Optimização Não-linear Aplicada ao Dimensionamento Inicial de Navios

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1 Optimização Não-linear Aplicada ao Dimensionamento Inicial de Navios João Amadis da Camara Ruas Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia e Arquitectura Naval Júri Presidente: Professor Doutor Carlos António Pancada Guedes Soares Orientador: Doutor Manuel Filipe Simões Franco Ventura Vogais: Doutor Tiago Alexandre Rosado Santos Outubro de 2010

2 (esta página foi deixada em branco intencionalmente)

3 Agradecimentos Ao meu orientador Dr. Manuel Filipe Ventura pelas horas despendidas em explicações e pelas revisões metódicas do texto. À minha família. Aos meus colegas. - I -

4 (esta página foi deixada em branco intencionalmente) - II -

5 Resumo A optimização aplicada ao dimensionamento inicial de navios é um problema amplamente estudado em duas vertentes, a criação de modelos de cálculo que permitem definir as características óptimas e o estudo dos optimizadores que suportam este tipo de problema. Nesta tese dá-se ênfase aos algoritmos de optimização não-linear, onde são estudados algoritmos evolucionários e algoritmos de procura directa. Os resultados dos algoritmos escolhidos são comparados com os apresentados na literatura, sobre este assunto, para um modelo simples de navios graneleiros. Propõem-se um novo processo de optimização, que é validado com o modelo supracitado. Com o intuito de mostrar que o processo de optimização proposto é aplicável ao dimensionamento inicial de navios, criou-se um modelo de navios porta-contentores que é mais exigente do ponto de vista da capacidade de transporte de contentores. Nos modelos de dimensionamento inicial tradicionais, para navios porta-contentores, estima-se a capacidade de carga de contentores através de fórmulas derivadas da estatística. Para evitar este processo, que pode induzir a estimativas erradas, apresenta-se um método de cálculo dos volumes internos do casco, através do conceito de curvas de área. Palavras-chave: Dimensionamento inicial, navios, porta-contentores, optimização, MDO - III -

6 Abstract Ship preliminary design optimization has been widely studied in two areas, the models that allow the optimum characteristics calculation and the optimizations algorithms to be used in this problem. In this thesis, especial relevance was given to the nonlinear optimization algorithm, with focus in the evolutionary and direct-search methods. The chosen methods are compared with the results that can be found in literature concerning this subject, for a simple bulk carrier ship model. A new optimization process is proposed and is validated with the model mentioned. To prove that the proposed method is applicable to preliminary ship design optimization one has created a containers ship model, with an innovative method to calculate the hull containers capacity. In the traditional containers ship models, the capacities are calculated with statistical formulas derived from existent ships. The proposed way to calculate the capacities comes from the sectional area curves concept, which estimates the internal hull volume for each vertical row. Keywords: Preliminary design, ship, container ship, optimization, MDO - IV -

7 Índice Agradecimentos...I Resumo...III Abstract..... IV Índice de Figuras... VII Índice de Tabelas... VIII Nomenclatura... IX Definições..... X 1. Introdução Projecto Preliminar de Navio Métodos de Optimização Não-Linear Métodos de Optimização de Procura Directa Método de Hooke-Jeeves Método de Rosembrock Método de Nelder-Mead Funções externas de restrições Métodos de Optimização de Algoritmos Evolucionários Algoritmos Genéticos Particle Swarm Optimization Sistema Imunitário Artificial Métodos de Apoio à Decisão Metodologia TOPSIS Função de Objectivos Ponderados Método dos Vectores Próprios Método da Entropia Avaliação dos Algoritmos Comparação dos Algoritmos de Optimização Processo Proposto Modelo de Cálculo Dimensões Principais Comprimento do Navio Boca Calado Pontal Resistência Propulsiva Bolbo de Proa Área do Painel de Popa Imersa e Apêndices Propulsão Hélice Máquina Principal V -

8 5.4. Capacidade de Carga de Contentores Contentores nos Porões Contentores no Convés Volumes do Casco Pesos Viagem Avaliação Económica Análise de Sensibilidade Parâmetros da Optimização Validação e Resultados Validação do Modelo Resultados Conclusões...82 Bibliografia Anexo A. Modelo de Navio Porta-Contentores...89 A.1. Coeficientes e Estabilidade...89 A.2. Pesos...91 A.3. Custos e Frete Mínimo Requerido...96 Anexo B. Modelo de Graneleiros B.1. Modelo B.2. Restrições Anexo C. Resultados dos Processos Propostos Preteridos C.1. MOPSO-CD com Nelder-Mead C.2. MOPSO-CD com Hooke-Jeeves Anexo D. Influência dos Parâmetros do Processo Proposto Anexo E. Dados gerados pelo modelo de cálculo VI -

9 Índice de Figuras Figura 1.1 Espiral de projecto com as várias fases de projecto Figura 3.1 Função de Ratringin. (MATLAB) Figura 3.2 Ilustração do funcionamento de um método de procura directa, compass search. (Kolda et al,2003) Figura 3.3 Exemplo gráfico do método de Rosenbrock Figura 3.4 Movimentos do algortimo Nelder-Mead Figura 3.5 Fluxograma ilustrativo das funções de restrições externas Figura 3.6 Exemplo gráfico das funções de restrição externas Figura 3.7 Exemplo de como funciona o operador crossover Figura 3.8 Crowding distance. (Raquel & Naval, 2005) Figura 4.1 Paredes de Pareto para a carga anual versus custo Figura 4.2 Paredes de Pareto para o peso leve versus custo Figura 4.3 Paredes de Pareto para o peso leve versus carga anual Figura 5.1 Fluxograma do modelo Figura 5.2 Tipo de arranjo dos porões de carga Figura 5.3 Configuração da boca do navio Figura 5.4 Configuração do pontal Figura 5.5 Influencia das dimensões principais no cálculo da resistência do navio Figura 5.6 Coeficientes do Bolbo. (Castro et al., 1997) Figura 5.7 Gráfico típico de um hélice das séries de Wagningen. (Bernitsas et al,1981) Figura 5.8 Comparação da potência necessária no veio com e sem cálculo do rendimento do hélice Figura 5.9 Curva potência por rotações típica de um motor marítimo. (Man B&W, 2007) Figura 5.10 Secções mestras tipicas de um navio porta contentores Figura 5.11 Curva de áreas no calado Figura 5.12 Curva de áreas no pontal Figura 5.13 Curva de áreas no duplo fundo Figura 5.14 Erros no cálculo do volume para os 5 navios base Figura 5.15 Variação da capacidade de contentores em função das variáveis de projecto adimensionalizadas Figura 5.16 Variação dos custos médios anuais em função das variáveis de projecto adimensionalizadas Figura 5.17 Ponto óptimo face ao melhor ponto. (Almeida, 2009) Figura 6.1 Variação do pontal em função do calado e da boca Figura 6.2 Paredes de Pareto geradas pelo processo de optimização proposto Figura 6.3 Parede de Pareto do modelo com restrições Figura A.1 Gráfico da posição do centro de carena em função de C B. (Watson, 1998) Figura A.2 Distribuição percentual do peso leve Figura A.3 Regressão linear entre a capacidade total e a capacidade equivalente em TEUS 14 ton Figura A.4 Regressão para calcular a arqueação bruta VII -

10 Índice de Tabelas Tabela 4.1 Pontos de inicio para o método de Nelder-Mead Tabela 4.2 Comparação dos resultados obtidos para o custo de transporte - AL Tabela 4.3 Comparação dos resultados obtidos para a minimização do peso leve - AL Tabela 4.4 Comparação dos resultados obtidos para a maximização da carga anual AL Tabela 4.5 Parâmetros dos algoritmos globais Tabela 4.6 Resultados do algoritmos globais para o custo de transporte Tabela 4.7 Comparação dos resultados multiobjectivo com os pesos iguais Tabela 4.8 Comparação dos resultados multiobjectivo com os pesos [0.4, 0.2, 0.4] Tabela 4.9 Comparação dos resultados multiobjectivos com os pesos [0.6, 0.2, 0.2] Tabela 4.10 Comparação dos resultados multiobjectivos com os pesos [0.2, 0.2, 0.6] Tabela 4.11 Comparação das funções de objectivos ponderados, com w ca = Tabela 4.12 Comparação de resultados obtidos com funções objectivo ponderadas geradas pelas equações (26) e (27), com os resultados obtidos com o MOGA Tabela 4.13 Comparação dos métodos de apoio à decisão Tabela 4.14 Comparação do algoritmo proposto para objectivos simples Tabela 4.15 Comparação do algoritmo proposto para multiobjectivo Tabela 5.1 Valores de adimensionalização das variaveis de projecto Tabela 5.2 Características principais dos navios utilizados para a parametrização da curva de áreas Tabela 5.3 Erros obtidos no cálculo dos volumes através da integração dos polinómios Tabela 5.4 Comparação dos erros com e sem correcção em contentores de 20 pés Tabela 5.5 Limites das variaveis de projecto Tabela 6.1 Comparação e correcção dos valores da potência propulsiva Tabela 6.2 Comparação dos pontais reais com os calculados pelo modelo para os navios base Tabela 6.3 Comparação da capacidade de carga de contentores Tabela 6.4 Resultados para a taxa de frete mínima e análise de sensibilidade Tabela 6.5 Comparação do resultados obtidos com o NSGA-II e processo proposto Tabela A.1 Valores de redução do segundo momento de áreas para o raio metacêntrico longitudinal Tabela A.2 Valores esperados para peso do aço, peso do equipamento e peso maquinaria Tabela A.3 Comparação entre a altura dos centros de gravidade e os valores de referência Tabela C.1 Resultados do encadeamento do MOPSO-CD com Nelder-Mead Tabela C.2 Resultados do encadeamento do MOPSO-CD com Hooke-Jeeves Tabela D.1 Influencia dos parâmetros dos algoritmos no processo proposto (A) Tabela D.2 Influencia dos parâmetros dos algoritmos no processo proposto (B) VIII -

11 Nomenclatura AG AL B D FEU FOP ILLC IMO LIBOR L PP MADM MCDM MISA MODM MOGA MOPSO-CD NSGA-II PPAV PPAR PSO Ro-Ro Ro-Pax SOLAS T TEU TOPSIS Algoritmos de optimização Globais Algoritmos de optimização Locais Boca do navio, na ossada. Pontal do navio, na ossada. Contentor padrão de 40 pés (Forty-foot Equivalent Unit) Função de objectivos ponderados Convenção Internacional de Linhas de Carga (International Load Line Cargo) Organização Marítima Internacional (International Maritime Organization) London Interbank Offered Rate Comprimento entre perpendiculares Métodos de apoio à decisão multi-atributos (Multi Attribute Decision Making) Métodos de apoio à decisão multi-criterios (Multi Criteria Decision Making) Sistema Imunitário Artificial Multiobjectivo Métodos de apoio à decisão multi-objectivos (Multi Objective Decision Making) Algoritmo genéticos multi-objectivos (Multi Objective Genetic Algorithm) Algoritmo de optimização particle swarm multi-objectivo com crowding distance (Multi Objective Particle Swarm Optimization - Crowding Distance) Algoritmo genéticos com elitismo Perpendicular a vante Perpendicular a ré Algoritmo de optimização particle swarm (Particle Swarm Optimization) Navios roll-on roll-off Navios roll-on roll-off e de passageiros Safety Of Life At Sea Calado de verão do navio Contentor padrão de 20 pés (Twenty-foot Equivalent Unit) Technique for Order Performance by Similarity to Ideal Solution Deslocamento do navio na linha de água de verão - IX -

12 Definições Algoritmos Globais Algoritmo Locais Função de objectivos ponderados Algoritmos que têm a capacidade comprovada de encontrar o mínimo/máximo global da função Algoritmos que por si só não têm a capacidade provada de encontrar o mínimo/máximo global da função Tradução do inglês de overall measure of fitness (OMOF) e é uma função em que cada variável considerada tem um peso e o resultado da mesma serve como medida de mérito. Método de gradiente Tradução do inglês gradient-based method, que representa todos os métodos de optimização que funcionam sobre a derivada da função objectivo. Método de procura directa Paredes de Pareto Função de restrições externa Tradução do inglês direct search method, engloba todos os métodos de optimização que fazem uma procura directa. Tradução do inglês Pareto front, que é um conjunto de soluções do problema com igual qualidade. Função que permite impor restrições nos métodos que originalmente não as suportam. É uma função que se acopla ao modelo de cálculo e permite obrigar o optimizador a gerar combinações de variáveis dentro de acordo com as restrições. - X -

13 1. Introdução O projecto de um navio é um processo complexo e por isso requer a interligação de várias disciplinas. Grosso modo o conjunto de disciplinas pode ser dividido em duas grandes áreas, a arquitectura naval que incide essencialmente sobre as divisões internas do navio, a hidrostática e a estabilidade; a engenharia naval na qual se inserem disciplinas, como a hidrodinâmica, comportamento de estruturas e a manobrabilidade. A concepção de um navio diferente divide-se em 5 fases (Good, 2006): Exploração do conceito Surge uma nova necessidade e é fundamental idealizar um novo navio. Parte-se do princípio que nenhum dos tipos de navios existentes serve, mas existem conceitos que podem ser aproveitados. Desenvolvimento do conceito É uma fase muito próxima da anterior onde começam a ser pensadas quais os conceitos que podem ser retirados de outros tipos de navios já existentes e como serão interligados. É nesta fase que se concebem novos conceitos, caso seja necessário. Projecto preliminar O navio começa a ganhar forma e no final desta fase já deve existir muita informação sobre o navio. Projecto contratual Nesta fase o navio já foi apresentado ao mercado e já se encontrou um comprador, existindo por isso uma necessidade de mais informação sobre o navio. Projecto de pormenor Completa-se toda a informação sobre o navio e este pode começar a ser construído. Nos navios de marinha mercante a investigação sobre novas concepções de navios é reduzida, contudo, nos últimos cinquenta anos apareceram alguns modelos novos, os navios portacontentores, os navios Ro-Ro, os navios Ro-Pax, etc. Sendo certo que os tipos de navios existentes cobrem as necessidades do mercado, o que é necessário, é produzir novos navios dos tipos já existentes, o que faz com que se ultrapasse as duas primeiras fases de projecto e reduz-se em muitos anos o tempo despendido. Em alguns casos é mesmo eliminada a fase de projecto preliminar. Um navio de comum demora entre 12 a 18 meses para ser lançado à água. As três últimas fases de projecto são elaboradas tendo como base a espiral de projecto de Evans, na Figura 1.1 pode observar-se a espiral de projecto com as várias fases de projecto

14 Figura 1.1 Espiral de projecto com as várias fases de projecto. Cada intersecção entre a espiral e as linhas rectas representa uma nova iteração sobre uma área (entenda-se por áreas: arranjo, custos, capacidades, etc). O dimensionamento inicial de navios deve ser visto como o princípio do projecto preliminar, é o estudo que gera a informação para começar o projecto preliminar. No dimensionamento inicial os cálculos sobre cada uma das áreas são feitos recorrendo a fórmulas empíricas, ou seja, fórmulas que são derivadas de navios semelhantes. No final do século passado eram usuais estudos que apresentavam as fórmulas para utilizar no projecto de navios, geralmente elaboradas sobre grandes bases dados, são exemplo Holtrop & Mennem (1982), Watson & Gillifan (1975) e Bertram (1998). No entanto, nos dias de hoje, este tipo de estudos é mais raro, o que obriga que cada projectista tenha que elaborar a sua base de dados e as suas fórmulas. Quando se trabalha para um estaleiro ou armador tem-se acesso aos dados necessários para desenvolver fórmulas com alguma certeza. No caso do estudo que aqui se apresenta não se têm acesso a boas bases de dados, pelo que a solução é utilizar a estrutura das fórmulas apresentadas nos artigos e adaptá-las aos navios que são construídos no presente. Muitas vezes estas fórmulas são desprovidas de sentido físico, isto é, não existe um raciocínio lógico por detrás da sua construção o que dificulta a sua actualização. O dimensionamento inicial de navios utopicamente é a construção de uma função que depende somente das variáveis de projecto e que permite calcular os parâmetros do navio, na realidade é um conjunto de fórmulas. Pode criar-se modelos com diferentes variáveis de projecto, mas é comum utilizar o comprimento, a boca, o calado, o coeficiente de finura do navio e a velocidade (Lee (1999), Yang et al. (2007)). Não menos usual é utilizar ratios das dimensões principais, como por exemplo comprimento versus boca, boca versus calado, etc (Lyon & Mistree (1982), Ray & Sha (1994)). A escolha das variáveis de projecto é fundamental no tipo de resultados que se quer obter. Se o resultado que se pretende são as dimensões principais, é suficiente utilizar os rácios das dimensões principais e o coeficiente de finura, mas se o resultado pretendido é também o dimensionamento do hélice ou uma melhoria noutra área mais específica, é necessário incluir mais variáveis de projecto para aumentar fiabilidade da solução

15 A optimização é utilizada neste contexto para encontrar a combinação das variáveis de projecto mais benéfica para os objectivos a atingir. Para optimizar funções ou conjuntos de funções como os que se descreveram é necessário que os métodos suportem não-linearidades. Ao longo dos tempos foram sendo encontradas maneiras de ultrapassar as limitações de alguns métodos, quase sempre à custa de perda de qualidade na solução. No inicio da aplicação de métodos de optimização ao dimensionamento de navios as funções eram linearizadas, o que naturalmente induz erros. No presente existem meios tecnológicos e intelectuais que permitem optimizar todo o tipo de funções. O espaço onde se encontram as soluções do problema é designado por hiperespaço, sempre que é representado por mais do que três variáveis. Para se ter uma noção da dimensão do hiperespaço de soluções basta pensar que um navio pode ter desde uma dezena de metros até poucas centenas de metros de comprimento e o mesmo raciocínio pode ser aplicado para todas as outras variáveis de projecto. Dada a dimensão do hiperespaço de resposta não é difícil concluir que o número de soluções que podem ser encontradas é muito elevado. Para tornar viável a resolução deste é necessário utilizar a optimização, que é a ferramenta que permite encontrar o mínimo ou o máximo de uma função no seu domínio. Existem variadíssimos processos de optimização, cada um com os seus pontos forte e pontos fracos. O primeiro processo utilizado para encontrar a combinação das variáveis de projecto mais satisfatória é a variação sistemática. Este processo consiste em alterar de forma sistemática as variáveis e guardar o melhor resultado. Muitos autores não consideram que este seja um método de optimização porque o algoritmo (um ciclo for por cada variável) não tem a capacidade de perceber que direcção tomar. No princípio dos anos 60 surgem os métodos de procura directa (direct search) e este já têm a capacidade de reconhecer direcções mais vantajosas, o que lhes permite atribuir valores às variáveis de projecto para diminuir o valor da função objectivo. Quase em simultâneo com os métodos de procura directa aparecem os métodos de procura por gradiente, que retiram a informação da melhor direcção a tomar, da derivada da função objectivo. Estes métodos nunca fizeram muito sucesso na área da engenharia porque pode ser complicado derivar uma função objectivo como as descritas anteriormente. Mais recentemente surgiram os algoritmos evolucionários que são de todos os algoritmos os mais robustos, mas apresentam tempos de computação elevados. Na utilização da optimização aplicada à engenharia naval desde cedo surgiu a necessidade de limitar o hiperespaço de procura. Existem duas razões para ser necessário limitar o hiperespaço: o modelo criado para o dimensionamento inicial não ser suficientemente bom que permita qualquer valor das variáveis de projecto ou as limitações impostas pelos requisitos do amador. As restrições podem assumir pelo menos duas formas, podem ser lineares ou não lineares, expressas sob a forma de equações ou inequações, mais ainda, podem ser contínuas, descontínuas e em raros casos boleanas. Dados os requisitos do problema, não são todos os métodos de optimização que podem lidar com esta complexidade

16 A solução óptima, mais particularmente o navio óptimo, está sempre intimamente ligado ao objectivo, ou seja, este só é óptimo para o ponto de vista sobre o qual foi optimizado e só por coincidência o mesmo navio será óptimo para outro objectivo. Os modelos de cálculo podem ter diferentes objectivos de optimização, o frete mínimo requerido, os custos de operação, os custos de construção, a hidrodinâmica, a manobrabilidade, a resistência estrutural, a resistência ao avanço, etc. Quando a optimização é de objectivo único, só se optimiza uma característica do navio e em princípio a solução é única, salvo raras excepções em que se podem encontrar soluções múltiplas com a mesma qualidade. No passado poucos eram os métodos que permitiam optimizar para mais que um objectivo, multi-objectivos mas com a evolução da optimização começou a ser possível criar métodos que têm em conta mais que uma característica do navio. Esta possibilidade levanta um novo problema, qual das soluções escolher uma vez que todas obtêm a mesma qualidade aos olhos da função objectivo. A solução passa por utilizar métodos de apoio à decisão. Os métodos de apoio á decisão permitem escolher de entre um número de soluções com igual mérito a melhor de todas. Dentro dos métodos existem dois tipos, os que actuam sem a interacção do utilizador e só podem ser utilizados com métodos de optimização multi-objectivo de raiz e os que necessitam da opinião do utilizador, que podem ser utilizados com qualquer método. Também podem ser divididos por funções, os que calculam as ponderações a atribuir a cada objectivo e os que escolhem a solução óptima através de metodologias próprias. Os navios são construídos por uma de duas razões, por uma necessidade ou por boa oportunidade de investimento. Nos navios que são construídos por necessidade englobam-se os navios de guerra, os navios combate a poluição ou os navios de socorro a náufragos, sobre estes não existem perspectivas de lucros. Por outro lado os navios da marinha mercante são geralmente navios com fins lucrativos, só são construídos se as taxas pagas aos investidores compensarem os riscos corridos. Neste sentido todas as optimizações de navios mercantes devem ter como objectivo único ou não, a menor taxa de frete. Não se encontra na literatura optimizações para a taxa de rendimento interno, uma vez que este não pode ser calculado, o mais comum é optimizar o frete mínimo requerido. O frete mínimo requerido é o frete mínimo para que o projecto suporte o custo de capital imposto pelos analistas. Para que seja possível analisar a viabilidade económica do navio é necessário definir-lhe uma rota para poder contabilizar na optimização factores como custos portuários, custos de combustível, volumes para armazenar viveres e combustível, etc. A rota para a qual se optimiza o navio não é obrigatoriamente a que este navio vai operar toda a sua vida útil, mas serve como termo de comparação entre os navios. Os modelos de dimensionamento inicial de navios podem ter diferentes graus de complexidade dependendo dos dados que se pretende retirar e do tipo de navio. Se o modelo for feito para um navio de massa (navio tanque ou graneleiro) é por norma um modelo mais simples porque existe muita informação sobre estes navios, têm pouca tecnologia e devido ao número de modelos que já foram criados, conhecem-se boas aproximações. No caso de navios mais - 4 -

17 recentes, que implicam mais tecnologia como navios de gás liquefeito, os navios Ro-Ro, os navios Ro-Pax ou navios porta-contentores a informação disponível é escassa e as aproximações induzem em grandes erros, pelo que se deve tentar reproduzir o mais possível a realidade. Em qualquer dos casos, os modelos devido às suas características tornam-se nãolineares e para optimiza-los são necessários métodos de optimização não-linear. O principal objectivo desta tese é estudar os métodos de optimização não-linear e aplicá-los ao dimensionamento preliminar de navios. Perceber as vantagens e desvantagens de cada método e escolher o mais indicado. Para testar os algoritmos é necessário utilizar um modelo, para o efeito criou-se um para navios porta-contentores. O modelo deve ser complexo (fortemente não-linear), para comprovar que o método ou métodos podem ser utilizados em qualquer modelo de dimensionamento inicial de navios de preferência um que contenha bastantes não-linearidades para provar que optimizador serve todos os modelos. Na criação do modelo pretende-se introduzir processos diferentes dos usuais para diminuir os erros, com principal ênfase na capacidade de carga do navio e na propulsão. No segundo capítulo desta tese encontra-se a revisão bibliográfica, em que é analisada a actividade de investigação mais relevante nesta área e quais a alternativas por explorar. O terceiro capítulo incide sobre os métodos de optimização que serão testados e sobre os métodos de apoio à decisão. Os algoritmos de optimização são divididos em dois grandes grupos, os algoritmos globais e os algoritmos locais. Os algoritmos locais são os métodos que se sabe que podem ficar presos em mínimos locais, ou seja, se existir um mínimo local perto do ponto de partida existe uma forte probabilidade de estes não convergirem para o mínimo absoluto da função. Os algoritmos globais são os que garantem uma convergência para o mínimo global. Os códigos de todos algoritmos foram retirados da internet sob licenças GNU pelo que não existe nenhuma garantia do seu bom funcionamento. Os método de apoio à decisão devem ser divididos em dois grandes grupos, os que permitem encontrar as ponderações de cada objectivo e os que permitem encontrar a solução óptima. Dos método que permitem encontrar os pesos de cada objectivo são analisados dois, o método dos vectores próprio (eigenvector technique) e o método de entropia (entropy method). Das técnicas que permitem escolher as soluções óptimas serão analisadas duas, a TOPSIS (Technique for Order Performance by Similarity to Ideal Solution) e a construção de uma função de objectivos ponderados. O quarto capítulo é a validação e estudo dos algoritmos e técnicas de apoio à decisão descritos anteriormente. A validação é feita através da comparação de resultados para o modelo de navios graneleiros apresentado no anexo B. Propõe-se um novo encadeamento de algoritmos para abordar os problemas de optimização. No quinto capítulo (modelo de cálculo), descreve-se sucintamente como foi elaborado o modelo de dimensionamento inicial de um navio porta-contentores feeder. No modelo apresentado deu-se mais relevância à propulsão e às capacidades de carga dos navios. Para melhorar a - 5 -

18 previsão das necessidades de propulsão do navio incluiu-se o dimensionamento do hélice, em vez de admitir um valor fixo para o rendimento e a escolha da máquina principal é feita em função da potência exigida, melhorando assim as previsões de consumo. Para melhorar as estimativas das capacidades de carga do navio introduziram-se duas melhorias. Calcula-se a visibilidade da ponte através da imposição da COLREG, o que permite estimar com mais precisão a quantidade de contentores que podem ser estivados acima do convés e optimizar a altura da ponte de comando. Para o cálculo da capacidade de carga nos porões foi utilizado o conceito de curvas de áreas, aplicado na linha do duplo fundo e no convés o que permite calcular o volume disponível para determinada pilha. Nas outras áreas (coeficientes, estabilidade, pesos e custos) foram utilizados processos propostos por outros autores e por isso são apresentados no anexo A. No sexto capítulo é apresentada a validação do modelo e os resultados obtidos da optimização do modelo de navios porta-contentores com o método proposto e um método de optimização global. A validação do modelo é feita com base em navios existentes e pretende-se perceber qual o grau de certeza deste. Neste capítulo são apresentados os resultados da ligação do optimizador ao modelo de navios porta-contentores. Através destes resultados pretende-se provar que o ou os optimizadores escolhidos são suficientemente robustos para serem utilizados no dimensionamento inicial de navios. No sétimo capítulo são apresentadas as conclusões gerais do trabalho e as sugestões de trabalhos futuros

19 2. Optimização no Âmbito do Projecto Preliminar de Navios O presente capítulo pretende dar uma visão do que já foi feito neste campo e em que ponto está a investigação científica. Existem nesta área inúmeros estudos para determinar as dimensões e características óptimas dos navios. Durante muitos anos o projecto de navios foi feito de uma forma sequencial, como sugere a espiral de projecto, de tentativa e erro que ocupava muito arquitectos e engenheiros navais durante várias semanas (Lyon & Mistree 1985; Ray & Sha, 1994). A optimização era feita através de pequenas melhorias de um projecto para outro, portanto iterativamente (Solesvick, 2007; Krӧmker & Thoben, 1996). Por norma as soluções encontradas eram apenas satisfatórias e não óptimas (Murphy et al., 1965). O primeiro método computacional utilizado para definir um navio óptimo dentro da gama de hipóteses possíveis foi a variação sistemática de parâmetros. Este método consiste em criar um algoritmo que produz um dado número de hipótese de navios e através das regras das sociedades classificadoras e de aproximação ao objectivo pretendido, vai eliminando hipóteses até ficar o navio óptimo. Alguns autores defendem que este não é um método de optimização mas sim um método de análise porque apenas se analisam as hipóteses geradas pelos parâmetros de entrada e verificar-se qual é a que melhor se adequa ao objectivo. Murphy et al. (1965) foi dos primeiros a utilizar a variação sistemática para o projecto preliminar de navios, mais especificamente para navios de carga geral. Para elaborar o algoritmo recorreu a cinco parâmetros de entrada (, C, B T, V L L D) aos quais atribuiu quatro valores p la, diferentes, o que gerou mil e vinte e quatro hipóteses de navios. Para eliminar hipóteses subdividiu o conjunto de navios em grupos de quatro, onde cada um representava determinado parâmetros de entrada, o navio desse grupo que apresenta-se menos custos em relação ao parâmetro escolhido, fica e os outros são descartados. Este método era repetido cinco vezes e chegava-se ao navio óptimo para os custos. A inovação neste método é que o algoritmo resolvia em quatro minutos o que os autores estimam que demoraria mil e setecentas horas a resolver à mão. Lyon (1982) criou um programa para ser implementado numa calculadora TI-59 que gerava a melhor combinação de dimensões principais para o menor preço de construção. O programa desenvolvido para a calculadora, porque com esta e uma impressora era possível resolver o problema, sem recorrer aos computadores que na altura eram escassos e dispendiosos. Contudo a programação na calculadora tinha limitações, só permitia utilizar cinco variáveis, nove condições de fronteira e não permitia programação não-linear. As cinco variáveis escolhidas foram comprimento, boca, calado, pontal e coeficiente de finura. O problema das condições de fronteira foi ultrapassado resolvendo o problema num computador para perceber quais seriam as condições de fronteira mais importantes. A linearização das funções foi feita através do logaritmo natural. O método de optimização utilizado é o iterativo que não garante a LA - 7 -

20 melhor, mas uma boa solução. O programa foi concebido para navios graneleiros e navios de carga geral, mas o modelo pode ser utilizado para todos os tipos navios com as devidas alterações. É apresentada uma solução para um navio graneleiro com tdw. Lyon & Mistree (1985) elaboraram um algoritmo que permite resolver o problema de optimização de navios através de decision support problem (DSP). Este artigo é o primeiro a introduzir a programação não-linear no dimensionamento inicial de navios. O método aceita restrições lineares e não-lineares contudo as últimas são linearizadas através da primeira e segunda derivadas. O navio óptimo é escolhido através da aproximação arquimediana, que resumidamente consiste em ponderar os desvios de todos os objectivos de uma só vez. Os objectivos desta optimização são cumprir os requisitos iniciais do armador em termos de velocidade, capacidade de carga e autonomia. São apresentados 5 casos de estudo que ilustram a forma como o método deve ser aplicado. Os métodos de optimização local ou de procura directa, são métodos mais sofisticados que a variação sistemática, porque utilizam uma função objectivo e calculam o valor da mesma em vários pontos dispostos no espaço (consoante os métodos a disposição espacial dos pontos varia). Através dos resultados obtidos nos diferentes pontos é calculado o valor do próximo passo e a sua direcção. Existem inúmeros métodos deste tipo contudo nem todos têm a capacidade de lidar com objectivos múltiplos e com condições de fronteira. Um problema apontado recorrentemente a esta classe de métodos de optimização, é que muitas vezes os algoritmos ficam presos em máximos ou mínimos locais e não nos globais. Ray & Sha (1994) introduzem um novo processo de procura do navio óptimo ao utilizar Multi Objective Decision Making (MODM). É apresentado um exemplo com três objectivos (custo de construção, peso leve e potência) para um porta-contentores de 1336 TEUS. Nesta solução são utilizadas cinco variáveis de projecto ( L B B D, T D, C, F ) pp,. As restrições utilizadas são de duas naturezas: as restrições do sistema como por exemplo o bordo livre mínimo, que não podem ser violadas sob pena de não representar um navio e os limites superiores e inferiores das variáveis de projecto. O resultados das funções objectivo são trabalhados num ambiente fuzzy, que transformam cada um dos atributos (entenda-se custo de construção, potência e peso leve) num valor adimensional e dão uma noção do quão perto se está do objectivo. É introduzido o conceito de variáveis de desvio, que medem o quanto o navio se desvia do objectivo pretendido. As ponderações de cada objectivo são calculadas utilizando métodos Multi Attribute Decision Making (MADM). Ray et al. (1995) apresentam um sofisticado modelo de optimização do dimensionamento inicial de navios, em que é utilizado o simulated annealing, com perturbações aleatórias para gerar pontos de arranque, seguido de métodos de optimização local. Os métodos de optimização local utilizados são Hooke-Jeeves e Rosenbrock, com condições de fronteira nãolineares. No final o navio é escolhido através de um método de MADM. Este método apresenta sete variáveis de projecto e é genérico, isto é, serve qualquer tipo de navio, contudo é apresentado um porta-contentores para servir de exemplo. b n - 8 -

21 Augusto & Kawano (1998) modificaram um método de procura directa (Box) para optimizar o casco de um navio do ponto de vista estrutural. Introduzem o conceito de restrições violáveis (soft constrain) que são as que não têm que ser necessariamente satisfeitas, existindo uma penalização para o seu incumprimento e as restrições invioláveis ou não-violaveis (hard constrain) que são obrigatoriamente satisfeitas. Lee (1999) utiliza algoritmos genéticos para varrer o hiperespaço de soluções e identificar os máximos locais, depois utiliza um método de procura directa (Hooke & Jeeves) para encontrar o máximo global. Esta solução, segundo o autor, permite reduzir o tempo de computação. O algoritmo é capaz de seleccionar os navios mãe de uma base de dados. Para resolver o problema utilizou seis variáveis de projecto e a optimização é multi-objectivo, sendo os objectivos minimizar os custos de construção e os custos operacionais. Neu et al. (2000) propõem uma solução para optimizar as formas do casco de um navio através do frete mínimo requerido, onde usa um método de optimização com base no gradiente da função objectivo. Refere-se que este método é melhor que os algoritmos genéticos por causa do tempo de computação. O código é desenvolvido por módulos, nomeadamente para a geometria do casco, resistência e propulsão, hidrostáticas, volume de carga, pesos e factores económicos. Apresenta-se uma solução para um navio porta-contentores e faz uma análise de sensibilidade ao código utilizado fazendo variar os custos portuários, os custos de combustível, etc. Como conclusões mais importantes da análise de sensibilidade devem ser ressaltadas as seguintes: o comprimento do navio depende fortemente das capacidades de carga e descarga dos portos e o frete mínimo requerido aumenta e a velocidade óptima diminui com a diminuição da distância da viagem padrão e com o aumento do preço dos combustíveis. Clausen et al. (2001) escolheram as redes bayesianas e as redes neuronais para abordar o problema do dimensionamento inicial de navios. Concluem que estes dois processos têm desempenhos idênticos para encontrar as dimensões principais de um navio, dada a sua capacidade de carga (em volume, em TEUS, em comprimento linear da faixa de estacionamento). No entanto estes são dois métodos que assentam na estatística, pelo que as dimensões principais fornecidas não são as óptimas, mas as mais prováveis, encontradas na amostra. Os navios utilizados são os registados na Lloyd s entre os anos de 1990 e As redes bayesianas têm a vantagem de cada vez que se quer alterar uma condição de fronteira ou parâmetro de entrada, não terem de aprender tudo de novo, como acontece nas redes neuronais. Artana & Ishida (2003) abordam o problema da optimização do navio, mas num sentido mais lato, optimizam o navio (e não tem que ser obrigatoriamente um navio, pode ser uma frota) para um determinado transporte tendo em conta a máquina propulsora instalada. O método é implementado numa folha de cálculo, com um ad-in que permite fazer optimizações lineares e não-lineares. No caso apresentado é utilizado um método de gradiente mas não é especificado qual e o alvo da optimização é a redução dos custo de transporte

22 Brown & Salcedo (2003) resolveram o problema de optimizar um navio de guerra com algoritmos genéticos. A utilização de algoritmos genéticos com objectivos múltiplos leva a encontrar uma zona em que todas as soluções estão ao mesmo nível, à qual se chama parede de Pareto. Desenvolveram uma maneira de optimizar a parede de Pareto, penalizando os espécimes que se encontravam muito perto uns dos outros e obrigando-os a espalharem-se ao longo da fronteira. Parsons & Scott (2004) utilizaram um modelo de navios graneleiros (Sen & Yang, 1998) para apresentar uma discussão sobre as diferentes formas de construir a função de objectivos ponderados. São apresentadas 3 hipóteses diferentes de construir a função objectivo, todas tem por base a fórmula da distância Euclidiana. Sugere-se a construção de paredes de Pareto através de algoritmos de objectivo único, fazendo variar os pesos dos diferentes objectivos. Conclui-se que min-max solution e a solução mais próxima do ideal são os que melhor representam o compromisso desejado na engenharia. No entanto a decisão tem sempre que ser tomada pela equipa de projecto e por isso pode ser importante a representação gráfica da parede ou superfície de Pareto. Wolf et al. (2004) comparam os algoritmos genéticos com os métodos de gradiente, na optimização de um navio de guerra. Os algoritmos genéticos permitem trabalhar com variáveis discretas o que é uma grande vantagem sobre os métodos de gradiente, se bem que os últimos são mais rápidos. Neste artigo é possível encontrar uma interessante análise de como variam os tempos de computação em função do factor de mutação e da dimensão da população inicial. Foi ainda estudada a forma como a variação das ponderações na função de medida de mérito influenciam as paredes de Pareto. Para encontrar os pesos para cada objectivo recorreram aos métodos MADM. Yang et al. (2007) propõem uma nova abordagem ao projecto preliminar de navios, uma abordagem mais integrada, isto é, em vez de calcular as formas do casco depois de calcular as dimensões principais, calcula os dois ao mesmo tempo. Para testar este método utilizou dois tipos de optimização: a optimização comum, em que todo o processo é feito no mesmo optimizador e um outro método, que é apelidado de optimização cooperativa, em que a optimização é dividida em camadas, nas quais se podem encontrar vários optimizadores hierarquicamente organizados. A resistência e a potência propulsivas requeridas são tratadas como variáveis estatísticas que seguem uma distribuição normal para evitar erros. O objectivo desta optimização é a redução dos custos de construção e os resultados obtidos mostram que a optimização cooperativa e a abordagem integrada são vantajosas. Jin & Zhao (2007) estudaram a aplicabilidade do algoritmo ant colony ao dimensionamento preliminar de navios. Apresentam uma inovação no algoritmo original, incluem sub-espaços de procura, a tabela de caos e a procura tabu. Os sub-espaços de procura fazem com que as formigas não se concentrem todas num máximo local, obrigando-as a procurar em todo o hiperespaço disponível. A tabela de caos redistribui as formigas dentro dos sub-espaços a cada iteração. A procura tabu evita a duplicação de máximos ou mínimos, ou seja, este são

23 armazenados evitando que se perca tempo a procurar um máximo ou mínimo já encontrado. Os resultados são comparados com os obtidos por Ray et al. (1995) para um navio portacontentores de 1336 TEUS, apresentando valores bastante próximos. O tempo de computação são 5 minutos com a vantagem de que este método devolve a solução óptima e o método proposto por Ray et al. (1995) devolve varias soluções, ou seja, máximos locais. Pinto et al. (2007) propôs resolver o problema da optimização de cascos através do método Particle Swarm Optimization (PSO). O algoritmo apresentado neste artigo contém alterações em relação ao original. No algoritmo original existem termos no cálculo da velocidade que assumem valores entre um e zero aleatoriamente, neste caso é imposto o valor um, passando a ser chamado Deterministic Particle Swarm Optimization (DPSO). Para que o método se torne multi-objectivo, é criada uma função que multiplica cada objectivo por um peso. Este tipo de solução faz aparecer um novo problema que é todas as partículas convergirem para o mesmo ponto óptimo eliminando assim, ou pelo menos reduzindo muito, a extensão da parede de Pareto. A forma encontrada no artigo para eliminar o problema foi dividir o swarm em subswarms e cada um ter a sua própria partícula guia. Assim dentro do subswarm todas as partículas vão convergir para o ponto da parede encontrada pela partícula guia, mas esse ponto é diferente de subswarm para subswarm. Nos exemplos apresentados encontram-se optimizações para o cabeceio e arfagem de cascos, mais especificamente para o casco S175 (casco de um navio porta-contetores). Ölçer (2008) resolveu o problema de optimizar a subdivisão de um navio Ro-Pax, através dos algoritmos genéticos, mais especificamente o algoritmo MOGA-II. Como é uma optimização multi-objectivo, não existe uma solução mas sim um conjunto de soluções, parede de Pareto, e o artigo baseia-se essencialmente nos métodos de apoio a decisão que existem para escolher a melhor solução. Para escolher a melhor solução, o processo utilizado é hierarquizar os parâmetros e atribuir-lhes pesos diferentes conforme a sua importância. Existem dois tipos de avaliações que podem ser feitas as objectivas em que se define exactamente quanto é que um parâmetro é mais importante que outro, ou as subjectivas em que se diz só se é mais ou menos importante que o outro. O método proposto no artigo pretende englobar as duas abordagens, a objectiva e a subjectiva, numa só que resulta da junção de dois métodos, o FMADM (Fuzzy MADM) com o Group Decision Making (GDM) que permite incluir no método várias opiniões de peritos e com formatos diferentes. Esta optimização mostra uma melhoria, em relação ao modelo original, de 72% na capacidade de carga, expressa em comprimento da faixa de rodagem para automóveis. Skoupas & Zaraphonitis (2008) abordaram a optimização de um navio Ro-Pax utilizando algoritmos genéticos. O método proposto é multi-objectivo e os objectivos são o frete mínimo requerido e o máximo de estabilidade intacta. O frete mínimo requerido foi escolhido como indicador económico porque contempla todos os outros indicadores possíveis de utilizar, por exemplo o custo de construção ou custo operacionais. A ordem e os parâmetros calculados são os seguintes:

24 Formas do casco definidas através de um software comercial (NAPA) Resistência e propulsão, pelo do método de Radojcic et al. (2001) Arranjo dos espaços internos do navio Estudo preliminar das estruturas Estimativa dos pesos Estabilidade intacta e em avaria Estudo económico O processo de cálculo é efectuado por módulos para permitir que estes possam ser substituídos por outros que se considerem mais interessantes. A título de exemplo são apresentados dois estudos para navios Ro-Pax que devem ligar as ilhas gregas com o continente. Gorshy et al. (2009) usaram um o Particle Swarm Optimization (PSO) para resolver o problema da optimização multidisciplinar de navios. OS objectivos são optimizar as estruturas, o espaço de carga e a potência propulsiva. A potência propulsiva é obtida por Computational Fluid Dynamics (CFD) e a análise das estruturas por Finite Element Model (FEM). Os métodos atrás descritos necessitam de longos tempos de computação. Para simplificar o hiperespaço de procura e assim reduzir o tempo de computação, foram utilizadas duas simplificações, o Latin Hypercube Space (LHS) que permite explorar o hiperespaço e recolher pontos que o definam; o Response Surface Method (RSM), é utilizado para aproximar o modelo, facilitando os cálculos e reduzindo o tempo de computação. É apresentado um exemplo para um navio graneleiro, da classe handymax de tdw. Nowacki (2009) publica o estado da arte, onde aponta três grandes motivadores dos sistemas de projecto de navios assistido por computador, são eles a necessidade de controlar numericamente os robots de construção, a aplicação de computadores a cálculos demorados como na estabilidade, hidrostática e análise de estruturas e finalmente a vontade de substituir os desenhos em papel por modelos em três dimensões. No artigo é referido que existem soluções típicas, ou seja, consoante o tipo de navio em análise é recorrente que a solução tenha características padrão. Os navios de massa tendem a ser navios largos, com coeficientes de finura total altos (grande capacidades de carga) e lentos, este é o tipo de solução denominada critical weight. As outras soluções são do tipo critical volume que tendem a ser navios rápidos e com formas do casco mais hidrodinâmicas, por exemplo navios de carga geral ou navios porta-contentores. Xuebin (2009) elaborou um estudo sobre optimização não-linear aplicada ao dimensionamento inicial de navios. Utilizou o modelo proposto por Sen & Yang (1998) para navios graneleiros. Este modelo é válido para navios graneleiros entre tdw e tdw e para velocidades entre 14 e 18 nós. Na primeira abordagem ao problema foi utilizado um algoritmo MOGA para encontrar as paredes de Pareto e posteriormente é utilizado o método de entropia para encontrar os pesos relativos de cada objectivo seguido da metodologia TOPSIS para definir a solução óptima. O problema é também abordado através de métodos de procura

25 directa (direct search) em que é utilizado um algoritmo de Sequential Quadratic Programming (SQP). O método de procura directa é comparado com resultados obtidos sobre o mesmo modelo por Parsons & Scott (2004) e Hiroyasu et al. (2002). Da comparação dos resultados pode concluir-se que o algoritmo utilizado pelo autor é tão bom quanto os testados anteriormente. Como principais conclusões o autor refere que a metodologia dos algoritmos MOGA é melhor que a de procura directa e que é uma boa hipótese para ser utilizada em problemas de optimização de projecto. Hart & Vlahopoulos (2009) apresentam uma comparação entre o Particle Swarm Optimization (PSO), métodos de gradiente e simulações de Monte Carlo, para o modelo Sen & Yang (1998) com pequenas alterações. Propõem uma alteração aos métodos usuais de MOPSO, utilizando o PSO numa abordagem top-level, isto é, são criados subprogramas para cada objectivo, onde estes são optimizados independentemente e num nível superior optimiza-se todo o processo. Conclui-se que este processo era muito mais exigente do ponto de vista computacional e que os resultados estavam ao nível dos optimizadores comerciais. No entanto as experiências efectuadas com as simulações de Monte Carlo revelaram bons resultados, sendo menos exigentes computacionalmente que o método proposto

26 3. Métodos de Optimização Não-Linear O capítulo que se segue aborda os métodos de optimização não-linear, especialmente os que são e já foram utilizados no dimensionamento inicial de navios. Os métodos que se apresentam dividem-se me dois grandes grupos: os métodos de procura local, em que são estudados os algoritmos de Hooke-Jeeves, Nelder-Mead e Rosenbrock; os métodos globais em que são estudados os algoritmos genéticos, o particle swarm optimization e o sistema imunitário artificial. Por norma os métodos de procura local não estão preparados para restrições, o que obriga a utilizar funções de restrições externas e por isso é apresentada uma maneira de lidar com esse problema. Os métodos globais quando são utilizados numa optimização multiobjectivo devolvem uma parede de Pareto e não um ponto, pelo que é necessário utilizar métodos de apoio á decisão para encontrar a solução óptima. Os métodos de apoio á decisão estudados dividem-se em duas categorias, segundo a sua função: os que permitem calcular as ponderações que cada objectivo deve ter, nestes apresentam-se o método da entropia que calcula as ponderações sem interacção do utilizador e o método dos vectores próprios em que os pesos são calculados através de uma matriz de decisão fornecida pelo projectista; os métodos que devolvem a solução óptima, em que foram estudados o TOPSIS que escolhe a hipótese que se encontra mais perto da solução ideal e mais longe da pior solução e a função de objectivos ponderados que devolve a soma de todos os objectivos escalados pelo seu mínimo e multiplicados pela respectiva ponderação. A optimização é normalmente definida como a forma metódica de encontrar o mínimo de uma ou várias funções. { f ( x x A} f * = min ) (1) em que A é o conjunto de objectos em que a função é definida. Se a função for multiplicada por (-1), a nova função é a simétrica da primeira, em torno do eixo dos xx s, o que faz com que o valor encontrado seja o máximo. Se a optimização em estudo for multi-objectivo pode aplicarse o mesmo princípio a cada objectivo, permitindo assim maximizar e minimizar diferentes objectivos ao mesmo tempo. Neste contexto é comum definir-se mínimos locais e mínimos globais. Os mínimos locais são o menor valor que a função objectivo apresenta numa determinada região. Os mínimos globais são o menor de todos os mínimos locais. Estas denominações estendem-se aos algoritmos, existem algoritmos de optimização local e algoritmos de optimização global. No entanto é possível encontrar os mínimos globais utilizando só algoritmos optimização local, o que é discutido mais a frente neste capítulo. Algumas funções são bastante complexas e o seu mínimo global não é fácil de encontrar, vejase o exemplo ilustrado na Figura 3.1, que é uma função contínua e diferenciável, como é possível perceber pela expressão (2). f 2 ( x, y) = 20 + x + y 10 ( cos( 2 π x) + cos( 2 π y) ) 2 (2)

27 Se a função for contínua e diferenciável do ponto de vista da optimização é muito mais fácil pois pode recorrer-se às suas derivadas para prever o seu andamento. As equações que governam o dimensionamento inicial de navios são muitas e com muitas dependências o que torna na prática, inviável encontrar as suas derivadas. Para fazer face a este tipo de problemas foram criados algoritmos de optimização que não necessitam da derivada da função ou funções objectivo. Figura 3.1 Função de Ratringin. (MATLAB) Para uma optimização com mais que um objectivo o problema deve ser definido da seguinte forma f * f1( x) f2( x) (3) = min x A M fi ( x) onde f i são as funções que definem os diferentes objectivos. A solução de um problema deste tipo, salvo raras excepções, é sempre dada por um conjunto de valores ao qual se chama parede de Pareto. Os pontos sobre a parede de Pareto caracterizam-se por terem a mesma qualidade enquanto solução do problema. Como todos os pontos têm a mesma qualidade relativa é necessário definir uma forma de escolher o melhor. A escolha do ponto óptimo é feita através de métodos de apoio á decisão (MADM). O conjunto de todas as soluções exequíveis denomina-se hiperespaço de soluções e no caso do projecto preliminar de navios são conjuntos de grandes dimensões. Neste sentido é difícil resolver o problema sem o limitar, isto é, impor restrições ao hiperespaço de soluções, para o reduzir e tornar o problema mais simples. A redução do espaço de trabalho é fundamental na optimização em geral e no problema abordado nesta tese, porque basta pensar nas economias de escala para perceber que quantos mais contentores o navio puder transportar, mais baixa será a taxa de frete. Por outro lado os custos aumentam com o crescimento das dimensões principais e se não existir um limite superior ou inferior, a optimização tenderá para infinito ou

28 zero. Construir um modelo que por si só se mantenha dentro do intervalo desejado é uma tarefa complicada, existe quase sempre a necessidade de o restringir. Existem vários tipos de restrições que se passam a descrever. As restrições podem ser distinguidas pelo tipo de variável a que são aplicadas: Contínuas Aplicam-se a variáveis que são contínuas e todos os métodos que suportam restrições são capazes de lidar com elas. Discretas Aplicam-se a variáveis discretas e só um grupo restrito de métodos permite trabalhar com este tipo de restrição, por exemplo os algoritmos evolucionários. Booleanas Aplicam-se em casos muito específicos e poucos são os métodos que permitem lidar com este tipo de variável, por exemplo o particle swarm. As restrições podem ser também classificadas em equações e em inequações, sendo o caso mais comum as inequações. Utilizar uma equação como restrição é muito limitativo porque só permite a procura em R N-1, no caso de inequação restringe-se a procura a R N, em que N é o numero de variáveis de projecto. De um conjunto de inequações resulta um hiper-espaço de soluções de um conjunto de equações pode resultar, uma área, um ponto, ou nada. Uma outra classificação que pode ser atribuída às restrições é a de restrição violável ou não-violável Métodos de Optimização de Procura Directa Os métodos de procura directa (direct search) são conhecidos desde os anos 50 do século passado, no entanto durante a década de 70 foram bastante descredibilizados pela comunidade matemática porque apresentam convergências lentas e porque nem sempre é possível garantir a sua convergência, quando comparados com os métodos de gradiente. Os algoritmos de optimização por procura directa foram sempre muito populares entre os engenheiros e os cientistas porque não necessitam de informação sobre o gradiente da função objectivo. A generalidade deste tipo métodos apresentam uma dificuldade que pode não ser de solução simples, dependendo da quantidade e qualidade da informação disponível para o problema a resolver. Para que o método arranque é necessário dar pelo menos um ponto de partida e este têm que estar dentro do domínio da função a optimizar ou suficientemente perto para que entre no domínio logo na primeira iteração. Um outro ponto contra que é frequentemente apontado na literatura é o facto de estes métodos ficarem frequentemente presos em mínimos locais e não encontrarem os mínimos globais, por isso todos eles se inserem na denominação de optimizadores locais. Algumas técnicas foram desenvolvidas para ultrapassar estas duas adversidades e serão discutidas mais a frente neste capítulo. Na optimização, mais concretamente no dimensionamento inicial de navios, nem sempre é fácil definir a função objectivo, pois esta resulta de uma série de cálculos com naturezas múltiplas. Mais complicado ainda é definir a derivada da função objectivo, mesmo usando métodos de diferenças finitas, frequentemente utilizados para este tipo de problemas. Se a optimização é

29 multi-objectivo é necessário derivar a função objectivo pelo menos uma vez por cada objectivo. Como os métodos de procura local não necessitam de informação sobre o gradiente da função, faz com que estes se tornem a primeira opção para problemas de projecto, em todos os campos da engenharia. O princípio de todos os métodos deste género é o seguinte: 1. Introduzir um ponto inicial que pertença ao domínio da função objectivo. 2. A partir deste ponto o algoritmo calcula um determinado número de pontos da função em diferentes sentidos a uma determinada distância do ponto inicial (o número de pontos calculados e quais as direcções em que são calculados depende de método para método). 3. Os valores obtidos são comparados e podem acontecer uma de duas hipóteses ou o algoritmo passa a definir o ponto inicial como sendo um dos pontos calculados que apresentou menor valor da função objectivo ou a distância é alterada e repete-se a avaliação dos valores da função objectivo. 4. O critério de convergência do método é a redução da distância entre o ponto inicial, em cada iteração e os pontos que estão a ser avaliados, este valor é fornecido pelo utilizador. Na Figura 3.2 é possível observar o funcionamento de um algoritmo de procura directa, no caso é o algoritmo conhecido como compass search. Este exemplo ilustra bem quais são os princípios da procura directa. Na Figura 3.2 (a) pode ver-se o mínimo da função assinalado com uma estrela e o ponto inicial, o método em questão avalia quatro pontos, nos sentidos Norte, Sul, Leste e Oeste. A Figura 3.2 (b) é a segunda iteração, as linhas a cinzento representam pontos com a mesma cota e como o ponto que tem menor cota é o de Norte, o ponto inicial é substituído por este. O mesmo processo é repetido na Figura 3.2 (c), mas desta vez para Leste e na quarta iteração (Figura 3.2 (d)) volta a deslocar o ponto inicial para Norte. Na Figura 3.2 (e) pode perceber-se que a distância entre os pontos avaliados e o ponto inicial é grande demais para poder encontrar um ponto com menor cota, assim o que acontece é que esta distância é diminuída até se encontrar um ponto com menor cota. Finalmente a Figura 3.2 (f) o ponto óptimo é encontrado, a redução da distância entre o ponto inicial e os pontos avaliados reduz-se até ser menor que o critério de convergência, o que faz com que a optimização termine

30 (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 3.2 Ilustração do funcionamento de um método de procura directa, compass search. (Kolda et al,2003) Como se referiu no início deste capítulo estes métodos sofrem de dois problemas. O primeiro problema que é apontado é a falta de celeridade na convergência e este é um problema real, principalmente se não se tiver noção do valor do passo que deve ser atribuído. Se o passo do algoritmo não for aceitável podem acontecer duas coisas; ou o passo é muito grande e os pontos a ser analisados ficam todos fora do domínio da função e o algoritmo não arranca, ou é muito pequeno o algoritmo precisa de muitas iterações para conseguir convergir. O comprimento do passo e o ponto inicial são dois factores importantes na convergência ou na divergência do método para o mínimo global. Recorde-se a Figura 3.1, em que existem vários mínimos locais, só existirá uma convergência para o mínimo global, se a primeira iteração colocar o novo ponto inicial dentro do cone que dá origem a esse mínimo, caso contrario o método encontrará outro cone por onde descer e ficará preso nesse mínimo local. Existem dois tipos de solução para este tipo de problema: a primeira, é utilizar um outro algoritmo de optimização (algoritmos genéticos, particle swarm, etc) com um critério de convergência largo (que aumenta a celeridade dos algoritmos evolucionários que são considerados lentos) para rastrear a função e definir zonas onde se pode encontrar o mínimo global e utilizar pontos pertencentes a essas zonas como ponto inicial; a segunda, é tentar dispersar pontos pela função para garantir uma boa cobertura de todo o domínio, aqui o comprimento do passo assume um papel importante, pois dependo do seu valor assegura-se uma cobertura completa da função. A última solução é muitas vezes complementada com a procura tabu (tabu search) que evita perdas de tempo desnecessárias com mínimos que já foram encontrados. A procura tabu consiste em armazenar o caminho percorrido para encontrar cada mínimo encontrado

31 Assim sempre que o algoritmo volta a entrar nesse caminho, o ponto em questão é ignorado e recomeça com outro ponto. As duas soluções devolvem vários mínimos que posteriormente têm que ser comparados para se encontrar o mínimo global. O segundo problema é que os métodos de procura directa não permitem a optimização multiobjectivo, pelo menos de modo explícito como os algoritmos evolucionários. A solução passa pela utilização de métodos de apoio á decisão sobre os objectivos, vulgarmente conhecidos como MODM (Multi Objective Decision Making) que actuam da mesma forma que os métodos de MADM (Multi Attribute Decision Making), mas sobre os objectivos, ou seja, antes da optimização começar e não no fim Método de Hooke-Jeeves O método introduzido por Hooke & Jeeves data de 1961 e desde então tem tido várias aplicações como motor de optimização de vários problemas, não sendo excepção a área da engenharia naval (Ray et al, 1995 ; Wolf et al, 2004). O método original não contemplava a utilização de restrições e não permitia a utilização em funções discretas. Naturalmente estes problemas foram ultrapassados e hoje em dia existem variantes do algoritmo que permitem resolver quase todo o tipo de problemas. O método de Hooke-Jeeves, também conhecido por procura em padrão, é descrito na literatura (Hooke & Jeeves, 1961) como tendo dois movimentos: Movimento Exploratório Ao ponto base é acrescentado e retirado um incremento (passo) em cada uma das variáveis e esses pseudo-movimentos são avaliados na função objectivo. O valor que melhor satisfaz o objectivo é guardado e passa para a variável seguinte. Se não existir um ponto melhor que o ponto base considerado, o passo é diminuído e são novamente avaliadas todas as direcções. Movimento Padrão Sempre que é encontrado um ponto melhor que o ponto base anterior, esse passa a ser considerado o ponto base, a direcção e a distância entre os dois pontos definem o novo padrão de busca. O método recorre a dois parâmetros (ρ e ξ) que permitem controlar um dos critérios de paragem. O ρ é o valor pelo qual o método multiplica o passo sempre que não encontra uma solução melhor que a actual. Este parâmetro tem que se encontrar no intervalo ]0;1[ e, quanto mais próximo estiver de 1, mais minuciosa é a procura, pois as alterações no passo são pequenas, o que implica uma solução mais demorada. À medida que se caminha para o outro extremo do intervalo o passo diminui mais rapidamente e a procura torna-se mais rápida. O ξ é o valor mínimo do passo que se pretende avaliar - um valor alto permite uma solução mais rápida e um valor baixo uma solução mais demorada. Através deste dois valores pode-se controlar a qualidade e celeridade da solução, bem como a quantidade de iterações do método uma vez que por cada iteração, ρ é multiplicado por si próprio até ser menor que ξ e o algoritmo pára e devolve a melhor solução encontrada. O outro critério de paragem do método é o número máximo de iterações admissível, que só é utilizado quando o algoritmo está sempre a

32 encontrar soluções melhores e não reduz o passo, o que pode ser sinal de que a função não tem mínimo. Acontece por exemplo no caso de tentar encontrar o valor mínimo de uma parábola de sinal negativo (-), o algoritmo a cada iteração vai encontrar um valor mais baixo e só pára quando atingir o número máximo de iterações. Este valor deve ser alto, para permitir que a procura acabe por diminuição do passo e não por exceder o número máximo de iterações Método de Rosembrock O método de Rosenbrock foi apresentado pela primeira vez em 1960, pelo autor com o mesmo nome e baseia-se nos métodos descendentes. Este método pretende encontrar a direcção mais vantajosa para prosseguir a procura e o comprimento do passo mais eficaz, contudo não se recorre a informação sobre a derivada da função objectivo. Enquanto no método de Hooke-Jeeves o passo é imposto pelo utilizador, neste método o passo é calculado automaticamente. O processo para encontrar o passo é o seguinte: atribuise um valor aleatório ao passo e conforme o valor da função nesse ponto seja favorável ou não, o passo é multiplicado por um factor α ou β, respectivamente. O processo é repetido até encontrar o valor máximo que é possível percorrer em determinada direcção e em que o valor da função objectivo diminui. O movimento anterior é denominado trial. O factor α > 1 e 0 < β < 1. Este processo optimiza o passo, ou seja, permite dar o maior passo numa direcção e evita repetidas mudanças de direcção. Este processo é exemplificado na Figura 3.3 pelos trial 10, 11 e 13. A direcção que o método deve seguir é calculada recorrendo aos valores obtidos da função para um passo de cada variável, sempre que um passo é dado chama-se stage. Seja ξ 0 n o vector normal a cada uma das variáveis no stage 0 que na Figura 3.3 se prolonga do trial 0 ate ao 13. Para o stage 1 as novas direcções são calculadas segundo os processos seguintes A = ξ (4) k d i 0 i B k 1 k = Ak j = ( A ξ ) ξ k j j (5) B 1 k ξ i = (6) Bk em que d i é a distância entre os pontos inicial e final de cada stage na direcção i e ξ 1 i o novo vector ortogonal para a direcção i. No caso da Figura 3.3 o algoritmo só muda o sentido dos vectores ortogonais no trial 13, depois volta a mudar no 17, 18 e 19. Podem observar-se alguns pontos dispersos no gráfico como por exemplo a iteração 14 que resulta de uma tentativa de continuar com o mesmo comprimento do passo, a distância entre a iteração 10 e a 13. Neste caso, como não encontrou nenhum ponto que permitisse continuar com as direcções definidas no stage 0, a direcção muda

33 Figura 3.3 Exemplo gráfico do método de Rosenbrock. Com este processo pretende-se que sempre que haja uma mudança de direcção, esta seja redefinida apontando para o centro dos contornos. Entendem-se por contornos as curvas sobre as quais a função objectivo tem o mesmo valor. Este é um método que converge sempre, ao contrário de muitos outros do mesmo género que podem eventualmente não convergir Método de Nelder-Mead O método foi introduzido em 1965 pelos autores com o mesmo nome, contudo também recebe frequentemente os nomes de downhill simplex ou amoeba. A ideia básica do método é enquadrar a função num poliedro de n+1 vértices, em que n é o número de variáveis e através dos valores que a função obtêm nesses vértices, contrai ou expande o poliedro. O nome simplex deve-se à denominação adoptada pelos autores para o poliedro e o mesmo acontecerá daqui em diante. Como foi referido no parágrafo anterior o método necessita de um número de pontos iniciais igual ao número de variáveis mais um. Esses pontos formam o simplex (Nelder & Mead, 1965) e são avaliados na função, sejam os valores da função para cada ponto f k, em que k varia de 1 até n+1. Segue-se um exemplo de uma iteração típica do método com os seus quatro operadores (Mathews & Fink, 2004). 1. Ordenação São ordenados todos os pontos do simplex pelo seu valor da função f(x i ). 2. Reflexão Projecta-se o pior ponto (n+1) segundo a equação (7) em que x é a média das coordenadas do ponto 1 ao n e ρ é o factor de reflexão e deve ser maior que 1. O ponto é avaliado e caso f r se encontre entre f 1 e f n é aceite e a iteração termina, voltando ao ponto 1. ( x xn+ 1) = ( 1 + ρ) x ρ x + 1 xr = x + ρ (7) n

34 3. Expansão Expande-se o simplex segundo a equação (8) este operador só é utilizado se f r for menor que f 1. χ é o factor de expansão que tem que ser maior que 1 e maior que ρ. Se f(x e ) for menor que x 1 passa para o ponto 1. ( xr x) = x + χ ρ ( x xn+ 1) = ( 1 + ρ χ ) x ρ χ x + 1 xe = x + χ (8) n 4. Contracção Contrai-se o simplex, pode ser para dentro ou para fora dependendo o valor de f r encontrado na expansão. Se f r se encontrar entre f n e f n+1 a contracção é para fora e utiliza-se a equação (9), se for maior que f n+1 é para dentro e dá-se segundo a equação (10). γ é o factor de contracção que se deve situar entre 0 e 1. ( xr x) = x + γ ρ ( x xn+ 1) = ( 1 + ρ γ ) x ρ γ x + 1 xc = x + γ (9) n x cc ( x xn+ 1) = x + γ ( x xn+ 1) = ( 1 γ ) x γ x + 1 = x + γ (10) n 5. Encurtamento Reduz a dimensão do simplex em todas as coordenadas menos a melhor segundo factor σ. Este deve encontrar-se entre 0 e 1 e é utilizado conforme mostra a equação (11), v i são agora os novos pontos do simplex e passa para o ponto 1. ( x ) v = x + σ (11) i 1 i x 1 Na Figura 3.4 são apresentados todos os movimento acima descritos para um exemplo em duas dimensões em que o simplex se representa por um triângulo. Figura 3.4 Movimentos do algortimo Nelder-Mead. Segundo Lagarias et al (1998) os valores padrão para ρ, χ, γ e σ são 1, 2, 0.5 e 0.5, respectivamente e são por isso os utilizados neste trabalho. A convergência do método é um assunto discutido Lagarias et al (1998) em que se afirma que o método converge para um determinado número de funções em uma e duas dimensões. McKinnon (1998) mostra que o método falha a convergência ou converge para um não mínimo, em diferentes problemas. Apesar de toda a controvérsia gerada em torno da convergência, este algoritmo tem sido utilizado em variadíssimas aplicações e faz prova disso o que está escrito em Byatt et al (2003) O algoritmo de Nelder-Mead tem gozado de uma popularidade crescente. È de todos os

35 métodos de procura directa o que mais aparece em software de optimização. O método não permite optimizações multi-objectivos, nem suporta restrições Funções externas de restrições As funções externas de restrições é a forma encontrada para introduzir as restrições em métodos que não as permitem, principalmente nos apresentados na secção 3.1. A inclusão de restrições nos problemas de dimensionamento inicial de navios é fundamental para que o modelo de cálculo expresse os requisitos e as necessidades impostos pelos projectistas, bem como os limites das variáveis de projecto. Estas podem ser utilizadas como restrições violáveis ou não violáveis dependendo do seu significado físico e da vontade do utilizador. Os conceitos de restrições violável ou não-violáveis são importante porque estes permitem ou não ao algoritmo de optimização expandir a procura para áreas diferentes das que se pensou no inicio. Uma restrição não-violável é a mais utilizada e impõem ao modelo que não ultrapasse o valor estipulado, um bom exemplo é o calado de um porto ou a boca de um canal, por muito que o projectista e o algoritmo optimizador percebam que mais 20 cm de calado é o ideal, se o navio tem que tocar esse porto é impossível permitir o aumento. As restrições não-violáveis permitem ao modelo que este ultrapasse a fronteira idealizada para o modelo de cálculo, com penalizações para a função objectivo. No caso de não existirem limitações físicas ou de outra natureza, como as exemplificadas anteriormente, este é o tipo de restrição que deve ser utilizado, porque se a função objectivo for correctamente penalizada o algoritmo não tenderá a sair do hiperespaço de soluções idealizado a menos que a solução fora do hiperespaço seja muito mais favorável. Para utilizar este tipo de restrição é necessário conhecer bem o problema para conseguir penalizar a função objectivo de uma forma racional. A título de exemplo pensese no seguinte caso, o comprimento do navio, que não tem qualquer limitação física, é pensado para não exceder os 150 m. Se for utilizado uma restrição não violável, o comprimento do navio nunca ultrapassará este valor e se a tendência encontrada pelo algoritmo para melhorar a função objectivo for aumentar o comprimento, este será no limite 150 m. A utilização de restrições violáveis permite ultrapassar este valor e permite-o da seguinte forma LPP 150 Penalização = Pen (12) 150 em que L PP é o comprimento do navio que está a ser avaliado, Pen a penalização atribuída por esta restrição ser ultrapassada e Penalização a penalização a ser somada á função objectivo por o limite ter sido ultrapassado. Desta forma pode permitir-se que o algoritmo explore as regiões circundantes à idealizada sem prejuízo para a solução. O valor de Pen deve ser muito bem escolhido para permitir os desvios, um valor muito alto torna esta restrição numa não violável

36 Variáveis de projecto Optimizador Local Modelo de Calculo Atributos de cada solução Sem penalização Penalização Restrições Figura 3.5 Fluxograma ilustrativo das funções de restrições externas Na Figura 3.5 é apresentada a estrutura que deve ser utilizada para incluir a função externa de restrições num programa, em que os algoritmos optimização não permitam restrições. A combinação de variáveis de projecto gerada pelo algoritmo optimizador pode ou não ser penalizada. O que se pretende de uma função de restrições externas é que esta indique ao algoritmo qual a zona em que este deve trabalhar, para tal foi criado o sistema ilustrado na Figura 3.6. Como se pode observar as restrições criam um funil para obrigar o algoritmo a gerar combinações no hiperespaço desejado. O valor de a foi identificado na equação (12) por Pen, b pode ou não existir. Caso a combinação de variáveis de projecto gerada pelo navio se encontre fora do hiperespaço desejado, a solução vai receber uma penalização dada por uma das rectas. Numa iteração seguinte quando o optimizador modificar um parâmetro, vai perceber que se tentar afastar-se mais, o valor da penalização aumenta, no entanto quanto mais de aproximar, menor será este valor. Assim a tendência será sempre de trazer as variáveis de projecto para o hiperespaço desejado, mesmo que o ponto inicial não se encontre dentro deste. Resolve também o problema que por vezes não é fácil de dar um ponto inicial que cumpra com as restrições, no entanto esta aproximação pode ter problemas, se a penalização não for suficiente grande, o algoritmo pode ficar preso num mínimo fora do hiperespaço desejado. Figura 3.6 Exemplo gráfico das funções de restrição externas

37 3.3. Métodos de Optimização de Algoritmos Evolucionários Os algoritmos evolucionários são métodos de optimização baseados na observação da natureza e que tentam reproduzir os comportamentos aí encontrados. Neste grupo incluem-se os algoritmos genéticos que são inspirados na evolução das espécies, a optimização por colónia de formigas que se baseiam na organização das formigas, o particle swarm optimization que se baseia no comportamento dos enxames ou bandos de pássaros e o sistema de imunidade artificial que se baseia na produção de anticorpos pela espinha dorsal do ser humano. O desenvolvimento e utilização destes algoritmos é recente e por isso são mais robusto que os algoritmos apresentados no capítulo 3.1, ou seja, suportam todo o tipo de restrições, variáveis, funções objectivo e podem optimizar o problema para vários objectivos ao mesmo tempo. Em comparação com os métodos expostos anteriormente, estes têm a desvantagem de requererem uma população inicial, da qual depende a qualidade da solução. Quando estes métodos são utilizados com mais que um objectivo a população inicial vai convergir para uma parede de Pareto. Se a população for de dimensões reduzidas a parede de Pareto pode não ser representada em toda a sua amplitude e podem perder-se soluções que são mais vantajosas do que as encontradas. Um outro problema é a convergência de todos os elementos para um ponto ou diversos pontos o que leva ao não aparecimento da parede, mas apenas de pontos isolados. Estes métodos não apresentam um padrão de funcionamento comum pelo que é necessário descrever os processo de cada um em separado Algoritmos Genéticos Os algoritmos genéticos são baseados na teoria de Darwin sobre o desenvolvimento das espécies, em que os indivíduos que estão melhor adaptados têm mais hipóteses de reprodução. A evolução genética das espécies é neste caso vista como um processo de optimização da adaptação destas ao meio ambiente onde vivem, basta pensar em casos de espécies que minguaram por existir falta de alimento ou as diferenças no tamanho do pêlo, de um habitat para o outro dentro da mesma espécie. A criação dos códigos, hoje apelidados algoritmos genéticos, pretende reproduzir o que a natureza levou centenas de anos a conseguir. É vantajoso introduzir alguma nomenclatura própria dos algoritmos genéticos: Genes São as características que serão optimizadas, que no caso do dimensionamento inicial do navio podem ser a boca, o comprimento, etc. Espécimes São formados por cadeias de genes, no caso em estudo são cada um dos navios. Usam-se recorrentemente em inglês as designações genotype e chromosome (Holland, 1975)

38 População inicial - O conjunto de pontos (espécimes) dentro do domínio da função objectivo. Gerações É um conjunto de espécimes que pertencem ao mesmo intervalo de tempo. Para ser possível utilizar os algoritmos genéticos como método de optimização é necessário ter uma população inicial. O valor que for obtido, através da função objectivo, para cada um dos espécimes que pertencem à população inicial, vai ser hierarquizado, dependendo da hierarquização, cada espécime terá maior ou menor probabilidade de se reproduzir. A geração seguinte vai ter exactamente o mesmo número de espécimes, pelo que a quantidade de espécimes (a dimensão) da população inicial tem uma grande importância na qualidade da solução e na rapidez de convergência do método. A influência na qualidade da solução só é relevante se a optimização for multi-objectivo porque o resultado desta é uma fronteira de resultados óptimos, a parede de Pareto. Assim, quantos mais elementos existirem na população inicial, mais hipóteses existem de encontrar toda a extensão dessa fronteira. Se a optimização for de objectivo único, só existe um ponto óptimo e todos os espécimes, demorando mais ou menos gerações, acabam por convergir para esse ponto. A rapidez com que o método converge está directamente ligada á população inicial uma vez que quanto mais espécimes existirem maior é a probabilidade de um deles estar perto da solução ou soluções óptimas. No entanto note-se que a rapidez com que o método converge não depende só da população inicial mas também de outros parâmetros que serão descritos mais à frente. A passagem de uma geração para a seguinte é conseguida através de três operadores, que até aqui têm sido apelidados de reprodução: Elitismo Operador que hierarquiza os elementos consoante o seu resultado (designado por fitness em Whitley, 1994) ou grau de adequação. A probabilidade de determinado espécime ser progenitor da geração seguinte pode ser calculada de várias formas, no entanto a mais usual é a razão entre o grau de adequação para cada espécime e o grau de adequação médio da geração. Considere-se f i o valor do grau de adequação de um espécime e f o valor médio. Se f i / f for por exemplo 2.67, isto quer dizer que o espécime vai ser pai duas vezes e tem 0.67 de probabilidade de ser pai uma terceira vez. Crossover É o operador que permite criar novos espécimes com base nos genes dos pais. Este operador basicamente troca uma parte da cadeia de genes de um espécime para o outro, dando origem a dois novos espécimes, tal como ilustrado na Figura 3.7. A quantidade de genes que são trocados é variável dependendo dos códigos. Figura 3.7 Exemplo de como funciona o operador crossover

39 Mutação - Este operador permite aos algoritmos genéticos desviarem-se dos padrões encontrados nos espécimes, pela alteração de um dos genes. Valores muito altos de probabilidade de mutação influenciam em muito a velocidade de convergência, uma vez que quase sempre a mutação leva os genes para posições distantes da óptima. Pensando, por exemplo num animal, este operador permite que aconteçam coisas como animais com cinco patas ou duas cabeças. A construção de uma nova geração segue a ordem pela qual são enumerados os operadores, isto é, primeiro os pais são ordenados pelo seu grau de adequação e são calculadas as respectivas probabilidades de serem progenitores da próxima geração. Com as probabilidades forma-se uma lista dos pais mais aptos, onde podem aparecer várias vezes o mesmo espécime, assim a probabilidade o dite. Depois dá-se a troca de genes entre os pais seleccionados aleatoriamente e finalmente aplica-se a mutação de genes. É este processo que repetido várias vezes acaba por fazer com que todos os espécimes convirjam para a fronteira óptima do problema. Devido ao modo como o elitismo funciona, um pai com um grau de adequação muito alto, tem muitos clones na lista de pais da geração seguinte o que faz com que muitos dos espécimes dessa gerações herdem os seus genes e portanto que se aproximem uns dos outros. Para encontrar toda a extensão da fronteira óptima é necessário recorrer a um operador, que penaliza os espécimes que se encontrem muito perto ou mesmo coincidentes com um já existente. Um ponto negativo apontado frequentemente aos algoritmos genéticos é que estes têm uma convergência muito lenta, ou seja, podem ter que passar muitas gerações até se encontrar a parede de Pareto. Como já foi dito, algumas opções podem acelerar ou atrasar a convergência e estas devem ser acauteladas para que as soluções não demorem mais tempo que o necessário. Em 2004, Wolf et al. apresentou tempos de computação para várias dimensões de populações iniciais e para diferentes taxas de mutação, dando assim uma perspectiva da influência de cada um destes parâmetros na rapidez da convergência. Os algoritmos genéticos têm sido amplamente utilizados para resolver problemas nas mais variadas áreas devido à sua simplicidade de utilização, robustez e por suportarem todo o tipo de variáveis e restrições Crowding Distance Como já foi referido, um dos problemas comuns aos algoritmos genéticos é a aglomeração de todas as soluções numa determinada zona da parede de Pareto o que não permite que esta seja identificada em toda a sua extensão. A forma de ultrapassar este problema no código utilizado é denominada crowding distance e basicamente obriga a que as partículas se afastem umas das outras. Para as m funções objectivo, as soluções são ordenadas pelo valor obtido em cada função objectivo e o valor de crowding distance é a média entre a partícula anterior e a posterior, o que cria um paralelepípedo em torno de uma solução i. Este método faz com que as soluções que estejam entre as soluções i, i-1 e i+1 sejam consideradas dominadas e por

40 isso obrigam o algoritmo a procurar novas soluções noutras zonas da parede de Pareto, conseguindo-se assim uma melhor definição desta. A Figura 3.8 apresenta graficamente o que acontece com a implementação do crowding distance. Figura 3.8 Crowding distance. (Raquel & Naval, 2005) Particle Swarm Optimization O Particle Swarm Optimization (PSO) é muitas vezes descrito como um método baseado no comportamento de bandos de pássaros que procuram comida. Se um bando de pássaros, por exemplo gaivotas andam á procura de comida e uma delas encontra comida, esta alerta as outras que se dirigem para a sua localização. Neste trajecto, se uma outra gaivota encontra comida, o alerta volta a ser dado e todo o bando redirecciona o seu voo para o último sinal. Esta é a ideia base do algoritmo que se descreve de seguida com mais detalhe. O método consiste em espalhar uma população ou bando de partículas sobre o hiperespaço de soluções e recolher os valores que cada ponto tem na função objectivo. Cada partícula tem memória própria, ou seja, guarda para si a melhor posição em que já esteve e o bando tem uma memória colectiva onde é arquivada a melhor posição em que uma partícula já esteve. Além disso, as partículas têm velocidade e esta depende da sua experiência (pontos da função objectivo já visitados) e da experiência do bando. O processo de procura é descrito em Pinto & Campana (2007) da seguinte forma: 1. Distribuem-se as partículas aleatoriamente pelo domínio da função objectivo com velocidades também aleatórias (n=0). 2. Para cada partícula do bando avalia-se o valor da função objectivo. O menor valor encontrado e a sua posição são armazenados em p n b na memória do bando, a melhor posição de cada partícula é guardada em p n i na sua memória (n=n+1). 3. A velocidade de cada partícula é então calculada através da equação (13) em que w representa um termo de inércia, c 1 e c 2 são constantes positivas que interferem com a convergência do método, r 1 e r 2 são termos aleatórios entre 0 e 1, t o intervalo de tempo entre cada iteração e x i a posição actual da partícula

41 v n n = w vi + c r n n n n ( p x ) n ( p x ) t + c r n+ 1 n i i i b t i (13) 4. Actualiza a posição da partícula, x i, com o vector posição e velocidade x = x + v n+ 1 n n+ 1 i i i t (14) 5. Verifica se o critério de convergência já foi atingido, caso contrário volta ao ponto 2. Em Pinto et al. (2007) encontram-se algumas alterações ao código que se consideram úteis, eliminar os coeficientes r 1 e r 2 o que faz com que o código perca o carácter aleatório e que torna a sua convergência mais rápida. Por norma adopta-se o valor 1 para os intervalos de tempo. O código original só permitia optimizações com um objectivo mas a evolução levou a que fossem concebidos códigos que permitem ultrapassar esta limitação, nomeadamente o proposto por Coello & Lechuga (2002) e utilizado nesta tese. Raquel & Naval (2005) implementam no código de redistribuição da parede de Pareto apresentado na secção A mutação foi incluída neste código para evitar uma convergência precoce numa parede de Pareto local. O que aqui se refere como mutação é o mesmo que o operador mutação na descrição dos algoritmos genéticos. A escolha da melhor solução ou partícula que dá orientação ao conjunto para se movimentar e a que velocidade o deve fazer (p b n) é escolhida em função da crowding distance, a que tiver maior é a melhor obrigando a outras soluções a aproximarem-se dela e assim diminuir esse valor. Se o arquivo de partículas não dominadas estiver cheio, a solução que deve sair é a que tiver menor crowding distance, porque é essa zona da parede de Pareto que está melhor representada Sistema Imunitário Artificial O sistema imunitário artificial é baseado no sistema imunitário do ser humano. O corpo humano sempre que detecta um corpo estranho no organismo, gera anti-corpos para o eliminarem. Os anti-corpos quando são gerados vão sofrendo mutações para que possam melhorar o seu desempenho. Se os anti-corpos tiverem grande afinidade com o corpo estranho o nível de mutações é baixo, se pelo contrário não existir afinidade com corpo estranho as taxas de mutação são altas para tentar encontrar os anti-corpos certos. Quando o corpo estranho é eliminado a maior parte dos anticorpos criados são eliminados e os que se mantêm é para poderem reconhecer o corpo estranho se ele reaparecer e dar origem a mais anticorpos, ao segundo encontro chama-se resposta secundária (secondary response). Em Coello & Cortez (2002) o código é exaustivamente descrito, pelo aqui se apresentará uma breve descrição do algoritmo. 1. Gera a população inicial espacialmente dispersa pelos limites de cada variável

42 2. Avalia todos os elementos nas funções objectivo e escolhe os melhores anticorpos para serem colonizados. Se o problema tiver restrições só serão colonizados os anticorpos não dominados, caso não exista nenhum então são todos os não dominados. 3. Passa os anticorpos seleccionados para a memória secundária. 4. Define-se a quantidade de clones de cada anticorpo. Todos os anticorpos devem ter o mesmo número de clones e o número de clones não devem ultrapassar 60% da população inicial. 5. Aplica-se a mutação aos clones, pelo menos uma mutação para evitar clones iguais. 6. Os novos anticorpos que não são dominados acrescentam-se a memória secundária. 7. Repete-se os passos entre 2 e 6 até o número de iterações ser atingido Métodos de Apoio à Decisão A ferramenta que aqui se introduz é das mais importantes para a optimização no projecto, porque torna possível escolher automaticamente a melhor solução. Uma optimização multiobjectivo pura, com um algoritmo que está pensado para optimizar mais que um objectivo de cada vez, devolve sempre um conjunto de pontos a que se chama parede de Pareto. A escolha da melhor solução sobre a parede de Pareto pode tornar-se subjectiva, pois todas as soluções que ali se encontram são igualmente boas. A dificuldade na escolha da melhor solução abre espaço à criação de métodos de apoio à decisão que permitem, dependendo dos critérios que utilizados, seleccionar a melhor solução. A optimização multi-objectivo não pura é efectuada com métodos que são criados para um único objectivo, mas que através de diferentes pesos para cada objectivo acabam por permitir mais que um. A grande diferença entre estes dois tipos de optimização é que o segundo não produz uma parede de Pareto, só devolve um resultado e por isso não há necessidade de análise dos resultados. Apesar de ser possível gerar paredes de Pareto com estes métodos como descrito em Parsons & Scott (2004). Os métodos de apoio à decisão são divididos em dois grandes grupos, os que trabalham sobre os objectivos e os que trabalham sobre os atributos. Os objectivos são o alvo da optimização. Os atributos são os valores da função ou funções objectivo para cada solução encontrada. Para escolher uma solução da parede de Pareto existem diferentes abordagens, a que é utilizada neste trabalho é a TOPSIS que basicamente permite escolher a solução que mais se aproxima da ideal e que mais se afasta da pior. A introdução do métodos de objectivos ponderados nos final dos anos 50 do século passado permitiu utilizar algoritmos que não são multi-objectivos de raiz, para efectuar optimizações com mais que um objectivo. Estes não carecem de resultados para definir os pesos que cada objectivo deve ter, mas da opinião do utilizador sobre as relações entre os objectivos. Devido a dependerem única e exclusivamente da opinião do utilizador ou utilizadores aparecem mais

43 recentemente os métodos fuzzy (Ölcer, 2008), que trabalham com várias opiniões, dadas de formas diferentes. Estes métodos permitem saber quais os pesos que cada objectivo deve ter antes de se processar à optimização, por isso é possível criar uma função objectivo com os diferentes objectivos e multiplicar cada objectivo pelo seu peso. Com estes métodos também é possível fazer uma análise das paredes de Pareto e escolher a solução óptima, mas os resultados obtidos pelo algoritmo em nada influenciam essa decisão. Como os métodos de objectivos ponderados não são influenciados pelos resultados e em muitos casos os resultados podem influenciar em muito a solução óptima, foi criado o aqui denominado método de entropia. Este só pode ser utilizado sobre os resultados e tem como principal característica perceber se um atributo é mais difícil de atingir que outro e assim definir diferentes ponderações para cada objectivo. A dificuldade ou não de atingir um atributo é dada pela dispersão de valores do mesmo nas soluções, ou seja, se os valores forem semelhantes para todas as soluções este é considerado um atributo fácil e por isso tem uma ponderação menor na escolha da solução óptima. Pelo contrário se o atributo tiver valores muito díspares então é considerado difícil de alcançar e terá uma ponderação maior. Por exemplo se o objectivo custo do transporte da carga for igual para todos os navios na parede de Pareto estes métodos retiram-lhe toda a importância e redistribuem-na pelos outros objectivos. De acordo com Ray & Sha (1994) existem 4 métodos que permitem escolher numericamente soluções sobre os resultados de optimizações, que são o método dos mínimos quadrados ponderados, o método dos vectores próprios, o método da entropia e o de linmap. Os dois primeiros enquadram-se nos métodos de objectivos ponderados, o que quer dizer que podem também ser utilizados sobre os objectivos. Os dois métodos revelam resultados muito idênticos, apesar de os processos serem distintos, pelo que se optou por só apresentar um, o método dos vectores próprios Metodologia TOPSIS O modelo TOPSIS (Technique for Order Performance by Similarity to Ideal Solution) é um modelo que trabalha sobre atributos e como tal só pode ser utilizados em cima dos resultados de optimizadores multi-objectivos puros. O conceito por trás deste método é afastar-se o mais possível da pior solução e aproximar-se da melhor. O método carece da matriz de resultados MR em que os índices j (j=1, 2, n) se referem às soluções e os índices i (i=1, 2, n) aos atributos. R11 R21 MR = M Rn1 R R R M n2 L L M L R1 m R 2m M Rnm A matriz deve ser adimensionalizada pela soma das suas colunas para que os elementos assumam importâncias iguais. A matriz normalizada deve ser multiplicada pelo peso que se (15)

44 pretende dar a cada atributo, conforme a equação (16), em que r ij são os elementos da matriz adimensionalizada, w i o peso de cada atributo e v ij os elementos da nova matriz. v ij = w r (16) Com a matriz adimensionalizada e já com os pesos multiplicados pode definir-se a pior e a melhor solução de cada atributo, naturalmente este processo é feito escolhendo o máximo e mínimo de cada coluna. Se a optimização for para encontrar um máximo de uma função, os papéis descritos para o máximo e para o mínimo invertem-se. A distância euclidiana da solução j á pior solução de todas é dada por j ij + 2 ( v v ) 1 2 n + d = (17) j ij i i= 1 onde v i + é o valor da pior solução para cada um dos atributos, ou seja, o máximo encontrado na coluna desse atributo. Na equação seguinte v i - representa o melhor valor, ou seja, o mínimo da coluna. 2 ( v v ) Assim a distância de cada solução ao melhor valor é dada por 1 2 n d = (18) j ij i i= 1 j j d C j = (19) d + d em que as soluções que obtiverem um C j mais perto de 1 são as melhores. A questão da determinação dos pesos para utilizar na equação (16) é explicada nas secções seguintes, em que, qualquer dos métodos apresentados pode ser utilizado para esse fim. + j Função de Objectivos Ponderados A Função de Objectivos Ponderados (FOP) é forma de tornar possíveis optimizações multiobjectivos com métodos de procura directa. O processo é simples, deve-se fazer uma optimização para cada um dos objectivos que se pretendem contemplados na optimização para encontrar o mínimo ou máximo. O vector de pesos pode ser definido das formas apresentadas nas secções e A forma geral da função é a apresentada na equação (20) n f F( f ( x ) = w f k = 1 k k 0 k em que w k é o peso do objectivo k, f k 0 (x) é o mínimo (máximo) encontrado por uma optimização de objectivo único e f k (x) o valor da solução para esse objectivo. Esta função deve tender para 1 por valores inferiores, note-se que se a solução avaliada obtiver para cada objectivo um valor igual ao mínimo o resultado é 1 independentemente dos pesos aplicados a cada objectivo. ( x) ( x) (20) Método dos Vectores Próprios O método dos vectores próprios é um caso particular dos métodos por objectivos ponderados. Como foi referido atrás estes métodos baseiam-se na opinião de especialistas sobre a

45 importância relativa de cada parâmetro em avaliação face aos outros, o que permite encontrar os pesos a atribuir a cada objectivo ou atributo. Como este método pode ser aplicado aos objectivos e aos atributos, de ora avante será sempre utilizada a palavra objectivo para definir ambos os casos. Utilizar este método implica construir uma matriz de nxn dimensões em que n é o número de objectivos que se pretende optimizar, que são distribuídos pelas colunas e pelas linhas seguindo a mesma ordem, como apresentado na equação (21). Desta forma cada elemento A ij da matriz representa uma comparação entre o objectivo i e o objectivo j. A diagonal da matriz é preenchida com 1 porque representa a importância relativa desse objectivo face a ele mesmo. O1 O1 1 O2 A = A21 M M On An 1 O A 12 1 M A 2 n2 L L L M L On A1 n A 2n M 1 A importância de um objectivo i face ao j é o inverso do j face ao i por isso A ij = 1/A ji. A escala a aplicar para comparar os objectivos vai de 1 a 9 em que 9 é muito mais importante (Ray & Sha 1995). Este processo é comum aos dois métodos deste tipo referenciados e a partir daqui divergem, uma vez que o método dos vectores próprios, sugere que se calculem os vectores próprios da matriz através dos processos de cálculo normais. Os vectores próprios da matriz, construídos com o valor próprio dominante são os pesos que devem ser utilizados. O método dos mínimos quadrados ponderados tenta encontrar o mínimo da função n n ( Aij wj wi ) i= 1 j = 1 (21) 2 F( w) = (22) Para mais informação sobre o método ver Ray & Sha (1994, 1995). Apesar das abordagens diferentes os resultados práticos são muito idênticos Método da Entropia A entropia é uma grandeza termodinâmica que mede a quantidade de energia que não pode ser convertida em trabalho ou mais comummente é o grau de desordem do sistema. Por analogia este método pretende medir a entropia que o conjunto de soluções tem e através desse grau penalizar os objectivos menos caóticos e beneficiar os mais. Se o algoritmo optimizador chegar com alguma facilidade a um dos atributos, grande parte do conjunto de soluções obtêm um valor parecido para um dos atributos e esse deixa portanto de ser importante. Por exemplo, na decisão de comprar um carro, se todos os carros tiverem o mesmo preço então o preço deixa de estar em equação. Para definir a entropia do modelo é necessário a matriz de resultados MR (equação (15)) em que as linhas representam as soluções e as colunas os atributos. Cada elemento da matriz MR deve ser dividido pela soma da respectiva coluna e obtêm-se uma matriz p em que os valores estão normalizados pela sua soma. Para calcular a entropia do conjunto para cada atributo a j (j=1, 2, m) utiliza-se a fórmula

46 o grau de divergência do conjunto é dado por n e = 1 j pij ln p (23) ij ln n d i= 1 = 1 (24) j e j assim o peso que cada atributo deve ter na solução é dado pela normalização da divergência j j = m w d d k k = 1 sua (25)

47 4. Avaliação dos Algoritmos Os optimizadores utilizados nesta tese estão todos disponíveis na internet com licenças GNU. Para validar os algoritmos de optimização comparam-se os resultados com os de Parsons & Scott (2004), Xuebin (2009) e Hart & Vlahopoulos (2009). Nos três artigos são testadas 6 formas de optimização diferentes, de objectivo único e multi-objectivo. Como existem resultados multi-objectivos é possível comparar as paredes de Pareto e validar os métodos de MADM Comparação dos Algoritmos de Optimização O modelo utilizado nestes artigos foi apresentado a primeira vez por Sen & Yang (1998) e foi tambem utilizado no artigo Hiroyasu et al (2002) segundo Xuebin (2009). O modelo foi concebido para navios graneleiros e é relativamente simples, são cerca de 30 equações com 14 restrições e 3 objectivos. Neste modelo já foram testados os seguintes métodos multiobjectivos o Multi Island Genetic Algorithm (MIGA) Hiroyasu et al (2002), Conjugated Gradient Algorithm (CGA) em Parsons & Scott (2004), a Sequential Quadratic Programming (SQP) em Xuebin (2009), em Hart & Vlahopoulos (2009) são feitas comparações entre as soluções obtidas pelo Microsoft Excel, PSO e fmincom() que é um função do software MATLAB. A primeira comparação que se apresenta é entre os resultados obtidos para um objectivo. Os algoritmos de optimização local, têm dificuldade em ultrapassar limites locais pelo que para realizar uma optimização global é necessário utilizar uma das duas estratégias mencionada na secção 3.1. Optou-se por utilizar a geração aleatória de pontos, dentro dos limites de optimização. Para cada algoritmo são gerados 500 pontos dentro ou fora do domínio, aleatoriamente, o gerador de números aleatórios é baseado no tempo do processador para tentar evitar vícios. Para cada algoritmo foram efectuados 10 testes de 500 pontos e para as tabelas apresentadas abaixo foram escolhidas as melhores soluções de cada algoritmo. Para utilizar o algoritmo de Hooke-Jeeves são necessários três parâmetros, ρ, ξ e o máximo de iterações, para esta optimização foram utilizados os valores 0.9, e 100, respectivamente. O método de Rosenbrock necessita de dois parâmetros, ξ e máximo de iterações, para os quais se usou e 100. O método de Nelder-Mead necessita de ξ que se utilizou o mesmo valor apresentado anteriormente e sete pontos, que são os apresentados na Tabela 4.1. L [m] B [m] D [m] T [m] Cb V [kn] Máximos Ponto Ponto Ponto Ponto Ponto Ponto Tabela 4.1 Pontos de inicio para o método de Nelder-Mead

48 Do ponto 1 ao ponto 4 as variáveis correspondem a uma solução do problema, os pontos 5 e 6 são os extremos de validade do modelo e por isso não são soluções do problema. Decidiu-se dar dois pontos com as coordenadas dos extremos para servirem de referência ao algoritmo. O ponto 7 é gerado da mesma forma que são os pontos iniciais para os outros algoritmos. As optimizações que se apresentam de seguida com algoritmos locais foram todas efectuadas com os parâmetros adimensionalizados, pelos seus valores máximos. Para a minimização do custo de transporte da carga os resultados obtido são os seguintes, Método SQP Rosenbrock Hooke Nelder CC [ /t] PL [t] CA [t] L [m] B [m] D [m] T [m] Cb V [kn] DWT [t] Pveio [kw] Tp (s) Tabela 4.2 Comparação dos resultados obtidos para o custo de transporte - AL. Como é possível observar na Tabela 4.2, os algoritmos Nelder-Mead consegue encontrar o mesmo valor que o método apresentado no artigo com que se compara. No entanto este método tem o tempo de computação mais elevado de todos. Como não são apresentadas mais casas decimais no artigo não se pode afirmar qual o mínimo global, uma vez que dando os dados iniciais apresentados no artigo o valor devolvido é 7.973, a diferença deve-se aos erros provocados pelos arredondamentos. O método de Hooke-Jeeves fica muito próximo do mínimo encontrado com o método anterior. O método de Rosenbrock fica aquém dos resultados apresentados pelos outros métodos, contudo este método tem a vantagem de convergir sempre e de ser o mais rápido que os outros dois. Método SQP Rosenbrock Hooke Nelder CC [ /t] PL [t] CA [t] L [m] B [m] D [m] T [m] Cb V [kn] DWT [t] Pveio [kw] Tp (s) Tabela 4.3 Comparação dos resultados obtidos para a minimização do peso leve - AL

49 Nos resultados apresentados todos os algoritmos utilizados ficam aquém do mínimo global, no entanto essa diferença não é grande, cerca de 1%. Sabe-se que estes métodos para funcionarem bem precisam de receber um ponto próximo do mínimo, porque senão acabam por ficar presos em mínimos locais. Como este mínimo local se encontra muito perto dos limites inferiores de cada parâmetro e os valores são gerados automaticamente, pode acontecer que nenhum ponto tenha sido gerado suficientemente perto e por isso os resultados não são os melhores. Não se deve esquecer que esta zona, no limite da validade do modelo tem muito mínimos dispersos ao longo dos diferentes parâmetros e por isso é uma zona de difícil avaliação. Os algoritmos apresentam as mesmas relações de tempo que as apresentadas para a minimização anterior e desta vez o mais rápido foi o que obteve melhores resultados. Por último apresentam-se os resultados obtidos para a maximização da carga transportada. Método SQP Rosenbrock Hooke Nelder CC [ /t] PL [t] CA [t] L [m] B [m] D [m] T [m] Cb V [kn] DWT [t] Pveio [kw] Tp (s) Tabela 4.4 Comparação dos resultados obtidos para a maximização da carga anual AL. O algoritmo Hooke-Jeeves está muito perto do mínimo e a diferença de valores pode dever-se a arredondamentos. Os outros dois algoritmos ficam distantes do ponto pretendido. Dos três algoritmos apresentados o que melhor comportamento apresentou é o Hooke-Jeeves que apesar de nunca atingir as soluções óptimas exactas é o que mais se aproxima nos três casos. Os outros dois acabam por ter comportamentos errantes ora têm um valor muito bom e logo a seguir um muito mau. Para os métodos de optimização global tentou-se executar o mesmo procedimento, mas como os algoritmos de que se dispõem estão preparados para multi-objectivo, os resultados não são bons. Acredita-se que a qualidade dos resultados se deve principalmente às formas utilizadas nestes algoritmos para conseguir a plenitude das superfícies de Pareto, mais especificamente o crowding distance. O que acontece é que estes métodos obrigam os algoritmos a espalhar as soluções pela parede e não permitem que se concentrem para num ponto e obtenham a solução óptima. Os parâmetros utilizados para testar o NSGA-II foram obtidos em Sharma et al (2007), para o MOPSO-CD Raquel & Naval (2005), para o MISA Coello & Cortéz (2002). Os parâmetros são resumidos na tabela seguinte, em que P é probabilidade, di é a distribuição do índice de

50 crossover, dim é a distribuição do índice de mutação e Sol. Arquivo o número de soluções não dominadas que se pretende armazenar. População Nº Gerações P. Crossover P. Mutação di dim Sol. Arquivo NSGA-II MOPSO-CD MISA Tabela 4.5 Parâmetros dos algoritmos globais. Na Tabela 4.6 são apresentados os resultados para o custo do transporte de carga. Como é possível observar todos ficam bastante longe do mínimo. Os resultados obtidos mostram que para uma optimização com um objectivo devem utilizar-se os métodos de optimização local com múltiplos pontos de arranque. CC [ /t] L [m] B [m] D [m] T [m] Cb V [kn] NSGA-II MOPSO-CD MISA Tabela 4.6 Resultados do algoritmos globais para o custo de transporte. Os resultados seguintes são os encontrados para os três objectivos ao mesmo tempo. Para os algoritmos locais não é possível fazer a optimização sem antes definir os pesos que cada objectivo deve ter. Os pesos utilizados são [0.333, 0.333, 0.333], [0.4, 0.2, 0.4],[0.6, 0.2, 0.2] e [0.2, 0.2, 0.6], em que o vector é composto por [w CC, w PL, w CA ]. Para se conseguir um só valor a minimizar é necessário construir uma função que dependa dos resultados obtidos para cada solução e dos pesos. Para o exemplo em questão a equação (20) toma a seguinte forma F ( x) ( x) f ( x) f ( ) f1 2 x ) = wcc + wpl + wca (26) ( 3 f Na Tabela 4.7 apresentam-se os melhores resultados de cada um dos algoritmos, em que os parâmetros dos métodos mantêm-se inalterados. Vector de pesos [0.333,0.333,0.333] Método SQP Rosenbrock Hooke Nelder NSGA-II MOPSO CC [ /t] PL [t] CA [t] L [m] B [m] D [m] T [m] Cb V [kn] DWT [t] Pveio [kw] FOP Tabela 4.7 Comparação dos resultados multiobjectivo com os pesos iguais. Nenhum dos métodos consegui igualar o resultado apresentado em Xuebin (2009), o método que consegui o melhor desempenho foi o de Hooke-Jeeves. Novamente os métodos

51 multiobjectivo ficaram aquém dos melhores resultados. Entre este métodos o MOPSO-CD foi o que melhor se comportou e consegue igualar o método de Rosenbrock. Vector de pesos [0.4,0.2,0.4] Método SQP Rosenbrock Hooke Nelder NSGA-II MOPSO CC [ /t] PL [t] CA [t] L [m] B [m] D [m] T [m] Cb V [kn] DWT [t] Pveio [kw] FOP Tabela 4.8 Comparação dos resultados multiobjectivo com os pesos [0.4, 0.2, 0.4] Novamente o método de Hooke-Jeeves obteve o melhor valor, muito perto do que é considerado mínimo. O método de Nelder-Mead também ficou muito perto do valor que se pretende. O de Rosenbrock ficou novamente longe do objectivo e obteve um resultado pior que o MOPSO-CD que voltou a ser o método global que melhor cumpriu o objectivo. Vector de pesos [0.6,0.2,0. 2] Método SQP Rosenbrock Hooke Nelder NSGA-II MOPSO CC [ /t] PL [t] CA [t] L [m] B [m] D [m] T [m] Cb V [kn] DWT [t] Pveio [kw] FOP Tabela 4.9 Comparação dos resultados multiobjectivos com os pesos [0.6, 0.2, 0.2] Com o vector de pesos [0.6, 0.2, 0.2] os optimizadores locais posicionaram-se todos perto do objectivo, no entanto o algoritmo de Nelder-Mead conseguiu encontrar o mínimo da função se bem que com valores diferentes nos atributos (CC, PL, CA). Novamente os algoritmos de optimização global ficaram longe dos objectivos propostos. Para a distribuição dos pesos apresentada na Tabela 4.10 o mínimo da função foi encontrado utilizando o algoritmo MIGA, por Hiroyasu et al (2002). Novamente foi o algoritmo proposto por Hooke & Jeeves que mais se aproximou do valor desejado, ultrapassou inclusive o algoritmo SQP utilizado por Xuebin (2009), que para o valor da função, com esta distribuição de pesos

52 obteve Dos métodos de procura local, o de Rosenbrock voltou a apresentar o pior comportamento e nos globais o MOPSO-CD voltou a mostrar-se mais eficaz que o NSGA-II. Vector de pesos [0.2,0.2,0.6] Método MIGA Rosenbrock Hooke Nelder NSGA-II MOPSO CC [ /t] PL [t] CA [t] L [m] B [m] D [m] T [m] Cb V [kn] DWT [t] Pveio [kw] FOP Tabela 4.10 Comparação dos resultados multiobjectivos com os pesos [0.2, 0.2, 0.6] Em Xuebin (2009) os resultados das optimizações para métodos de procura directa são comparados com os multi-objectivos de raiz e o autor conclui que os métodos de procura directa não são bons para optimizações de mais que um objectivo. No entanto existe um erro na formulação da equação (26), quando se pretende maximizar uma função, como é o caso em estudo, é necessário inverter a fracção correspondente. Reescrevendo a equação (26), vem ( x) f ( x) f F( f ( x ) = wcc + wpl + wca (27) f Se a equação não for escrita na forma apresentada o que acontece é que o algoritmo terá a tendência de minimizar todos os objectivos e não de minimizar os dois primeiros e maximizar o ultimo. A explicação é simples, o algoritmo pretende minimizar o valor da equação (26), para o primeiro e segundo objectivos todos os valores são superiores aos que se apresentam no denominador, pelo que os seus valores no limite tendem para 1 por valores superiores. O resultado da razão só é 1 quando o denominador e numerador são iguais e indica que se atingiu o valor óptimo. Quando se pretende maximizar um objectivo, todos os valores são menores que o valor do denominador, por isso a razão entre uma solução n e o valor máximo é sempre menor que 1, ou seja, a razão tende para 1 mas por valores inferiores a 1. Assim quando o optimizador tentar encontrar o mínimo da equação (26) a tendência é para ir buscar valores cada vez menores dos três objectivos e não valores menores dos dois primeiros objectivos e valores maiores do terceiro objectivo (o que se pretende maximizar). Olhando para os resultados apresentados Tabela 4.7, Tabela 4.8, Tabela 4.9 e Tabela 4.10 pode observar-se que a função objectivo não pode estar bem construída uma vez que nenhum dos resultados exibe um resultados de carga anual transportada alto. Ao contrário do que seria de esperar, na Tabela 4.10 em que o peso da carga anual transportada é maior, os algoritmos que devolvem uma solução com maior volume de transporte de carga anual são os que obtêm pior resultado, valores da função objectivo mais altos. Para termo de comparação entre algoritmos a função 3 ( x)

53 apresentada na equação (26) pode ser utilizada mas tem que se ter noção que se está a tentar minimizar os três objectivos e que os resultados não são os que se pretendiam. Uma forma de provar o que foi dito no parágrafo anterior é maximizar a carga anual através das duas versões da equação (20), a utilizada em inúmeros artigos (Xuebin, 2009; Hart & Vlapholous, 2009; Parsons & Scott, 2004) e através da função proposta nesta tese. Se os pesos dos outros objectivos tenderem para 0, o peso da carga anual tende para 1, porque a soma dos pesos tem que ser 1. As equações tomam então as seguintes formas ( x) f3 F ( f ( x ) = wca, com wca = 1 (28) F ( f ( x ) = wca, com wca = 1 (29) f 3 ( x) Na Tabela 4.11 são apresentados os resultados das equações (28) e (29) para os três algoritmos locais utilizados. Os resultados mostram claramente que utilizando a equação (28) minimiza-se o objectivo e utilizando a equação (29) maximiza-se como se pretende. Assim deve utilizar-se a equação (27) e não a equação (26) para comparar os resultados dos métodos locais com os métodos globais. O facto de utilizar a equação (26) para comparar os algoritmos locais entre eles não é muito grave, porque todos os algoritmos procedem minimização de todos os objectivos. Seria mais interessante que os algoritmos tivessem que minimizar e maximizar objectivos na mesma optimização. No entanto quando se comparam os resultados obtidos com algoritmos locais, através da equação (26) com algoritmos globais onde é possível definir para cada objectivo se este deve ser minimizado ou maximizado, já não é a mesma coisa. Equação (28) Equação (29) Método Rosenbrock Hooke Nelder Rosenbrock Hooke Nelder CC [ /t] PL [t] CA [t] L [m] B [m] D [m] T [m] Cb V [kn] DWT [t] Pveio [kw] FOP Tabela 4.11 Comparação das funções de objectivos ponderados, com w ca = 1 Na Tabela 4.12 são apresentados os resultados obtidos para os algoritmos locais, através da função de objectivos ponderados, apresentada na equação (27). Para que possa existir uma comparação este serão comparados com os resultados obtidos em Xuebin (2009), com um algoritmo MOGA. Comparar estes dois resultados não é muito correcto, porque são obtidos por metodologias diferentes, nos apresentados em Xuebin (2009) os pesos são calculados pelo

54 método da entropia e posteriormente é escolhida a solução óptima através da metodologia TOPSIS. Como já foi referido os métodos locais quando aplicados em optimizações multiobjectivos devolvem uma solução óptima pelo que não podem ser trabalhados da mesma forma que foram os anteriores. Utilizando as equações (26) e (27) é possível construir uma função de objectivos ponderados com os pesos obtidos por Xuebin, em que o vector de pesos é [ ; ; ]. Equação (26) Equação (27) Método MOGA Rosenbrock Hooke Nelder MOGA Rosenbrock Hooke Nelder CC [ /t] PL [t] CA [t] L [m] B [m] D [m] T [m] Cb V [kn] DWT [t] Pveio [kw] FOP Tabela 4.12 Comparação de resultados obtidos com funções objectivo ponderadas geradas pelas equações (26) e (27), com os resultados obtidos com o MOGA. Os resultados apresentados na tabela anterior deixam claro que se for utilizada a equação (26) para comparar os métodos de procura local com os métodos globais, se existirem objectivos a ser maximizados e minimizados, os resultados são desastrosos. Por outro lado se for utilizada a equação (27) a solução óptima é melhor, mas como os métodos de análise são diferentes (objectivos ponderados e TOPSIS) os resultados não devem ser comparados directamente. Para comparar os métodos directamente a única solução era ter acesso aos resultados gerados pelo MOGA e aplicar o mesmo método que é aplicado para os algoritmos locais. O método de Rosenbrock foi o que pior comportamento demonstrou ao longo de todas as experienciais feitas. Salvo a optimização do peso leve (Tabela 4.3), em que foi o melhor, andou sempre atrás dos dois outros algoritmo apresentados. È importante ressaltar que todos os métodos de procura local recebem os mesmos pontos iniciais, isto é, os pontos são gerados para todos os métodos ao mesmo tempo por isso têm todos os mesmos pontos de partida. O método de Hooke-Jeeves foi o método que melhor comportamento apresentou, conseguindo sempre boas aproximações dos mínimos ou máximos que se pretendiam, no entanto nunca atingido o valor exacto. Os resultados mostram que se não existir um método que seja eficaz este pode ser utilizado para aproximar o mínimo, contudo deve manter-se presente que existe uma grande probabilidade de o valor obtido não ser o mínimo. O algoritmo de Nelder-Mead apresentou resultados curiosos, existe uma tendência para encontrar os mínimos que estão relacionados com o custo de transporte. A única explicação que se encontra para esta tendência tem a ver com os pontos iniciais (Tabela 4.1). Do ponto

55 ao 4 são soluções com valores de custo de transporte baixo e pensa-se que esses são os valores que estão a influenciar positivamente os resultados. Se esta premissa for verdadeira, para que este algoritmo funcione bem, só é necessário que os pontos iniciais se encontrem perto do mínimo. Este pontos iniciais podem ser conseguidos de duas formas, através dos resultados do método de Hooke-Jeeves que já mostrou aproximar-se sempre bastante dos mínimos ou através de um algoritmo global, mais a frente neste capítulo estas hipóteses serão testadas. A avaliar pelos pontos iniciais apresentados, não é necessário que todos os pontos se encontrem dentro do domínio, nem perto do mínimo, porque pelo menos o ponto 5 e 6 não são soluções que respeitem as restrições do problema. O algoritmo NSGA-II apesar de muito boas críticas na bibliografia consultada, obteve um comportamento muito abaixo do desejado. Obteve um comportamento razoável nas optimizações de um só objectivo, mas nos multiobjectivo ficou a desejar. O MOPSO-CD foi o algoritmo global que melhor se comportou, no entanto andou quase sempre longe dos objectivos e em raros casos conseguiu comportar-se melhor que os algoritmos de procura local. Como dos dois algoritmos desta categoria, foi o que apresentou melhores resultados é o escolhido para produzir pontos iniciais para os optimizadores locais. Utilizar um algoritmo de optimização global para gerar pontos iniciais para algoritmos de optimização local foi uma das apostas da optimização durante os anos 90 (Ray & Sha, 1995, Lee 1999). Sendo os resultados dos optimizadores globais, que foi possível avaliar, mau decidiu-se tentar esta abordagem para conseguir encontrar os mínimos. O MISA foi abandonado por causa dos seus resultados e porque a versão de que se dispõem está limitada a 2 objectivos. Os métodos de optimização multiobjectivo de raiz devolvem paredes de Pareto e é sobre estas paredes que se aplicam os métodos de apoio à decisão. São apresentadas as paredes formadas pelos dois métodos (MOPSO-CD e NSGA-II) na optimização do problema com 3 objectivos, maximizar a carga anual transportada e minimizar custo da carga e o peso leve. NSGA-II MOPSO-CD Figura 4.1 Paredes de Pareto para a carga anual versus custo

56 A utilização dos métodos de multi-objectivos de raiz gera paredes de Pareto. As paredes de Pareto pretendem ser todas as soluções com a mesma qualidade relativamente aos objectivos. Para o problema que tem vindo a ser discutido são agora apresentadas as respectivas paredes de Pareto para os diferentes objectivos. Na Figura 4.1, o custo de transporte de carga é minimizado e a carga anual é maximizada. A definição da parede é muito mais explícita nos resultados do MOPSO-CD, existe uma maior concentração de pontos perto da linha imaginária que define a parede e a sua extensão da também é maior. A nuvem gerada pelo MOPSO-CD tende para uma linha com maior extensão e com mais hipóteses de solução, principalmente admite mais soluções na zona de menores valores para a carga anual e para menores custos de transporte. Por outro lado os resultados do NSGA-II parecem formar uma superfície de Pareto (não-dominadas), onde é possível perceber os limites desta. Os resultados do NSGA-II para as paredes observadas na Figura 4.1 parecem melhores uma vez que é possível encontrar pontos com menor custo para uma maior carga anual transportada. A nuvem gerada pelo NSGA-II apresenta uma melhor definição da zona que se pretende, maiores valores de carga anual e toda a gama de custo possíveis. Na Figura 4.2, são apresentadas as paredes de Pareto para os objectivos, peso leve e custo de transporte, em que se pretende o minimizar ambos. A tendência das nuvens de pontos mantém-se igual às da Figura 4.1, o MOPSO apresenta uma nuvem mais condensada e encostada a parede de Pareto e o NSGA-II uma nuvem mais dispersa, com os limites da superfície de Pareto bem definidas. Neste caso a parede de Pareto gerada pelo MOPSO-CD parece bem mais vantajosa, uma vez que os pontos se concentram na zona em que os custos e o peso leve são mínimos. A gerada pelo NSGA-II apresenta uma clareira na zona onde se devia encontrar a maior concentração. NSGA-II MOPSO-CD Figura 4.2 Paredes de Pareto para o peso leve versus custo

57 No caso apresentado na Figura 4.3, parece não existirem muitas dúvidas de onde se encontra a parede de Pareto e as duas nuvens de pontos geradas são idênticas. Os resultados do algoritmo MOPSO-CD são considerados melhores porque a extensão da curva é maior. NSGA-II MOPSO-CD Figura 4.3 Paredes de Pareto para o peso leve versus carga anual Todos os resultados até aqui apresentados foram conseguidos através do método de objectivo ponderados, isto é, utilizando matrizes de decisão e aplicando as equações (26) ou (27). È necessário perceber como se comportam os algoritmos com o método de TOPSIS associado ao método de objectivos ponderados e ao método de entropia, bem como o método da entropia com a equação (26). Os resultados são apresentados na Tabela 4.13, desta foram excluídos os métodos de procura local porque os resultados destes não podem ser trabalhados através do método de entropia nem com a metodologia TOPSIS. A linha da Tabela 4.13 FOP serve para medir a qualidade das soluções, em todos os testes apresentados o algoritmo MOPSO-CD obteve melhores resultados. Entropia - TOPSIS Obj. Ponderados - TOPSIS Entropia - equação (26) Método MOPSO-CD NSGA-II MOPSO-CD NSGA-II MOPSO-CD NSGA-II CC [t/$] PL [t] CA [t] L [m] B [m] D [m] T [m] Cb V [kn] DWT [t] Pveio [kw] FOP w CC w PL w CA Tabela 4.13 Comparação dos métodos de apoio à decisão

58 4.2. Processo Proposto A comparação de resultados com Xuebin (2009) revelou a incapacidade de todos os algoritmos testados para encontrar os mínimos conhecidos destas funções. A solução deve passar por tentar integrar dois algoritmos para que em conjunto consigam atingir os objectivos. O que se pretende com a utilização de dois algoritmos é que o primeiro faça um rastreio da localização de possíveis mínimos e que o segundo sendo-lhe dado um ponto inicial perto do mínimo, o encontre. Analisando os resultados anteriores conclui-se que há três hipóteses que merecem ser estudados: O MOPSO-CD que foi incluído nesta lista por ter revelado melhores resultados que o NSGA-II. Juntar um optimizador global com um local é uma ideia que já foi explorada e com bons resultados, pelo que se acredita que esta poderá ser uma boa hipótese. Este optimizador vai ser utilizado sempre como primeiro optimizador dada a sua incapacidade de encontrar mínimos, já demonstrada. O Hooke-Jeeves foi o algoritmo que apresentou mais regular, que consegui estar sempre mais próximo dos objectivos, apesar de nunca os ter atingido. Este algoritmo será utilizado como primeiro e segundo algoritmo. Como segundo algoritmo utilizará os pontos encontrados pelo MOPSO-CD como pontos de partida para atingir o objectivo. Apesar de ser testada esta solução esta será sempre uma solução de recurso porque o algoritmo provou que não consegue encontrar o mínimo da função. Para ser utilizado como segundo algoritmo é necessário impor-lhe um passo pequeno porque de outra forma todos os valores que vai testar são piores que o ponto inicial, e ou devolve o ponto inicial ou não converge. Como primeiro optimizador vai encontrar pontos perto dos diferentes mínimos da função que serão depois utilizados pelo Nelder-Mead. O Nelder-Mead vai ser utilizado só como segundo optimizador porque este foi o único que encontrou um mínimo da função. Este método necessita, no caso em estudo, de 7 pontos inicias. Como é um segundo optimizador os pontos que vai receber já sofreram uma optimização e por isso já podem ser ordenados consoante o seu valor na função. Para optimizar o primeiro ponto, o método receberá esse ponto e os seis seguintes, este processo repete-se até ao ponto n-7. Com este procedimento os 7 pontos iniciais, encontram-se em torno do mínimo e devem permitir encontrá-lo. Foram formadas três duplas de algoritmos MOPSO-CD com Hooke-Jeeves, MOPSO-CD com o Nelder-Mead e por fim Hooke-Jeeves com o Nelder-Mead. A análise dos resultados mostrou que o método de Hooke-Jeeves seguido do método de Nelder-Mead é uma solução muito boa, como é possível constatar nos resultados apresentados acima. O insucesso das outras duas duplas de optimizadores deve-se no primeiro caso, MOPSO-CD mais Hooke-Jeeves, à incapacidade do segundo de encontrar os mínimos exactos da função, os resultados são muito parecidos com os obtidos utilizando só o Hooke-Jeeves. No segundo caso, MOPSO-CD mais Nelder-Mead, pensa-se que não foram apresentadas melhorias porque o método de Nelder

59 Mead tem que receber parte dos pontos iniciais realmente próximos do mínimo. Os resultados obtidos pelos dois métodos preteridos são apresentados no anexo C deste documento. Custo do transporte Peso Leve Carga anual transportada SQP HN SQP HN SQP HN CC [t/$] PL [t] CA [t] L [m] B [m] D [m] T [m] Cb V [kn] DWT [t] Pveio [kw] Tabela 4.14 Comparação do algoritmo proposto para objectivos simples Na Tabela 4.14 é possível ver a comparação de resultados para um objectivo entre o método proposto por Xuebin e Hooke-Jeeves seguido Nelder-Mead (HN), este dados foram obtidos com uma só corrida de 500 pontos. Para todos os casos o HN aproxima-se com muita precisão dos mínimos a atingir. No custo de transporte da carga, se o valor for arredondado a casa dos milhares o valor exactamente igual. Olhando para as dimensões principais e os outros valores apresentados, percebe-se que o valor encontrado pelo HN é mais baixo, porque a quantidade de carga transportada é maior e a potência ao veio menor, o que implica custos mais baixos com combustível. Para o peso leve e para a carga anual transportada pode observar-se que se os valores dos parâmetros de optimização forem arredondados este são exactamente iguais aos de Xuebin. Na optimização com um objectivo este algoritmo tem um comportamento muito bom, atingiu todos os mínimos. [0.333, 0.333, 0.333] [0.4, 0.2, 0.4] [0.6, 0.2, 0.2] [0.2, 0.2, 0.6] Método SQP NH SQP NH SQP NH MIGA NH CC [t/$] PL [t] CA [t] L [m] B [m] D [m] T [m] Cb V [kn] DWT [t] Pveio [kw] FOP Tabela 4.15 Comparação do algoritmo proposto para multiobjectivo Na Tabela 4.15 pode observar-se o comportamento do algoritmo proposto, lado a lado com os mesmos valores que têm servido de termo de comparação. Todos os dados apresentados nesta tabela são tirados numa só corrida com 500 pontos de arranque. Os resultados estão

60 equiparáveis aos melhores valores. Os resultados com o vector de pesos [0.4, 0.2, 0.4] têm uma diferença na casa das dezenas de milhar, para pior. Para compensar para os vectores de pesos [0.6, 0.2, 0.2] e [0.2, 0.2, 0.6] os resultados são ligeiramente melhores que os encontrados até agora, o último vector de pesos está comparado com Hiroyasu et al. (2002), porque este é o melhor valor. Com o método utilizado por Xuebin (2009) o valor encontrado foi O algoritmo escolhido para proceder às optimizações do modelo de navios porta-contentores é a junção do Hooke-Jeeves com o Nelder-Mead. Estes dois algoritmos são de procura directa, ou seja, optimizadores locais que não suportam restrições. A solução para ultrapassar este problema é criar o modelo de maneira a que as restrições que se pretende, sejam incorporadas. Uma hipótese é criar, tal como apresentado na secção 3.2, uma subrotina no fim do modelo que verifica se as restrições são violadas ou não. Para que os optimizadores não violem as restrições, basta que se estas forem violadas enviar para o optimizador um valor alto (se a minimizar) ou baixo (se a maximizar). A função objectivo acaba por se tornar uma função definida por ramos, em que cada ramo representa uma restrição. Os resultados destes dois algoritmos estão provados para valores adimensionalizados, com valores não adimensionais podem surgir problemas, principalmente por causa da forma como é calculado o comprimento do passo no Hooke-Jeeves. Na primeira corrida que se efectuou com o modelo e algoritmo proposto percebeu-se que os tempos de computação eram muito maiores que os esperados, cerca de 34 horas. Quando o algoritmo ligado ao modelo de graneleiros (Xuebin, 2009) concluía todos os cálculos em cerca de 4 segundos. A diferença deve-se à quantidade de cálculos que são necessários para concluir uma iteração, pode perceber-se a simplicidade do modelo apresentado por Xuebin na descrição do modelo que segue em anexo. Para tentar reduzir os tempos de computação foram feitas experiencias para perceber quais os factores que mais influenciam o tempo de computação e as perdas de qualidade nas soluções. Nenhum dos factores revelou uma redução significativa no tempo de computação, demonstrando que o problema não está nos parâmetros do algoritmo proposto, mas no modelo criado. Este assunto é discutido no inicio do capítulo 6. Os resultados das experiencias são apresentadas no anexo D desta tese

61 5. Modelo de Cálculo A construção de um modelo para o dimensionamento inicial de navios que tem por objectivo reproduzir a realidade que é sempre complexa porque nem sempre são seguidas as mesmas linhas de concepção. A realidade é muito distinta e faz com que seja complicada a sua reprodução. A estatística é uma grande ajuda porque permite encontrar valores médios e construir fórmulas empíricas que tendem a minorar os erros. No entanto, construir modelos deste género com pouca informação é sempre um grande risco, porque pode não se conseguir reproduzir toda a realidade, mas sim uma pequena parte dela. Coeficientes e Estabilidade Bolbo de Proa Resistência Propulsiva Hélice Dimensões Principais Potencia Propulsiva Máquina Principal Volumes e Capacidades Viagem Cálculo dos Pesos Contentores no Convés Ponte de comando Contentores nos Porões Volumes do Casco Bordo Livre Análise Económica Grava Resultados Figura 5.1 Fluxograma do modelo No segundo quartel do século passado era comum publicar-se estudos, elaborados com grandes bases de dados, das quais resultam fórmulas para serem utilizadas no projecto de navios. Alguns desses estudos continuam nos dias de hoje a ser amplamente utilizados, o caso

62 do método de Holtrop & Mennem (1984), outros devido a profundas mudanças no projecto dos navios caíram em desuso por se verificar que já não correspondem à realidade. Muitas vezes são utilizadas as metodologias, mas os parâmetros das regressões são alterados, o que só é possível se dispuser de uma base de dados actualizada e de dimensões consideráveis. Para o modelo que aqui se apresenta tentou-se sempre que possível não alterar as fórmulas, porque a base de dados não permite ter certezas sobre a redução dos erros. O capítulo incidirá principalmente sobre as subrotinas ligadas à resistência e à potência propulsivas e sobre os volumes e capacidades, porque estas foram as áreas em que se acrescentaram ou modificaram processos. Desde da segunda subrotina apresentada na Figura 5.1 até à sétima. As explicações e fórmulas utilizadas nas outras subrotinas são apresentadas no anexo A. Porque este modelo é construído com fórmulas empíricas é difícil perceber como é que os parâmetros vão influenciar a resistência ou a capacidade de contentores, para colmatar essa falta de informação são apresentados gráficos. A Tabela 5.1 apresenta os intervalos pelos quais foram adimensionalizadas as variáveis de projecto nos gráficos apresentados ao longo do capítulo. Máximo Mínimo Lpp B T 12 7 Cb V Tabela 5.1 Valores de adimensionalização das variaveis de projecto 5.1. Dimensões Principais A escolha das dimensões principais do navio é um dos passos mais importantes do seu dimensionamento inicial, pois estas vão afectar todos os parâmetros. Num navio de massa a escolha das dimensões principais é influenciada simplesmente pela sua capacidade de carga. Nos navios porta-contentores a escolha do comprimento, boca ou pontal está ligada ao número de contentores que é estivado em cada uma das direcções. Por isso é inevitável ter em conta o número de porões e o seu comprimento no comprimento total do navio, tal como é inevitável que a boca e o pontal sejam um múltiplo das dimensões dos contentores. A abordagem referida no parágrafo anterior não é única e alguns modelos mais simples calculam o espaço de carga, nos navio porta-contentores, como nos navio de massa, ou seja, como um volume. Nestes casos encontram-se frequentemente problemas com a estiva dos contentores, embora o volume para determinado número de contentores esteja correcto, pode não ser possível distribuí-los dentro do volume, porque não foi tida em conta a sua forma

63 Comprimento do Navio A distribuição dos porões para contentores ao longo do comprimento do navio pode ser feita de diferentes modos e como a escolha desse arranjo pode ser muita vasta, convém limitar o tipo de arranjo. Tipicamente, distribuídos pelo comprimento do navio, existem porões duplos, para quatro TEUS ou dois FEUS. Nas extremidades podem existir porões de dois TEUS ou um FEU, dependendo do comprimento do navio, identificado por pocket hold. Figura 5.2 Tipo de arranjo dos porões de carga Boca A boca do navio deve ser um múltiplo da largura de um contentor (8 feet ou 2.4 metros). Por norma a boca é calculada para que seja possível arrumar mais dois contentores no convés que nos porões, espaços que correspondem aos tanques laterais. Contudo por causa da resistência ou da estabilidade pode ser vantajoso que a boca não seja exactamente um múltiplo da largura do contentor e por isso foi escolhida como variável de projecto. Figura 5.3 Configuração da boca do navio Na Figura 5.3 Ba representa largura reservada para estruturas e tanques de lastro, que é muito próxima da largura de um contentor