MODELAGEM MATEMÁTICA NA CONCENTRAÇÃO DE ÁLCOOL NO SANGUE E A UTILIZAÇÃO DO APLICATIVO CALC

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1 MODELAGEM MATEMÁTICA NA CONCENTRAÇÃO DE ÁLCOOL NO SANGUE E A UTILIZAÇÃO DO APLICATIVO CALC GT 04- Modelagem Matemática Thaíse Lago Stefanello Agilar, UNIFRA, thisels@yahoo.com.br Leandra Anversa Fioreze, UFSM, leandra.fioreze@gmail.com Resumo: Este trabalho tem como objetivo utilizar a Modelagem Matemática no estudo da Concentração de Álcool no Sangue, aliada ao uso do computador, pois nos dias atuais conhecer alternativas que facilitem a aprendizagem torna o processo mais significativo ao aluno e mais satisfatório ao professor, que assume o papel de mediador e não apenas de transmissor. Relacionar o conhecimento matemático a temas atuais e tão debatidos na atualidade, como o consumo de álcool, coloca o aluno frente a situações de seu dia-a-dia que contribuem para a melhoria da aprendizagem dos conhecimentos matemáticos. Os dados utilizados foram obtidos através do projeto Viver Bem da UNESP, Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho Faculdade de Medicina de Botucatu. A metodologia utilizada seguiu os passos da Modelagem Matemática com o uso do aplicativo CALC para a elaboração e análise dos modelos matemáticos que representam o nível de álcool no sangue em função do tempo decorrido, em indivíduos do sexo masculino e feminino, com 75 quilogramas de massa corporal que tenham ingerido 1 lata de cerveja a cada hora durante 5 horas e 4 de latas de cerveja a cada hora. Palavras-chave: Modelagem Matemática; Concentração alcoólica; Computador; Aplicativo Calc. Introdução Este trabalho objetivou relacionar o tema do consumo de álcool entre jovens com o conhecimento matemático necessário para o cálculo da concentração de álcool no sangue, utilizando a Modelagem Matemática e as novas tecnologias do ensino. O emprego de novas metodologias é uma tendência no ensino atual, e cada vez mais os profissionais estão buscando adaptar-se a esta realidade. Assim, com a utilização do computador para análises gráficas e interpretação de resultados, professores e alunos estarão desenvolvendo estratégias para aprimorar o raciocínio matemático envolvido na resolução de problemas da realidade. Neste estudo foi empregada a Modelagem Matemática aliada à utilização do computador através da planilha eletrônica Calc, um software livre que faz parte do pacote BrOffice e possibilita a criação de expressões matemáticas em planilhas eletrônicas, bem como a construção de gráficos. A metodologia da Modelagem Matemática, que para Bassanezi (2002) consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas

2 matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real, possibilita que os estudantes aprendam matemática através da obtenção de modelos matemáticos, o que se torna muito valioso, pois o conhecimento adquirido para obtenção do modelo matemático torna-se algo significativo ao aluno. Utilizar a Modelagem Matemática com o auxílio de novas tecnologias, como o computador e as planilhas eletrônicas, possibilita ao aluno expandir seu conhecimento, pois além dos conceitos matemáticos poderá aprimorar o conhecimento sobre informática, sendo assim, capaz de encontrar soluções aos problemas de forma criativa, inovadora e rápida. Os dados utilizados encontram-se disponíveis através do projeto Viver Bem da Unesp 1, o qual apresenta uma planilha para a obtenção da concentração de álcool no sangue, sendo possível visualizar graficamente os valores e também em quanto tempo após o consumo de álcool o indivíduo estará apto a dirigir. Trata-se de um assunto atual e que pode ser explorado matematicamente, além de ser uma questão da realidade dos alunos com repercussão social e econômica. Em face da discussão atual em torno do consumo de bebidas alcoólicas pelos jovens, e nas conseqüências danosas ocorridas, buscou-se discutir em termos matemáticos a concentração de álcool no sangue em indivíduos do sexo masculino e feminino que tenham ingerido a mesma quantidade de álcool. Encontrou-se via modelagem matemática, o tempo necessário para que os indivíduos dirijam com segurança e o tempo de consumo de álcool que acarreta riscos de acidentes, comparando também graficamente os efeitos do consumo de álcool em homens e mulheres. O álcool no corpo humano O consumo de álcool tem diferentes sintomas nos indivíduos, variando de pessoa para pessoa, existindo diferenças entre organismo masculino e organismo feminino: Partindo do ponto de vista biológico, as mulheres são metabolicamente menos tolerantes ao álcool do que os homens. Seu peso e a menor quantidade de água corporal, em detrimento da maior quantidade de gordura, associado a menor quantidade de enzimas metabolizadoras de álcool, implica o fato de que a intoxicação ocorra com o uso de metade da quantidade usada pelo homem. A vulnerabilidade para o desenvolvimento de complicações clínicas é maior entre as mulheres, e as mesmas sofrem mais risco de mortalidade que os homens. Também apresentam maior chance de desenvolver doenças hepáticas como cirrose, mesmo tendo consumido álcool por um período menor (NOBREGA; OLIVEIRA, 2005). 1 Disponível no site:

3 O consumo de álcool pelas mulheres causa danos maiores do que o consumo de álcool pelos homens, em virtude dos esclarecimentos descritos acima, mas existem conseqüências negativas tanto para homens como para mulheres. Por isso a escola deve buscar conscientizar seus alunos através dos efeitos causados pelo álcool, pois os problemas ocorridos em função de seu consumo em excesso, e de forma inconseqüente, acarretam grandes prejuízos à sociedade e ao ser humano que o ingere. Quanto ao risco de acidentes de trânsito provocado pelo consumo de álcool, pode-se observar pelo quadro abaixo que quanto maior a concentração alcoólica, maior o risco enfrentado pelo motorista alcoolizado: Quadro 1 Concentração de álcool no sangue x Riscos de acidente. Concentração de álcool no sangue (g/l) Fonte: Zero Hora, 22/06/2008. Risco de Acidentes 0,5 Aumenta duas vezes 0,9 Aumenta três vezes 1,5 Aumenta dez vezes 2 Aumenta vinte vezes Pode-se perceber que, embora a concentração de 0,5 g/l a 2 g/l é quadruplicada, o risco de acidentes aumenta 10 vezes, ou seja, o efeito do álcool é grave e os riscos são iminentes para motoristas que arriscam dirigir alcoolizados. No entanto, de acordo com Melo et al (2008), existem países que não consideram determinadas concentrações alcoólicas como empecilhos para a prática da direção, entre eles estão: Austrália e Argentina, que permitem que motoristas dirijam com concentração de até 0,5 g/l; Canadá e México, que permitem que motoristas dirijam com concentração de até 0,8 g/l. Também existem países, como Brasil, Eslováquia, Hungria, Malásia e Arábia Saudita, que adotaram a lei de tolerância zero para a combinação álcool x direção. Metodologia para a obtenção do modelo matemático Com este trabalho pretende-se, ao analisar os dados apresentados pelo projeto Viver Bem da UNESP e obter o modelo que fornece a concentração alcoólica no sangue, considerando fixa a quantidade de latas de cerveja ingeridas por hora. Para tanto são analisadas as seguintes situações: Modelo 1: Concentração alcoólica para indivíduos do sexo masculino, com 75 quilogramas de massa corporal, que ingerem 1 lata de cerveja (350 ml) por hora, durante 5 horas;

4 Modelo 2: Concentração alcoólica para indivíduos do sexo feminino, com 75 quilogramas de massa corporal, que ingerem 1 lata de cerveja (350 ml) por hora, durante 5 horas; Modelo 3: Concentração alcoólica para indivíduos do sexo masculino, com 75 quilogramas de massa corporal, que ingerem 4 latas de cerveja (350 ml cada) por hora; Modelo 4: Concentração alcoólica para indivíduos do sexo feminino, com 75 quilogramas de massa corporal, que ingerem 4 latas de cerveja (350 ml cada) por hora; sendo que os modelos 1 e 2 estão descritos neste artigo. Modelo 1 concentração de álcool no sangue em indivíduo do sexo masculino que ingere uma lata de cerveja por hora, durante 5 horas. O quadro 2 apresenta os dados para o cálculo da concentração de álcool no sangue para um indivíduo do sexo masculino com 75 quilogramas de massa corporal, que ingere 1 lata de cerveja (350 ml) por hora, durante 5 horas. Os dados sugerem que a ingestão da primeira lata tenha ocorrido às 18:00 horas, sendo fornecida a concentração alcoólica do indivíduo às 19:00 horas, e assim para as outras latas que ele consumiu: Quadro 2 Dados para um indivíduo do sexo masculino. Hora Bebido (g) Retido (g) Nível de Álcool no Sangue (g/l) 19: ,023 20: ,2 0,029 21: ,4 0,036 22: ,5 0,043 23: ,7 0,050 00:00 0,00 20,9 0,034 01:00 0,00 11,1 0,018 02:00 0,00 1,2 0,002 03:00 0,00 0,00 0,000 Fonte: Dados obtidos do site Analisando os dados do quadro acima e considerando que uma lata de cerveja contém 14 gramas de álcool, observa-se que o álcool ingerido na primeira lata fica totalmente retido. Após a primeira lata ingerida, a quantidade retida no organismo, quase sempre aumenta 4,2 gramas a cada lata de cerveja ingerida, até o momento em que o indivíduo cessa a ingestão de cerveja. Ou seja, verifica-se recursivamente que o álcool retido em gramas aumenta segundo a expressão abaixo: a 1 = 14 a 2 = ,2 =18,2 a 3 = ,2.2 = 22,4

5 a 4 = ,2.(4-1) = ,2.3 = 26,6 a 5 = ,2.(5-1) =14 + 4,2. 4 = 30,8 Pode-se generalizar, escrevendo: a n =14 + 4,2.(n-1), 1 n 5 (1) onde a 1 = representa a quantidade, em gramas, de álcool retido após a ingestão da primeira lata de cerveja depois da primeira hora a n = representa a quantidade, em gramas, de álcool retido após a ingestão de uma lata de cerveja a cada hora depois de n horas. e Após o momento que a pessoa cessa a ingestão de cerveja ocorre um decréscimo na quantidade de álcool retida, reduzindo 9,8 gramas a cada hora, até que seja zerada a quantidade de álcool do organismo. Recursivamente, tem-se: a 5 = 30,7 a 6 = a 5 9,8 = 30,7 9,8 = 20,9 a 7 = a 6 9,8 = 20,9 9,8 = 11,1 a 8 = a 7 9,8 = 11,1 9,8 = 1,3 Pode-se generalizar, escrevendo: a n = 30,7 9,8.(n 5), para 6 n < 9 (2) Onde a 5 = representa a quantidade, em gramas, de álcool retido após a ingestão da última lata de cerveja depois da quinta hora e a n = representa a quantidade, em gramas, de álcool retido no organismo após ter cessado a ingestão de cerveja, depois de n horas. O modelo acima é discreto, visto que a variável independente n (tempo) está tomando valores no conjunto dos números naturais. Considerando o tempo contínuo, podem-se escrever as equações (1) e (2) da forma: a t = ,2.(t - 1), para 1 t 5 a t = 30,7 9,8.(t 5), para 5 < t < 9 (3) Concluindo-se que o álcool retido no organismo é descrito por uma função afim definida por mais de uma sentença. Para a verificação do nível de álcool no sangue, observa-se no quadro 2 que: - Em uma hora após a ingestão da primeira lata de cerveja a concentração de álcool no sangue é de 0,023 g/l;

6 - Em duas horas após a ingestão de duas latas de cerveja, a concentração alcoólica aumentou 0,006 g/l da concentração anterior, passando a ser de 0,029 g/l; - Em três horas após a ingestão de três latas de cerveja, a concentração alcoólica aumentou 0,007 g/l da concentração anterior, passando a ser 0,036 g/l; - Em quatro horas após a ingestão de 4 latas de cerveja, a concentração alcoólica aumentou 0,007 g/l da concentração anterior, passando a ser 0,043 g/l; - Em cinco horas, tendo bebido um total de 5 latas de cerveja, a concentração alcoólica aumentou 0,007 g/l da concentração anterior. Neste momento o indivíduo cessa o consumo, atingindo um máximo da concentração de álcool no sangue no valor de 0,050 g/l; - Em seis horas, ocorre um decréscimo de 0,016 g/l na concentração de álcool no sangue, sendo a concentração alcoólica de 0,034 g/l; - Em sete horas, ocorre um decréscimo de 0,016 g/l na concentração de álcool no sangue, sendo a concentração alcoólica de 0,018 g/l; - Em oito horas, ocorre um decréscimo de 0,016 g/l na concentração de álcool no sangue, sendo a concentração alcoólica de 0,002 g/l; - Após, ocorre um decréscimo do valor residual de 0,002 g/l na concentração de álcool no sangue, sendo a concentração alcoólica de 0,00 g/l, ou seja, neste momento o indivíduo está apto a dirigir com segurança. Traduzindo para a notação matemática a situação descrita no quadro 2, o modelo matemático para a concentração de álcool quando o indivíduo do sexo masculino ingere uma lata de cerveja a cada hora, para as primeiras 5 horas é: CM(t) = 0, ,007.(t - 1), para 1 t 5 (4) Onde CM(t) - Concentração de álcool no sangue em função do tempo decorrido, para um indivíduo do sexo masculino; Cabe lembrar que neste modelo considerou-se fixa a ingestão de álcool, qual seja, uma lata de cerveja a cada hora e partiu-se da análise da concentração alcoólica após a ingestão da primeira lata de cerveja. Os resultados descritos no quadro 3 foram obtidos através do aplicativo Calc, da seguinte maneira: relacionou-se em uma coluna o tempo decorrido, variável independente do modelo 1, e a partir da expressão matemática dada em (4), obteve-se a coluna de valores da concentração de álcool no sangue, variável dependente deste modelo:

7 Quadro 3 Modelo da elevação da concentração de álcool no sangue para um indivíduo do sexo masculino em Tempo decorrido (horas) Fonte: Dados elaborados através do estudo da autora. função do tempo decorrido. CM(t) = 0, ,007.(t-1) 1 0, , , , ,050 O modelo (4) representa o aumento da concentração de álcool no sangue quando o indivíduo ingere uma lata de cerveja por hora. Para que se possa obter o modelo que representa o declínio da concentração quando o indivíduo pára de beber, deve-se analisar que a concentração decai a uma taxa de 0,016 g/l, ou seja, o modelo é: CM(t) = 0,050 0,016.(t 5), para 5 < t < 9 (5) Deve-se esclarecer que a taxa de decréscimo da concentração de álcool no sangue é de 0,016 g/l, e que existirá um momento que restará um resíduo inferior a 0,016 g/l, sendo o mesmo eliminado em tempo inferior a uma hora. O quadro 4 apresenta os dados da concentração de álcool no sangue obtidos através do aplicativo Calc e considerando que o indivíduo parou de beber após a ingestão da 5ª. lata de cerveja, no intervalo de tempo de 5 < t < 9: Quadro 4 Modelo do decréscimo da concentração de álcool no sangue para um indivíduo do sexo masculino Tempo (horas) Fonte: Dados elaborados através do estudo da autora em função do tempo decorrido. C(t) = 0,050-0,016.(t-5) 6 0, , ,002 Não existe concentração alcoólica negativa; assim, pela taxa de variação de 0,016 g/l por hora obtém-se, via regra de três, que a concentração de 0,002 g/l levará menos do que uma hora para ser eliminada. Ou seja, o tempo necessário para eliminar 0,002 g/l será de 7,5 minutos. Convém chamar a atenção de que a regra de três só é possível por que a constante de proporcionalidade usada numa regra de três é equivalente ao coeficiente angular de uma reta.

8 E assim, o modelo que melhor representa a concentração de álcool para indivíduos do sexo masculino que ingerem uma lata de cerveja por hora, durante 5 horas é: C(t) = 0, ,007.(t-1), para 1 t 5 (6) C(t) = 0,050-0,016.(t-5), para 5 < t 8,125 Análise gráfica do Modelo 1 Concentração de álcool no sangue em indivíduo do sexo masculino Obtém-se o gráfico para o Modelo 1 utilizando o aplicativo Calc com os dados dos quadros 3 e 4. Através da relação Tempo decorrido em horas e Concentração de álcool no sangue, tem-se o gráfico em linhas que descreve o modelo matemático dado em (6): 0,060 Concentração de álcool no sangue (g/l) 0,050 0,040 0,030 0,020 0,010 0, ,125 Tempo decorrido (Horas) Figura 1 Concentração de álcool no sangue em função do tempo decorrido para um indivíduo do sexo masculino. O gráfico demonstra que a concentração de álcool no sangue manteve-se em elevação até a quinta hora após a ingestão da primeira lata de cerveja, sendo que o indivíduo ingeriu uma lata de cerveja por hora, durante as cinco primeiras horas. Neste momento, o indivíduo cessou a ingestão de álcool, ocorrendo queda da concentração a uma taxa de 0,016 g/l. Observa-se que às 8 horas, 7 minutos e 30 segundos a concentração de álcool no sangue encontra-se zerada. Modelo 2 concentração de álcool no sangue em indivíduo do sexo feminino que ingere uma lata de cerveja por hora. Fazendo uma analogia com os passos realizados no modelo 1, e considerando os dados para indivíduos do sexo feminino, conforme quadro 5: Quadro 5 Dados para um indivíduo do sexo feminino. Hora Bebido (g) Retido (g) Nível de Álcool no Sangue (g/l)

9 19: ,027 20: ,2 0,036 21: ,4 0,044 22: ,5 0,052 23: ,7 0,060 00:00 0,00 20,9 0,041 01:00 0,00 11,1 0,022 02:00 0,00 1,2 0,002 03:00 0,00 0,00 0,000 Fonte: Dados obtidos do site Obtém-se o modelo para a concentração de álcool quando o indivíduo do sexo feminino ingere uma lata de cerveja a cada hora, durante 5 horas: CF(t) = 0, ,008.(t-1), para 1 t 5 (7) CF(t) = 0,060-0,019.(t-5), para 5 < t 8,158 Sendo CF(t) - Concentração de álcool no sangue em função do tempo decorrido, para um indivíduo do sexo feminino. Este modelo também considera que depois das 5 horas, o indivíduo cessa de beber. Análise gráfica do Modelo 2 Concentração de álcool no sangue em indivíduo do sexo feminino. Através da relação das coordenadas Tempo decorrido em horas e Concentração de Álcool no sangue para indivíduo do sexo feminino, tem-se o gráfico do modelo em análise, que é composto por uma função definida por partes, onde cada parte representa uma função afim, sendo uma crescente e outra decrescente: 0,070 0,060 Concentração de álcool no sangue (g/l) 0,050 0,040 0,030 0,020 0,010 0, ,158 Tempo decorrido (horas) Figura 2 Nível de álcool no sangue em função do tempo decorrido para um indivíduo do sexo feminino. Sendo os dados originários do modelo dado em (7) e obtidos com o aplicativo Calc.

10 O gráfico da figura 2 demonstra que a concentração de álcool no sangue aumentou até a quinta hora após a ingestão da primeira lata de cerveja, momento em que o indivíduo cessou a ingestão de álcool; após, houve queda da concentração a uma taxa de 0,019 g/l. Observa-se que às 8 horas, 9 minutos e 30 segundos a concentração de álcool no sangue encontrava-se zerada. Resultados e discussões Após a obtenção dos modelos parte-se para a análise dos problemas abaixo: Problema 1 Considerando os modelos 1 e 2 obtidos, existem diferenças na concentração de álcool no sangue em função do sexo do indivíduo? A resolução deste problema será feita utilizando o aplicativo Calc na elaboração do gráfico de colunas a partir da seleção dos dados obtidos dos modelos (6) e (7): Concentração de álcool na sangue g/l 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, :00 20:00 21:00 22:00 23:00 00:00 01:00 02:00 03:00 Tempo (em horas) Masculino Feminino Figura 3 Gráfico comparativo para os modelos masculino e feminino do nível de álcool no sangue em função do tempo decorrido. Observando o gráfico, se pode visualizar que a concentração alcoólica feminina é superior a concentração alcoólica masculina em todas as horas analisadas, o que demonstra que as mulheres são afetadas com mais intensidade pelos efeitos do álcool, possuindo concentração mais elevada.. Porém, em ambos os modelos, têm-se a eliminação total depois das 02:00 horas da manhã, o que nos leva a concluir que tanto homens quanto mulheres estariam aptos a dirigir, praticamente ao mesmo tempo, após terem ingerido 5 latas de cerveja (com diferença desprezível de 2 minutos).

11 Problema 2 Analisando os modelos 1 e 2 obtidos, que considera o consumo de 1 lata de cerveja por hora, durante o período de 5 horas, em quais horários os indivíduos do sexo masculino e feminino estão aptos a dirigir com segurança e não estarão infringindo a Lei de tolerância zero? Os indivíduos do sexo masculino e feminino estão aptos a dirigir com segurança após 3 horas de cessar a ingestão de cerveja, mais precisamente: - Indivíduo do sexo feminino: 3 horas, nove minutos e 30 segundos, após ter cessado a ingestão de cerveja; - Indivíduo do sexo masculino: 3 horas, sete minutos e 30 segundos, após ter cessado a ingestão de cerveja. Pode-se concluir, pelo modelo em análise, que existe uma diferença de 2 minutos para que homens e mulheres apresentem concentração de álcool no sangue nula. Conclusões Após o término deste trabalho observou-se que a Modelagem Matemática aliada ao tema da concentração de álcool no sangue forneceu uma oportunidade de trabalhar conceitos matemáticos com a utilização do computador para obtenção e análise dos modelos. Quanto aos modelos matemáticos encontrados, conclui-se que a concentração de álcool no sangue pode ser representada por meio das funções afim crescente e decrescente, variando entre homens e mulheres. Entre as mulheres a concentração alcoólica cresce mais rapidamente do que a concentração alcoólica dos homens, mesmo que os indivíduos tenham ingerido a mesma quantidade de álcool e possuam a mesma massa corporal, o que torna as mulheres mais vulneráveis aos efeitos da ingestão de álcool. Na eliminação do álcool observou-se que em indivíduos do sexo feminino a taxa de decrescimento é maior do que a taxa para indivíduos do sexo masculino, ocorrendo praticamente ao mesmo tempo, em homens e mulheres, a eliminação total do álcool ingerido. Fato comum entre homens e mulheres, pelo modelo estudado, é a quantidade de álcool retido após a ingestão de cada lata, que pode ser obtida recursivamente a partir da análise dos dados após a ingestão da primeira lata de cerveja, porém no organismo feminino o álcool retido provoca concentração alcoólica superior que a concentração de álcool no organismo masculino.

12 Quanto à obtenção dos modelos, ressalta-se a importância da utilização do computador, que atualmente, vem auxiliando o processo de ensino-aprendizagem, principalmente na análise gráfica e numérica e na obtenção de resultados que requerem muitos cálculos. As planilhas eletrônicas facilitam a aprendizagem, pois favorecem a análise do modelo obtido, através dos cálculos, da construção de tabelas e da elaboração de gráficos, além de vincular a utilização do computador ao ensino, capacitando ao aluno agregar seus conhecimentos matemáticos aos conhecimentos da informática, podendo aplicá-los em seu dia-a-dia. Por fim, o ensino da matemática necessita de incrementos para que professores e alunos tornem a aprendizagem mais dinâmica, mais inovadora e mais atrativa, pois na era da informação quem não estiver adequado aos desafios que se apresentam ou não buscar adequar-se a eles poderá ficar à margem da sociedade atual. Referências BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto, MELO, Itamar et al. Lei de Tolerância zero ao álcool prende pelo menos 45 no RS. Zero Hora, Porto Alegre, 22 jun Trânsito. Disponível em: < &uf=1>. Acesso em: 24 nov NOBREGA, Maria do Perpétuo S. S.; OLIVEIRA, Eleonora Menicucci. Consumo de álcool em mulheres uma análise qualitativa. Disponível em: < Acesso em: 08 out UNESP UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JULIO DE MESQUITA FILHO CAMPUS DE BOTUCATU. Como calcular o nível de álcool no sangue. Disponível em: < Acesso em 05 out VALENTE, José Armando (Org.). O computador na sociedade do conhecimento. Campinas: NIED, 2002.