Capítulo 5 Trabalho e Energia

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1 Capítulo 5 Trabalho e Energia 1. O que é a energia? Existe um facto ou uma lei que governa todos os fenómenos naturais conhecidos até ao momento. Tanto quanto podemos afirmar, não existe excepção a esta lei. Estamos a referir-nos à conservação da energia. O que a lei diz é que uma grandeza, a que chamamos energia, não se altera no decorrer das mudanças de todos os tipos que ocorrem na natureza. Esta lei é abstracta, é um princípio matemático, afirma que há uma quantidade numérica que não varia quando as coisas acontecem. Não é a descrição de um mecanismo, ou de alguma coisa concreta; é um facto um pouco estranho que possamos calcular um determinado número e, quando terminamos a nossa observação da natureza, passando através de reacções e mudanças de todos os tipos, calculamos o número outra vez e verificamos que é o mesmo. Quando consideramos a energia de um sistema durante algum tempo há uma certa quantidade que deixa o sistema e outra que entra no sistema. Para verificarmos a conservação da energia, é necessário sermos muito cuidadosos para sabermos se alguma energia saiu ou entrou no sistema. Por outro lado, a energia assume uma grande quantidade de formas diferentes e existe uma fórmula para cada uma. Por exemplo, existe energia potencial gravítica, energia cinética, energia térmica, energia potencial elástica, energia eléctrica, energia química, energia radiante, energia nuclear, energia associada à massa, etc. Se adicionarmos as fórmulas relativas a cada uma destas contribuições, a soma não mudará com excepção da parte que entra ou sai do sistema. É muito importante termos consciência de que, mesmo actualmente, não sabemos do ponto de vista da Física, o que é energia. O que conhecemos são fórmulas através das quais calculamos uma determinada quantidade numérica e quando somamos tudo obtemos sempre o mesmo número. Consequentemente, só podemos compreender a conservação da energia se conhecermos todas estas fórmulas. 1

2 A lei da conservação da energia pode ser enunciada da seguinte forma: É possível associar um valor numérico de uma grandeza, denominada energia, ao estado de um sistema físico. A energia total é obtida adicionando as contribuições das diferentes formas de energia que ocorrem no sistema. Se o sistema é fechado, isto é, está totalmente isolado do resto do Universo, a sua energia total é constante. A energia não pode ser criada nem destruída, pode apenas ser transferida para o interior ou para o exterior de um sistema A energia pode assumir diferentes formas, que foram descobertas ao longo dos tempos. Para poder comparar a energia nas diferentes formas, foi necessário escolher uma delas como padrão, para a criação de uma escala numérica 1. Um processo prático consiste em definir uma unidade de energia baseada no aquecimento da água. A unidade SI de energia é o joule (símbolo J), homenageando o físico inglês James Joule. Um joule é a quantidade de energia necessária para fazer subir de 1 ºC a temperatura de 0,24 g de água. O calor é uma forma de transmissão de energia, completamente diferente da temperatura. Para fazer subir da mesma temperatura de duas chávenas de café é necessário o dobro da quantidade de energia necessária para uma chávena de café, mas se juntarmos o café das duas chávenas não obtemos o dobro da temperatura de uma delas. Exercício 1 Se a electricidade custa 0,13 euros por kwh, quanto irá custar aquecer a água de uma piscina com 100 m 3, de 8 ºC para 20 ºC? Resolução: Começamos por converter kwh para joule: 1 kwh = 10 3 W 3600 s = 10 3 J s 3600 s = 3, J. Consequentemente, o preço de 1 joule de electricidade será 1 Na realidade, ao longo da História foram definidas diferentes unidades de energia até que se percebeu que a energia era uma única grandeza que exigia uma unidade de medida consistente. 2

3 0,13 /1 kwh = 0,13 /3, J = 4, /J Calculamos agora a quantidade de energia, em joules, necessária para fazer subir de 12 ºC a temperatura de 100 m 3 de água, ou seja de 10 5 litros de água. Como a massa de 1 L de água 2 é 1 kg, obtemos, para o valor de energia requerido, E = 10 5 kg 1000 g 1 kg 0,24 g 1 C = J J 12 C Finalmente, como o preço da energia é 4, /J, obtemos o resultado 5, J 4, J = 21,5. Exercício 2 Podemos obter uma chávena de Irish coffee misturando 0,30 kg de café à temperatura de 100 ºC com álcool etílico puro à temperatura de 20 ºC. É necessário 1 J de energia para fazer subir de 1 ºC a massa de 0,42 g de álcool etílico (é mais fácil aquecer álcool do que água). Qual será a temperatura de mistura final? Resolução: Vamos utilizar a conservação de energia. A energia total do sistema café + álcool depois da mistura é igual à energia total do mesmo sistema antes da mistura. Vamos chamar E ci à energia inicial do café (E cf à energia do café após a mistura) e E ai à energia inicial do álcool (E af à energia do álcool após a mistura): ou E ci + E ai = E cf + E af E af E ai = E cf E ci. Repare-se que esta expressão exibe a conservação da energia do sistema café + álcool: a energia adquirida pelo álcool é igual à energia perdida pelo café. O café é essencialmente água, pelo que vamos utilizar as propriedades térmicas da água: 300 g E cf E ci = 0,24 g 1 (100 T f) E af E ai = 30 g 0,42 g 1 (T f 20 ). Substituindo estas expressões na expressão da conservação da energia, obtemos 30 g cujo resultado é T f = 96 ºC. 300 g (T 0,42 g 1 f 20 ) = (100 T 0,24 g 1 f), 2 O símbolo adoptado internacionalmente para a unidade de volume litro é L. Esta escolha teve em conta o facto de que em letra de imprensa, a letra l minúscula é frequentemente confundida como o algarismo 1. 3

4 Uma vez estabelecida a escala de energia para uma forma de energia como, por exemplo, a energia térmica, pode ser facilmente generalizada a outras formas de energia. Por exemplo, a energia armazenada num litro de gasolina pode ser determinada colocando uma quantidade conhecida de massa de gasolina e uma quantidade conhecida de massa de água num recipiente isolada, provocando-se a ignição da gasolina e medindo a variação resultante da temperatura da água. A tabela seguinte apresenta medidas de várias formas de energia em joules. Tipo de energia Energia química libertada por combustão Energia requerida para quebrar um corpo Energia necessária para fundir uma substância Energia química libertada na digestão de alimentos Fazendo subir um corpo contra a força da gravidade Energia nuclear libertada por fissão Exemplo Cerca de 50 MJ são libertados quando é queimado 1 kg de gasolina. Quando um indivíduo sofre uma fractura do fémur (tipo comum de acidente de ski), cerca de 2 J de energia são utilizados na fractura do osso. 7 Mj de energia é necessária para fundir 1 kg de estanho. Uma chávena de cereal (de pequeno almoço) com leite fornece cerca de 800 kj de energia Elevar 1,0 kg a uma altura de 1,0 m requer 9,8 J de energia 1 kg de óxido de urânio consumido por um reactor liberta J de energia 2. Como são descobertas novas formas de energia Quando estudamos Física podemos ficar com a impressão que um conceito físico sofisticado foi criado por uma pessoa que teve uma inspiração súbita num determinado dia, enquanto que, na realidade, as ideias surgem primeiro de uma forma muito geral e só a pouco e pouco são refinadas, ao longo de muitos anos. O conceito de energia surgiu no início do século XIX e novos tipos de energia foram sendo acrescentados desde então. Para estabelecer uma nova forma de energia, o físico tem de: 4

5 1) Mostrar que essa forma de energia pode ser convertida a partir de e para outras formas de energia; 2) Mostrar que está relacionada com uma propriedade mensurável do objecto como, por exemplo, a sua temperatura, a sua posição em relação a outro objecto, ou se está no estado líquido ou sólido. Por exemplo, é libertada energia quando uma peça de ferro é mergulhada na água, sendo portanto aparente que alguma forma de energia estava armazenada no ferro. Esta libertação de energia pode ser relacionada com uma propriedade mensurável da peça de metal: a sua cor torna-se vermelho-alaranjado. Ocorreu uma transformação química do estado físico da peça, ela enferrujou. Ainda que a lista das formas de energia tenha vindo a crescer, rapidamente se tornou evidente que existia similaridade entre várias das formas descobertas de energia, pelo que foi possível reduzir essas formas a um número muito pequeno. 3. A energia cinética A energia associada ao movimento de um corpo denomina-se energia cinética. Para sabermos qual é a quantidade de energia que está acumulada num objecto em movimento, temos de a converter toda a sua energia cinética em energia térmica, que escolhemos como referência-padrão da energia. Podemos efectuar esta experiência disparando projécteis contra um tanque de água e medindo a variação da temperatura da água em função da massa e da velocidade do projéctil. Chegaríamos à conclusão que a energia cinética associada ao movimento de um corpo com massa m e velocidade de módulo 3 v é dada por E C = 1 2 mv2 (1) Comparando as unidades do membro esquerdo desta equação (J) com as do membro direito (m em kg e v em m/s), concluímos que o joule pode ser expresso nas unidades das grandezas fundamentais como 3 Como veremos, a velocidade é uma grandeza vectorial, isto é, é uma grandeza que é especificada pela sua intensidade (ou módulo, ou comprimento), direcção e sentido. 5

6 1 J = 1 kg 1 m2 1 s 2. A equação (1) não pode ser deduzida matematicamente a partindo de princípios fundamentais. É meramente empírica. Mesmo o factor ½ será diferente em diferentes sistemas de unidades. A dependência da energia cinética em v 2 deixa de ser válida para valores elevados do módulo da velocidade. Só a proporcionalidade directa de EC em relação a m é inevitável, porque como a energia de um sistema é a soma das energias dos diferentes componentes dele, esperamos que um corpo com 2 kg de massa tenha a mesma energia cinética de dois corpos cada um com 1 kg que se deslocam com a mesma velocidade do primeiro. A energia térmica de um corpo não é mais do que a soma das energias cinéticas das partículas constituintes do corpo. 4. A energia potencial Sabemos que dois corpos se atraem devido às suas massas 4. Consequentemente é necessário fornecer energia ao sistema constituído por esses dois corpos para aumentar a distância entre eles. Essa energia é acumulada no sistema sob a forma de energia potencial. Em geral, o termo energia potencial é utilizado para a energia associada à distância entre os objectos que se atraem ou repelem mutuamente. Alguns exemplos de energia potencial são os seguintes: 1. Energia potencial gravítica quando uma bola é atirada para cima, a energia cinética inicial da bola vai sendo transformada em energia potencial à medida que a bola sobe, voltando a transformar-se em energia cinética no movimento descendente. 2. Energia potencial magnética quando a agulha magnética de uma bússola roda, variam as distâncias entre os pólos magnéticos da agulha e 4 A Lei da gravitação universal de Newton afirma que dois corpos se atraem mutuamente com uma força cuja intensidade é directamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao inverso do quadrado da distância entre eles 6

7 os pólos Norte e Sul magnéticos da Terra, convertendo energia potencial magnética em energia cinética. 3. Energia potencial eléctrica duas peças de roupa que saem da secadora permanecem coladas devido às forças eléctricas atractivas. É necessário fornecer energia para as separar. 4. Energia potencial associada à distensão ou compressão a força entre duas extremidades de uma mola em hélice depende da distância entre elas, isto é, depende do comprimento da mola. Toda a energia é ou potencial ou cinética. Todas as formas de energia acumuladas num sistema são formas de energia potencial ao nível atómico. Podemos identificar quatro tipos fundamentais de energia: Energia cinética (que inclui a energia térmica) Energia potencial gravítica Energia potencial eléctrica e magnética Energia potencial nuclear Veremos que as formas de energia potencial referidas estão associadas aos quatro tipos de interacções fundamentais que existem na Natureza. 7

8 5. Exemplos Figura 1. Neste sistema um agente exterior fornece energia para fazer funcionar a escada rolante, que transfere essa energia para os carrinhos sob a forma de energia potencial gravítica. Esta energia é posteriormente transformada em energias cinética dos carrinhos durante a descida que, por sua vez, se transforma em energia térmica na região em que os carrinhos se deslocam horizontalmente e o atrito com a superfície os leva ao repouso. Após um circuito completo de um carrinho a energia fornecida ao sistema pelo agente exterior transformou-se em energia térmica dos materiais (rodas do carrinho e superfície horizontal) entre os quais ocorreu a força de atrito. Figura 2. Neste sistema, constituído por uma bateria eléctrica e um circuito, energia potencial química da bateria fornece energia para deslocar os electrões contra a força eléctrica, no interior da bateria, transformando-se essa energia em energia potencial eléctrica. Esta energia é posteriormente transformada em energias cinética dos electrões no circuito, por sua vez, se transforma em energia térmica nos componentes do circuito, através dos choques dos electrões com os átomos constituintes desses componentes. Após um circuito completo de um electrão a energia potencial química transformou-se em energia térmica dos componentes do circuito eléctrico. 8

9 Figura 3. A energia assume diferentes formas desde que é gerada na central hidroeléctrica até os nossos olhos captarem as imagens do televisor. 6. A Energia Cinética Consideremos agora outro tipo de energia. Se observarmos o movimento de um pêndulo, ele perde altura quando se desloca de uma extremidade para o centro. Para onde vai a energia potencial? Quando o pêndulo está no ponto mais baixo, a energia potencial é nula, mas, apesar disso, ele volta a subir. A energia potencial gravítica assumiu, evidentemente, outra forma. É evidente que o pêndulo consegue subir outra vez devido ao movimento de que está possuído. Se recordarmos a conservação de energia, compreendemos facilmente que no movimento no ponto mais baixo deve haver energia suficiente para permitir ao pêndulo atingir uma certa altura. Podemos então afirmar dizer que a energia de movimento (energia cinética) que o pêndulo possui no ponto mais baixo é igual ao peso (P) vezes a altura do pêndulo no ponto mais alto. (Energia cinética no ponto mais baixo) = (Peso) (Altura máxima). Como já sabemos calcular a altura máxima que um objecto atinge quando lançado com uma certa velocidade inicial, obtemos: 9

10 E C(ponto mais baixo) = Pv 0 2 2g. O facto da energia cinética estar relacionada com o movimento não tem nada a ver com o campo gravítico. Neste caso a energia cinética resulta da existência desse campo, mas noutros casos viria de outras fontes. Outras formas de energia são: elástica, calorífica., luminosa, eléctrica, química, nuclear, etc.. 7. Trabalho efectuado por uma força constante Uma variação de energia corresponde ao produto de uma força vezes o seu deslocamento. Por exemplo, a variação da energia potencial gravítica de um sistema constituído por um corpo de massa m e pela Terra, junto à superfície desta última é E P = mg h, em que h é a variação da distância do corpo à superfície da Terra. (mg) tem dimensões de força (massa vezes aceleração) e h tem dimensões de deslocamento. Definimos, mais geralmente, trabalho 5 executado por uma força sobre um corpo como o produto da intensidade (módulo) da força, F, vezes o deslocamento, r, do corpo. Esta definição é válida no caso de a força ser constante e o movimento se efectuar em linha recta e na direcção e sentido da força. Muitas vezes o corpo não se desloca na direcção em que a força actua. Definimos, neste caso, o trabalho efectuado pela força sobre o corpo como a componente da força na direcção do deslocamento vezes a distância de que o corpo se move nessa direcção. 5 Na linguagem corrente falamos de trabalho de casa, trabalho físico, muito trabalho, pouco trabalho, etc. Associamos sempre a palavra trabalho a qualquer esforço muscular ou mental, a qualquer forma de actividade. Em Física usamos o termo trabalho para nos referirmos a um conceito muito mais restrito: realizar trabalho é transferir energia de um sistema para outro, utilizando forças. 10

11 Sempre que uma força, F, constante, actua num corpo e move o seu ponto de aplicação num deslocamento r, o trabalho realizado por essa força nesse deslocamento é dado por: W = F r cos θ, (2) em que F é o módulo da força, r é o módulo do deslocamento e θ é o ângulo que a direcção da força faz com a direcção do deslocamento. Recordemos as componentes de um vector (Fig. 4) Figura 4. Em relação ao sistema de referência x0y, as componentes vectoriais do vector a são a x e a y. Relativamente ao sistema de referência x0y, na figura, as componentes vectoriais do vector a são a x e a y. A componente escalar segundo um eixo de um vector é o módulo da componente vectorial desses vector segundo esse eixo, afectado do sinal + se essa componente vectorial tem o sentido positivo de x ou do sinal se aponta no sentido negativo do eixo dos x. Na Fig. 4, a componente escalar segundo o eixo dos x do vector a é + a x, enquanto que a componente escalar segundo o eixo dos y do mesmo vector é + a y. Para o vector b, a sua componente escalar segundo o eixo dos x é b x, enquanto que a componente escalar segundo o eixo dos os y é + b y. É fácil de verificar também que a x = a cos θ a, a y = a sin θ a, enquanto que b x = b cos θ b, b y = b sin θ b, 11

12 ou seja, a componente escalar de um vector segundo o eixo dos x é obtida multiplicando o módulo do vector pelo coseno do ângulo que a direcção do vector faz com o semi-eixo positivo dos x, enquanto que a componente escalar de um vector segundo o eixo dos y é obtida multiplicando o módulo do vector pelo seno do mesmo ângulo. Figura 5. A força F é exercida no corpo de massa m, quando o deslocamento deste é r. O ângulo entre a direcção da força e a do deslocamento é θ. Analisando a equação (1), podemos concluir que o trabalho 6 força pode ser positivo, negativo ou nulo. realizado por uma Se 0 < θ < 90, então cos θ > 0 e W > 0: o trabalho realizado pela força é positivo. Se 90 < θ < 180, então cos θ < 0 e W < 0: o trabalho realizado pela força é negativo. Se θ = 90, então cos θ = 0 e W = 0: a força é perpendicular à direcção do deslocamento e o trabalho realizado pela força é nulo. 6 Repare-se que a noção de trabalho em Física não corresponde exactamente ao significado dessa palavra na acepção a linguagem comum. 12

13 Figura 6. Uma vez escolhido um sistema de referência (xy), as força F exercida sobre o corpo de massa m pode ser decomposta em duas componentes vectoriais, F x e F y, segundo os eixos do sistema de referência escolhido.. Se θ = 0 (cos θ = 1), a equação (1) assume a forma W = F r e obtemos o primeiro caso considerado (Força na direcção do deslocamento). Por exemplo, referindo-nos à Figura 6, O trabalho da força F sobre o corpo de massa m quando este se desloca de r é, atendendo a que F = F x + F y, W F = W F x + W F y = F x r cos 0 + F y r cos 90 = F x r, (3) que, comparada com a equação (1) conduz a F x = F cos θ, (4) relação que já conhecemos. Como o deslocamento é ao longo do eixo dos x, podemos escrever r = x, sendo o trabalho da força F sobre o corpo, num deslocamento deste último entre 0 e x f dado por W = (F cos θ) x = (F cos θ) (x f 0). (5) 13

14 Figura 7. O trabalho da força F, representada na Figura 2, quando o corpo se desloca entre as posições 0 e x f é a área do rectângulo (amarelo) entre a linha que representa a intensidade da força e o eixo dos x. Se representarmos graficamente, a componente da força segundo o eixo dos x, em função da posição, x, obtemos uma linha horizontal (Fig. 7). Verificamos que o trabalho da força constante F exercida sobre um corpo quando ele se desloca numa direcção que faz um ângulo θ com o deslocamento é dado pela área 7 do rectângulo pintado de amarelo na Fig. 7. Com efeito, a área desta rectângulo é calculada utilizando a expressão matemática da Eq. (5). O trabalho de uma força sobre um corpo é negativo, por definição, quando a força possui uma componente na direcção do deslocamento e no sentido oposto. Neste caso, no gráfico da componente da força na direcção do deslocamento, em função da posição, a linha que representa essa componente estará abaixo do eixo dos x e o trabalho dessa força é negativo. Por exemplo, quando uma pessoa baixa um corpo no chão (por exemplo, um vaso de flores), o trabalho efectuado pela força da mão (dirigida para cima) sobre o objecto é negativo. Na mesma situação, o trabalho efectuado pela força de atracção gravítica sobre o corpo é positiva. Outro exemplo é o do trabalho da força de atrito cinético sobre um corpo que se desloca em contacto com outro (o agente da força é este último corpo). Como a 7 Na realidade, a área do rectângulo da Fig. 4 não tem dimensões física de área. As suas dimensões são de Força x Deslocamento, que são as dimensões de trabalho e energia. 14

15 força de atrito tem sempre sentido oposto ao do deslocamento, o trabalho da força de atrito é sempre negativo. O trabalho é a forma de transferência de energia 8 entre dois sistemas que envolve forças. A unidade de trabalho no Sistema Internacional é, por conseguinte, a mesma de energia, o joule (J): 1 J = 1 N 1m O trabalho realizado por uma força é uma grandeza escalar. Para caracterizar completamente a grandeza trabalho basta um número e a respectiva unidade. 8. Trabalho efectuado por uma força variável - caso unidimensional. Vamos considerar agora uma força com direcção e sentido constante mas cuja intensidade é variável, actuando num corpo na direcção do deslocamento deste. Figura 8. Exemplo do gráfico da componente segundo o eixo dos x de uma força de módulo variável que actua num corpo, em função da posição deste, que se desloca na direcção e sentido do mesmo eixo. Para calcularmos o trabalho desta força sobre um corpo quando este se desloca, em movimento unidimensional, de x = 0 até x = x f, podemos desenhar a curva azul na forma apresentada na figura 8. A área da região (a amarelo) entre a curva que exprime a componente da força na direcção do deslocamento, em função da posição do corpo na figura 8 é aproximadamente igual à soma das áreas dos rectângulos representados figura 9. 8 Recordemos que a outra forma de transferência de energia é o Calor. 15

16 Figura 9. A área da região (a amarelo) entre a curva que exprime a componente da força na direcção do deslocamento, em função da posição do corpo na Fig. 5, é aproximadamente igual à soma das áreas dos rectângulos representados nesta figura. Podemos portanto escrever que o trabalho da força F, que estamos a considerar, quando é exercida sobre um corpo que se desloca rectilíneamente da posição x = 0 até x = x f é W F i (x i+1 x i ). (6) i O número de parcelas desta expressão é igual ao número de rectângulos que cobrem a região pintada de amarelo. A aproximação da Eq. (6) pode ser melhorada diminuindo a largura dos rectângulos, x i+1 x i, à custa do aumento do número de parcelas. Quando a largura dos rectângulos for infinitesimal, obtemos, agora exactamente, com x = x i+1 x i = constante, W = lim x 0 F i x i x f = F dx, 0 (7) que se lê integral, de x = 0 a x = x f, do produto de F vezes dx 9 e dá-nos a área pintada de amarelo da figura 8., 9 Neste curso não utilizaremos o conceito de integral, para além desta definição. 16

17 9. Trabalho e Energia cinética Se uma força constante F actua num corpo de massa m, sendo o deslocamento desta último, x, no mesmo sentido e direcção da força, o trabalho realizado por essa força sobre a partícula é: W = F x = ma x, (8) Como a aceleração da partícula é constante (porque a força é constante), é válida a relação: v 2 = v a x, (9) Substituindo na equação (98), a expressão da aceleração, a, retirada da equação (8), obtemos: v 2 = v W/m, (10) de onde se conclui: W = 1 2 mv2 1 2 mv 0 2, (11) Vimos que a quantidade 1 2 mv2 é a energia cinética do corpo de massa m quando o módulo da sua velocidade é v. A energia cinética, E C, é a energia que corpo possui por ter movimento. A equação (11) pode ser escrita na forma W = E C E C0, (12) ou W = E C, (13) sendo W o trabalho realizado pela resultante de todas as forças que actuam na partícula. 17

18 A equação (12) ou (13) traduz o Teorema do Trabalho-Energia 10 ou da Energia Cinética: o trabalho realizado pela resultante das forças que actuam numa partícula num determinado intervalo de tempo é igual à variação da energia cinética da partícula nesse intervalo de tempo. 10. Transferência de Energia Podemos considerar o corpo sobre o qual é exercida uma força como o nosso sistema. O agente que exerce a força é o ambiente. O trabalho da força sobre o sistema é uma transferência de energia do ambiente para o sistema (Fig. 10). Se o trabalho é positivo, a energia do sistema (o corpo) aumenta, sob a forma de energia cinética. Se o trabalho exercido pelo ambiente é negativo, é transferida energia do sistema para o ambiente. Figura 10. Se o ambiente exerce uma força sobre o sistema e o trabalho dessa força é positivo, é transferida energia do ambiente para o sistema. No sistema, essa energia assume a forma de energia cinética. Recordemos que, de acordo com a 3.ª Lei de Newton, se o ambiente exerce uma força sobre o sistema, o sistema exerce também uma força de igual intensidade, 10 O teorema da energia cinética é válido em geral, ainda que só o tenhamos demonstrado para o caso de uma força constante que actua num corpo na direcção do deslocamento. 18

19 igual direcção e sentido oposto. Esta força efectua, consequentemente, trabalho negativo sobre o ambiente, o que concorda com o facto de estar a ser transferida energia do ambiente para o sistema. 11. Trabalho realizado pela força gravítica Consideremos um corpo (que aqui é o sistema) atirado ao ar na vertical. Observemosemos a Fig. 11. A trajectória da bola, na subida e na descida, é vertical. Podemos, portanto, utilizar um sistema de referência constituído por um único eixo vertical, que escolhemos com sentido positivo para cima, com origem no ponto em que a bola é lançada. Figura 11. Uma bola é lançada, para cima, na vertical, com velocidade inicial v 0. Durante o movimento, na subida e descida, a bola é actuada pela força gravítica mg. Durante todo o movimento, no percurso ascendente, no ponto mais alto e no percurso descendente, a única força exercida na bola é a força gravítica da Terra, isto é, o peso da bola, P = mg, em que m é a massa da bola. No percurso ascendente o trabalho do peso é W asc = P y cos

20 = mgy max Como o trabalho da força gravítica do ambiente sobre a bola é negativo, a energia da bola no ponto y = 0 vai ser transferida para o ambiente. No ponto de lançamento, em que a bola possui velocidade v 0, a energia (cinética) da bola é E c0 = 1 2 mv 0 2. No percurso ascendente, a energia cinética da bola diminui até se anular 11. O ponto em que a energia cinética se anula é o ponto mais alto da trajectória, y max. A aplicação do teorema da energia cinética ao intervalo de tempo de subida resulta em W asc = 0 E c0 mgy max = 1 2 mv 0 2 y max = v 0 2 2g. 12 (14) No movimento descendente, entre y = y max e y = 0, o trabalho do peso é W desc = P y cos 0 = mgy max Como o trabalho da força gravítica do ambiente sobre a bola é positivo, vai ser transferida energia do ambiente para a bola. Inicialmente, no ponto y = y max, a energia cinética da bola é nula. A energia cinética da bola no ponto y = 0, E c, e, consequentemente, o módulo da velocidade da bola nesse ponto, podem ser obtidos utilizando o teorema da energia cinética, W desc = E c 0 11 É óbvio que a energia cinética de um corpo não pode ser negativa (na expressão está o quadrado da velocidade, que é sempre positivo ou nulo). 12 Este é o mesmo valor da altura máxima da bola, em função do módulo da velocidade inicial, que seria obtido por considerações de cinemática do movimento uniformemente acelerado com aceleração g. 20

21 mgy max = E c 1 2 mv2 = mgy max v = 2gy max (15) Comparando a Eq. (15) com a Eq. (14), concluímos que v = v 0, isto é, o módulo da velocidade da bola quando atinge de novo o ponto de partida é igual ao módulo da velocidade inicial. Como o deslocamento e a velocidade são grandezas que dependem do sistema de referência considerado, os valores numéricos do trabalho e da energia cinética também dependem do desse sistema de referência. 12. Trabalho realizado pela força elástica Consideremos agora um corpo, assente sobre uma mesa horizontal, ligado a uma mola elástica. Vamos considerar que a força de atrito entre as superfícies da mesa e do corpo é desprezável. Quando o corpo se encontra na posição da figura 9, que denotamos por x = 0, em relação ao eixo de referência x, horizontal e apontando para a direita, a mola (que não está comprimida nem esticada) não exerce força no corpo e este está em repouso. Figura 12. Um corpo está assente numa superfície horizontal, sem atrito, ligado a uma mola. Na posição da figura a mola (que não está esticada nem comprimida) não exerce nenhuma força sobre o corpo. Quando a mola está comprimida, isto é, a coordenada de posição do corpo, x, for negativa (x < 0), vai exercer sobre o corpo uma força horizontal, denominada força elástica, no sentido positivo do eixo dos x, isto é, F el > 0 (Fig. 12). 21

22 Figura 13. Quando a mola está comprimida (x < 0) vai exercer no corpo uma força, denominda força elástica, na direcção horizontal e com o sentido positivo (F el > 0). Quando a mola está esticada, isto é, a coordenada de posição do corpo, x, for positiva (x > 0), a força elástica exercida pela mola sobre o corpo tem o sentido negativo do eixo dos x, isto é, F el < 0 (Fig. 14). Figura 14. Quando a mola está esticada (x > 0), a força elástica exercida no corpo tem a direcção horizontal e o sentido negativo (F el < 0). A intensidade da força elástica tem uma expressão matemática muito simples: é proporcional ao simétrico da posição do corpo em relação à posição de equilíbrio (em que colocámos a origem do eixo de referência, isto é, x = 0): F el = kx. (16) Nesta expressão, conhecida como Lei de Hooke, k é uma constante, que depende das características da mola, denominada constante da mola. O gráfico da intensidade da força elástica em função da coordenada de posição do corpo, entre duas posições simétricas em relação à posição de equilíbrio, está representado na figura 15). É uma linha recta com declive negativo, que passa pela origem. O trabalho da força elástica sobre o corpo, quando este se desloca entre x = -x max e x = 0 é dado pela área do triângulo amarelo que se encontra do lado esquerdo do eixo vertical. A área de um triângulo é metade do produto do comprimento da base pela altura, consequentemente, 22

23 Figura 15. A linha azul representa a intensidade da força elástica exercida pela mola sobre o corpo em função da coordenada de posição do corpo, x. Para x<0, a força tem o sentido positivo, enquanto que para x >0 a força tem o sentido negativo. A área amarela dá-nos o trabalho da força sobre o corpo, quando este se desloca entre x = -x max e x = x max. W xmax x=0 = 1 2 x max kx max = 1 2 kx 2 max. Recorrendo ao teorema da energia cinética, concluímos que se o corpo (ligado à mola) parte do repouso na posição x = -x max, a sua energia cinética na posição x = 0 será E cx=0 = 1 2 mv 0 2 = 1 2 kx 2 max, isto é, o módulo da velocidade do corpo ao passar na posição x = 0 será v 0 = k m x max. O trabalho da força elástica sobre o corpo, quando este se desloca entre x = 0 e x = x max é dado pela área do triângulo amarelo que se encontra do lado direito do eixo vertical. Agora a intensidade da força é negativa, o que conduz a um valor negativo para a área desse triângulo: 23

24 W x=0 xmax = 1 2 x max ( kx max ) = 1 2 kx 2 max. Recorrendo ao teorema da energia cinética, concluímos que se o corpo (ligado à mola) passa na posição x = 0 com energia cinética E cx=0 = 1 2 kx 2 max, a sua energia cinética na posição x = x max será E = 1 cx=x max 2 kx 2 max 1 2 kx 2 max = 0 isto é, o corpo está de novo em repouso 13 Podemos concluir ainda que o trabalho da força elástica entre as posições extremas, x = -x max e x = x max é nulo o que, mais uma vez, está de acordo com o teorema da energia cinética. na posição x = x max. O facto de o trabalho ser negativo quando o corpo se desloca entre x = 0 e x = x max concorda com a definição que demos de trabalho de uma força porque aqui o sentido da força é oposto ao do deslocamento. Nota final: Quando o corpo está em repouso na posição de equilíbrio, é necessário que um agente exterior exerça uma força no corpo para o deslocar para a posição x = -x max. Nesse deslocamento a força elástica exerce sobre o corpo um trabalho negativo enquanto que o trabalho do agente exterior exerce sobre o corpo um trabalho negativo. Como o trabalho total exercido sobre o corpo é nulo (porque supomos que a energia cinética inicial e final do corpo é nula), a força do agente exterior tem de ser igual ao simétrico da força elástica, isto é, F ext = kx. 13 Esta situação de repouso é instantânea, uma vez que estando a ser exercida no corpo a força kx max, o corpo subsequentemente deslocar-se-á no sentido negativo do eixo dos x. 24

25 13. Referências Parte deste texto foi inspirado no livro de Benjamin Crowell Conservation Laws, que pode ser descarregado em ficheiro PDF em 25