ESTUDO DA RIGIDEZ À TORÇÃO PARA A APLICAÇÃO DO PROCESSO DE ANALOGIA DE GRELHA EM LAJES MACIÇAS

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1 ESTUDO DA RIGIDEZ À TORÇÃO PARA A APLICAÇÃO DO PROCESSO DE ANALOGIA DE GRELHA EM LAJES MACIÇAS Resumo Stramandinoli, J. S. B.(1); Loriggio, D. D. (2) (1) Doutoranda, Engenharia Civil-Estruturas, Universidade Federal de Santa Catarina julianastramandinoli@hotmail.com (2) Professor Doutor, Engenharia Civil, Universidade Federal de Santa Catarina loriggio@ecv.ufsc.br Departamento de Eng. Civil/ A/C Prof. Daniel D. Loriggio Universidade Federal de Santa Catarina Campus Universitário, Trindade, Caixa Postal 476 CEP : A analogia de grelha é um método bastante usado para análise de lajes de concreto armado, principalmente devido a sua facilidade de compreensão e utilização, e tem apresentado resultados satisfatórios para uma grande variedade de lajes. O procedimento consiste em substituir a laje por uma malha equivalente de vigas., onde as rigidezes à torção ( J ) e à flexão ( I ) da laje são concentradas nessas barras. A rigidez à torção é um parâmetro muito importante nessa analogia, e vai ter uma grande ênfase neste trabalho. A rigidez à torção da placa diminui significativamente para malhas pouco espaçadas, afetando os resultados obtidos. Uma alternativa para contornar esse problema pode ser adotar uma inércia à torção proporcional à inércia à flexão, que inclusive já havia sido proposta por MONTOYA (197) e HAMBLY(198). Neste trabalho serão estudadas várias relações J / I para lajes quadradas e retangulares para diversas condições de apoio (engastado/apoiado), com 6 modelos de grelha (espaçamentos entre as barra). Finalmente os resultados obtidos com esta analogia serão comparados com o modelo de placa pela teoria da elasticidade, a fim de estabelecer relações J / I que mais aproxime os resultados obtidos com o modelo de placa. O presente trabalho é bastante abrangente e fornece indicações para o modelamento da laje tanto para a obtenção de deslocamentos, como para a obtenção de esforços solicitantes necessários para o dimensionamento. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 1

2 1 Introdução 1.1 Modelo de Analogia de Grelha A analogia de grelha é um método bastante usado para análise de lajes, principalmente devido a sua facilidade de compreensão e utilização, e tem apresentado resultados satisfatórios para uma grande variedade de lajes. Esta técnica foi inicialmente idealizada por Marcus em 192 (TIMOSHENKO,1959), que não dispunha, nesta época, de computadores e portanto era preciso se valer de processos aproximados para resolver as lajes. Em 1959, com a constatação de que a análise de grelhas e pórticos planos pelo método dos deslocamentos era bastante parecida, LIGHTFOOT e SAWKO adaptaram um programa de cálculo de pórtico plano para o cálculo de grelhas. Mais tarde, HAMBLY(1976) sistematizou este estudo para o cálculo de tabuleiros de pontes. O procedimento de analogia de grelha consiste em substituir a laje por uma malha equivalente de vigas (grelha equivalente), conforme mostra a figura 1. Figura 1 - (a) Laje maciça; (b) grelha equivalente, HAMBLY (1976) As rigidezes à torção e flexão em cada região da laje são tomadas, para efeito de análise, como concentradas na barra de grelha mais próxima. As rigidezes longitudinais da laje são concentradas nas barras longitudinais, enquanto as rigidezes transversais são concentradas nas barras transversais. Esses valores devem ser tais que quando a laje em questão e a grelha equivalente forem sujeitas ao mesmo carregamento, as duas estruturas devem apresentar a mesma deformação e os momentos fletores, torsores e esforços cortantes devem ser iguais em seções correspondentes nas duas estruturas. Entretanto, segundo HAMBLY, isto se dá somente de forma aproximada, devido às diferentes características desses dois tipos de estrutura. Primeiramente, o equilíbrio de qualquer elemento de uma laje exige que os momentos torsores sejam idênticos nas duas direções ortogonais (Mxy = Myx), assim 2 como as distorções angulares w/ x y. No caso da grelha equivalente não existe nenhum princípio físico ou matemático que garanta que os momentos torsores e as distorções angulares em um determinado ponto sejam iguais nas direções ortogonais. Entretanto se a malha da grelha for suficientemente refinada, a grelha vai se deformar como uma superfície lisa com os momentos torsores e distorções aproximadamente iguais nas direções ortogonais. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 2

3 Outro inconveniente da grelha é que o momento em uma barra depende apenas de sua curvatura, enquanto que em uma laje, o momento em qualquer direção depende da curvatura naquela direção e na direção ortogonal. Além disso, CARVALHO (1994) também observou que o coeficiente de Poisson ν se faz sentir de forma diferente entre a teoria das placas e o processo de analogia de grelha. Isto acontece porque a rigidez de uma viga de seção retangular é dada por b h D v = E, enquanto que na placa, considerando uma faixa de largura b e com a 12 b h mesma altura da viga, é dada por D = E, o que mostra que a placa é 2 12( 1 ν ) normalmente mais rígida que a viga. Entretanto, depois de comparar os resultados das lajes maciças, obtidos através do processo de analogia de grelha, com os resultados fornecidos através do cálculo como placa pela teoria da elasticidade, pode-se dizer que os resultados obtidos com essa analogia são satisfatórios. 2 Indicações para utilização do modelo de analogia de grelha 2.1 Modelagem Como já foi visto o método consiste em desenvolver uma malha no interior da placa (uma grelha) composta por barras ortogonais paralelas aos lados (como se fossem vigas) abrangendo toda a área da placa (figura 1). Para as lajes maciças a posição das barras é aleatória e vai depender do espaçamento da malha da grelha. Nos exemplos numéricos será mostrado, que ao contrário que se pensava, à medida que o espaçamento das barras diminui não há uma convergência dos resultados obtidos. 2.2 Sistema de coordenadas e graus de liberdade Considera-se a grelha contida no plano XY, e as cargas externas atuantes perpendicularmente a este plano, na direção Z, com sentido positivo obedecendo à regra da mão direita. No caso da grelha existem três graus de liberdade por nó, ou seja, duas rotações (θx e θy) e uma translação no eixo z (figura 2). Figura 2 Graus de liberdade de uma barra de grelha,loriggio(2000) V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto

4 2. Propriedades físicas e geométricas As propriedades das barras influenciam diretamente nos resultados e portanto deve -se analisar vários aspectos das mesmas. a) Rigidez à flexão das barras: Cada barra da grelha irá representar uma certa faixa da placa, com altura igual a espessura da laje e a largura dependente do espaçamento das barras da grelha. Desta forma o momento de inércia à flexão das barras longitudinais e transversais da barra será calculado da seguinte forma: bh I = (Equação 1) 12 onde: b = largura da barra da grelha h = altura da barra da grelha b) Rigidez à torção das barras da grelha: O parâmetro de rigidez a torção G. J é composto pelo módulo de elasticidade transversal (G) do material, que pode ser medido ou calculado, em função do módulo de elasticidade longitudinal (Ec) e pelo momento de inércia à torção da seção transversal da barra ( J ). Segundo a lei de Hooke, para materiais isotrópicos homogêneos, a equação é a seguinte: E G = (Equação 2) 2(1 + ν ) Para aplicações em concreto armado, a NBR-6118, no item 8.2.6, fixa o valor do coeficiente de Poison em 0,2. Nos exemplos utilizados neste trabalho, foi adotada a seguinte relação aproximada: G = 0,4 Ec (Equação ) O outro parâmetro a ser analisado é o momento de inércia à torção, J, da seção transversal da barra. De acordo com HAMBLY (1976) o momento de inércia à torção não é simplesmente uma propriedade geométrica da seção transversal da peça como é o momento de inércia à flexão I. No caso de um cilindro, o momento de inércia à torção é igual ao momento polar de inércia I p, entretanto este é um caso especial, sendo que para outros tipos de seção transversal o momento de inércia à torção é totalmente diferente de I p. Portanto, não existe uma regra geral para o cálculo do momento de inércia à torção. Para um retângulo de lados b e h, por exemplo, o J pode ser calculado da seguinte forma (GERE e WEAVER, 1980): J = β b h (Equação 4) V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 4

5 onde: b = maior dimensão da seção transversal; h = menor dimensão da seção transversal 4 1 h h β = 0,21 1 (Equação 5) 4 b 12b MONTOYA (197) e HAMBLY (1976) propõem que se use, para uma barra de grelha que representa uma largura b de uma laje maciça, J = 2 I. No item é mostrado de onde partiu essa idéia. 2.4 Carregamento As cargas atuantes na laje provenientes do peso-próprio, revestimentos, paredes divisórias, carga acidental e outras que possam estar atuando na estrutura, atuam perpendicularmente ao plano XY e podem ser representadas de duas maneiras: como cargas distribuídas ao longo das barras e como cargas concentradas nos nós. Para ambos os casos a carga deve ser calculada através da área de influência do elemento (barra ou nó) como mostra a figura. Em todos os exemplos mostrados adiante foram consideradas cargas distribuídas ao longo da barra. Figura Carregamento nos nós carga nodal P e carregamento nas barras carga uniformemente distribuída q Rigidez à torção Conforme observaram COELHO & LORIGGIO (2000), a rigidez à torção da placa diminui significativamente para malhas de grelhas pouco espaçadas. Isto ocorre porque a rigidez à torção é proporcional ao cubo da menor dimensão das faixas( h). Entretanto para malhas pouco espaçadas, a largura da faixa passa a ser a menor dimensão, sendo portanto, esta dimensão, elevada ao cubo. Desta forma a rigidez à torção passa a ser muito influenciada pela malha utilizada, não sendo possível, portanto, a utilização da equação 4 para o cálculo da rigidez à torção. Uma alternativa utilizada por COELHO & LORIGGIO (2000) foi adotar uma inércia à torção proporcional à inércia à flexão. Essa idéia já havia sido proposta por MONTOYA (197) e também por HAMBLY (1976) que sugeriram que se utilize a inércia à torção da barra da grelha equivalente ao dobro de sua inércia à flexão ( J = 2I ). V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 5

6 HAMBLY (1976) demonstrou porque se deve utilizar a rigidez à torção como o dobro da rigidez à flexão. Como a distribuição da tensão de cisalhamento em um elemento de placa é uniforme e varia linearmente a partir da linha média da placa, conforme é mostrado na figura 4, pode-se escrever: Figura 4 - Distribuição de tensões devido à torção, HAMBLY (1976) τ z xy M = i xy = E w ( 1+ ν ) x y 2 (Equação 6) onde h i = momento de inércia da laje por unidade de largura. 12 Portanto: 2 2 E h w Gh w M xy = = ( 1+ ν ) 12 x y 6 x y (Equação 7) visto que: E G = (Equação 8) 2(1 + ν ) Pode-se considerar portanto que : h J = por unidade de largura (Equação 9) 6 Sabe-se que para vigas de seção retangular (com b >5h) a inércia à torção pode ser escrita de forma simplificada como: bh J = (Equação 10) Portanto, pode-se perceber que a equação 9 de inércia à torção de uma laje por unidade de largura é igual à metade do valor da equação 10 de uma viga. Esta diferença é uma conseqüência de diferentes definições de torção. Se a laje mostrada na figura 5 for analisada como uma viga, o momento torsor é definido como a soma da torção causada pelo fluxo de cisalhamento horizontal distribuído na face superior e inferior, mais a torção causada pelo fluxo de cisalhamento vertical aplicado nas faces laterais. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 6

7 Figura 5 - Torção em uma laje como se fosse viga, HAMBLY (1976) Entretanto se essa laje delgada é analisada como laje, o momento torsor é definido como provocado somente pelo fluxo de cisalhamento horizontal distribuído nas faces superior e inferior, conforme a figura 4. O fluxo de cisalhamento vertical distribuído nas faces laterais representa valores elevados do esforço cortante Q e são responsáveis por metade da torção total. Apesar dessas duas definições de torção serem diferentes, elas são equivalentes: enquanto a laje tem metade da rigidez à torção da viga, a qual se dá devido à torção em torno do eixo longitudinal, a outra metade da rigidez à torção é atribuída à torção transversal da laje, a qual não é considerada na análise de vigas. Como a inércia à flexão é dada por : b h I = (Equação 11) 12 Quando compara-se a equação 9 e a equação 11, pode-se perceber, conseqüentemente, que: J = 2 I (Equação 12) A equação 12 mostra que ao se discretizar uma laje maciça como uma grelha de vigas equivalente, deve-se utilizar portanto, segundo HAMBLY (1976), a inércia à torção dessas vigas como o dobro de sua inércia à flexão. COELHO (2000) estudou outras relações J / I além da mostrada na equação 4.8. Essas outras relações foram : J / I =1 ; J / I =2,5 ; J / I = e J / I =4, concluindo que uma relação J / I entre 2 e 2,5 apresenta resultados para os esforços e deslocamentos que diferem muito pouco dos obtidos pela teoria da elasticidade. Alguns dos exemplos contidos aqui são os mesmos encontrados em COELHO (2000), com algumas modificações nos parâmetros envolvidos, entretanto neste trabalho foram estudados mais casos de lajes maciças. Em todos os exemplos mostrados a seguir onde as lajes foram consideradas apoiadas, o apoio foi considerado livre para rotação segundo o eixo perpendicular às barras da grelha que chegam nesse apoio, porém com a rotação ao redor do eixo dessas barras impedida. 4 Exemplos Numéricos Foram estudados 9 exemplos de lajes maciças, considerando diferentes condições de apoio e relações entre os lados. As lajes foram calculadas primeiramente através da Teoria da Elasticidade (), utilizando as tabelas de Czerny, e posteriormente através do processo de Analogia de Grelha com diferentes relações J / I, com o intuito de se chegar numa relação que mais se aproximasse dos resultados obtidos através da. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 7 x M xy

8 4.1 Estudo Comparativo para Lajes Quadradas com Relação entre Lados Ly/Lx = 1 EXEMPLO 1 Laje maciça de vão 4 x 4m Espessura h = 10 cm Considerada apoiada nos quatro lados em apoios rígidos Carga uniformemente distribuída q = 10 kn/m 2 Módulo de Elasticidade Longitudinal E = MPa Módulo de Elasticidade Transversal G = 0,4 E G = 8400 MPa Em todos os exemplos as lajes serão discretizadas em 6 diferentes modelos de grelha, com barras espaçadas de : 80x80 cm, 45x45 cm, 6x6 cm, 19x19 cm, 10x10 cm e 5x5 cm, conforme mostram as figuras 4. a 4.8 para o exemplo 1. Figura 6 Laje discretizada com grelha de 80x80 cm Figura 7 Laje discretizada com grelha de 45x45 cm V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 8

9 Figura 8 Laje discretizada com grelha de 6x6 cm Figura 9 Laje discretizada com grelha de 19x19 cm Figura 10 Laje discretizada com grelha de 10x10 cm V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 9

10 Figura 11 Laje discretizada com grelha de 5x5 cm Resultados obtidos através da analogia de grelha e : Momentos Fletores (knm/m) 1 12, , ,5 10 9,5 9 8,5 8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 Figura 12 Momentos fletores mx=my em função da grelha J=2,8 I J=2,5 I J=2,0 I J=1,8 I J=1,75 I V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 10

11 1, 1,2 1,1 Flechas (cm) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 J=2,5I J=1,8I J=1,75I 0,5 0,4 espaçamento das barras(cm) Figura 1 Flechas em função da grelha EXEMPLO 2 Mesmas características da laje anterior, porém considerando 2 lados adjacentes engastados e os outros dois apoiados. Resultados obtidos através da analogia de grelha e : 7,5 7 Momentos Fletores (Mx=My)(kNm/m) 6,5 6 5,5 5 4,5 4,5 J=2,5I J=2,2I J=1,9I J=1,8I Figura 14 Momentos fletores (mx=my) em função da grelha V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 11

12 -8 Momentos Fletores(Mex=Mey)(knm/m) J=2,5I J=2,2I J=1,9I J=1,8I -14 Figura 15 Momentos fletores (mex=mey) em função da grelha 0,55 0,5 Flechas (cm) 0,45 0,4 0,5 0, J=2,5I J=2,2I J=1,9I J=1,8I 0,25 0,2 Figura 16 Flechas em função da grelha EXEMPLO Mesmas características da laje do exemplo 1, porém considerando os quatro lados da laje engastados. Resultados obtidos através da analogia de grelha e : V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 12

13 4,2 Momentos Fletores(Mx=My)(kNm/m) 4,8,6,4,2 2,8 2,6 J=2,5I J=1,2I J=1,1I 2,4 Figura 17 Momentos fletores (mx=my) em função da grelha -10 Momentos Fletores (Mex=Mey)(kNm/m) -9,5-9 -8,5-8 -7,5 J=2,5I J=1,2I J=1,1I -7 Figura 18 Momentos fletores (mex=mey) em função da grelha V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 1

14 0,25 0,2 Flechas (cm) 0,21 0,19 J=2,5 J=1,2I J=1,1I 0,17 0,15 Figura 19 Flechas em função da grelha 4.2 Estudo Comparativo para Lajes Retangulares com Relação entre Lados Ly/Lx = 1,5 EXEMPLO 4 Laje maciça de vão 4 x 6m Espessura h = 10 cm Considerada apoiada nos quatro lados em apoios rígidos Carga uniformemente distribuída q = 10 kn/m 2 Módulo de Elasticidade Longitudinal E = MPa Módulo de Elasticidade Transversal G = 0,4 E G = 8400 Mpa Resultados obtidos através da analogia de grelha e : V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 14

15 22 20 Momentos Fletores (Mx)(kNm/m) J=2,2I,8I 10 8 Figura 20 Momentos fletores (mx) em função da grelha 8,5 8 Momentos Fletores (My)(kNm/m) 7,5 7 6,5 6 5,5 5 J=2,2I,8I 4,5 4 Figura 21 Momentos fletores (my) em função da grelha V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 15

16 2,2 2 Flechas (cm) 1,8 1,6 1,4 1,2 J=2,2I,8I 1 0,8 Figura 22 Flechas em função da grelha 4. Estudo Comparativo para Lajes Retangulares com Relação entre Lados Ly/Lx = 2 EXEMPLO 7 Laje maciça de 4 x 8m Espessura h = 10 cm Considerada apoiada nos quatro lados em apoios rígidos Carga uniformemente distribuída q = 10 kn/m 2 Módulo de Elasticidade Longitudinal E = MPa Módulo de Elasticidade Transversal G = 0,4 E G = 8400 Mpa Resultados obtidos através da analogia de grelha e : V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 16

17 24 22 Momentos Fletores(Mx)(kNm/m) J=I J=2,2I Figura 2 Momentos fletores (mx) em função da malha 9 Momentos Fletores(My)(kNm/m) J eq..4 J=I J=2,2I Figura 24 Momentos fletores (my) em função da malha V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 17

18 2,4 2,2 Flechas (cm) 2 1,8 1,6 1,4 J=I J=2,2I 1,2 1 Figura 25 Flechas em função da malha Para os exemplos 5, 6, 8 e 9 os gráficos obtidos para os momentos e flechas são semelhantes aos obtidos para os exemplos anteriores e a tabela 1 mostra os valores das relações J / I, para todos os exemplos estudados, que mais se aproximaram dos resultados obtidos pela. Tabela 1 Valores da relação J / I encontrada para os esforços e deslocamentos que mais se aproximam dos resultados obtidos pela Relação entre os lados Lx =1 Ly Lx =1,5 Ly Lx =2 Ly Condições de apoio mx my mex mey flecha 4 lados apoiados (exemplo1) 1,8 1, ,8 2 lados engastados (exemplo 2) 1,9 1,9 2,2 2,2,0 4 lados engastados (exemplo ) 1,2 1,2 2,2 2,2 2,8 4 lados apoiados (exemplo 4) 2,2 0, ,8 2 lados engastados (exemplo 5) 2,8 1,2 2,5 2,0,2 4 lados engastados (exemplo 6) 2,0 X (*) 2,5 0,0 4 lados apoiados (exemplo 7) 2, ,0 2 lados engastados (exemplo 8),5 0, 2,5 2,0,5 4 lados engastados (exemplo 9) 1,8 X(*) 2,0,8,8 (*) Não foi encontrada nenhuma relação J / I que represente bem os valores de my. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 18

19 4 Análise dos Resultados e Conclusões Primeiramente é importante ressaltar que no diagrama de momentos fletores, para a grelha, existem descontinuidades devido aos momentos torsores, conforme pode ser observado na figura 26. Ou seja, se em um determinado nó existe uma descontinuidade no diagrama de momentos fletores é porque existe um momento torsor aplicado naquele nó. Devido a isso, os momentos fletores máximos em muitos casos não ocorrem no centro do vão, a não ser quando se utiliza uma rigidez à torção reduzida, pois neste caso as descontinuidades no diagrama de momentos fletores são bastante reduzidas, fazendo com que o momento máximo seja encontrado no nó central. Para os exemplos estudados, na maioria dos casos, o momento fletor máximo não ocorreu no centro da laje. Figura 26 - Momentos fletores para a barra central da laje com malha de 80 x 80 cm Analisando os gráficos mostrados anteriormente pode-se perceber que não existe uma variação regular dos momentos fletores e flechas com a diminuição do espaçamento das barras da grelha. O que quer dizer que nas diversas relações J / I analisadas, muitas vezes, ao contrário do que se poderia pensar, não foi o modelo com barras menos espaçadas que apresentou os resultados mais próximos da teoria da elasticidade. Para o exemplo 1, por exemplo, a relação J / I que mais aproximou os valores dos momentos fletores com os obtidos pela teoria da elasticidade foi entre 1,8 e 1,75, enquanto para as flechas foi em torno de 2,8. Observando a tabela 1 nota-se que esses valores podem ser, no caso mais geral, diferentes para cada um dos esforços e para o deslocamento e os mesmos são influenciados pela relação entre os lados e condições de apoio. Entretanto, a relação J / I =2 proposta por MONTOYA e HAMBLY é razoável para os momentos fletores mx, mex e mey com uma diferença máxima em torno de 5% para os momentos mex e mey; já para os momentos mx essa diferença pode chegar a 11% (nos exemplos, 5 e 8), sendo contra a segurança (maiores do que os obtidos pela ) apenas no exemplo. No que diz respeito aos momentos my (nos casos em que Ly/Lx 1), foi observado que os mesmos sofrem uma variação significativa em função do espaçamento das barras, para algumas relações J / I. Também pode-se concluir, analisando a tabela 1, que a relação J / I =2 não é adequada para os momentos my, devendo ser feito um estudo mais cuidadoso para cada caso. De qualquer forma, o momento my, por ser o momento na maior direção, não é o momento mais importante da laje. Já para as flechas a relação J / I = parece ser a mais adequada, visto que a diferença máxima obtida em relação à, para todos os casos estudados, foi de 6%. Entretanto se fosse utilizada a relação J / I =2 também para as flechas, esses valores estariam a favor da segurança, ou seja, maiores do que os obtidos pela. Verificou-se, portanto, que a analogia de grelha apresenta resultados satisfatórios e pode ser usada com vantagens no modelamento das lajes de concreto armado. Entretanto, pelo fato dela ser uma analogia, e não conseguir representar fielmente a teoria das Placas em Regime Elástico, os resultados devem sempre ser analisados com cuidado. Existe, também, a necessidade de se estudar mais profundamente uma série de V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 19

20 tópicos, tais como lajes irregulares, malhas irregulares, painéis de laje em pisos de edifícios, aberturas nas lajes, entre outros assuntos de modo que a analogia de grelha possa adquirir maior credibilidade na prática corrente de projeto. 5 Referências CARVALHO, R. C. (1994). Análise não linear de pavimentos de edifícios de concreto através da analogia de grelha. Tese (doutorado) Universidade de São Paulo, Escola de Engenharia de São Carlos, SP, São Carlos. COELHO, J.A. (2000). Modelagem de lajes de concreto armado por analogia de grelha. Dissertação (mestrado) Universidade Federal de Santa Catarina, UFSC, Florianópolis. COELHO, J. D., LORIGGIO, D. D. Analogia de grelha para o projeto de lajes de concreto armado. XXIX JORNADAS SULAMERICANAS DE ENGENHARIA ESTRUTUTAL, novembro de 2000, Punta Del Leste. GERE, J.M.; WEAVER JR., W. Análise de Estruturas Reticuladas. Editora Guanabara Dois S. A. Rio de Janeiro RJ, HAMBLY, E.C. Bridge deck behavior. London, Chapman and Hall, LIGHTFOOT, E. & SAWKO, F. Structural frame analysis by eletronic computer: grid frameworks resolved by generalized slope deflection. Engineering, 187(18-20), LORIGGIO, D.D. Análise Matricial e Modelagem de Estruturas EE02; Apostila do Curso de Especialização em Projeto de Estruturas, , UFSC. MONTOYA, J.; MESENGUER, A.G.; CABRE, F. M. Hormigon Armado, Editorial Gustavo Gili, S.A. Barcelona, 197. STRAMANDINOLI, J.S.B.(200). Contribuições à análise de lajes nervuradas por analogia de grelha. Dissertação (mestrado) Universidade Federal de Santa Catarina, UFSC, Florianópolis TIMOSHENKO, S. P.; WOINOWSKY-KRIEGER, S. Theory of plates and shells, McGraw Hill Kogakusha, Ltda, V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 20