7.0) O circuito equivalente representado pela equação (7.0) é mostrado na Figura 7-6. Figura 7-6. Ciruito equivalente alternativo para o circuito C chaveado. Neste caso, podemos interpretar o efeito do chaveamento como a modificação da indutância equivalente do circuito original. A pulsação do circuito chaveado é definida pela equação (7.). 7

74 C D (7.) Portanto: D C (7.) Seja, o C (7.3) Portanto, D (7.4) o A expressão mostra o efeito da razão cíclica sobre a frequência natural do circuito. A análise apresentada, mais uma vez, demonstra a eficácia e a simplicidade que o método de modelo médio em espaço de estado proporciona, na análise de circuitos elétricos chaveados. 73

75 CAPÍTUO 8 CIRCUITO VR CHAVEADO Seja o circuito representado na Figura 8-. O interruptor é ideal e opera com razão cíclica D. Figura 8-. Circuito com resistor chaveado. Os dois estados topológicos para os intervalos (0, DT) e (DT, T) encontram-se representados na Figura 8-. Figura 8-. Estados topologicos para um período de operação do circuito VR chaveado. Os dois estágios são representados pelas equações (8.) e (8.) respectivamente. 74

76 di v di v R i() t (8.) (8.) Multiplicando-se (8.) por D e (8.) por (-D), e somando-se, obtêm-se as expressões (8.3) e (8.4). di D Dv di ( D) ( D) v ( D) Ri (8.3) (8.4) Adicionando-se (8.3) e (8.4) obtêm-se (8.5). di v ( D) R i (8.5) 8-3. A equação (8.5) representa o circuito mostrado na Figura Figura 8-3. Circuito equivalente do circuito VR chaveado. 75

77 A resposta a um degrau da tensão de entrada é dada pela equação (8.6). t V Req i( t) e R (8.6) onde: R ( D) R (8.7) eq Deve-se observar que o circuito mostrado na Figura 8-3 é genérico, sendo valido para tensão V com qualquer forma de onda. É também é valido tanto para operação em regime permanente quanto para transitório. O circuito equivalente em regime permanente para tensão continua de entrada é mostrado na Figura 8-4. Figura 8-4. Circuito equivalente para tensão continua. O circuito equivalente para alimentação senoidal encontra-se representado na Figura

78 Figura 8-5. Circuito equivalente para tensão alternada senoidal. A impedância Z é definida pela expressão (8.8). Z ( D) R j (8.8) Para razão cíclica D constante, o circuito resultante da análise, mostrado na Figura 8-3, é invariante no tempo. É possível, a partir de um ponto de operação, introduzir pequena perturbação na razão cíclica D. Seja a equação (8.9), obtida anteriormente. Vamos introduzir uma perturbação muito pequena em D, e obter a resposta no tempo. di v ( D) R i (8.9) D D D (8.0) o i I i (8.) O Substituindo as equações (8.0) e (8.) em (8.9) obtemos a equação (8.). d IO i v R Do D IO i (8.) 77

79 Desenvolvendo-se (8.) obtêm-se (8.3). dio di v R Do D IO i ( ) (8.3) Assim, dio di v R ( Do) IO R ( Do) i D I R D i R O (8.4) Seja Di 0. Assim: di R ( Do ) i R D I O (8.5) Aplicando-se a transformada de aplace, obtêm-se: si( s) R( D ) i( s) D( s) RI (8.6) o O Portanto, Assim: s R( D ) i( s) D( s) RI (8.7) o O is () RIO D( s) s R ( D ) o (8.8) 78

80 Desse modo, is () RIO Ds () R( Do) s (8.9) Seja, D Ds () s (8.0) Portanto, D R IO is () R( Do) ss (8.) Assim, t D i( t) IO e ( Do) (8.) sendo R ( D ) o (8.3) Mas I o V R ( D ) o (8.4) 79

81 Portanto t VD i( t) e R( D ) o (8.5) A expressão (8.5) representa a resposta do circuito diante de uma pequena perturbação na razão cíclica D, em torno de um ponto de operação inicial, definido pela razão cíclica inicial D o. 80

82 CAPÍTUO 9 MODEAGEM DO CONVERSOR BUCK 9. INTRODUÇÃO. Neste capítulo, vamos empregar a técnica do modelo médio em espaço de estado, para obter os modelos do conversor CC-CC conhecido como conversor Buck, que incluirão circuito equivalente, análise em regime permanente e funções de transferência para o controle da corrente do indutor e da tensão do capacitor ou da carga. Seja o conversor Buck ideal alimentando carga resistiva, mostrado na Figura 9-. Figura 9-. Conversor Buck ideal. O mesmo circuito com a introdução de algumas não idealidades encontra-se representado na Figura 9-. Figura 9-. Conversor Buck com componentes não ideais. 8

83 As não idealidades são as seguintes: R V S D Resistência do interruptor S Queda de tensão no diodo R Resistência do indutor Vamos estudar o caso em que o conversor esteja operando em condução continua e frequência de chaveamento constante. Seja D a razão cíclica. Os dois circuitos equivalentes para os intervalos de tempo (0, DT) e (DT, T) encontram-se representados na Figura 9-3. Figura 9-3. Estados topológicos do conversor Buck, para os intervalos de tempo (,DT) e (DT,T), respectivamente. 9. EQUACIONAMENTO DA PRIMEIRA ETAPA DE OPERAÇÃO. O primeiro estágio topológico mostrado na Figura 9-3(a) é representado pelas seguintes equações: 8

84 di RS i R i vc v (9.) dvc C v i R C o (9.) A representação matricial das equações (9.) e (9.) é dada pela equação (9.3). di R S R i v dv C vc 0 C Ro (9.3) Multiplicando todos os termos da equação (9.3) por D obtemos: di D DRS R D i Dv D dv D C vc 0 DC Ro (9.4) 9.3 EQUACIONAMENTO DA SEGUNDA ETAPA DE OPERAÇÃO. A segunda etapa operação, mostrada na Figura 9-3(b), é representada pelas equações (9.5) e (9.6). di R i v v C D (9.5) 83

85 dvc C v i R C o (9.6) As equações (9.5) e (9.6) representadas na forma matricial são dadas pela equação (9.7) di R i vd dv C vc 0 C Ro (9.7) Multiplicando-se os termos da equação (9.7) por (-D) obtemos a equação (9.8). di ( D ) ( D) R ( D) i ( D) dv ( D) C vc ( DC ) Ro ( Dv ) 0 D (9.8) Vamos então somar a equação (9.7) com a equação (9.8). Como, di di di D ( D) dvc dvc dvc D C ( D) C C (9.9) 84

86 Obtêm-se, di DR ( ) ( ) S R D D R D i D ( D) dv D ( D) C vc C Ro Ro Dv ( D) vd 0 0 (9.0) Manipulando-se a equação (9.0) obtêm-se (9.). di D R S R i dv C vc C Ro D v ( D) v 0 D (9.) Pode-se ainda representar o modelo por duas equações de primeira ordem, ou seja: di DR R i v Dv ( D) v S C D dvc() t v C i R C o (9.) (9.3) 85

87 As equações (9.) e (9.3) representam o circuito mostrado na Figura 9-4, Figura 9-4. Circuito medio equivalente do conversor buck. Onde, V Dv ( D) v D (9.4) R DR R (9.5) S O circuito representado na Figura 9-4, obtido com o emprego da técnica de modelo médio em espaço de estados, é válido para grandezas médias quase instantâneas, e consequentemente também para operação em regime permanente. 9.4 ANAISE EM REGIME PERMANENTE. di Em regime permanente, 0 dv e C 0. Desse modo, o circuito equivalente para operação em regime permanente para valores médios encontra-se representado na Figura

88 Figura 9-5. Circuito equivalente para operação em regime permanente. A corrente I o é definida pela expressão (9.6). I o Dv ( D) vd DR R R S o (9.6) Desse modo, V R I (9.7) o o o e Ro Dv ( D) v Vo DR R R S o D (9.8) Interessa-nos obter o ganho estático G, definido pela expressão (9.9). G (9.9) V Manipulando-se algebricamente a equação (9.8), obtêmse a equação (9.0). V o 87

89 v R ( ) D o D D v G D R R R S o (9.0) Para o conversor ideal, RS R v D 0. Portando, a partir da equação (9.0) obtêm-se a equação (9.). G D (9.) A expressão (9.0) representa o ganho em função da resistência de carga R o. Muitas vezes é preferível conhecer o ganho estático em função da corrente de carga. Vamos então obter tal expressão, como segue. Sejam as seguintes definições: R V o o Io RSIo Io V R R R V D S V V D (9.) (9.3) (9.4) (9.5) Substituindo-se (9.), (9.3), (9.4) e (9.5) em (9.0), obtêm-se a expressão (9.6). 88

90 G D ( D) v D( R ) I (9.6) D o A expressão (9.6) representa a característica normalizada do conversor Buck não ideal em regime permanente. Para o conversor ideal V D 0 e I o 0 (pois R S 0 ). Portanto, G D (9.7) A equação (9.6) claramente indica que no conversor real a tensão de saída varia com a corrente de carga, mesmo para tensão de entrada constante. Por isso é necessário o emprego de controle da tensão em malha fechada. 9.5 MODEO DE PANTA PARA CONTROE DA CORRENTE. Seja o sistema representado na Figura 9-6. Figura 9-6. Controle da corrente do coversor buck. O capacitor C e a resistência de carga R o foram substituídos por uma fonte de tensão ideal V 0. Deseja-se 89

91 controlar o valor da corrente I. A variável de entrada é a razão cíclica D. Desejamos então obter a função de transferência. () FS ( ) I s Ds () (9.8) Seja V o o valor da tensão da fonte utilizada como carga. dv Portanto VC V o e C 0. Com essas restrições, a partir das equações (9.) e (9.3) obtêm-se a equação (9.9). di DR R i v Dv ( D) v S C D (9.9) Como D é variável no tempo, estamos diante de uma equação diferencial linear com coeficientes variáveis. Para que se possa obter a função de transferência desejada, deve-se obter uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. Vamos então introduzir uma pequena perturbação na razão cíclica D, definida pela equação (9.30), e obter a resposta na corrente. Desse modo, D D D (9.30) o I I i (9.3) o 90

92 Portanto: dio di DRS R Io DRS R i DR I Dv ( D) v o D (9.3) D( v v ) D admitindo-se que io D 0. Manipulando-se a equação (9.3) obtêm-se a expressão (9.33). d i D R ( S R i D RS Io D v vd) (9.33) Aplicando-se a transformada de aplace em todos os termos, obtêm-se. si ( s) DR R i ( s) R I D( s) ( v v ) D( s) S S o D (9.34) Desse modo, s DRS R i( s) v vd RS Io D( s ) (9.35) Portanto: i () s v vd RS Io D() s s DR R S (9.36) 9

93 Mas, D v v DR I v (9.37) D S o o Portanto: Vo v vd RS Io D (9.38) Substituindo (9.37) em (9.36) obtêm-se (9.39). i() s Vo Ds () D s DRS R (9.39) Ou ainda, i() s Vo Ds () DRS R D s (9.40) Seja, D R R S (9.4) 9

94 Portanto, i() s V o Ds () D s (9.4) No caso de um conversor ideal a equação se torna i() s V o D() s D s (9.43) V Mas o V. Então, D i() s V D() s s (9.44) que é uma expressão comumente encontrada na literatura. 9.6 OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROE DA TENSÃO DE CARGA. Foi demonstrado que os dois estágios topológicos para os intervalos 0, DT s e DTs, T s são representados pelas equações (9.45) e (9.46), respectivamente. X A X B U (9.45) X A X B U (9.46) 93

95 Foi também obtida à expressão (9.47). X A D A D X B D B D U (9.47) Vamos adotar as seguintes definições: x X x (9.48) d D d (9.49) onde X representa o vetor de estados e D representa a razão cíclica, para um ponto de operação. As variáveis x e d representam pequenas alterações alternadas do vetor de estados e da razão cíclica em torno desse ponto de operação. Portanto: Mas X 0. Portanto: x X x (9.50) x x (9.5) Vamos substituir as expressões (9.48), (9.49) e (9.50) na expressão geral (9.47), resultando na expressão (9.5). X x A D d A D d X x B D d B D d U (9.5) Vamos desenvolver cada membro separadamente. Assim. 94

96 A D d A D d X x A D A D X A A d X A D A D x A A d x (9.53) Mas A A d x Portanto, 0 X A D A D X B D B D U (9.54) Como X 0, pode-se escrever a expressão (9.55). A D A D X B D B D U 0 (9.55) Vamos desenvolver o segundo termo da equação (9.5), definida pela expressão (9.56). Desse modo, P B D d B D d U (9.56) P B D B d B D B d U (9.57) 95

97 Portanto, P B D B D U B d B d U (9.58) Combinando-se as expressões (9.5), (9.55) e (9.58) obtêm-se (9.59). x A D A D x A A X d B B Ud (9.59) A expressão (9.59) representa um sistema de equações diferenciais, lineares e invariantes no tempo de ª ordem e descreve o comportamento do conversor para pequenas componentes alternadas em torno do ponto de operação definido por X e D. Vamos em seguida utilizar essa expressão para a obtenção da função de transferência que estamos procurando. Foram obtidas, no inicio do capitulo, as expressões (9.60) e (9.6). RS R v i i v v C C 0 C Ro C (9.60) 96

98 R ( D) vd i i v v C C 0 C Ro C (9.6) Vamos admitir, para simplificar nossa analise, que V R 0. D S Desse modo. R A A C Ro C (9.6) B 0 (9.63) v B (9.64) 0 Portanto, substituindo-se as equações (9.6), (9.63) e (9.64) em (9.59) obtêm-se (9.65). x A x B Ud (9.65) Aplicando-se a transformada de aplace em (9.65) obtêm-se a expressão (9.66). 97

99 s x( s) A x( s) B Ud( s ) (9.66) onde é a matriz identidade. Portanto: x( s) s A B Ud( s ) (9.67) ou ainda, Mas, x( s) s A B Ud( s ) (9.68) R s s A s C Ro C (9.69) Portanto: ( o ) s A C R s C Ro Ms () Ro Ro C ( R s) (9.70) Sendo, Ms () R R s C R R s C R s o o o (9.7) 98

100 e v d() s BU d() s (9.7) 0 Com as expressões (9.70) e (9.7) obtêm-se (9.73). i () s V ( C R ) ( ) o s d s VC () s Ms () V Ro d() s (9.73) Portanto: V Ro d() s VC () s Ms () (9.74) Desse modo, VC() s Ro V d( s) M( s) (9.75) Ro (9.76) Ms () R Ro R C s s C R o C R o Seja R R. o 99

101 Portanto: VC () s V (9.77) ds () R C s s C R o C Sejam as seguintes definições: o C (9.78) R C Ro o (9.79) Assim: VC() s V o d( s) s s o o (9.80) A função de transferência (9.80) relaciona a resposta na tensão de carga, causada por uma pequena perturbação alternada da razão cíclica em torno de um ponto de operação. Como o conversor Buck com interruptores ideais, do ponto de vista dos valores médios quase instantâneos, comporta-se linearmente, as condições iniciais não aparecem na equação final obtida. O mesmo resultado seria obtido através da análise do circuito equivalente deduzido anteriormente e reproduzido na Figura

102 Figura 9-7. Circuito equivalente do conversor Buck. Se VD R S 0, obtêm-se o circuito equivalente mostrado na Figura 9-8. Devido à própria natureza do conversor Buck, nenhum dos parâmetros do circuito equivalente simplificado depende da razão cíclica, o que não acontece com muitos outros conversores. Figura 9-8. Circuito equivalente do conversor Buck para V R 0. D S Com o emprego da equação (9.80), pode-se definir a estrutura e os parâmetros do controlador da tensão de saída ou da carga. 0

103 9.7 EXERCÍCIO PROPOSTO. O leitor é convidado a obter a função de transferência Vo () s, para o conversor Buck representado na Figura 9-9, onde ds () é adicionada a resistência serie equivalente do capacitor de filtragem, além das demais não idealidades já mencionadas. Figura 9-9. Conversor Buck não ideal com a inclusão da resistência do capacitor. O leitor deverá concluir que a resistência R C do capacitor introduzirá um zero na função de transferência F(s). 0

104 CAPÍTUO 0 MODEAGEM DO CONVERSOR BOOST 0. INTRODUÇÃO. Neste capítulo, iremos empregar a técnica do modelo médio em espaço de estados, para obter os circuitos equivalentes, ganho estático e funções de transferência do conversor Boost, representado na Figura 0-. Figura 0-. Conversor Boost. Na Figura 0-, R representa a resistência do indutor, R s representa a resistência do interruptor S e V D representa a queda de tensão no diodo D. Vamos analisar o conversor operando em condução contínua (MCC). Durante um ciclo de operação o conversor assume dois estados topológicos, representados na Figura 0- para os intervalos de tempo (0, DT S ) e (DT S, T S ), respectivamente. 03

105 Figura 0-. Estados topológicos do conversor Boost. Durante o primeiro intervalo de tempo, representado na Figura 0-(a), o comportamento do circuito é descrito pelas equações (0.) e (0.). di R Rs i V (0.) dvc VC C (0.) R As mesmas equações, na forma matricial, são representadas pela expressão (0.3). o R Rs 0 i i V V V C C 0 0 CRo (0.3) 04

106 O estágio topológico mostrado na Figura 0-(b) é descrito pelas equações (0.4) e (0.5). di R i V V V D C (0.4) dvc C V i R C o (0.5) Portanto: R V VD vc i i (0.6) v C i vc C C R o (0.7) com a representação matricial dada pela expressão (0.8). R i i V V v C vc 0 C C Ro D (0.8) Sejam as seguintes definições: i x vc (0.9) 05

107 R A i x vc R 0 s 0 CR o (0.0) (0.) R A C C Ro (0.) 0 B 0 0 (0.3) B 0 0 (0.4) V U VD (0.5) Podemos então escrever para os dois estágios topológicos: x A x B U (0.6) x A x B U (0.7) 06

108 Multiplicando a equação (0.6) por D e (0.7) por ( -D), obtemos as equações (0.8) e (0.9), respectivamente. D x A D x B DU (0.8) D x A D x B D U (0.9) Adicionando-se as duas equações, obtêm-se: x A D A D x B D B D U (0.0) Seja, A A D A D (0.) B B D B D (0.) Portanto: x A x BU (0.3) A equação na forma matricial (0.3), formada por duas equações diferenciais lineares de primeira ordem, descreve o comportamento do conversor, para grandezas médias quase instantâneas. 07

109 0. CIRCUITO EQUIVAENTE PARA OPERAÇÃO EM REGIME PERMANENTE. Em regime permanente, x 0. Portanto, Vamos inicialmente obter a matriz A. 0 A x BU (0.4) A A D A D (0.5) Portanto, R R D D D R s 0 A D D D 0 CRo C CRo (0.6) Assim, DR s R D A D C C Ro (0.7) Em seguida vamos obter a matriz B. B B D B D (0.8) 08

110 Desse modo, D D D 0 B (0.9) D B (0.30) 0 0 Substituindo as expressões (0.7) e (0.30) em (0.4), obtemos (0.3). D R R D s 0 i 0 D vc C C Ro D V VD 0 0 (0.3) Manipulando-se adequadamente a expressão (0.3), obtêm-se as expressões (0.3) e (0.33). D D D R R V i v V 0 s C D D v i C C R 0 C o (0.3) (0.33) 09

111 Ou ainda: V D VD DRs R i D v C (0.34) 0 v R D i (0.35) C o As equações (0.34) e (0.35) representam o circuito equivalente mostrado na Figura 0-3. Figura 0-3. Circuito equivalente do conversor Boost. Com as expressões (0.34) e (0.35) obtêm-se a expressão (0.36), que representa o conversor boost operando em regime permanente. V D V DR R i R D i (0.36) D s 0 A equação (0.36) representa o circuito equivalente mostrado na Figura 0-4. Pode-se também obter um circuito equivalente referido para o lado da carga. Vamos dividir a equação (0.36) por (- D), resultando na equação (0.37). 0

112 Figura 0-4. Circuito equivalente do conversor Boost. V DR s R V i R0 Di D D D (0.37) ou ainda, R 0 V DR s V D i R D i D D D (0.38) A equação (0.38) representa o circuito equivalente mostrado na Figura 0-5. Figura 0-5. Circuito equivalente do conversor Boost visto pelo lado da carga.

113 Se considerarmos o conversor ideal, VD RS R 0 Desse modo, V Vo ( D) (0.39) ou ainda, V o V ( D) (0.40) que é a expressão clássica do ganho estático do conversor boost ideal. Vamos em seguida obter a expressão do ganho do conversor a partir da análise do circuito equivalente em regime permanente mostrado na Figura 0-5. Por inspeção, pode-se obter: V Vo VD ( D) D R S Ro R ( D) R o (0.4) Ou ainda, V o VD Ro ( D) V ( D) V DRS R Ro ( D) (0.4)

114 Na Figura 0-6 são representadas curvas do ganho do conversor boost em função da razão cíclica, tomando R o como parâmetro. Foram adotados os seguintes parâmetros a título de exemplo: V V; R ; D R 0,5 ; V 00 V. S Foram traçadas duas curvas, para R 00 e R 0 = 50Ω, respectivamente. Verifica-se que a curva do ganho, na presença das não idealidades dos componentes do conversor, afasta-se muito da curva ideal, para D 0,5. o Figura 0-6. Ganho estático do conversor Boost em função da razão ciclica. 3

115 0.3 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONVERSOR PARA O CONTROE DA CORRENTE O modelo completo, na forma de equações de estados, obtido anteriormente é: x A x Bu (0.43) Fazendo as devidas substituições, com o emprego dos resultados anteriormente obtidos, encontramos a expressão (0.44). D RS R ( D) i i v D v C C C C Ro V ( D) VD 0 (0.44) Normalmente a dinâmica da corrente no indutor é muito mais rápida que a dinâmica da tensão no capacitor. Por isso, para a obtenção da função de transferência para o controle da corrente vamos admitir que VC V o, portanto com valor constante. dvc Consequentemente, 0. Desse modo, a expressão (0.44), adquire a forma da equação (0.45). 4

116 di DR R i ( D) V V ( D) V S o D (0.45) A equação (0.45) representa o circuito equivalente mostrado na Figura 0-7. Figura 0-7. Circuito equivalente do conversor Boost para tensão constante na carga. Vamos introduzir componentes alternadas de pequenas amplitudes d e i em torno do ponto de operação definido por D o e I. Desse modo: i I i (0.46) D D d (0.47) o Substituindo as equações (0.46) e (0.47) em (0.45) obtemos as expressão (0.48). 5

117 di di Do RS R I d RS I D R R i d R i ( D) V d V ( D) V d V o S S C C D D (0.48) Mas, d R i 0 (0.49) S di 0 (0.50) e D R R I ( D) V ( D) V V 0 (0.5) o S o C Portanto: di D R R i V V d d R I o S o D S (0.5) Aplicando a transformada de aplace obtemos: s D ( ) ( ) ors R i s Vo VD RSI d s (0.53) Desse modo: i () s Vo VD RS I ds () s D R R o S (0.54) 6

118 Para o caso particular de um conversor ideal, VD RS R 0. Portanto, i () s V o d() s s (0.55) que é uma expressão muito conhecida e normalmente empregada na definição da estrutura e dos parâmetros dos controladores de corrente do conversor Boost. 0.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONVERSOR PARA O CONTROE DE TENSÃO. Seja a Figura 0-8, na qual se encontra incluída uma malha de controle da tensão da carga do conversor Boost. Figura 0-8. Conversor Boost com controle de tensão. Nosso objetivo é controlar a tensão de saída v o do conversor. Necessitamos, para definir a estrutura e os parâmetros do controlador, uma função de transferência que 7

119 relacione a razão cíclica, que é variável de entrada, com a tensão de carga. Essa função Fs () é definida pela expressão (0.56). vo () s Fs () ds () (0.56) ds () perturbação da razão cíclica, em torno de um ponto de operação. v o resposta da tensão de carga, na forma de pequena componente alternada em torno de um ponto de operação. Foi obtida anteriormente a equação (0.57). x A D A D x A A X B B U d (0.57) Seja A A D A D (0.58) Portanto: x A x A A X B B U d (0.59) Aplicando-se a transformada de aplace obtêm-se a expressão (0.60). six( s) Ax( s) A A X B B Ud ( s ) (0.60) 8

120 Portanto, x( s) si A A A X B B Ud ( s ) (0.6) Desse modo, xs () si A A A X B B U ds () (0.6) onde i () s xs () ds () ds () vc() s ds () (0.63) Definindo: i () s F () s ds () vc() s F () s ds () (0.64) (0.65) Obtêm-se xs () F () s ds () F () s (0.66) 9

121 A matriz A, já obtida anteriormente, é representada a seguir, pela expressão (0.67). D R R D s A D C C Ro (0.67) Portanto: D R s R D s s I A D s C C Ro R s A A 0 C (0.68) (0.69) 0 V B U VD 0 0 V B U VD 0 0 (0.70) (0.7) 0

122 Portanto, V D B B U (0.7) 0 A matriz X representa os estados iniciais, e é definida pela expressão (0.73). I X V o Co (0.73) Portando: Rs Io A A X VCo 0 C (0.74) Ou, Rs Io VCo A A X Io C (0.75)

123 Desse modo: RsIo VCo VD A A X B B U Io C (0.76) Substituindo as expressões (0.76) e (0.68) na expressão (0.6), obtemos (0.77). DR s R D RsIo VCo V s D F () s F () s D Io s C CRo C (0.77) Nosso objetivo é encontrar a função F () s. É necessário para isso inverter a primeira matriz e a multiplicarmos pela segunda. Para tornar menos penosa tal manipulação algébrica, vamos admitir que VD R S 0, ou seja, estamos considerando os interruptores ideais e concentrando todas as perdas na resistência R do indutor. Desse modo, F () s V o IoRo DIoRo CRoV os Ro F ( s) Ms () DVCo R sio (0.78) Onde: M( s) R ( D) R ( CR R ) s R Cs (0.79) o o o

124 Portanto: D VCo R s Io F () s R ( D) Ro ( CRoR ) s Cs R R o o (0.80) que é a expressão que estávamos procurando. Em muitas aplicações pode-se ignorar o efeito da resistência do indutor e assumir que R 0. Sob essa hipótese, a partir da expressão (0.80) encontramos a expressão (0.8). vo() s D VCo sio ds () C s s ( D) R o (0.8) Os valores iniciais V Co entre si, ou seja,, D e I o não são independentes I o V Co ( D ) R o (0.8) Substituindo a expressão (0.8) em (0.8) obtemos (0.83). svco DVCo vo() s ( D) Ro ds () C s s ( D) R o (0.83) 3

125 Portanto, vo() s ds () svco ( D) DVCo ( D) Ro C s s ( D) R o (0.84) Dividindo todos os termos da equação (0.84) por ( D) obtemos (0.85). V Co s vo() s D Ro ( D) ds () C s s ( D) R ( D) o (0.85) Mas, VCo V D D (0.86) Portanto: s vo() s V R o( D) ds () D C s s ( D) Ro( D) (0.87) 4

126 Seja eq ( D) o C eq R o eq (0.88) (0.89) (0.90) Portanto: s vo() s V R o ( D) ds () D s s o o (0.9) Uma importante característica do conversor Boost aparece na equação (0.9), ou seja, a existência de um zero no semiplano direito, característica de sistemas de fase não mínima. De acordo com a expressão (0.9), a pulsação de ocorrência do zero mencionado é representada pela expressão (0.9). Ro ( D W ) z (0.9) 5

127 Portanto, Ro( D) fz (0.93) Ou ainda, Ro fz eq (0.94) onde f z representa a frequência de ocorrência do zero. Recomenda-se que o leitor, tendo a compreensão adequada do funcionamento do conversor, interprete fisicamente a origem desse zero no semiplano direito. Para situações em que R 0, a função de transferência em questão, tem a forma da expressão (0.95). s vo() s Z G ds () s s o o (0.95) Onde, G V D ( D) Ro R z (0.96) (0.97) 6

128 o D R C D R ( D ) Ro R ( C R R ) o o o (0.98) (0.99) Desse modo a equação (0.9) torna-se um caso particular da equação (0.95) quando R 0. Recomenda-se que o leitor deduza a expressão (0.95) a titulo de exercício. 0.5 COMENTÁRIOS ADICIONAIS SOBRE A EXISTÊNCIA DE UM ZERO NO SEMIPANO DIREITO. Os resultados obtidos indicam a existência de um zero no semiplano direito cuja frequência é dada pela expressão (0.00). f z Ro eq (0.00) Esta expressão mostra que para uma resistência de carga dada, a frequência f z diminui com o aumento da indutância equivalente eq. Então, o impacto desse zero, tanto na dinâmica, quanto na estabilidade, é maior para valores elevados de. Sejam os seguintes parâmetros a título de exemplo. 7

129 V 00V D 0,5 R f o S 50 0kHz 00mH eq D Ro fz eq 800mH 0Hz Seja d 0,05 (degrau na razão cíclica). O resultado de uma simulação é mostrado na Figura 0-9. No instante t 0,3s, o degrau de razão cíclica é aplicado. Verifica-se que a corrente no indutor começa a crescer imediatamente. A tensão de saída, porém, primeiramente decresce, antes de iniciar seu crescimento. Esse crescimento, que neste caso particular significativo, é causado pelo zero no semiplano direito, que neste exemplo ocorre na frequência de 0Hz. 0.6 EXERCÍCIO PROPOSTO. O leitor é convidado a modelar, empregando a técnica de espaço de estados, o conversor boost representado na Figura 0-0, no qual é introduzida a resistência R C, série equivalente do capacitor. Poderá ser constatado através da analise, que R C vs () introduz um zero na função de transferência, porem no ds () semiplano esquerdo. Esse zero, porém, normalmente ocorre 8

130 com frequência alta e tem pouco efeito na estabilidade e na dinâmica do conversor, podendo quase sempre ser ignorado. Figura 0-9. Resposta transitória de uma perturbação na razão cíclica. Figura 0-0 Conversor Boost com a inclusão da resistência do capacitor. 9

131 CAPÍTUO MODEAGEM DO CONVERSOR BUCK BOOST. INTRODUÇÃO. Neste capitulo, iremos empregar a técnica do modelo médio em espaço de estados, para modelar o conversor CC-CC não isolado, abaixador-elevador, conhecido como conversor buck-boost Seu circuito ideal, portanto sem nenhuma perda, encontra-se representado na Figura -. Figura -. Conversor buck-boost ideal. O mesmo circuito com a inclusão de algumas não idealidades encontra-se representado na Figura -. 30

132 Figura -. Conversor buck-boost com não idealidades. Os dois estados topológicos para os intervalos de tempo (0, DT S) e ( DTS, T S), para a operação em condução continua, encontram-se representados na Figura -3. Figura -3. Estágios topológicos do conversor Buck-boost operando em condução continua. 3

133 . OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES GENÉRICAS. Durante o intervalo de tempo (0, DTS ) descrito pelas expressões (.) e (.). di ( Rs R) i V o conversor é (.) dvc VC C (.) R o Durante o intervalo de tempo ( DTS, T S), o comportamento do circuito é representado pelas expressões (.3) e (.4). di R i V V s C D (.3) dvc C V i R C o (.4) Vamos reescrever os dois sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem representando-os na forma matricial, de acordo com as expressões (.5) e (.6). ( Rs R) 0 i i V v V 0 C 0 C C Ro (.5) 3

134 R i i VD v VC 0 C C C Ro (.6) Podemos representar estas equações diferenciais da forma compacta, de acordo com as equações (.7) e (.8). x A x B u (.7) x A x B u (.8) onde ( Rs R) A 0 0 CR o (.9) R A C C Ro 0 V B u 0 0 VD 0 V B u 0 0 VD (.0) (.) (.) 33

135 i x v C i x v C (.3) (.4) Seja a expressão (.5), geral, já definida em capítulos anteriores. x AD A D x BD B D u (.5) ou ainda onde x A x Bu (.6) A A D A D (.7) B B D B D (.8) Com o emprego da equação (.7) obtemos a equação (.9). ( D Rs R) ( D) A ( D) C C Ro (.9) 34

136 Com o emprego da equação (.8) obtemos a equação (.0). D ( D) B (.0) 0 0 Portanto, ( D Rs R) ( D) i i v ( D) V C C C C Ro D ( D) V 0 0 VD (.).3 ANAISE EM REGIME PERMANENTE. Em regime permanente, i v c 0. Portanto, a partir da expressão (.) obtêm-se: 0 ( DR R ) i V D V D V D s C D VC 0 Di R o (.) (.3) Rearranjando-se as equações (.) e (.3) obtêm-se: 35

137 V D VD D ( DRs R) i VC D (.4) V R D i (.5) C o As equações (.4) e (.5) representam o circuito equivalente mostrado na Figura -4. Figura -4. Circuito equivalente para o conversor buck-boost em regime permanente. Manipulando-se adequadamente as expressões (.4) e (.5) obtêm-se a equação (.6). V D VD D ( DRs R) i Ro D i (.6) Portanto: V D VD D D R s R Ro D i (.7) A equação (.7) representa o circuito equivalente mostrado na Figura

138 Figura -5. Circuito equivalente do conversor Buck-boost em regime permanente. A partir da Figura -5 obtêm-se: s o DV D VD I D R R R D (.8) I D I (.9) o I o DR R R D D D V D VD s o (.30) Como V R I (.3) o o o obtêm-se DR R R D R o D D V D VD V o s o (.3) 37

139 Portanto: V R o D D D VD o V D R R R D s o (.33) onde V D V V D (.34) Para o conversor ideal RS R V D 0. Portanto: Vo D V D (.35) que é a expressão mais difundida para o cálculo do ganho do conversor, válida para o conversor ideal ou sem perdas. O circuito mostrado na Figura -5 é referido para o lado da fonte de entrada. É possível, e muitas vezes conveniente, referi-lo circuito para o lado da carga. Vamos retomar a expressão (.7), reescrita a seguir. V D VD D D R s R Ro D I (.36) Com o rearranjo adequado obtemos: V D DR s R VD R o I D D D D (.37) 38

140 A equação (.37) representa o circuito mostrado na Figura -6. Figura -6. Circuito equivalente do conversor buck-boost em regime permante. O circuito equivalente obtido evidencia que se VD RS R 0, Vo D V D (.38) Em um conversor ideal, o ganho depende apenas da razão cíclica. Em um conversor real, ele depende da razão cíclica e da resistência de carga. A título de exemplo, na Figura -7, são representadas curvas de ganho em função de D, para diferentes valores de resistência de carga. Foram empregados os seguintes paramentos: V V; V 00V R D S 0,5 ; R Para o traçado das curvas foi empregada a equação (.33). 39

141 Figura -7. Ganho estático do conversor buck-boost em função de D..4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROE DA CORRENTE. Vamos admitir que a dinâmica da corrente no indutor seja muito mais rápida que a dinâmica da tensão de saída, ou do capacitor de filtragem associado em paralelo com a resistência de carga. Podemos então admitir que a tensão V C seja constante, para a obtenção da função de transferência que relaciona a corrente no indutor com a razão cíclica. dv Portanto, C 0. Seja VC V o. Então, a partir da equação (.) obtemos: di ( DRs R) i DVo V D V D D (.39) 40

142 Portanto: di ( DRs R) i D Vo VD VD D (.40) Seja, d D d (.4) i I i (.4) Substituindo as expressões (.4) e (.4) em (.40) obtemos: di di D d Rs R I i D d Vo D dv D dv D (.43) Assim, di di D Rs R I DRs R i d R I d R i D V d V s s o o D V d V D V d V D D (.44) Seja d R i 0. Portanto: s di DRs R i drsi dvo V VD d (.45) 4

143 Aplicando a transformada de aplace obtemos: si ( s) DR R i ( s) V V V R I d( s ) (.46) s o D s Então, s DR R i ( s) V V V R I d( s ) (.47) s o D s Ou ainda, i () s Vo V VD Rs I d() s s D R R s (.48) Para o conversor ideal, onde RS R V D 0, a partir da equação (.48) obtêm-se: is Di d I (.49) Portanto: is d i I D D di dis I dd D D (.50) (.5) A partir da equação (.45), para 0 S D R R V obtemos a expressão (.5). 4

144 di V V D d (.5) Desse modo, dis I dd V VD d D D is() s V Vo d() s s (.53) (.54) Em muitas aplicações, como em retificadores com correção ativa do fator de potência, deseja-se controlar a corrente de entrada, como mostra Figura -8. Figura -8. Controle da corrente de entrada do conversor buck-boost. Sabemos que i Di (.55) S 43

145 Portanto, I i D d I i (.56) S S dis V Vo dd Dd (.57) Aplicando-se a transformada de aplace, obtêm-se: V Vo s. is( s) Dd( s) sid( s) (.58) Assim: i S() s D V Vo s I d() s s (.59) Mas D V V V (.60) o o Desse modo, i () s V si d() s s S o (.6) 44

146 Observa-se nesta função de transferência a existência de um zero no semiplano esquerdo, cuja frequência de ocorrência depende do valor da corrente I no indutor. Recomenda-se ao leitor a obtenção da função de is() s transferência com a inclusão dos parâmetros R S, R e V D, a ds () título de exercício..5 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROE DA TENSÃO DE SAÍDA. Nosso objetivo é obter a função de transferência () v () o s Fs ds () (.6) Onde: ds () Pequena perturbação da razão cíclica, em torno de um ponto de operação, e v Resposta na tensão de carga. o Seja a equação (.63) obtida anteriormente. x A x A A X B B U d (.63) onde A A D A D (.64) 45

147 Aplicando-se a transformada de aplace na expressão (.63) obtemos sendo x( s) si A A A X B B Ud ( s ) (.65) D R R D s A D C C Ro (.66) Portanto, D R s R D s s I A D s C C Ro Rs Io A A X VCo 0 C V B B U VD 0 0 (.67) (.68) (.69) 46

148 Portanto, Rs VCo Io V VD A A X B B U Io C (.70) Para reduzir o tamanho das equações, vamos admitir que V R 0 e R 0. D S Invertendo-se a matriz si substituição na equação (.64) obtêm-se (.7). A e fazendo-se a ( ) vo() s Vo V D R s Io ds () ( C RoR) R C s s ( D) R R o o (.7) Para o caso particular em que R 0, obtêm-se. v () s V V ( D) si ds () C s s ( D) R o o o o (.7) Dividindo-se o numerador e o denominador por ( D ) encontra - se: Vo V sio vo() s ( D) ( D) ds () C s s ( D) R ( D) o (.73) 47

149 Seja N(s) o numerador da equação (.73). Portanto: Ns () Vo V sio ( D) ( D) (.74) Mas, D V V Vo V D D D Vo V V D D (.75) (.76) Como V o V s Io ( D) Ns ( ) D Vo V ( D) (.77) Obtemos: V sio Ns ( ) D Vo V ( D) (.78) Sabemos que I V o o Ro (.79) 48

150 Portanto, sio s Vo V V ( D) R V V ( D) o o o (.80) Mas, D V Vo D (.8) Desse modo, sio sd V o V ( D) Ro ( D) (.8) Portanto: V s D Ns ( ) D Ro ( D) (.83) Substituindo (.83) em (.73), obtemos (.84). sd vo() s V R o ( D) ds () D C s s ( D) Ro ( D) (.84) 49

151 Seja R o o D D C Q Ro D Z D o (.85) (.86) (.87) Pode-se então escrever: s vo() s V z ds () D s s o o Q (.88) A exemplo do que já encontramos no conversor boost, também neste caso temos um zero no semiplano direito, cuja frequência de ocorrência é dada pela expressão (.89). Assim: z f z (.89) Ro( D) fz D (.90) 50

152 Seja G o V D (.9) Portanto s vo() s Z G o ds () s s o o (.9) que é a função de transferência que necessitamos para o controle da tensão na saída ou na carga do conversor boost. O leitor é convidado a demonstrar que para R 0 : G o ( D) Ro D R z D o R D R C o ( D ) Ro R ( C R R ) o o V ( D) R D R R ( D) R o R o o (.93) (.94) (.95) (.96) 5

153 CAPÍTUO CIRCUITO EQUIVAENTE DO CONVERSOR CC-CC BIDIRECIONA EM REGIME PERMANENTE. INTRODUÇÃO. Neste capítulo, empregando o modelo médio em espaço de estados, vamos encontrar o circuito equivalente para o conversor CC-CC bidirecional operando em regime permanente. O conversor ideal é mostrado na Figura -(a). Figura -. Conversor CC-CC bidirecional ideal. 5

154 Os sinais de comando dos interruptores encontram-se representados na Figura -(b). O mesmo circuito, com a inclusão das resistências responsáveis pelas perdas de condução, encontra-se representado na Figura -. Figura -. Conversor CC-CC bidirecional com a inclusão das resistências responsáveis pelas perdas de condução. R R R Resistência interna da fonte V S Resistência do indutor mais resistência interna da fonte V Resistência dos semicondutores Vamos considerar o conversor operando em regime permanente. Para i 0, a potência é transferida da fonte V para a fonte V e vice-versa. O valor da tensão V é sempre menor, ou no limite teórico igual, a V. Para valores constantes de V e V, é a razão cíclica D quem define o valor e o sentido da corrente i, portanto também da potência P. 53

155 . OBTENÇÃO DO CIRCUITO EQUIVAENTE. Nosso objetivo é encontrar um circuito equivalente do conversor, para operação em regime permanente, que nos permita obter o valor médio da corrente i em função da razão cíclica D. Os dois estados topológicos, para os intervalos de tempo (0, DT ) e ( DT, T ) encontram-se representados na Figura -3 (a) e (b), respectivamente. Figura -3. Estágios topológicos para o conversor CC-CC bidirecional. Esses estágios topológicos são representados pelas equações (.) e (.) respectivamente. 54

156 di ( ) (.) R RS R i V V di ( ) (.) RS R i V V Multiplicando-se a equação (.) por D e a equação (.) por (-D), obtêm-se as equações (.3) e (.4) respectivamente. di D D R RS R i DV DV ( ) (.3) di D D ( RS R) i D V DV (.4) Como o circuito opera em regime permanente, di 0 (.5) Portanto: 0 D( R R R ) i DV DV (.6) S 0 D ( R R ) i D V D V (.7) S Somando-se a equação (.5) com a equação (.6), obtêm-se a equação (.8). 55

157 0 ( DR R R ) i DV DV. (.8) S A equação (.8) representa o circuito equivalente representado na Figura -4. Figura -4. Circuito equivalente para o conversor CC-CC bidirecional em regime permanente. Portanto: DVV I D R R R S (.9) O símbolo I representa o valor médio da corrente na fonte V. Para I 0, obtemos: D V o V (.0) Portanto, para I 0 e P < 0. D D o, I 0 e P > 0. Para D D o, 56

158 A curva típica que representa a corrente média I em função de D é mostrada na Figura -5, para tensões V e V constantes. Multiplicando-se a corrente I pela tensão V, podese, com a mesma curva escalonada, representar a potência transferida da fonte V para a fonte V ou vice-versa. Figura -5. Valor médio da corrente na fonte V em função da razão cíclica D, para o conversor CC-CC bidirecional. 57

159 CAPÍTUO 3 MODEAGEM DO CONVERSOR BIDIRECIONA ZETA-SEPIC 3. INTRODUÇÃO. Seja o conversor representado na Figura 3-. Figura 3-. Conversor bidirecional Zeta-Sepic. Trata-se do conversor Zeta-Sepic bidirecional, interligando duas fontes de tensão V e V. O sentido da corrente i, define o sentido do fluxo de potência. Para i 0, a potência P é transferida da fonte V para a fonte V e vice-versa. A tensão da fonte V pode ser menor, igual ou superior à tensão da fonte V. Além disso, pode ser substituído por um transformador, o que proporciona isolamento entre as duas fontes. 58

160 O sentido e o valor da potência trocada entre as duas fontes são controlados pela razão cíclica. Desejamos encontrar um circuito equivalente que nos permita obter uma relação entre o valor médio da corrente i e a razão cíclica. Vamos substituir o circuito representado na Figura 3- pelo circuito mostrado na Figura 3-. S representa um interruptor bidirecional ideal. R representa a resistência de cada um dos indutores. Vamos admitir, para simplificar a análise, que os dois indutores sejam idênticos. As fontes V e V, e o capacitor C são considerados ideais. Os sinais de comando estão representados na Figura 3-3. Figura 3-. Conversor Zeta-Sepic bidirecional com a inclusão das perdas de condução. Figura 3-3. Sinais de comando dos interruptores do conversor bidirecional Zeta-Sepic. 59

161 3. EQUAÇÕES GENÉRICAS. Os dois estágios topológicos que ocorrem durante um período de operação encontram-se representados na Figura 3-4. Figura 3-4. Estágios topológicos do conversor Zeta-Sepic bidirecional: (a) invervalo (0,DT) e (b) invervalo (DT,T). As variáveis de estado de nosso sistema são as correntes nos indutores i e i, e a tensão no capacitor V C. O estado topológico para o intervalo de tempo (0, DT S ) é descrito pelas equações (3.), (3.) e (3.3). di R i V (3.) dv C C i (3.) di R i V C (3.3) 60

162 O estado topológico complementar, para o intervalo (DT S, T S ), é descrito pelas equações (3.4), (3.5) e (3.6). di R i VC V V (3.4) dv C C i (3.5) di R i V (3.6) Vamos multiplicar as equações (3.), (3.) e (3.3) por D e as equações (3.4), (3.5) e (3.6) por ( D ). Obtemos então: di D D R i DV dv DC C D i di D D R i DV C (3.7) (3.8) (3.9) e di D D Ri D VC D V DV (3.0) 6

163 dv D C C D i di D D Ri D V (3.) (3.) 3.3 CIRCUITO EQUIVAENTE PARA OPERAÇÃO EM REGIME PERMANENTE. Em regime permanente V V I C 0. Portanto di di dv C 0. Desse modo podemos escrever: 0 D Ri DV (3.3) 0 D i (3.4) 0 D Ri DV C (3.5) e, 0 D Ri D V D V D V (3.6) C 0 D i (3.7) 0 D Ri D V (3.8) Somando (3.3) com (3.6), (3.4) com (3.7) e (3.5) com (3.8) obtemos: 6

164 V RI D V D V (3.9) C 0 DI D I (3.0) DV D V RI (3.) C onde I, I e V C, são valores médios. A partir da equação (3.0) obtemos: I D I D (3.) Substituindo (3.) em (3.) obtemos: D DVC DV R I D (3.3) Com as expressões (3.9) e (3.3), após manipulações algébricas apropriadas, obtemos: V V I R D D D D D (3.4) Multiplicando todos os termos da equação (3.4) por ( D ) obtemos: D D V V I R D D (3.5) 63

165 A equação (3.5) representa o circuito equivalente mostrado na Figura 3-5, Figura 3-5. Circuito equivalente do conversor Zeta-Sepic bidirecional em regime permanente. onde D Req R D (3.6) Para o caso particular em que D 0,5 obtêm-se: Req R (3.7) A partir da expressão (3.5) obtemos: I D V V D D R D (3.8) 64

166 A equação (3.8) mostra que para valores dados de V, V e R, pode-se controlar o valor e o sentido da corrente I, agindo sobre a razão cíclica D. Portando o valor da razão cíclica determina o valor e o sinal da potência processada. Seja o seguinte exemplo numérico: V V 00V R A curva mostrada na Figura 3-6 representa o valor da corrente média I, na fonte V, em função da razão cíclica D. Pode-se verificar que para D maior que 0,5, a potência é positiva, portanto fluindo da fonte V para a fonte V. Além disso, verifica-se que nesse caso, há uma relação linear entre a razão cíclica D e a potência processada. Por outro lado, para D menor que 0,5, a potência tornase negativa e flui de V para V. Observa-se, porém, que nessa região, a relação entre a razão cíclica e a potência processada não é linear. Além disso, há uma razão cíclica onde ocorre um valor máximo para a potência processada. Portanto, esse é o valor mínimo possível para a razão cíclica. Figura 3-6. Valor médio de I em função da razão cíclica D. 65

167 3.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROE DA CORRENTE DO CONVERSOR ZETA-SEPIC BIDIRECIONA. Nosso objetivo é encontrar a função de transferência (3.9) que relaciona componentes alternadas de pequenas amplitudes. i () () s Fs ds () (3.9) A partir da equação obtida no inicio deste capitulo, podemos escrever para o intervalo (0, DT S ): R 0 0 V i i R i 0 i 0 C vc v 0 C 0 0 C (3.30) Para o intervalo (DT S,T S ) podemos escrever: R 0 i C i V V R i 0 0 i V vc v 0 C 0 0 C (3.3) 66

168 Podemos ainda escrever, para os dois intervalos de tempo em questão: X A X B U (3.3) X A X B U (3.33) Onde: R 0 0 R A 0 C 0 0 C R 0 C R A C (3.34) (3.35) 0 0 B (3.36)

169 B (3.37) Seja: A A D A D (3.38) Portanto: D R R D A D D C (3.39) Seja B B D B D (3.40)

170 Assim: D 0 D B (3.4) Já conhecemos a equação na forma matricial, escrita a seguir: x A x A A X B B U d (3.4) Onde: d Perturbação na razão ciclica X Vetor de estado inicial x Re sposta do vetor deestadoem torno do estado inicial Desse modo: I X I V 0 0 Co (3.43) Vamos obter A A e B B, como segue. 69

171 0 0 A A C C 0 0 B B (3.44) (3.45) Portanto: VCo V VCo V A A X B B U I I C 0 0 (3.46) Aplicando a transformada de aplace na equação (3.4) obtemos a equação (3.47). x( s) si A A A X B B Ud ( s ) (3.47) 70

172 Mas, R s 0 R si A 0 s D D C D D s (3.48) Portanto: R D V Co V s 0 i (s) R D VCo V i(s) 0 s vc (s) D D I0 I0 s C C (3.49) Assim: i () s D V Co V ds () s 0 i () s D VCo V 0 s ds () v 0 0 C () s D D I I s ds () C C (3.50) Como o conversor é bidirecional, vamos assumir que: I 0 I 0 0 (3.5) 7

173 Por outro lado, em regime permanente, V V (3.5) Co e V D V D (3.53) Desse modo: V Co V V D (3.54) Substituindo-se (3.5) e (3.54) em (3.50) obtêm-se (3.55). i() s V ds () D i () s V s I A d( s) D v () 0 C s ds () (3.55) Realizando-se as operações matemáticas indicadas, obtém-se a função de transferência representada pela expressão (3.56), válida para perturbações de pequena amplitude, em torno de um ponto de operação. 7

174 i () s V Cs CRs D ds () D R s Cs CRs D( D) (3.56) embramos que para obter a expressão (3.56), nós admitimos as seguintes hipóteses simplificativas: a) R R R b) c) I I Para 0,4 D 0,7, pode-se admitir que D D( D ) (3.57) Portanto: i() s V d( s) D R s (3.58) que é a equação de um sistema linear de primeira ordem. A representação em diagramas de blocos é mostrada na Figura 3-7. Figura 3-7. Representação por diagrama de blocos da planta de corrente do conversor Zeta-Sepic bidirecional. 73

175 A equação (3.58) também representa o circuito representado pela Figura 3-8. Figura 3-8. Circuito equivalente resultante para o conversor Zeta-Sepic bidirecional. A função de transferência obtida nos permite determinar a estrutura e os parâmetros do controlador de corrente para o conversor Zeta-Sepic interligando duas fontes de tensão contínua ou dois barramentos de tensão contínua. O leitor é convidado, a título de exercício, a obter a função de transferência para o controle da corrente, para o caso em que as resistências dos indutores não sejam iguais. 74

176 CAPÍTUO 4 MODEAGEM DO CONVERSOR BOOST EM CONDUÇÃO DESCONTÍNUA 4. INTRODUÇÃO. O conversor Boost, a exemplo de outros conversores CC- CC, pode operar tanto em condução continua (MCC) quanto em condução descontínua (MCD). Quem determina a escolha do modo de operação é a aplicação do conversor. No Capítulo, apresentamos a modelagem do conversor Boost operando em condução contínua. Neste capitulo iremos aplicar a técnica do modelo médio em espaço de estados, para esse conversor operando em condução descontínua. Seja o conversor Boost operando em condução descontínua, representado na Figura 4-. Na Figura 4- são mostradas a corrente e a tensão no indutor. Figura 4-. Conversor Boost operando em condução descontinua. 75

177 Figura 4-. Formas de onda para o conversor Boost operando em condução descontinua. Observamos a existência de três estados topológicos, ao invés dos dois que ocorrem em condução contínua. A duração do primeiro estado topológico, igual a dt, é imposta pelo sinal de controle, que define o valor de d. A duração dos demais estados topológicos depende de diversos parâmetros do circuito e de seu ponto de operação. Por isso, para este modo de operação, a abordagem empregada para modelar os conversores operando em condução contínua deve ser devidamente adaptada. 4. EQUACIONAMENTO DO CONVERSOR BOOST OPERANDO EM CONDUÇÃO DESCONTÍNUA. Os três estágios topológicos para condução descontínua encontram-se representados na Figura

178 Figura 4-3. Estágios topológicos para o conversor boost operando em condução desconínua. Os três estágios topológicos são descritos pelos sistemas de equações apresentados a seguir. a) Intervalo 0, dt. di V (4.) dvc vc C (4.) R b) Intervalo, dt d d T 77

179 di V V C (4.3) dvc C vc i R (4.4) c) Intervalo d d T, T di 0 (4.5) dvc vc C (4.6) R Vamos multiplicar as equações de cada intervalo pela sua duração relativa, o que resulta nas equações seguintes. a) Intervalo (0, d T) d di d V (4.7) dvc d v C d C (4.8) R b) Intervalo (d T, (d + d )T) di d d V d V dvc d v d C d i R C C (4.9) (4.0) 78

180 c) Intervalo ((d + d )T, T) di d d 0 (4.) dv C d d v d d C C (4.) R Somando as equações (4.7), (4.9) e (4.) obtemos a equação (4.3). di di di d d d d d V d V d V C (4.3) Portanto: di d VC d d V (4.4) onde i e VC são valores médios quase instantâneos. Somando-se as equações (4.8), (4.0) e (4.) obtemos a equação (4.5). dvc dvc dvc d C d C d d C VC VC VC d d i d d d R R R (4.5) 79

181 Como consequência obtém-se: dvc VC C d i R (4.6) Portanto as equações de estado para o conversor Boost operando em condução descontínua, em termos de grandezas médias quase instantâneas, são representadas pelas equações (4.7) e (4.8). di d VC d d V dvc VC C d i R (4.7) (4.8) Observamos a presença da variável d nas equações, além da variável d. Vamos em seguida expressar d em função de i e d para eliminá-las das equações. embremos que o produto d i, representa o valor médio quase instantâneo da corrente no diodo D. O valor médio da corrente no indutor é definido pela equação (4.9). ip dd i (4.9) Portanto, o valor médio da corrente no diodo é definido pela equação (4.0). 80

182 i D d i d d (4.0) A corrente média quase instantânea no capacitor é definida pela expressão (4.). i C i V R C D (4.) Portanto: dv C C i D VC R (4.) Ou ainda, dvc d VC C i d d R (4.3) A corrente de pico i P é definida pela equação (4.4). V ip d T (4.4) Portanto, substituindo (4.3) em (4.9) obtemos: d d i i P (4.5) 8

183 e d i d V d T (4.6) Substituindo a expressão (4.6) em (4.7) obtemos: di i VC d V V d T V C (4.7) Substituindo a equação (4.6) em (4.8) obtemos: dvc d T V VC C i R (4.8) A partir das equações (4.7) e (4.8) podemos escrever as equações (4.9) e (4.30) na forma de equações de estado. di i V d V dt V C C dvc i d T V VC C C R C (4.9) (4.30) As expressões (4.9) e (4.30) são o modelo do conversor Boost operando em condução descontínua, onde as variáveis, que no caso são os estados do sistema, são representadas por seus valores médios quase instantâneos. 8

184 4.3 ANÁISE EM REGIME PERMANENTE. di Em regime permanente, dv C 0. Portanto, a partir das equações gerais (4.7) e (4.8) obtemos as equações (4.3) e (4.3). I f VC 0 DV D V D V VC 0 I f R C (4.3) (4.3) Foram feitas as seguintes substituições: d D i I v C V Nosso objetivo principal é a obtenção de uma expressão para o ganho estático, definido pela equação (4.33). C V C G (4.33) V Para isso, deve-se resolver o sistema de equações algébricas (4.3) e (4.3). A partir de (4.3) obtemos: f VC 0 f I D V R (4.34) 83

185 Portanto: f V f I D V R C (4.35) A partir da equação (4.3) obtemos: V C 0 f I D V V C (4.36) Substituindo a equação (4.35) em (4.36) obtemos: V C f VC f D 0 V R V R (4.37) Com V C G, obtemos: V f f G G D 0 R R (4.38) Desse modo, G G R 0 f D (4.39) Resolvendo a equação (4.39) encontramos a expressão do ganho G, dado pela expressão (4.40). 84

186 D R G f (4.40) Fazendo a manipulação algébrica adequada encontramos a expressão para a corrente I, dada pela expressão (4.4). DV G I f G (4.4) 4.4 MODEO DE PANTA PARA CONTROE DA CORRENTE NO INDUTOR. Seja a Figura 4-4. Figura 4-4. Controle da corrente no indutor do conversor boost. O conversor boost opera em condução descontinua e tem como carga uma fonte de tensão O V no lugar do par RC. Para a escolha da estrutura e dos parâmetros do controlador, é necessário obter a função de transferência (4.4) que relaciona a corrente no indutor com a razão cíclica, para componentes alternadas de pequena amplitude. 85

187 ( ) () FS i s ds () (4.4) Seja a equação (4.9) reapresentada a seguir. di i V d V dt V C C (4.43) Como a carga é uma fonte de tensão V o, vamos fazer: V V (4.44) C o Portanto: di i V d V dt V o o (4.45) Seja V o G (4.46) V Desse modo: di i d V G G d T (4.47) 86

188 Seja d D d (4.48) i I i (4.49) o Multiplicando todos os termos da equação (4.45) por d obtemos a equação (4.50). di i V G d G d T (4.50) Mas, di di di (4.5) di Como 0 obtemos: di di (4.5) Assim, di di d D d (4.53) 87

189 di Seja d. Portanto: 0 di di d D (4.54) d D d (4.55) Como d 0 obtemos: d D d D (4.56) Fazendo essas substituições na equação (4.50) obtemos (4.57). di G i D V G d D (4.57) T pois I G D T D V 0 C (4.58) Portanto, a partir de (4.57) obtemos: di G i V Gd D T (4.59) Aplicando a transformada de aplace obtemos: 88

190 G ( ) V G s i s d ( s D T ) (4.60) Assim: i() s V o d() s G s D T (4.6) Pode-se demonstrar que: G D Vo D T I (4.6) sendo I o valor médio inicial da corrente no indutor. Portanto: i() s Vo d() s D Vo s I (4.63) que é a função de transferência procurada. 4.5 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROE DA TENSÃO. Para se definir a estrutura e os parâmetros do controlador da tensão de saída, é necessário obter a função de transferência 89

191 que a relacione com a variável de controle, que é a razão cíclica. A partir da linearização das equações (4.7) e (4.8) obtém-se a equação (4.64). di i V A B dv C v C d (4.64) Com V é constante, V 0. As matrizes A e B são definidas pelas equações (4.65) e (4.66). G G A D T D R T C R C (4.65) G G B D T C GV D T V C (4.66) Seja a representação compacta na forma matricial. X A X BU (4.67) Aplicando a transformada de aplace obtemos a equação (4.68). 90

192 si A X( s) BU( s ) (4.68) Portanto: X( s) si A BU( s ) (4.69) onde i() s xs () vc () s G G s si A DT DRT s C RC G GV G V () s BU() s D T D T V ds () C C (4.70) (4.7) (4.7) Como V 0, obtemos: GV BU( s) d( s) D T V C (4.73) 9

193 Desse modo, DR CRTS CGR si A DR T R C G DTS (4.74) onde G G C S s (4.75) RC DT DT DTRC Com as equações (4.69), (4.74) e (4.75) obtemos a função de transferência desejada, dada pela expressão (4.76). DTV s V C () s DT ds () Normalmente (4.76) ( G ) G C S s RC DT DTRC G T C R C (4.77) 9

194 Portanto: K s V C () s DT ds () G G s s D T D T R C (4.78) Sendo DT V K C (4.79) Verifica-se a existência de um zero no semiplano direito, que ocorre na frequência definida pela expressão (4.80). f z f D (4.80) 93

195 CAPÍTUO 5 CONVERSOR CC-CC MEIA PONTE MODUADO EM FREQUÊNCIA 5. INTRODUÇÃO. Neste capítulo vamos modelar o conversor CC-CC meia ponte, isolado, modulado em frequência(fm), representado na Figura 5-, portanto uma situação diferente dos casos anteriores, nos quais os conversores eram modulados por largura de pulso (PWM). Figura 5-. Conversor CC-CC meia ponte modulado em frequencia. Vamos assumir que todos os componentes sejam ideais e que a relação de transformação do transformador seja unitária. Vamos também considerar infinitamente grande a indutância de magnetização do transformador, de tal modo que ela possa ser ignorada em nossa análise. Desse modo, o conversor equivalente é o que está representado na Figura

196 Figura 5-. Conversor CC-CC meia ponte ideal referido ao lado primário do transformador de isolamento, com modulação FM. Este conversor opera com razão cíclica constante e igual 0,5. A potência transferida da fonte V para a carga, representada pelo resistor R, é controlada pela frequência de comutação. Estamos, portanto, diante de modulação em frequência ( FM ). As formas de onda relevantes para operação em regime permanente encontram-se representadas na Figura 5-3. Durante o intervalo de tempo 0, dt o conversor é representado pelo circuito equivalente representado pela Figura 5-4(a). Durante o intervalo de tempo d T, T, o seu funcionamento é representado pelo circuito equivalente mostrado na Figura 5-4(b). 95

197 Figura 5-3. Formas de onda para o conversor CC CC meia ponte modulado em frequencia. 96

198 Figura 5-4. Circuitos lineares equivalentes para os dois estágios topológicos do conversor. 5. MODEAGEM POR ESPAÇO DE ESTADOS. Durante o intervalo de tempo 0, dt o funcionamento do conversor é descrito pelas equações (5.) e (5.). di vc V (5.) dvc C vc i R (5.) Durante o intervalo de tempo d T, T seu funcionamento é representado pelas equações (5.3) e (5.4). 97

199 di vc V (5.3) dvc C vc i R (5.4) Vamos multiplicar as equações (5.) e (5.4) por d e as equações (5.3) e (5.4) por d. Obtemos assim as equações (5.5), (5.6), (5.7) e (5.8). di d d vc d V dvc d v d C d i R di d d vc d V dvc d v d C d i R C C (5.5) (5.6) (5.7) (5.8) Somando (5.5) com (5.7) e (5.6) com (5.8) obtemos: di d d d d vc d d V dv vc R C d d C d d i d d (5.9) (5.0) 98

200 Onde, dd (5.) Vamos substituir i e v C pelos seus valores médios quase instantâneos, i e v C, respectivamente. Desse modo, obtemos as equações (5.) e (5.3). di vc d d V (5.) dvc C vc i R (5.3) Como dd (5.4) d d (5.5) Concluímos que d d d (5.6) Substituindo a expressão (5.6) em (5.) obtemos di vc d V (5.7) 99

201 dvc C vc i R (5.8) Portanto: di v c d V dvc i vc C R C (5.9) (5.0) No sistema de equações obtido, aparece a variável d. Contudo, a variável de controle é a frequência de comutação. Vamos então realizar as alterações necessárias para que a frequência apareça nas equações. O valor da corrente i, a partir da Figura 5-3 é dado por: Ou, ip d d i (5.) ip i (5.) Mas V vc ip d T (5.3) 00

202 Sendo, TS T (5.4) Portanto: V vc i d T S (5.5) Desse modo, d f V v C i (5.6) Substituindo a equação (5.6) na equação (5.9) obtemos: di vc 4 f i V V vc dvc i vc C R C (5.7) (5.8) Ou ainda: di 4V vc V f i V v C (5.9) 0

203 dvc i vc C R C (5.30) O conversor é então representado por um sistema de duas equações diferenciais não lineares de primeira ordem, válido tanto para regime permanente quanto para regime transitório de baixa frequência. 5.3 MODEO PARA OPERAÇÃO EM REGIME PERMANENTE. Em regime permanente, di dv C 0 (5.3) Portanto: V 4VfI V V V 0 C C I V C R C 0 C (5.3) (5.33) Os símbolos V C e I representam as variáveis de estado em regime permanente. A partir da equação (5.3) obtemos a equação (5.34). VfI V V 4 C V V C (5.34) 0

204 Portanto, 4 f I V VC V VC V V V (5.35) Seja o ganho estático, definido pela equação (5.36). Desse modo, V C G (5.36) V 4 f I V G G (5.37) Mas I V R C (5.38) Portanto, 4f R V C G G V (5.39) Ou ainda: 4f G G G R (5.40) 03

205 Desse modo, 4f G G R (5.4) Portanto: G f G 0 R 4 (5.4) A partir da equação (5.4) obtemos 4 f f G R R (5.43) Foi definido que: f f s (5.44) Desse modo, 4 f s f G R R s (5.45) Com a expressão (5.45) podemos determinar o ganho estático do conversor, em função dos parâmetros do circuito e da variável de controle, que é a frequência de comutação f s. 04

206 5.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROE DA CORRENTE. Vamos considerar o caso em que a carga seja uma fonte de tensão ideal, podendo ser um banco de baterias ou um barramento de tensão contínua, com capacidade de absorver energia. No modelo obtido, representado pelas equações (5.9) e (5.30), isto equivale a: dvc 0 C v C V o Desse modo a partir da equação (5.9) obtemos: di Vo 4 f i V V Vo (5.46) Ou ainda: di 4 V f i V Vo V V o (5.47) Desse modo: di 4 V V o f i G (5.48) 05

207 Como vemos, trata-se de uma equação diferencial não linear. Para obtermos a função de transferência que buscamos, devemos linearizar a equação em torno de um ponto de operação. Seja Portanto: Seja: f F f ˆ (5.49) i I ˆ i (5.50) ˆ ˆ f i F f I i (5.5) fˆ i ˆ 0 (5.5) Então, f i F I F iˆ fˆ I (5.53) Por outro lado, di di di ˆ (5.54) di Como 0, obtemos 06

208 di di ˆ (5.55) Substituindo (5.5) e (5.55) em (5.48) obtemos: di ˆ 4 I ˆ ˆ 0 f i F G (5.56) di ˆ 4 4 F iˆ ˆ I f G G (5.57) Aplicando a transformada de aplace obtemos: ˆ 4 ˆ 4 I s i ˆ ( s) F i( s) f( s) G G (5.58) Assim, 4F ˆ 4 I s i ˆ ( s) f( s) G G (5.59) Desse modo: ˆ 4 I () i s G fs ˆ() 4 F s G (5.60) 07

209 Mas, 4I G V G F (5.6) Portanto: ˆi () s G V fs ˆ() 4 F F s G (5.6) Normalmente, 4F f G (5.63) Desse modo: ˆi ( ) () s G G V ˆ fs () 4F (5.64) Podemos então afirmar que há uma relação de proporcionalidade entre ˆ i() s e fs ˆ( ) para um ponto de operação dado, não havendo polos nem zeros, portanto não havendo dinâmica representada na função de transferência obtida. 08

210 CAPÍTUO 6 ANÁISE DO ERRO COMETIDO AO SE EMPREGAR O VAOR MÉDIO EM ESPAÇO DE ESTADOS 6. FONTE DE TENSÃO AIMENTANDO INDUTÂNCIA PURA. Seja o circuito representado na Figura 6-, formado por uma fonte de tensão alimentando uma indutância pura. Figura 6-. Circuito tomado como exemplo para análise do erro. Sejam as formas de onda representadas na Figura 6-. A tensão Vt () tem forma de onda retangular, com amplitudes iguais a V e V e com durações dte dt, respectivamente. Sabemos que: dd (6.) 09

211 Figura 6-. Tensão e corrente no indutor do circuito anterior. Seja I 0 o valor inicial da corrente no indutor. Desse modo, dv I d T I 0 dv I I d T (6.) (6.3) Portanto: d V d V I d T d T I 0 (6.4) 0

212 Seja i I I (6.5) 0 Portanto: d V d V i d dt (6.6) Mas, V d V d V (6.7) onde V representa o valor médio da tensão de alimentação. Podemos então escrever: V i T (6.8) A Figura 6-3(a) e a Figura 6-3(b) representam as duas etapas de operação para um período de funcionamento. A Figura 6-3(c) representa um único circuito equivalente para o período total, onde a tensão de alimentação é igual ao valor médio da tensão Vt (). Podemos então concluir que a variação liquida da corrente do circuito equivalente é idêntica à soma das variações das correntes dos intervalos de tempo de 0, dt e d T, T. Desse modo, a técnica do valor médio em espaço de estado, para este caso, não introduz nenhum erro.

213 O comportamento das correntes do circuito original e do circuito equivalente, para um intervalo de tempo com vários períodos, encontra-se representado na Figura 6-4. Figura 6-3. Circuitos equivalentes. Figura 6-4. Correntes nos circuitos equivalentes.

214 6. FONTE DE TENSÃO AIMENTANDO CARGA R. Vejamos o que ocorre em um circuito R, mostrado na Figura 6-5. Figura 6-5. Circuito R. Vamos analisar o comportamento da corrente it () com condição inicial nula, ou seja, no primeiro período de funcionamento As formas de onda relevantes encontram-se representadas na Figura 6-6. Figura 6-6. Tensão e corrente do circuito representado na figura

215 As correntes instantâneas i () t e i () t, para os intervalos de tempo d Te ( d) T são exponenciais. Os valores de I I são determinados pelas equações (6.9) e (6.0). e I V R e dt V I I e e R dt dt (6.9) (6.0) Portanto: dt dt dt V V I e e e R R (6.) onde I representa o valor final da corrente it () para t T. Portanto é igual à variação liquida da corrente it () para condição inicial nula. Vamos então analisar o circuito para valores médios quase instantâneos, representado na Figura 6-7, no qual a mesma carga R é alimentada por uma tensão constante, igual ao valor médio da tensão vt (). Figura 6-7. Circuito R equivalente para valores médios quase instantâneos. 4

216 A corrente ix() t encontra-se representada na Figura 6-8, juntamente com as correntes i () t e i () t. O valor final da corrente ix() t é definido pela equação (6.). I X d V d V R e T (6.) Figura 6-8. Correntes dos circuito anteriores. Podemos observar que I x I. De fato, para a situação apresentada, I () x t I. Podemos então concluir que ao substituir o circuito original pelo seu equivalente que representa valores médios em espaço de estado, estamos cometendo um erro, definido pela equação (6.3), para a situação estudada, ou seja, o primeiro período de funcionamento do circuito. I % x I I 00% (6.3) Seja o seguinte exemplo numérico. 5

217 V 00V V 00V d 0,7 0mH R 0 Com o emprego da expressão (6.3) foi obtida a curva representada na Figura 6-9, na qual o erro percentual é representado em função da grandeza definida pela equação (6.4), ou seja, o período de funcionamento dividido pela constante de tempo do circuito. T (6.4) onde a constante de tempo é definida pela expressão (5.5). R (6.5) Verifica-se que o erro é igual a 0% para 0,7e igual a % para 0,0. Podemos então concluir que quem determina o erro é a relação entre o período de funcionamento ou de comutação, e a constante de tempo do circuito. Quanto menor essa relação, menor será o erro. Se a carga for uma indutância pura, como foi o caso do circuito mostrado na Figura 6-, a constante de tempo será infinita e o erro será portando nulo, independentemente do valor do período ou da frequência de comutação. È importante observar que as ondulações das tensões e correntes (ou dos estados) não são representadas pelo modelo médio em espaço de estados, como era de se esperar. 6

218 Figura 6-9. Erro percentual em função de. Embora o circuito analisado seja muito simples, ele gera resultados importantes que indicam que o emprego de valores médios em espaço de estado é adequado para modelar um conversor estático real, desde que o período de comutação seja significativamente menor que as constantes de tempo do circuito. O leitor é convidado a verificar, tanto analiticamente quanto por simulação, o efeito da constante de tempo do circuito na evolução da corrente para transitórios de longa duração e de que forma o erro se propaga, e qual sua consequência tanto para os valores da corrente quanto para defasagens. 7

219 REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS. R. D. Midlebrook and S. Cuk, Unified Approach to Modelling Switching-Converter Power Stages, IEEE Power Electronics Specialists Conference, June J. Sun, D. M. Mitchell, M. F. Greuel, P. T. Krein and R. Bass, Averaged Modeling of PWM Converters Operating in Discontinuous Conduction Mode, IEEE Transactions on Power Electronics, Vol. 6, No. 4, July C. A. Nwosu, State-Space Averaged Modeling of a Nonideal Boost Converter, The Pacific Journal of Science and Technology, Volume 9, Number, November V. Vorpérian, Simplified Analysis of PWM Converters Using Model of PWM Switch Part I: Continuous Conduction Mode, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Vol. 6, No. 3, May G. W. Wester and R. D. Middlebrook, ow Frequency Characterization of Switched DC-to-DC Converters, IEEE Power Processing and Electronics Specialists Conference, May 97. 8

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